复习课及考试要求(随机过程)
随机过程复习资料.doc
丄20 25 1. 设｛2V(r)J>0｝是一更新过程，已知P ｛X. =1｝ = 1/3, P ｛X i =2｝ = 2/3,则 P ｛N(3) = 2｝=§ 2.若Markov 链只存在一个类，则称它是不可约的，若状态同属一类,则d ① 与d(j)的大小关系d ⑴=d(j) (<,>,=)丄 423.设Markov 链的状态空间S = (1,2,3),转移矩阵P=-4..设｛B(f),宀 0｝是标准 Brown 运动，则 P(B(2)<0) = |.题目：X(/) = sin",U ~U[0,2刃.试判断X(/)为宽平稳还是严平稳过程.解：EX (t) = E(sin Ut) - ~ sin utdu = 01 ® 1= E(sinUtsinUs) = 一 I ——[cos+ 51) - cos u(t - s)]du2龙力 21 —,t = s =<2 0,心s故｛X(t)｝为宽平稳过程。
又sinU 与sin2U 的分布函数不同，故｛X (t)｝不是严平稳的 题目：MaMov 链的状态空间S = {1,2,3,4}，—步转移概率矩阵‘％0 o '1 0 0 0 0 % % 0%0 丿试对其状态进行分类，确定哪些是常返态,并确定其周期解：1.由转移概率矩阵知：10 2,并且有3 ^2,2^3； 4 T 2,2/4； 4宀3,3“4;故状态空间可以分为：S = {1,2}U ⑶U{4}.2.由转移概率矩阵知：几〉0(心1,2),所以状态1和2都是非周期的，又10 2故状态2也是非周期的.从状态4出发不可能返回到状态4,即集合{zz:z/>l,/^>0}为空集，故状态4的周期无穷大./11=z/H ,,=/H n +/r+/1<13,+-+/r+-n=l=i + 1 +0+---+0+•••2 2=1所以状态1为常返态，又1^-2,故2是常返态. ......... 4分+8f— f（"）= f ⑴ + f ⑵f ⑶+ …丿33 厶丿33 丿33 丁丿33 丁丿33 丁n-12=—+ 0 + 0 +•••3 厶13所以状态3为非常返态.+00f— N' f（"）—f ⑴ + f ⑵+ …J 44 丿44 J 44 ' J 44 ~n=l= 0 + 0 —=0<1故状态3也是非常返态.题目：将两个红球4个白球分别放入甲乙两个盒子中.每次从两个盒子中各取一球交换，以X(“)记第n次交换后甲盒中的红球数.1.说明｛X(n),n> 0｝是一Markov链并求转移矩阵P ；2.试证(X(n), n = 0,1,2, •••｝是遍历的；3.求它的极限分布.解：1.设X(“)为"次交换后甲盒中的红球数，则易见｛X(“)｝是马尔可夫链，状态空间为S =｛0,1,2｝；n 1 02 2转移矩阵为p = 3 4 18 8 80 1 0丿2.山于5 = ｛0,1,2｝有限，且S中状态互通，即不可约的，故｛X(")｝是正常返的，又状态1为非周期的，故1是遍历的，所以｛X®)｝是遍历链.题目：> 0｝为标准Brow”运动，验证｛X(/) = (1 -^―)｝, 0 V / V1｝是Brow”桥.1-t解：因为E[X(t)] = (l-t)E B(—) -01 — t皿⑴］n咕)")吩所以｛X(/)｝是Gauss过程，均值为零，协方差为5(1-0 ,即为Brown。
概率统计和随机过程复习要点
概率统计和随机过程复习要点全书11章，都是考试内容，要全面复习。
题型填空题占40%左右，计算题60%左右。
主要内容1.事件与概率，掌握事件的表示方法以及古典概型的计算；熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式的应用（会考大题）；熟练掌握条件概率公式的计算方法以及两个独立事件乘积概率等于概率乘积。
2随机变量及其分布了解随机变量；会求离散型随机变量的分布律、连续性随机变量的密度函数，分布函数；掌握六种常用的随机变量及其分布，离散的：两点分布、二项分布、泊松分布分布律，连续的：均匀分布，指数分布、正态分布的密度函数（一定要会写出）。
已知X的密度函数f(x)，Y=G(X),会求Y的密度函数3.多维随机变量及其分布重点是二维随机变量边缘分布以及概率的求法；独立性判定（一般会考大题）相互独立的随机变量密度函数满足f(x,y)=f X(x)f Y(y)，会判定两个随机变量是否独立。
两个随机变量函数的分布：两个随机变量和、最大值的分布密度，注意到正态分布的和、差一定是正态分布。
主要是求出它的均值与方差就可以了。
4.随机变量的数字特征数学期望定义与求法，方差，协方差以及相关系数，会判断两个随机变量是否是相关的。
掌握6种重要的随机变量的均值与方差。
5 极限定理理解切比雪夫不等式的含义，会用切比雪夫不等式估计一个事件的概率6 抽样及抽样分布理解样本、抽样、样本值等概念会求离散型随机抽样的联合分布律、连续型随机抽样的联合分密度函数掌握统计量的定义，掌握样本均值、样本方差。
掌握几种常用的抽样分布，χ2分布的数学期望与方差，χ2分布的、T分布、F分布的分位点的含义及其关系。
F分布的性质F~F(n1,n2),则1/F~F(n2,n1),,T~T(n)则T2~F(1,n).掌握正态总体样本均值、样本方差的分布，掌握定理6.1—6.4（条件，结论）7 参数估计会求一个总体分布中未知参数的矩估计与最大似然估计（估计量与估计值）（会考大题）理解估计量的评选标准，会判断一个统计量是否为未知参数的无偏估计量，掌握正态总体的均值与方差的区间估计（填空题）8假设检验假设检验的一般步骤（6个步骤）（一般会考大题）（1）原假设H0，备择假设H1，（2）检验统计量及其服从的分布；（3）拒绝域（4）计算统计量的值；并与拒绝域的临界点值比较；（5）作出判断，接受或者拒绝原假设；（6）说明意义。
