差分方程模型实例分析
差分方程建模示例1
生存资源是重要的因素，修改的模型为： 其中－ b xn2为竞争或约束项，r、b 称生命系数 记a=r+1，那么 xn+1= a xn- bxn2 这是一个如下非线性映射的迭代 f(x)=ax-bx2 数据观察 (迭代计算与国家统计局发表数字比较) 基本接近 存在极限值
四．问题的讨论和分析
●
Logistic映射
分叉值如何求?
依赖于数值方法 任务：求分叉值和画分叉图
2．浑沌与遍历性 当c*<a<4时，Logistic映射进入浑沌区域.反映出 的是： ■ 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期 轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何 一个子区间(a,b)内都会出现无数次.这是浑沌的 敏感性： 轨道表现出对初始条件的强烈敏感 性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的轨 道也终将以某种方式分离. ■ 存在周期小窗口 浑沌区域内某些地方仍有倍 周期分叉，例如a＝3.835附近
■
这四个数满足
x f ( x), x f ( x), x f ( x), x f ( x),
4 2 3
称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点 又失稳)
若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定周 期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依 次出现周期16点，周期32点…. ，(请考虑什么是周期 n) 这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值c1=3, c2=1+61/2…构成一个单调增加的数列{ck}.其极限值为 c*=3.569945557391…。
差分方程建模示例1:人口增长模型
●
Malthus 模型
设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末 时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为 r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原 人口数成正比,从而 xn+1＝ xn ＋r xn 即 xn+1 = a xn 其中 a=r+1.
差分模型 (1)讲解
以t 表示时间，规 定t只取非负整数。t=0 表示第一周期初，t=1表示第二周期初。 记 yt 为变量y在时刻t 时的取值，则称
yt yt 1 yt; y(t ) y(t 1) y(t )
为 yt 的一阶差分，称 2 yt ( yt ) yt 1 yt ( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt . 为的二阶差分。
也是方程（2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（2）也成立。
例3 试改变差分方程 3 yt 2 yt 0 的形式. 例4试确定下列差分方程的阶.
(1) yt 3 yt 2 yt 4 0;(2) 5 yt 5 3 yt 1 7.
a0 ynt a1 ynt 1 L an yt b(t )
的形式，其对应的齐次方程为
（1）
a0 ynt a1 ynt 1 L an yt 0 （2） ( 2) (1) 容易证明，若序列 y t 与 y t 均为方程（2）的解，则
yt c1 yt(1) c2 yt( 2 )
P 记t时段初市场上的供应量 (即上 P0 一时段的生产 量)为xt ，市场上 该商品的价格 为Pt 。商品成交的 价格是由需求曲线决定的， 即 P2 P* 1 Pt g ( xt ) P1 , Mt将趋于平衡点 随着 t M*,即商品量将趋于平衡 量x*,价 格将趋于平衡价 格P*。图中的箭 o 线反映了在市场经济下该商品的 供应量与价格的发展趋势。 P
图①和图②的区别在哪里， 不难看出，在 图①中平衡点 如何判定平衡点的稳定 性呢？ M *处供应曲线的切线斜率大于 需求曲线切线斜率的绝对值， 而在图②中情况恰好相反。
第三节 差分方程建模举例
第三节差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。
当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。
然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。
另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。
有时还需要找出决定变量的初始条件。
有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。
模型1 种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。
建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型假设与模型建立：第n年的虫口数目为，每年一个成虫平均产卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：，这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为，故减少数应当与它成正比，从而有：这个模型可化成：，这是一阶非线性差分方程。
这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法，即（14）式来获得。
如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。
这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。
第三章差分方程模型
基本模型
w(k)~第k周(初)体重 (kg) , k=1,2,…
c(k) ~第k周吸收热量 (kcal)
~热量转换系数
平均8000kcal增加体重1kg
=1/8000(kg/kcal)
~代谢系数(因人而异).
