马井堂-经典-专题六-第3讲随机变量及其概率分布
随机变量及其分布
考研数学概率论辅导讲义主讲：马超第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数： 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论例2．1：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。
例2．2：给出随机变量X 的取值及其对应的概率如下：,31,,31,31,,,2,1|2k k PX ， 判断它是否为随机变量X 的分布律。
例2．3：设离散随机变量X 的分布列为214181812,1,0,1，，，-P X ，求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤<X P ，)231(≤≤X P 。
例2．4： )()(21x f x f +是概率密度函数的充分条件是： （1）)(),(21x f x f 均为概率密度函数 （2）1)()(021≤+≤x f x f例2．5：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例2．6：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
例2．7：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2．8：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
《随机变量及分布》课件
应用
广泛应用于统计学和实证研究中的抽 样分布及模拟实验。
总结
• 随机变量与分布的概念 • 离散型随机变量及其分布 • 连续型随机变量及其分布 • 常见离散型与连续型随机变量分布 • 中心极限定理的应用
次数的概率分布。
3
几何分布
用于描述在成功与失败交替出现的是/
超几何分布
4
非试验中成功首次出现的概率分布。
用来描述无放回抽样实验中成功次数 的概率分布。
常见的连续型随机变量分布
均匀分布
在某个区间内取值的概率密度函数恒定的随 机变量。
指数分布
描述等待时间的概率分布。
正态分布
钟形曲线，广泛应用于自然科学和社会科学 中。
样本空间与事件
样本空间是所有可能的结果的集合，事件是样 本空间的子集。
离散型随机变量
概率分布函数
描述离散型随机变量的取值与可能取到的值与其概率乘积的 和。
概率质量函数
用来描述离散型随机变量分布的函数。
方差
测量随机变量离其期望值的平均距离。
连续型随机变量
概率密度函数
《随机变量及分布》PPT 课件
欢迎来到《随机变量及分布》PPT课件。本课程将带你深入了解随机变量的概 念、离散型和连续型随机变量的分布以及中心极限定理的应用。
随机变量
什么是随机变量
对随机试验结果的数值化描述，并依赖于试验 的具体情况。
离散型随机变量
取有限个或可数个数值的随机变量。
连续型随机变量
取连续数值的随机变量。
描述连续型随机变量在某个区间内取值的概率 密度。
累积分布函数
描述连续型随机变量在某个数值前取值的概率。
期望
随机变量每个可能取到的值与其概率密度乘积 的积分。
生物统计学：第三章随机变量与概率分布
例：用复合饲料饲养动物，每天增重的kg数及 其相应的概率如下：
每天增重xi /kg 0.5
概率 0.10
1.0
0.20
1.5
0.50
2.0
0.20
问每天增重的数学期望和方差是多少？
解： μ=E(X)=1.40
E(X2 ) =2.15
var=σ2 = E(X2 ) –μ2=2.15-1.42=0.19
15.167
（4）随机变量的方差(variance) - 总体方差
度量随机变量取值的变异程度的指标，其定义式：
Var( X ) 2 ( xi )2 E[( X )2 ]
N
E[( X )2 ] E( X 2 2 X 2 )]
E(X 2) 2E(X ) 2
对于例1：
件的集合）的概率有以下关系：P（A ）=1-P（A）
2 ）条件概率
➢ 已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率 称为条件概率，记为P（A︱B） Ｐ（Ａ∣Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）／Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ｂ∣Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）／Ｐ（Ａ）
例：一周的天气情况如下：
周日
日
一
二
三
四
五
六
预报
晴
阴
雨
雨
雨
晴
雨
实际
晴
雨
阴
雨
雨
晴
晴
设A表示预报有雨的事件，B表示实际下雨的事件
些值的概率p(x1)，p(x2)，…，p(xn)，…，排列起来，构 成了离散型随机变量的概率分布。常用概率分布表或概 率分布图表示（如，p28表与p29图3-1）。
例3.1 掷一次骰子所得点数的概率函数
f (x) 1 , x 1, 2, 3, 4, 5, 6 6
2023版高三数学复习优秀课件《随机变量及其分布》
一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个 黑球,采取不放回抽样方式，从中摸出两个小 球，求摸得白球的个数的分布列.
