GRE冲刺阶段需温习的105道数学难题总结

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(完整word版)gre数学难题集锦

数学无忧之最终幻想版1.正整数n有奇数个因子,则n为完全平方数2.因子个数求解公式:将整数n分解为质因子乘积形式,然后将每个质因子的幂分别加一相乘.n=a*a*a*b*b*c 则因子个数=(3+1)(2+1)(1+1)eg. 200=2*2*2 * 5*5 因子个数=(3+1)(2+1)=12个3.能被8整除的数后三位的和能被8整除;能被9整除的数各位数的和能被9整除.能被3整除的数,各位的和能被3整除.4.多边形内角和=(n-2)x1805.菱形面积=1/2 x 对角线乘积6.欧拉公式：边数=面数+顶点数-28.三角形余玄定理C2=A2+B2-2ABCOSβ,β为AB两条线间的夹角9.正弦定理:A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R(A,B,C是各边及所对应的角,R是三角形外接圆的半径)10.Y=k1X+B1,Y=k2X+B2，两线垂直的条件为K1K2=-111.N的阶乘公式:N!=1*2*3*....(N-2)*(N-1)*N 且规定0!=11!=1Eg:8!=1*2*3*4*5*6*7*812. 熟悉一下根号2、3、5的值sqrt(2)=1.414 sqrt(3)=1.732 sqrt(5)=2.23613. ...2/3 as many A as B: A=2/3*B...twice as many... A as B: A=2*B14. 华氏温度与摄氏温度的换算换算公式:(F-32)*5/9=CPS.常用计量单位的换算:（自己查查牛津大字典的附录吧）练习题:1：还有数列题：a1=2，a2=6，a n=a n-1/a n-2，求a150.解答: a n=a n-1/a n-2,所以a n-1=a n-2/a n-3,带入前式得a n=1/a n-3,然后再拆一遍得到a n=a n-6,也就是说,这个数列是以6为周期的,则a150=a144=...=a6,利用a1,a2可以计算出a6=1/3.如果实在想不到这个方法,可以写几项看看很快就会发现a150=a144,大胆推测该数列是以6为周期得,然后写出a1-a13(也就是写到你能看出来规律),不难发现a6=a12,a7=a13,然后那,稍微数数,就可以知道a150=a6了,同样计算得1/3.2：问摄氏升高30度华氏升高的度数与62比大小. key:F=30*9/5=54<623：那道费波拉契数列的题:已知,a1=1 a2=1a n=a n-1+a n-2，问a1,a2,a3,a6四项的平均数和a1,a3,a4,a5四项的平均数大小比较.解答:费波契那数列就是第三项是前两项的和,依此类推得到a1-a6为:1 123 5 8 13 21 a1+a2+a3+a6=12, a1+a3+a4+a5=11,所以为大于.4：满足x^2+y^2<=100的整数对（x,y）有多少？key: 按照X的可能情况顺序写出:X= Y=11-921-931-941-951-861-871-781-691-4 ＝>Myanswer:加起来=695：24，36，90，100四个数中,该数除以它的所有的质因子，最后的结果是质数的是那个：Key:906:0.123456789101112….，这个小数无限不循环地把所有整数都列出来.请问小数点后第100位的数字是多少？Key:位数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 11 12 ………………………19 2020 21……………………………29 20 30……………………………… 39 20 40……………………………… 49 2050 51 52 53 54 55 56 ――――――第101位＝5？？7：2904x=y2（y的平方），x、y都是正整数，求x的最小值.因为：X^2×Y^2×Z^2=(X×Y×Z)^2所以把2904除呀除＝2×2×2×3×11×11＝2^2×11^2×6再乘一个6就OK了2^2×11^2×6×6＝（2×11×6）^2=132^2Key：最小的x＝68:序列A n=1/n-1/(n+1),n>=1,问前100项和.解答：An ＝1/n-1/(n+1)A n-1=1/(n-1)-1/nA n-2=1/(n-2)-/(n-1)………………………………………………A1＝1－1/2把左边加起来就是A n+A n-1+……+A1=1-1/(n+1) ...消掉了好多好多项之后的结果Key:把n＝100带入得前100项之和为100/1019:等腰三角形，腰为6.底边上的高为x,底边为y,问4x2+y2和144谁大解答:勾股定理得(y/2)2+x2=62,所以4x2+y2=144 10:-1<r<t <0(有一数轴) question:r+r*t*t与-1的关系Key:我想的办法只能是尝试:原式=r(1+t*t)恒小于零1)r －1， t 0 则原式－12)r －1， t －1则原式－23)r 0 ， t 0 则原式 0例如：r＝-0.9 t=-1/3 时,原式=-1,若此时-0.9<t<-1/3 原式<-1 反之>-1.11:有长方形4feet*8feet,长宽各截去x inch,长宽比2：5，解答:列出方程:(4*12-x)/(8*12-x)=2/5=> x=161.排列(permutation):从N个东东(有区别)中不重复(即取完后不再取)取出M 个并作排列,共有几种方法：P(M,N)=N!/(N-M)!例如:从1-5中取出3个数不重复,问能组成几个三位数？解答：P(3,5)=5!/(5-3)!=5!/2!=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60也可以这样想从五个数中取出三个放三个固定位置那么第一个位置可以放五个数中任一一个,所以有5种可能选法，那么第二个位置余下四个数中任一个,....4.....，那么第三个位置……3……所以总共的排列为5*4*3=60同理可知如果可以重复选(即取完后可再取),总共的排列是5*5*5=1252．组合(combination):从N个东东(可以无区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个(不作排列,即不管取得次序先后),共有几种方法C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!/(M-N)!/M!C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!/2!/3!=5*4*3/(1*2*3)=10可以这样理解：组合与排列的区别就在于取出的M个作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M!，那末他们之间关系就有先做组合再作M的全排列就得到了排列所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得组合公式性质:C(M,N)=C( (N-M), N )即C(3,5)=C( (5-2), 5 )=C(2,5) = 5!/3!/2!=103．概率概率的定义：P=满足某个条件的所有可能情况数量/所有可能情况数量概率的性质：0<=P<=11)不相容事件的概率：a,b为两两不相容的事件（即发生了a，就不会发生b)P(a或b)=P(a)+P(b)P(a且b)=P(a)+P(b)=0 (A,B不能同时发生)2）对立事件的概率:对立事件就是a+b就是全部情况,所以不是发生a,就是b发生,但是,有一点a,b不能同时发生.例如:a:一件事不发生b:一件事发生,则A,B是对立事件显然：P（一件事发生的概率或一件事不发生的概率）=1（必然事件的概率为1）则一件事发生的概率=1 - 一件事不发生的概率...........公式1理解抽象的概率最好用集合的概念来讲，否则结合具体体好理解写a,b不是不相容事件(也就是说a,b有公共部分)分别用集合A和集合B来表示即集合A与集合B有交集，表示为A*B （a发生且b发生）集合A与集合B的并集，表示为A U B （a发生或b发生）则:P（A U B）= P(A)+P(B)-P(A*B).................公式23）条件概率：考虑的是事件A已发生的条件下事件B发生的概率定义：设A，B是两个事件，且P（A）>0,称P（B|A）=P（A*B）/P（A）....................公式3为事件A已发生的条件下事件B发生的概率理解：就是P（A与B的交集）/P（A集合）理解: “事件A已发生的条件下事件B发生的概率”，很明显，说这句话的时候，A，B都发生了，求的是A，B同时发生的情况占A发生时的比例，就是A与B同时发生与A发生的概率比.4）独立事件与概率两个事件独立也就是说，A，B的发生与否互不影响，A 是A，B是B，用公式表示就是P（A|B）=P(A)所以说两个事件同时发生的概率就是：P（A U B）＝P（A）×P（B）................公式4练习题:1：A, B独立事件，一个发生的概率是0.6 ，一个是0.8，问：两个中发生一个或都发生的概率？解答：P＝P(A且!B)+P(B且!A)+P(A且B)=0.6*(1-0.8)+0.8*(1-0.6)+0.6*0.8=0.92另一个角度,所求概率P=1-P(A,B都不发生)=1-(1-0.8)*(1-0.6)=0.922：一道概率题：就是100以内取两个数是6的整倍数的概率.解答:100以内的倍数有6,12,18,...96共计16个所以从中取出两个共有16*15种方法,从1-100中取出两个数的方法有99*100种,所以P=(16*15)/(99*100)=12/505=0.0243：1-350 inclusive 中，在100-299inclusive之间以3,4,5,6,7,8,9结尾的数的概率.因为100-299中以3,4,5,6,7,8,9结尾的数各有20个,所以Key:（2*10*7）/350=0.44.在1-350中（inclusive），337-350之间整数占的百分比Key:(359-337+1)/350=4%5.在E发生的情况下，F发生的概率为0.45，问E不发生的情况下，F发生的概率与0.55比大小解答:看了原来的答案,我差点要不考G了.无论柳大侠的推理还是那个哥哥的图,都太过分了吧?其实用全概率公式是很好解决这个问题的,还是先用白话文说一遍吧:某一个事件A的发生总是在一定的其它条件下如B,C,D发生的,也就是说A的概率其实就是在,B,C,D发生的条件下A发生的概率之和.A在B发生时有一个条件概率,在C发生时有一个条件概率,在D发生时有一个条件概率,如果B,C,D包括了A发生的所有的条件.那么,A 的概率不就是这几个条件概率之和么.P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D)好了,看看这个题目就明白了.F发生时,E要么发生,要么不发生,OK?所以,P(F)=P(F|E)+P(F|!E) 感觉上也没错吧? 给了P(F|E)=0.45,所以P(F|!E)= P(F)-P(F|E)= P(F)-0.45如果P(F)=1,那么P(F|!E)=0.55如果0.45=<P(F)<1,那么0=<P(F|!E)<0.55如果…………，唉，我就不说你什么了…………sigh1.mode（众数）一堆数中出现频率最高的一个或几个数e.g. mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 02.range（值域）一堆数中最大和最小数之差 ,所以统计学上又称之为极差.(两极的差)e.g. range of 1,1,2,3,5 is 5-1=43.mean（平均数）arithmatic mean（算术平均数）: n个数之和再除以ngeometric mean （几何平均数）: n个数之积的n次方根4.median（中数）将一堆数排序之后，正中间的一个数（奇数个数字），或者中间两个数的平均数（偶数个数字）e.g. median of 1,7,4,9,2,2,2,2,2,5,8 is 2 median of 1,7,4,9,2,5 is (5+7)/2=65.standard error（标准偏差）一堆数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，除以这堆数的个数(n)e.g. standard error of 0,2,5,7,6 is:(|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.46.standard variation一堆数中，每个数与平均数之差的平方之和，再除以n标准方差的公式：d2=[(a1-a)2+(a2-a)2+....+(an-a)2 ]/ne.g. standard variation of 0,2,5,7,6 is: average=4((0-4)2 +(2-4)2+(5-4)2+(7-4)2+(6-4)2)/5=6.87.standard deviation就是standard variation的平方根 d8.the calculation of quartile(四分位数的计算)Quartile（四分位数）：第0个Quartile实际为通常所说的最小值（MINimum）；第1个Quartile（En：1st Quartile）；第2个Quartile实际为通常所说的中分位数（中数、二分位分、中位数：Median）；第3个Quartile（En：3rd Quartile）；第4个Quartile实际为通常所说的最大值（MAXimum）；我想大家除了对1st、3rd Quartile不了解外，对其他几个统计值的求法都是比较熟悉的了，而求1st、3rd是比较麻烦的.下面以求1rd为例：设样本数为n（即共有n个数），可以按下列步骤求1st Quartile：1．n个数从小到大排列，求(n-1)/4，设商为i，余数为j2．则可求得1st Quartile为：(第i+1个数)*(4-j)/4+(第i+2个数)*j/4例（已经排过序啦！）：1）.设序列为{5}，只有一个样本则：(1-1)/4 商0，余数01st=第1个数*4/4+第2个数*0/4=52）.设序列为{1,4}，有两个样本则：(2-1)/4 商0，余数11st=第1个数*3/4+第2个数*1/4=1.753）.设序列为{1,5,7}，有三个样本则：(3-1)/4 商0，余数2 1st=第1个数*2/4+第2个数*2/4=34）.设序列为{1,3,6,10}，四个样本：(4-1)/4 商0，余数21st=第1个数*1/4+第2个数*3/4=2.55）.其他类推！因为3rd与1rd的位置对称，这是可以将序列从大到小排（即倒过来排），再用1rd的公式即可求得：例（各序列同上各列，只是逆排）：1.序列{5}，3rd=52.{4,1}，3rd=4*3/4+1*1/4=3.253.{7,5,1}，3rd=7*2/4+5*2/4=64.{10,6,3,1}，3rd=10*1/4+6*3/4=79．The calculation of Percentile设一个序列供有n个数，要求（k%）的Percentile：（1）从小到大排序，求(n-1)*k%，记整数部分为i，小数部分为j可以如此记忆：n个数中间有n-1个间隔，n-1/4就是处于前四分之一处，（2）所求结果＝（1－j）*第(i＋1)个数＋j*第(i+2)个数特别注意以下两种最可能考的情况：（1）j为0，即(n-1)*k%恰为整数，则结果恰为第(i+1)个数（2）第(i+1)个数与第(i+2)个数相等，不用算也知道正是这两个数.