w(k 1) w(k) c(k) w(k), k 1,2,
xk 1 axk b, x0已知，k 0,1,2,
a,b~常数
• 由x0按照方程递推计算x1, x2, …
• 求解公式
xk
ak (x0
b ) b , 1 a 1 a
k 1,2,
a <1
k→∞,
xk
x
b 1 a
~稳定平衡点
2. 二阶线性常系数差分方程
xk 2 a1xk 1 a2 xk b, x0 , x1已知， k 0,1,2,
k=n递推至k=１
xn= na+ar(1+2+…+n)
a =3000, r =0.035/12, n =125 (月)
xn= 196,012.50
等额本息贷款和等额本金贷款
房贷计算器的选项 • 贷款类别：商业贷款, 公积金, 组合型 • 计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算. • 按揭年数：可选１至30年. 选择20年.
2）代谢引起的体重减少正比于体重, 每周每千克 体重消耗200 ~ 320kcal (因人而异). 体重70kg每天消耗2000 ~ 3200kcal.
3）运动引起的体重减少正比于体重, 且与运动 形式和运动时间有关.
模型假设
4）为了安全与健康, 每周吸收热量≥10000kcal,且每周 减少量≤1000kcal; 每周体重减少量≤ 1.5kg.
高数第七章(14)差分方程的简单应用
C
ac bd
可 得C
P0
ac bd
，
从 而Pt
P0
ac bd
d b
t
ac bd
.
2.分析市场趋向的种种形态
1 d 1
b
lim
t
Pt
ac bd
Pt
这说明市场价格趋于平衡，且特解Pt
ac bd
是一个平衡价格.
2 d 1
b
lim
t
Pt
这说明市场价格的波动越来越大，且呈发散状态.
3 d
bபைடு நூலகம்
生
产
者
在
下
一
时
期
愿
意提
供
给
市
场
的
产
量St
，
1
还 决 定 着 本 时 期 该 产 品的 需 求 量Dt， 因 此 有 Dt a bPt，St c dPt1
其 中a，b，c，d均 为 正 常 数
假设每一时期的价格总是确定在市场售清
的水平上，即St Dt .
1.求价格随时间变动的规律；
2.讨论市场价格的种种变化趋势.
这是一个二阶常系数线性非齐次差分方程.
易求其方程的通解为
C 1λ
t 1
C 2λ
t 2
G 1 α
(若Δ
0)
yt
(C 1
C 2 )λ t
G 1α
(若Δ
0)
γ
t
(C 1
cosθ
t
C2
s inθ
t)
G 1 α
(若Δ
0)
随着，的取值不同，国民收入随时间呈现不同的规律.
二、小结
数学模型(差分方程)
定义为
X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k
k 0 k
其中z是复变量，因此级数 x(k ) z 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X ( z)
的Z反变换记作 x(k ) Z 1[ X ( z)]
(k )
1.几个常用离散函数的变换
一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k ) 0 (n k , k 1,) (1)
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 ( n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3x 2 5 x 2 0
x 其根为：1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
令l k N
特别地 Z[ x(k 1)] z[ X ( z) X (0)] 证 ： Z[ x(k N )] x(k N ) z
k 0 N
l l 0
k
x(l ) z
l N
l N
z
N
=z [ x(l ) z x(l ) z l ] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
差分方程的通解为：
t
mi
重根，则该
h(n) h1 (n) h2 (n) ht (n) hi (n)
差分方程及其建模举例
差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
差分方程模型
设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x
第二讲 简介_差分方程模型与案例
第二讲简介_差分方程模型与案例1.1 差分方程的基本定义差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型。
现实中的问题通常是连续变化的，但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述。
为了表述这一类的数学模型，我们引入了差分方程的方法。
