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二次函数复习ppt课件
点坐标是（1/2，1） ； （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n 开口向下，顶点在第四象限，则 a ＜刀
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
中考复习§二次函数PPT优秀课件
,对称轴为
;
(2)求抛物线的表达式及m,n的值;
(3)请在图中画出所求的抛物线.设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P',描出相应的点P',再把相应的点
P'用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线;
(4)设直线y=m(m>-2)与抛物线及(3)中的点P'所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4,请
A.0 B.-1 C.- 1 D.- 1
2
4
答案 D 依题意得,该二次函数图象的对称轴为y轴. ∴-(a+2)=0,解得a=-2. ∴方程可化为-4x2+1=0,设方程两根分别为x1,x2,
∴x1·x2=-1 ,故选D.
4
解题关键 明确该抛物线的对称轴为y轴是解题关键.
2.(2020贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m =0(m>0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是
A.ab<0 B.一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间 C.a= m 2
3
D.点P1(t,y1),P2(t+1,y2)在抛物线上,当实数t> 1 时,y1<y2
3
答案
D
∵抛物线的开口向上,∴a>0,根据对称轴在y轴右侧可知-
b 2a
>0,∴b<0,所以ab<0,A选项结论正
确;根据题图可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根在-1和0之间,根据图象的对称性可知,一元二次
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
中考复习二次函数复习课PPT课件
两交点的距离ba 为｜x1
-x2
｜c ＝
a
b2 4ac
|a|
练习1、填表
抛物线
开口 对称轴
顶点坐标
y=a(x–h)2+k（a>0） 向上
x=h
（h，k)
y=ax2+bx+c（a<0） 向下
x=-
b 2a
(-
b 2a
, 4ac-b2 4a
)
练习（四） 填空
1、二次函数y=
1 2
x2+2x+1写成顶点式为：
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、 负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交 于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°， 求抛物线解析式。
解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0） y
OB=1， ∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90°
BO
Ax
∴OC2=OA·OB=4
即： y=-2x2+4x
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的 对称轴是x=1 ，最高点在直线y=2x+4 上。 （1）求抛物线解析式.
（2）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1
∴图象的顶点横坐标为1 又∵图象的最高点在直线y=2x+4上 ∴当x=1时，y=6 ∴顶点坐标为（ 1 ， 6）
根据题意得： 4=a+b+c -1=a-b+c -2=4a+2b+c
2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，设抛物 线解析式为_y_=_a_(x_+_2_)_2_+_3_(a_≠_0_)__, 若图象还过点 (1,4) ，可得__4_=_a_(_1_+_2_)2_+_3___.
中考二次函数复习课件【优质PPT】
x=2，y最大值=3
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(-1，3)， (1，3) ， (2，6) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
顶点(6，3）
解法一设解析式为y=a(x-0)(x-12)
令y=1.4,则-0.2x2+3.2=1.4
B x解得x=-3或x=3 ∴M(-3,1.4),N(3,1.4) ∴MN=6 20 答：横向活动范围是6米。
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标y ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
2021/10/10
14
5一.待般定式系数y法=a求x解2+b析x式+c (a≠0) 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
6–
3–
-2 -1
12
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
二次函数的图象是一条 对称轴平行于 y 轴．
抛物线
，它是 轴
对称图形，其
2021/10/10
2
y 3.二次函数的图象及性质y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
初三数学中考复习：二次函数的应用 复习课 课件(共32张PPT)
二次函数的应用
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
优秀ppt公开课ppt免费课件下载免费 课件20 20届 初三数 学中考 复习： 二次函 数的应 用 复习课 课件（共32张PPT）
例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
