作用力和反作用力做功
作用力和反作用力做功的几种情况分析
作用力和反作用力做功的几种情况分析作用力与反作用力发生在相互作用的两个物体之间，作用力与反作用力的功的问题实质上就是寻找力的方向上的位移问题。
在这里我从几个实例出发，就有关作用力做功与反作用力做功的几种类型进行了分析，以帮助同学们理清思路，提高分析问题的能力。
一、作用力与反作用力均不做功例1.如图1所示，质量为m1的a物体和质量为m2的b物体在水平拉力f的作用下，一起沿光滑水平面向右运动，当运动距离为s 时，这一过程中，a物体对b物体的支持力做功大小？b物体对a 物体的压力做功大小？解析a物体对b物体的支持力与b物体对a物体的压力是一对作用力与反作用力。
物体运动距离为s过程中，由于a物体对物体的支持力fn在这一方向上物体的位移为零，所以a物体对b物体的支持力fn做的功一定为零。
同样分析，b物体对a物体压力f′n 做的功也一定为零。
此题也可进一步分析得出地面对a物体的支持力和a物体对地面的压力这一对作用力与反作用力均不做功。
二、作用力做功，反作用力不做功例2.如图1所示，质量为m1的a物体和质量为m2的b物体在水平拉力f的作用下，一起沿粗糙水平面向右运动，设动摩擦因数为μ，运动距离为s，求地面对a物体摩擦力做功的大小和a物体对地面摩擦力做功的大小？解析：从整体上分析，a和b组成的系统受四个力的作用：重力（m1+m2）g，地面对系统的摩擦力f，地面支持力fn，拉力f。
地面对a物体的摩擦力与a物体对地面的摩擦力是一对作用与反作用力。
地面对物体a的摩擦力为：f=μ（m1+m2）g。
当系统运动距离为s时，地面对a物体的摩擦力做功大小为：w=fs=μ（m1+m2）gs。
但由于地面处于静止状态，在a物体对地面摩擦力的方向上位移为零，所以a物体对地面摩擦力做功大小为零。
三、作用力做正功，反作用力也做正功例3.如图2所示，两个用条形磁铁做成的小车a和b，原来静止放在光滑水平面上，现从静止状态同时开始释放它们，分析以后的过程中它们之间的力的做功情况？解析：如图所示的小车之间表现为相互吸引力，这是一对作用力与反作用力。
对作用力和反作用力做功的探讨
对作用力和反作用力做功的探讨在物理学中，作用力和反作用力是一个经典的概念。
它们是描述物体之间相互作用的力的两个方面。
作用力是一个物体对另一个物体施加的力，而反作用力则是相对作用力的力，作用于施加作用力的物体上。
在这篇文章中，我们将探讨作用力和反作用力在做功方面的作用。
首先，我们需要理解什么是做功。
在物理学中，功可以定义为力对物体施加的作用导致物体发生位移时所做的工作。
数学上可以表示为：功（W）= 力（F）× 位移（d）× cosθ其中，W是功，F是力，d是位移，θ是力与位移之间的夹角。
当我们谈论作用力和反作用力时，需要注意的是，它们的大小相等，方向相反。
也就是说，如果物体A对物体B施加一个力F，那么物体B就会对物体A施加一个大小相等但方向相反的反作用力-F。
这是牛顿第三定律的内容。
当一个物体施加作用力时，它会对另一个物体做功。
这是因为作用力对物体施加的力导致了物体的位移。
而根据功的定义，如果力存在且有位移，就会有功。
例如，考虑一个推车的例子。
当我们用力推车时，我们对推车施加了一个作用力。
这个作用力导致了车的位移，因此我们对推车做了功。
然而，根据牛顿第三定律，车也对我们施加了一个大小相等但方向相反的反作用力。
这个反作用力也会对我们做功。
但是，由于我们与推车的位移方向相反，所以角度θ为180°。
根据功的公式，cosθ=-1，所以推车对我们做的功为-Fd，与我们对推车做的功相等但符号相反。
上述例子表明，无论是作用方还是反作用方，力都对对方做了功。
这是因为力对物体施加作用导致了物体的位移。
按照功的定义，只要存在力且有位移，就会有功。
总结一下，作用力和反作用力在做功方面起着相同的作用。
无论是作用方还是反作用方，力对对方都做了功。
这是因为力对物体施加作用导致了物体的位移。
根据功的定义，力存在且有位移就会有功。
所以，作用力和反作用力在做功方面没有本质的区别。
然而，在实际问题中，可能会出现一些物体施加的作用力对其他物体做功，而其他物体对该物体施加的反作用力对该物体没有做功的情况。
浅谈摩擦力做功及作用力、反作用力做功
浅谈摩擦力做功及作用力、反作用力做功作者：徐正恒来源：《物理教学探讨》2008年第06期摩擦力做功及作用力、反作用力做功是教学的一个难点，也是高考的一个热点。
有的学生认为摩擦力总是做负功，作用力、反作用力一个做正功，另一个做负功，总功一定为零。
为了弄清这些问题，纠正学生中错误观点，下面就这些问题作一个简单的分析。
1 摩擦力做功1.1 静摩擦力做功：可以做正功、做负功、也可以不做功例手握一物体匀速向上、匀速向下及水平匀速运动时，静摩擦力分别对物体做正功、做负功和不做功。
在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其它形式的能。
一对静摩擦力所做的总功总是为零。
可以分别从做功和能量转化的角度来理解：（1）做功角度：因为这对静摩擦力的位移总是大小相等、方向相同，一个静摩擦力做正功，另一个静摩擦力做负功，总功为零。
（2）能量转化角度：没有机械能与其它形式的能的转化，只是物体间机械能的转移。
1.2 滑动摩擦力做功：可以做正功、做负功，也可以不做功如图1，滑动摩擦力f对A不做功，对B做负功一对滑动摩擦力所做总功总是为负。
因为这对滑动摩擦力的位移大小不相等，滑动摩擦力做功要生热，有机械能的减小，产生的热量为：ΔE=Q=f滑×S相如图2所示，质量为m的小木块A以水平初速度v0滑上静止于光滑水平面上质量为M的长木板B的左端，最后A、B一起以速度v匀速运动。
试分析A、B之间的滑动摩擦力f的做功情况及相应的能量变化。
对A物体f做负功：WA=-fSA=12mv2-对B物体f做正功：对A、B物体系：滑动摩擦力f对A、B系统做的总功：W=WA+WB=-f(SA-SB)=-fS相=12（M+m）v2-12mv20即：｜W｜=fS相=Q=ΔE=12mv20-典型问题：子弹射击木块问题中摩擦力做功与相应的能量变化。
例题一木块静止在光滑的水平面上，一颗子弹沿水平方向射入木块，若子弹进入木块的最大深度为S1，与此同时木块沿水平面移动的距离为S2，设子弹在木块中受的摩擦阻力大小不变，则在子弹进入木块的过程中：（）A.子弹损失的动能与木块获得的动能之比为（S1+S2）：B.子弹损失的动能与系统转化为内能的动能之比为（S1+S2）：C.木块获得的动能与系统转化为内能的动能之比为S2：D.木块获得的动能与系统转化为内能的动能之比为S1：解由动能定理得，子弹损失的动能（S1+S2），木块增加的动能，系统转化为内能的动能部分ΔEk=Q=f·S1。
_摩擦力和作用力与反作用力做功
功第三课时
一、摩擦力做功
1、静摩擦力一定不做功吗?
