2021年广东省高考数学总复习第51讲：直线与圆锥曲线

2021年广东省高考数学总复习第51讲：直线与圆

锥曲线

1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( A )

A ．1

B ．2

C ．1或2

D ．0

解析：由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线y ＝b

a x 平行，故直线与双曲线的交点个数是1.

2．已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( D )

A ．y ＝x －1

B ．y ＝－2x ＋5

C ．y ＝－x ＋3

D ．y ＝2x －3

解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧

y 21＝4x 1①，y 22＝4x 2②，

①－②得y 21－

y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知

x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝4

2

＝2，即k AB ＝2，

∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.

3．已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( D )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1，52

C.⎝

⎛⎭⎪⎫－52，52

D.⎝

⎛⎭⎪⎫1，52

解析：由题意知k ＞0，联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx －1，

x 2－y 2＝4，

整理得(1－k 2)x 2＋2kx

－5＝0，因为直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x 1，x 2，所以

⎩⎪⎨

⎪⎧

Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＞0，

x 1

＋x 2

＝－2k 1－k 2

＞0，

x 1x 2

＝－51－k

2

＞0，

解得1＜k ＜52，即k ∈⎝

⎛⎭⎪⎫1，52，故选D.

4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( D )

A.1

2 B.2

3 C.34

D.43

解析：易知p ＝4，直线AB 的斜率存在，抛物线方程为y 2＝8x ，与直线AB 的方程y －3＝k (x ＋2)联立，消去x 整理得ky 2－8y ＋16k ＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k (16k ＋24)＝0，解得k ＝－2或k ＝1

2.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k ＝－2，故k ＝1

2，可得B (8,8)，又F (2,0)，故k BF ＝8－08－2＝43

，故选D.

5．已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D )

A ．3

B ．2

C ．－2

D ．－3

解析：由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2

＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝2x ，

y 2＝2px ，

得⎩⎨⎧

x ＝p

2

，y ＝p ，

即A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

p 2，p ， 则直线AB 的方程为y －p ＝6⎝

⎛

⎭⎪⎫x －p 2，

即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2

＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝6x －2p ，

y 2＝2px ，

得

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2p 9，

y ＝－2p 3

或⎩⎨⎧

x ＝p 2，

y ＝p ，

所以B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2p

9，－2p 3，

所以直线OB 的斜率为k OB ＝－2p

3

2p 9

＝－3.故选D.

6．已知双曲线x 23－y 2

＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是线段AB 的中点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积是( D )

A ．4 3

B ．313 C.14

D ．23

解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，又因为直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx ＋m )2＝8x ⇒k 2x 2＋(2km －8)x ＋m 2＝0，

∴x 1＋x 2＝8－2km k 2，x 1x 2＝m 2k 2. 又因为M (2,2)是线段AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝8－2km

k 2＝4，且2＝2k ＋m ， 联立解得k ＝2，m ＝－2.|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝ k 2

＋1·(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝215.O 到AB 的距离d ＝2

5

.

∴S △AOB ＝12×215×2

5

＝2 3.