奥赛经典
高中数学奥赛经典讲解教案
高中数学奥赛经典讲解教案
主题：解析几何
目标：通过本节课的学习，学生能够掌握解析几何中常见的定理、方法和技巧，提高解题能力。
一、引言（5分钟）
介绍解析几何的概念和作用，引导学生明确本节课的学习目标。
二、知识讲解（30分钟）
1. 直线方程的一般式和点斜式，以及两点式的转化和应用；
2. 圆的一般式方程和标准式方程的求解方法；
3. 解析几何中常见的定理和性质，如相交直线垂直的判断条件、圆与直线的相交关系等。
三、例题讲解（20分钟）
1. 根据已知条件，用解析几何方法求解直线方程或圆的方程；
2. 利用解析几何中的性质和定理解决几何问题。
四、练习与讨论（20分钟）
学生独立解答几道题目，然后与同学讨论、交流解题思路，并请学生展示解题过程。
五、总结与拓展（10分钟）
总结本节课所学内容，强调解析几何在数学竞赛中的重要性，并鼓励学生多加练习。
六、作业布置（5分钟）
布置相关习题作业，巩固本节课所学内容。
七、课后反馈（5分钟）
学生提交作业并讲解答案，教师及时反馈学生的表现，帮助学生改进解题方法。
注：本教案仅为范本，实际教学过程中应根据学生的掌握程度和学习节奏做出调整。
奥赛经典
1.满足1234{,,,}M a a a a ⊆，且12312{,,}{,}M a a a a a = 的集合M 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42.设集合122{|log (3)2},{|1}a A x x B x x a=-≥-=>-.若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围.3.设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A.2-B.4-C.8-D.不能确定4.已知函数2()2f x x bx c =-++在1x =时有最大值1，0m n <<，并且[,]x m n ∈时，()f x 的取值范围为11,n m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.试求,m n 的值. 5.下列四个命题中，其中为真命题的是（ ）2.,30A x R x ∀∈+< 2.,1B x N x ∀∈≥ 5.,1C x Z x ∃∈<使 2.,=3D x Q x ∃∈6.已知命题p ：方程2220x ax a +-=在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数0x 满足不等式200220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围。
7.全称命题“,21x Z x ∀∈+是整数”的逆命题是（ ）A ．若2x+1是整数，则x Z ∈B. 若2x+1是奇数，则x Z ∈C. 若2x+1是偶数，则x Z ∈D. 若2x+1能被3整除，则x Z ∈8.若()f x 是R 上的减函数，且(0)3,(3)1f f ==-.设{}()12P x f x t =+-<， {}()2Q x f x =<-，若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是（ ）A.0t ≤B.0t ≥C.3t ≤-D.3t ≥-。
信息学奥赛经典算法
信息学奥赛经典算法信息学奥赛是一项涉及算法和数据结构的比赛。
算法是指解决问题的具体步骤和方法，而数据结构是指存储和组织数据的方式。
在信息学奥赛中，掌握经典算法是非常重要的，可以提高解题的效率和成功的概率。
下面我将介绍一些经典的算法。
1.贪心算法（Greedy Algorithm）贪心算法是一种简单直观的算法思想，其基本策略是每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终能够得到全局最优解。
贪心算法通常应用于问题的最优化，比如找出能够覆盖所有区域的最少选择。
然而，贪心算法并不是所有问题都适用，因为它可能会导致局部最优解，并不能得到全局最优解。
2.动态规划（Dynamic Programming）动态规划是一种通过将问题分解成更小的子问题来求解复杂问题的方法。
其主要思想是通过记录中间计算结果并保存起来，以避免重复计算。
动态规划常用于求解最优化问题，例如寻找最长递增子序列、最短路径等。
动态规划是一个非常重要的算法思想，也是信息学奥赛中常见的题型。
3.深度优先（Depth First Search，DFS）深度优先是一种常见的图遍历算法，其基本思想是从一个顶点开始，沿着路径向深度方向遍历图，直到无法继续前进，然后回溯到上一个节点。
DFS通常用于解决图的连通性问题，例如寻找图的强连通分量、欧拉回路等。
DFS的一个重要应用是解决迷宫问题。
4.广度优先（Breadth First Search，BFS）广度优先是一种图遍历算法，其基本思想是从一个顶点开始，按照广度方向遍历图，逐层往下遍历，直到找到目标节点或者遍历完整个图。
BFS通常用于解决最短路径问题，例如在一个迷宫中找到从起点到终点的最短路径。
5.分治算法（Divide and Conquer）分治算法是一种将问题分成更小的子问题并独立地求解它们的方法，然后通过合并子问题的结果来得到原始问题的解。
分治算法是一种递归的算法思想，通常在解决问题时能够显著提高效率。
(答案)奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---参考答案(第1-2章)
参考答案第一章 梅涅劳斯定理及应有习题A1．延长CB ，FE 交于H ，ADB △与截线GEH ，有13122AG DH BE DH GD HB EA HB ⋅⋅=⋅⋅=，有43DH HB =，即74CH HD =．对ACD △及截线FGH ，72141AF CH DG AF FC HD GA FC ⋅⋅=⋅⋅=，求得27AF FC =． 2．设CB ，DE 的延长线交于P ，又BP BC =，32FP PB =，对AFB △与截线HEP ，CGE ，有31121AH FP BE AH GF PB EA HF ⋅⋅=⋅⋅=，即23AH HF =；11121AG FC BE AG GF CB EA GF ⋅⋅=⋅⋅=，即21AG GF =．由此求得645AH HG GF =∶∶∶∶．3．对BDP △于截线CEA ，有1231612BC DA PE BC CD AP EA CD ⋅⋅=⋅⋅=，知BD DC =．对CDP △与截线BFA ，有22111CB DA PF PF BD AP FC FC ⋅⋅=⋅⋅=，知14PF FC =．而20CF =，故15CP =． 在PBC △中，由中线长公式2PD =，得BC =，即BD =．又22222269BP PD BD +=+==，即90BPD ∠=︒，27PBD S =△，4108ABC PBD S S ==△△．4．直线OCB 分别与DMF △和AEM △的三边延长线都相交，有1DB MO FC MB FO DC ⋅⋅=，1AB EO MCEB MO AC⋅⋅=，即OF OE DB FC EB AC OM OM MB DC AB MC ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．由EF AD ∥，有DB AB MB EB =，FC MC DC AC =，从而21OF OE OM ⋅=，即22OF OE OM OP ⋅==，有OFP OPE △∽△，故OPF OEP ∠=∠．5．直线截ABC △，有22133CF AD BE BE FA DB EC EC ⋅⋅=⋅⋅=，即94BE EC =，故54BC CE =．直线截DBE △，有25154EF AD BC EF FD AB CE ED ⋅⋅=⋅⋅=，所以21EF FD =∶∶． 6．设AC BC x ==，则AB =，。
奥赛经典 数论
奥赛经典数论数论是一门研究整数性质和整数间的关系的数学分支。
它的研究对象是整数的性质和规律，包括整数的因子、质数、完全数、互质数等等。
数论不仅在学术研究中有广泛的应用，也是奥林匹克数学竞赛中常见的考点之一。
在本文中，我将介绍几个奥赛中经典的数论问题。
一个经典的数论问题是素数分布问题。
素数是指只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7等。
根据素数定理，素数的密度是随着数值的增加趋近于1/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
虽然素数的分布规律尚未被完全证明，但以此为基础，可以进行一些有趣的数论推导。
例如，我们可以用素数分布的性质来估算某个大小范围内素数的个数。
另一个经典的数论问题是费马大定理。
费马大定理是由17世纪法国数学家费马提出的，它的表述是：对于任何大于2的整数n，不存在整数a、b和c使得a^n + b^n = c^n成立。
虽然费马大定理曾经让无数数学家和学生为之头痛，但于1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明，此问题在整数范围内无解。
虽然问题已经在整数范围内被证明，但对于更大的数值范围仍然存在一些未解的问题。
在奥赛中，数论题目常常以整数、因子、除法、求模等概念为基础，通过建立等式或不等式来解决问题。
例如，下面是一个经典的奥赛题目：求证每个自然数的立方都可以表示成3个连续自然数的和。
解决这个问题的关键是建立等式x^3 = (x-1) + x + (x+1)，然后通过代数运算得到结果。
这个题目虽然简单，但需要思考和推理的能力。
除了简单的数论题目，奥赛中还有一些较为复杂的数论问题，需要运用更高级的数学知识和技巧。
例如，一道典型的高阶数论题目是欧拉函数的计算问题。
欧拉函数是指小于等于n的正整数中与n互质的数的个数，其计算公式是通过素数分解的方式得到的。
解决这个问题需要对素数分解和数论定理有较深入的理解，可以通过递归、动态规划等方法进行计算。
综上所述，数论是一门重要的数学分支，在奥林匹克数学竞赛中经常出现。
(试卷)奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第1章梅涅劳斯定理及应用
第一章涅劳斯定理及应用【基础知识】梅涅劳斯定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若A '，B '，C '三点共线，则1BA CB AC A B B A C B'''⋅⋅='''．①证明 如图11-，过A 作直线AD C A ''∥交BC 的延长线于D ，则 CB CA B A A D ''=''，AC DA C B A B''=''，故 1BA CB AC BA CA DA A C B A C B A C A D A B''''''⋅⋅=⋅⋅=''''''． 注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法．正弦定理证法 设BC A α''=∠，CB A β''=∠，B A B γ''=∠，在BA C ''△中，有sin sin BA C B αγ'='，同理，sin sin CB CA γβ'='，sin sin AC AB βα'='，此三式相乘即证． 面积证法 由A C B A C C S BA A C S '''''='△△，CB C CA B CB C CA B C CA B AC A AB B AC A AB AC A S S S S S CB B A S S S S S ''''''''''''''''''''+===='+△△△△△△△△△△，AC A C BA S AC C B S '''''='△△，此三式相乘即证．梅涅劳斯定理的逆定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若 1BA CB AC A C B A C B'''⋅⋅='''，② 则A '，B '，C '三点共线．证明 设直线A B ''交AB 于1C ，则由梅涅劳斯定理，得到111AC BA CB A C B A C A''⋅⋅=''．由题设，有1BA CB AC A C B A C B '''⋅⋅='''，即有11AC AC C B C B '='． 又由合比定理，知1AC AC AB AB'=，故有1AC AC '=，从而1C 与C '重合，即A '，B '，C '三点共线． 有时，也把上述两个定理合写为：设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A '，B '，C '三点共线的充要条件是1BA CB AC A C B A C B'''⋅⋅='''． 上述①与②式是针对ABC △而言的，如图11-（整个图中有4个三角形），对于C BA ''△、B CA ''△、AC B ''△也有下述形式的充要条件：C ′B′A'A′B′C ′AC B DCB 图1-1A1C A BC A B AB CA B C '''⋅⋅='''；1B A CB A C AC BA C B '''⋅⋅='''；1AB C A B CBC A B CA'''⋅⋅='''．③ 第一角元形式的梅涅劳斯定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A '，B '，C '共线的充分必要条件是 sin sin sin 1sin sin sin BAA ACC CBB A AC C CB B BA'''⋅⋅='''∠∠∠∠∠∠．④证明 如图12-，可得1sin 21sin 2ABA AA C AB AA BAA S BA A C S AA AC A AC ''''⋅⋅'=='''⋅⋅△△∠∠ sin sin AB BAA AC A AC'⋅='⋅∠∠．同理，sin sin CB BC CBB B A AB B BA''⋅=''⋅∠∠，sin sin AC AC ACC C B BC C CB ''⋅=''⋅∠∠． 以上三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立．第二角元形式的梅涅劳斯定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，点O 不在ABC △三边所在直线上，则A '，B '，C '三点共线的充要条件是 sin sin sin 1sin sin sin BOA COB AOC A OC B OA C OB'''⋅⋅='''∠∠∠∠∠∠．⑤证明 如图13-，由BOA A OC S BA S A C'''='△△，有 sin sin BOA OC BA A OC OB A C''=⋅''∠∠． 同理，sin sin COB OA CB B OA OC B A ''=⋅''∠∠，sin sin AOC OB AC C OB OA C B''=⋅''∠∠． CA′B'C '图1-2AA′OCBB'C 'A 图1-3于是sin sin sin sin sin sin BOA COB AOC BA CB AC A OC B OA C OB A C B A C B''''''⋅⋅=⋅⋅''''''∠∠∠∠∠∠． 故由梅涅劳斯定理知A '，B '，C '共线1BA CB AC A C B A C B'''⇔⋅⋅='''．从而定理获证．注 （1）对于④、⑤式也有类似③式（整个图中有4个三角形）的结论．（2）于在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式中的右端均为1-，③、④、⑤式中的角也可以按①或②式中的对应线段记忆．特别要注意的是三边所在直线上的点为一点或者三点在边的延长线上． 