概率复习--
概率复习
概率练习（1）1、 连续三次抛掷一枚硬币，则恰有两次出现正面的概率是 ___ ．2.甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 . 3．方程382828xx C C -=的解集为 .4．设随机变量X 的概率分布如下表所示，且E （X ）=2．5，则a= ．5．一射击运动员对同一目标独立地射击四次，，若此射击运动员每次射击命中的概率为23，则至少命中一次的概率为 ．6．随机抛掷5次均匀硬币，正好出现3次正面向上的概率为 ． 7.从装有3个红球，3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则)1(≥ξP = _____8．将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称之为一个巧合，则巧合个数ξ的数学期望是 ___ ．9.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小王同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小王给出了正确答案E ξ= .10.位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点（2，3）的概率是___________.11.一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球， 其中白球的个数为X .⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率； ⑵求X 的分布列及X 的数学期望.12．在一次面试中，每位考生从4道题d c b a ,,,中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响。
（1）若甲考生抽到b a ,题，求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率；（2）设某两位考生抽到的题中恰好有X 道相同，求随机变量X 的概率分布和期望)(X E ．13. 中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当2080Q ≤<时，为酒后驾车；当80Q ≥时，为醉酒驾车. 淮安市公安局交通管理部门于2014年4月的一天对某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有4人，依据上述材料回答下列问题： （1）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数； （2）从违法驾车的10人中抽取4人，求抽取到醉酒驾车人数ξ的分布列和期望；（3）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0．2和0．5，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的，依此计算被查处的10名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率14．某市公租房的房源位于C B A ,,三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。
数学概率复习题
数学概率复习题一、选择题1. 设事件A、B独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.4，则P(A交B)等于（）。
A. 0.24B. 0.36C. 0.16D. 0.482. 一袋中有5个红球，3个蓝球，从袋中取出2个球，不放回，则两球颜色相同的概率是（）。
A. 2/3B. 7/48C. 5/24D. 4/213. 已知事件A、B互不相容，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A并B)等于（）。
A. 0.15B. 0.35C. 0.8D. 0.7二、填空题1. 设事件A、B独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A交B)等于_________。
2. 一副卡牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中随机取出2张，则两张牌颜色不同的概率是_________。
3. 一次抛掷两枚骰子，两枚骰子点数和为奇数的概率是_________。
三、计算题1. 某班级有40人，其中有20人喜欢打篮球，30人喜欢踢足球，其中10人既喜欢打篮球又喜欢踢足球。
从这些学生中随机选择一个人，问他喜欢打篮球或踢足球的概率是多少？2. 某工厂生产的合格产品占总产量的80%，次品率为3%，现从产品中随机抽取一件，问它不合格的概率是多少？3. 一批电视机有100台，其中有5台有质量问题。
现从中随机挑选5台进行检验，问其中恰好有2台有质量问题的概率是多少？四、解答题1. 从26个字母中任意选取5个字母，问其中至少有一个元音字母的概率是多少？2. 设A、B为两个事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.7，已知P(A并B)=0.2，求P(A交B的补集)。
3. 一枪手在射击时，命中靶的概率为0.8。
如果进行5次射击，问他至少命中一次的概率是多少？以上为数学概率复习题，请根据题目要求进行计算和填空。
相信通过这些练习，你能更好地掌握概率知识，提高解题能力。
祝你成功！。
大学 概率复习题
第一章 概率论的基本概念 1. 若事件B A ,满足21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P ，则)(B A P = .2. 若事件B A ,满足7.0)(,4.0)(==B A P A P ，且5.0)|(=B A P ，则)|(A B P = .3. 设有两个相互独立事件A 与B 发生的概率分别为1p 和2p ，则两个事件恰好有一个发生的概率为4．()0.3P A =，()0.5P B =，若A 与B 相互独立，则()P AB = _.5．设B A ,为两个互不相容的事件，且()()0,0>>B P A P ，则 正确． A . ()1=AB P ； B . ()0=B A P ； C . B A =； D . Φ=-B A ．6. 设有10件产品，其中有3件次品，从中任取3件，则3件中有次品的概率为( ) A.1201 B.247 C.2417 D.40217、盒中放有红、白两种球各若干个，从中任取3个球，设事件A=“3个中至少有1个白球”，事件B=“3个中恰好有一个白球”，则事件B -A =A ．“至少2个白球”B ．“恰好2个白球”C ．“至少3个白球”D ．“无白球”8. A ，B 为两个事件，若B A ⊂，则下列关系式正确的是 ． A . )()(B P A P >； B . ()()P A P B ≤； C . 1)()(=+B P A P ； D . ()()P B P A >.9. 设甲袋中装有n只白球，m只红球，乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中任意取出一只球．求：（1）从乙袋中取到白球的概率是多少？（2）若从乙袋中取到的是白球，则先前从甲袋中取到白球的概率是多少？10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”．由于通讯系统受到干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是以概率0.8和0.2收到信号“0”和“1”；同样，当发出信号“1”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“1”和“0”．求：（1）收报台收到“0”的概率；（2）当收报台收到信号“0”的时候，发报台确是发出信号“0”的概率．11. 某射击小组有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人。
概率论复习知识点总结
? P( Ai B) ?
