高考数学一轮复习配套讲义：第10篇 第3讲 二项式定理

第3讲二项式定理[最新考纲]1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)二项展开式T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项的通项公式二项式系数二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n2.二项式系数的性质(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n .(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 辨 析 感 悟1．二项式定理的理解(1)C r n an －r b r 是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项．(×) (2)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．(×) (3)(教材习题改编)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项为－160.(√)2．二项式系数的性质(4)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.(×) (6)(·安徽卷改编)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x 4的系数为7，则实数a ＝12.(√) [感悟·提升]1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r 是展开式的第r ＋1项，不是第r 项，如(1)．2．二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r ＋1＝C r n a n －r b r 中，C r n 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负，如(2)就是混淆两个概念的区别． 二是二项式系数的最值与增减性与指数n 的奇偶性有关，当n 为偶数，中间一项的二项式系数最大，如(6)；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．考点一 通项公式及其应用【例1】 (1)(浙江卷)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. (2)(新课标全国Ⅱ卷)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 解析(1)T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝()xC r rr 6525`51--，令52－56r ＝0，得r ＝3，∴A ＝－C 35＝－10.(2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5，又(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ，T 3＝C 25x 2. ∴展开式中x 2的系数为C 25＋a ·C 15＝5，∴a ＝－1. 答案 (1)－10 (2)D规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 【训练1】 (1)(大纲全国卷改编)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．(2)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析 (1)∵(1＋x )8的通项为C k 8x k ，(1＋y )4的通项为C t 4y t，∴(1＋x )8(1＋y )4的通项为C k 8C k 4x k y t ，令k ＝2，t ＝2，得x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6展开式的通项T r ＋1＝(－a )r C r 6x 6－32r ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46，由B ＝4A ，得(－a )4C 46＝4(－a )2C 26，解之得a ＝±2. 又a >0，所以a ＝2. 答案 (1)168 (2)2学生用书 第177页考点二 二项式系数的性质与各项系数和【例2】 (1)(青岛模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )． A ．15x 2 B ．20x 3 C ．21x 3 D ．35x 3(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．审题路线 (1)先赋值求a 0及各项系数和，进而求得n 值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．(2)根据二项式系数性质，由C 2n ＝C 6n ，确定n 的值，求出1x 2的系数． 解析 (1)∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3. (2)由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 8·x 8－2r ， 当8－2r ＝－2时，r ＝5，∴1x 2的系数为C 58＝C 38＝56. 答案 (1)B (2)56规律方法 (1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a 0与n 的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n 的等量关系表示为C 3n ＝C 7n ，而求错n 的值．(2)求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.【训练2】 (1)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )．A ．180B ．90C ．45D ．360(2)若(1－2x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋ax (x ∈R )，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201422014的值为________．解析 (1)由二项式系数的性质，得n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·xr 255-，令5－52r ＝0，则r ＝2，从而T 3＝4C 210＝180. (2)令x ＝0，得a 0＝(1－0)＝1.令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201422014＝0， ∴a 12＋a 222＋…＋a 201422014＝－1. 答案 (1)A (2)－1考点三 二项式定理的应用【例3】 (湖北卷)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )． A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除． 且512 012＋a 能被13整除，∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除． 因此a 可取值12. 答案 D规律方法 (1)本题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．【训练3】 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )．A ．－1B ．1C ．－87D ．87解析 1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.答案 B1．二项展开式的通项T k ＋1＝C k n an －k b k 是展开式的第k ＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k 的限制．2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．创新突破10——二项式的和与积问题【典例】 (济南质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )．A ．－40B ．－20C ．20D ．40突破：展开式的常数项来源于：①“x ＋a x ”中的x 与⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中含1x 的项相乘；②a x 与⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中含x 的项相乘． 解析 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5中，令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，∴a ＝1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 5·25－r (－1)r ·x 5－2r . ①令5－2r ＝1，得2r ＝4，即r ＝2，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中x 的系数为C 2525－2·(－1)2＝80.②令5－2r ＝－1，得2r ＝6，即r ＝3，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中1x 的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中常数项为80－40＝40. 答案 D[反思感悟] 对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解． 【自主体验】(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为________．解析 (1＋2x )3(1－x )4展开式中的x 项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C 03(2x )0·C 14(－x )1＋C 13(2x )1·C 0414(－x )0，其系数为C 03·C 14(－1)＋C 13·2＝－4＋6＝2. 答案 2对应学生用书P361基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(西安调研)若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )． A ．36 B ．46 C ．34 D ．44解析 (1＋3)4＝1＋C 14·3＋C 24·(3)2＋C 34(3)3＋(3)4＝28＋163，由题设a ＝28，b ＝16，故a ＋b ＝44. 答案 D2．(辽宁卷)使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析T r ＋1＝C r n(3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －rxn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立． 答案 B3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )．A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28解析 由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38. 答案 C4．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．5解析 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，n )．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项．∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6. 答案 A5．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )． A ．1或3 B ．－3 C ．1 D ．1或－3解析 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1，令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6，又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3. 答案 D 二、填空题6．(四川卷)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________(用数字作答)．解析 T r ＋1＝C r 5x5－r y r(r ＝0,1,2,3,4,5)，依题意，r ＝3， ∴含x 2y 3的系数为C 35＝5×4×33×2×1＝10.答案 107．(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝______.