【典型例题与基本方法】1．恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键例1 如图14-，在四边形ABCD 中，ABD △，BCD △，△ABC 的面积比是3∶4∶1，点M ，N 分别在AC ，CD 上，满足AM ∶AC CN =∶CD ，并且B ，M ，N 共线．求证：M 与N 分别是AC 和CD 的中点．（1983年全国高中联赛题）证明 设AM CNr AC CD==（01r <<），AC 交BD 于E ． Q 341ABD BCD ABC S S S =△△△∶∶∶∶，∴17BE BD =，37AE AC =． 37371771AM AE r EM AM AE r AC AC AM MC AC AM r r AC----====----． 又因B ，M ，N 三点共线，可视BMN 为△CDE 的截线，故由梅涅劳斯定理，得 1CN DB EM ND BE MC ⋅⋅=，即77311177r r r r-⋅⋅=--． 化简整理，得 2610r r --=，解得12r =，13r =-（舍去）．故M 与N 分别是AC 和CD 的中点． 例2 如图1-5，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ．求证：GAC EAC =∠∠．（1999年全国高中联赛题）EDCBM NA图1-4证明 记BAC CAD θ==∠∠，GAC α=∠，EAC β=∠，直线GFD 与△BCE 相截，由梅涅劳斯定理，有 1ABG AEFAED ABFS S BG CD EF GC DE FB S S =⋅⋅=⋅△△△△ sin()sin sin sin sin()sin AB AC AE AC AE AB θαθβαθβθ⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-⋅ sin()sin sin sin()θαβαθβ-⋅=⋅-．故 sin()sin sin()sin θαβθβα-⋅=-⋅．即 sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin sin θαβθαβθβαθβα⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅， 亦即 sin cos sin sin sin cos sin()0πk θαβθαβαβαβ⋅⋅=⋅⋅⇔-=⇔-=，且k 只可能为0，故GAC ∠ EAC =∠．例3 设E 、F 分别为四边形ABCD 的边BC 、CD 上的点，BF 与DE 交于点P ．若BAE FAD =∠∠，则BAP CAD =∠∠．证明 如图1-6，只需证得当AF 关于BAD ∠的等角线交BE 于P 时，B 、P 、F 共线即可．事实上，B 、P 、F 分别为△CDE 三边所在直线上的三点，且A 不在其三边所在直线上． 又FAD EAB =∠∠，DAP BAC =∠∠，PAE CAF =∠∠， 由第二角元形式的梅涅劳斯定理，有sin sin sin 1sin sin sin EAB CAF DAPBAC FAD PAE⋅⋅=∠∠∠∠∠∠．故B 、P 、F 三点共线．注 当AC 平分BAD ∠时，即为1999年全国高中联赛题．2．梅涅劳斯定理的逆用（逆定理的应用）与迭用，是灵活应用梅氏定理的一种方法例2另证 如图1-5，设B ，G 关于AC 的对称点分别为B '，G '，易知A ，D ，B '三点共线，连FB '，G 'B'GFEDCBA图1-5FED CBAP图1-6FG '，只须证明A ，E ，G '三点共线．设EFB α'=∠，DFE BFG B FG β''===∠∠∠，AFD GFC G FC γ'===∠∠∠，则*sin sin sin()1sin()sin sin FDA FG B FEC FB A FG C FED S S S DA B G CE FD FB FC AB G C ED S S S FB FC FD γββγαβγαγβ'''''''⋅⋅⋅+-⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅='''⋅+-⋅⋅△△△△△△． 对△CB D '，应用梅涅劳斯定理的逆定理，知A ，E ，G '三点共线．故GAC EAC =∠∠． 注 在图1-5中，*式也可为sin(180)βγ︒--，若B '在AD 的延长上，则*式为sin()βγα++． 例4 如图1-7，1O e 与2O e 和△ABC 的三边所在的3条直线都相切，E ，F ，G ，H 为切点，直线EG 与FH 交于点P ．求证：PA BC ⊥．（1996年全国高中联赛题）证法1 过A 作AD BC ⊥于D ，延长DA 交直线HF 于点P '．对△ABD 及截线FHP '应用梅涅劳斯定理，有1AH BF DP HB FD P A'⋅⋅='．由BF BH =，有1AH DP FD P A '⋅='．显然1O ，A ，2O 三点共线，连1O E ，1O G ，2O F ，2O H ，则由12O E AD O F ∥∥，有△1AGO ∽△2AHO ，从而12AO DE AG DF AO AH ==，即AH AGFD ED=． 又CE CG =，则1AH DP DP AG DP AG CEFD P A P A ED P A GC ED'''=⋅=⋅=⋅⋅'''． 对△ADC ，应用梅涅劳斯定理的逆定理，知P '，G ，E 三点共线，即P '为直线EG 与FH 的交点．故点P '与点P 重合，从而PA BC ⊥．证法2 延长PA 交BC 于D ，直线PHF 与△ABD 的三边延长线都相交，直线PGE 与△ADC 的三边延长线都相交，分别应用（迭用）梅涅劳斯定理，有1AH BF DP HB FD PA ⋅⋅=，1DP AG CEPA GC ED⋅⋅=． 上述两式相除，则有AH BF AG CEHB FD GC ED⋅=⋅． 而HB BF =，CE GC =，于是AH AG FD ED =，即AG DEAH DF=． 连1O G ，OE ，1O A ，2O A ，2O H ，2O F ，而1O ，A ，2O 共线，则OG GC ⊥，2O H BH ⊥，且△1O AG ∽△2O AH ，从而12O A AG DEO A AH DF==，于是1AD O E ∥．故AD EF ⊥，即PA BC ⊥．P （P'）图1-7【解题思维策略分析】梅涅劳斯定理是三角形几何学中的一颗明珠，它蕴含着深刻的数学美，因而它在求解某些平面几何问题，特别是某些平面几何竞赛题中有着重要的应用． 1．寻求线段倍分的一座桥梁例5 已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线交AB 边于X ，交AC 边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P ．证明：△MPQ ∽△ABC ．（1991年第3届亚太地区竞赛题）证明 如图1-8，延长BG 交AC 于N ，则N 为AC 的中点．由XY BC ∥，知2AX AG XB GM ==，而12NC CA =．对△ABN 及截线XQC ，应用梅涅劳斯定理，有1212AX BQ NC BQ XB QN CA QN ⋅⋅=⋅⋅=，故BQ QN =． 从而MQ AC ∥，且1124MQ CN AC ==．同理，MP AB ∥，且14MP AB =． 由此可知，PMQ ∠与BAC ∠的两边分别平行且方向相反，从而PMQ BAC =∠∠，且MP MQAB AC=，故MPQ ABC △∽△．例 6 △ABC 是一个等腰三角形，AB AC =，M 是BC 的中点；O 是AM 的延长线上的一点，使得OB AB ⊥；Q 是线段BC 上不同于B 和C 的任意一点，E 在直线AB 上，F 在直线AC 上，使得E ，Q ，F 是不同的和共线的，求证： （Ⅰ）若OQ EF ⊥，则QE QF =； （Ⅱ）若QE QF =，则OQ EF ⊥． （1994年第35届IMO 试题）证明 （1）如图1-9，连OE ，OF ，DC ．由OQ EF ⊥，易证O ，E ，B ，Q 四点共圆，O ，C ，F ，Q 四点共圆．则 OEQ OBQ OCQ OFQ ===∠∠∠∠，因此OE OF =．故QE QF =．YXGMN PQCB A图1-8（Ⅱ）由AB AC =，EQ QF =，对△AEF 及截线BQC 运用梅涅劳斯定理，有1AB EQ EC FCBE QF CA BE=⋅⋅=，即BE CF =．于是可证Rt Rt OBE OCF △≌△，得OE OF =，故OQ EF ⊥．例7 在凸四边形ABCD 的边AB 和BC 上取点E 和F ，使线段DE 和DF 把对角线AC 三等分，已知14ADE CDF ABCD S S S ==△△，求证：ABCD 是平行四边形．（1990年第16届全俄竞赛题） 证明 如图1-10，设DE ，DF 分别交AC 于P ，Q ，两对角线交于M ．要证ABCD 是平行四边形，若证得AM MC =（或PM MQ =），且BM MD =即可．由ADE CDF S S =△△，ADP CDQ S S =△△（等底等高），知AEP CFQ S S =△△，而APCQ ，故有EF AC ∥，从而有BE BFEA FC=． 对△BAM 及截线EPD ，△BCM 及截线FQD ，分别应用梅涅劳斯定理，有 1BE APMDEA PM DB ⋅⋅=， ① 1BF CQMD FC QMDB⋅⋅=．②由①，②两式相除得AP CQPM QM=． 而AP CQ =，故PM MQ =，即有AM MC =．此时，又有12ABD CBD ABCD S S S ==△△．QCBAEFOM 图1-9QFE DCB AP M 图1-10又由14ADE ABCD S S =△，知BE EA =，于是①式可写为12111BE AP MD MDEA PM DB DB⋅⋅=⋅⋅=，即有2DB MD =，亦即BM MD =． 故ABCD 为平行四边形．2．导出线段比例式的重要途径例8 在△ABC 中，1AA 为BC 边上的中线，2AA 为BAC ∠的平分线，且交BC 于2A ，K 为1AA 上的点，使2KA AC ∥．证明2AA KC ⊥．（1997年第58届莫斯科竞赛题）证明 如图1-11，延长CK 交AB 于D ，只须证AD AC =．由2AA 平分BAC ∠，有22BA AB AC A C=． ①由2KA AC ∥，有1122A K A A KA A C=． 注意到12BC AC =，对△1ABA 及截线DKC 运用梅涅劳斯定理，得 1121212A K A A AD BC AD DB CA KA DB A C =⋅⋅=⋅⋅．故1222=A A BD DA A C，由合比定理，有 1221211212222A A A C A A AC A A BA BD DA DA A C A C A C ++++===，即为 22BA AB AD A C=． ②由①，②式有AB ABAC AD=，故AC AD =． 例9 给定锐角△ABC ，在BC 边上取点1A ，2A （2A 位于1A 与C 之间），在CA 边上取点1B ，2B （2B 位于1B 与A 之间），在AB 边上取点1C ，2C （2C 位于1C 与B 之间），使得122112AA A AA A BB B ===∠∠∠ 211221BB B CC C CC C ==∠∠∠，直线1AA ，1BB 与1CC 可构成一个三角形，直线2AA ，2BB 与2CC 可构成另一个三角形．证明：这两个三角形的六个顶点共圆． （1995年第36届1MO 预选题） 证明 如图1-12，设题中所述两个三角形分别为△UVW 与△XYZ ．KA 2A 1DCBA图1-11由已知条件，有△1AC C ∽△2AB B ，△2BA A ∽△1BC C ，21CB B CA A △∽△，得 12AC ACAB AB=， 21BA AB BC BC =，21CB BCCA AC=，此三式相乘得1222111AC BA CB AB BC CA ⋅⋅=． ①对△1AA B 及截线1CUC ，△2AA C 及截线2BXB ，分别应用梅涅劳斯定理，得 11111ACBC AU UA CB C A ⋅⋅=， ② 22221A X AB CB XA B C BA ⋅⋅=， ③ ①，②，③三式相乘化简，得12AU AXUA XA =．故UX BC ∥． 同理，WX CA ∥．故1212AUX AA A BB B BWX ===∠∠∠∠．从而点X 在△UVW 的外接圆上．同理，可证得Y ，Z 也在△UVW 的外接圆上．证毕．例10 如图1-13，以△ABC 的底边BC 为直径作半圆，分别与边AB ，AC 交于点D 和E ，分别过点D ，E 作BC 的垂线，垂足依次为F ，G ，线段DG 和EF 交于点M ．求证：AM BC ⊥．（IMO -37中国国家队选拔赛题）证法1 设直线AM 与BC 交于H ，连BE ，CD ，则知90BEC BDC ==︒∠∠，直线FME 与△AHC 相截，直线GMD 与△ABH 相截，迭用梅涅劳斯定理，有 1AM HF CE MH FC EA ⋅⋅=，1AM HG BDMH GB DA⋅⋅=． 两式相除，得 FH CF AE BDHG CE BG AD⋅⋅=⋅⋅． C 1C 2B 2B 12A 1UWVXYZ A图1-12H MG FEDCA图1-13在Rt △DBC 与Rt △EBC 中，有2CD BC FC =⋅，2BE BC BG =⋅，即22CF CD BG BE =．将其代入①式，得 22FH CD AE BDHG BE CE AD⋅⋅=⋅⋅． 又由△ABE ∽△ACD ，有CD ADBE AE=． 将其代入②式，得 DBC EBC S FH CD BD DF DMHG BE CE S EG MG⋅====⋅△△，从而，MH DF ∥． 而DF BE ⊥，则MH BC ⊥，故AM BC ⊥．证法 2 作高AH ，连BE ，CD ，则90BDC BEC =⋅=∠∠，于是，sin DF BD B =⋅=∠ cos sin BC B B ⋅⋅∠∠，cos sin EG BC C C =⋅⋅∠∠． ∴ cos sin cos cos sin cos GM EG C C AB CMD FD B B AC B ⋅===⋅⋅∠∠∠∠∠∠． 又cos BH AB B =⋅∠，cos HG AE C =⋅∠，∴cos cos cos cos BH AB B AC B HG AE C AD C ⋅⋅==⋅⋅∠∠∠∠，即BH GM AB HG MD AD ⋅=，故1BH GM DAHG MD AB⋅==．对△BGD 应用梅涅劳斯定理的逆定理，知H ，M ，A 三点共线．由AH BC ⊥，知 AM BC ⊥．例11 如图1-14，设点I ，H 分别为锐角△ABC 的内心和垂心，点1B ，1C 分别为边AC ，AB 的中点．已知射线1B I 交边AB 于点2B （2B B ≠），射线1C I 交AC 的延长线于点2C ，22B C 与BC 相交于K ，1A 为△BHC 的外心．试证：A ，I ，1A 三点共线的充分必要条件是△2BKB 和△2CKC 的面积相等．（CMO -2003试题）分析 首先证A ，I ，1A 三点共线60BAC ⇔=︒∠．设O 为△ABC 的外心，连BO ，CO ，则2BOC BAC =∠∠．又180BHC BAC =︒-∠∠，因此，60BAC =︒∠ B ⇔，H ，O ，C 四点共圆 1A ⇔在△ABC 的外接圆O e 上EB 2A 1B 1C 1C 2KFHOI DCBA图1-14AI ⇔与1AA 重合A ⇔，I ，1A 三点共线．其次，再证2260BKB CKC S S BAC =⇔=︒△△∠．并在三角函数式中，用A 、B 、C 分别表示三内角． 