P(Ai )P( B Ai ) ?
n
P(Ai )P( B Ai )
P(Ai )P( B Ai ) ? P(B)
,i
? 1,2,?
,n
i?1
?例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B)
?注意几对概念的区别： ?互不相容与互逆 ?互不相容与相互独立 ?相互独立与两两相互独立 ?作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ?古典概型概率计算公式：
P( A) ? 事件A中所包含样本点的个数 ? k
? 中所有样本点的个数 n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ?若P(A)>0
p
p(1? p)
np
np(1 ? p)
?
?
( a ? b) 2 (b ? a )2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ?定义式：Cov( X,Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)]
? XY ?
Cov( X ,Y) ( D( X ) ? 0, D(Y ) ? 0) D( X ) D(Y)
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ?事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为 事件，则有 ?交换律：A? B ? B ? A, AB ? BA ?结合律：( A ? B ) ? C ? A ? (B ? C ), ( AB)C ? A(BC ) ?分配律：( A ? B)C ? ( AC) ? (BC ),
概率复习题-答案
<概率论>试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，。
则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________ ________8. 设～,且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15.已知，则＝16.设，且与相互独立，则17.设的概率密度为，则＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19.设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有～或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有～或～.21.设是独立同分布的随机变量序列,且，那么依概率收敛于.22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24.设X1,X2,…X n为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）P (A+B) = P (A);（B）（C）（D）2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率复习课
注意:⑴ 0 ≤ P(B | A) ≤1; (2)可加性：
如果 B和C 互斥，那么
P(B C) | A P(B | A) P(C | A)
5.相互独立事件的定义:
设A,B两个事件, 若P(AB) P(A)P(B) (即事件
A是否发生对事件B发生的概率没有影响), 则称事件A 与事件B相互独立.
(2)解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本 的互斥事件与相互独立事件.