随机过程复习提纲汇总
随机过程复习提纲汇总随机过程是概率论中研究随机现象的一种数学工具，它描述了随机事件或变量在时间或空间上的演化规律。
随机过程在概率论、统计学以及各个科学领域中都有广泛的应用。
在复习随机过程的过程中，可以按照以下提纲进行系统地总结和复习：一、随机过程的定义和基本概念1.随机过程的定义和基本性质2.随机变量和随机过程的关系3.有限维分布和无限维分布4.随机过程的连续性和可测性二、随机过程的分类1.马尔可夫链和马尔可夫过程2.马尔可夫链的平稳分布和细致平衡条件3.各类随机过程的特性和应用（如泊松过程、布朗运动等）三、随机过程的数学描述1.随机过程的表示方法（如状态空间表示、样本函数表示等）2.随机过程的独立增量性质3.随机过程的平稳性质和相关函数四、随机过程的统计特性1.随机过程的均值和方差2.随机过程的相关函数和自相关函数3.随机过程的功率谱密度和自相关函数之间的关系五、随机过程的极限理论1.强大数定律和中心极限定理在随机过程中的应用2.极限理论在随机过程中的应用（如大数定律、中心极限定理等）六、马尔可夫过程的统计推断1.马尔可夫链的参数估计2.马尔可夫过程的参数估计3.马尔可夫过程的隐马尔可夫模型和参数估计七、随机过程的应用1.随机过程在金融领域的应用2.随机过程在电信领域的应用3.随机过程在信号处理领域的应用以上是一个较为全面的随机过程复习提纲，按照这个提纲进行复习可以帮助系统地回顾和学习随机过程的各个重要概念、定理和应用。
在复习的过程中，可以结合课本、教材以及相关资料进行深入学习和巩固。
同时，通过解答题目、做习题和实际应用案例的分析，可以提高对随机过程的理解和应用能力。
复习随机过程时，要注意理论和实践相结合，注重理论概念的理解和应用技巧的掌握。
随机过程-重庆邮电大学研究生院
一．总体要求 要求考生全面系统地掌握随机过程的有关理论，具备较强的分析问题与解决 问题的能力，并能灵活运用。 二．具体内容及要求 1．概率空间、随机变量及数字特征 考试内容： 概率空间的概念、随机变量及其分布函数、随机变量的数字特征、特征函数、 母函数、n 维正态分布、条件期望。 考试要求： （1）了解概率空间的概念。 （2）理解随机变量的概念，掌握分布函数、密度函数的基本性质。 （3）理解随机变量的期望、方差、协方差、特征函数、母函数概念，掌握其 基本性质，会求随机变量的期望、方差、协方差、特征函数、母函数。 （4）掌握 n 维正态分布的性质。 （5）理解条件概率、条件分布函数、条件密度函数的概念，理解独立随机变 量的概念，掌握条件随机变量的期望性质，会应用全数学期望公式。 2．随机过程的基本概念 考试内容： 随机过程的概念、随机过程的分布函数族、随机过程的数字特征、正交增量 过程、独立增量过程、正态过程、维纳过程、复随机过程。 考试要求： （1）理解随机过程的概念、随机过程的分布函数族，充分理解随机过程的存 在性定理的数学及工程意义，会求随机过程的均值函数、方差函数、相关函数， 协方差函数。
（2）理解正交增量过程、独立增量过程、平稳增量过程、平稳独立增量过程、 正态过程、维纳过程的概念。
（3）理解复随机过程的概念。 3．泊松过程
考试内容： 泊松过程的概念、泊松过程的数字特征、时间间隔与等待时间分布、到达时 间的条件分布、非齐次泊松过程及数字特征、复合泊松过程及数字特征。 考试要求： （1）理解泊松过程的概念、掌握两种定义。 （2）掌握泊松过程的基本性质、会求泊松过程的数字特征、时间间隔与等待 时间的分布、到达时间的条件分布。 （3）理解非齐次泊松过程的概念、会求其数字特征。 （4）理解复合泊松过程、会求其数字特征。 4．马尔可夫链 考试内容： 马尔可夫过程的概念、马尔可夫链的概念、马尔可夫链的转移概率、马尔可 夫链的状态分类、常返性的判别及其性质、状态空间的分解、状态转移概率的渐 近性质与平稳分布。 考试要求： （1）了解马尔可夫过程的概念，马尔科夫性及工程意义，理解马尔可夫链的 概念。 （2）掌握马尔可夫链的状态转移概率性质、会根据状态转移概率描绘状态转 移图、会确定实际马氏链的转移概率、转移矩阵。 （3）理解状态的周期、常返概念，会求状态的周期、会判断状态的常返性、 会分解状态空间。 （4）掌握状态转移概率的渐近性质。 （5） 掌握其绝对概率分布、极限分布、平稳分布的概念及计算方法。
高效备考山西省考研数学二随机过程复习重点
高效备考山西省考研数学二随机过程复习重点一、概述随机过程是概率论和数理统计中的一个重要概念，在考研数学二中也是一个重点考察内容。
本文将从理论基础、重要定义和性质、实例分析等角度，为考生提供高效备考山西省考研数学二随机过程的复习重点。
二、理论基础1. 概率论基础知识在学习随机过程之前，需要对概率论基础知识进行复习。
主要包括概率分布函数、概率密度函数、随机变量、条件概率、独立性等基本概念。
2. 马尔可夫性质马尔可夫性质是随机过程理论的核心概念之一。
考生需要了解和掌握马尔可夫链、连续时间马尔可夫链、平稳分布等相关内容，特别是马尔可夫性和马尔可夫链的收敛性。
三、重要定义和性质1. 随机过程的定义随机过程可以用来描述随机变量在时间上的变化过程。
考生需要熟悉随机过程的定义及其数学表示。
2. 过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
对于离散时间随机过程，考生需要了解马尔可夫链、泊松过程等重要过程的定义和性质。