证法 1 设△ABC 的外接圆半径为R ，CI 的延长线交AB 于D ，对△ACD 及截线12C IC ，应用梅涅劳斯定理，有12121AC CC DI C D IC C A⋅⋅=． ①注意到 112AC AB ABC D AD AC AC BC ⋅=-=-+ 22sin sin ()sin (sin sin )222()sin sin cos2C B AR AB AC BC C B A RA B AC BC B A-⋅⋅--⋅===-++，则 11sinsin22cos cos 22C B A CD C A BAC -⋅=-⋅． 而sin cos sin 22sin sin sin 22C A B B IC AC ADC C C DI AD ACD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====∠∠，由①式，有2121sin2cos2B A CC CD IC C C A DI AC -=⋅=．从而 22222sincos 22cos2A BAC CC AC C AC C A⋅-==． ②又对△ACD 及截线12B IB ，应用梅涅劳斯定理，有21211AB CB DI B D IC B A⋅⋅=． 注意到11CB B A =，有22sin2cos 2C B D DI A B AB IC ==-，2222cos sin 2sin sin2222cos cos22A B C A BAB B D AD A B A B AB AB --⋅-===--，即2coscos cossin 222sin sin 2sin sin 2sin sin 2sin sin 222222A B A B A BAC B AB AD AB AB A B A B A B AC BC B A ---=⋅=⋅⋅=⋅⋅=++⋅⋅⋅cos22cos sin22B ABC A⋅⋅．从而22sincos 22cos2A C ABB AB ⋅=． ③由2222221BKB CKC ABC AB C AB AC S S S S AB AC ⋅=⇔=⇔=⋅△△△△，注意②，③24sin 12A⇔=，且A 为锐角60BAC ⇔=︒∠．证法2 如图1-14，设直线AI 交BC 于F ，直线12B B 交CB 的延长线于E ．对ACF △及截线1B IE ，应用梅涅劳斯定理，有111AB CF FIB C EF IA⋅⋅=． ④又由11AB B C =及角平分线性质，即有FI CF BF BCIA CA BA AB AC===+． 令BC a =，AC b =，AB c =，则FI aIA b c=+． 由④式，有CE b c EF a +=，即EF EF aCF CE EF b c a==-+-． 而abCF b c =+，则2()()a b EF b c a b c =+-+．又ac BF b c =+，()a a c BE EF BFbc a -=-=+-（由题设知a c >）． 从而 ()()EF abBE b c a c =+-． 对ABF △及截线2IB E ，应用梅涅劳斯定理，有221BB AI FE IF EB B A⋅⋅=． 将⑤式代入上式，得22BB IF BE a c B A AI EF b -=⋅=，∴ 2222AB B B AB a b cAB AB b++-==． ⑥同理2AC a c b AC c+-=． 由2222221BKB CKC ABC AB C AB AC S S S S AB AC ⋅=⇔=⇔=⋅△△△△，注意⑥，⑦1a b c a c bb c+-+-⇔⋅=⇔22260a b c bc BAC =+-⇔=︒∠．注 例11还有其他证法，可参见笔者另文《关于2003年中国数学奥林匹克第一题》（《中等数学》2003年第6期）．例12 如图1-15，凸四边形ABCD 的一组对边BA 与CD 的延长线交于M ，且AD BC ∥，过M 作截线交另一组对边所在直线于H ，L ，交对角线所在直线于H '，L '．求工业化：1111MH ML MH ML +=+''．证法1 如图1-15，对ML D '△及直线BLC 由梅涅劳斯定理得 1ML L B DCLL BD CM'⋅⋅='． 对DL H '△及直线BAM 由梅涅劳斯定理得 1L M HA DBMH AD BL '⋅⋅='． 对MHD △及直线CH A '由梅涅劳斯定理得H 'L'LDCAMOH图1-151HH MC DAH M CD AH'⋅⋅='． 由①⨯②⨯③得1ML L M HH LL MH H M''⋅⋅=''， 所以HH LL MH H M ML L M ''=''⋅⋅， 所以H M MH ML ML MH H M ML L M''--=''⋅⋅， 故1111MH ML MH HL+=+''． 证法2 设AD 与BC 的延长线相交于O ．△BML 和△CML 均被直线AO 所截，迭用梅涅劳斯定理，有BA HL OBAM MH LO=⋅，① CD HL OCDM MH LO=⋅，② 由①LC ⋅+②BL ⋅，得 BA CD HL OB LC OC BLLC BL AM DM MH LO⋅+⋅⋅+⋅=⋅．③ 注意到 OB LC OC BL BC LO ⋅+⋅=⋅（直线上的托勒密定理），则③式变为BA CDLC BL AM DM⋅+⋅= HLDC MH⋅．④ 又由BD 截△LCM 和AC 截△LBM ，迭用梅涅劳斯定理，有LL DCBC BL L M MD'⋅=⋅'，LH ABBC LC H M AM'⋅=⋅'． 将此结果代入④式整理，即得欲证结论．注 当AD BC ∥，④式显然成立，故仍有结论成立．此题是二次曲线蝴蝶定理的推论． 3．论证点共直线的重要方法例13 如图1-16，△ABC 的内切圆分别切三边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，点X 是△ABC 的一个内点，△XBC 的内切圆也在点D 处与BC 边相切，并与CX ，XB 分别相切于点Y ，Z ．证明：EFZY 是圆内接四边形．（1995年第36届IMO 预选题）证明 由切线长定理，知CE CD CY ==，Z BF BD B ==，AF AE =，XZ XY =．设BC 的延长线与FE 的延长线交于P ，对△ABC 及截线FEP ，应用梅涅劳斯定理，有PXYZ FE D CB A图1-161AF BP CE AF BP CEFB PC EA EA PC FB=⋅⋅=⋅⋅XZ BP CY XZ BP CYYX PC ZB ZB PC YX=⋅⋅=⋅⋅． 对△XBC 应用梅涅劳斯定理的逆定理，知Z ，Y ，P 三点共线，故由切割线定理有2PE PF PD ⋅=，2PY PZ PD ⋅=．以而PE PF PY PZ ⋅=⋅，即EFZY 是圆内接四边形．例14 如图1-17，△ABC 中，A ∠内的旁切圆切A ∠的两边于1A 和2A ，直线12A A 与BC 交于3A ；类似地定义1B ，2B ，3B 和1C ，2C ，3C ．求证：3A ，3B ，3C 三点共线．证明 由切线长定理，知12AA AA =，12BB BB =，12CC CC =．对△ABC 与直线123C C C ，123A A A ，123B B B 分别应用梅涅劳斯定理，有332123213111AC AC BC CC BC C B C C C A C B C A=⋅⋅=⋅⋅，233213213111BA BA CA AA CA A C A A A B A C A B =⋅⋅=⋅⋅，332123213111CB CB AB BB AB B A B B B C B A B C=⋅⋅=⋅=． 上述三式相乘，有333111111333222222AC BA CB AC A B B C AC A B B CC B A C B A BC CA AB CA AB BC ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅． 设3O e 切AB 于K ，2O e 切AC 于L ，则由12BB BB =，可得21221()2BC BK B C KB ==-．同理11211()2B C CL B C LC ==-．又由两内公切线长相等，即21KB LC =，故21BC B C =．同理，21CA AC =，21AB A B =．A 3图1-17从而3333331AC BA CB C B A C B A⋅⋅=，故对△ABC 用梅涅劳斯的逆定理，知3A ，3B ，3C 三点共直线． 例15 如图1-18，设△ABC 的三边BC ，CA ，AB 所在的直线上的点D ，E ，F 共线，并且直线AD ，BE ，CF 关于A ∠，B ∠，C ∠平分线的对称直线AD '，BE '，CF '分别与BC ，CA ，AB 所在直线交于D '，E '，F '，则D '，E '，F '也共线．证明 对ABC ∠及截线FED 应用第一角元形式的梅涅劳斯定理，有sin sin sin 1sin sin sin BAD CBE ACFDAC EBA FCB ⋅⋅=∠∠∠∠∠∠．由题设知，CAD BAD '=∠∠，D AB DAC '=∠∠，BCF ACF '=∠∠，F CA FCB '=∠∠，ABE CBE '=∠∠，E BC EBA '=∠∠，从而有sin sin sin 1sin sin sin CAD ABE BCF D AB E BC F CA '''⋅⋅='''∠∠∠∠∠∠，即sin sin sin 1sin sin sin BAD CBE ACF D AC E BA F CB'''⋅⋅='''∠∠∠∠∠∠． 故由第一角元形式的梅涅劳斯定理，知D '，E '，F '共线．例16 在筝形ABCD 中，AB AD =，BC CD =．过BD 上的一点P 作一条直线分别交AD 、BC 于E 、F ，再过点P 作一条直线分别交AB 、CD 于G 、H ．设GF 与EH 分别与BD 交于I 、J ，求证：PI PJPB PD=． 证明 如图1-19，过B 作AD 的平行线交直线EF 于E '，再过B 作CD 的平行线交直线GH 于H '，则E BP EDP PBG '==∠∠∠，HBPHDP PBF '==∠∠∠．进而H BG H BP GBP PBF PBE E BF ''''=-=-=∠∠∠∠∠∠．所以 sin sin sin sin sin sin 1sin sin sin sin sin sin PBH GBI FBE FBP GBP FBE H BG IBF E BP E BF PBF PBG'''⋅⋅=⋅⋅='''∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠．又H '、I 、E '分别为△PGF 三边所在直线上的点，且点B 不在△PGF 三边所在的直线上．由第二角元形式的梅涅劳斯定理的逆定理知H '、I 、E '共线．于是，由PBE PDE '△∽△，PH B PHD '△∽△．有E H EH ''∥．D 'F'E'F EDC BA图1-18H 'E'PDCBAHF EG 图1-19因此，PI PE PB PJ PE PD '==．故PI PJPB PD=． 注 当PB PD =，P 为BD 中点时，即为1989年12月冬令营选拔赛试题．例17 如图1-20，四边形ABCD 内接于圆，其边AB ，DC 的延长线交于点P ，AD 和BC 的延长线交于点Q ，过Q 作该圆的两条切线，切点分别为E ，F ．求证：P ，E ，F 三点共线．（1997年CMO 试题）证明 设圆心为O ，连QO 交EF 于L ，连LD ，LA ，OD ，OA ，则由切割线定理和射影定理，有2QD QA QE QL QO ⋅==⋅，从而D ，L ，O ，A 四点共圆，即有QLD DAO ODA OLA ===∠∠∠∠，亦即OL 为△LAD 的内角ALD ∠的外角平分线． 又EF OQ ⊥，则EL 平分ALD ∠． 设EF 分别交AD ，BC 于M ，N ，于是DM DL DQMA AL AQ==． 同理，CN CQBN BQ=． 于是，DM AM AM DM AD DQ AQ AQ DQ DQ AQ +===++，CN BN BCCQ BQ BQ CQ ==+， 所以，211MQ DQ DQ DA AQ DM DM AD AD +=+=+=，2QN BQCN BC=． 直线PBA 与△QCD 的三边延长线相交，由梅涅劳斯定理，有1CP DA QB CP DM QNPD AQ BC PD MQ CN=⋅⋅=⋅⋅． 对△QCD 应用梅涅劳斯定理的逆定理，知P ，M ，N 三点共线．所以P ，E ，F 三点共线．注 此例的其他证法，可参见第二章例9，第九章例15等．例18 已知△ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，线段BE 、CF 分别与该内切圆交于点P 、Q ，若直线FE 与BC 交于圆外一点R ．证明P 、Q 、R 三点共线．（2011年香港奥林匹克题）证明 如图1-21，由切线长定理有AE AF =．对△ABC 及截线EFR 应用梅涅劳斯定理，有1AF BR CEFB RC EA⋅⋅=，Q图1-20即有BR EA FB FBRC CE AF CE=⋅=． 设BE 与CF 交于点S ，由△EFC ∽△QEC ，△FEB PFB ∽△，△SEQ ∽△SFP ，有CQ CEEQ EF=，FP FE PB FB=，SP FP SQ EQ =． 又对△SBC 及所在边上的点R 、P 、Q ，有SP BR CQ SP CQ BR FP CQ FB FP CQ FBPB RC QS SQ PB RC EQ PB CE PB QE CE ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅1FE CE FBFB EF CE=⋅⋅=． 于是，由梅涅劳斯定理的逆定理，知P 、Q 、R 三点共线． 4．注意与其他著名定理配合运用例19 在Rt △ABC 中，已知90A =︒∠，B C >∠∠，D 是△ABC 处接圆的圆心，直线A l 、B l 分别切O e 于点A 、B ，BC 与直线A l 、AC 与直线B l 分别交于点S 、D ，AB 与DS 交于点E ，CE 与直线Al 交于点T ，又设P 是直线A l 上的点，且使得A EP l ⊥，Q （不同于点C ）是CP 与O e 的交点，R 是QT 与O e 的交点，令BR 与直线A l 交于点U ． 证明：22SU SP SA TU TP TA ⋅=⋅． （2005年韩国奥林匹克题）证明 如图1-22，设BA 的延长线与O e （过C 点）的切线交于点E '．由帕斯卡定理知S 、D 、E '三点共线，从而点E '与E 重合．RFEDCBAPQ S 图1-21由切割线窄弹知 2TA TR TQ =⋅，2SA SB SC =⋅．所以，22SA SB SCTA TR TQ⋅=⋅． ①设TQ 与CB 交于点X ，对△XTS 及截线RBU ，截线QCP 分别应用梅涅劳斯定理，有1XP TU SBRT US BX⋅⋅=，=1XQ TP SC QT PS CX ⋅⋅． ② 注意相交弦定理，有XP XQ XB XC ⋅=⋅．③由①、②、③，得 22SU SP XP SB XQ SC SB SC SA TU TP RT BX QT CX TR TQ TA ⋅=⋅⋅⋅=⋅=． 例20 在梯形ABCD 中，已知BC 、AD 分别为上、下底，F 为腰CD 上一点，AF 与BD 交于点E ，G 为边AB 上一点，满足EG AD ∥，CG 与BD 交于点H ，FH 与AB 交于点I ．证明：CI 、FG 、AD 三线共点． （2011年乌克兰奥林匹克题） 证明 如图1-23，设直线AB 与DC 、AF 与DG 分别交于点S 、T ．先证S 、H 、T 三点共线．由EG AD BC ∥∥，知△ATP ETG ∽△，△GHE CHB ∽△，△ASD ∽△BSC ． 