1.2 一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程的一般形式差分方程的平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件1.3高阶线性常系数差分方程n 阶线性常系数差分方程的一般形式称方程011...0k n k n n k a x a x a x ++-+++= (*)为对应的齐次方程设方程(*)有形如kk x λ=的解,则有 特征方程特征根(假定有k 个不同的实根,其它情形参见资料《差分方法建模理论与案例》)平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件所有特征值的模均小于11.4非线性差分方程建模案例：题目1 濒危物种的自然演变和人工孵化问题：Florida 沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在自然环境下，年平均增长率为 -3.24%。
如果在某自然保护区内开始有100只鹤，每年人工孵化5只鹤放入该保护区，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。
模型及其求解记第k 年沙丘鹤的数量为x k ，自然环境下的年平均增长率为r ，记a =1+r ，每年孵化的数量为b ，则第k +1年鹤的数量为,2,1,0,1,1=+=+=+k r a b ax x k k模型分析讨论时间充分长以后沙丘鹤数量的变化趋势, 即k →∞时x k 的极限状态。
,2,1,0,11)1(010=--+=++++=-k a ab x a aa b x a x kkk k k当a <1即r <0时x k →x =b /(1-a )。
MATLAB演示计算计算并作图，程序如下：子程序：function x=exf11(x0,n,r,b)% 建立名为exf11的函数M文件，x0,n,r,b可调节a=1+r;x=x0; % 赋初值for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b; % 按照（3）迭代计算end主程序:clc; clf; clear all% x0:初始值；r=-0.0324; b:人工孵化数x0=100;n=20;b=5; r=-0.0324;% 给定x0,n,r，b,调用exf11计算k=(0:n)';y=exf0201(x0,n,r,b);plot(k,y,'r*-'),title('Florida 沙丘鹤数量变化趋势');% 在图上做标记（运行结果显示）题目2 汽车租赁公司的运营问题:一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。
差分方程模型应用
金融市场预测
自回归移动平均模型（ARMA）
01
通过差分方程刻画时间序列数据的自相关和移动平均特性，用
于金融市场价格波动的预测。
自回归条件异方差模型（ARCH）
02
应用差分方程描述金融时间序列数据的波动率聚类现象，提高
波动率预测的精度。
随机波动率模型（SV）
03
将波动率视为随机过程，通过差分方程刻画其动态特性，用于
将差分方程模型应用于计算机视觉领域，如目标跟踪、人脸识别、 三维重建等。
06
差分方程求解方法及数值计 算技巧
解析法求解差分方程
迭代法
通过逐步代入的方式，求解差分方程的解， 适用于简单的一阶或二阶差分方程。
特征根法
通过求解差分方程的特征根，进而得到通解的方法 ，适用于线性常系数差分方程。
变换法
通过适当的变换，将差分方程转化为易于求 解的形式，如z变换等。
数值法求解差分方程
欧拉法
一种简单的数值求解方 法，通过逐步逼近的方 式得到差分方程的数值 解。
龙格-库塔法
一种高精度的数值求解 方法，通过多步迭代和 加权平均的方式提高求 解精度。
线性多步法
利用已知多个点的信息 来构造高阶逼近式，从 而提高求解精度和稳定 性。
编程实现和案例分析
01
Python编程实现
金融衍生品定价和风险管理。
03
差分方程模型在物理学中应 用
振动与波动现象描述
振动现象建模
差分方程模型可用于描述物体的振动现象，如弹簧振子、单摆等。通过差分方程，可以分析振动的周期性、振幅、 频率等特性。
波动现象建模
差分方程模型也可用于描述波动现象，如声波、光波等。通过差分方程，可以研究波的传播速度、波长、波幅等 参数。
差分方程模型
xk 1 g( yk )
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
3、模型求解
在同一坐标系中同时做出 供应函数和需求函数的图形 ，设两条曲线相交于 P0 (x0, y0 ) 则 P0为平衡点。因为此时
解 令 Z[x(k)] X (z) ，对差分方程取 Z 变换得
z2 X (z) z 3zX (z) 2 X (z) 0
z
zz
X (z) z2 3z 2 z 1 z 2
对上式取 Z 反变换，便得差分方程的解为
x(k ) (1)k (2)k
1、问题的提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波 动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种 商品的价格的变化看到如下现象：在某一时期，商 品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得 该商品无利可图，转而经营其他商品，一段时间之 后，随着产量的下降，供不应求又会导致价格上 升，又会有很多生产商进行该商品的生产，随之而 来的是商品过剩，价格下降。在没有外界干预的情 况下，这种现象会反复出现。
a0n a1n1 an 0
2.根据特征根的不同情况，求解齐次方程的通解
