矢量分析

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第1章(矢量分析)

矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。

矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。

矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。

如：温度、质量、角度、长度等。

如：力、速度、电场强度、力矩等。

矢量的模：矢量的大小。

矢量的模记为：或。

A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。

即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。

FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。

能不能平移？下面只讨论自由矢量。

如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。

U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。

i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。

R A A e A 三个：、和。

R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。

ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。

e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。

矢量分析

性质
∇ × ∇ϕ = 0
梯度
三、矢量场的通量、散度
1、通量
r 定义：若矢量场 A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面 S
r 上。定义 A 在曲面上的积分为通量。
r r Ψ = ∫ A ⋅ dS
s
曲面 S 的方向开表面：作一封闭线圈，选定绕行方向后，沿绕行方向按右手螺旋法则，拇指方向为开表面方向闭合面：外法线方向
s l
无旋场性质
r ∇× A = 0
r ∇ ⋅ (∇ × A) = 0
旋度
例题讲解（课本）例题1-8 例题1-9 例题1-10
例题
五、亥姆霍兹定理
内容：位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
基础
矢量表示式
r r r r A = er Ar + eϕ Aϕ + e z Az
微分长度
r r r r dl = er dr + eϕ rdϕ + e z dz
微分面积
r r dS r = er rdϕdz r r dS ϕ = eϕ drdz r r dS z = e z rdrdϕ
微分体积
dV = rdrd ϕdz
只改变大小，不改变方向矢量与矢量点乘
s r r r A ⋅ B = A B cosθ AB = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
r r r r A⋅B = B⋅A
基础
说明： 1、两个矢量的标量积或点积，是一个标量。 2、Θ是A、B之间较小的夹角，小于Π弧度。 3、其结果表示一个矢量的模和另一个矢量在该矢量上的投影和乘积。矢量与矢量叉乘

第1章 - 1 矢量坐标系梯度

12
第一章矢量分析
1 .2 .1 正交坐标系
任意矢量A：
A A
Au21 Au22 Au23
任意矢量B：
（1-22）（1-23）（1-24）
（1-25）（1-26）
13
第一章矢量分析
e e e u1
u2
u3
A B Au1 Au2 Au3
B B B u1
u2
u3
（1-27）
d , d, dz
拉梅系数：
r
h1 1, h2 , h3 1 （1-58）
位置矢量为： r = e + ez z
线元微分元为： dr = d (e + ez z)
e d de ezdz zdez e d e de ezdz
（1-59）（1-60）
26
第一章矢量分析
第一章矢量分析
1 .2 .3 圆柱坐标系
ez
e
e
(u1，u2，u3 ) (,, z)
（1-48）
ez P(ρ0 ,φ0 , z0 )
e e
0 0 2
z
e e ez
e ez e
（1-49）
图 1 -6 柱坐标系
ez e e
21
第一章矢量分析
ez ez
ex e cos e sin ， ey e sin e cos ， ez ez
（1-51-2）
22
第一章矢量分析
园柱坐标系中矢量：
A e A e A ez Az
直角坐标系中：
A ex Ax ey Ay ez Az
坐标变换矩阵为：
Ax cos

第一章矢量分析

格林定理
立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，中的场，场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克上的场，反之亦然。斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。
Ψ = ∫ A ⋅ dS
S
通量可为正、或为负、或为零当矢量穿出某个闭合面时，通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞）。闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合
惟一性定理亥姆霍兹定理正交曲面坐标系
10
第一章矢量分析
标积与矢积方向导数与梯度通量与散度环量与旋度环量与旋度无散场与无旋场格林定理
2. 旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋旋度：旋度是一个矢量。具有最大环量强度的方向，度, 则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即
惟一性定理亥姆霍兹定理正交曲面坐标系
1
0 A⋅ B = A B
A⊥B
A // B
第一章矢量分析
标积与矢积方向导数与梯度
2.矢量的失积 2.矢量的失积
矢量的失积：代数定义：矢量的失积：代数定义：
ex A × B = Ax Bx ey Ay By ez Az Bz

矢量分析

二、方向导数在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ

第1章-矢量分析

⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时：若Ψ > 0，有净通量流出，说明S内有源；若Ψ < 0，有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0，则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理）水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5

第1章矢量分析

F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义：标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)