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例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
初三二次函数ppt课件ppt课件ppt课件
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。
中考数学考前冲刺——《二次函数》复习课件(19张PPT)
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
课后作业
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
4、a，b，c符号的确定
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：
1）、当x=1 时，y= a+b+c ＞０
y
2）、当x=-1时， y= a-b+c =０ x -2 -1 o 1 2
3）、当x=2时，y= 4a+2b+c ＞０
练习 左加右减，上加下减
⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得
到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向右 平移3 个单位可得到
y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的
图象。
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
６、二次函数与一元二次方程的关系
判别式： b2-4ac
b2-4ac＞0
二次函数 y=ax2+bx+c
（a≠0）
与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）
b2-4ac=0 与交x点轴有( 唯b 一,0)个
2a
图象
y
O
x y Ox
一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
二次函数复习课精选教学PPT课件
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
想一想
什么叫做二次函数？你能举例说明吗？
一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的 函数叫做x的二次函数。
注意：
1、x是自变量，y是用x的二次整式表示的. y是x的二次函数。 2、 a≠0，但b、c可以为0。 3、通过恒等变形，可以化为y=ax2+bx+c这种形式的函数，
它也可为y=a(x-h)2+k 或y=a(x-x1)(x-x2)的形式。
2a
4a
当a＞0时y有最大值
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c的其它性质
⑴a的符号决定开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下
⑵ a、b的符号决定对称轴位置： a、b同号对称轴偏在y轴左侧 a、b异号对称轴偏在y轴右侧
⑶c决定y轴的交点的位置：当x=0时，y＝c；即(0,c) 当c＞0时 交y轴正半轴， c＜0交y轴负半轴．
x=0
式
y =a(x-h)2 a＞0向上
x =h
a＜0向下
(0,0) (0,k) (h,0)
当a＞0时在对 称轴的左侧y 随x的增大而 减小在对称轴
的右侧y随x的 增大而增大
当x=0时y最大（小）值是０ 当x=0时y最大（小）值是k 当x =h时y最大（小）值是０
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
想一想
什么叫做二次函数？你能举例说明吗？
一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的 函数叫做x的二次函数。
注意：
1、x是自变量，y是用x的二次整式表示的. y是x的二次函数。 2、 a≠0，但b、c可以为0。 3、通过恒等变形，可以化为y=ax2+bx+c这种形式的函数，
它也可为y=a(x-h)2+k 或y=a(x-x1)(x-x2)的形式。
2a
4a
当a＞0时y有最大值
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c的其它性质
⑴a的符号决定开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下
⑵ a、b的符号决定对称轴位置： a、b同号对称轴偏在y轴左侧 a、b异号对称轴偏在y轴右侧
⑶c决定y轴的交点的位置：当x=0时，y＝c；即(0,c) 当c＞0时 交y轴正半轴， c＜0交y轴负半轴．
x=0
式
y =a(x-h)2 a＞0向上
x =h
a＜0向下
(0,0) (0,k) (h,0)
当a＞0时在对 称轴的左侧y 随x的增大而 减小在对称轴
的右侧y随x的 增大而增大
当x=0时y最大（小）值是０ 当x=0时y最大（小）值是k 当x =h时y最大（小）值是０
中考复习二次函数学习演示课件.ppt
（A）有两个不相等的实数根
y
（B）有两个异号实数根 3
（C）有两个相等的实数根
（D）无实数根
如：抛物线y=-2x2+4x-1可由抛物线 y=-2x2怎样平移得到精选课？件
例2.函数y=5(x－3)2－2的图象可由函数 y=5x2的图象沿x轴向 平移 个单位，再 沿y轴向 平移 个单位得到.
练习: 1.（2006年宿迁市）将抛物线y=x2向左
平移4个单位后，再向下平移2个单位，•则此时 抛物线的解析式是________．
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
精选课件
练习
（是（1_2（）_）_12—_二抛_，_次物24_5-—_函线_）_y数_=对y-2=x称x22+-轴x4-x是6与的_直x_图轴线__象x的_=12_顶交__点点_。坐坐标标 是（x的_3（增_）0_，_已大_0_）知而_（_函减_2，_数小_0y时）=，—12 xx的2-x取-4值，范当围函是数值y随 ___x_<_1______ （4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象 经过原点，则m= _2___。
y最大值= 4ac b2 .