AFf
B
f
静摩擦力对A做负功 静摩擦力对Ｂ做正功
W=-fL
Ｗ＝fL
一对静摩擦力做功之和必定为零
例题1
小木块置于旋转的水平转台上，随转 台一做起匀速转动，小木块受到的摩擦
力对木块—不——做—功。
总结：静摩擦力做功的特点：
（1）静摩擦力可以做正功，也可 以做负功，还可以不做功。
（2）相互摩擦的系统内，一对静 摩擦力所做功的代数和总为零。
2、滑动摩擦力一定做负功吗?
滑动摩擦力对滑块做负功
v0
滑动摩擦力对桌面不做功
Lm
滑动摩擦力即可以 m v0
做正功，也可以做负
M
功，还可以不做功。 LM
滑动摩擦力f对m做负功 W1=- f Lm 滑动摩擦力f对Ｍ做正功 W2= f LM
一对滑动摩擦力对物体作功之和必定为负功
例题8
一个木箱放置在匀加速上升的自动扶梯上，随
自动扶梯一起上升，跟扶梯保持相对静止。木箱所
受的重力对木箱做—负————功，木箱所受的弹力对木
箱做—正————功。木箱所受的摩擦力对木箱做
正
———
——功。
N
f
a
G
三、作用力与反作用力做功
例题9
（1）若如下图A、B 两辆小车上各放一个强磁铁，各以速
度V相向运动，两磁体间的相互作用力对A车做--负-----功,两磁 体间的相互作用力对B车做--负-----功
不要以为作用力与反作用力大小相等、方向相 反，就一定有作用力、反作用力的功数值相等，总 功为零。
例题10
下列说法正确的是： （ A ）
高一物理牛顿第三定律试题答案及解析
高一物理牛顿第三定律试题答案及解析1.在某次游戏中，两位同学对面站立、手掌相对并用力推对方，关于这两个人的推力下列理解正确的是（）A．力气大的一方给对方的推力大于对方给他的推力B．由于作用力和反作用力总是大小相等的，所以谁也推不动对方C．两人的推力同时出现，同时增大，同时消失D．两人的推力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，因此是一对平衡力【答案】C【解析】两位同学对面站立、手掌相对并用力推对方，这两个人的推力属于作用力和反作用力（不是平衡力），总是大小相等的，同时变化的，A、D错误，C正确；每个人受到多个力的作用，无法判定谁能够推动谁，B错误.【考点】本题考查了牛顿第三定律。
2.如图所示，一个质量为M的人，站在台秤上，一长为R的悬线一端系一个质量为m的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，求：（1）若小球恰能通过圆轨道最高点，求小球通过最低点时对绳子拉力的大小。
（2）若小球恰能在竖直平面内做圆周运动，求台秤示数的最小值。
【答案】（1）6mg（2）【解析】（1）恰好圆周时，在最高点：从最低点到最高点，由动能定理：在最低点：得：由牛顿第三定律：（2）设小球经过图示位置Q点的速度为v，与竖直方向夹角为θ，则从P到Q：在Q点：得：其竖直方向的分量为：由数学关系可知，当，最小则台秤示数的最小值为：【考点】圆周运动点评：本题考查了圆周运动相关的向心力方程的列式求解过程。
通过受力分析便能找到向心力来源。
3.吊在大厅天花板上的吊扇的总重力为G，静止时固定杆对吊环的拉力大小为F，当接通电源，让扇叶转动起来后，吊杆对吊环的拉力大小为F′，则有()A．F＝G，F′＝F B．F＝G，F′>FC．F＝G，F′<G D．F′＝G，F′>F【答案】C【解析】吊在大厅天花板上的吊扇的总重力为G，静止时固定杆对吊环的拉力大小为F,两个力属于二力平衡，所以F=G，由于向下有风，根据反作用力的知识可求F′<G，答案为C【考点】作用力与反作用力点评：本题考查了相互作用力和平衡力之间的区别和联系。
作用力与反作用力做功特点静摩擦和动摩擦力做功特点
作用力与反作用力做功特点静摩擦和动摩擦力做功特点作用力与反作用力是牛顿第三定律的核心内容，它指出：任何两个物体之间的作用力和反作用力是大小相等、方向相反、类型相同的一对力。
作用力与反作用力之间的关系可以用以下公式表示：F_{12}=-F_{21}，其中F_{12}表示物体1对物体2的作用力，F_{21}表示物体2对物体1的反作用力。
1.大小相等：根据牛顿第三定律，作用力与反作用力的大小相等。
因此，两个物体之间相互转移的能量是相等的。
2.方向相反：作用力与反作用力的方向是相反的。
例如，一个物体向左施加力，那么它对另一个物体的作用力的方向是向左，而另一个物体对它的反作用力的方向是向右。
这种相反的方向使得能量在两个物体之间传递。
3.类型相同：作用力与反作用力的类型相同，例如重力、电磁力、弹力等。
这意味着它们能够通过相同的机制进行能量转移和转换。
4.能量转移：作用力与反作用力之间的功相等，且能量可以在两个物体之间转移。
例如，一个物体对另一个物体施加作用力时，它所作的功会转移到另一个物体上，使另一个物体获得动能或势能。
静摩擦和动摩擦力做功特点：摩擦力是物体表面接触时产生的一种阻碍两个物体相对滑动的力。
它可以分为静摩擦力和动摩擦力。
静摩擦力是物体在相对静止情况下产生的摩擦力，而动摩擦力是物体在相对运动情况下产生的摩擦力。
以下是静摩擦力和动摩擦力做功的特点：1.静摩擦力做功特点：-静摩擦力只存在于物体尚未发生滑动时，当施加的外力小于或等于静摩擦力时，物体保持静止。
静摩擦力的大小等于施加在物体上的最大外力，即静摩擦力的极限。
-静摩擦力做功时，物体没有产生位移，因为静摩擦力的方向恰好与外力的方向相反，从而使得两个力抵消，物体保持静止。
因此，静摩擦力做功为零。
2.动摩擦力做功特点：-动摩擦力存在于物体相对滑动或相对滑动趋势的情况下。
它的大小往往小于或等于静摩擦力。
-动摩擦力做功时，物体产生位移，并且与位移方向相反。
作用力和反作用力做功
作用力和反作用力做功引言牛顿第三运动定律告诉我们，作用力和反作用力是大小相等，方向相反的，在解决质点组动力学问题时，经常要涉及到作用力和反作用力做功问题。