注意：前面提到的Quartile也可用这种方法计算，其中1st Quartile的k%=25%2nd Quartile的k%=50%3rd Quartile的k%=75%计算结果一样.例：（注意一定要先从小到大排序的，这里已经排过序啦！）｛1，3，4，5，6，7，8，9，19，29，39，49，59，69，79，80｝共16个样本要求:percentile＝30%：则(16-1)*30%=4.5=4+0.5 i＝4，j＝0.5(1-0.5)*第5个数＋0.5*第6个数=0.5*6+0.5*7=6.510.To find median using Stem-and-Leaf (茎叶法计算中位数)Stem-and-Leaf method 其实并不是很适用于GRE考试,除非有大量数据时可以用这种方法比较迅速的将数据有序化.一般GRE给出的数据在10个左右,茎叶法有点大材小用.Stem-and-Leaf 其实就是一种分级将数据分类的方法.Stem就是大的划分,如可以划分为1～10，11～20，21～30…，而Leaf就是把划分到Stem一类中的数据再排一下序.看了例子就明白了.Example for Stem-and-Leaf method:Data：23，51，1，24，18，2，2，27，59，4，12，23，15，200| 1 2 2 41| 12 15 182| 20 23 23 24 275| 51 59Stem (unit) = 10Leaf (unit) = 1分析如下：最左边的一竖行 0, 1, 2, 5叫做Stem, 而右边剩下的就是Leaf(leaves). 上面的Stem-and-Leaf 共包含了14个data, 根据Stem及leaf的unit, 分别是： 1, 2, 2, 4 (first row), 12, 15, 18 (second row), 20, 23, 23, 24, 27(third row), 51, 59 (last row). Stem and Leaf其实就是把各个unit，比如个位，十位等归类了而已，一般是从小到大有序排列，所以在找Stem-and Leaf 找median的时候，一般不需要你自己把所有的数写出来从新排序.所以只要找到中间的那个数 (如果data个数是偶，则取中间两数的平均数), 就是median 了.这道题的median是18和20的平均值 =19. 大家在碰到这种题的时候都可以用上面的方法做，只要注意unit也就是分类的数量级就行了.为什么用Stem-and-Leaf 方法？可能你觉得这样做太麻烦了，其实Stem-and-Leaf 方法好处就是：你不必从一大堆数里去按大小挑数了，按照data给出的顺序填到表里就可以了.但是，GRE考试这样做是否值自己斟酌.我的方法，不就是找十来个数么？排序！在先浏一眼数据看看大致范围，然后在答题纸上按个的写，觉得小的写前面，大的写后面，写了几个数之后，就是把剩下的数儿们，一个个的插到已写的数中间么！注意尽可能的把数之间的距离留大一些，否则，如果某些数比较密集，呵呵，你会死的很惨的.11．To find the median of data given by percentage(按比例求中位数)给了不同年龄range, 和各个range的percentage, 问median 落在哪个range里. 把percentage加到50%就是median的range了.担小心一点，range首先要保证是有序排列.Example for this:Given: 10～20 = 20%, 30～50 = 30%, 0～10 = 40%, 20～30 = 10%, 问median在哪个range里.分析：千万不要上来就加，要先排序，切记！！重新排序为： 0～10 = 40%, 10～20 = 20%, 20～30 = 10%, 30～50 = 40%. 然后从小开始加， median（50％）落在 10～20这个range里.如果觉得比较玄乎，我的方法，GRE大部分的题都可以这么搞.0～10岁 40匹ETS猪，10～20岁 20匹ETS 猪，20～30岁匹ETS猪，30～50岁匹ETS猪，这100匹ETS猪按着年龄排下来，你说第五十匹ETS猪的年龄落在那个范围.(原题: 说一堆人0-10岁占 10%,11-20岁占12%,21-30岁占 23%,31-40岁占 20%,〉40岁占 35%,问median 在什么范围?)12：比较,当n<1时，n，1，2 和1，2,3的标准方差谁大standard error 和 standard variation (作用=standard deviation)都是用来衡量一组数据的离散程度的统计数值,只不过由于standard error中涉及绝对值,在数学上是很难处里的所以,都用标准方差,实际上standard error更合理一些,它代表了数据和平均值的平均距离.很明显题目中如果n=0的话,0,1,2的离散程度应该和1,2,3的离散程度相同.如果n<0,则n,1,2,的离散程度大于后者,而0<n<1的话,则后者大于前者,但是n为整数,这种情况不成立.故而Key:n是整数，前〉=后(n=0,等；n=-1,-2,……大于)13.算数平均值和加权平均值三组数据的频数分布FREQUENCY DISTRIBUTION：1（6），2（4），3（1），4（4），5（6）1（1），2（4），3（6），4（4），5（1）1（1），2（2），3（3），4（4），5（5）其中括号里的是出现的频率，问MEAN和AVERAGE相等的有那些.答案：只有第二个.mean-arithmetic mean 1+2+3+4+5）/ 5 = 3average-weighted average 加权平均值:(1*1+2*4+...5*1)/(1+4+6+4+1)=48/16=314.正态分布题.一列数从0到28，给出正态分布曲线.75%的percentile 是20，85%的percentile是r,95%的percentile是26,问r与23的大小.Key:r<23下面是来自柳大侠的七种武器中的正态分布15．正态分布高斯分布（Gaussian）（正态分布）的概率密度函数为一钟型曲线，即222)(221)(σπσaxexp--=a为均值，σ为标准方差，曲线关于x=a的虚线对称，σ决定了曲线的“胖瘦”，形状为：如果把曲线的片段放大就比较清楚了.O为AB的中点. A(20, 75%)B(26, 95%)O(23, 85%)C(r, 85%)由于曲线上凸，显然C的横坐标小于O，所以r<23. 只要画一下图就很easy了.2) 正态分布题好象是：有一组数平均值9，标准方差2，另一组数平均值3，标准方差1，问分别在（5，11）和（1，4）中个数(概率)谁大，应该是相等.解：令图1中的曲线a=0, 1=σ, 就得到了标准正态分布，曲线如图3.此时问分布在区间（x1, x2）的概率，就是图中的阴影ABOCax1 x2图3面积.注意此时的曲线关于x=0对称.（★）对于一般的正态分布，可以通过变换，归一化到标准的正态分布，算法为：设原正态分布的期望为a ，标准方差为σ,欲求分布在区间（y1, y2）的概率，可以变换为求图3中分布在（x1, x2）间的概率.其中σay x -=.比如题目中a=9，2=σ, 区间为（5, 11），则区间归一化为(－2，1)，即22951-=-=x 129112=-=x同理，a=3，1=σ, 区间为（1, 4），则区间归一化后也为(－2，1).所以两者的分布概率相等.估计最难的题也就是利用钟型曲线的对称性，比如归一化后的区间并不相同，而是(-2,1)和（-1,2），但根据对称性，仍然可以比较概率的大小.代数部分 1. 有关数学运算add ，plus subtract difference multiply, times product divide divisible 可被整除 divided evenly 被整除dividend divisor 因子，除数 quotient 商 remainder factorial power radical sign, root sign 根号round toto the nearest 四舍五入 2. 有关集合 unionproper subsetsolution set3.algebraic term 代数项 like terms, similar termsnumerical coefficientliteral coefficientinequality 不等triangle inequality range值 original equationequivalent equationlinear equation 线性方程(e.g. 5x +6=22)4.proper fraction improper fraction 假分数mixed number vulgar fraction ，common fraction simple fraction complex fraction numerator denominator(least) common denominatorquarter decimalfraction infinite decimal 无穷小recurring decimal tenths unit 十分位5.arithmetic mean weighted average 加geometric meanexponent base 乘幂的底数, cubesquare root cube root common logarithm digit constant variable inverse function complementary functionlinear factorizationabsolute value 绝对值， e.g.｜-32｜=32round off 四舍五入 6.natural number positive numbernegative number odd integer, odd number 奇even integer, even number integer, whole number positive whole number 正整数 negative whole number consecutivenumber real number, rational number 实数, irrational （number ） inverse composite number 合数 prime number 质数reciprocal common divisor 公multiple (least)common multiple (最小) (prime) factor (质) common factor ordinary scale, decimal scale nonnegative tens 十位 units mode median common ratio7.arithmetic progression(sequence) geometric progression(sequence)8.approximate (anti)clockwise (逆) 顺时针cardinal ordinal direct proportion distinct estimationparentheses proportion 比例permutation combination tabletrigonometric function unit 单位, 几何部分 1. 所有的角alternate angle corresponding angle 同vertical angle central angle 圆 interior angle exterior angle 外角 supplementary angles complementary angle adjacent angle acute angleobtuse angle right angle round anglestraight angleincluded angle 2.equilateral triangle scalene triangle isosceles triangle 等腰right triangle oblique 斜 inscribed triangle3.semicircle concentric circles quadrilateral pentagon hexagon heptagon octagon 八边nonagon decagon polygonparallelogram equilateral plane squarerectangle regular polygon 正多边 rhombus trapezoid 4.arcline, straight line line segment parallel lines segment of acircle5.cuberectangular solidregular solid/regular polyhedron circular cylinder cone sphere 球solid6.altitude depth side circumference, perimeter radian surface area volume arm 直角三角cross section center of acircle chord radius angle bisector diagonal diameteredge face of a solid hypotenuse included side leg 三角median of a trianglebase 底边，底数（e.g. 2的5次方，2 opposite midpoint endpoint vertex (复数形式vertices) tangent transversalintercept7.coordinate system rectangularcoordinate origin abscissaordinate number linequadrant slope complex plane 复平面8.plane geometry trigonometrybisect circumscribe inscribe 内切 intersectperpendicular pythagorean theorem congruent 全等的 multilateral1.cent penny 一美分硬币 nickel 5美分硬币 dime dozen 打（12 score 廿(20个) Centigrade Fahrenheit quart gallon 加仑(1 gallon = 4 quart) yard 码 meter micron inch foot 英 minute 分(角度的度量单位，60分=1度)square measure cubic meterpint 品脱(干量或液量的单位)2.intercalary year(leap year) 闰年(366天) common year 平年(365天) depreciation down payment discount margin 利润 profit interest simple interest compounded interest dividend 红利 decrease to decrease byincrease to increase by denote list price markup per capita ratio retail pricetie 打平救命三招1.代数法往变量里分别代三个数（最大，最小，中间值）看看满足不满足2.穷举法分别举几个特例，不妨从最简单的举起，然后总结一下规律3.圆整法对付计算复杂的图表题，不妨四舍五入舍去零头，算完后看跟那个答案最接近即可无论你赞同何种观点，形成一套自己的解题思路是尤为重要的。

