2019届一轮复习高考数学(理)：第17单元 随机变量及其分布

第十七单元 随机变量及其分布

教材复习课

“随机变量及其分布”相关基础知识一课过

[过双基]

1．条件概率 (1)定义

设A ，B 为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P AB

P A 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条

件概率．

(2)性质

①0≤P(B|A)≤1；

②如果B 和C 是两个互斥事件，则P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．事件的相互独立性 (1)定义

设A ，B 为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质

①若事件A 与B 相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． 3．独立重复试验

在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．A i (i ＝1,2，…，n)表示第i 次试验结果，则P(A 1A 2A 3…A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )．

[小题速通]

1．一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互

独立的，遇到红灯的概率都是1

3，遇到红灯时停留的时间都是2 min.则这位家长送孩子上学到第三个路口

时首次遇到红灯的概率为( )

A.1

3 B.

2

27 C.

4

27

D.

5

27

解析：选C 设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的

概率为P(A)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝4

27

.

2．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同)，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，若两球的号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是( )

A.624625

B.96

625

C.16

625

D.

4

625

解析：选B 由题可得，一次摸球中获奖的概率为p ＝5＋1C 26＝2

5

.所以4人中恰有3人获奖的概率为C 34

⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96

625

. 3．设由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)＝________.

解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝1

2

，第一位数字为0且第二位

数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P(AB)＝12×12＝14，所以P(A|B)＝P AB

P B ＝1

412

＝12

.

答案：12

[清易错]

1．P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同

前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率． 2．易混“相互独立”和“事件互斥”

两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．

1．在我国的传统节日“端午节”这天，小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A ＝“取到的两个为同一种馅”，事件B ＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P(B|A)＝( )

A.3

4 B.14 C.

1

10

D.

3

10

解析：选A 由题意知，事件A 包含的基本事件有4个，事件B 在事件A 的基础上，所包含的基本事件有3个，则P(B|A)＝3

4

.

2．某知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．

解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能．

由相互独立事件概率计算公式得，所求概率P ＝(0.2＋0.8)×0.2×0.82＝0.128. 答案：0.128

[过双基]

1．均值

(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：

则称E(X)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. (3)①若X 服从两点分布，则E(X)＝p ； ②若X ～B(n ，p)，则E(X)＝np. 2．方差

(1)设离散型随机变量X 的分布列为：

则(x i －E(X))2描述了x i (i ＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝

i ＝1

n

(x i

－E(X))2p i

为这

些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X 的方差，并称其算术平方根

D X 为随机变量X 的标准差．

(2)D(aX ＋b)＝a 2D(X)．

(3)若X 服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (4)若X ～B(n ，p)，则D(X)＝np(1－p)． [小题速通]

1．已知随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝1

3，k ＝1,2,3，则E(3X ＋5)＝( )

A ．6

B ．9

C ．11

D ．14