练习1 设甲、乙、丙三人每次设计命中目标的概率分 别为0.7、0.6、0.5。
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一个人命中 目标的概率；
（2）若三人各向目标射击一次，求他们恰好有二人 命中目标的概率。
6. n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的 n 次试验称
（2）方差与标准差
D ( xn1 E )2 p1 ( xi E )2 pi
( xi E )2 pi i 1
( xn E )2 pn
D
（3）重要结论：
若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
D np(1 p)
特别地，若 服从两点分布，则
E P, D p(1 p)
典例分析
例1 判断下列随机变量是否是离散型？ （1）某路口一天经过的车辆数X （2）某森林中树木的高度在(0,33]米这一范围变化， 测得树木的高度X （3）一质点沿着数轴进行随机运动，它在数轴上的 位置坐标X （4）某人一生中每时每刻的身高X （5）某人射击一次中靶的环数X
为 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然， P( A1 A2 An ) = P( A1 )P( A2 )
高三总复习讲义概率
高三数学总复习讲义--概率第一讲：随机事件的概率随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
必然事件：在一定条件必然要发生的事件。
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
事件A的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。
由定义可知，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
等可能事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。
如果试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性相等，那么每个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率。
在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值：（古典概型）这样就建立了事件与集合的联系，从排列组合的角度看，m,n实际上就是事件的排列数或组合数。
题型一：与排列组合综合例1.某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是____________________；练习1.将7人（含甲、乙两人）分成三组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为________________；甲、乙分在同一组的概率P=________________。
题型二：与两个计数原理综合例2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色，再将正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，从切好的小正方体中任选一个，所得正方体的六个面均没有涂色的概率是________________；练习2.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，所得数是大于20000的偶数的概率是________________；题型三：有、无放回抽样问题例3.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有1件次品的概率。
概率复习
1．随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围为 0≤P(A)≤1； 必然事件的概率为 1； 不可能事件的概率为 0. (2)古典概型的概率 m A中所含的基本事件数 P(A)＝ ＝ . n 基本事件总数 (3)几何概型的概率 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
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(2)法一：由(1)连续取两次的事件总数为M＝16， 1 设事件B：连续取两次分数之和为0分，则P(B)＝16；(8分) 4 1 设事件C：连续取两次分数之和为1分，则P(C)＝16＝4；(10分) 设事件D：连续取两次分数之和大于1分， 11 则P(D)＝1－P(B)－P(C)＝16.(12分)
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(2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为： (A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F) (C，D)(C，E)(C，F)(D，E)(D，F)(E，F)共 15 种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： (A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F)(E，F)共 6 种， 6 2 选出的两名教师来自同一学校的概率为 P＝ ＝ . 15 5 （11 分） （12 分） （9 分）
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解析：从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总 数为10，其中取到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件， 8 4 所以所求的概率为P(A)＝10＝5.
答案： C
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2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 ( 1 A.2 2 C.3 1 B.3 D．1 )
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解析：这里所有的基本事件为：甲、乙；甲、丙；乙、丙， 即基本事件共有三个，甲被选中的事件有两个，按等可能事 2 件的概率，有P(甲)＝3.
概率 章末复习课
题型二 互斥事件、相互独立事件的概率
例 2 国家射击队为备战 2016 年里约热内卢奥运会进行紧张艰苦 的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐
性恢复活动．在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如
下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行 的规律，队员甲在飞行距离为 50 米远处命中的概率为23. (1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在 这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率； (2)如果队员甲射击飞行距离为 50 米远处的飞碟，如果第一次 未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离 变为 100 米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次 射击时飞碟飞行距离变为 150 米(此后飞碟不在射程之内)．已 知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一 次游戏中命中飞碟的概率．
解 设成绩 X～N(μ，σ2)， 则正态分布的密度函数 f(x)＝ 21πσe－2x－σ2 μ2 ，x∈R 由图可知，μ＝60，σ＝8. ∴P(52<X<68)＝P(|X－60|<8)＝P(|X－μ|<σ)＝0.683. 小结 求解正态分布的问题，要根据正态曲线的对称性，还要 结合 3σ 原则，知道正态曲线与 x 轴之间的面积为 1.
解 (1)记“队员甲在三次游戏中，第一次至少有一次命中”为事
件 A. P(A)＝1－P(
A
)＝2267.
(2)记“在一次游戏中，第 i 次击中飞碟”为事件 Bi(i＝1,2,3)．
P(B1)＝23，P(B2)＝23×122＝16， P(B3)＝23×132＝227.