若特征方程有 n 个不同的实根1,,n，则齐次方程 的通解为 c11t cntn ；
若 是特征方程的 k 重实根，则齐次方程的通解 为(c1 ck t k 1)t ；
若特 征方程有单重复根 i ，则齐次方程的通 解为 c1 t cost c1 t sint ，其中 2 2 为 的模，
arctan 为 的幅角；
若特征方程有 k 重复根 i，则齐次方程的通解为
(c1 ck t k1 ) t cost (c1 ck t k1 ) t sint
差分方程模型介绍
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2
∗ 以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
xn = (1 + r ) M
n
∗ 例2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固 定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ ∗ 记第k天的污水浓度为Ck,则第k+1天的污水浓度为 Ck+1=(1q)Ck, k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得
模型及其求解
∗ 记一棵植物春季产种的平均数为C,种子能活过一个冬天的 (1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天 的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽 率a2。 ∗ 设C,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 ∗ 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决 定的部分是 a1bCXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bCXk-2
• 用矩阵表示
x1 (k + 1) 0.6 0.2 0.1 x1 (k ) x2 (k + 1) = 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k + 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
λ1,2 < 1, xk → 0(k → ∞)
λ 1, 2 > 1, x k → ∞ ( k → ∞ )
差分方程模型
结果分析： 可以看到，对于不同的b，xk的变化规律有较大差 别。为了研究这种差别的机理，需要得到方程（10） 的表达式。注意到一阶差分方程（3）的解为（5）式， 对于二阶差分方程可以寻求形如xk=λk的解，将其代 入（10）式得 2 p q 0 （11） 代数方程（11）称为差分方程（10）的特征方程， 方程（11）的根 p p 2 4q 1,2 丘鹤数量的变化趋势，即 k→∞时xk的极限状态。 在自然环境下（3）式的解得形式为 xk =akx0， a=1+r， k=0,1,2,… （5） 显然当a>1（即r>0）时xk →∞，而a<1（即r<0）时 xk →0，表明在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒 于灭绝。 在人工孵化条件下由（4）式可得 xk=akx0 +b(1+a+…+ak-1) =akx0 +b(1- ak-1)/(1-a) ， k=0,1,2,… （6） 当a<1（即r<0）时xk →x= b/(1-a) 。对于充分大的k用 （4）式计算xk的结果如图表示：
例2 污水处理厂每天可将处理池的污水（中含 污物）浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能 使污水浓度降低一半？
记第k天的污水浓度为ck ，则第k+1天的污水 浓度为 ck+1=(1-q) ck, k=0,1,2,… （2） 从K=0开始递推n次可得cn=(1+r)n c0,以cn=c0/2， lg 2 n 代入可解出 ，n天后污水浓度降低一半。
function x=minos1(x0,n,r)%建立名为minos1的函数M文件，x0， n，r可以调节 a=1+r; x=x0;%赋初值 for k=1:n x(k+1)=a*x(k);%按照（3）迭代计算 End >> k=(0:20)'; >> y1=minos1(100,20,0.0194); >> y2=minos1(100,20,-0.0324); >> y3=minos1(100,20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3']),%对结果四舍五入取整数 >> plot(k,y1,k,y2,‘*’,k,y3,‘--’)%将三条线画在一个图上 >> gtext('r=0.0194'),gtext('r=-0.0324'),gtext('r=-0.0382'),%在图 上做标记 >> grid on
差分方程
1
2
3
5
NUDT
差分方程及其应用
第n个月家兔的对数 P(n)
|| 成兔对数 a (n) b(n) 幼兔对数 P(n) a(n) b(n)
第n+1个月家兔的对数 P(n 1)
|| 成兔对数 a (n) b(n) a (n) 幼兔对数