1、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
地从其中一盒中取出一根。试求他发现一
盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数k的分
布列。PΒιβλιοθήκη Cn 2nk1 2
2nk
,
k
0,1,
2,
,n
盒中有9个正品和3个次品零件，每次取 出一个零件，如果取出的次品不再放回，则 在取得正品前已取出的次品数X的分布列。
某射手有5发子弹，射击一次命中的概率 为0.8.
⑴如果命中了就停止射击，否则一直射击到子
ξ取每一个值 xi (i 1, 2, )的概率
P( xi ) pi
则表
ξ x1 x2 … xi …
p
p1
p2 … pi …
称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
根据随机变量的意义与概率的性质， 你能得出分布列有什么性质？
两个关健步骤： ⑴列出随机变量ξ的所有取值；
⑵求出ξ的每一个取值的概率．
C191
(
3 8
)10
(
5 8
)2
得a≤10000 故最大定为10000元。
袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只 木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑 料球.
现从袋中任取1球, 假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问 它是木球的概率是多少？
条件概率 P（B A）（conditional probability )：
概率与统计的随机变量与分布知识点总结
概率与统计的随机变量与分布知识点总结概率与统计是一门研究随机事件发生规律的学科，其中重要的概念就是随机变量与分布。
随机变量是数学模型中用来描述随机现象结果的变量，而分布则是描述随机变量可能取值的概率规律。
下面将对概率与统计中的随机变量与分布的知识点进行总结。
一、随机变量的基础知识随机变量是对随机事件结果的数学描述，它可以是离散型或连续型的。
离散型随机变量的取值有限或可数，比如掷硬币的结果（正面或反面），而连续型随机变量的取值是一个区间或者实数集合，比如人的身高、温度等。
随机变量的概率分布函数（Probability Distribution Function，PDF）描述随机变量的取值及其对应的概率。
对于离散型随机变量，概率分布函数通常表示为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF），记作P(X=x)；对于连续型随机变量，概率分布函数通常表示为概率密度函数（Probability Density Function，PDF），记作f(x)。
二、常见的随机变量与概率分布1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布描述了一系列独立重复试验中成功次数的概率分布。
每次试验只有两个可能结果，成功和失败。
例如，抛掷硬币的结果（正面或反面）符合二项分布。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n是试验次数，p是单次试验的成功概率，k是成功次数。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的连续型随机变量分布，也称为高斯分布。
它具有钟形曲线的概率密度函数，对称分布在均值周围。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布描述了一个固定时间或空间单位内随机事件发生的次数的概率分布。
概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结
概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结在概率与统计学中，随机变量是一种具有概率分布的变量，它可以用来描述不确定性的现象和事件。
随机变量的理论是概率论的核心内容之一，掌握随机变量及其分布知识点对于理解概率与统计学的基本原理及应用具有重要意义。
本文将对概率与统计中的随机变量及其分布进行知识点总结。
一、随机变量的概念与分类随机变量（Random Variable）是指对于随机试验结果的数值描述。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
1. 离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）的取值为有限个或可数个。
常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项分布随机变量、泊松随机变量等。
2. 连续型随机变量连续型随机变量（Continuous Random Variable）的取值可以是任意的实数。
通常用于表示测量结果或特定区间内的变化。
常见的连续型随机变量有均匀分布随机变量、正态分布随机变量等。
二、随机变量的分布函数与概率函数随机变量的分布函数和概率函数是描述随机变量的重要工具。
1. 分布函数分布函数（Distribution Function）是随机变量取值小于或等于某个值的概率，通常记作F(x)，其中x为随机变量的取值。
分布函数的性质包括：非递减性、右连续性、左极限性质。
2. 概率函数（密度函数）概率函数（Probability Density Function）用于描述连续型随机变量的概率分布情况，通常记作f(x)，其中x为随机变量的取值。
概率函数的性质包括：非负性、归一性。
三、常见的随机变量及其分布在概率与统计学中，有一些常见的随机变量及其分布是被广泛应用的。
1. 伯努利随机变量伯努利随机变量（Bernoulli Random Variable）是最简单的离散型随机变量，它只有两个取值，通常用来描述成功或失败的情况。
2. 二项分布随机变量二项分布随机变量（Binomial Random Variable）描述了n个独立的伯努利试验中成功的次数，其中n为试验次数，p为单次成功的概率。
概率计算中的随机变量与分布规律
概率计算中的随机变量与分布规律随机变量在概率计算中扮演着重要的角色，它们用来描述概率实验中的随机现象，并与概率分布规律密切相关。