解析 (a ＋x )4的展开式中的通项T r ＋1＝C r 4a 4－r x r ，当r ＝3时，有C 34·a ＝8，所以a ＝2. 答案 28．设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N＝240，则展开式中含x 的项为______． 解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4， T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r 2， 令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .答案 150x 三、解答题9．已知二项式(3x ＋1x )n 的展开式中各项的系数和为256. (1)求n ；(2)求展开式中的常数项．解 (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256，∴2n ＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－4r 3， 令8－4r 3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28.10．若(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ，求⎠⎛0a (3x 2－1)d x .解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3＝1－3x ＋3x 2－1x 3，∴(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为 a ＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.因此⎠⎛0a (3x 2－1)d x ＝(x 3－x )⎪⎪⎪a0＝(x 3－x )⎪⎪⎪20＝6.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )． A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 解析 当x >0时，f (x )＝－x <0， 所以f [f (x )]＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6，T r ＋1＝C r 6x －12(6－r )·(－x 12)r ＝(－1)r C r6x －3＋r 2＋r 2， 由r －3＝0，得r ＝3.所以f [f (x )]表达式的展开式中常数项为(－1)3C 36＝－20. 答案 A2．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝( )． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )r ·(－1)5－r ，T 4＝C 35·(－1)2(1＋x )3＝10(1＋x )3， ∴a 3＝10. 答案 C 二、填空题3．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案 364三、解答题4．已知(a 2＋1)n展开式中的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．解 ⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r C r 5x 20－5r 2，令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，解得a ＝ 3.方法强化练——计数原理 (对应学生用书P363)(建议用时：60分钟)一、选择题1．A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A ，B 可以不相邻)，那么不同的排法共有( )．A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种解析 可先排C ，D ，E 三人，共A 35种排法，剩余A 、B 两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A 35＝60种．答案 B2．(·重庆质检)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析 (1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6.由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7. 答案 B3．(·济南调研)只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有( )．A ．6个B ．9个C ．18个D ．36个解析 由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．答案 C4．组合式C 0n －2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n 的值等于( )．A ．(－1)nB ．1C ．3nD ．3n －1解析 在(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 中，令x ＝－2，得原式＝(1－2)n ＝(－1)n .答案 A5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为( )．A.132B.164 C ．－164 D.1128解析 由题意知C 2n ＝n (n －1)2＝15，所以n ＝6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －126，令x ＝1得所有项系数之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164. 答案 B6．(·杭州检测)甲、乙两人计划从A ，B ，C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有( )．A ．3种B ．6种C ．9种D ．12种解析 甲、乙各选两个景点有C 23C 23＝9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种．∴满足条件要求的选法共有9－3＝6(种)．答案 B7．若(x －1)8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，则a 6＝( )．A ．112B ．28C ．－28D ．－112解析 (x －1)8＝[(x ＋1)－2]8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，∴a 6＝C 28(－2)2＝4C 28＝112.答案 A8．(·长沙模拟)已知x ，y 满足⎩⎨⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，0≤y <2(x ∈Z ，y ∈Z )，每一对整数(x ，y )对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为( )．A ．45B ．36C ．30D ．27 解析 如图所示，阴影中的整点部分为x ，y 满足的区域，其中整数点(x ，y )共有8个，从中任取3个有C 38＝56种取法．其中三点共线的有1＋C 35＝11(种)．故可作不同的圆的个数为45.答案 A9．(·广州调研)已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析 a ＝2⎠⎛0πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6⎪⎪⎪π0＝－2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 5，∴T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 5x 10－3r .令10－3r ＝1，得r ＝3. ∴展开式中x 的系数为(－2)3C 35＝－80.答案 D10．(·衡水中学模拟)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是( )．A ．40B ．20C ．80D ．30解析 先将3,5排列，有A 22种排法；再将4,6插空排列，有2A 22种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，有C 15种排法．由分步乘法计数原理知，共有A 22·2A 22·C 15＝40种．答案 A二、填空题11.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x n 的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中二项式系数最大的项等于________．解析 依题意，令x ＝1，有3n ＝729，则n ＝6，∴展开式第4项的二项式系数最大，则T 4＝C 36(2x )3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＝160x 2. 答案 160x 212．(·郑州调研)某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．解析 甲、乙作为元素集团，内部有A 22种排法，“甲乙”元素集团与“戊”全排列有A 22种排法．将丙、丁插在3个空档中有A 23种方法．∴由分步计数原理，共有A 22A 22A 23＝24种排法．答案 2413．(·新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.解析 由二项式系数的性质，得a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1，又13a ＝7b ，因此13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，解得m ＝6.答案 614．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析 当每个台阶上各站1人时有A 33C 37种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C 23C 17C 16种站法，因此不同的站法种数有A 33C 37＋C 23C 17C 16＝210＋126＝336(种)． 答案 33615．(·无锡质检)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是________．解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式的通项为： T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r . 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3.答案 316．将6位志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人．分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案种数有________．解析 将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有C 26C 24A 22＝12×15×6＝45种分组方法．将四组分赴四个不同场馆有A 44种方法．∴根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45·A 44＝1 080种方法． 答案 1 080三、解答题17．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n ， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎨⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1. ∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10. 18．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？(2)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？解 (1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插．由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A 34＝24种．(2)法一 每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C 27×2＝42种；若分配到3所学校有C 37＝35种．∴共有7＋42＋35＝84种方法．法二 10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C 69＝84种不同方法．所以名额分配的方法共有84种. 学生用书 第178页少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲则国胜于欧洲，少年雄于地球则国雄于地球。