第十一章 11.2 平面的基本事实与推论2019(秋)数学 必修 第四册 人教B版(新教材)改题型

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规律方法 证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和 线在所确定的平面内.也可以用同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一 些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
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【训练2】 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面. 证明 如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面.
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规律方法 两点确定一条直线，由平面基本事实3知，要想画出两个平面的交线，只需 找到两个平面的两个公共点即可.
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【训练3】 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是 AB，A1D1，BB1的中点.画出过M，N，P的平面与平面A1B1C1D1 的交线以及与平面BB1C1C的交线. 解 设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B交于MP. 连接MP并延长交A1B1的延长线于一点，设为R，连接NR，则NR为平 面α与平面A1B1C1D1的交线. 设RN∩B1C1＝Q，则PQ是α与平面BB1C1C的交线，如下图所示.
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又FD1⊂平面BED1F，∴P∈平面BED1F， 又DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD. ∴P为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， ∴连接PB，则PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.
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[微思考] 1.基本事实1及推论有怎样的作用？
提示 确定平面，可用其证明点、线共面问题. 2.基本事实3有何作用？
提示 其一可判定两个平面是否相交.只要两个平面有一个公共点，就可判定这 两个平面必相交于过这点的公共直线；其二可以判定点在直线上.若点是两个平 面的公共点，线是两个平面的交线，则点在线上.
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解 (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如 图(1).
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如 图(2).
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规律方法 点与直线(或平面)的关系为元素与集合的关系，用“∈”或∉表示点与直线 (或平面)的关系；直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”，只能用⊂或⊄表 示.
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3.平面的基本事实的 推论 三个推论可确定平面，判断点、线共面问题
(1)推论1：经过_一__条__直__线__与__直__线__外__一__点____，有且只有一个平面. (2)推论2：经过_____两__条__相__交__直__线_____，有且只有一个平面. (般3)推论3：经过_____两__条__平__行__直__线_____，有且只有一个平面.
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二、素养训练 1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
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解析 画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示. 答案 D
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2.已知点A，直线a，平面α，以下表述正确的个数是( ) ①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.
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【训练1】 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B. 在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.
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题型二 点线共面问题 【例2】 已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内.
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11.2 平面的基本事实与推论
课标要求
素养要求
1.掌握平面的基本事实和推论，会用 从直观认识的基础上论证点、线、
符号表达基本事实与推论. 面之间的位置关系，发展培养学生
2.会用平面的基本事实和推论描述点、 的空间想象素养与逻辑推理素养.
直线、平面之间的位置核心素养
1. 平面的基本事实(也称为公理)
习惯上将平面用平行四边形表示
基本事实1：经过___不__在__一__条__直__线__上____的3个点，有且只有一个平面.也可简单说 成：_不__共__线___的3点确定一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的_两__个__点___在一个平面内，那么这条直线在这个平 面内. 基 本 事 实 3 ： 如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 ___一__个___ 公 共 点 ， 那 么 它 们 有 且 只 有 ___一__条__过__该__点_____的公共直线.
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教材拓展补遗 [微判断] 1.梯形是平面图形.( √ ) 2.两两相交的三条直线可以确定一个平面.( × )
提示 若三条直线相交于一点，则三条直线不一定在一个平面内，此时确定一 个或三个平面. 3.两个平面若有三个公共点，则这两个平面相交或重合.( √ )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 ①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如 图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误.
答案 A
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3. 设 平 面 α 与 平 面 β 交 于 直 线 l ， A∈α ， B∈α ， 且 直 线 AB∩l ＝ C ， 则 直 线 AB∩β ＝ ________. 解析 ∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C. 答案 C
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题型三 两平面的交线问题 【例3】 如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为
CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线. 解 在平面AA1D1D内，连接D1F并延长，
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∵D1F与AD不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA.
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题型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示 【例1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形.
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于 PB，平面β与平面γ相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
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4.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面. (2) 空 间 5 点 ， 其 中 有 4 点 共 面 ， 它 们 没 有 任 何 3 点 共 线 ， 这 5 个 点 最 多 可 以 确 定 ________个平面. 解析 (1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面. (2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面. 答案 (1)4 (2)7
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一、素养落地 1.通过对平面的基本事实与推论的理解与应用，发展培养空间想象素养和逻辑推理
素养. 2.平面的基本事实的作用
基本事实1及推论，是判定点共面、线共面的依据；基本事实2是判定直线在平面 内的依据；基本事实3是判定点共线、线共点的依据. 3.理解符号语言所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言， 将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.作直观图时，要注意线的实 虚.
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②若a，b，c，d无三线共点，如图所示：
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∵a∩b＝A， ∴经过a，b有且仅有一个平面α(推论2)， ∴B，C∈α，由基本事实2知c⊂α. 同理，d⊂α，从而有a，b，c，d共面. 综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.
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[微训练] 1.若点M在直线a上，直线a在平面α内，则点M________平面α.
答案 ∈
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2.用符号表示下列语句. (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B； (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上. 解 (1)α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B. (2)A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB.
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教材知识探究
我们的桌面、椅面都给我们平面的形象，而且木匠在做桌面时，也要求它是平的， 并且用直尺在桌面上任意移动来判断所做桌面是否平. 问题 判断一个面是否是平面的依据是什么？ 提示 如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个面内，那么这个面就是平面.