又 Bi 是相互独立事件，
∴P(B)＝P(B1)＋P( B 1B2)＋P( B 1 B 2B3)
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论与数理统计复习题--带答案
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）;13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =（ 0.2 ）17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率统计考试总复习一
总复习 一.填空题1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则(1) 若B A ,互斥，则=)B -A (p 0.5 ; (2) 若B A ,独立,则=)B A (p 0.65 ; (3) 若2.0)(=⋅B A p ,则=)B A (p 3/7 .2、 A 、B 是两个随机事件，已知0.125P(AB)0.5,)B (p ,52.0)A (p ===，则=)B -A (p 0.125 ;=)B A (p 0.875 ;=)B A (p 0.25 .3、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：7/15 。
(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。
(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 .4、袋子中有大小相同的5只白球， 4只红球， 3只黑球， 在其中任取2只。
(1)4只中恰有2只白球1只红球1只黑球的概率为：412131425C C C C . (2) 4只中至少有2只红球的概率为：4124814381C C C C +-. (3 4只中没有白球的概率为：41247C C5、10把钥匙中有板有3把能打开门,今任取2把,能将门打开的概率为：112237372210108(1)15C C C C C C +=-或 6、设离散型随机变量X 的概率分布P{X=0}=0.2,P{X=1}=0.3,P{X=2}=0.5, 则P{X ≤1.5}= 0.5 . 7.设随机变量X~U(0,1),则2-3X的概率密度函数为:112()(3Y y f y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩参考教材P61例2)其他8、设随机变量X 的分布函数为01(1)(),{1}00xx x e F x P X x -≥⎧-+=≤=⎨<⎩则1(1)12F e -=-.9、设X~N(1,2),Y~N(0,3),Z~N(2,1),且X,Y ,Z 独立,则 P{0≤2X+3Y-Z ≤6}=0.3413(提示:2X+3Y-Z~N(0,36))10、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=XE 811、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的二项分布,则{}==2X p 0.64 , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- 0.210，=+)(Y X E 8 。
概率论复习
例 一个大学毕业生给四家单位各发出一份 求职信，假定这些单位彼此独立，通知他去 面试的概率分别是 1/2，1/3，1/4，1/5。问这 个学生至少有一次面试机会的概率是多大？
解. 分析：考虑对立事件，一次面试机会都 没有的概率是
1/2×2/3×3/4×4/5 = 1/5，
所以至少有一次面试的概率是 4/5。
x 2, 3,
1,
x 3.
0, x 1,
1 , 1 x 2,
4 3
,
2 x 3,
4
1, x 3.
由 F(x) P{X x},
得 P{X 1} F(1) 1 ,
2
24
P{3 X 5} F(5) F(3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
P{2 X 3} F(3) F(2) P{X 2} 1 3 1 3. 42 4
0
0
第三章 多维随机变量及其分布
PX Y 1
y
f x， ydxdy
x y1 1
12 dx e 3x4 ydy
0 1 x
12 dx e 3x4 ydy
1
0
x+y=1
1
O
4e 3 3e 4
1
x
边缘分布函数
定义 设 F ( x, y) 为随机变量( X ,Y ) 的分布函数, 则 F( x, y) P{X x,Y y} . 令 y , 称 P{X x} P{X x,Y } F( x,) 为随机变量( X ,Y ) 关于X的边缘分布函数. 记为 FX ( x) F ( x,). 同理令 x ,
FY ( y) F (, y) P{ X ,Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
概率复习课教案初中
概率复习课教案初中课程目标：1. 巩固学生对概率基本概念的理解；2. 加深学生对概率计算方法的掌握；3. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 概率的基本概念；2. 概率的计算方法；3. 实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习概率的定义：概率是指某个事件发生的可能性。
2. 复习概率的取值范围：概率的取值范围在0到1之间，包括0和1。
二、概率的基本计算方法（15分钟）1. 复习必然事件的概率：必然事件的概率为1。
2. 复习不可能事件的概率：不可能事件的概率为0。
3. 复习随机事件的概率：随机事件的概率大于0且小于1。
4. 复习独立事件的概率：独立事件的概率等于各自概率的乘积。
三、实际问题中的应用（20分钟）1. 举例讲解如何运用概率解决实际问题，如抛硬币、抽奖、骰子等。
2. 让学生尝试解决一些简单的实际问题，如计算抛两次硬币出现正面的概率。
四、课堂练习（15分钟）1. 布置一些有关概率的练习题，让学生独立完成。
2. 对学生的练习进行讲解和指导，纠正错误。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结概率的基本概念和计算方法。
2. 强调概率在实际生活中的重要性，鼓励学生学会运用概率解决实际问题。
教学评价：1. 课堂练习的正确率；2. 学生对实际问题中概率应用的掌握程度；3. 学生对概率知识的综合运用能力。
教学资源：1. 概率的相关教材或教辅；2. 练习题；3. 教学PPT或黑板。
教学建议：1. 在课堂上鼓励学生积极参与，提问回答问题；2. 注重培养学生的动手能力，多让学生实际操作；3. 注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生学会分析问题；4. 因材施教，针对不同学生的学习情况给予适当的指导。
概率复习
第一章1.一名射手连续向某目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标(1,2,3)i =， 则“三次射击中恰有两次命中目标”表示为 。
则“三次射击至少有一次命中目标”表示为 。
则“三次射击至多有一次命中目标”表示为 。
则“三次射击都命中目标”表示为 。
2.设随机事件A 与B 互不相容，且，）（，）（00>>B P A P 则 。