有,,AT AD EH GE BC BSTE EG HB CB AD AS===． 上述三式相乘，有1AT EH BS AD GE CBTE HB SA EG CB AD⋅⋅=⋅⋅=． 对△AES 应用梅涅劳斯定理的逆定理，知T 、H 、S 三点共线．考虑△AFI 和△DGC ，注意到直线IF 与CG ，FA 与GD 、AI 与DC 分别交于点H 、T 、S ，于是由戴沙格定理，知CI 、FG 、AD 三线共点．图1-22SD图1-23【模拟实战】习题A1．在△ABC 中，点D 在BC 上，13BD DC =，E ，G 分别在AB ，AD 上，23AE EB =，12AG GD =，EG 交AC 于点F ，求AFFC． 2．在ABCD Y中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与CE 相交于G ，AF 与DE 相交于H ，求AH ∶HG ∶GF ．3．P 是△ABC 内一点，引线段APD ，BPE 和CPF ，使D 在BC 上，E 在AC 上，F 在AB 上．已知6AP =，9BP =，6PD =，3PE =，20CF =，求△ABC 的面积．（第7届AIME 题） 4．设凸四边形ABCD 的对角线AC 和交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD 于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点，求证：OPF OEP =∠∠．（1996年全国初中联赛题）5．已知D ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且23AD DB CF FA ==∶∶∶，连DF 交BC 边的延长线于点E ，求EF FD ∶．6．设D 为等腰Rt △ABC （90C =︒∠）的直角边BC 的中点，E 在AB 上，且21AE EB =∶∶，求证：CE AD ⊥．7．在△ABC 中，点M 和N 顺次三等分AC ，点X 和Y 顺次三等分BC ，AY 与BM ，BN 分别交于点S ，R ，求四边形SRNM 与△ABC 的面积之比．8．E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 的四条边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，若EH ，BD ，FG 三直线共点，则EF ，AC ，HG 三直线共点或平行．9．设X ，Y ，Z 分别是△ABC 的边CB ，CA 和BA 延长线上的点，又XA ，YB 和ZC 分别是△ABC 外接圆的切线．证明：X ，Y ，Z 三点共线． （1989年新加坡竞赛题） 10．求证：三角形两角的平分线与第三角的外角平分线各与对边所在直线的交点共线．11．已知直径为AB 的圆和圆上一点X ，设A t ，B t 和X t 分别是这个圆在A ，B ，X 处的切线．设Z 是直线AX 与B t 的交点，Y 是直线BX 与A t 的交点，证明：YZ ，X t ，AB 三直线共点．（第6届加拿大竞赛题）12．P 是ABCD Y中任一点，过P 作AD 的平行线分别交AB ，CD 于E ，F ，又过P 作AB 的平行线，分别交AD ，BC 于G ，H ．求证：AH ，CE ，DP 三线共点．13．在△ABC 中，1AA 为中线，2AA 为角平分线，K 为1AA 上的点，使2KA AC ∥．证明：2AA KC ⊥． （第58届莫斯科奥林匹克题）14．直线l 交直线OX ，OY 分别于A ，B ，点C 与D 是线段AB 两侧的直线l 上两点，且CA DB =．过C 的直线CKL 交OX 于K ，交OY 于L ；过D 的直线交OX 于M ，交OY 于N ．连结ML 和KN ，交直线l 分别于E ，F ．求证：AE BF =．15．设四边形ABCD 外切于一圆，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的切点，若直线HE 与DB 相交于点M ，则M ，F ，G 三点共线．16．设P 为△ABC 的内点，过点P 的直线l ，m ，n 分别垂直于AP ，BP ，CP ，若l 交BC 于Q ，m 交AC 于R ，n 交AB 于S ，证明：Q ，R ，S 共线． （IMO -28预选题） 17．已知△ABC 的BC 与它的内切圆相切于点F ．证明：该圆的圆心O 在BC 与AF 的两个中点M ，N 的连线上． 18．已知凸四边形ABCD 内接于O e ，对角线AC ，BD 相交于点Q ，过Q 分别作直线AB ，BC ，CD ，DA 的垂线，垂足分别是E ，F ，G ，H ．求证：EH ，BD ，FG 三直线共点或互相平行． 19．设ABCD 为圆外切四边形，又AB ，BC ，CD ，DA 与该圆的切点为E ，F ，G ，H ．求证：AC ，BD ，EG ，FH 共点．习题B1．P 是ABCD Y内一点，MN ，EF 分别过P ，MN AD ∥且分别与AB ，CD 交于点M ，N ，EF AB ∥且分别与DA ，BC 交于点E ，F ．求证：ME ，FN ，BD 三线共点． 2．在△OAB 中，AOB ∠为锐角，从AB 上任一点M 作MP OA ⊥于P ，MQ OB ⊥于Q ，点H 是△OPQ 的垂心，求当点M 在线段AB 上移动时，点H 的轨迹． （IMO -7试题） 3．在正△ABC 的边BC ，CA ，AB 上有内分点D ，E ，F 将边分成3∶(3)(6)n n ->，线段AD ，BE ，CF 相交所成的△PQR （BE 交AD 于P ，交FC 于Q ）是△ABC 的面积的449时，求n 的值． （1992年日本奥林匹克预选题）4．在△ABC 中，90A =︒∠，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F ．若BE ∶2ED AC =∶DC ，则ADB FDC =∠∠．5．已知点E ，1D ，2D 在△ABC （AB AC >）的边BC 上，12BAD CAD =∠∠，11EF AD ∥交AB 于1F ，又与CA 的延长线交于1C ，22EF AD ∥交AB 于2F ，又与CA 的延长线交于2G ．求证：212212BF BF BE CE CG CG ⋅=⋅． （《数学通报》问题1353题）6．圆外切四边形ABCD 中，AB ，BC ，CD ，DA 边上的切点分别为P ，Q ，R ，S ．AD 与BC 的延长线交于点E ，AB 与DC 延长线相交于点F ．求证：（Ⅰ）AC ，BD ，PR ，QS 四线共点；（Ⅱ）AC ，EF ，PQ ，RS 四线共点；（Ⅲ）BD ，EF ，PS ，QR 四线共点（假定BD EF ≠）． 7．若凸四边形的对角线AC 与BD 互相垂直，且相交于E ，过E 点分别作边AB ，BC ，CD ，DA 的垂线，垂足依次为P ，Q ，R ，S ，并分别交CD ，DA ，AB ，BC 边于P '，Q '，R '，S '，再顺次连接P Q ''，Q R ''．R S ''，S P ''，则R S P Q AC ''''∥∥；R Q P S BD ''''∥∥．（IMO -22试题的推广）8．面积为1的△ABC 的边AB ，AC 上分别有点D ，E ，线段BE ，CD 相交于点P ．点D ，E 分别在AB ，AC 上移动，但满足四边形BCED 的面枳是△PBC 面积的两倍这一条件，求△PDE 面积的最大值． （1992年日本奥林匹克题） 9．ABCD 是边长为2的正方形，E 为AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 和DE 相交于I ，BD 和AF 相交于H ．求四边形BEIH 的面积．10．P 是凸四边形ABCD 所在平面上一点，APB ∠，BPC ∠，CPD ∠，DPA ∠的平分线分别交AB ，BC ，CD ，DA 于点K ，L ，M ，N ．（Ⅰ）寻找一点P ，使KLMN 是平行四边形；（Ⅱ）求所有这样的P 点的轨迹． （1995年世界城市际联赛题）11．△ABC 中，AB AC >，AD 为内角平分线，点E 在△ABC 的内部，且EC AD ⊥，ED AC ∥，求证：射线AE 平分BC 边． （《数学教学》问题536题） 12．设△123A A A 为非等腰三角形，内心为I ，i C （1i =，2，3）为过I 与1i i A A +和2i i A A +相切的小圆（增加的下标作模3同余），i B （1i =，2，3）为圆1i C +和2i C +的另一交点，证明：△11A B I ，△22A B I ，△33A B I 的外心共线．（IMO -38预选题）。
信息学奥赛(NOIP)必看经典书目汇总
信息学奥赛（NOIP）必看经典书目汇总基础篇1、《全国青少年信息学奥林匹克分区联赛初赛培训教材》（推荐指数：4颗星）曹文，吴涛编著，知识点大杂烩，部分内容由学生撰写，但是对初赛知识点的覆盖还是做得相当不错的。
语言是pascal的。
2、谭浩强老先生写的《C语言程序设计（第三版）》（推荐指数：5颗星）针对零基础学C语言的筒子，这本书是必推的。
3、《骗分导论》（推荐指数：5颗星）参加NOIP必看之经典4、《全国信息学奥林匹克联赛培训教程（一）》（推荐指数：5颗星）传说中的黄书。
吴文虎，王建德著，系统地介绍了计算机的基础知识和利用Pascal语言进行程序设计的方法5、《全国青少年信息学奥林匹克联赛模拟训练试卷精选》王建德著，传说中的红书。
6、《算法竞赛入门经典》（推荐指数：5颗星）刘汝佳著，算法必看经典。
7、《算法竞赛入门经典：训练指南》（推荐指数：5颗星）刘汝佳著，《算法竞赛入门经典》的重要补充提高篇1、《算法导论》（推荐指数：5颗星）这是OI学习的必备教材。
2、《算法艺术与信息学竞赛》（推荐指数：5颗星）刘汝佳著，传说中的黑书。
3、《学习指导》（推荐指数：5颗星）刘汝佳著，《算法艺术与信息学竞赛》的辅导书。
（PS：仅可在网上搜到，格式为PDF）。
4、《奥赛经典》（推荐指数：5颗星）有难度，但是很厚重。
5、《2016版高中信息学竞赛历年真题解析红宝书》（推荐指数：5颗星）历年真题，这是绝对不能遗失的存在。
必须要做！三、各种在线题库1、题库方面首推USACO（美国的赛题），usaco写完了一等基本上就没有问题，如果悟性好的话甚至能在NOI取得不错的成绩．2、除此之外Vijos也是一个不错的题库，有很多中文题．3、国内广受NOIP级别选手喜欢的国内OJ（Tyvj、CodeVs、洛谷、RQNOJ）4、BJOZ拥有上千道省选级别及以上的题目资源，但有一部分题目需要购买权限才能访问。
5、UOZ 举办NOIP难度的UER和省选难度的UR。
奥赛经典
奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.A.12B.13C.14D.15例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）. A.100 B.112 C.120 D.1502.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.A.401B.800C.601D.12033.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.A.1B.6C.4D.无数多4.2009是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a Λ排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++Λ的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗?”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗?”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n Λ-与n n a a a a 110-Λ互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：12112211122211112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A 组1.M 表示一个两位数，N 表示一个三位数，如果把M 放在N 的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（ ）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k 倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（ ）.A.()1-k 倍B.()k -11倍C.()k -10倍D.()k -9倍3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab 为两位数，且满足bbb ab b a =⋅⋅，求这个两位数.6.求一个最小的正整数n ，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B 组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc ，然后，魔术师再要求他记下五个数acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，并把这五个数加起来求出和N ，只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc 是什么.如果3194=N ，请你确定abc .3.两位数ab （个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz ；而这两位数ba 的平方恰好等于三位数zyx ，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少？5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()21101001.0化为十进制小数.6.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+-Λ能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方？13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅？15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：321Λ321Λ119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少？19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+；⑵()()2210101101101101-；⑶()()()222101101100111000000--.。
奥赛经典
奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）.例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）.2.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.3.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.D.无数多是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a 排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n -与n n a a a a 110- 互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：1112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A组1.M表示一个两位数，N表示一个三位数，如果把M放在N的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（）.A.()1-k倍B.()k-10倍 D.()k-9倍11倍 C.()k-3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab为两位数，且满足bbba=⋅，求这个两位数.⋅bab6.求一个最小的正整数n，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数acb、bac、bca、cab、cba，并把这五个数加起来求出和N，只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么.如果3194N，请你确定abc.=3.两位数ab（个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz；而这两位数ba的平方恰好等于三位数zyx，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab的两位数被当成了两位数ba），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()2.0化为十进制小数.11010016.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+- 能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+；⑵()()2210101101101101-；⑶()()()222101101100111000000--.。
数学竞赛书籍推荐
细数那些年曾看过的数竞好书——转摘于网络竞赛的学习远不同于高考，差异性的根源就来自老师这一角色的转变。
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他们可以为学生搜集资料，编制试题，懂得启发、引导学生思考，善于布局谋划学生的发展方向，却极少拿起教材真正教你些什么。
当学习过程中的第一知识来源几乎不再为你注入源头活水的时候，你自然明白，书本就成了你获取知识的唯一可行途径。
你看什么书，它知识点讲解是否清楚，它囊括的练习题是否典型而具有启发性，就直接决定了你的学习质量，其重要性无需我再多言。
作为一个数学竞赛的过来人，我写下这篇文章，按照时间顺序分段介绍数学竞赛几个必经的层次，及其对应的参考书籍。
希望给正在或者即将踏上长路奔驰的你，带来一些实质性的帮助。
Period 1：初三毕业的那个夏天——高一的第一个学期结束第一阶段是大多数竞赛生学习必备知识的阶段，说白了就是先把高考课程内要求掌握的所有知识自学完成，吃饱了上路。
这一阶段的目标，清晰明确：配合老师的课堂教学，尽可能快地自学完成高考数学的绝大多数内容，在最短时间内达到高考的要求。
在这一部分，我并没有什么值得推荐的参考书，我只想介绍我当时的情况。
我高中的第一个学期，期中考试数学分数非常低，这不是我个人的问题，而是我们整个数学竞赛组都存在的麻烦。
于是我的竞赛老师就自己搜集了一些高考的难题，汇总，并且按照联赛一试的形式命制成了一套套的试题让我们练习。
毫不夸张地说，到了期末，数学组的高考数学成绩就统治全班了，前前后后不过两个月的时间。
Period 2：高一第一学期结束的寒假第二阶段是竞赛生第一次真正意义上地开始竞赛的学习，是飞机起飞前的第一冲刺滑行阶段。
我建议你需要完成的事情是：学习一试的内容和平面几何的内容。
对于一试部分的内容，我推荐的教材是华东师范大学出版社出版的《奥数教程》，注意是高一年级和高二年级的基础篇（只有基础篇）。
学数学竞赛的人不可能没听说这一套书，这一系列共分三本，分别在封面注明了高一到高三三个年级。
奥赛经典：数学奥林匹克教程高级教程系列
值得一提的是，这本书的目录还具有一定的灵活性。它不仅按照知识点的顺序 进行排列，还按照难度的层次进行排列。这使得学生可以根据自己的实际情况 选择学习的顺序和难度经典：数学奥林匹克教程高级教程系列》这本书的目录结构合理、内容 丰富、理论与实践结合紧密、具有一定的灵活性。这使得这本书不仅成为数学 竞赛的必备教材，也成为广大数学爱好者的良师益友。通过对这本书的学习， 学生不仅能够提高自己的数学能力，还能够开拓自己的思维，培养自己的创新 能力。因此，我们相信这本书将继续在数学教育和竞赛中发挥重要的作用，为 培养更多的数学人才做出贡献。
作者简介
作者简介
这是《奥赛经典：数学奥林匹克教程高级教程系列》的读书笔记，暂无该书作者的介绍。
谢谢观看
《奥赛经典：数学奥林匹克教程高级教程系列》是一本非常优秀的数学竞赛指 南。通过阅读这本书，我不仅对数学竞赛有了更深入的了解，也对数学的魅力 有了更深的体会。我相信，这本书不仅可以帮助我更好地参与数学竞赛，也可 以为我在未来的学习和工作中提供很大的帮助。我非常推荐这本书给那些对数 学怀有浓厚兴趣的学生和学者们阅读。
《奥赛经典：数学奥林匹克教程高级教程系列》是由湖南师范大学社于2003年 的，由叶军所著。这本书系统地介绍了数学奥林匹克的相关知识，包括数学竞 赛的基本概念、基本方法、技巧以及一些经典问题。通过阅读这本书，我不仅 对数学竞赛有了更深入的认识，也从中获得了很多宝贵的经验。
数学竞赛要求参赛者具备扎实的数学基础，敏捷的思维能力和严谨的逻辑推理 能力。这恰恰是我们在日常生活和工作中所需要的素质。通过参与数学竞赛， 我们可以锻炼自己的思维能力，提高自己的解决问题的能力，为未来的学习和 工作打下坚实的基础。
奥赛经典：数学奥林匹克教程高级教 程系列
奥赛经典 初中数学 pdf
奥赛经典初中数学pdf全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：奥赛经典初中数学是一个专门为中学生准备的数学学习资料，旨在帮助学生提高数学学习兴趣，激发学生数学求知欲，培养学生的数学思维和解题能力。
这套资料内容丰富，涵盖了初中数学的各个方面，包括数学基础知识、数学题型、解题技巧等等，适合中学生使用。
奥赛经典初中数学的特点主要有以下几点：内容丰富全面。
这套资料覆盖了初中数学的各个知识点，包括整数、分数、几何、代数、概率等等，而且每个知识点都有详细的讲解和大量的练习题，可以帮助学生系统地学习和掌握数学知识。
题目经典精华。
这套资料中的题目都是经过精心挑选和精心设计的，旨在帮助学生提高解题能力和思维能力。
这些题目难度适中，可以帮助学生逐步提高解题能力，巩固和加深数学知识。
解题技巧指导。
这套资料中不仅有大量的练习题，还配有详细的解题技巧指导，帮助学生掌握解题方法和技巧，提高解题效率和准确性。
实用性强。
这套资料旨在帮助学生提高数学成绩，因此我们在编写这套资料的时候特别注重实用性，确保内容全面，题目经典，解题技巧指导准确，可以帮助学生在数学学习中取得更好的成绩。
奥赛经典初中数学是学生学习数学的一个非常好的选择，可以帮助学生提高数学学习兴趣，巩固和加深数学知识，提高解题能力和思维能力，是一套非常好的数学学习资料。
希望广大中学生可以认真使用这套资料，从中受益匪浅。
第二篇示例：奥赛经典初中数学题一直是学生们复习提高数学能力的重要资料，也是考试备战的利器。
本文将为大家介绍一份关于奥赛经典初中数学的PDF资料，让大家能够更好地提升自己的数学水平，为未来的学习和考试做好准备。
奥赛经典初中数学PDF资料是专门为初中生设计的数学学习资料，内容涵盖了初中数学的各个重要知识点和题型，旨在帮助学生全面提升数学能力，提高解题速度和准确性。
通过反复练习和多样化的题型训练，学生们可以更好地掌握数学知识，提高解题能力，为未来的学业发展打下坚实的基础。
奥赛经典 初中代数
奥赛经典初中代数
初中代数是数学学科中的重要部分，它涉及到了各种数学概念和技巧。
在奥赛经典中，初中代数题目常常涉及到方程、不等式、函数等内容。
下面列举一些典型的初中代数题目，希望能够对读者有所帮助。
1. 【方程】已知方程2x + 3 = 7，求解x的值。
2. 【方程】解方程3(x - 2) = 5x - 1。
3. 【方程】解方程2(x + 1) - 3(x - 2) = 4。
4. 【不等式】已知不等式2x + 3 > 7，求解x的范围。
5. 【不等式】解不等式3(x - 2) < 5x - 1。
6. 【不等式】解不等式2(x + 1) - 3(x - 2) ≥ 4。
7. 【函数】已知函数y = 2x + 3，求解当x = 4时，y的值。
8. 【函数】已知函数y = 3(x - 2)，求解当x = 5时，y的值。
9. 【函数】已知函数y = 2(x + 1) - 3(x - 2)，求解当x = 3时，y的值。
10. 【方程组】解方程组
⎧ 2x + 3y = 7
⎨ 3x - 2y = 4
求解x和y的值。
这些题目涵盖了初中代数中的方程、不等式和函数等重要内容。
通过解题过程，可以帮助学生巩固代数的基本知识和技能。
希望这些题目能够对读者有所帮助，并对初中代数的学习和理解有所启发。
(答案)奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第十章根轴的性质及应用答
第十章根轴的性质及应用习题A1．由PAB AQB △△∽，有PBA ABQ ∠=∠，即知Q 点在PB 上，且PB ABAB QB=．由AQB ABR △△∽，有BAQ RAB ∠=∠，即知R 点在AQ 上，且AQ ABAB AR=．故2PB QB AB AQ AR ⋅==⋅． 设PQR △的外接圆圆心为O ，则A ，B 关于O e 是等幂的．作切线AT ，BS ，连OA ，OB ，OT ，OS ，由222AT BS AB ==，OT OS =有OAT OBS △△∽，OA OB =，即O e 关于AB 的中垂线对称，故P '，Q '，R '都在O e 上．2．设两圆圆心为1O ，2O ，连12O O ，由于1O ，2O 是梯形BCED 两条对角线的中点，则12O O BC ∥，1O e 和2O e 的根轴与BC 垂直．设ABC △的三条高线为AL ，BM ，CN ，垂心为H ，则M 在1O e 上，N 在2O e 上，且B ，C ，M ，N 共圆,直径为BC ，记此圆为3O e ，这三圆的圆心不共线，则三条根轴相交于一点根心．又3O e 与1O e 的根轴是BM ，CN 是2O e 与3O e 的根釉，又BM 和CN 相交于垂心H ，从而1O e 与2O e 的根轴是过垂心H 且垂直于BC 的直线，即高AL 所在的直线．3．设以BE 为直径的圆为1O e ，以CD 为直径的圆为2O e ，BM ，CN 是高线，H 为垂心，则M 在1O e 上，N 在2O e 上，由B ，C ，M ，N 四点共圆，有HB HM HC HN ⋅=⋅，即H 是关于两圆的等幂点，则H 在1O e 和2O e 的根轴上．4．过A 引BC 的平行线，并与A M '的延长线交于B '，与A N '的延长线交于C '，令ABC △的外接圆 为1Γ，A BC ''△的外接圆为2Γ．因MBA '△和NA C '△都是等腰三角形，B C BC ''∥，则在MAB '△和NAC '△中，MBA MA B MB A MAB ''''∠=∠=∠=∠，NA C NCA NAC NC A ''''∠=∠=∠=∠，即有AB A B ''=，AC A C ''=，即ABC A B C '''△△∽．又AM BM A M B M ''⋅=⋅，AN CN A N C N ''⋅=⋅，从而M ，N 是圆1Γ和2Γ的等幂点，即直线MN 是圆1Γ和2Γ的根轴，又1Γ与2Γ是等圆，则MN 是1Γ和2Γ的对称轴．又A '在2Γ上，则A '关于MN 的对称点在1Γ上．5．设凸六边形ABCDEF 切圆于点R ，Q ，T ，S ，P ，U (R 在AB 上，Q 在BC 上，等等)．选择任意实数0a >，在直线BC 和EF 上作点Q '和P '，使QQ PP a ''==，而向量QQ u u u r 和PP u u u r 同向量CB u u u r和EF u u u r 同方向，类似地作点R '，S '，T '，U '（有RR SS TT UU a ''''====），再作1O e 切直线BC 和EF 分别于点P '，Q '，类似地作2O e ，3O e ．下证点B 和E 在1O e 和2O e 的根轴上．BQ QQ BQ RR BR BR '''=-=-=（若QQ BQ '<，则BQ BQ QQ BR RR BR ''''=-=-=和EP E P PP ES SS ES '''''=+=+=．类似地可证，直线FC 和AD 分别是1O e 和3O e ，2O e 和3O e 的根轴．而三个圆的根轴交于一点，因此AD ，BE ，CF 共点． 6．若圆DD EE ''，EE FF ''，FF DD ''是互异的，那么直线AB ，BC ，CA 将是它们的根轴，而这是不可能的，因为三圆的根轴不可能构成三角形．因此，至少有两圆重合，此时，三圆必重合．7．设ABC △内切圆半径为r ，其与BC ，CA ，AB 的切点分别为D ，E ，F ．又设P ，Q ，R 分别是线段EF ，FD ，DE 的中点．由IBD △和IDQ △均为直角三角形，有22IQ IB ID r ⋅==．同理，2IR IC r ⋅=，于是B ，C ，R ，Q 四点共圆．由于点Q ，R 分别在IB ，IC 上，则I 在BQRC e 的外部，I 关于BQRC e 的幂为2IB IQ r ⋅=，从而该圆与I e 直交．同理，CRPA e ，APQB e 也与I e 直交，故A '，B '，C '，就是P ，Q ，R ，且PQR △的外接圆半径为2r．即证． 习题B由¼119022m m BMM BM MM B '''∠======︒-撩妹妹妹?,¼12m ABM MM B ''∠===,有90BM M ABM '∠=︒-∠，由 AB AN ⊥，有90ANB ABM ∠=︒-∠，即BM M ANB '∠=∠，故M ，M '，N '，N 四点共圆，此圆记为Γ．于是，MM '是O e 和圆Γ的根轴．又A 在根轴上，则AN AN AB AB ''⋅=⋅，即AN AN '⋅恒为A 对于O e 的幕．2．记直线AM 与DN 的交点为Q ，须证点Q 在直线XY 上．连MN ，由P 在两圆根轴XY 上，知PC PM PB PN ⋅=⋅，由此有PBC PMN △△∽，故PMN PBC ∠=∠．再由AC 和BD 分别为两圆直径，有90AMP ∠=︒且90PBC D ∠+∠=︒，得180AMN D AMP PMN D ∠+∠=∠+∠+∠=︒，故A ，M ，N ，D 四点共圆，于是AQ QM QD QN ⋅=⋅，即点Q 对两圆的幂相等，从而Q 在两圆的根轴XY 上．3．连AE ，BE ，1AO ，12O O ，2O B ．设O e 与1l 相切于H ，1EAO θ∠=，O e 与1O e 的半径分别为r ，1r ，则两圆外公切线长AH =1O A OB ∥，得12O AE O BE △△∽，于是A ，E ，B 共线，且12cos AE r θ=，2sec AB θ=，于是有24AE AB rr AH ⋅==1，即点A 对O e 和2O e 的幂相等，故A 在两圆的根轴（过切点D 的公切线）上，即AD 为两圆公切线．同理可知BC 为O e 和1O e 的公切线，故OC OD =，即22221122QO r QO r -=-，故12OE O O ⊥，即QE 为O e 和2O e 的公切线，于是QE QC QD ==，即Q 为CDE △的外心，另证：因12l l ∥，连1O A ，2O B ，则12O A O B ∥．连12O O ，则12AO E BO E ∠=∠连AE ，BE ，则12AEO BEO ∠=∠，故A ，E ，B 三点共线．设O e 与1l 交于F ，同理可知B ，D ，F 三点共线，所以 ¼¼1122mmFAE ACE EmB BDE ∠=======∠．则A ，E ，D ，F 四点共圆，所以，B 点在O e 与1O e 的根轴上，因此，BC 为O e 与1O e 的根轴．同理，AD 为O e 与2O e 的根轴．因此，Q 为O e ，1O e ，2O e 的根心，且QC QD QE ==． 所以，Q 为CDE △的外心．4．记AB 中点为M ，为证M 在C e 和D e 的根轴上，只须证M 向C e 和D e 引的切线长相等，只须 证对任一与A e 内切而与B e 外切的圆Γ而言，自M 向Γ所引的切线长为定值（仅与A e 半径R 及2AB a =有关，而与Γ的位置和半径r 无关）． 连AC ，BC ，MC ，则AC R r =-，BC R r =+，2AB a =，故由斯特瓦尔特定理的推论（或三角形中线长定理），有()()2222222222111142222MC AC BC AB R r R r a R r a ⎛⎫⎡⎤=+-=++--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．于是自M点向C e =（与C e 的位置与半径无关），从而自M 点向C e 和D e 引的切线长相等，即M 在两圆根轴上，故直线．PQ 平分线段AB ．。