对于连续时间随机过程，考生需要了解布朗运动、随机微分方程等相关知识。
3. 重要性质考生需要了解和掌握随机过程的重要性质，例如平稳性、独立增量性、马尔可夫性等。
同时，还要理解和应用随机过程的参数估计方法。
四、实例分析1. 马尔可夫链的应用马尔可夫链是随机过程中的一个重要模型，在实际应用中有着广泛的应用。
考生可以通过案例分析来理解马尔可夫链在实际问题中的应用，例如排队论、网络传输等。
2. 泊松过程的分析泊松过程是另一个重要的随机过程模型。
考生可以通过案例分析来理解泊松过程的特性及其在实际问题中的应用，例如电话呼叫、到达时间等。
五、总结本文在高效备考山西省考研数学二随机过程时，从理论基础、重要定义和性质、实例分析等几个方面进行了系统的复习总结。
考生在备考过程中，要注重理论复习与实例分析的结合，把握好随机过程的核心概念和应用方法。
通过刻苦的复习和真题演练，相信考生能取得优异的成绩。
注意事项：1. 本文为文章示例，特定内容可根据实际需要进行扩展或修改。
专升本《随机过程》
专升本《随机过程》在我们的学习和生活中，随机现象无处不在。
从股票价格的波动到天气的变化，从分子的热运动到通信系统中的信号传输，随机过程这一数学理论为我们理解和描述这些现象提供了有力的工具。
对于专升本的同学来说，掌握随机过程这门课程具有重要的意义。
随机过程是什么呢？简单来说，随机过程就是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都与某个参数（通常是时间）相关联。
比如说，我们考虑一个每天记录的股票价格，那么每一天的价格就是一个随机变量，随着时间的推移，这些随机变量就构成了一个随机过程。
随机过程有多种类型，其中最常见的包括马尔可夫过程、泊松过程和布朗运动等。
马尔可夫过程具有“无记忆性”，也就是说未来的状态只取决于当前的状态，而与过去的历史无关。
泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数，比如电话呼叫的次数或者顾客到达商店的人数。
而布朗运动则是描述微小粒子在液体或气体中的无规则运动。
在学习随机过程时，我们需要掌握一些基本的概念和方法。
比如概率分布函数和概率密度函数，它们用于描述随机变量的概率特性。
均值和方差则反映了随机变量的集中趋势和离散程度。
自相关函数和功率谱密度则用于描述随机过程在时间上的相关性和频率特性。
为了更好地理解随机过程，我们还需要学习一些数学工具，如微积分、概率论和线性代数等。
微积分用于求解随机过程的导数和积分，概率论为我们提供了分析随机现象的基本理论和方法，而线性代数则在处理多维随机变量和矩阵运算时发挥重要作用。
让我们通过一个简单的例子来感受一下随机过程的应用。
假设我们有一个抽奖活动，每次抽奖的结果是独立的，中奖的概率为 01。
我们把每次抽奖看作一个随机事件，用 X(t) 表示在前 t 次抽奖中中奖的次数。
那么 X(t) 就是一个随机过程。
我们可以通过计算它的概率分布函数和均值、方差等来了解这个抽奖活动的特性。
对于专升本的同学来说，学习随机过程可能会遇到一些挑战。
这门课程的概念较为抽象，数学推导也相对复杂。
随机过程复习
第一章1. 随机过程的定义2. n 维概率分布:性质:1212(,,,,,;,,,,)0X n i n F x x x t t t t -∞= 12(,,,;,,,)1X n F t t t ∞∞∞= 1212(,,,;,,,)0X n n f x x x t t t ≥121212n (,,,;,,,)1X n n n f x x x t t t dx dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ 重3. 随机过程的数字特征 (1)数学期望()[()](;)X m t E X t xf x t dx ∞-∞==⎰物理意义：某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化.如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。
(2)均方值222()[()](;)XX t E X t x f x t dx ∞-∞ψ==⎰方差2222()[()][(()())][()]()X X X t D X t E X t m t E X t m t σ==-=-物理意义：如随机过程表示噪声电压，则均方值和方差分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。
(3) 自相关函数1212(,)[()()]X R t t E X t X t = 物理意义：自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系. (4) 自协方差函数121122(,)[(()())(()())]X X X K t t E X t m t X t m t =--物理意义：反映了随机过程任意两个时刻的起伏值之间相关程度。