(A) ）（）（B P A P -=1 (B) ）（）（）（B P A P AB P = (C) 0=）（AB P (D) 1=）（B A P 3.设随机事件A 与B 互不相容，且，）（，）（00>>B P A P 则 。
(A) ）（）（B P A P -=1 (B) ）（）（）（B P A P AB P =(C) 1=）（B A P (D) 1=）（AB P 4.设随机事件A 与B 互不相容，且，）（，）（00>>B P A P 则 。
(A) ）（）（B P A P -=1 (B) ）（）（）（B P A P AB P =(C) ）（）（）（B P A P B A P += (D) 1=）（B A P 5.设A 与B 为对立事件，且，）（，）（00>>B P A P 则下列各式中错误的是 。
(A) 0=）（A B P (B) 0=）（B A P (C) 0=）（AB P (D) 1=）（B A P 6.设随机事件A 与B 互不相容，且，）（，）（2.04.0==B P A P 则=）（B A P 。
7.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射击次数为2的概率是 。
则射击次数为3的概率是 。
8.抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为31，将此硬币连抛4次， 则恰好1次正面朝上的概率是 。
则恰好2次正面朝上的概率是 。
9.一口袋装有3个红球,2个黑球,现从中任取出2个球,则这2个球恰为一红一黑的概率是_______.一口袋装有5个红球，3个黑球，现从中任取出2个球，则这2个球恰为一红一黑的概率是 。
概率论期末复习知识点
知识点第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 和事件： A B ⋃； 12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）．(3) 积事件： AB ， 12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1nii A =)．(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ= (5) 对立事件： A ．(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作A B -(或AB ) ．(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有A B A B ⋃=⋂, A B A B ⋂=⋂.2． **古典概率的定义 古典概型：()A n A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数．几何概率()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·3．**概率的性质 (1) ()0P φ=．(2) (有限可加性) 设n 个事件1,2,,n A A A 两两互不相容，则有121()()nn i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑．(3)()1()P A P A =-．(4) 若事件A ，B 满足A B ⊂，则有()()()P B A P B P A -=-,()()P A P B ≤．(5) ()1P A ≤．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-.对于任意n 个事件1,2,,n A A A ，有111111()()()()(1)()nnn i i i j i j k ni i j ni j k ni P A P A P A A P A A A P AA -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑.4．**条件概率与乘法公式()(|)()P AB P A B P B =.乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==.5．*随机事件的相互独立性事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：()()()P AB P A P B =，事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：(|)()P A B P A =．对于任意n 个事件1,2,,n A A A 相互独立性定义如下：对任意一个2,,k n =，任意的11k i i n ≤<<≤，若事件1,2,,n A A A 总满足 11()()()k k i i i i P A A P A P A =，则称事件1,2,,n A A A 相互独立．这里实际上包含了21n n --个等式．6．*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．**全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式：如果事件1,2,,n A A A 两两互不相容，且1ni i A ==Ω，()0i P A >，1,2,,i n =，则1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k niii P A P B A P A B k nP A P B A ===∑．第二章 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律(),1,2,,,.i i p P X a i n ===分布律也可用下列表格形式表示：2．*概率函数的性质 (1) 0i p ≥， 1,2,,,;i n =(2)11ii p∞==∑．3．*常用离散型随机变量的分布(1) 0—1分布(1,)B p ，它的概率函数为1()(1)i i P X i p p -==-，其中，0i =或1，01p <<．(2) 二项分布(,)B n p ，它的概率函数为()(1)i n in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中，0,1,2,,i n =，01p <<．(４)** 泊松分布()P λ，它的概率函数为()!iP X i e i λλ-==，其中，0,1,2,,,i n =，0λ>．．4．*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====其中，0,,1,2,,1ij ijijp i j p≥==∑∑．5．*二维离散型随机变量的边缘概率 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ij p 为其联合概率（,1,2,i j =），称概率()(1,2,)i P X a i ==为随机变量X 的边缘分布律，记为i p 并有.(),1,2,i i ij jp P X a p i ====∑，称概率()(1,2,)j P Y b j ==为随机变量Y 的边缘分布率，记为.j p ，并有.j p =(),1,2,j ij iP Y b p j ===∑.6．随机变量的相互独立性 ．设(,)X Y 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充分必要条件为,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．7．