【学霸优课】2017数学(理)一轮对点训练：11-2 二项式定理的应用 Word版含解析

1. (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60

答案 C

解析 由二项展开式通项易知T r ＋1＝C r 5

(x 2＋x )5－r y r

，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t ·x t

＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.

2．已知

⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 2

3 的项的系数为30，则a ＝( )

A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6

答案 D

解析 由二项展开式的通项可得

3．二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4

答案 B

解析 由(x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n

，知C 2n ＝15，

∴n (n －1)

2＝15，解得n ＝6或－5(舍去)．故选B.

4.已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )

A ．212

B ．211

C ．210

D ．29

答案 D

解析 因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相

等，即C m n ＝C n －m n ，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10

的

展开式中奇数项的二项式系数和为12×210

＝29.

5．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10

答案 C

解析 在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26

·x 2＝15x 2

，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15.

6．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

答案 B

解析 由题意知a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1， ∴13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，

即13×(2m )！m ！m ！＝7×(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，

解得m ＝6.

7．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.

答案 3

解析 解法一：直接将(a ＋x )(1＋x )4展开得x 5＋(a ＋4)x 4＋(6＋4a )x 3＋(4＋6a )x 2＋(1＋4a )x ＋a ，由题意得1＋(6＋4a )＋(1＋4a )＝32，解得a ＝3.

解法二：(1＋x )4展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x r ，由题意可知，a (C 1

4＋C 34)＋C 04＋C 24＋C 4

4＝32，解得a ＝3.

8．在(2x －1)5的展开式中，含x 2的项的系数是________．(用数字填写答案)．

答案 －40

解析 由二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5

(2x )5－r

(－1)r (r ＝0,1，…，5)知，当r ＝3时，T 4＝C 35

(2x )5－3(－1)3＝－40x 2，所以含x 2

的项的系数是－40.

9．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)

答案 －20

解析 (x ＋y )8的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r y r

(r ＝0,1，…，8，r ∈Z )． 当r ＝7时，T 8＝C 78xy 7＝8xy 7，当r ＝6时，T 7＝C 68x 2y 6＝28x 2y 6，

所以(x －y )(x ＋y )8的展开式中含x 2y 7的项为x ·8xy 7－y ·28x 2y 6＝－20x 2y 7，故系数为－20.

10．若⎝ ⎛⎭

⎪⎫ax 2＋b x 6

的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小

值为________．

答案 2

解析 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫ax 2＋b x 6

的展开式的通项为

T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫b x

r ＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r

， 令12－3r ＝3，得r ＝3.

由C r 6a 6－r b r ＝C 36a 3b 3＝20，得ab ＝1.所以a 2＋b 2

≥2ab ＝2×1＝2.

11.⎝

⎛⎭⎪⎫x

y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 答案 70

解析 设⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x 8的第r ＋1项中含有x 2y 2，则T r ＋1＝C r 8⎝

⎛⎭

⎪⎫x y 8－

r ⎝

⎛

⎭⎪⎫－y x r

＝C r 8·(－1)r ·x 8－r － r

2

y

r － 8- r 2

，

因此8－r －r

2＝2，r －8－r 2＝2，即r ＝4. 故x 2y 2

的系数为

C 48×(－1)4

＝8×7×6×54×3×2×1

＝70.