根据牛顿第三定律知作用力和反作用力是大小相等、方向相反的，作用力和反作用力所做的功是不是总是大小相等、方向相反,代数和总是为零？作用力和反作用力做功及其代数和与参考系的选取有什么关系呢?1 作用力与反作用力的做功并不一定是大小相等、方向相反在质点组内任选两个质点1和2,它们之间的作用力与反作用力为12F 和21F ，二质点相对选定的参照系的位置矢量分别为1r 和2r ，如图1所示，二质点分别沿图1中的虚线轨迹运动，根据功的定义，12F 和21F 做功分别为1121W F dr =⋅⎰ 2212W F dr =⋅⎰在式中由于12F 21F =-，作用力和反作用力作用于不同的质点，二质点沿不同的路径运动，所以12F 和21F 所作用的质点的位移是相互独立的，因此尽管每时每刻作用力和反作用力大小相等，方向相反，12F 21F =-，但1W 和2W 确不一定等值反号，只要12F 与1dr 的夹角为锐角，21F 与2dr 的夹角也为锐角，这对作用力与反作用力就可以同时做正功；同理若都为钝角，则都做负工，同时也会出现一个为零，即一个做功一个不做功的情况。
将dr 分解为与r 水平方向和垂直方向的二分位移1d r 和2d r ，力F 只在平行的分位移2d r 上起做功，如图b 所示，力F 在r 方向上的投影为r F ，于是做功ˆˆ()r rdA F r drr F dr =⋅= ˆr为r 上的单位矢量，由此式进一步表明二质点作用力和反作用力的做功之和决定于力和质点间相对距离的改变。
元功dA 的正负由r F 和dr 的正负决定，只有当二质点沿力的方向上无相对运动时，作用力和反作用力的和等于0！例，开普勒第三运动定律指出，行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上，若两行星在太空中作大小不等的椭圆运动，当他们分别由各自的远日点向近日点运动时，他们之间的万有引力分别与受力点的位移夹锐角，如图2 所示，所以这对作用力与反作用力同时做正功，当他们分别由近日点向远日点运动时，他们之间的万有引力和受力点的位移夹钝角，这时候作用力和反作用力做负工。
作用力与反作用力做功
作用力与反作用力做功作用力和反作用力在物理学中是非常重要的概念。
作用力是指一个物体对另一个物体施加的力，而反作用力则是第二个物体对第一个物体施加的力。
这种作用和反作用的力是相互作用力的一种表现形式。
根据牛顿第三定律，作用力和反作用力的大小相等，方向相反。
这意味着如果一个物体对另一个物体施加了一个力，那么另一个物体将以相等大小的反作用力对第一个物体施加一个力。
这是一个基本的物理原理，也是许多物理现象的重要基础。
首先，让我们来看一下作用力和反作用力的概念。
作用力是一个物体施加在另一个物体上的力。
例如，当我们向前推一辆停在原地的汽车时，我们施加了一个作用力。
在这个过程中，我们向前推车的手向前施加了一个力，而车以相等大小的反方向的力对手施加了一个反作用力。
这就是为什么车在我们推它的同时会向后移动一小段距离。
作用力和反作用力之间存在一个重要的关系，即它们的大小相等，方向相反。
这是因为物体通过相互作用来影响彼此。
例如，在摩擦力的情况下，当一个物体施加一个力以推动另一个物体时，两个物体之间存在摩擦力。
作用于前一个物体的摩擦力与作用于后一个物体的摩擦力大小相等，方向相反。
这就是为什么在摩擦力的作用下，两个物体之间的相对运动受到阻碍。
作用力和反作用力不仅仅存在于物体之间的相互作用中，它们也在其他物理现象中起到了重要的作用。
例如，当我们行走时，我们脚对地面施加了一个作用力，而地面以相等大小的反向力对我们施加了一个反作用力。
这就是我们能够在地面上行走的原因。
作用力和反作用力也可以在机械工作中发挥重要作用。
例如，当我们使用撬杆时，我们施加一个作用力以移动物体。
撬杆通过对物体施加一个反作用力来产生运动。
同样地，当我们使用绳索或拉索时，我们施加一个作用力以拉动物体。
绳索对物体施加一个相等大小的反作用力，使物体产生运动。
无论是在日常生活中还是在科学研究中，理解作用力和反作用力的概念是非常重要的。
这些力的相互作用使我们能够理解许多现象，例如摩擦、行走和机械工作。
功的正负的意义及判断
功的正负的意义及判断作者：吴宗新来源：《中学生数理化·教与学》2010年第11期一、功的正负的意义力对物体做功的定义为其中公式中θ是力F与位移S间的夹角.由公式可知若00≤θ二、功的正负的判断1.直接用上述公式来判断,此公式常用来判断恒力做功的情况.例1 如图1,质量为m的木块静止在斜面上,现使斜面载着物体一起向右做匀速运动通过一段位移,则().斜面对物体的静摩擦力对物体做了正功B.斜面对物体的支持力对物体不做功C.斜面对物体做了正功D.重力对物体不做功解析:物体随斜面一起向右移动一段位移时,静摩擦力与位移的方向夹角小于90°,应做正功.支持力与位移的夹角大于90°,应做负功.斜面对物体的作用力就是支持力和摩擦力的合力,与重力大小相等方向相反,而与位移的夹角等于90°,应不做功.因此,只有A答案是正确的.2.由力F与物体速度v方向间的夹角α大小来判断若0°≤α例2 如图2,一个人推磨,其推磨杆的力的大小始终为F,与磨杆始终垂直,磨绕轴转动,在转动过程中推力对磨做正功还是做负功?解析:磨做曲线运动,力F是方向在变的变力,但力F的方向始终与力的作用点的速度方向v 相同,其夹角为0°,所以F做正功.3.根据物体间的能量转化情况来判断根据功是能量转化的量度可知,做功的过程是能量转化的过程.若有能量转化且物体能量增加,则有力对物体做正功;若物体能量减少,则有力对物体做负功.例3 如图3,小物块B放在光滑的斜面上,斜面A放在光滑的水平地面上,当B由静止开始自由下滑到底端的过程中,A对B的弹力做功W和B对A的弹力做功W′应是().