专题三 曲线运动中的动力学问题

1 2 1 2 由动能定理 mv3 mv0 mga 2 2
2 得v0 v3 2 ga ≥ 4 ga
∴ 4ga ≤ v0 ≤ 10ga
4
ghr L
代入数据得：v=15m/s=54km/h （3）有效措施有：a．适当增大内外轨的高度差 h；b．适当增大铁路弯道的轨道半径 r． 8． （05 年江西）水平放置的木柱，横截面为边长等于 a 的正四边形 ABCD；摆长 l =4a 的摆， 悬挂在 A 点（如图 1—14 所示） ，开始时质量为 m 的摆球处在与 A 等高的 P 点，这时摆线沿水平方 向伸直；已知摆线能承受的最大拉力为 7mg；若以初速度 v0 竖直向下将摆球从 P 点抛出，为使摆球 能始终沿圆弧运动， 并最后击中 A 点． 求 v0 的许可值范围 （不计空气阻力） ． 答案：摆球先后以正方形的顶点为圆心，半径分别为 R1=4a，R2=3a， R3=2a，R4=a 为半径各作四分之一圆周的圆运动． 当摆球从 P 点开始，沿半径 R1=4a 运动到最低点时的速度 v1，
训练题如图所示，已知瓦特节速器上有固定有重球的两根棒，棒长各为 20cm， 电机在运动转时，两棒与竖直的转轴 AB 之间夹角为 60° ，如图所示，求此时节速器 的转速为多少? 答案：n=96r/min 【例 3】如图所示，水平转台上放有质量均为 m 的两小物块 A、B，A 离转轴距离为 L，A、B 间用 长为 L 的细线相连，开始时 A、B 与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B 与水平转台间最大静摩擦 力均为重力的 μ 倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力 wh 当转台的角速度达到多大时 A 物 块开始滑动? 【解析】线上刚开始出现张力时，B 受的最大静摩擦力刚好充当向心力， 即：μmg = mω2（2L） ，得 ω = μg 2L
1
2
（ C ）
【解析】设小球从线水平开始转过角度 θ 时，速度为 v，此过程中机械能守 1 恒，则有：mglsinθ = mυ2，得：υ2 = 2glsinθ 2 此时小球受重力 mg 和线的拉力 FT，如图所示，在沿绳方向，由牛顿第二定 v2 律有：FT-mgsinθ = m ，代入 υ2 得：FT = 3mgsinθ l 小球在竖直方向先加速后减速，当小球在竖直方向的加速度为零时，可获得 1 最大的竖直分速度，即：FTsinθ-mg = 0，代入 Ft 可得 sin2θ = 3 即当 θ = arcsin（ 3 ）时，小球获得竖直方向最大的分速度． 3
υ2
r
= mrω2 = m ω = mr
Leabharlann Baidu
4 2 = 4π2mrf2 2 T
3．圆周运动中的临界问题: （1）没有别的物体支持的质点做圆周运动，如细绳系着的物体或沿圆环内壁运动的物体在竖直 平面内做圆周运动，在通过轨道最高点时的速度的临界值为 υ = 高点;当 υ＜ Rg时，物体还没有到最高点时，就脱离了轨道． （2）受别的物体约速的质点做圆周运动，如套在圆环上的物体，有轻杆或管约束的物体在竖直 平面内做圆周运动，当通过最高点时，物体通过最高点的速度可以为任何值，即υ≥0．当υ＞ Rg 时，环、杆或管对物体的作用力方向向下；当υ= 方向向上． Rg时，没有作用力；当 0＜υ＜ Rg时，作用力 Rg．当 υ≥ Rg时，物体能通过最
当 A 所受摩擦力达到最大静摩擦力时，A 开始滑动，设此时线中张力为 F， 由牛顿第二定律，对 A 有：μmg-F = mω′2L 对 B 有：F+μmg = mω′2（2L） 由上述两式有：ω′ = 即当转台的角速度达到 2μg 3L μg 时，线上开始出现张力，当角速度达到 2L 2μg 时，A 开始滑动． 3L
训练题 如图所示， 质量不计的轻质弹性杆 P 插入桌面上的小孔中， 杆的另一端固定有一个质量 为 m 的小球．使小球在水平面内作半径为 R 的匀速圆周运动，且角速度为 ω，则杆的上端受到球对 杆的作用力大小为 A．mω R B．m g2-ω4R2 C．m g2+ω4R2 D．不能确定 【例 2】如图所示，线的上端固定，下端系一小球，将小球与线拉到一水平位置后从静止开始 释放， 求小球的摆线运动到与水平方向成多大角度时， 球获得最大的竖直分速度? （反三角函数表示） ．
2 ⑵ kmg mm r
m
kg 5rad/s r
5． （05 年淮安）如图一条不可伸长的轻绳长为 L，一端用手握住，另一端系一质量为 m 的小球， 今使手握的一端在水平桌面上做半径为 R，角速度为 ω 的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为 R 的 圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动，若人手做功的功率为 P，求： （1）小球做匀速圆周运动的线速度大小； （2）小球在运动过程中受到的摩擦力的大小． 答案： （1）v=（R2+L2）1/2 （2）f=P/ω （R2+L2）1/2
专题三
重点难点
1．类平抛运动：
曲线运动中的动力学问题
求解的方法是利用运动的合成和分解法进行分析：在初速度方向加速度为零，以初速度做匀速 直线运动；在垂直于初速度方向有一个恒定的加速度，做静止开始的匀加速直线运动，加速度的大 小由合外力决定．通常应结合运动的合成和分解的运动学规律进行求解． 2．圆周运动中的向心力： 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力向心力是按 力的作用效果来命名的，故在分析做圆周运动的物体受力时，切不可在性质力上再添加一个向心力， 但对各种情况下向心力的来源应明确． 圆周运动中的动力学方程即将牛顿第二定律应用于圆周运动，由于向心加速度表示不同，有以 下各种情况，解题时应根据已知条件进行选择． F=m
2