(试卷)奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第十章 根轴的性质及应用
第十章 根轴的性质及应用【基础知识】定义 从一点A 作一圆周的任一割线，从A 起到和圆周相交为止两线段之积，称为A 点对于此圆周的幂． 由相交弦定理及切割线定理，知点A 的幂是定值：若这点在圆内，则这点的幂等于以该点为中点的弦的半弦长的平方；则若这点在圆外，则这点的幂等于从这点所引圆周切线长的平方；若这点在圆周上。
则这点的幂等于0．由定义，幂由下列的结论：结论1 点A 对于以O 为圆心的圆周的幂，等于OA 及半径的平方差． 结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线．事实上，如图10-1，设点A 到O 1⊙和2O ⊙的幂相等，1O ⊙，2O ⊙的半径分别为1R 和2R （12R R >），则22221122AO R AO R -=-，即22221212AO AO R R -=-=常数．设12O O 的中点为D ，12AM O O ⊥于M ，则2221112AO AD O D O D DM =++⋅，2222222AO AD DO DO DM =+-⋅，即221212122()2AO AO DM O D DO DM O O -=⋅+=⋅，亦即2212122R R DM O O -==常数．所以，M 点是一定点，过M 点的垂线即是两圆等幂点的轨迹．这条直线称为两圆的根轴或等幂轴．特别地，若两圆同心，则120O O =，从而同心圆的根轴不存在；若20R =，2O ⊙变成一点2O ，则A 点在2O ⊙的幂是22AO ．此时，直线（轨迹）称为一圆与一定点的根轴． 根轴有如下性质：性质1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线．由于两圆的交点对于两圆的幂都是0，所以，它们位于根轴上，而根轴是直线，所以，根轴是两交点的连线．性质2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线． 性质3 三个圆，其两两的根轴或相交于一点，或互相平行．事实上，若三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上．这一点，称为三圆的根心．例如，三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心．显然，当三个圆的圆心在一直线上时，三条根轴互相平行；当三个圆的圆心不共线时，根心存在． 性质4 若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上． 【典型例题与基本方法】1．注意点对圆周的幂的结论的应用例1 如图10-2，从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线，设垂足为D ，作1O ⊙切»BC，CD ，DB 分别于E ，F ，G ．求证：AC AG =．图 10-1证明 设半圆的圆心为O ，则O ，1O ，E 共线．连1O F ，知1O F CD ⊥，得1O F AB ∥．连EF ，AE ，由111122FEO FO O EOB OEA ∠=∠=∠=∠，知E ，F ，A 三点共线．又因90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，有ACF ABC AEC ∠=∠=∠，从而AC 是CEF ⊙的切线，故点A 对CEF ⊙的幂2AC 等于点A 对1O ⊙的幂2AG ，即有AC AG =．例2 如图10-3，设I 是ABC △的内心，过I 作AI 的垂线，分别交边AB ，AC 于P ，Q ． 求证：分别于AB 及AC 相切于P 及Q 的圆L 必与ABC △的外接圆O 相切．证明 延长AI 交O ⊙的半径为R ，则点L 对O ⊙的幂为22R LO LA LM -=⋅，于是222()LO R LA LM R LA IM LI =-⋅=-⋅-2R LA IM LA LI =-⋅+⋅22R LA IM LP =-⋅+．由11()22MIC A C BCM C MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，知12sin 22PLMI MC R A R AL==⋅∠=⋅．从而，22222()PLLO R LA R LP R PL AL=-⋅⋅+=-．由此，即知L ⊙与O ⊙相切． 2．注意根轴性质的灵活运用例3 如图10-4，设1O ⊙与2O ⊙相离，引它们的一条外公切线切1O ⊙于A ，切2O ⊙于C ，又引它们的一条内公切线切1O ⊙于B ，且2O ⊙于D ．求证：直线AB 和CD 的交点在两圆的连心线上．证明 设直线AB 和CD 的交点为K ，直线AC 与BD 的交点为E ，连1O E ，2O E ，则图 10-2图 10-3IQ D MP O ABCA1AB O E ⊥，2CD O E ⊥．由1O E 平分AEB ∠，2O E 平分CED ∠，知12O E O E ⊥，由此推知AB CD ⊥，即K 时分别以AC 和BD 为直径的两圆1Γ和2Γ的交点，从而K 在圆1Γ和圆2Γ的根轴上．连1O A ，1O B ，又由1O A AC ⊥，知1O A 是圆1Γ的切线，1O 关于圆1Γ的幂是21O A ．同理，1O B 是圆2Γ的切线，1O 关于2Γ的幂是21O B ．由于2211O A O B =，所以1O 是关于圆1Γ和2Γ的等幂点．同样，2O 是关于圆1Γ和圆2Γ的等幂点．所以12O O 是圆1Γ和2Γ的根轴．于是，K 在连心线12O O 上． 例4 如图10-5，已知两个半径不相等的圆1O ⊙与2O ⊙相交于M ，N 两点，且1O ⊙，2O ⊙分别与O ⊙内切于S ，T 两点．求证：OM MN ⊥的充分必要条件是S ，N ，T 三点共线．证明 连OS ，OT ，ST ，作公切线SP ，TP 相交于P ，则得PS PT =，由此即知自P 点向1O ⊙和2O ⊙所昨切线长相等，故点P 在这两圆1O ⊙和2O ⊙的根轴上，且由2PS PN PM =⋅．连OP 交ST 于点Q ，则OP ST ⊥，且2PQ PO PS PN PM ⋅==⋅，故O ，Q ，N ，M 四点共圆．由此，即有OM MN OQ QN N ⊥⇔⊥⇔在直线ST 上S ⇔，N ，T 三点共线． 例5 如图10-6，ABC △中，O 为外心，三条高AD ，BE ，CF 相交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．求证：（Ⅰ）OB DF ⊥，OC DE ⊥；（Ⅱ）OH MN ⊥．证明 （Ⅰ）过B 作ABC △的外接圆的切线BT ，则由A ，F ，D ，C 四点共圆，知TBA ACB BFD ∠=∠=∠有DF BT ∥，而OB BT ⊥．故OB DF ⊥．同理OC DE ⊥．（Ⅱ）取OH 的中点V ，下证V 为DEF △的外心．设A '，B '，C '分别为BC ，CA ，AB 的中点．由A ，B ，D ，E 四点共圆，有90BED BAD B ∠=∠=︒-∠．同理，90BEF BCF B ∠=∠=︒-∠． 从而1802DEF BED BEF B ∠=∠+∠=︒-∠又因为A '为Rt BFC △的斜边BC 上的中点，知21802FA B FCB B '∠=∠=︒-∠，从而知F ，A '，D ，E图 10-5C ' B 'A '图 10-6PMF EDPTO ABC四点共圆．同理，D ，F ，B '，E 及C '，F ，D ，E 分别四点共圆，由此即知A '，B '，C '，D ，E ，F 六点共圆．又因为OA BC '⊥，DH BC ⊥，V 为OH 的中点，即知V 在A D '的垂直平分线上． 同理，V 在B E '，FC '的垂直平分线上，故V 是DEF △的外接圆的圆心．再由D ，E ，A ，B 及D ，F ，A ，C 分别四点共圆，有M D M E M B M A ⋅=⋅，ND NF NC NA ⋅=⋅．由此即知M ，N 对ABC △的外接圆与DEF △的外接圆的幂相等，从而M ，N 在这两个外接圆的根轴上，即有MN OV ⊥，故MN OH ⊥． 【解题思维策略分析】1．根轴与点对圆的幂是密切相关的例6 如图10-7，O ⊙过ABC △的顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N （K 与N 不同），ABC △的外接圆和BKN △的外接圆相交于B 和M ．求证：90BMO ∠=︒．（IMO 26-试题）证明 设ABC △和BKN △的外接圆圆心分别为1O ，2O ，由题设，推知O ，1O ，2O 三点不共线（否则B 和M 重合），而直线AC ，KN ，BM 分别为这三个圆中两两圆的根轴，故它们必相交于一点，不妨设交于点P ．由PMN BKN NCA ∠=∠=∠，知P ，M ，N ，C 四点共圆，则B 点对此圆PMNC ⊙的幂等于B 点对O ⊙的幂，即有（设R 为O ⊙的半径）22BM BP BN BC BO R ⋅=⋅=-．又点P 对2O ⊙的幂等于点P 对O ⊙的幂，即有22PM PB PN PK PO R ⋅=⋅=-．由上述两式相减，得2222()()()PO BO BP PM BM PM BM PM BM PM BM -=-=+-=-， 由此有OM BP ⊥，故90OMB ∠=︒．例7 如图10-8，设四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q ，由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E ，F ，则P ，E ，F 三点共线．B图 10-8E 'ABC QMDFEPG证明 连PQ ，并在PQ 上取一点M ，使得B ，C ，M ，P 四点共圆，则Q 为ABCD ⊙和BCMP ⊙两圆根轴上的点，则2QE QC QB QM PQ =⋅=⋅． ①此时PMC ABC PDQ ∠=∠=∠，从而C ，D ，Q ，M 四点共圆，即知P 对此圆CDQM ⊙的幂为PC PD PM PQ ⋅=⋅② 连PF 交ABCD ⊙于E '，作QG PF ⊥于G ，则P ，Q 对ABCD 的幂分别为PC PD PE PF '⋅=⋅ ③ 及2QC QB QF ⋅=． ④ 由①+②并注意③，④式，由22QM PQ PM PQ PQ QC QB PC PD QF PE PF '⋅+⋅==⋅+⋅=+⋅， 即22_()PQ QF PE PF PG GE PF ''=⋅=-⋅．⑤又22222222()()PQ QF PG QG QG GF PG GF -=+-+=- ＝()()()PG GF PG GF PG GE PF =-+=-⋅． ⑥比较⑤与⑥式，得PE PG GE PG GE ''====，即E '与E 重合，故P ，E ，F 三点共线．注 在此，需要指出：对于例６与例７应用根轴的概念来处理，可以发现它们的等价性．如图10-7，设以BO 为直径的圆为3O ⊙，且3O ⊙与O ⊙交于X ，Y 两点，则BY OY ⊥，即同理，BX 与为O ⊙的切线．若例7结论成立，则知KN ，XY ，AC 三条根轴交于一点P ．又直线BM ，KN ，AC 分别为1O ⊙与2O ⊙，O ⊙，1O ⊙与O ⊙的根轴，则BM ，KN ，AC 交于一点，故BM 过P 点．由于XY 是3O ⊙与O ⊙的根轴，则1O ⊙与3O ⊙的一个交点为B 时，另一个交点在BM 直线上，且为M 点，即3O ⊙过点M ．又由于BO 为直径，有90BMO ∠=︒．反之，若例6结论成立也可推得例7结论成立，例7即图10-8中的圆内接四边形ABCD 也一一对应于例6即图10-7中的四边形ACNK ．例8 如图10-9，某圆分别与凸四边形ABCD 的AB ，BC 两边相切于G ，H 两点，与对角线AC 相交于E ，F 两点．问ABCD 应满足怎样的重要条件，使得存在另一圆过E ，F 两点，且分别与DA ，DC 的延长线相切？证明你的结论．分析 所求的充分必要条件是AB AD CB CD +=+．证明 必要性：设过E ，F 两点的另一圆分别与DA 的延长线和DC 的延长线相切于J 和K 两点．注意到点A 对这两个圆幂相等，即22AG AE AF AJ =⋅=，同样有22CH CK =， 则有AB AD BG GA AD BG JA AD BG JD BH KD BH KC +=++=++=+=+=+ CD BH HC CD BC CD +=++=+充分性：设凸四边形ABCD 满足条件AB AD CB CD +=+．在DA 的延长线和DC 的延长线上分别取J 点和K 点，使AJ AG =，CK CH =．于是， DJ JA AD AG AD AB AD BG CB CD BH CH CD DK =+=+=+-=+-=+=过J 点和K 点分别作DJ 和DK 的垂线，以两垂线交点为圆心作通过J 点和K 点的圆，由AJ AG =，CK CH =，则A 点和C 点关于原有圆的幂分别等于这两点关于所做圆的幂．而直线AC AC 与原有圆相交于E 和F 两点，且AC 是这两圆的根轴，所以EF 是这两圆的公共弦．至此，便证明了所做的与DA 延长线和DC 延长线相切的圆通过E ，F 两点． 2．根轴是联系圆与圆关系的一座桥梁例9 设圆O 的内接凸四边形ABCD 的两条对侥幸AC 、BD 的交点为P ，过P 、B 两点的圆1O 与过P 、图 10-9J F EDHGA BCA 两点的圆2O 相交于两点P 和Q ，且圆1O 、圆2O 分别与圆O 相交于另一点E 、F ．求证：直线PQ 、CE 、DF 或者共点或者相平行．证明 如图10-10，设直线EC 交1O ⊙于I ，直线FD 交2O ⊙于J ．因为PJE PAF CAF CDF ∠=∠=∠=∠，故PJ CD ∥．