新GRE经典加试整理版

新GRE经典加试整理版简介本文档是对新GRE经典加试的整理版，旨在为考生提供备考资料。

以下整理了一系列常见的经典加试题目，并提供答案及解析，帮助考生提高加试成绩。

1. 数学加试1.1 代数1. 题目：解方程 $2x + 6 = 18$。

答案：$x = 6$。

解析：将方程两边同时减去6，得到 $2x = 12$。

再将方程两边同时除以2，得到 $x = 6$。

2. 题目：计算表达式 $3(x-2) + 4(2x-1)$ 的值。

答案：$11x - 5$。

解析：根据分配律，展开表达式得到 $3x - 6 + 8x - 4$。

合并同类项得到 $11x - 10$。

1.2 几何1. 题目：已知长方形的宽度是2，面积是12，求长方形的长度。

答案：$6$。

解析：设长方形的长度为$x$，根据面积公式$A = l \times w$，得到等式 $2x = 12$。

解方程得到 $x = 6$。

2. 题目：已知三角形ABC中，AB边长为5，BC边长为8，AC边长为7，求三角形的面积。

答案：$20$。

解析：可以使用海伦公式进行计算。

设三角形的半周长为$s$，根据海伦公式 $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中$a,b,c$分别为三角形的三条边长，解得 $s = \frac{5+7+8}{2} = 10$。

代入公式得到 $A = \sqrt{10(10-5)(10-8)(10-7)} = 20$。

2. 逻辑加试2.1 推理1. 题目：如果"所有学生都喜欢音乐"是真的，那么"李明是学生"是否一定是真的？答案：是。

解析：根据前提，所有学生都喜欢音乐，李明是学生，所以李明一定也喜欢音乐。

2. 题目：如果"今天下雨"为假，那么"明天将会下雨"是否一定为假？答案：不能确定。

解析：假设今天下雨为假，那么明天下雨是否受其他因素影响，不能确定。

GRE考试105道数学易错难题(二)

GRE考试105道数学易错难题(二)GRE数学考试105道易错难题〔二〕51、n4 从2到n的奇数与从2到n的素数比大小52、q(-3,-6,-9,-12)r(-3,-6,-9,-12,-15)a:the number 一个集合里有，另一个没有的。

b:a number 两个集合里有的留意了，the number 值得是个数，应是1，而a number 只得是具体的数，-3，-6，-9，-12都为负数，应为a大。

53、第一天下雨的概率是70%，第二天下雨的概率是40%〔不管第一天是否下雨〕，两天均不下雨的概率〔0.18〕54、斜率〔slope〕为3的一条直线，经过(k,5)。