2a
4a
会根据公式确定图象的顶点坐标
和对称轴 对称轴： 直线x= b
2a 顶点坐标：( b , 4ac b2 )
2a 精选课件
4a
例4 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两 点，求C，A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，
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∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
2020/10/18
12
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的 对称轴是x=1 ，最高点在直线y=2x+4上。 （1）求抛物线解析式.
（2）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1
∴图象的顶点横坐标为1 又∵图象的最高点在直线y=2x+4上 ∴当x=1时，y=6 ∴顶点坐标为（ 1 ， 6）
4=a+b+c -1=a-b+c -2=4a+2b+c
2020/10/18
9
2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，设抛物 线解析式为_y_=_a_(x_+__2_)2_+_3_(_a_≠_0_)_, 若图象还过点 (1,4) ，可得__4_=__a_(1_+_2_)_2_+_3__.
2020/10/18
BO
Ax
∴OC=2，点C（0，-2） C
2020/10/18
14
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标y ；
O
x
2020/10/18
15
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
2020/10/18
13
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、 负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交 于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°， 求抛物线解析式。
解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0） y
OB=1， ∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA·OB=4
两交点的距离ba 为｜x1
-x2
｜c ＝
a
b2 4ac
2020/10/18
|a|
5
练习1、填表
抛物线
开口 对称轴
顶点坐标
y=a(x–h)2+k（a>0） 向上 x=h
（h，k)
y=ax2+bx+c（a<0） 向下
x=-
b 2a
(-
b 2a
,
4ac-b2 )
4aห้องสมุดไป่ตู้
2020/10/18
6
练习（四） 填空
2020/10/18
3
8、a决定了抛物线的开＿口＿方＿向＿和＿形＿状＿；
对称轴由＿＿＿决定；
a和b
c决定了图象与_____轴的交点位置；
y
2020/10/18
4
9、若抛物线与x轴没有交点，则＿△＿＜＿0＿；
若抛物线与x轴有一个交点，则＿＿＿＿； △＝0
若抛物线与x轴有两个交点，则＿＿＿，
若两交点坐标分别为（ x1,0）、△（＞x20,0） 则x1 +x2＝＿＿， x1 x2＝＿＿，
中考复习课:二次函数
E-mail: 2005.4
2020/10/18
1
二次函数复习
1. 一般地，如果_y_=_a_x2_+_b_x_+_c(_a_≠_0)，
那么y叫做x的二次函数；
23..它 当的＿图＿象 ＿是 时＿ ，＿ 开抛＿ 口物＿ 向线＿上；；
4.它的a＞对0轴是＿＿＿＿； 5.顶点坐标为＿x＿=- 2＿ba ＿＿＿；
10
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
2020/10/18
11
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的
最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，
并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1
∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
1、二次函数y=
1 2
x2+2x+1写成顶点式为：
y=__12__(x_+_2_)_2_-1_，对称轴为_x_=_-2__，顶点为_(-_2_，__-_1)
2、已知二次函数y=-
1 2
x2+bx-5的图象的
顶点在y轴上，则b=_0__。
2020/10/18
7
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 ____y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠0)
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 抛物线解析式为_y_=_a_(_x_-_h_)2_+_k_(_a_≠_0_)
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_y_=_a_(_x_-_x_1)_(_x_-x_2_) (a≠0)
2020/10/18
8
1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、 (-1,-1) 、 (2,-2)，设抛物线解析式为________________, y=ax2+bx+c(a≠0) 根据题意得：
6.与y轴的交点坐(-标2ba为, 4a＿4ca-b＿2 ) ＿.
2020/10/18
(0，c) 2
6、当a＞0时，图象有最＿低＿点， 函数有最＿＿值小，
x＿<-＿2b＿a ，y随x的增大而减小， x＿>-＿2b＿a ，y随x的增大而增大；
7、当a＜0时，图象有最＿高＿点， 函数有最＿＿值大，
＿＿xx<>＿ ＿-- 22bb＿ ＿aa ， ，yy随 随xx的 的增增大大而而增减大小，.