本文将介绍随机变量的基本概念、常见的概率分布以及它们之间的关系，在此基础上讨论随机变量的应用。
一、随机变量的定义与分类随机变量是可随机取不同值的变量，通常用大写字母表示，比如X、Y等。
随机变量可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量取有限或可数个值，比如投掷一枚骰子的结果，可能是1、2、3、4、5或6。
连续型随机变量则取无限个值，通常用概率密度函数描述其分布。
二、常见的概率分布1. 离散型概率分布离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）表示。
常见的离散型概率分布包括：（1）伯努利分布：描述只有两个可能结果的随机试验，如抛一枚硬币的结果。
（2）二项分布：描述多次伯努利试验的结果，如n次抛硬币中正面朝上的次数。
（3）泊松分布：描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，如一天内接到的电话数。
2. 连续型概率分布连续型随机变量的概率分布通常用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）表示。
常见的连续型概率分布包括：（1）均匀分布：在一个区间内的概率密度保持恒定，如随机选择一个点落在单位线段上的位置。
（2）正态分布：也称为高斯分布，具有钟形曲线，广泛应用于自然和社会科学领域。
（3）指数分布：描述随机事件之间的时间间隔，如相邻两次电话呼入之间的时间间隔。
三、随机变量之间的关系多个随机变量之间可能存在关联关系，常见的关系包括独立、相关和条件分布。
1. 独立性若两个随机变量X和Y相互独立，意味着它们的概率分布互不影响。
换句话说，对于任意x和y的取值，有P(X=x, Y=y) = P(X=x) *P(Y=y)。
2. 相关性若两个随机变量X和Y相关，表示它们之间存在某种关联关系。
概率统计每章知识点总结
概率统计每章知识点总结第一章：基本概念1.1 概率的概念1.2 随机变量及其分布1.3 大数定律和中心极限定理第一章主要介绍了概率统计的基本概念，包括概率的定义、随机变量的概念以及大数定律和中心极限定律。
概率是描述事物发生可能性的数学工具，是对随机事件发生规律的度量和描述。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以用来描述随机现象的特征和规律。
大数定律和中心极限定律则是概率统计中重要的两个定律，它们描述了大量独立随机变量的和的分布规律。
第二章：随机事件的概率计算2.1 古典概型2.2 几何概型2.3 等可能概型2.4 条件概率2.5 独立性第二章主要介绍了随机事件的概率计算方法，包括古典概型、几何概型、等可能概型、条件概率和独立性。
古典概型是指实验的样本空间是有限的且每个样本点的概率相等的情形，可以直接计算出随机事件的概率。
几何概型是指随机事件的概率与其所在的几何形状有关，需要通过几何方法来计算。
等可能概型是指实验的样本空间是有限的，但不同样本点的概率不一定相等，需要通过计算总体概率来计算随机事件的概率。
第三章：随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布3.2 数学期望3.3 方差3.4 常用离散型随机变量的分布3.5 常用连续型随机变量的分布第三章主要介绍了随机变量及其分布的知识，包括随机变量的概念、数学期望、方差以及常用的离散型和连续型随机变量的分布。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以是离散型的也可以是连续性的。
数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标，它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。
离散型随机变量常用的分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布；连续型随机变量常用的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
第四章：多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 多维随机变量4.3 边际分布4.4 条件分布4.5 独立性第四章主要介绍了多维随机变量及其分布的知识，包括二维随机变量、多维随机变量、边际分布、条件分布和独立性。
随机变量及其分布课件
多维随机变量的数学期望与方差
数学期望
多维随机变量的期望值是每个随机变量期望值的 线性组合。
方差
多维随机变量的方差是每个随机变量方差和协方 差的组合。
协方差
衡量两个随机变量之间的线性相关程度。
Байду номын сангаас
PART 05
随机变量的变换
REPORTING
WENKU DESIGN
线性变换
1 2
线性变换公式
$Y = aX + b$，其中$a$和$b$是常数，$X$是 随机变量，$Y$是变换后的随机变量。
超几何分布
当从一个有限总体中不放回地抽取样本时，所得到的离散型随机变量服从超几何分布。
离散型随机变量的数学期望与方差
数学期望
离散型随机变量的数学期望是所有可能取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。
方差
离散型随机变量的方差是所有可能取值的概率加权平方和的平均值，表示随机变量取值分散程度的度 量。
随机事件的概率计算
在概率论中，随机事件的概率可以通过随机变量的取值来 计算，随机变量为随机事件的概率计算提供了具体的方法 和手段。
在统计学中的应用
01
样本数据的统计分析
在统计学中，随机变量被广泛用于样本数据的统计分析，如均值、方差、
协方差等统计量都是基于随机变量的计算。
02 03
参数估计与假设检验
线性变换的性质
线性变换保持了均值、方差和线性关系等统计特 性。
3
线性变换的应用
在回归分析、时间序列分析和实验设计中广泛使 用。
非线性变换
非线性变换公式
$Y = f(X)$，其中$f$是一个非线性函数，$X$是随机变量，$Y$ 是变换后的随机变量。
《随机变量及其分布》PPT课件
个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.
