专题四 第一讲 空间几何体
2012届高三文科第二轮复习教案
2012届高三文科第二轮复习教案 专题四 立体几何第一讲 空间几何体主讲：王明章 时间：2012年4月11日 星期三一、教学目标1、了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征2、理解空间几何体的三视图3、会求一些简单几何体的表面积和体积4、培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力二、教学重难点重点：空间几何体的三视图与直观图的转化，表面积和体积的计算难点：空间几何体的三视图以及由三视图还原几何体三、教学方法：讲练结合法四、教具：幻灯片，三角板，直尺六、考点层析冲关【考点一】空间几何体与三视图[例1](1)(2011·新课标全国卷)在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图如图所示，则相应的侧(左)视图可以为 ( )(2)(2011·山东高考)如右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：① 存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是 ( )A ．3B ．2 C.1 D ．0【点二】空间几何体的表面积和积[例2] (1)(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)(2011·陕西高考)某几何体的三视图如右图所示，则它的体积为( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3(3)(2011·广州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图中x 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【考点三】球与空间几何体的切、接问题[例3] (1)(2011·辽宁高考)已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积( )A.33B.233C.433D.533 2)已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π(3)(2011·济南模拟)已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________．【变式】若将本例第(2)题的条件改为“已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ＝SB ＝SC ＝1，且SA ，SB ，SC 两两垂直”，如何求球O 的表面积？每课一技：转化与划归思想[典例] 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB ＝CD ＝2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ( ) A.233 B.433 C ．23 D.833七、方法与技巧小结1、抓住“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”的特点.2、解决空间几何体的表面积和体积问题的常用技巧八、作业布置《创新方案》配套练习九、课后反思由几何体确定三视图或是由三视图还原成几何体的关键是找准投影面及三视图之间的关系。
高中数学必修空间几何体知识点精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第1讲空间几何体一、空间几何体1、空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。
如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
2、多面体和旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱及棱的公共点叫做多面体的顶点。
旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。
这条定直线叫做旋转体的轴。
多面体旋转体圆台圆柱-圆锥圆柱+圆锥圆台+大圆锥-小圆锥二、柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱定义图形表示分类性质有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1。
棱柱的分类一(底面）：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……棱柱的分类二(根据侧棱及底面的关系）：斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱.直棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(1)上下底面平行,且是全等的多边形。
(2)侧棱相等且相互平行。
(3) 侧面是平行四边形。
正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱三棱柱四棱柱五棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱2.棱锥定义图形表示性质分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥Ｓ－ＡＢＣ侧面是三角形，底面是多边形。
按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等，其中三棱锥又叫四面体。
特殊的棱锥－正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心三棱锥四棱锥五棱锥直棱锥2.棱台定义图形表示分类性质用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
(浙江专用)高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第1讲 空间几何体专题强化训练-人教版高三全册数学试
第1讲空间几何体专题强化训练1.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A．4 B．8C．12 D．16解析：选D.如图，以AA1为底面矩形一边的四边形有AA1C1C、AA1B1B、AA1D1D、AA1E1E这4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D.2．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为( )解析：选C.过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C ．323cm 3D ．403cm 3解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．4．(2019·某某模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于( )A ．34B ．41C ．5 2D ．215解析：选C.由正视图、侧视图、俯视图的形状，可判断该几何体为三棱锥，形状如图，其中SC ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，所以最长的棱长为SB ＝5 2.5．(2019·某某十校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．15π2B ．8π C.17π2D ．9π解析：选B.依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分的底面半径为1，最短母线长为3、最长母线长为5，将这两个截后所得的部分拼接恰好形成一个底面半径为1，母线长为5＋3＝8的圆柱，因此题中的几何体的体积为π×12×8＝8π，选B.6.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为123，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为( )A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π解析：选C.设圆柱的底面半径为R ，则三棱柱的底面边长为3R ，由34(3R )2·2R ＝123，得R ＝2，S 圆柱侧＝2πR ·2R ＝16π.故选C.7．(2019·某某市第一次模拟)某几何体的三视图如图所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．54C ．64D ．60解析：选D.根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.8．在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π3解析：选B.由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.9．(2019·某某八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.12B.24C.22 D.32解析：选C.依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－（a2a）2＝22，选C. 10.已知圆柱OO 1的底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．现将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0＜θ≤π)后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ，设BP 的长度为f (θ)，则y ＝f (θ)的图象大致为( )解析：选A.将圆柱的侧面沿轴截面ABCD 展平，则曲线Γ是展开图形(即矩形)的对角线，根据题意，将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0＜θ≤π)后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ，设BP 的长度为f (θ)，则f (θ)应当是一次函数的一段，故选A.11．(2019·某某省重点中学高三12月期末热身联考)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________；表面积是________．解析：根据三视图可得，该几何体是长方体中的四棱锥C BB 1D 1D ，由三视图可得：AB ＝2，BC ＝2，BB 1＝4，VC BB 1D 1D ＝23×12×2×2×4＝163，S C BB 1D 1D ＝12×2×2＋22×4＋12×2×4＋12×2×4＋12×22×18＝16＋8 2.答案：16316＋8 212.(2019·某某市余姚中学期中检测)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________ cm 3，表面积为________cm 2.解析：由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉14后得到的几何体．所以该几何体的体积＝34×12×43×π×13＝π2cm 3.表面积＝34×12×4π×12＋12×π×12＋34×π×12＝11π4 cm 2.答案：π211π413．(2019·某某省“五校联盟”质量检测)已知球O 的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O 的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于________．解析：设球的半径为R ，则4πR 2＝25π，所以R ＝52，所以球的直径为2R ＝5，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则长方体的表面积S ＝2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝50.答案：5014．(2019·某某省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时，该几何体的体积是____________．解析：分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，CD ＝y2，AB＝y ，AC ＝5，CP ＝7，BP ＝x ，所以BP 2＝BC 2＋CP 2，即x 2＝25－y 2＋7，x 2＋y2＝32≥2xy ，则xy ≤16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V ＝13×2＋42×3×7＝37.答案：3715．(2019·某某市高考数学二模)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与B 1D 1所成角的余弦值等于________，若正方体棱长为1，则四面体B EB 1D 1的体积为________．解析：取CC 1中点F ，连接D 1F ，B 1F ，则BE 綊D 1F ， 所以∠B 1D 1F 为异面直线BE 与B 1D 1所成的角．设正方体棱长为1，则B 1D 1＝2，B 1F ＝D 1F ＝1＋14＝52.所以cos ∠B 1D 1F ＝12B 1D 1D 1F ＝2252＝105. V B EB 1D 1＝V D 1BB 1E ＝13S △BB 1E ·A 1D 1＝13×12×1×1×1＝16.答案：1051616．已知棱长均为a 的正三棱柱ABC A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为216的球面上，则a 的值为________．解析：设O 是球心，D 是等边三角形A 1B 1C 1的中心，则OA 1＝216，因为正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长均为a ，所以A 1D ＝32a ×23＝33a ，OD ＝a 2，故A 1D 2＋OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2162，得712a 2＝2136，即a 2＝1，得a ＝1. 答案：117．(2019·瑞安四校联考)已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则此三棱柱的体积的最大值为________．解析：如图，设球心为O ，三棱柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，底面正三角形的边长为a ，则AO 1＝23×32a ＝33a .由已知得O 1O 2⊥底面， 在Rt △OAO 1中，由勾股定理得OO 1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝3·3－a 23，所以V 三棱柱＝34a 2×2×3·3－a 23＝3a 4－a62，令f (a )＝3a 4－a 6(0＜a ＜2)， 则f ′(a )＝12a 3－6a 5＝－6a 3(a 2－2)，令f ′(a )＝0，解得a ＝ 2.因为当a ∈(0，2)时，f ′(a )＞0；当a ∈(2，2)时，f ′(a )＜0，所以函数f (a )在(0，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减． 