自协方差和自相关函数的关系:121212(,)(,)()()X X X X K t t R t t m t m t =-自协方差和方差的关系: 2212(,)(,)[(()())]()X X X X K t t K t t E X t m t t σ==-=})(,,)(,)({),,,;,,,(22112121n n n n X x t X x t X x t X P t t t x x x F ≤≤≤= nn n X n n n X x x x t t t x x x F t t t x x x f ∂∂∂∂=2121212121),,,;,,,(),,,;,,,(12121212(,;,)X x x f x x t t dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰1.2 平稳随机过程及其遍历性1. 宽平稳或广义平稳随机过程:121222()(,)(,)()()[()]XX XX t t X m t m R t t E X X R t E X t τψ====<∞2. 平稳随机过程的性质 (1)平均功率 22(0)[()]0X X R E X t ψ==≥(2)偶对称性 ()(),()()X X X X R R K K ττττ=-=-(3)极值性(0)()X X R R τ≥(4)若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量，2lim ()()X X XR R m ττ→∞=∞=,lim ()()0X X K K ττ→∞=∞=3. 平稳过程的相关系数:22()()()(0)X X XX X XK R m r K τττσ-==()0X r τ=表示不相关， ()1X r τ=表示完全相关，()0X r τ>表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。
随机过程复习要点教案
随机过程复习要点第一章 概率论知识补充1.随机事件体有样本空间的全体子集总共2n个组成。
1.特征函数：随机变量X 的分布函数为F(x),称()()(),itX itxg t E e e dF x t ∞-∞==-∞<<∞⎰为X 的特征函数。
()()ln X X t g t ψ=，此为第二特征函数。
离散型：()1kitx k k g t ep ∞==∑；连续型：()()itx g t e f x dx ∞-∞=⎰2特征函数的性质：注：特征函数为虚函数。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2'"'12n 12n 12101,1,.2-30=-0.-0;00.4....5n k k kk k k n g g t g t g t g t X g t n k n g i EX EX i g EX i g DX g g X g t g t g t g t =≤-=∞∞≤===-+==第二项为取模，第三项为取共轭。
在，一致连续；若随机变量X 的n 阶矩EX 存在，则的特征函数阶可导，且当时，有；若X X ...X 相互独立，则X +X +...+X 的特征函数为随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。
两者是一一对应的。
3随机变量的分布函数()F x 与特征函数g(t)是一一对应的且相互唯一确定。
如果X为连续型且特征函数g(t)j绝对可积则有：()()()()()()()()1;2.itx X itx X X X f x e g t dt g t e f x dx g t f x f x g t π∞--∞∞-∞==⎰⎰是的相差一个负号的傅氏变换；是的相差一个负号的傅氏逆变换。
4n 维正态分布：()()()1212,,..,...n n i ijij n nn XN a B X X X a a a a a B b b ⨯==维正态分布：其中 X=为均值，为正定矩阵，为协方差。
随机过程总复习
随机过程总复习
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性质：在 X(0)=0 的条件下， 独立增量过程 X (t) 的有限维分布
函数族可用一维增量 X( t ) X( s ), 0 s t 的分布来确定
定义3 若对任意实数 h 和 0 s h t h,X(t+h)-X(s+h)
与 X(t)-X(s) 具有相同的分布，则称增量具有平稳性 。
1）W(0)=0; 2) 具有独立增量；
3）对任意的 t s 0 ，增量
W( t ) W( s ) ~ N( 0, 2( t s )), 且 0;
则称此过程为维纳（Wiener）过程
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维纳过程增量的分布只与时间差有关，所以它是齐次的独立增 量过程，它也是独立增量过程。
事实上，对任意 n( n 0 ) 个时刻 0 t1 t2 tn ( 记 t0 0 ),
k
W (tk ) [W (ti ) W (ti1)], k 1, 2, , n i 1
根据1）－3），它们都是独立的正态随机变量的和。由 n 维
正态随机变量的性质知， (W( t1 ),W( t2 ),,W( tn )) 是 n
ai I
aiI
绝对分布的向量形式
ai
aj
p(n) p1(n), p2 (n),, Pj (n),
0
n
p(n) p(0)P(n)
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3、Markoff链的有限维分布
P{Xt1 ai1 ,, Xtn ain }
pi (0) pii1 (t1 ) pin1in (tn tn1 ) ai I
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例: 若随机过程 X (t) At B, A ~ N(0,1), B ~ U(0,2)