*随机变量函数的分布设X 是一个随机变量，()g x 是一个已知函数，()Y g X =是随机变量X 的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ，下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为则随机变量函数Y g =的概率函数可由下表求得但要注意，若()i g a 的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率i p 相加．第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算． 1．*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，．2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤(2) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==;由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率 ．3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数． 4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；(2)(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==，(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==；(3) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．**连续型随机变量及其概率密度设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有()()F x P X x =<()()()P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)F x y P X x Y x =<<()()xF x f x dx-∞=⎰成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度． 6．**概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２）()1f x dx +∞-∞=⎰；（３）()()F x f x '=；（4）设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，()0P X c ==； (5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，则有()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤＝()baf x dx⎰．7．**常用的连续型随机变量的分布 (1) 均匀分布(,)R a b ，它的概率密度为1,;()0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其余. 其中，)a b -∞<<<+∞．(2) 指数分布()E λ，它的概率密度为,0;()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其余. 其中，0λ>．(3) 正态分布2(,)N μσ，它的概率密度为22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞，其中，,0μσ-∞<<+∞>，当0,1μσ==时，称(0,1)N 为标准正态分布，它的概率密度为22(),x f x x -=-∞<<+∞，标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即22()t xx dt -Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．８．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有(,)(,)xyF x y f s t dtds-∞-∞=⎰⎰成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2)(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；’(3) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(4) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０，**二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰．11．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，并记为221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布． 12．**随机变量的相互独立性 ．(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切，那么，称随机变量X 与Y 相互独立．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则X 与Y 相互独立的充分必要条件为(,)()(),X Y f x y f x f y =在一切连续点上.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ．那么，X 与Y 相互独立的充分必要条件是0ρ=．第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。
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概 率 概率复习
复习
回顾
事件 确定的事件
思考
必然事件 不可能事件
不确定事件
事件发生的可能性是有大小的。 必然事件发生的可能性是 1， 不可能事件发生的可能性是 0， 不确定事件发生的可能性 大于0而小于1。 利用数轴上0和1之间的线段可以直观地表示 事件发生可能性大小的取值范围。
人们通常用
飞镖随机地掷在下面的靶子上。 1、在每一个靶子中，飞镖投到区 域A、B、C的概率分别是多少？ 2、在靶子1中，飞镖投在区域A 或B中的概率是多少？ 3、在靶子2中，飞镖没有投在区域C 中的概率是多少？
C A C B B
A
一个桶里有60个弹珠——一些是红 色的，一些是蓝色的，一些是白色 的。拿出红色弹珠的概率是35%， 拿出蓝色弹珠的概率是25%。桶 里每种颜色的弹珠各有多少？
你掷一枚均匀的硬币两次，所有可 能出现的结果 是： ． 则Ｐ（两次都正面朝上）＝ ； Ｐ（一次正面朝上，一次反面朝上） ＝ ； Ｐ（第二次反面朝上） ＝ ； Ｐ（至少有一次正面朝上） ＝ ．
某单位安装了电话分机，分机号码由两 位数组成，如00,01,02,18等等． (1)如果你不知道要联系的人在哪个办 公室,拨通总机后,随意拨一个两位数的 分机号码,恰好拨通该人办公室电话的 概率是 . (2)如果你知道要联系的人的分机号码 第1个数字是3,再随意拨一个数字,恰好 拨通该人办公室电话的概率是 .