解析:在B下滑过程中,斜面A水平向右运动,且速度不断增大,即A的机械能增大,由于A的重力和地面对A的支持力对A均不做功,显然A的机械能的增加是由B对A的弹力做正功的结果.而整个系统不考虑摩擦,没有能量损失,所以B的机械能必须减少才能使A、B系统的总机械能不变,由于重力做功不会改变机械能,因此B的机械能减少是A对B的弹力做负功的结果.答案为三、作用力和反作用力做功的正负由牛顿第三定律可知,作用力和反作用力总是成对出现,大小相等、方向相反.但由于相互作用的物体其位移不一定相同,作用力和反作用力各自对物体做的功的大小不一定相等,因此对系统做的总功不一定等于零.其总功等于力与力方向上的相对位移的乘积.在例题3中,A、B间的弹力方向上的相对位移为零,故弹力对系统做功为0.摩擦力可以做正功,也可以做负功,还可以不做功.一对静摩擦力对物体的系统做的总功为0(相对位移为0),一对滑动摩擦力对物体的系统做的总功W=-相,且系统转化为内能的值为相.例如,物体在水平桌面上滑动,则桌面给物体的摩擦力对物体做正功,而物体对桌面的摩擦力不做功.例4 一质量为M长度为L的木板A,静止在光滑的水平面上,如图4,一质量为m的小木块B 以速度水平飞到木板A的上表面,因A、B间的摩擦力作用,当B飞离A的表面时,A、B的速度分别为和求A、B间的摩擦因数.解析:B滑上木板A后受到A的摩擦力,做减速运动,同时,A受到B的摩擦力做加速运动.设A、B分离时A沿地面移动了s,则A、B间的摩擦力分别对A和B做功:--μmg(s+L).对A和B分别应用动能定理得:--解方程得:μ=--。
作用力和反作用力做功代数和
作用力和反作用力做功代数和作用力和反作用力是物理学中的两个重要概念，它们之间存在着密切的关系。
在物理学中，力是物体之间相互作用的结果，作用力和反作用力总是成对出现的。
作用力和反作用力的代数和为零，这意味着它们的大小相等、方向相反。
本文将从作用力和反作用力的概念、作用力和反作用力的关系以及作用力和反作用力的功的角度来探讨这个问题。
作用力和反作用力是物理学中的基本概念。
作用力是指物体之间相互施加的力，它是由物体之间的接触或远距离作用引起的。
而反作用力则是作用力的相对应的力，大小相等、方向相反。
根据牛顿第三定律，任何一个物体对另一个物体施加作用力的同时，另一个物体也会对其施加大小相等、方向相反的反作用力。
这种相互作用的力对是自然界中普遍存在的，例如我们走路时，地面向上对我们施加一个作用力，我们同时也对地面施加一个与之大小相等、方向相反的反作用力。
作用力和反作用力之间存在着密切的关系。
作用力和反作用力总是成对出现的，它们之间有着一种相互依存的关系。
无论是作用力还是反作用力，都无法单独存在。
作用力和反作用力之间的关系可以用牛顿第三定律来描述，即对于任何一个物体而言，其所受到的作用力和反作用力之和为零。
这意味着作用力和反作用力的代数和为零，它们的大小相等、方向相反。
这种力对的存在保证了物体之间的相对稳定性，同时也是物体运动的基础。
作用力和反作用力在做功的过程中也有着重要的作用。
功是力对物体做的功，它是衡量力对物体产生影响的大小的物理量。
在作用力和反作用力的过程中，它们所做的功是相互抵消的。
由于作用力和反作用力的大小相等、方向相反，它们所做的功相互抵消，总和为零。
这意味着在力对的作用下，物体的能量不会发生改变。
例如，当我们用力推动一把椅子时，我们对椅子施加一个向前的作用力，同时椅子对我们也施加一个向后的反作用力。
由于这两个力的大小相等、方向相反，所以它们所做的功相互抵消，椅子的能量不会发生改变。
作用力和反作用力是物理学中的重要概念，它们之间存在着密切的关系。
几种力做功的特点及求解方法
几种力做功的特点及求解方法作者：徐君生来源：《新高考·高一物理》2012年第04期功是物理学中一个非常重要的物理量，它是解决物理问题三大途径之一——动能定理方程中的关键物理量，同时也是解答物理习题重要方法之一——功能原理中至关重要的物理量. 因此能正确把握物体受到的各个力做功的特点及大小的求解方法就显得至关重要. 本文试就结合具体事例给同学们总结一下已学过的几种力做功的特点，为机械能守恒定律这一章内容的学习打下坚实的基础.■ 1. 恒力做功如果F是恒力，则求解恒力做功的基本方法是应用功的公式计算. 对功的计算式W=Fxcosα的使用，除知道F必须是恒力外，还应知道x的含义，公式中的x为力的作用点对地的位移. 对x的理解着重在三点：一是x是位移，位移的大小只与始末位置有关，所以恒力做功的特点是与移动的路径无关，只与始末位置有关，其典型代表就是重力；二是x为对地位移，一定是以地面为参考系而非相对位移；三是x是力的作用点对地位移而不是物体对地位移，这两个位移在绝大多数情况下没有区别，但如果力通过动滑轮施加到物体上，则这两个位移就完全不一样了，请看例1.■ 例1 一恒力F通过一动滑轮拉物体，沿光滑水平面前进了距离s. 在运动过程中，F与水平方向保持θ角不变，求该过程中拉力所做的功.■ 解析此题最容易得出的答案是WF=Fxcosθ，错误的原因就是没有正确理解公式中x的含义，正确答案应该是：设在绳上打一个结，见图2中的A点，力的作用点位移应该是图中AB长，设为L，则WF=FLcosα，只不过图中的L及α均不知，而求解L及α比较麻烦，所以本题采用等效替代法求解，拉力F作用在物体上的等效力为F+Fcosθ，所以等效力做功为（F+Fcosθ）x.■ 2. 变力做功变力做功不能直接用W=Fxcosθ公式计算，求解变力做功常用如下几种方法.（1）求解变力做功的方法方法一：平均值法. 当F是变力时，如果能求出F的平均值，则W=■xcosθ，只是中学范围内会计算平均值的情况就是力F随位移x线性变化，则平均值■=（F1+F2）/2.方法二：图象法. 