所以f (a )在a ＝2处取得极大值．因为函数f (a )在区间(0，2)上有唯一的极值点，所以a ＝2也是最大值点．所以(V 三棱柱)max＝3×4－82＝1. 答案：118.如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD , ∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD 的体积．解：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC ∥平面PAD .(2)取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ， 则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3. 所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×2×（2＋4）2×23＝4 3.19.如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D .现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′PBCD 的体积最大时，求PA 的长；(2)若P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . 解：(1)设PA ＝x ，则PA ′＝x ， 所以V A ′PBCD ＝13PA ′·S 底面PBCD ＝13x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 22.令f (x )＝13x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 22＝2x 3－x36(0<x <2)，则f ′(x )＝23－x22.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫0，233233 ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2 f ′(x )0 f (x )单调递增极大值单调递减由上表易知，当PA ＝x ＝233时，V A ′PBCD 取最大值．(2)证明：取A ′B 的中点F ，连接EF ，FP . 由已知，得EF 綊12BC 綊PD .所以四边形EFPD 是平行四边形， 所以ED ∥FP .因为△A ′PB 为等腰直角三角形， 所以A ′B ⊥PF .所以A ′B ⊥DE .。
第1讲 空间几何体
第1讲 空间几何体考情解读 (1)考查空间几何体表面积、体积的计算．(2)考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2．球半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面成的几何体叫做球体． 同一个平面截一个球，截面是圆面． 3．空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上，下底面的周长，h ′为斜高)；④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)；④V 球＝43πR 3(R 为球的半径).热点一 几何体的表面积和体积例1 (1)如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为________．(2)如图，斜三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为b ，侧棱AA ′与底面相邻两边AB 与AC 都成45°角，求此斜三棱柱的表面积．思维启迪 (1)利用V (x )解析式观察对照；(2)作辅助线． (1)答案 ①解析 ①当0<x <12时，过E 点的截面为五边形EFGHI (如图1所示)，连结FI ，图1 图2由SC 与该截面垂直知，SC ⊥EF ，SC ⊥EI .∴EF ＝EI ＝SE tan 60°＝3x ，SI ＝2SE ＝2x ，IH ＝FG ＝BI ＝1－2x ， FI ＝GH ＝2AH ＝22x ，∴五边形EFGHI 的面积S ＝FG ×GH ＋12FI ×EF 2－(12FI )2＝22x －32x 2，∴V (x )＝V C －EFGHI ＋2V I －BHC ＝13(22x －32x 2)×CE ＋2×13×12×1×(1－2x )×22(1－2x )＝2x 3－2x 2＋26，其图象不可能是一条线段，③④不对． ②当12≤x <1时，过E 点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG ，则EG ＝EF ＝EC tan60°＝3(1－x )，CG ＝CF ＝2CE ＝2(1－x )，三棱锥E －FGC 底面FGC 上的高h ＝22(1－x )， ∴V (x )＝13×12CG ·CF ·h ＝23(1－x )3，∴V ′(x )＝－2(1－x )2，又显然V ′(x )＝－2(1－x )2在区间(12，1)上单调递增，∴V ′(x )<0，x ∈(12，1)，∴函数V (x )＝23(1－x )3在区间(12，1)上单调递减，且递减的速率越来越小，故②不对． 故由图象形状，可知V (x )的图象大致为①.(2)解 如图，过A ′作A ′D ⊥平面ABC 于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，连结A ′E ，A ′F ，AD . 则由∠A ′AE ＝∠A ′AF ， AA ′＝AA ′，得Rt △A ′AE ≌Rt △A ′AF ，∴A ′E ＝A ′F ，∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ， 又∵AB ＝AC ，∴BC ⊥AD ，∴BC ⊥AA ′，而AA ′∥BB ′，∴BC ⊥BB ′， ∴四边形BCC ′B ′是矩形，∴斜三棱柱的侧面积为2×a ×b sin 45°＋ab ＝(2＋1)ab . 又∵斜三棱柱的底面积为2×34a 2＝32a 2， ∴斜三棱柱的表面积为(2＋1)ab ＋32a 2. 思维升华 (1)解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据；(2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想．如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连结EF ，FB ，DE ，则几何体EFC 1－DBC 的体积为________．答案 66解析 如图，连结DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66. 热点二 多面体与球例2 如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD 是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A 的距离等于这个点到B ，C ，D 的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可． 答案32π 解析 如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ， 连结AE ，OD ，EO ，AO .由题意，知AB ＝AD ， 所以AE ⊥BD .由于平面ABD ⊥平面BCD ， AE ⊥BD ，所以AE ⊥平面BCD .因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2， 所以AE ＝22，EO ＝12. 所以OA ＝32. 在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32. 所以该球的体积V ＝43π(32)3＝32π.思维升华 多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为___________________________________________________________________． 答案 73πa 2解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，设O ，O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点， 又AD ＝32a ，AO ＝33a ，OO 2＝a 2，设球的半径为R ，则R 2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2. 所以S 球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.热点三 几何体中的最值问题例3 (1)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为________cm.(2)已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为________________________________________________________________________．思维启迪 (1)几何体表面上两点间路线的最小值问题通常利用表面展开图．(2)将体积表示为未知棱的长度x 的函数． 答案 (1)13 (2)1解析 (1)将三棱柱沿AA 1剪开，可得一矩形，其长为6 cm ，宽为5 cm ，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于2(52)2＋62＝13(cm)．(2)如图所示，在四面体S －ABC 中，SB ＝SC ＝BC ＝AB ＝AC ＝2. 设SA ＝x ，点S 到面ABC 的距离为h ，则S △ABC ＝34×22＝ 3. V S －ABC ＝13×S △ABC ×h ＝33h .所以当h 取得最大值时，四面体的体积最大．取BC 的中点D ，连结SD ，则SD ⊥BC ，且SD ＝3，显然当SD ⊥平面ABC 时，h 取得最大值 3. 此时V S －ABC ＝33×3＝1. 思维升华 (1)几何体表面的展开图是解决问题的有效方法，对柱体来说运用起来更方便．(2)函数方法是解决立体几何最值的基本方法，关键是选择影响目标的一个变量．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是________．答案 23c a 2－c 2－1解析 ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a >2c ＝AD ， ∴B 、C 都在以AD 的中点O 为中心， 以A 、D 为焦点的两个椭圆上，∴B 、C 两点在椭圆两短轴端点时，到AD 距离最大，均为a 2－c 2，此时△BOC 为等腰三角形，且AD ⊥OC ，AD ⊥OB ， ∴AD ⊥平面OBC .取BC 的中点E ，显然OE ⊥BC ， OE max ＝a 2－c 2－1，∴(S △BOC )max ＝12×2×a 2－c 2－1＝a 2－c 2－1.∴V D －ABC ＝V D －OBC ＋V A －OBC ＝13·OD ·S △OBC ＋13·OA ·S △OBC ＝13(OD ＋OA )S △OBC ＝13×2c a 2－c 2－1＝23c a 2－c 2－1.1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和． 2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．3．一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)． 4．长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R ；(2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .真题感悟1．(2013·课标全国Ⅱ)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________． 答案 24π解析 设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.则底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝⎛⎭⎫3222＋⎝⎛⎭⎫622＝6， 所以球的表面积为4π(6)2＝24π.2．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32.押题精练1．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．答案3解析 将直三棱柱沿侧棱A 1A 剪开，得平面图形如图所示，A ′C 1为定长，当A ，M ，C 1共线时AM ＋MC 1最短，此时AM ＝2，MC 1＝2 2.又在原图形中AC 1＝14，易知∠AMC 1＝120°， ∴S △AMC 1＝12×2×22×sin 120°＝ 3.2．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为22，32，62，则三棱锥A －BCD 的外接球体积为________． 答案 6π解析如图，以AB ，AC ，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长． 据题意⎩⎪⎨⎪⎧AB ·AC ＝2，AC ·AD ＝3，AB ·AD ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝2，AC ＝1，AD ＝3，∴长方体的体对角线长为AB 2＋AC 2＋AD 2＝6， ∴三棱锥外接球的半径为62. ∴三棱锥外接球的体积为V ＝43π·(62)3＝6π.(推荐时间：50分钟)一、填空题1．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥B 1－BCO 的体积VB 1－BCO ＝________.答案 23解析 VB 1－BCO ＝13S △BCO ·h ＝13×12×2×2×2＝23.2．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10 cm ，则圆锥的母线长为________cm. 答案403解析 作出圆锥的轴截面如图，设SA ＝y ，O ′A ′＝x ，利用平行线截线段成比例，得SA ′∶SA ＝O ′A ′∶OA ， 即(y －10)∶y ＝x ∶4x ，解得y ＝403.所以圆锥的母线长为403.3．如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是________．答案3π3解析 卷出的圆锥筒的母线是原半圆的半径，圆锥筒的底面周长是原半圆的弧长，所以可求得圆锥底面的半径为1，高为3，则其容积大小为3π3. 4．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm.答案 13解析 将三棱柱沿侧棱AA 1展开得如下平面(两周)：因为正三棱柱底面边长为2 cm ，高为5 cm ，所以AA 1＝5 cm ，AA ″＝12 cm ，由勾股定理可得A 1A ″＝13 cm ，即最短路线为13 cm.5．(2013·湖北)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 答案 3解析 天池盆中水的形状是以上底半径10寸，下底半径6寸，高9寸的圆台， ∴平均降雨量＝13×9×π(102＋10×6＋62)π×142＝3.6．