随机点 X
概率论与数理统计
x 实数点
x
F(x) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区 别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ,
η, ζ,….等表示. 概率论与数理统计
随机变量与普通函数的区别
普通函数的定义域是实数 集,而随机变量的定义域是样本空 间(样本点不一定为实数);
普通函数随自变量的变化所取的函数值无概 率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取 的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得 随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取 值范围,但在概一率论次与数试理统验计 前无法确定它取何值.
概率论与数理统计
总之，随机变量X有如下特点:
X是定义在样本空间Ω上的单值实值函数,其定 义域为样本空间Ω,值域为实数集 ;
利用X可以描述随机事件; X的取值是随机的,且取值具有一定的概率.
随机变量
离散型 非离散型
连续型
概率论与数理统计
其它
在实际问题中，有两类重要的随机变量：
实例11、观离察散掷型一随个机骰变子量出—现—的取点值数有。限随或机可变列量无X限的可 能值是1，2，3，4，5，6； 则事件“出现偶
概率论与数理统计
分布函数F(x)具有下列性质: 、 0≤F(x)≤1;
注意这些性 质在图形上
的表现
、F(-∞)=0,F(+∞)=1；[确定待定参数]
、F(x)至多有可列个间断点,且在间断点处是
马克思主义基本原理概率复习资料1
马克思主义基本原理概率复习资料1概率是研究随机现象发生规律及其数量关系的数学分支，它在马克思主义基本原理中占据重要位置。
为了帮助大家复习概率知识点，以下是马克思主义基本原理概率复习资料的详细内容：一、概率的基本概念及性质概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示，其中A为某一特定事件。
概率有以下基本性质：1. 非负性：概率值始终大于等于0，即P(A)≥0。
2. 规范性：对于必然事件S，其概率值为1，即P(S)=1。
3. 可列可加性：对于任意两个互不相容事件A和B，有P(A∪B) =P(A) + P(B)，其中∪表示事件的并集。
二、概率的计算方法1. 等可能概型：在该概型中，每个基本事件发生的可能性相等。
对于 n 个基本事件的等可能概型，有 P(A) = n(A)/n，其中 n(A) 表示事件A 中基本事件的数量，n 表示基本事件的总数量。
2. 经典概型：当概念空间S中的基本事件有限且等可能时，可以使用经典概型进行计算。
对于事件 A，有 P(A) = n(A)/n，其中 n(A) 表示事件 A 中基本事件的数量，n 表示基本事件的总数量。
3. 几何概型：当概念空间 S 中的基本事件服从几何分布时，可以通过求解几何概型的概率公式来计算概率。
三、条件概率及独立事件1. 条件概率：当事件 B 已经发生时，事件 A 发生的概率称为事件A 在事件B 条件下的概率，表示为 P(A|B)，计算公式为 P(A|B) =P(A∩B)/P(B)。
2. 乘法定理：对于任意两个事件 A 和 B，有P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)。
3. 独立事件：当事件 A 和事件 B 相互之间没有影响时，称事件 A 和事件 B 是相互独立的，此时有P(A∩B) = P(A)P(B)。
四、随机变量及概率分布1. 随机变量：随机变量是一个函数，它把事件映射到实数。
随机变量有离散随机变量和连续随机变量两种类型。
概率与统计中的随机变量与概率分布
概率与统计中的随机变量与概率分布在我们的日常生活和各种科学研究中，概率与统计扮演着极其重要的角色。
而其中的随机变量与概率分布，更是理解和解决许多问题的关键。
什么是随机变量呢？简单来说，随机变量就是一个将随机试验的结果与实数对应起来的函数。
比如说，抛一枚硬币，结果可能是正面或反面。
如果我们规定正面为 1，反面为 0，那么这个结果就可以用一个随机变量X 来表示。
再比如，一家超市一天内卖出的某种商品的数量，也是一个随机变量。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的。
像前面提到的抛硬币的例子，还有掷骰子出现的点数，这些都是离散型随机变量。
而连续型随机变量的取值则是充满某个区间的，比如一个人的身高、某段时间内的气温等。
接下来，咱们再聊聊概率分布。
概率分布就是描述随机变量取不同值的概率的方式。
对于离散型随机变量，我们常用概率质量函数（PMF）来描述其概率分布。
比如说，掷一个均匀的骰子，出现 1 点的概率是 1/6，出现 2 点的概率也是 1/6，以此类推。
我们可以把每个点数出现的概率列出来，这就是这个离散型随机变量的概率分布。
连续型随机变量的概率分布则用概率密度函数（PDF）来描述。
想象一下，某城市一天内的气温在 0 到 40 摄氏度之间变化。
我们不能像离散型随机变量那样精确地说出气温取某个具体值的概率，但是可以用概率密度函数来描述气温在某个区间内的可能性大小。
比如说，在20 到 25 摄氏度这个区间内，概率密度函数的值比较大，就说明气温落在这个区间的可能性相对较大。
常见的离散型概率分布有很多，比如二项分布。
假设我们做一个实验，每次实验成功的概率是 p，失败的概率是 1 p，重复进行 n 次。
那么成功的次数 X 就服从二项分布。
在实际生活中，比如调查一批产品的合格率，就可以用二项分布来估计合格品的数量。
还有泊松分布，它常常用于描述在一定时间或空间内某事件发生的次数。
马克思主义基本原理概率复习资料34
马克思主义基本原理概率复习资料34马克思主义基本原理是马克思主义理论的核心内容，是马克思主义在实践中发展而成的一系列基本原理的总称。
其中，概率论作为马克思主义基本原理之一，对于认识客观世界、指导实践具有重要的作用。
本文将对概率复习资料进行梳理，为深入理解和掌握概率论提供有益的帮助。