同理，IP CD ∥．从而I 、P 、J 三点共线． 又180180EFD ECD EIJ ∠=︒-∠=︒-∠， 故E ，F ，J ，I 四点共圆．因此，由根轴定理可知，四边形IEFJ 的外接圆、圆1O 、圆2O 两两的公共弦IE 、PQ 、JF （所在的直线）或者共点或者互相平行，即直线PQ 、CE 、DF 或者共点或者互相平行． 例10 已知AB 是O ⊙的弦，M 是弧»AB 的中点，C 是O ⊙外任一点，过点C 作O ⊙的切线CS 、CT ，连接MS 、MT ，分别交AB 于点E 、F ．过点E 、F 作AB 的垂线，分别交OS 、OT 于点X 、Y ．再过点C 任作O ⊙的割线，交O ⊙于点P ，Q ，连接MP 交AB 于点R ，设Z 是PQR △的外心．求证：X 、Y 、Z 三点共线．证明 如图10-11，先连结OM ，由垂径定理，易说明XES △与OMS △位似，于是XES △是等腰三角形；故可以X 为圆心，XE 和XS 为半径作圆，该圆同时与弦AB 及支线CS 相切． 再作PQR △的外接圆，并连接MA 、MC ．易证明2MR MP MA ME MS ⋅==⋅； 又由切割线定理2CQ CP CS ⋅=．①、②表明点M 和点C 关于Z ⊙和X ⊙的幂都相等，于是MC 就是上述两圆的根轴，因此ZX MC ⊥． 同理可证ZY MC ⊥．由③、④即知X 、Y 、Z 三点共线．证毕．例11 设O 和I 分别为ABC △的外心和内心，ABC △的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，直线FD 与CA 相交于点P ，支线DE 与AB 相交于点Q ，点M 、N 分别为线段PE 、QF 的图 10-10EPO 1O 2AQDJIG BFC图 10-11BQ中点，求证：OI MN ⊥．证明 如图10-12，考虑ABC △与截线PFD ，由Menelaus 定理，有1CP AF BDPA FB DC⋅⋅=， 所以PA AF BD AF p a PC FB DC DC p c -=⋅==-， 于是PA p a CA a c-=-， 因此()b p a PA a c-=-，这样()b p a PE PA AE p a a c-=+=+--=2()()p c p a a c ---，1()()2p c p a ME PE a c--==-， 2()()()()p c p a p a MA ME AE p a a c a c ---=-=--=--， 2()()()()p c p a p c MC ME EC p c a c a c---=+=+-=--． 于是2MA MC ME ⋅=．因为ME 是点M 到ABC △的内切圆的切线长，所以2ME 是点M 到内切圆的幂，而MA MC ⋅是点M 到ABC △的外接圆的幂．等式2MA MC ME ⋅=表明点M 到ABC △的外接圆与内功圆的幂相等，因而点M 在ABC △的外接圆与内功切圆的根轴上．同理，点N 也在ABC △的外接圆与内切圆的根轴上． 故OI MN ⊥．例12 ABC △的外接圆的圆心为O ，A '是边BC 的中点，AA '与外接圆交于点A ''，a A Q AO '⊥，点a Q 在AO 上，过点A ''的外接圆的切线与a A Q '相交于点a P ．用同样的方式，可以构造点b P 和c P ．证明：a P 、b P 、c P 三点共线．证明 可以证明它们都在O ⊙与九点圆的根轴上．图 10-12如图10-13，把ABC △位似变换到A B C '''△，ABC △的重心G 为位似变换到A B C '''△，ABC △的重心G 为位似中心，位似比为12-．在这种变换下，AO 变成了A N '，其中N 为九点圆的圆心，所以A N AO '∥，a A P A N ''⊥． 故a A P '是九点圆的切线．易知90OAB C ∠+∠=︒，则90BAA A AO C ''∠+∠+∠=︒（不妨设AB AC ≤）． 又a P A A BAA C ''''∠=∠+∠，90a P A A A AO ''''∠=︒-∠， 所以a a P A A P A A ''''∠=∠，故a a A P A P '''=．所以，a P 在O ⊙于九点圆的根轴上．同理，b P 、c P 也在O ⊙与九点圆的根轴上． 例13 凸四边形ABCD 的外接圆的圆心为O ，已知AC BD ≠，AC 与BD 交于点E ，若P 为四边形ABCD 内部一点，使得90PAB PCB PBC PDC ∠+∠=∠+∠=︒．求证：O 、P 、E 三点共线．证明 如图10-14，记四边形ABCD 的外接圆为圆T ，APC △的外接圆为圆1T ，BPD △的外接圆为圆2T ．易知，圆T 和1T 的根轴是直线A C ，圆T 和2T 的根轴是直线BD ． 由于P 是圆1T 和2T 的公共点，因此，P 在圆1T 和2T 的根轴上．又E 是AC 与BD 的交点，则E 是圆T 、1T 、2T 的根心．从而，直线PE 是圆1T 和2T 的根轴． 为证明O 、P 、E 三点共线，只需证明O 对圆1T 和2T 的幂相等，即O 也在这两个圆的根轴上． 由外角的性质知1902APC PAB ABC PCB AOC ∠=∠+∠+∠=︒+∠．而11(180)180(90)18022ACO AOC AOC APC ∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠这表明，OC 与1T 切于点C ．图 10-13a图 10-14同理，OB 与圆2T 切于点B ．由OC OB =知，点O 对圆1T 和2T 的幂相等．从而，O 、P 、E 三点共线．例14 已知圆1T 、2T 交于点Q 、R ，且内切于圆T ，切点分别为1A 、2A ，P 为圆T 上的任意一点，线段1PA 、2PA 分别与圆1T 、2T 交于1B ，2B ．证明：（1）与圆1T 切于点1B 的直线和与圆2T 切于点2B 的直线平行；（2）12B B 是圆1T 与圆2T 的公切线的充分必要条件是P 在直线QR 上．证法1 （1）设圆1T 、2T 、T 的圆心分别为1O 、2O 、O ，则1122O B OP O B ∥∥．从而，与圆1T 切于点1B 的直线和与圆2T 切于点2B 的直线平行，且和与圆T 切于点P 的直线平行．（2）设与圆1T 切于点1B 的直线与圆T 交于点1C 、1D ，则P 是¼11CD 的中点，且有2111PC PA PB =⋅． 同理，设与圆2T 切于点2B 的直线与圆T 交于点2C 、2D ，则P 是¼22C D 的中点，且有2222PC PA PB =⋅．于是，这两条切线重合为12B B ，等价于2212PC PC =，从而，等价于点P 关于圆1T 、圆2T 等幂，即等价于点P 在圆1T 、圆2T 的根轴OR 上．证法2 （1）如图10-15，作直线l 与O ⊙切于点P ，设与圆1T 切于点1B 的直线为1l 与圆2T 切于点2B 的直线为2l ．由位似变换知1l l ∥，2l l ∥，所以，12l l ∥．（2）若12B B 是1O ⊙、2O ⊙的公切线，则由（1）知12B B l ∥，从而，12212B B P B PY PA A ∠=∠=∠． 所以，1A 、1B 、2B 、2A 四点共圆． 因此，1122PB PA PB PA ⋅=⋅故点P 到1O ⊙、2O ⊙的圆幂相等，即P 、Q 、R 三点共线． 若点P 在OR 上，由同一法知12B B l ∥，得证．例15 已知非等腰锐角ABC △，1AA 、1BB 是它的两条高，又线段11A B 与平行于AB 的中位线相交于点C '．证明：经过ABC △的外心垂心的直线与直线CC '垂直．证明 如图10-16，在ABC △中，分别将边BC 、CA 的中点记作0A 、0B ，将三角形的垂心记作H ，外心记作O ．图 10-15l因为点A 、B 、1A 、1B 位于同一圆周上（AB 为其直径），所以，1100CB A CBA CA B ∠=∠=∠．故点0A 、0B 、1A 、1B 位于同一圆周1ω上．将以CH 为直径的圆周记作2ω，将以CO 为直径的圆周记作3ω．易知，点1A 、1B 位于圆周2ω上，而点0A 、0B 位于圆周3ω上．因此，点C '关于圆1ω和圆2ω有相同的幂，关于圆1ω和3ω也有相同的幂． 从而，点C '关于圆2ω和3ω有相同的幂，即位于它们的根轴之上． 所以，直线CC '就是圆2ω和圆3ω的根轴． 故CC '垂直于这两个圆的圆心连线．又圆2ω和圆3ω的圆心分别为线段CH 和CO 的中点，它们的连心平行于直线OH ，则OH CC '⊥． 例16 已知圆W 是等边ABC △的外接圆，设圆W 与1W 外切且切点异于点A 、B 、C ，点1A 、1B 、1C 在圆1W 上，且使得1AA 、1BB 、1CC 与圆1W 相切．证明：线段1AA 、1BB 、1CC 中的一线段的长短等于另两线段长度之和．证明 如图10-17 设圆W 和圆1W 相切点X ，且X 位于劣弧»AB 上．设直线AX 、BX 、CX 分别交圆1W 于点A '、B '、C '，设圆W 、圆1W 的半径为r 、1r ．注意到，以X 为中心、1rr-为位似比的位似变换将ABC △映射到A B C '''△，所以，A B C '''△是等边三角形．由托勒密定理有AC BX AX BC AB CX ⋅+⋅=⋅．因为ABC △是等边三角形，所以，AX BX CX +=．图 10-16B图10-17'1B 1实用文档 专业整理 11 令1r r m r+=，根据相似形的性质有AA m AX '=⋅，BB m BX '=⋅，CC m CX '=⋅． 于是，AX BX CX +==．由点A 、B 、C 关于圆W 的幂，111AA BB CC +=【模拟实践】习题A1．在线段AB 的同一侧作出三个相似的三角形PAB ，AQB ，ABR ，关于AB 的中垂线对称地作出三个相似三角形P AB '，AQ B '，ABR '．求证：P ，Q ，P '，Q '，R '六点在同一个圆上．2．设ABC △的AB 上有点D ，AC 上有点E ，且DE BC ∥，分别以BE ，CD 为直径作1O ⊙，2O ⊙．求证：这两圆的根轴恒为ABC △的过点A 的高所在直线．3．设D ，E 是ABC △中AB ，AC 上的点．求证：以BE 和CD 为直径的两圆的根轴必通过ABC △的垂心．4．在ABC △的边BC 上任取一点A '，线段A B '的中垂线交边AB 于M 点，线段A C '的中垂线交边AC 于N 点．求证：点A '关于直线MN 的对称点在ABC △的外接圆上．5．证明：圆外切六边形ABCDEF 的对角线AD ，BE ，CF 共点．6．设D ，D '是ABC △的BC 边上两点，E ，E '是CA 边上两点，F ，F '是AB 边上的两点，且D ，D '，E ，E '共圆，E ，E '，F ，F '共圆，F ，F '，D ，D '共圆．证明：D ，D '，E ，E '，F ，F '六点共圆．7．已知ABC △的内心为I ，1O ⊙，2O ⊙，3O ⊙分别为过B ，C ；A ，C 和A ，B 且与I ⊙直交，1O ⊙与2O ⊙相交于另一点C '．同理可得点B '和A '．证明：A B C '''△的外接圆半径等于I ⊙半径的12． 习题B1．设A 是O ⊙的直径BB '上或其延长线上任一定点，过A 引O ⊙的割线MAM '或AMM '，过A 作BB '的垂线交BM 的延长线于N ，交BM '的延长线于N '．求证：AN AN '⋅是定值．2．设A ，B ，C ，D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC ，BD 为直径的圆交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z ．若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆交于C 及M ，直线BP 与以BD 为直径的圆交于B 及N ，试证：AM ，DN 和XY 共点．3．已知圆O 切于两条平行线1l 和2l ；第二个圆1O 切1l 于A ，切外切圆O 于C ；第三个圆2O 切2l 于B ，切外切圆O 于D ，切外切圆1O 于E ，AD 交BC 于Q ．求证：Q 是CDE △的外心．4．两个大圆A ⊙，B ⊙相等且相交，两个小圆C ⊙和D ⊙不等亦相交，且交点为P ，Q ．若C ⊙，D ⊙既同时与A ⊙内切，又同时与B ⊙外切，求证：直线PQ 平分线段AB ．。
奥赛经典 数论
奥赛经典数论摘要：1.奥赛经典数论概述2.数论的发展历程3.数论的主要研究领域4.数论的应用领域5.我国在数论领域的发展及成就正文：【奥赛经典数论】数论，作为数学的一个重要分支，一直以来都是奥赛的经典考点之一。
它研究的是整数、分数、小数等数的性质、关系和规律，具有广泛的应用价值。
本文将从数论的发展历程、主要研究领域、应用领域以及我国在数论领域的发展及成就等方面进行介绍。
【数论的发展历程】数论的起源可以追溯到古希腊时期，当时的数学家们对整数的性质进行了探究。
经过几千年的发展，数论已经成为数学的一个重要分支。
在数论的发展历程中，许多数学家都为其作出了巨大的贡献，如欧几里得、费马、欧拉、高斯等。
【数论的主要研究领域】数论的主要研究领域包括素数理论、同余理论、最大公约数与最小公倍数、数的整除性等。
素数理论是数论的基础，它研究的是只能被1 和本身整除的正整数——素数。
同余理论研究的是整数在同一个余数类中的性质。
最大公约数与最小公倍数是数论中重要的概念，广泛应用于分数的通分、约分等。
数的整除性是研究整数能否被其他整数整除的性质。
【数论的应用领域】数论在数学领域具有广泛的应用，如密码学、计算机科学、信息理论等。
其中，最著名的应用是RSA 加密算法，它是目前广泛应用于网络通信的一种加密方式。
此外，数论在计算机科学中的应用还包括快速傅里叶变换、大整数运算等。
【我国在数论领域的发展及成就】我国在数论领域的发展及成就举世瞩目。
自20 世纪以来，我国数学家在数论领域取得了一系列突破性成果，如陈省身的“陈式定理”、张恭庆的“张恭庆- 莫比乌斯函数”等。
此外，我国在奥赛数论题目上的表现也一直名列前茅，为我国数学事业争光添彩。
总之，数论作为奥赛的经典考点，不仅具有深厚的历史底蕴，还具有广泛的应用价值。
奥赛经典 数论
奥赛经典数论摘要：一、引言1.奥赛经典数论的背景与意义2.数论在数学竞赛中的重要性二、数论的基本概念1.自然数与整数2.素数与合数3.互质数与最大公约数4.最小公倍数与数列三、数论方法与技巧1.欧几里得算法2.费马小定理3.欧拉定理4.威尔逊定理5.拉格朗日定理四、数论在奥赛中的应用1.数论问题的类型与解题思路2.典型数论奥赛题目解析五、数论学习建议与拓展1.学习数论的方法与策略2.数论与其他数学领域的联系3.数论奥赛的训练与提高正文：奥赛经典数论，是指在国际数学奥林匹克竞赛（IMO）以及其他数学竞赛中涉及数论知识的问题。
数论作为数学的一个重要分支，具有悠久的历史和丰富的内涵。
在数学竞赛中，数论问题往往以其独特的思维方式和技巧性而备受青睐。
首先，我们来了解一下数论的基本概念。
自然数是整数中不包括负数的那些数，而整数包括正整数、负整数和零。
素数是指仅有1和本身两个正因数的自然数，如2、3、5、7等。
合数则是除了1和本身之外还有其他因数的自然数，如4、6、8等。
互质数是指最大公约数为1的两个自然数，而最大公约数是两个数共有的最大因数，最小公倍数则是两个数的共有最小倍数。
在数论问题中，有许多独特的方法和技巧。
例如，欧几里得算法（又称辗转相除法）是一种求两个整数的最大公约数的经典方法。
费马小定理是关于素数的一个有趣性质，它表明：若p为素数，a为非零整数，则a的p-1次方模p等于1。
欧拉定理则给出了关于复数单位根的一个重要性质。
威尔逊定理和拉格朗日定理则是关于素数分布的著名定理，对于理解素数现象具有重要意义。