(2014·大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为____． 答案81π4解析 如图，设球心为O ，半径为r ， 则Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.7．如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析 V 1＝12VA 1－ADE ＝18VA 1－ABC ＝124V 2，∴V 1∶V 2＝1∶24.8．如图，侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过A 作截面△AEF ，则截面△AEF 的周长的最小值为____________．答案 6解析 沿着侧棱VA 把正三棱锥V －ABC 展开在一个平面内，如图．则AA ′即为截面△AEF 周长的最小值，且∠AVA ′＝3×40°＝120°. 在△VAA ′中，由余弦定理可得AA ′＝6，故答案为6.9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为______．答案 16解析 VD 1－EDF ＝VF －DD 1E ＝13S △D 1DE ·AB＝13×12×1×1×1＝16. 10．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D －ABC 的外接球的表面积等于________． 答案 16π解析 设矩形的两邻边长度分别为a ，b ，则ab ＝8，此时2a ＋2b ≥4ab ＝82，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，此时四边形ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π. 二、解答题11．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AD ⊥侧面P AB ，△P AB 是等边三角形，DA ＝AB ＝2，BC ＝12AD ，E 是线段AB 的中点．(1)求证：PE ⊥CD ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．(1)证明 因为AD ⊥侧面P AB ，PE ⊂平面P AB ，所以AD ⊥PE .又因为△P AB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点， 所以PE ⊥AB .因为AD ∩AB ＝A ，所以PE ⊥平面ABCD . 又CD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥CD . (2)解 由(1)知PE ⊥平面ABCD ， 所以PE 是四棱锥P －ABCD 的高． 由DA ＝AB ＝2，BC ＝12AD ，可得BC ＝1.因为△P AB 是等边三角形， 所以可求得PE ＝ 3.所以V P －ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PE ＝13×12×(1＋2)×2×3＝ 3.12．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°. (1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ， ∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ， ∴EF ⊥PB .(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4. ∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB＝14xy ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝1.当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大． 此时，BE ＝PE ＝2. 由(1)知EF ⊥平面PBE ， ∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB . 即PO 为四棱锥P —EFCB 的高． 又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1.S EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6.∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.。
专题4 第1讲 空间几何体(教师版)
第1讲 空间几何体【要点提炼】考点一 表面积与体积1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)．2．空间几何体的体积公式V 柱＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 锥＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； V 球＝43πR 3(R 为球的半径)． 【热点突破】【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．【答案】 402π【解析】 因为母线SA 与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r ，则母线长l ＝2r.在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，所以sin ∠ASB ＝158. 因为△SAB 的面积为515，即12SA ·SBsin ∠ASB＝12×2r ×2r ×158＝515， 所以r 2＝40，故圆锥的侧面积为πrl ＝2πr 2＝402π.(2)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三棱锥D －BB 1C 1的体积为________．【答案】 233 【解析】 如图，取BC 的中点O ，连接AO.∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，∴AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝ 3.∵AA 1∥平面BCC 1B 1，∴点D 到平面BCC 1B 1的距离为 3.又11BB C S ＝12×2×2＝2， ∴11D BB C V ＝13×2×3＝233. 易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)．(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解．(3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π【答案】 B【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意可知2r ＝h ＝22，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πr ·h ＝4π＋8π＝12π.故选B.(2)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，D 和E 分别是边BC 和AC 上异于端点的点，DE ⊥BC ，将△CDE 沿DE 折起，使点C 到点P 的位置，得到四棱锥P －ABDE ，则四棱锥P －ABDE 的体积的最大值为________．【答案】 327 【解析】 设CD ＝DE ＝x(0<x<1)，则四边形ABDE 的面积S ＝12(1＋x)(1－x)＝12(1－x 2)，当平面PDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P －ABDE 的体积最大，此时PD ⊥平面ABDE ，且PD ＝CD ＝x ，故四棱锥P －ABDE 的体积V ＝13S ·PD ＝16(x －x 3)，则V ′＝16(1－3x 2)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33时，V ′>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1时，V ′<0. ∴当x ＝33时，V max ＝327. 【要点提炼】考点二 多面体与球解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O 与截面圆的圆心O 1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．【典例】2 (1)已知三棱锥P －ABC 满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝4，∠APB ＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】 64π【解析】 因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC 的外接球球心在平面PAB 上，即球心就是△PAB 的外心，根据正弦定理AB sin ∠APB＝2R ，解得R ＝4， 所以外接球的表面积为4πR 2＝64π.(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】 23π 【解析】 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π. 规律方法 (1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S －ABC 的外接球球心O 的确定方法：先找到△ABC 的外心O 1，然后找到过O 1的平面ABC 的垂线l ，在l 上找点O ，使OS ＝OA ，点O 即为三棱锥S －ABC 的外接球的球心．(3)多面体的内切球可利用等积法求半径．【拓展训练】2 (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】 C【解析】 如图所示，设球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △AOB ＝12R 2，因为V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 的面积为定值，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36， 故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD ＝5，ED ＝3，若鳖臑P －ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P －ABCD 的外接球的表面积为________．【答案】 20π【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ，即AD ⊥CE ，且AD ＝5，ED ＝3，∴△ADE 的外接圆半径为r 1＝AE 2＝AD 2＋ED 22＝2， 设鳖臑P －ADE 的外接球的半径为R 1，则43πR 31＝92π，解得R 1＝322. ∵PA ⊥平面ADE ，∴R 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 21， 可得PA 2＝R 21－r 21＝102，∴PA ＝10. 正方形ABCD 的外接圆直径为2r 2＝AC ＝2AD ＝10，∴r 2＝102，∵PA ⊥平面ABCD ，∴阳马P －ABCD 的外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 22＝5， ∴阳马P －ABCD 的外接球的表面积为4πR 22＝20π.专题训练一、单项选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形【答案】 A【解析】 AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2.在Rt △AOB 中，AB ＝12＋32＝2，同理AC ＝2，所以原△ABC 是等边三角形．2．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12 【答案】 C【解析】 设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ，侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′，则由已知得h 2＝12ah ′. 如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， ∴h ′2＝12ah ′＋14a 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0， 解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)． 3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18【答案】 C【解析】 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12lR ＝2πr 2， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形，设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14. 4．(2020·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为( )A ．4 500元B ．4 000元C ．2 880元D ．2 380元【答案】 B【解析】 因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V ＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为4×1 000＝4 000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】 B【解析】 由已知得V 三棱锥O －AEF ＝V 三棱锥E －OAF ＝13S △AOF ·h(h 为点E 到平面AOF 的距离)．连接OC ，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值．又AO ∥A 1C 1，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，所以△AOF 的面积是定值，所以三棱锥O －AEF 的体积与x ，y 都无关．6．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π 【答案】 C【解析】 如图，过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3. 7．(2020·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】 A【解析】 如图，设圆O 1的半径为r ，球的半径为R ，正三角形ABC 的边长为a.由πr 2＝4π，得r ＝2， 则33a ＝2，a ＝23， OO 1＝a ＝2 3.在Rt △OO 1A 中，由勾股定理得R 2＝r 2＋OO 21＝22＋(23)2＝16，所以S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π.8．