比较k与2的大小。

55、3^100-3^97，问GREATEST PRIME FACTOR，选 1356、两个事件E , F, P(F|E)=0.45，比较P(~F|E) 与 0.55的大小：小于57、以等边三角形〔边长为2〕的各顶点为圆心，以1为半径画圆，3圆弧围成的部分的面积与3*(3)1/2 /4比较大小58、28只人，14只男人，男人中有7只为50岁以下的，这群人中50岁以下的的百分比.59、wxyz四人排队，问w在z前面的几率和1/2比较大小60、x的值为0的frequency 为n为1的frequency为100-n，为x 的 arithmatic average less than 0.5 时n 的值与50的比较(0*n+(100-n)*1)/1000.5得n5061、9^17/8^17 与 9^17+5^9/8^17+5^9 比较大小〔前大于后〕62、图表题﹕一个饼图表示支持x,y的百分比﹐另一个表示支持者收入的百分比﹕3000,58%；3000-5000，24%；5000，18%Q1:支持y且收入5000的最大百分比〔两者取小﹐18%〕Q2:罗马数字题63. 图表题﹕列出了几年的labor force数﹐及labor force in farming 的比例第一年和最终一年labor force in farming的人数的改变64、n=2k=3m, 问n^2和6km的大小。

GRE数学难题

GRE数学--难题解析（一）1. On a certain number line, if -7 is a distance of 4 from n and 7 is a distance of 18 from n then n=(A) 25 (B) 11 (C)- 3 (D) 11 (E)-112. The diagram represents a rectangular garden. The shaded regions are planted in flowers, and the unshaded region is a walk 2 feet wide. All angles are right angles. The sum of the of the feet shaded regions 2,800 square areas3.The map shows the only roads that connect the four towns and shows the distance along each road.The road distance between Austen The road distance between Coaltownand Seburg and Woodland4.How many positive integers less than 20 are equal to the sum of a positive multiple of 3 and a positive multiple of 4?(A) Two (B) Five (C) Seven (D) Ten (E) Nineteen5.Which of the following symbols should be substituted for to make both of thestatements above true for all integers n such that -2< n≤3?(A) ≤ (B) < (C) = (D) > (E) ≥6.In a soccer league, If there were 10 teams and each team played each of the other teams 16 times, how many games did each team play?(A) 144 (B) 140 (C) 134 (D) 125 (E) 1067.In 1984 median income for a person in the 55-64 age category was in which of the following intervals?(A) less than $10,000 (B) $10,000-$19,999 (C) $20,000-$24,999(D) $25,000-$34,999 (E) $35,000-$49,999A sample of employees were tested on data-entry skills for one hour, and the number of errors (x) they made and the percent of employess (p) making x errors were recorded as follows.8. What was the median number of errors in the sample?(A) 3 (B) 3.5 (C) 4 (D) 4.5 (E) It cannot be determined from the information given.d=7.56872 and d1 is the decimal expression for d rounded to the nearest thousandth.9. The number of decimal places where d and d1 differ 410. In a certain country, a person is born every 3 seconds and a person dies every 10 seconds. Therefore, the birth and death rates account for a population growth rate of one person every11. Of the positive integers that are multiples of 30 and are less than or equal to 360, what fraction are multiples of 12?12. The figure above shows a large square formed by fitting three L-shaped tiles and one small square title together. If a rectangular floor 10 feet by 12 feet is to be tiled in large squares of this design, how many L-shaped tiles will be needed?(A) 810 (B) 405 (C) 270 (D) 135 (E) 4513. The daily rate for a hotel room that sleeps 4 people is $39 for one person and x dollars for each additional person. If 3 people take the room for one day and each pays $21 for the room, what is the value of x?(A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 13 (E) 2414. A positive integer with exactly two different divisors greater than 1 must be(A) a prime (B) an even integer (C) a multiple of 3(D) the square of a prime (E) the square of an odd integerx>zy>z15. x+y zx > y and xy≠02AF=AB=BD=DE=AE17. The sum of the area of triangular The area of rectangularregion ABF and area of region BCEFtriangular region CDE18. Each of the following numbers has two digits blotted out. Which of the numbers could be the number of hours in x days, where x is an integer?(A)25, 06(B)50, 26(C)56, 02(D)62, 50(E)65, 2020. The median score for the class is(A)76 (B)77 (C)78 (D)79 (E)8021. If 5 points were added to each score, which of the following would NOT be affected?(A)The highest score(B)The mean for all scores(C)The median for the seniors' scores(D)The mode for the juniors' scores(E)The standard deviation for all scores22. If the mean score for the juniors were known, which of the following could be calculated from the information given?I. The range of the scores for the seniorsII. The median score for the juniorsIII. The mean score for the seniors(A)None (B)I only (C)III only (D)I and II (E)II and III23. If in an experiment the probabilities of obtaining the valuesare, respectively, then the expected value is definedas For the values and their correspondingprobabilities in the table above, what is the expected value?(A)350 (B)320 (C)300 (D)270 (E)25024. The standard deviation of the sample The standard deviation of the sample measurements 0, 1, 2, 4, and 8 measurements 0, 1, 3, 5, and 925. What is the total number of different 5-digit numbers that contain all of the digits 2, 3,4,7 and 9 and in which none of the even digits occur next to each other?(A)72 (B)100 (C)120 (D)60 (E)48Water is to be poured at a rate of 2.5 gallons per minute into a 500-gallon tank that initially contains 50 gallons of water.28. The percent of the tank's capacity 60 percentthat will be filled 1 hour after waterbegins to be poured in29. In the figure above, if x, y, and z are integers such that x<y<z, then the least and the greatest possible values of x+z are(A)59 and 91 (B)69 and 135 (C)91 and 178 (D)120 and 135 (E)120 and 17830. The figure above shows the dimensions of rectangular box that is to be completely wrapped with paper. If a single sheet of paper is to be used without patching, then the dimensions of the paper could be(A)17 in by 25 in (B)21 in by 24 in (C)24 in by 12 in (D)24 in by 14 in(E)26 in by 14 in31. In the table above, what is the least number of table entries that are needed to show the mileage between each city and each of the other five cities?(A)15 (B)21 (C)25 (D)30 (E)3632. A store currently charges the same price for each towel that it sells. If the current price of each towel was to be increased by $1, 10 fewer of the towels could be bought for $120, excluding sales tax. What is the current price of each towel?(A)$ 1 (B)$ 2 (C)$3 (D)$ 4 (E)$ 12GRE数学--难题解析（二）33. Pat will walk from intersection X to intersection Y along a route that is confined to the square grid of four streets and three avenues shown in the map above. How many routes from X to Y can Pat take that have the minimum possible length? (A)Six (B)Eight (C)Ten (D)Fourteen (E)Sixteen34．In an insurance company, each policy has a paper record and an electric record. For those policies having incorrect paper record, 60% also having incorrect electricrecord; For those policies having incorrect electric record, 75% also having incorrect electric record. 3% of all policies have both incorrect paper and incorrect electric records. If we randomly pick out one policy, what's the probability that the one having both correct paper and correct electric records?(A)0.80 (B)0.94 (C)0.75 (D)0.88 (E)0.9235. There are 1200 respondents to a poll, each favoring their preference for candidates A, B,and C. 54% favored A, 48% favored B, and 42% favored C, and there is 30% favored both A and B. what's the largest possible number of respondents favoring C, but not C & B, nor C & A?(A)25% (B)30% (C)28% (D)38% (E)40%36. Out of 100 ladies attending the church fete, 85 had a white handbag; 75 had black shoes;60 carried an umbrella; 90 wore a ring. How many ladies must have had all four items?(A)15 (B) 35 (C)5 (D)10 (E)2537. The sergeant had fewer than 500 men to line up on parade. He tried arranging them in rows of three, but found there was one leftover. Then he tried them in rows of four, then five and six, but always there was one leftover. Finally, he tried them in rows of seven, and, to his relief, saw that the rows were exactly even. How many soldiers were lined up on parade?(A)308 (B)241 (C)296 (D)245 (E)30138. The vicar returns from his allotment with a small bag of tomatoes. To the first parishioner he meets he gives half the tomatoes plus half a tomato, to the second he gives half what he has left plus half a tomato and to the third he gives half what he has left plus half a tomato. He has then distributed all his bag of tomatoes. How many tomatoes did he initially have in the bag?39. The median salary of A, B, C, D, E is $20000, the range of these five people's salary is less than $50000. We have already known that the salaries of A, B, C are $20000, $40000, $50000, respectively. What is the probable average salary of these five people?(A)$20000 (B)$32000 (C)$18000 (D)$23000 (E)$3100040. 一个样本在一个标准方差内的概率是0.68, 两个标准方差内的概率是0.95。