若F随位移变化，且能画出F—x图象，则W可用F—x图象与x轴所包围的面积表示，这种F—x图象称之为示功图. x轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，x 轴下方的面积表示力对物体做负功的多少.方法三：分段法（微元法）. 微元法是物理学中非常重要的方法，其基本思想就是化“变”为“恒”，把物体运动的位移分割为若干小段，每一个小段F为定值或近似当做定值，则每一小段可用公式?驻W=F?驻xcosθ，然后把每一小段做功累加求和得到总功.方法四：等效替代法. 若某一变力做的和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功.方法五：动能定理法. 动能定理是中学范围内求解变力做功的最基本方法，有关动能定理的应用限于篇幅这里不再赘述.（2）几种特殊变力做功的结论结论一：以弹簧或橡皮绳为代表的弹力，其F与x成正比，应用图象法可得到弹簧被拉升或压缩x时弹力做的功为W=-kx2/2；结论二： f 大小不变，方向始终与速度v方向相反，应用微元法可得W f =- f s总，式中s 总是物体走过的总路程.结论三：力的方向始终与速度v的方向垂直，应用微元法知这个力不做功（W=0）.■ 3. 作用力与反作用力做功（1）一般作用力与反作用力作用力与反作用力尽管大小相等，但由于作用在两个不同的物体上，这两个物体对地位移不一定相等，所以如果没有具体指明是什么力就笼而统之称作作用力与反作用力做功，则它们之间没有必然关系，没有作用力做正功反作用力一定做负功的说法. 例如放在光滑水平面上的两个磁体从静止开始在相互吸引力作用下的运动，作用力与反作用力均做正功；再如放在水平桌面上的物体在外加拉力作用下运动，则桌面对物体的摩擦力做负功，而物体对桌面的摩擦力不做功等.（2）几种特殊的作用力反作用力做功的特点总结结论一：一对静摩擦力做功之和一定为零；结论二：一对滑动摩擦力做功之和一定为负；结论三：一对弹力做功之和一定为零.■ 4. 合力做功（1）合力做功的求解方法由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也可以等效替代，由此计算合力功的方法有两种：一是先求物体所受到的合力，再根据公式W=Fxcosθ求合力做的功. 二是根据W=Fxcosθ，求每个分力做的功W1、W2、W3……再根据W合=W1+W2+W3+……求合力做的功. 两种求解合力做功的方法要依据题目特点灵活运用，如物体处于平衡状态或某一方向受力平衡时，先求合力再求功的方法简单有效；如已知物体受力中有的不做功，有的做功，且方便求得该力的功（如重力的功），选择第二种方式简单方便.（2）重要结论及应用同一根绳或同一轻杆对与之相连的两物体做功之和一定为零. 由于绳或轻杆的弹力一般不知，所以求解绳或轻杆的弹力做功比较困难. 如果把这两个物体当做一个整体，因为绳或杆的弹力做功之和为零，从而可以避开弹力做功的问题.■ 例2 如图3在光滑水平面上质量为M物体通过细绳和定滑轮与质量为m的物体相连，整体从静止开始运动，已知m与地面之间的距离为h，求当m着地时两者的速度.■ 解析绳对m做功，做功的多少与绳拉力大小有关，但绳拉力不知，尽管可以求出，毕竟转了一个弯，所以以M和m为整体作为研究对象，则整体只有重力做功，根据重力做功的特点可知：mgh=■（M+m）v2从而求出m着地时的速度v=■。
作用力和反作用力做功的几种情况分析
作用力和反作用力做功的几种情况分析作用力和反作用力是牛顿第三定律的重要内容，它描述了两个物体之间互相施加力时产生的相互作用。
根据牛顿第三定律，作用力和反作用力具有相等的大小但方向相反。
当作用力和反作用力分别施加在两个物体上时，它们会互相进行功的转换。
本文将分析作用力和反作用力在不同情况下的几种功转换方式。
情况一：水平方向的推拉作用力假设有两个物体A和B，物体A以力F向右推物体B。
根据牛顿第三定律，物体B受到的反作用力F'的方向与F相反，即向左。
在这种情况下，力F对物体A做正功，而反作用力F'对物体B则做负功。
当物体A推动物体B沿着水平方向移动一段距离d时，力F所做的功可以表示为W=F×d。
然而，反作用力F'所做的功则为-W'=-F'×d，其中W'为负值。
由于作用力和反作用力大小相等，即F=F'，所以-F'=F'×(-1)。
因此，W=-W'，即作用力和反作用力所做的功大小相等但符号相反。
情况二：物体之间的拉力考虑一个绳子连接两个物体A和B，物体A向下施加一个向下的拉力F，根据牛顿第三定律，物体B会受到一个大小相等但方向相反的向上拉力F'。
在这种情况下，力F对物体A做负功，而反作用力F'对物体B则做正功。
当物体A向下移动一段距离d时，力F所做的功为-W=-F×d。
反作用力F'所做的功为W'=F'×d。
同样地，作用力和反作用力所做的功大小相等但符号相反。
情况三：物体的重力和支持力考虑一个物体A位于水平面上，受到向下的重力Fg作用。
根据牛顿第三定律，物体A同时受到向上的支持力Fs，它们的大小相等但方向相反。
在这种情况下，重力Fg对物体A做正功，因为Fg与移动方向相同。
而支持力Fs对物体A做负功，因为Fs的方向与Fg相反。
当物体A在水平方向移动一段距离d时，重力Fg所做的功为W=Fg×d。
作用力与反作用力做功
作用力与反作用力做功由于两个物体间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在不同的物体上，所以作用力与反作力做功有许多奇妙之处。
虽然作用力与反作用力大小相等，但这两个力作用在相互作用的两个物体上，这两个物体在相同时间内的运动情况是由这两个物体所受的合力、物体的质量以及运动的初始条件这三个因素共同决定的，而两个物体间的这三个因素没有必然的联系，所以两个物体在相互作用力方向上的位移也没有必然的联系，因此作用力与反作用力做功也没有必然的联系。