一、概率的基本概念1.1 概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的数值，并用数学方式进行量化表示，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
1.2 概率的性质概率具有非负性、规范性、可列可加性等基本性质，这些性质为概率的应用提供了数学保障。
二、事件与样本空间2.1 事件的定义事件是指样本空间中的某些元素的集合，通常用大写字母A、B、C 等表示。
2.2 样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
三、概率的计算方法3.1 古典概型古典概型是指在所有可能结果等可能出现的情况下，计算事件发生概率的方法。
3.2 几何概型几何概型是指根据图形的几何特征计算事件发生概率的方法。
3.3 频率概型频率概型是指通过实验或观察数据，根据事件发生的频率来估计概率的方法。
3.4 统计概型统计概型是指根据样本统计数据，采用数理统计方法来估计概率的方法。
四、概率的性质与定理4.1 事件的互斥与对立互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，对立事件是指两个事件中必有一个事件发生的情况。
4.2 概率的加法定理概率的加法定理是指对于任意两个事件A、B，其概率之和等于两个事件联合发生的概率与它们单独发生的概率之和。
4.3 条件概率与乘法定理条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
乘法定理是指两个事件联合发生的概率等于事件B发生的概率乘以事件A在已知B发生的条件下发生的概率。
五、独立事件与相互依赖事件5.1 独立事件的定义独立事件是指两个事件的发生与否相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
5.2 相互依赖事件的定义相互依赖事件是指两个事件的发生与否相互影响，即一个事件的发生会增加或减少另一个事件发生的概率。
随机变量及其分布知识点总结
圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，那么称以下表格为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： 〔1〕0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ 〔2〕121n p p p ++⋅⋅⋅+= 1．两点分布如果随机变量X 的分布列为 那么称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，那么事件{}X k =发生的概率为：那么随机变量X 的概率分布列如下：注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤如果B 与C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),那么称事件A 与事件B 相互独立。
()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. 四、n 次独立重复试验一般地，在一样条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果〞，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅“一样条件下〞等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进展； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. n 次独立重复试验的公式：n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n kn n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.六、离散随机变量的均值〔数学期望〕 一般地，随机变量X 的概率分布列为 那么称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++ 1．假设Y aXb =+，其中a ，b 为常数，那么Y 也是变量那么()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+ 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么即假设X 服从两点分布，那么()E X p = 3．假设~(,)X B n p ，那么()E X np = 七、离散型随机变量取值的方差与标准差 一般地,假设离散型随机变量x 的概率分布列为1．假设X 服从两点分布，那么()(1)D X p p =-2．假设~(,)X B n p ，那么()(1)D X np p =- 3．2()()D aX b a D X +=。
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第3讲 随机变量及其概率分布
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获
胜的概率均为2
3
，则甲以3∶1的比分获胜的概率为________．
2．如果ξ～B ⎝
⎛⎭⎪⎫15，14，则使P (ξ＝k )取最大值的k 值为________． 3．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为________． 4．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
5．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下：
x 1 2 3 P (ξ＝x )
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.