2024 GRE考试重点数学历年考题总结

2024 GRE考试重点数学历年考题总结GRE考试是许多留学生申请研究生院求学的重要考试之一。

其中，数学部分是考生们最担心的科目之一。

为了帮助考生更好地备考，本文将对2024年GRE考试数学部分的重点考题进行总结，并提供相应的解析和答案。

1. 函数与方程 (Functions and Equations)本节主要包括了函数、方程和不等式的概念、性质和应用。

其中，以下题目为考试中的重点：a) 求解一次方程例题：解方程2x + 3 = 7解析：将常数项移项，并计算得出x的值为2。

b) 求解二次方程例题：求解方程x^2 + 3x - 4 = 0解析：使用因式分解或求根公式等方法，得出x的值为1或-4。

c) 求解不等式例题：求解不等式x + 2 < 5解析：将常数项移项，并计算得出x的值范围为(-∞, 3)。

2. 几何 (Geometry)本节主要包括了直线、角度、三角形和圆等几何形状的性质和应用。

其中，以下题目为考试中的重点：a) 直线与角度关系例题：若两条直线互相垂直，则它们的斜率之积等于多少？解析：两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1。

b) 三角形面积计算例题：已知三角形的底边长为5，高为4，计算其面积。

解析：三角形的面积等于底边长与高的乘积的一半，因此面积为10。

c) 圆的性质例题：已知圆的半径为3，计算其面积和周长。

解析：圆的面积等于半径的平方乘以π，因此面积为9π；圆的周长等于半径乘以2π，因此周长为6π。

3. 数列与级数 (Sequences and Series)本节主要包括了数列和级数等数学概念和应用。

其中，以下题目为考试中的重点：a) 等差数列的求和例题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求前5项的和。