(2020·武汉调研)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为( ) A.32π3 B ．3π C.4π3 D ．8π【答案】 A【解析】 设△ABC 外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3， ∴2r ＝AB sin ∠ACB ＝112＝2， 即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3， ∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，∴球O 的体积V ＝43π·OA 3＝32π3.故选A. 9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27 C ．81πD ．128π【答案】 B 【解析】 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0<h<5)，底面半径为r(0<r<5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱的体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h<5)，把V 看成是关于h 的函数，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h<53时，V ′>0，V 单调递增；当53<h<5时，V ′<0，V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值．即V max ＝π⎝⎛⎭⎪⎫25－259×⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋5＝4 000π27，故选B. 10．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为( )A.36B.12C.13D.32【答案】 C【解析】 ∵在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等，∴此三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ，∵球O 的半径为1， ∴正方体的边长为233，即PA ＝PB ＝PC ＝233， 球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×h ＝13 S △PAB ×PC ＝13× 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2333， ∵△ABC 为边长为263的正三角形， S △ABC ＝233，∴h ＝23， ∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为13. 二、多项选择题11．(2020·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图③所示时，AE ·AH 为定值【答案】 AD【解析】 由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD ∥HG ∥EF ∥AB ，且平面AEHD ∥平面BFGC ，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A 正确；因为水面EFGH 所在四边形，从图②，图③可以看出，EF ，GH 长度不变，而EH ，FG 的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH 所在四边形的面积是变化的，故B 错；假设A 1C 1与水面所在的平面始终平行，又A 1B 1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A 1B 1C 1D 1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C 错；水量不变时，棱柱AEH －BFG 的体积是定值，又该棱柱的高AB 不变，且V AEH －BFG ＝12·AE ·AH ·AB ，所以AE ·AH ＝2V AEH －BFG AB ，即AE ·AH 是定值，故D 正确． 12. (2020·青岛检测)已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22，A 1B 1＝2，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A ．该四棱台的高为 3B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π【答案】 AD【解析】 将四棱台补为如图所示的四棱锥P －ABCD ，并取E ，E 1分别为BC ，B 1C 1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为O 1，O ，连接AC ，BD ，A 1C 1，B 1D 1，A 1O ，OE ，OP ，PE.由条件知A 1，B 1，C 1，D 1分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则PA ＝2AA 1＝4，OA ＝2，所以OO 1＝12PO ＝12PA 2－OA 2＝3，故该四棱台的高为3，故A 正确；由PA ＝PC ＝4，AC ＝4，得△PAC 为正三角形，则AA 1与CC 1所成角为60°，故B 不正确；四棱台的斜高h ′＝12PE ＝12PO 2＋OE 2＝12×232＋22＝142，所以该四棱台的表面积为(22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C 不正确；易知OA 1＝OB 1＝OC 1＝OD 1＝O 1A 21＋O 1O 2＝2＝OA ＝OB ＝OC ＝OD ，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为4π×22＝16π，故D 正确．三、填空题13．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．【答案】 1【解析】 如图，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积S 侧＝πrl ＝2π，即r ·l ＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl 2＝2π， 可得l ＝2，因此r ＝1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2.【答案】 2 600π【解析】 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S ＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm 2)． 15．已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为________．【答案】 823π 【解析】 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径2R ＝22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π. 16．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2π2【解析】 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形，则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ. 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1，同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点，∴∠PEQ ＝π2， 知PQ 的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.。
高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题四 1 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
专题四立体几何与空间向量第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ空间几何体的三视图及侧面展开问题·T71.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)．2．考查一个小题时，此小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一个小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，此小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查.空间几何体的截面问题·T12卷Ⅱ圆锥的侧面积·T16卷Ⅲ三视图的识别·T3三棱锥的体积及外接球问题·T102017卷Ⅰ空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7卷Ⅱ空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4卷Ⅲ球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T82016卷Ⅰ有关球的三视图及表面积的计算·T6卷Ⅱ空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T6卷Ⅲ空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T9直三棱柱的体积最值问题·T10空间几何体的三视图(基础型) 一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．由三视图还原到直观图的三个步骤(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．[注意]在读图或者画空间几何体的三视图时，应注意三视图中的实线和虚线．[考法全练]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：选A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N 的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.3．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.12B.22C.24D.14解析：选D.由三棱锥C -ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C -ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C -ABD 的侧视图的面积为14，故选D.4．(2018·长春质量监测(二))如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为( )A ．2 B. 5 C ．2 2D ．3解析：选D.如图，三棱锥A -BCD 即为所求几何体，根据题设条件，知辅助的正方体棱长为2，CD ＝1，BD ＝22，BC ＝5，AC ＝2，AB ＝3，AD ＝5，则最长棱为AB ，长度为3.5．(2018·石家庄质量检测(一))如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中，最小面的面积是( )A ．2 3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C.在正方体中还原该几何体，如图中三棱锥D -ABC 所示，其中正方体的棱长为2，则S △ABC ＝2，S △DBC ＝22，S △ADB ＝22，S △ADC ＝23，故该三棱锥的四个面中，最小面的面积是2，选C.空间几何体的表面积和体积(综合型)柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)． (2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)． (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)．(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S ，S ′分别为上下底面面积，h 为高)(不要求记忆)．[典型例题]命题角度一 空间几何体的表面积(1)(2018·潍坊模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．4＋23B ．4＋4 2C ．6＋2 3D ．6＋4 2(2)(2018·合肥第一次质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．5π＋18B ．6π＋18C ．8π＋6D ．10π＋6【解析】 (1)由三视图还原几何体的直观图如图所示，易知BC ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥PC ，又AP ＝AC ＝BC ＝2，所以PC ＝22＋22＝22，又AB ＝22，所以S △PBC ＝S △P AB ＝12×2×22＝22，S △ABC ＝S △P AC ＝12×2×2＝2，所以该几何体的表面积为4＋4 2.(2)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2×12×4π×12＋2×12×π×12＋2×3＋12×2π×1×3＝8π＋6. 【答案】 (1)B (2)C求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积．命题角度二 空间几何体的体积(1)(2018·武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.22C.33D.23(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．【解析】 (1)由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中，截去一个三棱柱AA 1D 1BB 1C 1和一个三棱锥C -BC 1D 后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D -ABC 1D 1，四棱锥D -ABC 1D 1的底面积为S 四边形ABC 1D 1＝2×2＝22，高h ＝22，其体积V ＝13S 四边形ABC 1D 1h ＝13×22×22＝23.故选D.(2)由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，得12l 2＝8，得l ＝4.在Rt △ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.【答案】 (1)D (2)8π求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．[对点训练]1．(2018·洛阳第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.2．