随机过程复习
性质2 : 设{B(t ); t 0}是布朗运动, 以下三个随机过程均为布朗运动： (1)对任给的 0,{B(t ) B( ); t 0}； (2) 对常数 0,{ B(t / 2 ); t 0}； tB(1/ t ) t 0 (3) B *(t ) . t 0 0
强度为的泊松过程的数字特征：
1. E N t0 , t E N t N t0 t t0 ；
2. D N t0 , t D N t N t0 t t0 ， 特别地，t0 0，由假设N 0 0，可得：
今后讨论的都是 1时的标准布朗运动，记为B(t )。
布朗运动的性质： 1. 布朗运动是齐次的独立增ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ过程，
2. 布朗运动是正态过程，因此其分布完全由它的均值 函数和自协方差函数(即自相关函数)所确定，
3. 布朗运动的数字特征:
B (t ) E B t 0，
DB (t ) D B t t， CB s, t RB s, t DB min s, t min s, t s, t 0。
1 P(Ty t ) 1 2P{B(t ) y}
y y 1 2[1 ] 2 1. t t
定义：
X (t ), t T 是一随机过程，对任意整数n 1及 任意t1 , t2 , tn T , X (t1 ), X (t2 ), X (tn ) 服从 n维正态分布，则称 X (t ), t T 是正态过程.
P{min B( s ) y} P{min B( s) y}
随机过程总复习共89页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
随机过程总复习
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
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=
=
，
故随机过程{X(t)，t>0}的一、二维概率密度分别为
即可.
ft(x)=
exp{-
}，t>0，
fs,t(x1,x2)=
.exp{
[
]},s,t>0,
其中 4、设{X(t)，t≧0}是实正交增量过程，X(0)=0，V 是标准正态随机变量，若对任意的 t≧0， X(t)与 V 相互独立,令 Y(t)=X(t)+V，求随机过程{Y(t)，t≧0}的协方差函数. 解：依题意知EX(t)=0，EV=0,DV=1,所以 EY(t)=E[X(t)+V]=EX(t)+EV=0， BY(t1，t2)=E(X(t1)+V)(X(t2)+V) =E[X(t1)X(t2))]+EV2=σ 2X(min(t1,t2))+1.
C p q pX k
(2)令 X~b(n,p),则
k k nk
n
, q 1 p, k 1,2..n.
e C p q
gt
itk
k
k nk
n
k0
C e p q
k it
n
k nk
k0
有特征函数定义，可知 eit pq n
k
e p( X k) ,0, k 0,1...n
(3)令 X~p(λ),则
解：X 的分布列为P(X=k)=
C
k n
p k q n 1 ,q=1-p,k=0,1,2,...n,
g
n t
e
i
t
k
C
k n
k 0
pkqnk
n
C nk
k 0
peit
概率论与随机过程 复习参考
概率论与随机过程 复习参考 ----可参考从中取题做为考试题概率基本概念1．需掌握概念：随机试验，样本空间。
随机事件，基本事件，必然事件，不可能事件，事件间的关系（包含，相等，和，积，差，互斥，互逆），完备事件组（全包含，不重复），运算律（德摩根律），事件的描述及转换。
记数法则（乘法定理、加法定理），古典概型，抽样问题（可否放回、是否有序），分配问题，几何概型概率的性质，条件概率（两种理解方式），全概率公式，贝叶斯公式（先验概率，后验概率）。
事件独立性，两两独立与相互独立 2．公式()1()P A P A =-()()()()P A B P A P B P AB =+-，注意条件不变 ()(|)()P AB P B A P A =条件概率 ()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B == 乘法定理1()()(|)ni i i P A P B P A B ==∑ 全概率公式1()(|)(|)()(|)i i i niii P B P A B P B A P B P A B ==∑ 贝叶斯公式()()(|)()()P AB P A P B A P A P B ==独立3．习题 3设A,B 是两件事件且P(A)=0.6, P(B)=0.7. 问：（1）在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值()()()P A B P A P AB -=-()1()P B A P BA =-是多少？（2）在什么条件下Ｐ(AB)取得最小值，最小值是多少？ 解：()()()()P AB P A P B P A B =+-，且()()()P A P B P AB <≤A B ∴⊂当时，()P A B 取最小值，P(AB)取最大值，()()0.6P AB P A ==当AB S =时，()P A B =1取最大值，P(AB)取最小值，()0.3P AB =10在11张卡片上分别写上Probability ，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability 的概率。