数论在奥赛中的应用非常广泛，涉及到各种类型的问题。
解题时，我们需要灵活运用数论的基本概念和方法，结合题目条件进行分析。
通过大量典型题目的训练，我们可以提高自己的解题技巧和思维能力。
对于数论的学习，我们建议从基础知识入手，逐步掌握各类数论概念和方法。
同时，要注意与其他数学领域的知识进行联系，例如代数、几何等，以拓宽自己的视野。
奥赛经典生物奥林匹克教程
奥赛经典生物奥林匹克教程
摘要：
1.奥赛经典生物奥林匹克教程简介
2.生物奥林匹克竞赛的历史和意义
3.奥赛经典生物奥林匹克教程的主要内容
4.如何有效地利用奥赛经典生物奥林匹克教程进行学习和备考
5.奥赛经典生物奥林匹克教程的优点和局限性
正文：
奥赛经典生物奥林匹克教程是一本针对中学生生物奥林匹克竞赛的辅导教材。
生物奥林匹克竞赛是国际性的科学竞赛，旨在激发学生对生物学的兴趣，培养学生的科学思维和实验能力。
自上世纪六十年代以来，生物奥林匹克竞赛在世界各地广泛开展，吸引了无数中学生参与。
奥赛经典生物奥林匹克教程主要包括生物学基础知识、生物实验技术、生物信息学和生物统计学等内容。
书中涵盖了生物学的各个领域，如细胞生物学、遗传学、生物进化、生态学等。
此外，教程还提供了丰富的例题和习题，帮助学生巩固所学知识，并培养解题能力。
为了有效地利用奥赛经典生物奥林匹克教程进行学习和备考，学生应首先了解生物奥林匹克竞赛的考试大纲和要求，然后结合教程进行有针对性的学习。
在学习过程中，学生要注重理论知识与实际应用的结合，多做习题，培养解题思路和技巧。
同时，学生还应关注生物学领域的最新动态和发展趋势，拓宽视野，提高自己的综合素质。
奥赛经典生物奥林匹克教程具有较强的实用性和针对性，对于备战生物奥林匹克竞赛的中学生具有很高的参考价值。
然而，学生也应注意，辅导教材并不能替代课堂学习和自主探究，要想在生物奥林匹克竞赛中取得好成绩，还需在全面掌握生物学知识的基础上，加强实践能力和创新意识的培养。
总之，奥赛经典生物奥林匹克教程是一本值得推荐的辅导教材，学生可以借助它来提高自己的生物学素养和竞赛水平。
奥赛经典 数论
奥赛经典数论【最新版】目录1.数论的起源与定义2.数论的分支及其重要定理3.数论在数学领域的地位与应用4.数论的著名数学家及其贡献5.数论的竞赛题型与解题技巧正文【数论的起源与定义】数论，作为数学的一个重要分支，起源于公元前的古希腊。
它是研究整数性质和整数之间关系的一门学科，其研究方法主要是通过逻辑推理和抽象思维来探讨整数的规律。
在数论中，整数被称为“自然数”，以区别于有理数和实数。
【数论的分支及其重要定理】数论可以分为许多不同的分支，其中最重要的包括：素数理论、同余理论、最大公约数与最小公倍数、数的整除性、Diophantus 方程等。
在这些分支中，有许多重要的定理，如：欧几里得定理、欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理等，它们在数论的研究中起着举足轻重的作用。
【数论在数学领域的地位与应用】数论在数学领域中占有举足轻重的地位。
它不仅与其他数学分支，如代数、几何、拓扑等有密切的联系，而且它的研究成果在许多领域，如密码学、计算机科学、物理学等都有广泛的应用。
例如，著名的 RSA 加密算法就是基于数论中的大素数分解问题。
【数论的著名数学家及其贡献】在数论的发展史上，有许多伟大的数学家做出了重要的贡献。
如：欧几里得、欧拉、费马、高斯、黎曼等。
他们的研究成果不仅丰富了数论的内容，也推动了数论的发展。
【数论的竞赛题型与解题技巧】数论在各类数学竞赛中占有重要的地位，如国际数学奥林匹克竞赛（IMO）等。
数论竞赛题型主要包括：素数性质、同余性质、最大公约数与最小公倍数、整除性、Diophantus 方程等。
对于这些题型，解题技巧主要包括：逻辑推理、抽象思维、代换与化简、构造法等。
总结：数论是一门具有深厚历史和广泛应用价值的数学学科。
通过对数论的研究，我们可以深入了解整数的性质和规律，同时也可以提高我们的逻辑推理和抽象思维能力。
奥赛经典生物奥林匹克教程
奥赛经典生物奥林匹克教程【原创实用版】目录1.奥赛经典生物奥林匹克教程概述2.生物奥林匹克竞赛的历史和意义3.奥赛经典生物奥林匹克教程的内容和特点4.教程的使用对象和适用范围5.奥赛经典生物奥林匹克教程的价值和影响正文一、奥赛经典生物奥林匹克教程概述奥赛经典生物奥林匹克教程是一本针对中学生生物奥林匹克竞赛的辅导教材。
该教程汇集了历年来生物奥林匹克竞赛的试题和相关知识点，旨在帮助学生更好地掌握生物学知识，提高其在生物奥林匹克竞赛中的竞争力。
二、生物奥林匹克竞赛的历史和意义生物奥林匹克竞赛起源于苏联，后来逐渐传播到世界各地。
我国自1992 年开始组织全国中学生生物奥林匹克竞赛，旨在选拔和培养优秀的中学生生物学人才，激发学生对生物学的兴趣和创造力，为国家未来的生物科学发展奠定基础。
三、奥赛经典生物奥林匹克教程的内容和特点奥赛经典生物奥林匹克教程主要包括生物学基础知识、生物实验技术、生物信息学等方面的内容。
教程的特点如下：1.知识点全面：教程涵盖了生物学的各个领域，既有基本的生物学概念，也有前沿的研究成果。
2.题目典型：教程收录了大量历年生物奥林匹克竞赛的典型题目，有利于学生了解竞赛的命题规律和解题方法。
3.重点突出：教程对重点知识点进行了深入讲解，有助于学生更好地掌握生物学的核心内容。
4.实用性强：教程提供的实验操作方法和技巧，能够帮助学生提高实验能力，更好地应对竞赛中的实验环节。
四、教程的使用对象和适用范围奥赛经典生物奥林匹克教程适用于中学生生物奥林匹克竞赛的辅导和自学。
无论是对于初学者还是有一定基础的学生，该教程都能提供有针对性的帮助。
此外，教程还可作为生物学教师的教学参考书，帮助教师更好地开展生物奥林匹克竞赛的辅导工作。
五、奥赛经典生物奥林匹克教程的价值和影响奥赛经典生物奥林匹克教程的出版，对于推动我国中学生生物奥林匹克竞赛的发展具有重要价值。
通过使用该教程，许多学生在生物奥林匹克竞赛中取得了优异成绩，为我国生物科学事业做出了贡献。
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奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题
第一章 整数的封闭性运算
【典型例题与基本方法】
例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩
⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.
A.12
B.13
C.14
D.15
例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .
【解题思维策略分析】
1.注意整数乘积或幂中的特殊因数
例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 26
21211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性
例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=
21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件
例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式439
6371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.
【模拟实战】
A 组
1.若满足不等式13
7158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）. A.100 B.112 C.120 D.150
2.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.
A.401
B.800
C.601
D.1203
3.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.
A.1
B.6
C.4
D.无数多
4.2009是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.
5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.
B 组
1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .
2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.
3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.
4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .
5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a 排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值.
6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .
大介：“得数是2872.”
平太：“不对”.
大介：“个位的数字对吗?”
平太：“对”.
大介：“其它位的数字有对的吗?”
平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.
第二章 正整数的多项式表示及应用
【典型例题与基本方法】
例1 将()102010化为下列进位制的数：
⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.
例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.
例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.
例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.
【解题思维策略分析】
1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题
例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.
例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n -与n n a a a a 110- 互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.
2.会利用非十进位制多项式表示解题
例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：12112211122211112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.
例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .
【模拟实战】
A 组
1.M 表示一个两位数，N 表示一个三位数，如果把M 放在N 的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（ ）.
A. M+N
B. MN
C. 10000M+N
D. 1000M+N
2.一个两位数，它是本身数字和的k 倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（ ）.
A.()1-k 倍
B.()k -11倍
C.()k -10倍
D.()k -9倍
3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.
4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.
5.已知ab 为两位数，且满足bbb ab b a =⋅⋅，求这个两位数.
6.求一个最小的正整数n ，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.
B 组
1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.
2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc ，然后，魔术师再要求他记下五个数acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，并把这五个数加起来求出和N ，只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc 是什么.如果3194=N ，请你确定abc .
3.两位数ab （个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz ；而这两位数ba 的平方恰好等于三位数zyx ，求上述两位属于三位数.
4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少？
5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()21101001
.0化为十进制小数. 6.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.
7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+- 能被5整除.
8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.
9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.
10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.
11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的
三位数，且这两数相等，求这个数.
12.在哪种进位制中，16324是125的平方？
13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.
14.在哪种进制中，100134=⋅？
15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.
16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.
17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.
18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：
1
19891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少？
19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：
⑴()()22101101111011010
+； ⑵()()2210101101101101
-； ⑶()()()222101101100111000000
--.。