(2018·唐山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．3 B.113 C ．7D.233解析：选B.由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为2，1，2，体积为4，切去的三棱锥的体积为13，故该几何体的体积V ＝4－13＝113.故选B.多面体与球(综合型)[典型例题]命题角度一 外接球(2018·南宁模拟)三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，P A⊥PB ，三棱锥P -ABC 的外接球的体积为( )A.272π B.2732πC ．273πD ．27π【解析】 因为三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，所以△P AB ≌△PBC ≌△P AC .因为P A ⊥PB ，所以P A ⊥PC ，PC ⊥PB .以P A ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P -ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P -ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝⎛⎭⎫3323＝2732π，故选B.【答案】 B解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．命题角度二 内切球已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A.7π6B.4π3C.2π3D.π2【解析】 当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x (各棱长都相等)，依题意，⎝⎛⎭⎫x 43＝18，得x ＝2.易得小三棱锥的高为263，设小球半径为r ，则13S 底面·263＝4·13·S 底面·r ，得r ＝66，故小球的表面积S ＝4πr 2＝2π3.故选C.【答案】 C求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．命题角度三 与球有关的最值问题(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3【解析】 如图，E 是AC 中点，M 是△ABC 的重心，O 为球心，连接BE ，OM ，OD ，BO .因为S △ABC ＝34AB 2＝93，所以AB ＝6，BM ＝23BE ＝23AB 2－AE 2＝2 3.易知OM ⊥平面ABC ，所以在Rt △OBM 中，OM ＝OB 2－BM 2＝2，所以当D ，O ，M 三点共线且DM ＝OD ＋OM 时，三棱锥D -ABC 的体积取得最大值，且最大值V max ＝13S △ABC ×(4＋OM )＝13×93×6＝18 3.故选B.【答案】 B多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题，二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题．[对点训练]1．(2018·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )A.83π B.323π C ．16πD ．32π解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，R 2＝(3－R )2＋(3)2，解得R ＝2，所以所求球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝323π，故选B.2．(2018·洛阳第一次联考)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱均相切，则球O 的体积为( )A.823πB.833πC.863π D.1623π解析：选A.将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π，故选A.3．已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O 的体积等于( )A.42π3B.162π3C.322π3D.642π3解析：选D.由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥．因为该四棱锥的表面积等于16＋163，设球O 的半径为R ，则AC ＝2R ，SO ＝R ，如图，所以该四棱锥的底面边长AB ＝2R ，则有(2R )2＋4×12×2R × （2R ）2－⎝⎛⎭⎫22R 2＝16＋163，解得R ＝22，所以球O 的体积是43πR 3＝6423π.故选D.一、选择题1．(2018·长沙模拟)如图是一个正方体，A ，B ，C 为三个顶点，D 是棱的中点，则三棱锥A -BCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )解析：选A.正视图和俯视图中棱AD 和BD 均看不见，故为虚线，易知选A.2．(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝AB ＝P A ＝2，AB ⊥AD ，P A ⊥平面ABCD ，故△P AD ，△P AB 为直角三角形， 因为P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，且P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥PB ，所以△PBC 为直角三角形，容易求得PC ＝3，CD ＝5，PD ＝22， 故△PCD 不是直角三角形，故选C.3．(2018·沈阳教学质量监测(一))如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3解析：选A.由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.4．(2018·西安八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.4π3B.5π3 C ．2＋2π3D ．4＋2π3解析：选B.由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积V ＝23π×13＋12π×12×2＝5π3，故选B.5．(2018·长春质量检测(一))已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB ＝6，BC ＝23，且四棱锥O -ABCD 的体积为83，则R 等于( )A ．4B ．2 3 C.479D.13解析：选A.如图，设矩形ABCD 的中心为E ，连接OE ，EC ，由球的性质可得OE ⊥平面ABCD ，所以V O ABCD ＝13·OE ·S 矩形ABCD ＝13×OE×6×23＝83，所以OE ＝2，在矩形ABCD 中可得EC ＝23，则R ＝OE 2＋EC 2＝4＋12＝4，故选A.6．(2018·南昌调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.23 B.43 C ．2D.83解析：选A.由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A -BCD 所示，故该几何体的体积V ＝13×12×1×2×2＝23.7．(2018·辽宁五校协作体联考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是( )A ．8B ．16C ．24D ．48解析：选A.由三视图还原三棱锥的直观图，如图中三棱锥P ABC 所示，且长方体的长、宽、高分别为6，2，4，△ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝6，三棱锥P -ABC 的高为4，故其体积为13×12×6×2×4＝8，故选A.8．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3D.2π9解析：选B.如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，设V (r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，则V ′(r )＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫233＝8π27. 9．(2018·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( )A ．14B ．10＋4 2 C.212＋4 2 D.21＋32＋4 2解析：选D.由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫22－12×1×1＋12×(22－12)＋12×22＋2×22＋12×32×(2)2＝21＋32＋42，故选D. 10．(2018·太原模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )A ．3 3B ．2 6 C.21D ．2 5解析：选B.由三视图得，该几何体是四棱锥P -ABCD ，如图所示，ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝3，平面P AD ⊥平面ABCD ，过点P 作PE ⊥AD ，则PE ＝4，DE ＝2，所以CE ＝22，所以最长的棱PC ＝PE 2＋CE 2＝26，故选B.11．(2018·南昌调研)已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，P A 为球O 的直径且P A ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( )A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3解析：选B.取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆，所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1，又球O 的直径P A ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2.12．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334B.233C.324D.32解析：选A.记该正方体为ABCD -A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A. 二、填空题13．(2018·洛阳第一次联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是一个对角线长为2的正方形，底面积S ＝12×2×2＝2，高h ＝1，则该几何体的体积V ＝13Sh ＝23.答案：2314．(2018·福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：在长、宽、高分别为3，33，33的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C -BAP ，其中底面BAP 是∠BAP ＝90°的直角三角形，AB ＝3，AP ＝33，所以BP ＝6，又棱CB ⊥平面BAP 且CB ＝33，所以AC ＝6，所以该几何体的表面积是12×3×33＋12×3×33＋12×6×33＋12×6×33＝27 3. 答案：27 315．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π16．(2018·潍坊模拟)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．解析：设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h 22，所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝⎝⎛⎭⎫6－h 22h ，则V ′＝6－32h 2，由V ′>0，得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8.答案：2。
专题四 第一讲 空间几何体
一、选择题1．(2011·安徽新安中学、望江三中联考)右图是某几何体的直观图，其三视图正确的是( )答案：A2．(2011·郑州模拟)已知正方体的外接球的体积是4π3( ) A.23 B.33 C.223 D.233解析：设正方体的外接球半径为r ，正方体棱长为a ，则43πr 3＝43π，∴r ＝1.∴3a ＝2r ＝2，∴a ＝233. 答案：D3．(2011·广州模拟)正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE＝1，BF ＝12，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P －DEF 的体积为( )A.13B.56C.239D.23 解析：∵BE ＝1，BF ＝12，∴EF ＝52，AE ＝1，CF ＝32，如图(1)所示．折起后的立体图形如图(2)所示．在△PEF 中，PE ＝AE ＝1，PF ＝CF ＝32EF ＝52， ∴PE 2＋EF 2＝PF 2.∴△PEF 为直角三角形．又PD ⊥PF ，PD ⊥PE ，∴PD ⊥平面PEF .∴V P －DEF ＝13S △PEF ·PD ＝13×12×PE ×EF ×PD ＝56. 答案：B4．(2011·山东高考)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 解析：把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个直角边所在侧面放在水平面上，就可以使得这个三棱柱的正(左)视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上，即可使得这个四棱柱的正(主)视图和俯视图符合要求，命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，命题③也是真命题．答案：A二、填空题5．(2011·天津联考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由三视图可知，此几何体的上面是正四棱柱，其长，宽，高分别是2,1,1，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是2,1,1，因此该几何体的体积V＝2×1×1＋2×1×1＝4(m3)．答案：46．(2011·辽宁高考)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，侧(左)视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．解析：设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为23，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为3，故所求矩形的面积为2 3.答案：2 37．(2011·东北三校)设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC ＋S△ABD＋S△ACD的最大值是________．