现在我们一起来感受作用力与反作用力做功的奇妙之处吧！一、作用力与反作用力均做正功如果作用力与反作用力的作用点所发生的位移与对应的力的夹角，那么作用力与反作用力就做正功。
如图所示，静止在光滑冰面上的两个游戏者彼此将对方推开这一过程，在彼此离开前作用力与反作力均做正功。
二、作用力与反作用力均做负功如果作用力与反作用力的作用点所发生的位移与对应的力的夹角，那么作用力与反作用力就做负功。
如图所示，在两个小车上固定两块强力的磁铁，让磁铁的N极（S极）相对放在光滑的水平桌面上。
现让两小车相向运动，在向中间靠近的过程中，作用力与反作用力均做负功。
三、作用力与反作用力一个做正功，一个做负功如图所示，静止在光滑水平面上的小车，上表面粗糙，具有一定初速度的小物体从小车的一端滑向另一端的过程中，它们间的摩擦力是一对作用力与反作用力，物体对小车的摩擦力对小车做正功，小车对物体的摩擦力对物体做负功。
四、作用力与反作用力一个做功，一个不做功在作用力与反作用力中，只要其中一个力的作用点在力的方向有位移，另一个力的作用点在力的方向没有位移，就会出现一个力做功而另一个力不做功的情形。
如图所示，在光滑冰面上的运动员站在竖直的墙壁前，用手推一下墙壁，运动员会向后滑去。
在离开墙壁前运动员对墙的作用力不做功，墙对运动员的作用力要做功。
五、作用力与反作用力均不做功若作用力与反作用力的作用点在力的方向没有发生位移，那么这对作用力与反作用力均不做功。
机械能知识点总结
机械能知识点总结1． 功 概念：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
功是能量转化的量度。
条件：力和力方向上的位移。
（也可以这样理解如果物体在力的作用下能量发生了变化，则这个力一定对物体做了功）(1) 恒力做功 公式W =Fl cos α这里功W 是一个标量，F 指的是恒力的大小，l 是物体位移的大小（需要强调的是F 是恒力，恒力做功是与路径无关的，所以这个公式要求F 是恒力，物体可以做直线运动，也可以做曲线运动），α为F 和l 之间的夹角。
(2)正功与负功从恒力做功公式W =Fl cos α，我们可以得到：当cos α>0时，即[0,)2πα∈ 时，力与位移的夹角为锐角，力充当动力的角色，F 对这个物体做正功；当cos α=0时，即2πα=时，力与位移的夹角为直角，力既不是动力，也不是阻力，F 对这个物体不做功；当cos α<0时，即(,]2παπ∈ 时，力与位移的夹角为钝角，力充当阻力的角色，F 对这个物体做负功。
例如：力F 对物体做负功为-2J ，我们可以说这个物体克服力F 做的功为2J （2J 是负功的绝对值）。
力对物体做正功，我们可以理解为外界对这个物体输入能量，使这个物体的能量增加；力对物体做负功，我们可以理解为这个物体对外界输出能量，使这个物体的能量减少。
物体的能量增加必然是通过一个力做正功而实现的，物体的能量减少必然是通过一个力做负功而实现的。
（这里所讲述的不考虑热传递，下面不在赘述）(3) 当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，等于各个力分别对物体所做功的代数和，也等于这几个力的合力对物体所做的功。
两种方法运算的结果必然一样（至于为什么一样希望同学们从功的定义式来理解）。
ⅰ、合力的功可通过计算各个力的功得到12+++n W W W W =合ⅱ、合力的功也可通过计算合外力得到co = s F l W α合合(4)变力做功的几种求解方法ⅰ、微元法，质量为m 的汽车从A 点出发做匀速圆周运动，圆周半径为R ，汽车绕行一周后又回到A 点，若路面对汽车的阻力是车重的k 倍，则绕行一周汽车克服阻力做功等于多少？形如以上形式的我们可以取一个很短的弧长1S ∆，物体通过这个很短弧长过程中，可以认为位移l =1S ∆，做功11W kmg S =∆，再取一个极端的弧长2S ∆，做功为22W kmg S =∆，以此类推，n n W kmg S =∆，将所有的功累加起来，所以W kmgS =，S 为路程。
作用力和反作用力做功
作用力和反作用力做功在物理学中，作用力和反作用力是两种相互作用力。
根据牛顿第三定律，每一个作用力都有一个与之大小相等、方向相反的对应反作用力。
作用力和反作用力在物体上产生作用，从而导致物体的运动。
首先，我们来了解作用力。
作用力是物体之间的相互作用，它可以改变物体的运动状态。
作用力的大小由其引起物体加速度的大小决定，根据牛顿第二定律，力等于物体的质量乘以其加速度。
作用力可以分为接触力和非接触力。
接触力是物体通过接触点传输的力，例如我们推动一辆自行车时，我们用到的力是由我们的手传输到车把上的接触力。
作用力和加速度的方向相同。
如我们用一定的力推车，车辆将会加速。
非接触力是通过无需物体之间直接接触来传递力的力。
例如，地球对物体的吸引力就是一种非接触力。
通过万有引力定律，我们知道地球对物体施加的引力与物体的质量成正比。
作用力和加速度的方向相反。
举个例子，当我们将一个物体从高处放下时，地球对物体施加的引力将使物体加速下降。
接下来，我们来了解反作用力。
每当有一个作用力作用在一个物体上时，必然会有一个与之大小相等、方向相反的反作用力作用在另一个物体上。
这是牛顿第三定律的内容。
反作用力常常会直接影响到作用力的物体。
举个例子，当我们用力将一本书推到桌子上，桌子对书施加了一个与推书的力大小相等、方向相反的反作用力。
这个反作用力使书停留在桌子上，而不是继续向前运动。
作用力和反作用力做功时，功是物体由于力的作用而产生的能量转化。
功的大小等于力乘以力对物体位移的投影。
如果力和物体的位移方向相同，那么力所做的功将增加物体的动能；如果力和物体的位移方向相反，那么力所做的功将减小或消耗物体的动能。