2． （05 年荆门）如图所示，水平转盘上的 A、B、C 三处有三块可视为质点的由同一种材料做成 的正立方体物块；B、C 处物块的质量相等，为 m，A 处物块的质量为 2m；A、B 与轴 O 的距离相等， 为 r，C 到轴 O 的距离为 2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C 处的物块都没有发生滑动现 象，下列说法中正确的是（ ABC A．C 处物块的向心加速度最大 B．B 处物块受到的静摩擦力最小 C．当转速增大时，最先滑动起来的是 C 处的物块 D．当转速继续增大时，最后滑动起来的是 A 处的物块 3．两个正、负点电荷，在库仑力的作用下，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动， 以下说法中正确的是（ BC ） B．它们做匀速圆周运动的角速度相等 D．它们的运动半径与电荷量成反比 A．它们所受的向心力大小不相等 C．它们的线速度与其质量成反比 ）
－
因此
h·r=33（或 h=33
当 r=440m 时，有：
1 ） r 33 h= m=0.075m=75mm 440
（2）转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示．由牛顿第二定律得：
m g tan m
v2 r
h L
因为θ 很小，有： tan sin 得： v
6．光滑水平面上，一个质量为 2kg 的物体从静止开始运动，在前 5s 受到一个沿正东方向大小 为 4N 的水平恒力作用；以第 5s 未开始改为一个沿正北方向大小为 2N 的水平恒力作用了 10s，求物 体在这 15s 内的位移和 15s 末的速度． 答案： （1）s=135m ，方向东偏北θ =arctan2/5 （2）v=14．1m/s ，方向东偏北α =450 7． （05 年山东）铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内 外轨高度差 h 的设计不仅与 r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下图表格中是铁路设计人 员技术手册中弯道半径 r 及与之对应的轨道的高度差 h． 弯道半径 r/m 内外轨高度差 h/mm 660 50 330 100 220 150 165 200 132 250 110 300
1 2 1 2 根据动量定理 mv1 mv0 4mga 2 2
2 mv1 3a
①
当摆球开始以 v1 绕 B 点以半径 R2=3a 作圆周运动时，摆线拉力最大，为 Tmax=7mg，这时摆球 的运动方程为 Tmax mg ②
由此求得 v0 的最大许可值为 v0 ≤ 10 ga ． 当摆球绕 C 点以半径 R3=2a 运动到最高点时，为确保沿圆周运动， 到达最高点时的速度 v3 ≥ gR3 2ga （重力作向心力）
能力训练
1．如图，一轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点 时，由于球对杆有作用，使杆发生了微小形变，关于杆的形变量与球在最高点时的速度大小关系， 正确的是 （ C ） B．形变量越大，速度一定越小 D．速度为零，可能无形变 A．形变量越大，速度一定越大 C．形变是为零，速度一定不为零
3
（1）根据表中数据，试导出 h 和 r 关系的表达式，并求出当 r=440m 时，h 的设计值； （2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力， 又已知我国铁路内外轨的间距设计值为 L=1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率 v（以 km/h 为单位，结果取整数；路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理） （3）随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求．为了提高运输力，国家对铁 路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时 应采取怎样的有效措施？ 答案： （1）分析表中数据可得，每组的 h 与 r 之乘积均等于常数 C=660m× 50× 10 3m=33m2
训练题如图所示， 细绳一端系看质量 M = 0.6kg 的物体静止于水平面， 另一端通过光滑小孔吊着 质量 m = 0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为 0.2m，设 M 和水平面间的 最大静摩擦力为 2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 ω 在什么范围 m 会处于静止状态？（取 g = 10m/s2） 答案：2。9r/s≤ω ≤6。5r/s
规律方法
【例 1】如图所示，质量为 m 的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的 k 倍，它 与转台转轴 OO′相距 R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上 滑动，在物块由静止到相对转台开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为 A．0 1 C．等于 kmgR 2 1 B．小于 kmgR 2 1 D．大于 kmgR 2 （ B ）
4． （05 年南京）如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心 r = 20cm 处放置一 小物块 A，其质量 m = 2kg，A 与盘面间的静摩擦力的最大值为其重力的 k 倍（k = 0．5） ，试求： （1）当圆盘转动的角速度 ω = 2rad/s，物块与圆盘间的摩擦力为多大?方向如何? （2）若使 A 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度是多大? （取 g = 10m/s2） 答案：⑴ f m 2 r 2 2 2 0.2N 1.6N 方向为指向圆心。