解析：依题意得，由点A，B，C，D构成的三棱锥可补形成一个长方体，该长方体的外接球即是题中所提及的球，因此有AB2＋AC2＋AD2＝(2×2)2＝16；又AB2＋AC24＋AC2＋AD24＋AB2＋AD24≥12AB·AC＋12AC·AD＋12AB·AD，即有12AB·AC＋12AC·AD＋12AB·AD≤12(AB2＋AC2＋AD2)＝8，S△ABC＋S△ABD＋S△ACD≤8，当且仅当AB＝AC＝AD时取等号，即S△ABC ＋S△ABD＋S△ACD的最大值是8.答案：8三、解答题8．如图，边长为5的正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在的平面，垂足E 是圆O上异于C、D的点，AE＝3.(1)求证：平面ABCD⊥平面ADE；(2)求四棱锥E－ABCD的体积．解：(1)证明：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE.∴AE⊥CD.又ABCD为正方形，∴CD⊥AD.∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE，CD⊂平面ABCD. ∴平面ABCD⊥平面ADE.(2)作EF⊥AD交AD于F，∵平面ABCD⊥平面ADE，AD为交线，EF⊂平面ADE，∴EF⊥平面ABCD.在Rt△AED中，AE＝3，AD＝5，∴DE＝4.EF＝AE·DEAD＝3×45＝125，V E－ABCD＝13S ABCD·EF＝13×25×125＝20.9．(2011·南京模拟)如图，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1－ABC 的体积．解：(1)证明：如图，连接DD1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为D、D1分别是BC、B1C1的中点，所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD.所以四边形B1BDD1为平行四边形，所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又因为AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，AA1＝DD1.所以四边形AA1D1D为平行四边形．所以A1D1∥AD.又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，故A1D1∥平面AB1D.(2)在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为平面ABC⊥平面B1C1CB，且交线为BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB.即AD是三棱锥A－B1BC的高．在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4得AD＝2 3. 在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以S△B1BC＝34×42＝4 3.所以三棱锥B1－ABC的体积，即三棱锥A－B1BC的体积V＝13S△B1BC·AD＝13×43×23＝8.10．(2011·安徽新安中学联考)在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求多面体ABCDE的体积．解：(1)证明：由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC.∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∴∠EBF＝60°，易求得EF＝DO＝3，所以四边形DEFO是平行四形，DE∥OF.∵DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC，∴OB⊥平面ACD.又∵DE∥OB，∴DE⊥平面DAC.∴三棱锥E－DAC的体积V1＝13S△DAC·DE＝13·3·(3－1)＝3－33.又三棱锥E－ABC的体积V2＝13S△ABC·EF＝13·3·3＝1，∴多面体ABCDE 的体积为V ＝V 1＋V 2＝6－33.。
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积
专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积——小题备考微专题1 空间几何体的表面积和体积常考常用结论1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积 S ＝πr (r ＋l )；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2.2．柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.保 分 题1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为( ) A ．√6π B ．√3π C ．√63π D ．√33π2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．2∶33．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为( )A ．2√23B ．43 C ．4√23D ．83提分题例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC＝()A．13B．12C．2−√32D．√3−12(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A．2 B．√3C．√2D．1听课笔记：【技法领悟】1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．巩固训练11.[2022·山东菏泽一模]如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A 1B 1C (如图2)，则容器的高h 为( )A ．3B ．4C ．4√2D ．62．[2022·福建福州三模]已知AB ，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB ⊥CD ，O 1，O 分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD 的体积为18，则该圆柱的侧面积为( )A ．9πB ．12πC ．16πD ．18π微专题2 与球有关的切、接问题常考常用结论1．球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.2．长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径． 3．n 面体的表面积为S ，体积为V ，则内切球的半径r ＝3VS .4．直三棱柱的外接球半径：R ＝√r 2+(L2)2，其中r 为底面三角形的外接圆半径，L 为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径R ′＝L2.5．正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R ＝√64a (a 为正四面体的棱长)，球心到底面的距离为内切球的半径r ＝√612a ，因此R ∶r ＝3∶1.保 分 题1.[2022·广东深圳二模]已知一个球的表面积在数值上是它的体积的√3倍，则这个球的半径是( )A ．2B ．√2C ．3D ．√32．已知正四棱锥P ABCD 中，AB ＝√6，P A ＝2√3，则该棱锥外接球的体积为( )A．4π B．32π3C．16π D．16π33．[2022·天津红桥一模]一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、√2、3，则此球的体积为________．提分题例2 (1)[2022·江苏苏州三模]《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”(注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体)，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为()立方尺A．√41πB．41π3D．3√41πC．41√41π6(2)[2022·山东泰安三模]如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1＝4，点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动，则三棱锥D ABC 的外接球表面积的最大值为()π B．24πA．814C．243π D．8√6π16听课笔记：【技法领悟】1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．巩固训练21.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为()A．√22π B．√2πC．2π D．2√2π2．[2022·广东潮州二模]已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P ABC的体积的最大值为()A．√3B．3√32C．9√34D．√32专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积微专题1 空间几何体的表面积和体积保分题1．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则πr ×2＝2π，可得r ＝1，则h ＝√22−r 2＝√3，因此，该圆锥的体积为V ＝13πr 2h ＝13π×12×√3＝√33π. 答案：D2．解析：设球的半径为r ，依题意圆柱的底面半径也是r ，高是2r ， 圆柱的侧面积＝2πr ·2r ＝4πr 2 ，球的表面积为4πr 2 ， 其比例为1∶1. 答案：A3．解析：该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为√2的正方形，棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为2×13×√2×√2×1＝43.答案：B提分题[例1] 解析：(1)由题可知平面A 1B 1ED 与棱柱上、下底面分别交于A 1B 1，ED ， 则A 1B 1∥ED ，ED ∥AB ， 显然CDE - C 1A 1B 1是三棱台，设△ABC 的面积为1，△CDE 的面积为S ，三棱柱的高为h ， ∴12·1·h ＝13h (1＋S ＋√S )， 解得√S ＝√3−12，由△CDE ∽△CAB ，可得CD AC ＝√S√1＝√3−12. (2)如图，截面为△P AB ，设C 为AB 中点，设OC ＝x ，x ∈[0，√3)，则AB ＝2√3−x 2，PC ＝√x 2+1，则截面面积S ＝12×2√3−x 2×√x 2+1＝√−(x 2−1)2+4，则当x 2＝1时，截面面积取得最大值为2. 答案：(1)D (2)A[巩固训练1]1．解析：在图1中V 水＝12×2×2×2＝4，在图2中，V 水＝V ABC − A 1B 1C 1− V C − A 1B 1C 1＝12×2×2×h －13×12×2×2×h ＝43h ， ∴43h ＝4，∴h ＝3.答案：A2．解析：分别过A ，B 作圆柱的母线AE ，BF ，连接CE ，DE ，CF ，DF ，设圆柱的底面半径为r ，则三棱锥A - BCD 的体积为两个全等四棱锥C - ABFE 减去两个全等三棱锥A - CDE ， 即2×13×r ×2r ×r －2×13×r ×12×2r ×r ＝23r 3＝18，则r ＝3，圆柱的侧面积为2πr ×r ＝18π答案：D微专题2 与球有关的切、接问题保分题1．解析：设球的半径为R ，则根据球的表面积公式和体积公式， 可得，4πR 2＝43πR 3×√3，化简得R ＝√3. 答案：D2．解析：正方形ABCD 的对角线长√6+6＝2√3，正四棱锥的高为 √(2√3)2−(2√32)2＝3，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋(2√32)2＝R 2⇒R ＝2， 所以外接球的体积为4π3×23＝32π3.答案：B3．解析：长方体外接球的直径为√12+(√2)2+32＝2√3，所以外接球半径为√3，所以球的体积为4π3×(√3)3＝4√3π.答案：4√3π提分题[例2] 解析：(1)作出图象如图所示：由已知得球心在几何体的外部， 设球心到几何体下底面的距离为x ， 则R 2＝x 2＋(52)2＝(x ＋1)2＋(√52)2，解得x ＝2，∴R 2＝414， ∴该球体的体积V ＝4π3×(√412)3＝41√41π6.(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝2，所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1, 且AO 1＝√2，连接O 1与A 1B 1的中点E ，则O 1E ∥AA 1，所以O 1E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在O 1E 上， 设OO 1＝x ，DE ＝t (0≤t ≤√2)，半径为R ， 因为OA ＝OD ＝R ，所以√2+x 2＝√(4−x )2+t 2， 所以t 2＝8x －14，又0≤t ≤√2， 所以74≤x ≤2，因为R 2＝2＋x 2，所以8116≤R 2≤6，所以三棱锥D －ABC 的外接球表面积的最大值为24π. 答案：(1)C (2)B [巩固训练2]1．解析：设外接球的半径为R ，圆柱底面圆的半径为r ，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高h ＝2r ，由球O 的表面积S ＝4πR 2＝8π，得R ＝√2，又R ＝ √(h2)2+r 2＝√2r ，得r ＝1，所以圆柱的体积V ＝πr 2·2r ＝2πr 3＝2π.答案：C2．解析：球O 的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得：R ＝2，由已知可得：S △ABC ＝√34×32＝9√34，其中AE ＝23AD ＝√3，球心O 到平面ABC 的距离为√R 2−(√3)2＝1， 故三棱锥P - ABC 的高的最大值为3， 体积最大值为13S △ABC ·3＝9√34.答案：C。
专题四 第1讲 空间几何体
所以 2πr1＝43πl，2πr2＝23πl，得 r1＝23l，r2＝13l. 由勾股定理得，h1＝ l2－r21＝ 35l，h2＝ l2－r22＝232l， 所以VV甲 乙＝3131ππrr2122hh12＝24 25＝ 10.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面
EF＝ BD2＋ED－FB2＝ 2 22＋2－12＝3，
所以EF2＝OE2＋OF2，所以OF⊥OE. 又OE∩AC＝O，OE，AC⊂平面ACE， 所以OF⊥平面ACE， 所以 V3＝VF－ACE＝13S△ACE·OF＝13×12AC·OE·OF ＝13×12×2 2× 6× 3＝2， 所以V3≠2V2，V1≠V3，V3＝V1＋V2,2V3＝3V1， 所以选项A，B不正确，选项C，D正确.
专题四 立体几何
第1讲 空间几何体
考情分析
空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高 考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.