解析：使用等差数列的求和公式，得出前5项的和为20。

b) 等比数列的求和例题：已知等比数列的首项为2，公比为3，求前4项的和。

解析：使用等比数列的求和公式，得出前4项的和为38。

gre数学难题集锦

数学无忧之最终幻想版1.正整数n有奇数个因子,则n为完全平方数2.因子个数求解公式:将整数n分解为质因子乘积形式,然后将每个质因子的幂分别加一相乘.n=a*a*a*b*b*c 则因子个数=(3+1)(2+1)(1+1)eg. 200=2*2*2 * 5*5 因子个数=(3+1)(2+1)=12个3.能被8整除的数后三位的和能被8整除;能被9整除的数各位数的和能被9整除.能被3整除的数,各位的和能被3整除.4.多边形内角和=(n-2)x1805.菱形面积=1/2 x 对角线乘积6.欧拉公式：边数=面数+顶点数-28.三角形余玄定理C2=A2+B2-2ABCOSβ,β为AB两条线间的夹角9.正弦定理:A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R(A,B,C是各边及所对应的角,R是三角形外接圆的半径)10.Y=k1X+B1,Y=k2X+B2，两线垂直的条件为K1K2=-111.N的阶乘公式:N!=1*2*3*....(N-2)*(N-1)*N 且规定0!=11!=1Eg:8!=1*2*3*4*5*6*7*812. 熟悉一下根号2、3、5的值sqrt(2)=1.414 sqrt(3)=1.732 sqrt(5)=2.23613. ...2/3 as many A as B: A=2/3*B...twice as many... A as B: A=2*B14. 华氏温度与摄氏温度的换算换算公式:(F-32)*5/9=C PS.常用计量单位的换算:（自己查查牛津大字典的附录吧）练习题:1：还有数列题：a1=2，a2=6，a n=a n-1/a n-2，求a150.解答: a n=a n-1/a n-2,所以a n-1=a n-2/a n-3,带入前式得a n=1/a n-3,然后再拆一遍得到a n=a n-6,也就是说,这个数列是以6为周期的,则a150=a144=...=a6,利用a1,a2可以计算出a6=1/3.如果实在想不到这个方法,可以写几项看看很快就会发现a150=a144,大胆推测该数列是以6为周期得,然后写出a1-a13(也就是写到你能看出来规律),不难发现a6=a12,a7=a13,然后那,稍微数数,就可以知道a150=a6了,同样计算得1/3.2：问摄氏升高30度华氏升高的度数与62比大小.key:F=30*9/5=54<623：那道费波拉契数列的题:已知,a1=1 a2=1 a n=a n-1+a n-2，问a1,a2,a3,a6四项的平均数和a1,a3,a4,a5四项的平均数大小比较.解答:费波契那数列就是第三项是前两项的和,依此类推得到a1-a6为:1 123 5 8 13 21 a1+a2+a3+a6=12, a1+a3+a4+a5=11,所以为大于.4：满足x^2+y^2<=100的整数对（x,y）有多少？key: 按照X的可能情况顺序写出:X= Y=11-921-931-941-951-861-871-781-691-4 ＝>Myanswer:加起来=695：24，36，90，100四个数中,该数除以它的所有的质因子，最后的结果是质数的是那个：Key:906:0.123456789101112….，这个小数无限不循环地把所有整数都列出来.请问小数点后第100位的数字是多少？Key:位数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 11 12 ………………………19 2020 21……………………………29 20 30……………………………… 39 20 40……………………………… 49 2050 51 52 53 54 55 56 ――――――第101位＝5？？7：2904x=y2（y的平方），x、y都是正整数，求x的最小值.因为：X^2×Y^2×Z^2=(X×Y×Z)^2所以把2904除呀除＝2×2×2×3×11×11＝2^2×11^2×6再乘一个6就OK了2^2×11^2×6×6＝（2×11×6）^2=132^2Key：最小的x＝68:序列A n=1/n-1/(n+1),n>=1,问前100项和.解答：An ＝1/n-1/(n+1)A n-1=1/(n-1)-1/nA n-2=1/(n-2)-/(n-1)………………………………………………A1＝1－1/2把左边加起来就是A n+A n-1+……+A1=1-1/(n+1) ...消掉了好多好多项之后的结果Key:把n＝100带入得前100项之和为100/1019:等腰三角形，腰为6.底边上的高为x,底边为y,问4x2+y2和144谁大解答:勾股定理得(y/2)2+x2=62,所以4x2+y2=14410:-1<r<t <0(有一数轴) question:r+r*t*t与-1的关系Key:我想的办法只能是尝试:原式=r(1+t*t)恒小于零1)r －1， t 0 则原式－12)r －1， t －1则原式－23)r 0 ， t 0 则原式 0例如：r＝-0.9 t=-1/3 时,原式=-1,若此时-0.9<t<-1/3 原式<-1 反之>-1.11:有长方形4feet*8feet,长宽各截去x inch,长宽比2：5，解答:列出方程:(4*12-x)/(8*12-x)=2/5=> x=161.排列(permutation):从N个东东(有区别)中不重复(即取完后不再取)取出M 个并作排列,共有几种方法：P(M,N)=N!/(N-M)!例如:从1-5中取出3个数不重复,问能组成几个三位数？解答：P(3,5)=5!/(5-3)!=5!/2!=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60 也可以这样想从五个数中取出三个放三个固定位置那么第一个位置可以放五个数中任一一个,所以有5种可能选法，那么第二个位置余下四个数中任一个,....4.....，那么第三个位置……3……所以总共的排列为5*4*3=60同理可知如果可以重复选(即取完后可再取),总共的排列是5*5*5=1252．组合(combination):从N个东东(可以无区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个(不作排列,即不管取得次序先后),共有几种方法C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!/(M-N)!/M!C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!/2!/3!=5*4*3/(1*2*3)=10可以这样理解：组合与排列的区别就在于取出的M个作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M!，那末他们之间关系就有先做组合再作M的全排列就得到了排列所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得组合公式性质:C(M,N)=C( (N-M), N )即C(3,5)=C( (5-2), 5 )=C(2,5) = 5!/3!/2!=103．概率概率的定义：P=满足某个条件的所有可能情况数量/所有可能情况数量概率的性质：0<=P<=11)不相容事件的概率：a,b为两两不相容的事件（即发生了a，就不会发生b)P(a或b)=P(a)+P(b)P(a且b)=P(a)+P(b)=0 (A,B不能同时发生)2）对立事件的概率:对立事件就是a+b就是全部情况,所以不是发生a,就是b发生,但是,有一点a,b不能同时发生.例如:a:一件事不发生b:一件事发生,则A,B是对立事件显然：P（一件事发生的概率或一件事不发生的概率）=1（必然事件的概率为1）则一件事发生的概率=1 - 一件事不发生的概率...........公式1理解抽象的概率最好用集合的概念来讲，否则结合具体体好理解写a,b不是不相容事件(也就是说a,b有公共部分)分别用集合A和集合B来表示即集合A与集合B有交集，表示为A*B （a发生且b发生）集合A与集合B的并集，表示为A U B （a发生或b发生）则:P（A U B）= P(A)+P(B)-P(A*B).................公式23）条件概率：考虑的是事件A已发生的条件下事件B发生的概率定义：设A，B是两个事件，且P（A）>0,称P（B|A）=P（A*B）/P（A）....................公式3为事件A已发生的条件下事件B发生的概率理解：就是P（A与B的交集）/P（A集合）理解: “事件A已发生的条件下事件B发生的概率”，很明显，说这句话的时候，A，B都发生了，求的是A，B同时发生的情况占A发生时的比例，就是A与B同时发生与A发生的概率比.4）独立事件与概率两个事件独立也就是说，A，B的发生与否互不影响，A 是A，B是B，用公式表示就是P（A|B）=P(A)所以说两个事件同时发生的概率就是：P（A U B）＝P（A）×P（B）................公式4练习题:1：A, B独立事件，一个发生的概率是0.6 ，一个是0.8，问：两个中发生一个或都发生的概率？解答：P＝P(A且!B)+P(B且!A)+P(A且B)=0.6*(1-0.8)+0.8*(1-0.6)+0.6*0.8=0.92另一个角度,所求概率P=1-P(A,B都不发生)=1-(1-0.8)*(1-0.6)=0.922：一道概率题：就是100以内取两个数是6的整倍数的概率.解答:100以内的倍数有6,12,18,...96共计16个所以从中取出两个共有16*15种方法,从1-100中取出两个数的方法有99*100种,所以P=(16*15)/(99*100)=12/505=0.0243：1-350 inclusive 中，在100-299inclusive之间以3,4,5,6,7,8,9结尾的数的概率.因为100-299中以3,4,5,6,7,8,9结尾的数各有20个,所以Key:（2*10*7）/350=0.44.在1-350中（inclusive），337-350之间整数占的百分比Key:(359-337+1)/350=4%5.在E发生的情况下，F发生的概率为0.45，问E不发生的情况下，F发生的概率与0.55比大小解答:看了原来的答案,我差点要不考G了.无论柳大侠的推理还是那个哥哥的图,都太过分了吧?其实用全概率公式是很好解决这个问题的,还是先用白话文说一遍吧:某一个事件A的发生总是在一定的其它条件下如B,C,D发生的,也就是说A的概率其实就是在,B,C,D发生的条件下A发生的概率之和.A在B发生时有一个条件概率,在C发生时有一个条件概率,在D发生时有一个条件概率,如果B,C,D包括了A发生的所有的条件.那么,A 的概率不就是这几个条件概率之和么.P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D)好了,看看这个题目就明白了.F发生时,E要么发生,要么不发生,OK?所以,P(F)=P(F|E)+P(F|!E) 感觉上也没错吧? 给了P(F|E)=0.45,所以P(F|!E)= P(F)-P(F|E)= P(F)-0.45如果P(F)=1,那么P(F|!E)=0.55如果0.45=<P(F)<1,那么0=<P(F|!E)<0.55如果…………，唉，我就不说你什么了…………sigh1.mode（众数）一堆数中出现频率最高的一个或几个数e.g. mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 02.range（值域）一堆数中最大和最小数之差 ,所以统计学上又称之为极差.(两极的差)e.g. range of 1,1,2,3,5 is 5-1=43.mean（平均数）arithmatic mean（算术平均数）: n个数之和再除以ngeometric mean （几何平均数）: n个数之积的n次方根4.median（中数）将一堆数排序之后，正中间的一个数（奇数个数字），或者中间两个数的平均数（偶数个数字）e.g. median of 1,7,4,9,2,2,2,2,2,5,8 is 2 median of 1,7,4,9,2,5 is (5+7)/2=65.standard error（标准偏差）一堆数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，除以这堆数的个数(n)e.g. standard error of 0,2,5,7,6 is:(|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.46.standard variation一堆数中，每个数与平均数之差的平方之和，再除以n标准方差的公式：d2=[(a1-a)2+(a2-a)2+....+(an-a)2 ]/ne.g. standard variation of 0,2,5,7,6 is: average=4 ((0-4)2 +(2-4)2+(5-4)2+(7-4)2+(6-4)2)/5=6.87.standard deviation就是standard variation的平方根 d8.the calculation of quartile(四分位数的计算)Quartile（四分位数）：第0个Quartile实际为通常所说的最小值（MINimum）；第1个Quartile（En：1st Quartile）；第2个Quartile实际为通常所说的中分位数（中数、二分位分、中位数：Median）；第3个Quartile（En：3rd Quartile）；第4个Quartile实际为通常所说的最大值（MAXimum）；我想大家除了对1st、3rd Quartile不了解外，对其他几个统计值的求法都是比较熟悉的了，而求1st、3rd是比较麻烦的.下面以求1rd为例：设样本数为n（即共有n个数），可以按下列步骤求1st Quartile：1．n个数从小到大排列，求(n-1)/4，设商为i，余数为j2．则可求得1st Quartile为：(第i+1个数)*(4-j)/4+(第i+2个数)*j/4例（已经排过序啦！）：1）.设序列为{5}，只有一个样本则：(1-1)/4 商0，余数01st=第1个数*4/4+第2个数*0/4=52）.设序列为{1,4}，有两个样本则：(2-1)/4 商0，余数11st=第1个数*3/4+第2个数*1/4=1.753）.设序列为{1,5,7}，有三个样本则：(3-1)/4 商0，余数21st=第1个数*2/4+第2个数*2/4=3 4）.设序列为{1,3,6,10}，四个样本：(4-1)/4 商0，余数21st=第1个数*1/4+第2个数*3/4=2.55）.其他类推！因为3rd与1rd的位置对称，这是可以将序列从大到小排（即倒过来排），再用1rd的公式即可求得：例（各序列同上各列，只是逆排）：1.序列{5}，3rd=52.{4,1}，3rd=4*3/4+1*1/4=3.253.{7,5,1}，3rd=7*2/4+5*2/4=64.{10,6,3,1}，3rd=10*1/4+6*3/4=79．The calculation of Percentile设一个序列供有n个数，要求（k%）的Percentile：（1）从小到大排序，求(n-1)*k%，记整数部分为i，小数部分为j可以如此记忆：n个数中间有n-1个间隔，n-1/4就是处于前四分之一处，（2）所求结果＝（1－j）*第(i＋1)个数＋j*第(i+2)个数特别注意以下两种最可能考的情况：（1）j为0，即(n-1)*k%恰为整数，则结果恰为第(i+1)个数（2）第(i+1)个数与第(i+2)个数相等，不用算也知道正是这两个数.