例如，当我们用力推车时，我们施加在车上的力会使车加速，这时力所做的功是正的，因为力和位移方向相同。
而当我们用力阻止车辆运动时，我们施加在车上的力与运动方向相反，这时力所做的功是负的，因为力和位移方向相反，从而减少了车辆的动能。
同样地，当我们抛出一个物体时，我们施加在物体上的力会使物体获得动能，力所做的功是正的。
作用力与反作用力做功的例子
作用力与反作用力做功的例子
嘿，咱今天就来讲讲作用力与反作用力做功的例子。
你想想啊，就好比你用力去推一堵墙，你使了多大的劲儿，墙不就给你多大的反作用力嘛！这时候力就产生啦！就说打乒乓球吧，你挥拍去击球，球不是会快速飞出去嘛，这就是你给球施加的作用力让球有了动能呀。
那同时呢，球撞击到球拍上不也会给球拍一个反作用力嘛，这反作用力做功可不能小瞧哦！
再比如说，你一脚踢在足球上，哇塞，那足球“嗖”地飞出去老远，你这一脚的力就让足球能跑好远好远，这就是作用力在做功呀！而足球撞到什么东西反弹回来的时候，那给你脚的反作用力也让你的脚能感觉到呢！你说神奇不神奇？
想象一下哈，两个小朋友在玩跷跷板，这边的小朋友用力把那边的小朋友跷起来，这就是作用力在起作用呀！而另一边的小朋友被跷起来后又落下去，给这边的小朋友一个相反的力，这不也是作用力与反作用力在互相较量嘛，而且都在做功呢。
还有啊，你从高处跳下，落地的时候是不是会感觉地面给你一个冲击力呀，这就是你给地面施加了作用力，地面给你的反作用力呀，这冲击的过程不就是在做功嘛！
哎呀呀，生活中这样的例子简直太多啦！像汽车在路上跑，轮子给地面的力和地面给轮子的反作用力；火箭发射时燃料燃烧产生的推力和空气给火箭的阻力，都是作用力与反作用力做功的体现呀！难道不是很有趣吗？
我觉得啊，作用力与反作用力做功真的是无处不在，它让我们的世界变得丰富多彩，充满了各种奇妙的现象和变化呢！。
作用力和反作用力做功
作用力和反作用力做功作用力和反作用力是物理学中的两个重要概念，它们描述了两个物体之间相互作用时的力和相应的功。
作用力是一个物体对另一个物体施加的力，而反作用力是被作用物体对作用物体施加的力。
在这篇文章中，我们将详细讨论作用力和反作用力的概念以及它们在做功中的作用。
首先，作用力是施加在物体上的力。
根据牛顿第三定律，当一个物体施加作用力到另一个物体上时，另一个物体将会以同样大小的反作用力作用于第一个物体上。
换句话说，作用力和反作用力的大小相等，方向相反。
作用力和反作用力的概念可以通过一个例子来说明。
想象一个人站在一张光滑的冰面上，他用脚对地面施加了一个作用力，结果地面给他一个相同大小但方向相反的反作用力。
根据牛顿第三定律，这个反作用力会使人向后移动。
接下来，让我们来讨论作用力和反作用力在做功中的作用。
功是描述一个力对物体施加的效果的量度。
当一个力作用在一个物体上并改变物体的位置时，这个力做了功。
而这个功的大小与力的大小和物体在力的方向上移动的距离有关。
在物体之间施加的作用力和反作用力对于做功非常重要。
当一个物体施加力在另一个物体上并引起它的位移时，作用力做了功。
换句话说，作用力将能量传递给了另一个物体。
考虑一个简单的例子，一个人用力推一个滑雪板。
当人施加作用力时，他将能量传递到滑雪板上，并使之前静止的滑雪板开始移动。
这里，人施加的作用力对滑雪板做了功。
反过来，滑雪板对人也施加了相同大小但方向相反的反作用力。
这个反作用力同样对人做了功。
当人向前推滑雪板时，他的身体要承受滑雪板对他施加的反作用力，这使得他的身体向后移动。
因此，滑雪板的反作用力也对人做了功。
总结来说，作用力和反作用力是物理学中描述相互作用的两个概念。
它们之间的关系由牛顿第三定律所规定。
作用力和反作用力的大小相等，方向相反。
在做功中，作用力和反作用力起着至关重要的作用。
当一个物体施加力在另一个物体上并改变物体的位置时，作用力做了功，而反作用力对施加力的物体也做了功。
作用力与反作用力做功
作用力与反作用力做功作用力与反作用力做功由于两个物体间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在不同的物体上，所以作用力与反作力做功有许多奇妙之处。
虽然作用力与反作用力大小相等，但这两个力作用在相互作用的两个物体上，这两个物体在相同时间内的运动情况是由这两个物体所受的合力、物体的质量以及运动的初始条件这三个因素共同决定的，而两个物体间的这三个因素没有必然的联系，所以两个物体在相互作用力方向上的位移也没有必然的联系，因此作用力与反作用力做功也没有必然的联系。
现在我们一起来感受作用力与反作用力做功的奇妙之处吧～一、作用力与反作用力均做正功如果作用力与反作用力的作用点所发生的位移与对应的力的夹角，那么作用力与反作用力就做正功。
如图所示，静止在光滑冰面上的两个游戏者彼此将对方推开这一过程，在彼此离开前作用力与反作力均做正功。
二、作用力与反作用力均做负功如果作用力与反作用力的作用点所发生的位移与对应的力的夹角，那么作用力与反作用力就做负功。
如图所示，在两个小车上固定两块强力的磁铁，让磁铁的N 极(S极)相对放在光滑的水平桌面上。
现让两小车相向运动，在向中间靠近的过程中，作用力与反作用力均做负功。
三、作用力与反作用力一个做正功，一个做负功如图所示，静止在光滑水平面上的小车，上表面粗糙，具有一定初速度的小物体从小车的一端滑向另一端的过程中，它们间的摩擦力是一对作用力与反作用力，物体对小车的摩擦力对小车做正功，小车对物体的摩擦力对物体做负功。
四、作用力与反作用力一个做功，一个不做功在作用力与反作用力中，只要其中一个力的作用点在力的方向有位移，另一个力的作用点在力的方向没有位移，就会出现一个力做功而另一个力不做功的情形。
如图所示，在光滑冰面上的运动员站在竖直的墙壁前，用手推一下墙壁，运动员会向后滑去。