概率统计和随机过程复习要点
全书章，都是考试内容，要全面复习.题型填空题占左右，计算题左右.主要内容.事件与概率，掌握事件地表示方法以及古典概型地计算；熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式地应用（会考大题）；熟练掌握条件概率公式地计算方法以及两个独立事件乘积概率等于概率乘积.随机变量及其分布了解随机变量；会求离散型随机变量地分布律、连续性随机变量地密度函数，分布函数；掌握六种常用地随机变量及其分布，离散地：两点分布、二项分布、泊松分布分布律，连续地：均匀分布，指数分布、正态分布地密度函数（一定要会写出）.已知地密度函数()，(),会求地密度函数.多维随机变量及其分布重点是二维随机变量边缘分布以及概率地求法；独立性判定（一般会考大题）相互独立地随机变量密度函数满足()()()，会判定两个随机变量是否独立.两个随机变量函数地分布：两个随机变量和、最大值地分布密度，注意到正态分布地和、差一定是正态分布.主要是求出它地均值与方差就可以了.文档收集自网络，仅用于个人学习.随机变量地数字特征数学期望定义与求法，方差，协方差以及相关系数，会判断两个随机变量是否是相关地.掌握种重要地随机变量地均值与方差.极限定理理解切比雪夫不等式地含义，会用切比雪夫不等式估计一个事件地概率抽样及抽样分布理解样本、抽样、样本值等概念会求离散型随机抽样地联合分布律、连续型随机抽样地联合分密度函数掌握统计量地定义，掌握样本均值、样本方差.掌握几种常用地抽样分布，分布地数学期望与方差，分布地、分布、分布地分位点地含义及其关系.分布地性质则则掌握正态总体样本均值、样本方差地分布，掌握定理—（条件，结论）参数估计会求一个总体分布中未知参数地矩估计与最大似然估计（估计量与估计值）（会考大题）理解估计量地评选标准，会判断一个统计量是否为未知参数地无偏估计量，掌握正态总体地均值与方差地区间估计（填空题）文档收集自网络，仅用于个人学习假设检验假设检验地一般步骤（个步骤）（一般会考大题）原假设，备择假设，（）检验统计量及其服从地分布；（）拒绝域（）计算统计量地值；并与拒绝域地临界点值比较；（）作出判断，接受或者拒绝原假设；（）说明意义.关于正态总体地假设检验重点掌握：（）关于均值地假设检验（已知时与未知时）地拒绝域（）关于方差地假设检验地拒绝域.注意双边检验与单边检验地拒绝域.随机过程（）掌握随机过程地数字特征：均值函数、自相关函数（会熟练求出）（）掌握泊松过程与维纳过程地定义与其数字特征：均值函数、自相关函数、自协方差函数.会求泊松过程地概率.（一般会考填空题）文档收集自网络，仅用于个人学习（）平稳过程地定义与判断（均值函数是常数，自相关函数是时间差地单变量函数.会判断一个平稳过程地均值（自相关函数）是各态历经地会求平稳过程地功率谱密度和平均功率（一般会考大题）马尔可夫过程理解马尔可夫链地含义会求马尔可夫链地一步转移概率矩阵，会求步转移概率矩阵会利用转移概率矩阵求相应地概率，利用转移概率矩阵和初始概率求转移概率及绝对分布.会判断马尔可夫链地遍历地，如果是遍历地会求极限分布.（会考大题）不做要求地内容.二维随机变量分布函数求法，两个随机变量商地分布密度；.协方差矩阵；.正态总体中，两个样本均值差，方差比地区间估计、假设检验不要求掌握.。
《随机过程概论》课程复习提纲
哈尔滨工业大学 19
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性
• 1、严平稳与宽平稳定义、二者关系、判断 宽平稳的条件、联合平稳定义及判定 • 2、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差
信息与通信学院 随机信号分析基础
哈尔滨工业大学
20
10
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性 • 3、各态历经性 • 定义、物理含义、判定条件（时间平均、统计 平均） • 平稳性与各态历经性的关系、 • 直流分量、直流功率、总平均功率、交流平均 功率
12
6
第2章 随机信号的基本概念
随机信号(Stochastic Signal)定义
定义1: 定义1: 设随机试验E的样本空间为 i ，对其每一个元素
i i 1, 2, 都以某种法则确定一个样本函数 X t , i xi t
,由全部元素
号 X t , ，简记为 X t 。
h t1
h t2
RYX t1 , t2
h t2
h
RYX
RXY
h
h
RY
RY
RXY t1 , t2
h t1
h
信息与通信学院 随机信号分析基础
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第5章 随机信号通过线性系统分析
H
2
H
H H 其它
H
0
P Y
H
PY
N 0 /2
1 2
H
PY d
H
0
随机过程总复习 (2).ppt
注:(3)可等价描述为: 自相关函数R(t1, t2 )仅与 t1 t2有关.
R(t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] R( )
因为 均值函数 X (t )
( ) R( ) 2
注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
X (0,1)
x y 1dy x 0x 2
2
4) f XY ( x, y) f X ( x) fY ( y) 所以X ,Y 不独立.