6．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是1
4.现在三人同时射击目标，则
目标被击中的概率为________．
7．在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系
的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x 轴正方向移动的概率是2
3
，沿y 轴正方向移动的概率为
1
3
，则该机器人移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为________． 8．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝5
9
，则P (Y ≥1)＝________.
9．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是______．
10．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．
11．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，5
2
，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.
12．(2010·安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝5
11；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不
能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．
二、解答题
13．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必
参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为1
8
的等差数列，
他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为9
32
.
(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P 1；
(2)求小李参加考核的次数X 的概率分布和数学期望E (X )．
14.在2011年5月某电视台进行的一场抢答比赛中，某人答对每道题的概率都是1
3，答错每道题的概率都是
2
3
，答对一道题积1分，答错一道题积－1分，答完n 道题后的总积分记为S n . (1)求答完5道题后，S 1＝S 5＝1的概率；
(2)答完5道题后，设ξ＝|S 5|，求ξ的概率分布及数学期望．
15．甲袋和乙袋中装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸
出1个球为红球的概率为2
5
，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.
(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是1
3
，求P 2的值；
(3)设P 2＝1
5，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸
2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的概率分布和数学期望．
答 案
1. 827
2. 3或4
3. 121
4. 0.128
5. 2
6. 34
7. 160
729 8. 6581 9. [0.4,1) 10. 499 11. 4
7
12．②④ 13．解 (1)由题意得(1－P 1)·⎝
⎛⎭⎪⎫P 1＋18＝932， ∴P 1＝14或58.∵P 1>12，∴P 1＝58
.
(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为58，34，7
8
，1，
所以P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝9
32，
P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－58⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×78＝21
256
，
P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－58⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－78×1＝3256， 所以X 的概率分布为
X
1 2
3
4 P 58 932
21256 3256
∴E (X )＝1×58＋2×932＋3×21256＋4×3256＝379
256
.
14．解 (1)根据分析，随机事件“答完5道题后，S 1＝S 5＝1”的概率是 P ＝13×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝881
.
(2)若答对0或者5道题，则ξ＝5； 若答对1道题或者4道题，则ξ＝3；
若答对2道题或者3道题，则ξ＝1.
所以P (ξ＝1)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132
×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝4081；
P (ξ＝3)＝C 15×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫134×23＝
10
27； P (ξ＝5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫135＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝11
81.
所以ξ的概率分布为
Ξ
1 3 5 P 4081 1027
1181
ξ的数学期望E (ξ)＝1×4081＋3×1027＋5×1181＝185
81.
15．解 (1)设甲袋中红球的个数为x ，
依题意得x ＝10×2
5＝4.
(2)由已知，得2
5m ＋2mP 23m ＝1
3
，
解得P 2＝3
10
.
(3)P (ξ＝0)＝35×45×45＝48
125，
P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝
56
125， P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝
19
125， P (ξ＝3)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2
125.
所以ξ的概率分布为
ξ
0 1 2 3 P 48125
56125
19125
2125
所以E (ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝4
5
.。