在离开墙壁前运动员对墙的作用力不做功，墙对运动员的作用力要做功。
五、作用力与反作用力均不做功若作用力与反作用力的作用点在力的方向没有发生位移，那么这对作用力与反作用力均不做功。
一对作用力和反作用力做功的特点
一对作用力和反作用力做功的特点功是力对空间的一种累积作用,它是标量,它的大小等于力沿受力点位移方向的投影与受力点位移大小的乘积。
一对作用力与反作用力的做功情况：1）作用力与反作用力做的功大小相等、符号相反：如,在光滑的水平面上,用力F推靠在一起的A、B两物体向前运动一段位移，由于有F AB＝－F BA，S A＝S B，所以得:W AB＝－W BA。
再如，A、B两物体叠放在一起在水平外力F作用下向前加速运动过程中，存在于两物体间的静摩擦力做的功大小相等、符号相反。
2）作用力与反作用力做的功可以大小相等、符号相同：（A）都做正功：如，放置于光滑水平面上的两个带异种电荷且完全相同的带电物体A、B，由静止开始在静电引力作用下各移动了一段大小相等的位移，由于两力的方向与其对应的位移同向，则两相互作用力做的功大小相等、符号相同.（B)都做负功：上例中,若两物体以相同的初速度分别向相反的方向运动，在任一段时间内通过的位移大小相等，则两物体间的相互作用力做大小相等的负功.3）作用力与反作用力做的功大小不等、符号相同：若A、B两物体的质量不等，相互作用后分开,则它们在相同的时间内位移不等，则两相互作用力做的功大小不等、符号相同.4)作用力与反作用力做的功大小不等、符号相反：如物体A以一定速度V滑上表面粗糙的木板B，木板B放在光滑水平面在两物体达共同速度之前，由于S A＞S B,则两物体间的滑动摩擦力做的功分别为W f BA＝f BA•S A Wf AB＝f AB•S B 其大小不等、符号相反。
5)作用力与反作用力中可以是一个力做功，而另一个力不做功：在上例中，若将木板B固定，则S B＝0，即物体A对B的滑动摩擦力不做力，而B对A依然做负功.综上所述，一对作用力与反作用力做的功并不一定是大小相等、符号相反的,其原因是作用力与反作用力的作用点分别作用于两个不同的物体，在相互作用的过程中其位移并不一定相同。
也正因为如此，由两个物体组成的系统若不受外力或所受外力做的功为零,但由于内力做功的代数和不一定为零，则该系统的总动能并不一定守恒，如在爆炸过程中，系统的内力做正功，系统的总动能增加。
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作用力和反作用力做功
引言
牛顿第三运动定律告诉我们，作用力和反作用力是大小相等，方向相反的，在解决质点组动力学问题时，经常要涉及到作用力和反作用力做功问题。
根据牛顿第三定律知作用力和反作用力是大小相等、方向相反的，作用力和反作用力所做的功是不是总是大小相等、方向相反,代数和总是为零？作用力和反作用力做功及其代数和与参考系的选取有什么关系呢?
1 作用力与反作用力的做功并不一定是大小相等、方向相反
在质点组内任选两个质点1和2,它们之间的作用力与反作用力为12F
和21F
，二质点相对选定的参照系的位置矢量分别为1r 和2r
，如图1所示，二质点分别沿图1中的虚线轨迹运动，根据功的定义，12F 和21F 做功分别为
1121W F dr =
⋅⎰ 2212W F dr =
⋅⎰
在式中由于12F 21F =-
，作用力和反作用力作用于不同的质点，二质点沿不同的路径运
动，所以12F 和21F 所作用的质点的位移是相互独立的，因此尽管每时每刻作用力和反作用力大小相等，方向相反，12F
21F =-
，但1W 和2W 确不一定等值反号，只要12F
与1d r
的夹角为锐角，21F
与2dr
的夹角也为锐角，这对作用力与反作用力就可以同时做正功；同理若都为钝角，则都做负工，同时也会出现一个为零，即一个做功一个不做功的情况。
将d r
分解为与r
水平方向和垂直方向的二分位移1d r
和2d r
，力F
只在平行的分位移
2d r
上起做功，如图b 所示，力F
在r
方向上的投影为r F ，于是做功
ˆˆ()r r
dA F r drr F dr =⋅= ˆr
为r 上的单位矢量，由此式进一步表明二质点作用力和反作用力的做功之和决定于
力和质点间相对距离的改变。
元功d A 的正负由r F 和dr 的正负决定，只有当二质点沿力的方向上无相对运动时，作用力和反作用力的和等于0！
例，开普勒第三运动定律指出，行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上，若两行星在太空中作大小不等的椭圆运动，当他们分别由各自的远日点向近日点运动时，他们之间的万有引力分别与受力点的位移夹锐角，如图2 所示，所以这对作用力与反作用力同时做正功，当他们分别由近日点向远日点运动时，他们之间的万有引力和受力点的位移夹钝角，这时候作用力和反作用力做负工。
2 作用力与反作用的做功之和与选取的坐标无关
2.1 在 K 系中,作用力、反作用力做功的代数和
22111221r d F r d F A d A d A d
⋅+⋅=+=
由于1221F F =-
1211221212()
dA F dr F dr F d r r =⋅-⋅=⋅-
式中的12r r -是质点1相对于2的位置矢量，令12r r r =-，则12()dr d r r =-表示质点1相对于质点2的元位移，则 12dA F dr =
2.2 在 K ′系中,作用力、反作用力做功的代数和
'
2
21'
11221'
dr F dr F dA dA dA ⋅+⋅=+=
由于1221F F =-
'
'
'
1212'()
dA F d r r =⋅- 由图可知，''12r r -=12r r -r =
所以'12dA F dr = 由以上分析可知作用力和反作用力做功的代数和与坐标系选取无关。