第一章矢量分析

r u ( x, y , z , t ) 、 F ( x , y , z , t )
r u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
第一章矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为 u u( x, y, z) ，则等值面方程为：
第一章矢量分析
第一章
主要
矢量分析
内容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
第一章矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
空间中存在任意曲面S，则定义：
v v S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面 S 的通量。
矢量场的通量
第一章矢量分析
若S 为闭合曲面
s
v v v Ñ A ( r ) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。说明：1) 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
s
第一章矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0

0
若 0 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的正源；若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源；若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性，不能显示源的特性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量可以表示源的特性。

矢量分析的知识点总结

矢量分析的知识点总结一、矢量的定义和表示1.1 矢量的定义矢量是指在空间中具有大小和方向的量，它可以用来表示物理量的大小和方向，如力、速度等。

矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。

1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。

坐标表示是指用矢量所在空间的坐标系来表示矢量，分量表示是指将矢量在坐标系中的投影表示为一组数值。

1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘等。

加法和减法的运算结果是一个新的矢量，数量乘法是指将矢量的长度进行缩放，点乘是指将两个矢量的长度和夹角进行运算得到一个标量。

二、矢量的微积分2.1 矢量的导数矢量的导数是指对矢量的每个分量分别求导，得到的是一个新的矢量。

矢量的导数在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度等物理量都可以用矢量的导数来表示。

2.2 矢量场矢量场是指在空间中的每个点都有一个矢量与之对应的场，它可以用来描述流体的速度场、电场、磁场等。

矢量场的微积分可以用来研究矢量场的性质和行为。

2.3 曲线积分曲线积分是指对沿着曲线的矢量场进行积分，得到的是一个标量。

曲线积分在物理学中有着重要的应用，如对力沿着曲线的功的计算等。

2.4 曲面积分曲面积分是指对矢量场在曲面上的投影进行积分，得到的是一个标量。

曲面积分在物理学中也有着广泛的应用，如对电场在闭合曲面上的通量计算等。

三、矢量分析的应用3.1 物理学中的应用矢量分析在物理学中有着广泛的应用，如在力学中用于描述力、速度、加速度等物理量；在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。

3.2 工程学中的应用矢量分析在工程学中也有很多应用，如在流体力学中用于描述流体的速度场、压力场等；在航空航天工程中用于描述飞行器的运动状态、姿态等。

3.3 计算机科学中的应用矢量分析在计算机科学中也有着重要的应用，如在图形学中用于描述图像的旋转、平移等运动；在机器学习中用于描述数据的特征、相似度等。

电磁场与电磁波第1章矢量分析

例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1）该矢量场的旋度;
（2）该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分，如图所示，验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标系中，可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方向的投影，如图所示，即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式中，当 Δl→0 时 δ→0 。将上式两边同除以 Δl 并取极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有

矢量分析

关于散度的一些计算
r r r r ∇ ⋅ ( A ± B) = ∇ ⋅ A ± ∇ ⋅ B r r r ∇ ⋅ (ϕ A) = ϕ∇ ⋅ A ± A ⋅∇ϕ
3)、散度定理（奥——高定理）、散度定理（高定理）高定理
∫
V
r r r ∇ ⋅ AdV = A ⋅ dS ∫
S
它将矢量散度的体积分变换成该矢量的面积分，它将矢量散度的体积分变换成该矢量的面积分，或将矢量的面积分转换为该矢量散度的体积分。的面积分转换为该矢量散度的体积分。
第一章矢量分析
场的几何描述 r 矢量场 A( x, y, z ) 的场线及场线方程
dx dy dz = = Ax Ay Az
标量场
ϕ (x, y, z) 的等值面方程为
ϕ ( x, y , z ) = const.
第一章矢量分析
2 通过点M 的等值面方程。例1、求标量场 ϕ = ( x + y ) − z 通过点 (1, 0, 1)的等值面方程。、的等值面方程
第一章矢量分析
4、矢量场的环量和旋度
1）、环流（环量）环流（
r r 沿曲线c关于在矢量场 A 中，沿曲线关于的线积分称为该矢量场 A
的环流。
∫
c
r r A ⋅ dl = A cos θ dl ∫
c
环流表示闭合曲线内存在另一种源——涡旋源一种源涡旋源
第一章矢量分析
2）、矢量场的旋度）、
max
r ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r = G =| ex + ey + ez | ∂x ∂y ∂z
第一章矢量分析
中的一点M处有一矢量处有一矢量，定义：在标量场 ϕ ( x, y , z )中的一点处有一矢量，其方向取函 r 点处变化率最大的方向，数 ϕ 在M点处变化率最大的方向，其模等于 | G | ，该矢量称为标点处变化率最大的方向点处的梯度表示。量场 ϕ 在M点处的梯度，用grad ϕ 表示。点处的梯度，在直角坐标系中，梯度的表达式为直角坐标系中

