九年级数学下册第27章相似相似三角形相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例同步练习新版新人教版

九年级数学下册第二十七章相似
[27.2.3 第1课时利用影长测高度或在地面上构造相似三角形测距离]
一、选择题
1．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图K－12－1所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( )
图K－12－1
A．6米B．7米C．8.5米D．9米
2．小刚身高为1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )
A．0.5 m B．0.55 m
C．0.6 m D．2.2 m
3.如图K－12－2所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( )
图K－12－2
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
二、填空题
4．如图K－12－3①，小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架，如图K－12－3②是晒衣架的侧面示意图，经测量知OC＝OD＝126 cm，OA＝OB＝56 cm，且AB＝32 cm，则此时C，D 两点间的距离是________cm.
图K－12－3
5．如图K－12－4，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝________mm.
图K－12－4
6．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图K－12－5，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG ＝15里，HG经过点A，则FH＝________里.链接听课例2归纳总结
图K－12－5
三、解答题
7．如图K－12－6，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通上的方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．
图K－12－6
8．如图K－12－7，一条东西走向的笔直公路，点A，B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路南侧所在直线PQ上行走，当他到达点P的位置时，观察到树A恰好挡住电视塔，即点P，A，C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，观察到树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C 到公路南侧所在直线PQ的距离.链接听课例2归纳总结
图K－12－7
9．如图K－12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD ⊥OA于点D，已知DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A，B两点间的距离．
图K－12－8
10．如图K－12－9 所示，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的
坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝4米，BC ＝10米，CD 与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．
链接听课例1归纳总结
图K －12－9
转
化思想如图K －12－10所示，某学习小组发现8 m 高的旗杆DE 的影子EF 落在了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6 m ，同时测得其影长为2.4 m ，EG 的长为3 m ，HF 的长为1 m ，测得拱高(GH ︵
的中点到弦GH 的距离，即MN 的长)为2 m ，求小桥所在圆的半径OG 的长．
图K－12－10
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 由题意可知△DEF ∽△ABC ， 所以DF
AC ＝EF
BC ，
所以1.5AC ＝16，
所以AC ＝9 米．
2．[解析] A 设小刚举起的手臂超出头顶x m ，则1.70.85＝1.7＋x
1.1，解得x ＝0.5.故选A.
3．[解析] B 由两角对应相等可得△BAE ∽△CDE ，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB. ∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ， ∴AB ∥CD ， ∴△BAE ∽△CDE ， ∴AB
CD ＝BE CE ，
∴AB ＝BE·CD
CE
.
∵BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ， ∴AB ＝20×20
10＝40(m)．故选B.
4．[答案] 72
[解析] 如图，连接CD ，由题意可得AB ∥CD ，则△OAB ∽△OCD ，故OA OC ＝OB OD ＝AB CD ，则56126＝32
CD ，
解得CD ＝72 (cm)．
5．[答案] 2.5
[解析] 根据题意可知△AOB ∽△COD ， 所以CD ∶AB ＝OC ∶OA ＝1∶2. 因为CD ＝10 mm ，
所以AB ＝20 mm ，则x ＝1
2
×(25－20)＝2.5(mm)．
6．[答案] 1.05
[解析] ∵EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，HG 经过点A ， ∴FA ∥EG ，EA ∥FH ，
∴∠AEG ＝∠HFA ＝90°，∠EAG ＝∠FHA ， ∴△GEA ∽△AFH ， ∴GE AF ＝AE HF
. ∵AB ＝9里，AD ＝7里，EG ＝15里， ∴AF ＝3.5里，AE ＝4.5里， ∴15
3.5＝
4.5
HF ， ∴FH ＝1.05(里)． 7．解：连接MN.
∵AC AM ＝301000＝3100，AB AN ＝541800＝3100， ∴AC AM ＝AB AN
. 又∵∠BAC ＝∠NAM ， ∴△BAC ∽△NAM ， ∴BC
MN ＝AC
AM ＝3
100， ∴45
MN ＝3
100， ∴MN ＝1500 米．
答：M ，N 两点之间的直线距离为1500米．
8．解：如图所示，过点C 作CE ⊥PQ 于点E ，交AB 于点D.
设CD 的长为x ，则CE 的长为x ＋∵AB ∥PQ ，∴△ABC ∽△PQC ，
∴CD CE ＝AB PQ ，∴CD AB ＝CE PQ ，即x 150＝x ＋60180， 解得x ＝300，∴x ＋60＝360.
答：电视塔C 到公路南侧所在直线PQ 的距离是360米． 9．解：如图，连接AB ，同时连接OC 并延长交AB 于点E ，
∵铁夹的侧面是轴对称图形，故OE 是对称轴，∴OE ⊥AB ，AE ＝BE. ∵∠COD ＝∠AOE ，∠CDO ＝∠AEO ＝90°， ∴Rt △OCD ∽Rt △OAE ，∴OC OA ＝CD
AE ，
而OC ＝
OD 2＋DC 2＝242＋102＝26，
∴26
24＋15＝10
AE ，∴AE ＝39×10
26＝15， ∴AB ＝2AE ＝30(mm)．
答：A ，B 两点间的距离为30 mm.
10．解：如图所示，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，延长AD 交BC 的延长线于点E.
∵∠DCF ＝30°， ∴DF ＝1
2CD ＝2米，CF ＝
CD 2－DF 2＝2
3 米．
根据已知条件，1米高的标杆的影长为2米，可求得EF ＝2DF ＝4米， ∴BE ＝(14＋2
3)米．
∵DF ⊥BE ，AB ⊥BE ， ∴△DFE ∽△ABE ， ∴DF AB ＝EF BE ， ∴2
AB ＝4
BE ， ∴AB ＝1
2
BE ＝7＋
3≈8.7(米)．
即电线杆的高度约为8.7米．
[点评] 注意在计算EF 时，要运用1米高的标杆的影长为2米这一条件． [素养提升]
解：由相似三角形的性质得DE EF ＝1.6
2.4
，而DE ＝8 m ， ∴EF ＝12 m.
∵EG ＝3 m ，HF ＝1 m ， ∴GH ＝EF －EG －HF ＝8 m.
由垂径定理，得MG ＝1
2
GH ＝4 m.
在Rt △OMG 中，由勾股定理，得OM 2＋MG 2＝OG 2，即(ON －2)2＋42＝OG 2. 又∵ON ＝OG ，
∴(OG －2)2＋42＝OG 2，解得OG ＝5 (m)． 答：小桥所在圆的半径OG 的长为5 m.。