注意：前面提到的Quartile也可用这种方法计算，其中1st Quartile的k%=25%2nd Quartile的k%=50%3rd Quartile的k%=75%计算结果一样.例：（注意一定要先从小到大排序的，这里已经排过序啦！）｛1，3，4，5，6，7，8，9，19，29，39，49，59，69，79，80｝共16个样本要求:percentile＝30%：则(16-1)*30%=4.5=4+0.5 i＝4，j＝0.5(1-0.5)*第5个数＋0.5*第6个数=0.5*6+0.5*7=6.510.To find median using Stem-and-Leaf (茎叶法计算中位数)Stem-and-Leaf method 其实并不是很适用于GRE考试,除非有大量数据时可以用这种方法比较迅速的将数据有序化.一般GRE给出的数据在10个左右,茎叶法有点大材小用.Stem-and-Leaf 其实就是一种分级将数据分类的方法.Stem就是大的划分,如可以划分为1～10，11～20，21～30…，而Leaf就是把划分到Stem一类中的数据再排一下序.看了例子就明白了.Example for Stem-and-Leaf method:Data：23，51，1，24，18，2，2，27，59，4，12，23，15，200| 1 2 2 41| 12 15 182| 20 23 23 24 275| 51 59Stem (unit) = 10Leaf (unit) = 1分析如下：最左边的一竖行 0, 1, 2, 5叫做Stem, 而右边剩下的就是Leaf(leaves). 上面的Stem-and-Leaf 共包含了14个data, 根据Stem及leaf的unit, 分别是： 1, 2, 2, 4 (first row), 12, 15, 18 (second row), 20, 23, 23, 24, 27(third row), 51, 59 (last row). Stem and Leaf其实就是把各个unit，比如个位，十位等归类了而已，一般是从小到大有序排列，所以在找Stem-and Leaf 找median的时候，一般不需要你自己把所有的数写出来从新排序.所以只要找到中间的那个数 (如果data个数是偶，则取中间两数的平均数), 就是median 了.这道题的median是18和20的平均值 =19. 大家在碰到这种题的时候都可以用上面的方法做，只要注意unit也就是分类的数量级就行了.为什么用Stem-and-Leaf 方法？可能你觉得这样做太麻烦了，其实Stem-and-Leaf 方法好处就是：你不必从一大堆数里去按大小挑数了，按照data给出的顺序填到表里就可以了.但是，GRE考试这样做是否值自己斟酌.我的方法，不就是找十来个数么？排序！在先浏一眼数据看看大致范围，然后在答题纸上按个的写，觉得小的写前面，大的写后面，写了几个数之后，就是把剩下的数儿们，一个个的插到已写的数中间么！注意尽可能的把数之间的距离留大一些，否则，如果某些数比较密集，呵呵，你会死的很惨的.11．To find the median of data given by percentage(按比例求中位数)给了不同年龄range, 和各个range的percentage, 问median 落在哪个range里. 把percentage加到50%就是median的range了.担小心一点，range首先要保证是有序排列.Example for this:Given: 10～20 = 20%, 30～50 = 30%, 0～10 = 40%, 20～30 = 10%, 问median在哪个range里.分析：千万不要上来就加，要先排序，切记！！重新排序为： 0～10 = 40%, 10～20 = 20%, 20～30 = 10%, 30～50 = 40%. 然后从小开始加， median（50％）落在 10～20这个range里.如果觉得比较玄乎，我的方法，GRE大部分的题都可以这么搞.0～10岁 40匹ETS猪，10～20岁 20匹ETS 猪，20～30岁匹ETS猪，30～50岁匹ETS猪，这100匹ETS猪按着年龄排下来，你说第五十匹ETS猪的年龄落在那个范围.(原题: 说一堆人0-10岁占 10%,11-20岁占12%,21-30岁占 23%,31-40岁占 20%,〉40岁占 35%,问median 在什么范围?)12：比较,当n<1时，n，1，2 和1，2,3的标准方差谁大standard error 和 standard variation (作用=standard deviation)都是用来衡量一组数据的离散程度的统计数值,只不过由于standard error中涉及绝对值,在数学上是很难处里的所以,都用标准方差,实际上standard error更合理一些,它代表了数据和平均值的平均距离.很明显题目中如果n=0的话,0,1,2的离散程度应该和1,2,3的离散程度相同.如果n<0,则n,1,2,的离散程度大于后者,而0<n<1的话,则后者大于前者,但是n为整数,这种情况不成立.故而Key:n是整数，前〉=后(n=0,等；n=-1,-2,……大于)13.算数平均值和加权平均值三组数据的频数分布FREQUENCY DISTRIBUTION：1（6），2（4），3（1），4（4），5（6）1（1），2（4），3（6），4（4），5（1）1（1），2（2），3（3），4（4），5（5）其中括号里的是出现的频率，问MEAN和AVERAGE相等的有那些.答案：只有第二个.mean-arithmetic mean 1+2+3+4+5）/ 5 = 3average-weighted average 加权平均值:(1*1+2*4+...5*1)/(1+4+6+4+1)=48/16=314.正态分布题.一列数从0到28，给出正态分布曲线.75%的percentile 是20，85%的percentile是r,95%的percentile是26,问r与23的大小.Key:r<23下面是来自柳大侠的七种武器中的正态分布15．正态分布高斯分布（Gaussian）（正态分布）的概率密度函数为一钟型曲线，即222)(221)(σπσaxexp--=a为均值，σ为标准方差，曲线关于x=a的虚线对称，σ决定了曲线的“胖瘦”，形状为：如果把曲线的片段放大就比较清楚了.O为AB的中点. A(20, 75%)B(26, 95%)O(23, 85%)C(r, 85%)由于曲线上凸，显然C的横坐标小于O，所以r<23. 只要画一下图就很easy了.2) 正态分布题好象是：有一组数平均值9，标准方差2，另一组数平均值3，标准方差1，问分别在（5，11）和（1，4）中个数(概率)谁大，应该是相等.解：令图1中的曲线a=0, 1=σ, 就得到了标准正态分布，曲线如图3.此时问分布在区间（x1, x2）的概率，就是图中的阴影ABOCax1 x2图3面积.注意此时的曲线关于x=0对称.（★）对于一般的正态分布，可以通过变换，归一化到标准的正态分布，算法为：设原正态分布的期望为a ，标准方差为σ,欲求分布在区间（y1, y2）的概率，可以变换为求图3中分布在（x1, x2）间的概率.其中σay x -=.比如题目中a=9，2=σ, 区间为（5, 11），则区间归一化为(－2，1)，即22951-=-=x 129112=-=x同理，a=3，1=σ, 区间为（1, 4），则区间归一化后也为(－2，1).所以两者的分布概率相等.估计最难的题也就是利用钟型曲线的对称性，比如归一化后的区间并不相同，而是(-2,1)和（-1,2），但根据对称性，仍然可以比较概率的大小.代数部分 1. 有关数学运算add ，plus subtract difference multiply, times product divide divisible 可被整除 divided evenly 被整除dividend divisor 因子，除数 quotient 商 remainder factorial power radical sign, root sign根号round toto the nearest 四舍五入 2. 有关集合 unionproper subsetsolution set3.algebraic term 代数项 like terms, similar termsnumerical coefficientliteral coefficient inequality 不等triangle inequality range值original equation equivalent equationlinear equation 线性方程(e.g. 5x +6=22)4.proper fraction improper fraction 假分数mixed number vulgar fraction ，common fraction simple fraction complex fraction numerator denominator(least) common denominatorquarter decimalfraction infinite decimal 无穷小recurring decimal tenths unit 十分位5.arithmetic mean weighted average 加geometric meanexponent base 乘幂的底数, cubesquare root cube root common logarithm digit constant variable inverse function complementary functionlinearfactorization absolute value 绝对值， e.g.｜-32｜=32round off 四舍五入 6.natural number positive numbernegative number odd integer, odd number 奇even integer, even number integer, whole number positive whole number 正整数 negative whole number consecutivenumber real number, rational number 实数, irrational （number ） inverse composite number 合数 prime number 质数reciprocal common divisor 公multiple (least)common multiple (最小) (prime) factor (质) common factor ordinary scale, decimal scale nonnegative tens 十位 units mode median common ratio 7.arithmetic progression(sequence) geometric progression(sequence)8.approximate (anti)clockwise (逆) 顺时针cardinal ordinal direct proportion distinct estimationparentheses proportion 比例permutation combination tabletrigonometric function unit 单位, 几何部分 1. 所有的角alternate angle corresponding angle 同vertical angle central angle 圆 interior angle exterior angle 外角 supplementary angles complementary angle adjacent angle acute angleobtuse angle right angle round anglestraight angleincluded angle 2.equilateral triangle scalene triangle isosceles triangle 等腰right triangle oblique 斜 inscribed triangle3.semicircle concentric circles quadrilateral pentagon hexagon heptagon octagon 八边nonagon decagon polygonparallelogram equilateral plane squarerectangle regular polygon 正多边 rhombus trapezoid 4.arcline, straight line line segment parallel lines segment of acircle5.cuberectangular solidregular solid/regular polyhedron circular cylinder cone sphere 球solid6.altitude depth side circumference, perimeter radian surface area volume arm 直角三角cross section center of acircle chord radius angle bisector diagonal diameteredge face of a solid hypotenuse included side leg 三角median of a trianglebase 底边，底数（e.g. 2的5次方，2 opposite midpoint endpoint vertex (复数形式vertices) tangent transversalintercept7.coordinate system rectangularcoordinate origin abscissaordinate number linequadrant slope complex plane 复平面8.plane geometry trigonometrybisect circumscribe inscribe 内切 intersectperpendicular pythagorean theorem congruent 全等的 multilateral1.cent penny 一美分硬币 nickel 5美分硬币 dime dozen 打（12 score 廿(20个) Centigrade Fahrenheit quart gallon 加仑(1 gallon = 4 quart) yard 码 meter micron inch foot 英 minute 分(角度的度量单位，60分=1度)square measure cubic meterpint 品脱(干量或液量的单位)2.intercalary year(leap year) 闰年(366天) common year 平年(365天) depreciation down payment discount margin 利润 profit interest simple interest compounded interest dividend 红利 decrease to decrease byincrease to increase by denote list price markup per capita ratio retail pricetie 打平救命三招1.代数法往变量里分别代三个数（最大，最小，中间值）看看满足不满足2.穷举法分别举几个特例，不妨从最简单的举起，然后总结一下规律3.圆整法对付计算复杂的图表题，不妨四舍五入舍去零头，算完后看跟那个答案最接近即可无论你赞同何种观点，形成一套自己的解题思路是尤为重要的。