内容索引
考点一 空间几何体的折展问题 考点二 表面积与体积 考点三 多面体与球
专题强化练
考点一
空间几何体的折展问题
核心提炼
AB＝40 km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观
光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度
最短时，下坡路段长为
A.60 km
B.12 6 km
√C.72 km
D.12 15 km
该圆锥的母线长为 40 152＋402＝160， 所以圆锥的侧面展开图是圆心角为2×1π6×0 40＝π2的扇形， 如图，展开圆锥的侧面，连接A′B， 由 两 点 之 间 线 段 最 短 ， 知 观 光 公 路 为 图 中 的 A′B ， A′B ＝
专题四 第一讲 空间几何体
[做考题
查漏补缺]
(2011· 广东高考)如图所示，某几何体的正视图(主视 图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该 几何体的体积为 ( )
A．6 3 C．12 3
[解析] 所示．
B．9 3 D．18 3
由三视图可还原几何体的直观图如图
此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一 个长和宽均为 3，高为 3的长方体，所求体积 V＝3×3× 3＝9 3.
知考情 专题四 立 体
第 1 讲
空 研考题
间
几 何 体
析考向
集
合
战考场
高频考点
考情解读
考查方式 选择题、 填空题 选择题、 填空题 选择题、 填空题
空间几何体与三 常考查由几何体确定三视图 视图 及由三视图还原几何体
空间几何体的表 多与三视图相结合考查表面 面积与体积 与球有关的几何 体的切接问题 积及体积的求法 多涉及球与棱柱、棱锥的切
接问题，主要计算球的表面
积及体积
[联知识
串点成面]
1．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的
下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的 右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度 一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴
平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半．
[做考题
查漏补缺]
(2011· 江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的
几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为 ( )
[解析] 如图所示，点D1的投影为点C1，点D的投影为
点C，点A的投影为点B.
[答案] D
1．(2011· 浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则 这个几何体的直观图可以是 ( )
大学数学(高数微积分)专题四第讲立体几何(课堂讲义)
两两互相垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素
“补形”成为一个球内接长方体，则 4R2＝a2＋b2＋c2 求解．
28
热点分类突破
(1)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和
侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体
的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是
()
本 讲 栏 目 开 关
本
讲 在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的
栏
目 表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球
开
关 之外，都是其侧面积和底面面积之和． 2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球 除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计 算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中 的轴截面．
坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度
不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
6
主干知识梳理
4．空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：
①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；
本 讲
②S锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
栏 目
③S台侧＝
22
热点分类突破
(2)(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积为________．
本 讲 栏 目 开 关
23
热点分类突破
解析 (1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成．
V＝10×4×5＋12×π×32×2＝200＋9π.
本 讲
(2)将三视图还原为直观图后求解．
栏
目 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，
专题4 第1讲 空间几何体PPT课件
平面 ABC，∴DC⊥AB.
又∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∴AB⊥平面 BDC. 又 EF∥AB，∴EF⊥平面 BCD.
故 VD－BCE＝VE－BCD＝13S△BCD·EF＝13×12×
3×
6×1＝
2 2.
(2)证明：连接 CF.
依题意
AB⊥BF AB⊥BC
⇒
BF∩BC＝B
ABBD⊥⊂平平面面BBFFDD⇒
AEBF⊥∥BADB ⇒EF⊥BD.①
又在 Rt△BCF 和 Rt△CDB 中，
6
BBCF＝
2＝ 3
22，CBCD＝
2＝ 6
22⇒BBCF＝CBCD
⇒ Rt △ BCF ∽ Rt △ CDB ⇒ ∠ BDC ＝ ∠ BCF ⇒ ∠ BDC ＋ ∠
DCF＝∠BCF＋∠DCF＝90°⇒CF⊥BD.②
由①②⇒BD⊥平面 CEF.
①有一个面是多边形(底面)； ②其余各面是有公共顶点的三角形．
①底面互相平行； ②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)
名称 圆柱 圆台
球
几何特征
①有两个互相平行的圆面(底面)； ②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成 的)，且母线与底面垂直
①底面互相平行； ②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一 周形成的
4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解 决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视 图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.
1．识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的 对应关系和虚实线．
2．注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去 一部分后剩余部分的表面积计算．要弄清增加和减少的部 分．
几何体的表面积与体积
专题四第1讲空间几何体
考 点 核 心 突 破
答案 A
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 何
基 础 要 点 整 合
专题四
立体几
解 题 规 范 流 程
4． (2013· 惠州模拟)如图是某简单组合体的三视图， 则 该组合体的体积为
考 点 核 心 突 破
A．36 3(π＋ 2) C．108 3π
考 点 核 心 突 破
[答案] (1)C (2)C
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 何
基 础 要 点 整 合
专题四
立体几
解 题 规 范 流 程
【拓展归纳】通盘考虑求解三视图问题
(1)分析空间几何体的三视图问题时，要先根据俯视
图确定几何体的底面，然后根据正视图与侧视图确定几 何体的侧棱与侧面的特征；
解 题 规 范 流 程
2．理解两种作图规则
(1) 三视图排列规则：俯视图放在正 ( 主 ) 视图的下面，
长度与正 ( 主 ) 视图一样；侧 ( 左 ) 视图放在正 ( 主 ) 视图的右 面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．画三视
图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)
侧一样高． (2)画直观图的规则
第一部分 何
基 础 要 点 整 合
专题四
立体几
解 题 规 范 流 程
[ 自主解答 ]
(1) 选项 A 中，由正视图和侧视图可知
其俯视图应为如图①的正方形，选项B和D中的正视图与 侧视图所确定的俯视图如图②所示，所以 A 、 B、 D 都错 误，故选C.
考 点 核 心 突 破
2012二轮4.1空间几何体
2012二轮专题四：立体几何【备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：1．全面掌握空间几何体的概念及性质，特别是常见几何体如正方体、长方体、棱柱、棱锥、球的概念和性质，这是进行计算和证明的基础。
2．多面体画图、分析图，用自己的语言描述图，提高借助图形分析问题的能力，培养空间观念。
3．注重三视图与直观图的相互转化及等积转化的思想。
4．特别关注空间三种角落计算问题以及涉及到探究点的位置的问题。
第一讲 空间几何体【 考纲透析】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
4．会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。
5．了解球、棱柱、棱锥的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
【 要点突破】要点考向1：空间几何体的三视图考情聚焦：1．三视图是新课标教材的新增内容，是高考中新的增加点及亮点。
2．常与表面积、体积计算综合出现，多以选择题或解答题的形式呈现，属较容易的题。
考向链接：1．解答此类问题，首先由三视图想象出原几何体的形状，并由相关数据得出几何体中的量。
2．掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向。
例1：（2010·陕西高考理科·Ｔ7）若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是（ ）(A)13(B)23(C) 1 (D) 2【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中等题。
【思路点拨】三视图⇒几何体是直三棱柱⇒该几何体的体积【规范解答】选C 由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为和1的直角三角形，棱柱的高为，所以该几何体的体积1(1) 1.2V =⨯⨯=要点考向2：几何体的表面积与体积考情聚焦：1．几何体的表面积与体积一直是高考的热点内容，应引起重视。
空间几何中的计算
达州外国语学校教学案设计及课后观评
归纳小结(1)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.(2)多面体的表面积是各个面的
归纳小结解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间
归纳小结(1)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.