第1章矢量分析

体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章矢量分析
A Axex Ayey Azez
sin cos
0
0 ex
0
e y
1 ez
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
第一章矢量分析
2、直角坐标系与球坐标系的关系
er ex sin cos ey sin sin ez cos e cos cos ex cos sin ey sin ez e ex sin ey cos
坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量面元矢量
x, y, z,( x, y, z )
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl
exdx
ey
dy
ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
A B AxBx Ay By Az Bz
ex ey ez
A B Ax Ay Az Bx By Bz
ex
Ay By
Az Bz
ey
Ax Bx

第一章矢量分析

第一章矢量分析§1 场的概念一. 矢量与标量1.概念标量实数域内只有大小的量。

如：电压、温度、时间、电荷等。

矢量实数域内既有大小又有方向的量，且加法运算遵循平行四边形法则。

如：力F 、电场强度E 、磁场强度H、速度等。

常矢：矢量的模和方向都不变。

如：x e 、y e 、z e。

变矢：模和方向或两者之一变化的矢量(在实际问题中遇到的更多)。

如：r e 、θe 、ϕe 、ρe。

物理量标量或矢量被赋予物理单位，成为有物理意义的量。

2.矢量的表示印刷黑体 A ；A(白体)表示A的模。

手写模和方向均表示出。

表示A 的方向(模为1)。

A 表示矢量A 的模。

▪ 零矢（空矢）：模为零的矢量。

0▪单位矢量：模为1的矢量。

如直角坐标系坐标轴方向x e 、y e 、z e （参考书）。

也有用x a、y a 、z a或i 、j 、k 或 x ˆ、y ˆ、z ˆ 等表示。

若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，一个矢量就确定了。

如直角坐标系中，矢量A的三个分量模值分别是A x , A y , A z ，则直角坐标系： A的模为 A的单位矢量为判断以下手写表示是否正确：（矢量≠标量）（标量≠矢量） ☹ 常见手写表示错误： Aa A 0=A A a=0zz y y x x A e A e A e A ++=222z y x A A A A ++=γβcos cos cos ˆ0z y x zz y y x x A e e a e A A e A A e A A e A A a A++=++===5=E 5x e E=5x e E =765zy x e e e E ++= 765z y x e e e E++=二. 矢量的代数运算1.矢量的加减法2.矢量的乘法a.标量积(点乘) 结果为标量！b.矢量积(叉乘) 结果为矢量！直角坐标系：∙ 点乘垂直平行点乘符合交换律： ∙ 叉乘平行垂直注意：z x y e e e-=⨯ 叉乘不符合交换律：三.矢量场与标量场1.场在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。

矢量分析

运算规律： A B B A （交换律）
A (B C) A B AC （分配律）
AB
AB 0
A// B
A B AB
ex ey ey ez ez ex 0
ex ex ey ey ez ez 1
第一章矢量分析
（4）矢量的矢量积（叉积）
A B
A B en ABsin
C=A+B
A
AB
B
C2 C C (A B) (A B)
A A B B 2A B
A2 B2 2 ABcosAB A2 B2 2 ABcos
第一章矢量分析
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置且满足右手螺旋规则的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
B
推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边
矢量的减法
形，矢量和必为零。
第一章矢量分析
（2）标量乘矢量（数乘）
kA exkAx eykAy ezkAz
（3）矢量的标量积（点积）
A B AB cos AxBx Ay By Az Bz
两矢量点积含义：矢量在另一矢量方向上的投影与另一
矢量模的乘积，其结果是一标量。
0
坐标变量
,, z 0 2
坐标单位矢量
e , e , ez
z
位置矢量
r e ez z
线元矢量
dl ed e d ezdz
面元矢量
dS
e dldlz