1 解、中奖的概率是 6 ，即6个人玩，
有一个人能中奖，即收2×6＝12元， 要送一个8元的奖品，所以能盈利。
游戏公平吗?
有10个洞穴,排成一个圆形,编上号 码0,1,2,……9,狐狸在0的位置,走1 步到1号洞,然后走2步到3号洞,再 走3步到6号洞,又走4步回到0号洞, 然后继续走5步,6步…….兔子只在 2,4,7,9号洞中任选一个,躲在那里 一动不动.若狐狸走进了兔子躲藏的 洞穴,则兔子就会被狐狸吃掉了.试 试看,狐狸能吃到兔子吗?
从我们学校抽一个班去参加 大合唱，抽到初一的概率 是 ，抽到我们班 的概率 ．
若你有３套校服，分别为红， 黄，蓝三种颜色，若他从衣 服中任拿一件，裤子中任拿 一条，正好拿到的是一套校 服的概率为 ．
一个骰子的六个面上分别标了 1，2，4，5，6，这6个数字， 任意掷骰子，数字是2的倍数的 概率是 。
摸到红球可能出现的结果
3 P（摸到红球）== 4
摸出一球所有可能的结果 表示摸到红球的可能性，也称为摸到红球的概率.
概率:事件发生的可能性大小的数量标志
创设问题情境
揭示知识背景
暴露思维过程
解决实际问题
随意掷出一个均匀的小正方体，正方体 的上分别标有数字1，2，3，4，5，6, 计算下列事件发生的概率在下图中. (1)掷出的点数是偶数; (2)掷出的点数小于7; (3)掷出的点数为两位数; (4)掷出的点数是3的倍数.
解：显然拿出白色弹珠的概率是40% 红色弹珠有60×25%=15 蓝色弹珠有60×35%=21 白色弹珠有60×40%=24
在学校举办的游艺活动中，数学俱乐部 办了个掷骰子的游戏。玩这个游戏要花 四张5角钱的票。一个游戏者掷一次骰 子。如果掷到6，游戏者得到奖品。每 个奖品要花费俱乐部8元。俱乐部能指 望从这个游戏中赢利吗？做出解释。
一个公园有A、B两个入口和 C、D、E三个出口，小明任 选一条游览路线。是从A入口 进公园，C出口出公园的概率 是 。
在一个口袋里装有a个红球，b个白 球,c个黄球，则任选1个，不是黄球 的概率是（ ）
a b A. B. abc abc a c ab C. D. abc abc
敏敏和洋洋在做掷骰子的游 戏:有两枚均匀的正方体骰子, 每一面的点数分别是从 1到6 这六个数字中的一个.同时掷 这两个骰子,将朝上的面上的 两个点数相乘,如果相乘之积 为奇数,那么敏敏获胜;如果相 乘之积为偶数,那么洋洋获胜. 这个游戏公平吗?
游戏对双方公平是指双方获 胜的 相同.
下列事件的概率是否为1： （1）异号两数相加，和为负数； （2）用一个平面去截一个正方体， 截出一个七边形； （3）随意掷一个均匀的硬币两次， 至少有一次正面朝上； （4）随意掷两个均匀的骰子，朝上 面的点数之和大于1。
如图，小明在用黑色，灰色和白色的 同心圆制成的靶子上玩飞镖．飞镖落 在黑色区域中７次，落在别的区域中 １３次．小得对吗？为什么？
从1到10这10个数中，任取 1个，则选中质数的概率的 是 。
某服装公司从1000件衬衫中任意抽出 100件进行检验,其中一等品60件,二等品 25件,三等品10件,其余都是不合格品. (1)求该产品任抽一件是一等品的概率. (2)估计这1000件衬衫产品中一等品有 多少件? (3)任抽一件产品,是不合格品的概率是多 少? (4)如果某商店要直销该公司的衬衫500 件,为了保证公司的信誉,那么要准备多少 件合格的衬衫供顾客调换?