a(n) b(n) a(n 1) P(n 2) a(n 2) b(n 2)
一阶差分方程
x(t 1) f ( x(t )),
xk 1 f ( xk ),
t 0,1, 2,
k 0,1, 2,
n 阶差分方程
x1 (t 1) f1 ( x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )) x (t 1) f ( x (t ), x (t ),, x (t )) 2 2 1 2 n t 0, 1, 2, xn (t 1) f n ( x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ))
MATHEMATICA
NUDT
差分方程及其应用
贷款分别为5000，20000，25000的还款情况比较
25000 20000 15000 10000 5000
5
10
15
20
25
30
NUDT
差分方程及其应用
例3 冰箱冷藏室的温度调节在50C。饮料放在冷藏室后每 分钟温度的变化与冰箱温度和饮料温度的差成正比，通过 实验知比例系数约为0.008。设饮料放入冷藏室n分钟后为 tn，求其温度变化遵循的差分方程。
xn1 kxn (1) (2)
n 齐次方程（2）的通解为 xn k x0
设 Cn C 为常数，方程（1）有常值解 xn B ，则
数学建模方法之差分方程模型
数学建模方法之差分方程模型差分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它基于差分方程来描述问题，并用差分方程来求解问题。
所谓差分方程，是指用差分代替微分的方程，它是一种离散的模型。
在实际问题中，很多情况下，并不能直接通过微分方程来描述问题，而差分方程模型则可以通过离散化的方法来近似地描述问题。
差分方程模型的优点之一是可以适用于离散化的数据，对于实际问题的离散化模型建立是非常有帮助的。
差分方程模型的另一个优点是可以通过数值方法来求解，不需要进行繁琐的解析推导，因此适用于复杂问题的求解。
差分方程模型的基本形式为：yn+1 = fn(yn, yn-1, ..., yn-k)其中，yn表示第n个时刻的解，fn是一个给定的函数，表示通过前k个时刻的解来计算第n+1个时刻的解。
这个方程是离散的，通过已知的初始条件来逐步递推获得结果。
差分方程模型的适用范围非常广泛，可以用于描述和预测各种动态过程。
例如，差分方程模型可以用来描述人口增长模型、生态系统模型、传染病模型等等。
在这些例子中，差分方程模型可以通过已知的数据和初始条件来预测未来的发展趋势。
差分方程模型的建立步骤主要包括以下几个方面：1.确定问题的描述和目标：明确问题的背景和目标，确定需要建立差分方程模型的原因和用途。
2.确定模型的变量和参数：根据实际问题，确定需要用到的变量和参数。
3.确定差分方程的形式和函数：根据问题的特点和要求，选择合适的差分方程形式和函数。
这部分需要结合实际问题和数学方法来确定。
4.确定初始条件和边界条件：确定差分方程模型的初始条件和边界条件。
这部分是求解差分方程的前提条件。
5.差分方程的求解和分析：通过数值方法求解差分方程，得到数值解，并对结果进行分析和解释。
差分方程模型
根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡): 跑步 7.0 跳舞 3.0 乒乓 4.4 自行车(中速) 游泳(50米/分) 2.5 7.9
在整个过程中，离散变量 Fk 的变化规律为
Fk 1 Fk (1 r ) p, k 1, 2, N 1, Fk 1 Fk (1 r ) - q, k N , N 1, M
以25岁投保为例，假设男性平均寿命为75岁，则 p 200, q 2282 , N (60 25) 12 420, M (75 25) 12 600, 初始值为 F0 0,
Ak 1 aAk b,
a 1 r,
a 1 k Ak 1 aAk b, （a 1 r） , Ak A0a b r (1)岁末尚有多少钱？计算 Ak 的值。
k
(2)多少岁是将基金用完？ Ak 0 k ? (3)如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？
分 析
• 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加
• 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— —每8000千卡增加体重1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
k
q q M N 可以求出， （ 1 r） (1 )(1 r ) 0 p p r ? (r=0.00485数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~ 正常； BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
差分的简单经济应用
解
1.由Dt
St可 得 ，Pe
ac； bd
2.由 题 意 可 得
Pt Pt1 St1 Dt1
Pt1 a bPt1 c dPt1 即 Pt 1 b d Pt1 a c
这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程.