gre数学经典难题

gre数学经典难题
一些经典的GRE数学难题包括：
1. 在一个圆形花园四周围有一条路径，该路径有固定的宽度，以米为单位。

如果路径的宽度是2米，花园的直径是10米，
则路径的面积是多少？
2. 一辆汽车以每小时40英里的速度行驶了3个小时。

如果在
此后的旅程中汽车以每小时60英里的速度行驶，那么整个旅
程的平均速度是多少英里/小时？
3. 若一个正整数n除以14余9，且n除以21余15，则n除以35余几？
4. 一个圆形的湖泊中有一块小岛，小岛上有一个塔。

从湖畔的一个距离塔20米的观景台向小岛上的塔测量，得到的角度是
30度。

从湖畔另一个距离塔30米的观景台向塔测量，得到的
角度是60度。

那么，小岛上的塔的高度是多少米？
这些问题涵盖了几个不同的数学概念，如几何、代数和比例等。

通过解决这些难题，可以提高数学逻辑思维和解题能力。

gre数学经典难题

gre数学经典难题1. 费马大定理：对于大于2的整数n，不存在正整数解使得a^n + b^n = c^n成立。

其中a、b、c为整数，n>2。

这个问题是在17世纪由法国数学家皮埃尔·德·费马提出并称为“最后的定理”。

这个问题一直困扰着数学界，直到1994年安德鲁·怀尔斯证明了费马大定理。

2. 黎曼猜想：对于所有大于1的自然数n，皆存在复数s，使得ζ(s) = 0。

其中ζ(s)代表黎曼ζ函数。

这个问题是由德国数学家伯纳德·黎曼于1859年提出，并在他的一篇论文中做出了重要的猜想。

该猜想对数论和解析数论有重要影响，但至今仍未被证明。

3. 四色定理：对于任何一张地图，只需要使用四种颜色就能够给地图上的所有区域正确着色，使得相邻的区域不会有相同的颜色。

这个问题源于1852年，被彼得·古斯塔夫·勒谢斯尔·鲁尔夫提出，并被称为“四色猜想”。

经过数十年的努力，直到1976年，该问题被肯尼斯·阿普尔和沃尔夫冈·黑肯证明为正确。

4. 正五边形作园：能否用尺规作出一个面积和一个已知正方形相等的正五边形？这个问题最早由古希腊数学家伊巴泰斯提出，在公元三世纪时成为了热门问题。

直到19世纪初，法国的阿道夫·昆特和瑞士的尔尼斯特·里希特多夫独立证明了无法通过尺规作园解决该问题。

5. 无穷小的比较：对于两个无穷小序列，a_n和b_n，当n趋于无穷时，如何判断它们的相对大小？这个问题涉及到极限和无穷小的概念，是微积分中的一个经典难题。

解决这个问题需要利用数列极限的定义和性质，并进行推理和比较。

这些经典难题代表了数学中一些长期未解决的问题，它们在数学发展中具有重要的影响和意义。

2023GRE数学冲刺题库

2023GRE数学冲刺题库GRE数学部分是许多考生心头的大患，因为其题量大、难度高，需要考生具备扎实的数学基础和灵活运用的能力。

为了帮助考生高效备考，提高数学成绩，在这里我们整理了一份2023GRE数学冲刺题库，希望对大家的备考有所帮助。

1. 数与代数题（共100题）1.1 整数与有理数1.1.1 求两个整数的最大公约数和最小公倍数1.1.2 解一元一次方程与不等式1.2 代数基础1.2.1 分式与整式1.2.2 多项式运算与特殊式展开1.2.3 解二元一次方程组1.2.4 求根与韦达定理1.3 指数与对数1.3.1 指数与幂1.3.2 对数与对数函数1.3.3 常见对数与自然对数1.3.4 对数运算与指数方程2. 几何与三角题（共200题）2.1 平面几何基础2.1.1 平面图形的性质与计算2.1.2 平面坐标系与平移旋转2.1.3 平行线与垂直线的性质2.1.4 勾股定理与三角形的性质2.2 空间几何基础2.2.1 空间图形的性质与计算2.2.2 空间坐标系与空间平移旋转2.2.3 平行线与垂直线的性质扩展2.2.4 球面几何与平面的交点计算2.3 三角函数与三角恒等式2.3.1 任意角的三角函数值2.3.2 三角函数的图像与性质2.3.3 三角恒等式与三角方程2.3.4 正弦定理与余弦定理的应用3. 统计与概率题（共150题）3.1 数据的整理与分析3.1.1 表格与图形的读取与应用3.1.2 数据的描述性统计分析3.1.3 数据的排列组合与概率3.2 概率与统计基础3.2.1 随机事件与概率3.2.2 加法原理与条件概率3.2.3 独立事件与全概率公式3.2.4 正态分布与抽样理论4. 计算题（共150题）4.1 快速计算技巧4.1.1 简化计算过程4.1.2 近似计算与取舍原则4.2 手算与心算训练4.2.1 乘除法口诀及快速计算技巧4.2.2 心算技巧与应用练习4.3 计算器的使用与技巧4.3.1 计算器的基本操作4.3.2 计算器在数学题中的应用以上是2023GRE数学冲刺题库的大致内容。

GRE-数学知识全部总结

数学总结主要符号数的概念和特性*几个GRE 最常用的概念：偶数(even number)：能被2整除的整数；奇数(odd number)：不能被2整除的数；质数(prime number)：大于1的整数，除了1和它本身外，不能被其他正整数所整除的，称为质数。

也叫素数；（学过数论的同学请注意，这里的质数概念不同于数论中的概念，GRE 里的质数不包括负整数）倒数(reciprocal)：一个不为零的数为x,则它的倒数为1/x 。

*最重要的性质：奇偶性：偶加偶为偶，偶减偶为偶，偶乘偶为偶；奇加奇为偶，奇减奇为偶，奇乘奇为偶；奇加偶为偶，奇减偶为偶，奇乘偶为偶。

等差数列GRE 数学中绝大部分是等差数列，d n a a n )1(1-+=，形式主要为应用题。

题目会说三年稳步增长第一年的产量是x,第三年的产量是y,问你的二年的产量。

数理统计 *众数(mode)一组数中出现频率最高的一个或几个数。

例：mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 0。

*值域(range)一组数中最大和最小数之差。

例：range of 1,1,2,3,5 is 5-1=4*平均数(mean ）算术平均数（arithmetic mean ） *几何平均数(geometric mean ） n 个数之积的n 次方根。

*中数(median)对一组数进行排序后，正中间的一个数（数字个数为奇数），或者中间两个数的平均数（数字个数为偶数）。

例： median of 1,7,4,9,2,5,8 is 5 median of 1,7,4,9,2,5 is (5+7)/2=6 ps:GRE 经常考察众数与数的个数的积和这组数的和的大小。

*标准偏差(standard error)一组数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，再除以这组数的个数n 例：standard error of 0,2,5,7,6 is: (|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.4 *standard variation一组数中，每个数与平均数之差的平方和，再除以这组数的个数n 例： standard variation of 0,2,5,7,6 is:_ 2 2 2 2 2_ |_(0-4) +(2-4)+(5-4)+(7-4)+(6-4)_|/5=6.8 *标准偏差(standard deviation)standard deviation 等于standard variation 的平方根ps :GRE 经常让你比较众数或中数与数的个数的乘积和这组数的和的大小，可以举几个极限情况的例子验证一下。

GRE考试数学考题算术的总结

GRE考试数学考题算术的总结1、A、B两事件独立。

A、B同时发生的机率为0、3，A单独发生的机率为0、5，问发生B的机率与0、5比大小?。

key：A发生的概率为0、5+0、3=0、8；(AB)=0、3=P(A)*P(B)=0、8*P(B)(因为?A、B对立)?所以P(B)=0、375<>解：因为A单独发生的机率为0、5并不包括AB同时发生的情况，所以A发生的概率应该是：A单独发生和AB同时发生概率之和即P(A)=0、5+0、3=0、8P(A)*P(B)=P(AB)。

P(B)=P(AB)/P(A)=0、3/0、8=0、3752、A出现的概率是0、6?，?B?出现?0、8，?问A?or?b?or?both、出现的概率与?0、92比较大小。

解：~P(A)=1-0、6=0、4?~P（B）=1-0、8=0、2?~a*b=0、2*0、4=0、08?1-0、08=0、92所以是C、3、从320人中挑一人，挑中女生的概率是0、65，问这群人里女比男多的数和100比大小。

解：因为只挑一人，所以此题的概率其实就是百分比：男女生人数差异为320*（0、65-0、35）=96?所以100大，选B4、从?1到100?选两个不同的数，两者皆为6的倍数的机率？（注意！是两个不同的数！）解：100里共有6的倍数的个数100/6=16余4，那么共有16个?C（2?16）/C（2?100）=4/165=2、42%5、五个球，两个红、三个蓝，随机取两个，至少一个为蓝的概率。

解：1-C（2?2）/?C?（2?5）=1-1/10=9/10附：?至少一个为红的概率：1-C（2?3）/C?（2?5）=1-3/10=7/10?6、从STAR和AMSS中各选一个letter，它们相同的概率。

（选出S的概率是1/4*1/2=1/8，选出A的概率是1/4*1/4=1/16，两者相加=3/16）7、一种试验有三种结果p，p/2，p/4，问p?于1-p?大小??解：my?key:p=4/71-p=3/7?所以?p>1-p、8、在一条数轴上有两个负数，三个正数。

GRE数学统计学难点总结

GRE数学统计学难点总结
GRE数学统计学难点总结
GRE数学统计学知识难点总结，本文就GRE数学统计学知识难点做总结，希望可以给大家提供一些参考，预祝大家取得理想的GRE考试成绩。

1.mode
一堆数中出现频率最高的一个或几个数
e.g. mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 0
2.range
一堆数中最大和最小数之差 ,所以统计学上又称之为极差
e.g. range of 1,1,2,3,5 is 5-1=4
3.mean
arithmatic mean: n个数之和再除以n
geometric mean : n个数之积的n次方根
4.median
将一堆数排序之后，正中间的.一个数，
或者中间两个数的平均数
e.g. median of 1,7,4,9,2,2,2,2,2,5,8 is 2
median of 1,7,4,9,2,5 is /2=6
5.standard error
一堆数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，除以这堆数的个数
e.g. standard error of 0,2,5,7,6 is:
/5=2.4
6.standard variation
一堆数中，每个数与平均数之差的平方之和，再除以n
标准方差的公式：d2=/n
e.g. standard variation of 0,2,5,7,6 is: average=4。