第一章矢量分析

(
)
( )
( )
(
)
(
)
16
导矢的物理意义 M0
z
s
M
dr dr ds 导矢：导矢： = ⋅ l dt ds dt o y dr : 点M 处的单位切向矢量τ x ds ds 处质点的速度大小， : 点M 处质点的速度大小，用v 表示 dt dr 质点M 质点M 的速度矢量 = vτ = v dt dv d 2 r w= = 2 质点M 质点M 的加速度矢量 dt dt
d dA dB d A± B = ± C = 0, C为常矢 dt dt dt dt d dA d du dA kA = k , k为常数 uA = A+u dt dt dt dt dt d dB dA d 2 dA A⋅ B = A⋅ + ⋅B 特例： A = 2 A ⋅ dt dt dt dt dt d dB dA A× B = A× + ×B dt dt dt dA dA du = ⋅ 若有复合函数 A＝A ( u ) dt du dt
7
第一章
第二节矢性函数的导数与微分
1. 矢性函数的导数定义设矢性函数 A ( t )在点 t的某一邻的某一邻域内有定义，域内有定义，并设 t +△t 也在这邻域内。 △ 也在这邻域内。若
M
A (t ) A′ ( t )
∆A
N l
其极限存在，在 ∆t → 0 时，其极限存在，则称此极限 ∆A=A ( t +∆t ) -A ( t ) 为矢性函数 A ( t ) 在点处的导数（简称导数（在点t 处的导数导矢），），记作导矢），记作 dA/dt 或 A′ ( t ) 。
13