其齐次方程的通解为
Pt C1 b dt
原方程的一个特解为
例4 消费模型设yt为t时期国民收入，Ct为t时 期
消 费，It为t时 期投 资， 他 们之 间有如 下的 关系 式
Ct＝yt a
I
t
yt
b
yt yt1 yt1 Ct1 It1
其中，，a，b和均为常数，且0 1，
0 1，0 1，0 1，a 0，b 0.
例2设Pt , St和Dt分别为某种商品在t时刻的价格、 供给量和需求量，这里t且取离散值， St c dPt，Dt a bPt , 这里a，b，c，d均为正常数.
Pt Pt1 St1 Dt1（ 其中为常数）.
1.求供需相等时的价格Pe (均衡价格）； 2.求商品的价格随时间的变化规律.
的
本 利 和.
解
St1 St rSt
即
St1 1 r St 0
Hale Waihona Puke 这是一个一阶常系数线性齐次差分方程.
特征方程为 1 r 0，
特征方程的根为 1 r，
于是齐次方程的通解为 St C1 rt
代入初始条件，得C S0
因此，t年末的本利和为 St S01 rt .
这就是一笔本金S0存入银行后，年利率为r， 按年复利计息，t年末的本利和.
Pt
ac bd
Pe
原方程的通解为
Pt C1 b dt Pe
由于初始条件P0一般已知，故由P0 C Pe 可得C P0 Pe，
差分方程例子精品
第八章 差分方程模型差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。
8.1个人住房抵押贷款随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。
1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列:表8.1 中国人民银行贷款利率表贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率﹪ 6.126.396.667.207.56当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。
其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整。
表8.2和表8.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。
表8.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 利率﹪ 6.12 6.2256.3906.5256.660表8.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 月还款（元） 到期一次还清 本息总和（元） 10612.00444.3610664.54 305.99 11015.63237.26 11388.71196.41 11784.71一个自然的问题是,表8.2和表8.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为 6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。
然而二年期贷款的年利率为6.225﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。
由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。
设贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，月还款m 元,则由A k 变化到A k +1,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。
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w(k 1) (1 )w(k ) Cm
w(k n) (1 ) w(k ) Cm[1 (1 ) (1 ) ]
n n1
Cm Cm (1 ) [ w(k ) ]
n
1 以 0.025 , , Cm 10000 代入得 8000
C ( t )w
• 不运动 C 8000 0.025 75 15000(千卡) • 运动(内容同前) C 8000 0.028 75 16800(千卡)
7.3 差分形式的阻滞增长模型
连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)
x (t ) rx(1 ) x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口) x N t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)
基本模型
w(k) ~ 第k周(末)体重 c(k) ~第k周吸收热量
w(k 1) w(k ) c(k 1) w(k )
1 8000(千克 /千卡） ~ 代谢消耗系数(因人而异)
1）不运动情况的两阶段减肥计划 • 确定某甲的代谢消耗系数 每周吸收20000千卡 w=100千克不变
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数
yk f ( xk )
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
f g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
方程模型与蛛网模型的一致
Kf
1/ K g
结果解释 结果解释
考察 , 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
yk y0 ( xk x0 )
~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度
xk 1 x0 ( yk y0 )
~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 ~ 消费者对需求的敏感程度 ~ 生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减 少，直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。