练习:对于随机变量X和Y，满足条件 E( X ) 2, E(Y ) 10,
2 则有 E[E(X Y )]
结论 : (1)若X是随机变量,则E( X ) X , a.s.
当X为连续型随机变量，
则
E(Y ) E[g(X)]
g(x) f (x)dx
2.方差
称随机变量 [X E(X )]2 的期望 为X的方差，即
var(X ) D( X ) E[( X E( X ))2]
计算方差时通常用下列关系式：
var(X ) D(X ) E[X 2][E(X )]2
（n) (0) E[ X n ]
3．和的矩母函数
定理1 设相互独立的随机变量 X1，X2， ，Xr 的
矩母函数分别为 1(t ) ，2 (t ) ，…，r (t ) ，
则其和 Y X1 X2 Xr 的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2(t) …r (t)
两个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它 们的矩母函数之积.
(2)协方差函数的性质
性质1 (0) var[X (t)]
随机过程总复习
Y (t) 1(t ) 2 (t ) … r (t )
两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它 们的特征函数之积.
练习:设随机变量X的概率密度函数为
p(
x)
1 2
x
0 x2
0 其 它
试求X的矩母函数。
解： (t ) E[etX ] 2 etx 1 xdx
2, 3 1，
t x1 3
t 3
x1
et
x1 et
随机过程的数字特征
1．均值函数 X (t) E[X (t)]
2．方差函数
D[X(t)] E[(X(t) X (t))2]
3．协方差函数
E[X 2(t)] X 2(t)
(t1, t2 ) E[(X (t1 ) X (t1 ))(X (t2 ) X (t2 ))]
注意：分母不等于0
2、条件期望的定义
离散型 连续型
E(X |Y yj ) xi P( X xi |Y y j ) i 1
其中
P(X
xi
|Y
yj
)
P(X xi ,Y P(Y yj )
yj
)
E(X |Y y)
x f ( x | y)dx
其中 f ( x | y) 条件概率密度
3、全数学期望公式
5．互协方差函数 XY (t1, t2 ) E[X(t1 ) X (t1 )][Y (t2 ) Y (t2 )]
6．互相关函数 RXY (t1, t2 ) E[X (t1 )Y (t2 )]
XY (t1, t2 ) = RXY (t1 , t2 ) X (t1 )Y (t2 )
练习 设随机过程 X (t) U cos2t ，其中 U 是随机变量 且 E(U ) 3 ， D(U ) 4
随机过程复习指南
“随机过程”复习指南一、随机过程的基本概念随机过程的基本概念，有限维分布函数，n 维概率密度函数。
随机过程的数字特征：均值函数，方差函数，协方差函数，相关函数。
几种关系：独立，不相关，正交。
几种重要的随机过程的概念：复随机过程，二阶矩过程，正交增量过程，独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程，正态过程。
泊松过程的有关概念：泊松过程的定义，概率分布（泊松分布），泊松过程的数字特征，时间间隔，等待时间。
马尔可夫链有关概念：定义，无后效性，转移概率，齐次马尔可夫链，初始概率，绝对概率，首中概率；状态的周期性，常返性，平均返回时间，可达，互通，基本常返闭集，平稳分布。
平稳随机过程的有关概念：严平稳和宽平稳的定义，联合平稳，时间均值，统计均值，时间相关函数，统计相关函数，各态历经性，自相关函数，功率谱密度，互相关函数，互谱密度。
二、基本原理与方法关于运算符E 的计算方法，随机过程的几个典型的数字特征（均值函数，方差函数，协方差函数，相关函数）的计算、性质以及之间的相互关系。
泊松过程的有关性质，数字特征的计算，时间间隔与等待时间的概率分布，条件概率的计算方法。
马尔可夫链的描述方式（转移概率矩阵、状态转移图），周期的判断，常返性的判断（常返态、非常返态、正常返态、零常返态、遍历态），状态空间的分解方法，平稳分布的求解。
平稳随机过程的有关概念：平稳（包括联合平稳）的判断，各态历经性的判断，自相关（互相关）函数的性质与计算，功率谱密度（互谱密度）的性质与计算。
平稳过程通过线性时不变系统后，输出过程的数字特征、平均功率、功率谱密度等分析与计算，会在简单的电路系统中求输出过程的均值、自相关、功率谱密度、平均功率等。
三、思考题1. 各章布置的作业题和讲授的例题。
2. 设随机过程∞<<∞-Φ+=t t A t X , )cos()(ω，式中A 和ω是常数，Φ是在（0, 2π）上具有均匀分布的随机变量，求该随机过程的均值、方差和相关函数。
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《随机过程》课程需要掌握的内容及要求
第一章：随机过程及其分类
（1）掌握随机过程和随机过程的有限维分布函数族的概念，掌握随机过程的n维分布函数、分布密度的概念。
理解随机过程的两种描述方式。
（2）理解随机过程的均值函数、协方差函数和相关函数的概念，掌握它们的主要性质，并会对给定的简单过程和常用的重要过程计算这些数字特征。
（3）了解随机过程的分类方式及分类。