矢量分析-PPT

0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ

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"# = # 0
" 2# = 0 , 除了 x = ± a, y = 0
!
" # "$ = 0 !
!
!
例题1-3 ：用直角坐标系中的单位矢量表示图中各个矢量（1）矢量A=oP在xoy平面内，其复数形式为 re
j!
，其中x 轴为实轴，y轴为虚轴；
（2 ）矢量A=oQ在zoP平面内，长度l，A与z轴夹角 ! ，矢量A与z轴构成的平面与x 轴的夹角等于
例题 1-7: 已知直角坐标系中的矢量 A = a x x + a y xy ，求该矢量在圆柱和圆球坐标系中的表达式。
2
解题分析：弄清楚直角坐标系、圆柱坐标系和圆球坐标系及其单位矢量关系。在直角坐标系中矢量可以直接运算，在圆柱坐标系中只有 ! 相同的矢量可以直接运算，而在圆球坐标系中的矢量一般不能直接运算。
A = [x 2
"ax % $ ' xy 0]$ay ' = [ r 2 cos 2 ( $ #az ' &
"ar % "cos ( ) sin ( 0%"ar % $ ' $ ' $ ' 1 2 0]$sin ( cos ( 0'$a( ' = [ r 2 cos ( 0 0]$a( ' 2 r sin2( $ $ 0 1' # 0 &$ #az ' & #az ' &
"•E =
#( ax • E ) #( ay • E ) #( az • E ) + + = j ( E 0 x kx + E 0 y k y + E 0 z k z )e j ( k •r$%t ) = jk • E = 0 #x #y #z
!
ax $ "#E = $x E 0 x e j ( k • r % &t )
# 2c r 2 Ar ) = ( r #r r
2
ar 1 ! ! 旋度： # " A = r 2 sin % !r c
ra% ! !% 0
a$ r sin % ! =0 !$ 0
由此可见该矢量场满足静电场的基本特征：有散无旋场，静电场的场源为圆球坐标系中具有体电荷密度分布为 2c / r 。
例题1-2 ：已知两个标量场 f (x, y, z ) = e
! x2 + y2 + z 2
(
)， g (x, y, z ) = x + y + z ，计算点（1，0，0）
处的梯度 !f 和 !g ，以及上述两梯度矢量的标积 !f • !g 和矢积 !f " !g 。
解：根据标量函数梯度的定义，在直角坐标系统中
"f =
2 2 2 !f !f !f "f "f "f ax + a y + az , = #2 xe# R , = #2 ye# R , = #2 ze# R "x "y "z !x !y !z
"2E =
[
]
!
"2E !2E !2E !2E 2 j (k •r !#t ) 2 = E0 j 2 k x e = !k x E ，同理可得，由于 + + 2 2 2 2 "x !x !y !z
"2E "2E 2 2 j (k •r !#t ) 2 2 2 j (k •r !#t ) 2 = E0 j 2 k z e = !k z E ，故 ! 2 E + k E = 0 ， = E j k e = ! k E 0 y y 2 2 "z "y
[
]
A = a r r 2 cos" = ( a R sin # + a# cos # ) R 2 sin 2 # cos"
!
正交曲线坐标系的度量因子（尺度因子）
2 -1/ 2 *3# & " G hi = ,)% k ( / ，i=1,2,3 , + k =1 $ "ui ' / .
!
其中 u i (i = 1,2,3)是正交曲线坐标系的坐标，
!
#ar & #sin ) cos) 0&# ar & % ( % (% ( 2 A = r1 cos " 0 0 %a" ( = [ r 2 sin 2 ) cos " 0 0]% 0 0 1(%a) ( % % $cos) * sin ) 0( '% $az ( ' $a" ( ' # ar & % ( = [ r 2 sin 3 ) cos " r 2 sin 2 ) cos ) cos " 0]%a) ( % $a" ( '
!；
（3）矢量A=PR在xoy 平面内，其复数形式为 re
j (" +! / 2 )
，其中x轴为实轴，y轴为虚轴；
（4）矢量A=QT在zoQ平面内，长度等于1 且与矢量oQ垂直；（5）矢量A=QS垂直平面zoQ，长度等于1。解题分析：知道空间矢量与直角坐标轴之间的夹角，因此根据方向矢量的定义可以获得该矢量。利用矢量关系运算得到新的矢量。一个方向矢量的单位矢量等于方向矢量与其模之比。矢量的分解和合成关系。长度矢量和方位角矢量。
!
而 G1 ( u1, u2 , u3 ) = x ， G2 ( u1, u2 , u3 ) = y ， G3 ( u1, u2 , u3 ) = z 。正交曲线坐标系中的单位矢量之间的关系
!
ai = ax
!3 "G! "G 2 "G 1 + ay + az ，i=1，2 ，3 hi"ui hi"ui hi"ui
利用圆球坐标系： " =
# SE • dS =
#V$ • EdV =
#V (z 2 + x 2 + y 2 )dV =
#r
0
2
5 % 4 & % r 2 dr = 4 5 &a
"= = ! ! ! =
%
2# 2#
2$ 0
d# % 0 d& ( xz 2 a x + ( x 2 y ' z 3 ) a y + (2 xy + y 2 z) a z ) • ( xa x + ya y + za z ) R sin &
z
θ
l o
Q
S
z Q S R y o x y o x S P
z R T Q y P
T R
θ
l r
r x
φ
P
φ
r
φ
空间解析几何。
在xoy 平面内以原点为圆心半径为r 的圆是矢量oP的矢端轨迹，圆周上任意一点的法向单位矢量和切向单位矢量为： ar = ax cos " + ay sin ", a" = # ax sin " + ay cos " 设Q为z轴上的一点，坐标（0 ，0，z），那么矢量PQ可以表示为
A = a z z !! ra r = !a x r cos " ! a y r sin " + a z z
矢量PS与矢量PQ的矢积可以计算为
B = a" ! A = a r z + a z r .
例题1-4:已知矢量A ，B ，C 分别为：A=ax+2ay-3az，B=-4ay+az，C=5ax-2az，求：（1 ）aA；（2 ） |A-B| ；（ 3 ） A•B ；（ 4 ） θ AB ；（ 5 ） A×B ；（ 6 ） A • （ B× C ）； C• （ A× B ）；（ 7 ） A× （B×C ），（A×B）× C）；解题分析：弄清楚标量、单位矢量、矢量的概念及其表示方法；理解矢量的基本运算—标积和矢积；清楚矢量的矢积和标积的几何意义；会用行列式表示矢量的矢积明白矢量运算的结果是标量还是矢量，特别注意运算过程中的矢积运算次序不能随便交换。
(1)"e ck # r = cke ck # r ,(2)" • ( Ae ck # r ) = ck • Ae ck # r ,(3)" $ ( Ae ck # r ) = ck $ Ae ck # r
解题分析：弄清楚标量场和矢量场的概念，理解标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念，
!
明白场量运算符∇ 这一微分矢量，领会梯度、散度和旋度的物理意义。一座山的梯度：爬山很累，上山台阶绕山铺设，盘山公路，不会从山脚直线到山顶建路，避免梯度最大。最优化方法中要利用最速下降法，也就是梯度最大的反方向搜索最优点。
ay $ $y E 0 y e j ( k • r % &t )
az $ $z E 0 z e j ( k • r % &t )
= ax ( E 0 z ky % E 0 y k z ) + ay ( E 0 x kz % E 0 z k x ) + az ( E 0 y kx % E 0 x k y ) je j ( k •r%&t ) = jk # E
矢量分析例题1-1 ：在无界自由空间中，有一种矢量场 A = c "
xax + yay + zaz
(x 2 + y 2 + z2)
1/ 2
，其中c 为常数。只知道这
种矢量场是电位移矢量 D 或者磁感应强度 B ，判断该矢量场属于何种电磁场？并说明场源的分

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