(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分。
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5．(2011·杭州质检 已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点，SA⊥平 ． 杭州质检)已知 ， ， ， 表面上的点， ⊥ 杭州质检 面 ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝ 2，则球 O 的表面积等 ， ⊥ ， ＝ ＝ ， ＝ ， 于 A．4π ． C．2π ． B．3π ． D．π ． ( )
A．6 3 ． C．12 3 ．
[解析 解析] 解析 所示． 所示．
B．9 3 ． D．18 3 ．
由三视图可还原几何体的凑成一 的长方体， 个长和宽均为 3，高为 3的长方体，所求体积 ， 的长方体 V＝3×3× 3＝9 3. ＝ × × ＝
[答案 B 答案] 答案
[做考题 查漏补缺 做考题 查漏补缺] (2011·江西高考 将长方体截去一个四棱锥，得到的 江西高考)将长方体截去一个四棱锥 江西高考 将长方体截去一个四棱锥， 几何体如图所示，则该几何体的侧 左 视图为 几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为 ( )
[解析 如图所示，点D1的投影为点 1，点D的投影为 解析] 如图所示， 的投影为点C 解析 的投影为 的投影为点B. 点C，点A的投影为点 ， 的投影为点
解析：如图， 为棱长构造长方体， 解析：如图，以 SA，AB，BC 为棱长构造长方体， ， ， 得体对角线长为 12＋12＋( 2)2＝2R， ) ， 所以 R＝1，S＝4πR2＝4π. ＝ ， ＝
[答案 A 答案] 答案
6． ． (2011·宝鸡模拟 一个六棱柱的底面是正六边形， 宝鸡模拟)一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直底面． 宝鸡模拟 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直底面． 已 9 知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8，底面 周长为 3，则这个球的体积为 ，则这个球的体积为________． ．
[联知识 串点成面 联知识 串点成面] 1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． ．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． 2．正方体的内切球其棱长为球的直径． ．正方体的内切球其棱长为球的直径． 3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底 ．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、 面正三角形中心共线． 面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. ．正四面体的外接球与内切球的半径之比为 ∶
1 1 解析：依题意有， 解析：依题意有，三棱锥 P－ABC 的体积 V＝3S△ABC·|PA|＝3 － ＝ ＝ 3 × 4 ×22×3＝ 3. ＝
答案： 答案： 3
[悟方法 触类旁通 悟方法 触类旁通] 1．求三棱锥体积时，可多角度地选择方法．如体积分割、 ．求三棱锥体积时，可多角度地选择方法．如体积分割、 体积差、等积转化法是常用的方法． 体积差、等积转化法是常用的方法． 2．与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还 ．与三视图相结合考查面积或体积的计算时， 原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量． 原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量． 3．求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则 ． 几何体转化为规则几何体以易于求解． 几何体转化为规则几何体以易于求解． 4．对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理. ．对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理
填空题
[联知识 串点成面 联知识 串点成面] 1．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的 ．一个物体的三视图的排列规则是： 下面，长度与正视图的长度一样， 下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的 右面，高度与正视图的高度一样， 右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度 一样． 一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 长对正、高平齐、宽相等” 2．画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴 ．画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行， 轴 轴 平行的线段长度不变， 轴平行的线段长度减半 轴平行的线段长度减半． 平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半．
知考情 专题四 第 1 讲 立 空 体 间 析考向 几 几 何 何 战考场 体 研考题
高频考点
考情解读
考查方式 选择题、 选择题、 填空题 选择题、 选择题、 填空题 选择题、 选择题、
空间几何体与三 常考查由几何体确定三视图 视图 及由三视图还原几何体
空间几何体的表 多与三视图相结合考查表面 面积与体积 与球有关的几何 接问题， 接问题，主要计算球的表面 体的切接问题 积及体积 积及体积的求法 多涉及球与棱柱、 多涉及球与棱柱、棱锥的切
柱体的体积公式： ＝ 为底面面积， 为高)； 柱体的体积公式：V＝Sh(S 为底面面积，h 为高 ； 1 锥体的体积公式： ＝ 为底面面积， 为高)； 锥体的体积公式：V＝3Sh(S 为底面面积，h 为高 ； 1 台体的体积公式： ＝ ′ 分别为上、 台体的体积公式：V＝3(S′＋ S′S＋S)h(S′、S 分别为上、 ′ ＋ ′ 下底面面积 为高)； 下底面面积，h 为高 ； 4 球的表面积和体积公式： ＝ 为球的半径)． 球的表面积和体积公式：S＝4πR2，V＝3πR3(R 为球的半径 ． ＝
答案： 答案：8 3
[悟方法 触类旁通 悟方法 触类旁通] 1．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多 ．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时， 面体中的特殊点或线作截面， 面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问 题． 2．若球面上四点P、A、B、C构成的线段 、PB、PC两两垂 ．若球面上四点 、 、 、 构成的线段 构成的线段PA、 、 两两垂 直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2(R为球 ＝ ， ＝ ， ＝ ， 为球 半径)．可采用“补形”法，构造长方体或正方体的外接 半径 ．可采用“补形” 球去处理． 球去处理．
2．(2011·佛山一模 若一个圆台的正 主)视图如图所示， ． 佛山一模)若一个圆台的正 视图如图所示， 佛山一模 若一个圆台的正(主 视图如图所示 则其侧面积等于 A．6 ． C．3 5π ．
解析： 解析：由题意可知母线 l＝ ＝ 4π＋2π ＋ S 侧＝ · 5＝3 5π. ＝ 2
( B．6π ． D．6 5π ．
[联知识 串点成面 联知识 串点成面] 常见的一些简单几何体的表面积和体积公式： 常见的一些简单几何体的表面积和体积公式： 圆柱的表面积公式： ＝ 其中r为 圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)(其中 为 ＝ ＋ 其中 底面半径， 为圆柱的高 为圆柱的高)； 底面半径，l为圆柱的高 ； 圆锥的表面积公式： ＝ 其中r为底面 圆锥的表面积公式：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)(其中 为底面 ＝ ＋ 其中 半径， 为母线长 为母线长)； 半径，l为母线长 ； 圆台的表面积公式： ＝ ′ 其中r和 圆台的表面积公式：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(其中 和 ′ ＋ 其中 r′分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长 ； ′分别为圆台的上、下底面半径， 为母线长 为母线长)；
4π 答案： 答案： 3
7． ． (2011·新课标全国卷 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 新课标全国卷)已知矩形 新课标全国卷 O 的球面上，且 AB＝6，BC＝2 3，则棱锥 O－ABCD 的体积 的球面上， ， ＝ ， ＝ － 为________． ．
解析： 解析：设矩形对角线 AC，BD 交于点 O1， ， 则 BO1＝2 3， ， 因此 OO1＝ |OB|2－|O1B|2＝ 42－(2 3)2＝2， ) ， 1 1 因此 V＝3Sh＝3×6×2 3×2＝8 3. ＝ ＝ × × ＝
答案： 答案：B
4．(2011·福建高考 三棱锥 －ABC中，PA⊥底面 ． 福建高考)三棱锥 福建高考 三棱锥P－ 中 ⊥底面ABC，PA ， 是边长为2的正三角形 ＝3，底面 ，底面ABC是边长为 的正三角形，则三棱锥 － 是边长为 的正三角形，则三棱锥P－ ABC的体积等于 的体积等于________． 的体积等于 ．
[答案 D 答案] 答案
1．(2011·浙江高考 若某几何体的三视图如图所示，则 ． 浙江高考)若某几何体的三视图如图所示 浙江高考 若某几何体的三视图如图所示， 这个几何体的直观图可以是 ( )
解析：从俯视图看， 和 符合 从正(主 视图看 符合， 符合， 视图看D符合 解析：从俯视图看，B和D符合，从正 主)视图看 符合， 而从侧视图看D也是符合的． 而从侧视图看 也是符合的． 也是符合的 答案： 答案：D
3．(2011·北京高考 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积 ． 北京高考)某四棱锥的三视图如图所示 北京高考 某四棱锥的三视图如图所示， 是 ( )
A．32 ． C．48 ．
B．16＋16 2 ． ＋ D．16＋32 2 ． ＋
解析： 的正四棱锥， 解析：该空间几何体是底面边长为 4、高为 2 的正四棱锥，这个四棱 、 1 锥的斜高为 2 2，故其表面积是 4×4＋4×2×4×2 2＝16＋16 2. ， × ＋ × × ＝ ＋
[做考题 查漏补缺 做考题 查漏补缺] (2011·广东高考 如图所示，某几何体的正视图 主视 广东高考)如图所示 某几何体的正视图(主视 广东高考 如图所示， 是平行四边形， 左视图)和俯视图都是矩形 图)是平行四边形，侧视图 左视图 和俯视图都是矩形，则该 是平行四边形 侧视图(左视图 和俯视图都是矩形， 几何体的体积为 ( )
解析： 解析 ： 设球的半径为 R， 六棱柱的底面边长为 a，高为 h， 显然有 ， ， ， h a2＋( )2＝R， ， 2 1 3 9 V＝6× a2×h＝ ， a＝ ， ＝2 ＝ ×4 ＝8 且 ⇒ ⇒R＝1 ＝ 6a＝3 h＝ 3 ＝ ＝ 4 4 ⇒V＝ πR3＝ π. ＝ 3 3
[做考题 查漏补缺 做考题 查漏补缺] (2011·杭州模拟 一个棱锥的三视图如图，则该棱 杭州模拟)一个棱锥的三视图如图 杭州模拟 一个棱锥的三视图如图， 锥的外接球的表面积为________． ． 锥的外接球的表面积为