（4）了解两个随机过程的联合分布的概念。
会计算联合随机过程的互协方差函数和互相关函数。
了解两个随机过程之间独立的概念。
第二章：Markov过程
（1）理解马氏链及其转移概率的定义和性质。
理解齐次性的概念。
了解独立增量过程与马氏过程的关系。
（2）掌握C-K方程，并能利用C-K方程计算转移概率。
（3）了解状态的常返性、遍历性的概念。
掌握遍历性的主要定理的条件和结论。
能对简单齐次马氏链的状态进行分类。
（4）掌握马氏链的极限性质，掌握平稳分布的概念，能对简单的齐次马氏链找平稳分布。
（5）掌握纯不连续马氏过程转移概率的概念，掌握转移率矩阵（Q矩阵）的定义和求法。
（6）掌握前进方程、后退方程及福克－普朗克方程，会利用此方程求过程的均值函数。
（7）理解生灭过程的定义，并能写出生灭过程的Q矩阵。
第三章：Poission过程
（1）掌握独立增量过程、正交过程及计数过程的定义和性质。
（2）掌握Poission过程的定义及一维分布，会求此过程的数字特征。
（3）掌握Poission过程与指数分布之间的关系。
掌握到达时间和条件到达时间的分布性质；了解更新过程的定义和基本性质。
（4） 一些主要结果：
● 一维分布：N k e k t k t N P k s N t s N P t
k ∈====-+-,!
)(})({})()({λλ； ● Q 矩阵： ⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛----= λλλλλλ
λλ00
000
0Q ；
● 均值函数：t
t N E t t N E t m N )}
({)}({)(=⇒==λλ；
● 均方函数：t t t N E λλ+=22)()}({； ● 方差函数：t t D N λ=)(；
● 相关函数：},min{),(2121221t t t t t t R N λλ+=； ● 协方差函数：},min{),(2121t t t t C N λ=；
● 到达时间的分布：n S 表示第n 个事件发生的时刻（1≥n ），则有：
0,)!
1()()(1
≥-=
--t e n t t f t n S n λλλ；
● 到达时间间隔的分布：)1(1≥-=-n S S X n n n 表示第1-n 个事件与第n 事件发生
的时间间隔，则有：
n k t e t f t X n ≤≤≥=-1,0,
)(λλ；
● 无条件),,,(21n S S S 的联合概率密度：
⎩⎨
⎧<<<<=-其它,
00,),,,(2121n
t n n t t t e t t t g n λλ ● 在已知条件n t N =)(下，事件相继发生的时间),,,(21n S S S 的条件概率密度：
⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<<=其它,
00,!
),,,(2121t
t t t t n t t t f n n n
● 在已知条件n t N =)(下，第)(n r r <个事件发生时刻的概率密度：
t x t
t x t x r r n n n t N x f r
n r S r <<⋅⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--0,1
1)!1()!(!))((1 转移概率函数：i j e i j s t i N j N P j i t s p s t i j s t ≥--====---,
)!
()]([}{),,,()
(λλ；
第四章：二阶矩过程、平稳过程和随机分析
（1） 掌握二阶矩过程、严平稳过程及宽平稳过程的定义及关系。
（2） 了解均方极限、均方连续、均方导数和均方积分的概念，会判断一个随机过程的均
方连续性及均方可导性。
掌握均方导数过程的相关函数于原过程的相关函数之间的关系。
（3） 掌握平稳过程各态历经性的概念。
了解判断均值、相关函数具有各态历经性的定理。
（4） 掌握正交增量过程的定义及基本性质。
第五章：平稳过程的谱分析
（1） 掌握平稳过程功率谱的定义及性质，会对简单的随机过程求其功率谱。
（2） 掌握功率谱与相关函数之间的关系。
（3） 掌握随机信号通过线性系统后输入信号与输出信号的功率谱之间的关系。
（4） 了解平稳过程的谱分解定理和采样定理。
（5） 了解窄带平稳随机信号的表示方式。
第六章：高斯（Gauss ）过程
（1） 掌握n 维正态随机变量的分布密度、特征函数及基本性质。
（2） 掌握正态过程的定义。
了解窄带平稳实正态过程的表示法。
（3） 了解正态马氏过程的概念，掌握正态实平稳过程实马氏过程的充要条件。
（4） 掌握维纳过程的定义，会求标准维纳过程的数字特征。
会求偏移系数为μ，强度为
2σ的维纳过程的相关函数。
（5） 一些主要结果：
维纳过程是独立增量过程，其一维分布为：),0(~)()(,0,2
t c N s W t s W t s -+>∀；
维纳过程是正态过程；维纳过程还是是马氏过程，其转移概率密度函数为：
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧----=
=)(2)(exp )(21
)(ˆ),,,(2s t x y s t x y f y x t s p s t B B π；
均值函数：0)(=t m W ；
相关函数：},min{),(21221t t c t t R W =； 均方函数：t t W E =)}({2；。