讨论 x* 的稳定性
补充知识
一阶非线性差分方程 xk 1 f ( xk ) (1) 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
* * * x f ( x ) f ( x )( x x ) (2) (1)的近似线性方程 k 1 k
稳定性判断
* f (x ) 1
分 析
• 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加
• 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— —每8000千卡增加体重1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x
P3
P2
曲线斜率
K f Kg
P1 x1 x
g
P4
y0 0
P2
K f Kg
x2 x0 x3
方程模型
在P0点附近用直线近似曲线
yk f ( xk )
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
k 10
第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克 吸收热量为 c(k 1) 12000 200 k , k 0,1,9
1）不运动情况的两阶段减肥计划
• 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克 基本模型 w(k 1) w(k ) c(k 1) w(k )
1 经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
y y0 0 y g f g f x
1. 使 尽量小，如 =0 需求曲线变为水平
以行政手段控制价格不变
2. 使 尽量小，如 =0
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0 x0
x
模型的推广 生产者管理水平提高
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
w(k n) 0.975 [w(k ) 50] 50
n
• 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克
w(k n) 0.975 [w(k ) 50] 50
n
已知 w(k ) 90, 要求 w(k n) 75， 求n
75 0.975 (90 50) 50
二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2xk 2 xk 1 xk 2(1 ) x0
k k x c c 方程通解 k (c1, c2由初始条件确定) 1 1 2 2
1, 2~特征根，即方程 2 0 的根
w(k 1) w(k ) c(k 1) ( t ) w(k )
t~每周运动 时间(小时)
取t 0.003 ,即t 24
( 0.025) t ( 0.028) Cm Cm n w( k n ) (1 ) [ w( k ) ]
n
lg(25 / 40) n 19 lg 0.975
第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按
w(n) 40 0.975n 50 (n 1,2,,19) 减少至75千克。
2）第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡): 跑步 7.0 基本 模型 跳舞 3.0 乒乓 4.4 自行车(中速) 游泳(50米/分) 2.5 7.9
75 0.972n (90 44.6) 44.6
n 14
运动 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可。
3）达到目标体重75千克后维持不变的方案
每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变
w(k 1) w(k ) c(k 1) ( t )w(k ) w w C ( t )w
变量 代换
r yk 1 (r 1) yk 1 yk (r 1) N
r xk yk ( r 1) N
xk 1 bxk (1 xk ) (2)
一阶(非线性)差分方程
*
记 b r 1
(1)的平衡点y*=N
r 1 1 (2)的平衡点 x r 1 b
第七章
差分方程模型
7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长
7.1 市场经济中的蛛网模型
供大于求 价格下降
数量与价格在振荡 增加产量 价格上涨 供不应求
减少产量
现 象
问 题
描述商品数量与价格的变化规律 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
w(k 1) w(k ) c(k 1) w(k )
w(k ) w(0) k
1 8000 0.025
[ w( k ) 1]
1 c( k 1) w(0) (1 k )
12000 200 k Cm 10000
x x2
离散 形式
yk ~某种群第k代的数量(人口)
yk yk 1 yk ryk (1 ), k 1,2, N y*=N 是平衡点 若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N
讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
yk yk 1 yk ryk (1 ) (1) N
x1
0
y f ( x)
x0 x1 x2 x* 1 / 2
1
x
xk 1 bxk (1 xk ) 的平衡点及其稳定性
(2) 2 b 3
(3) b 3
y
x 1 1/ b 1/ 2
*
y
b/4
yx
yx
b/4
y f ( x)
y f ( x)
0 x0
x1 1 / 2
x
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
P P P P P P P P0 1 2 3 1 2 3 0
P0是稳定平衡点
y y2 y0 y3 y1 0 f g P4 P0 y
蛛 网 模 型 yk f ( xk ) xk 1 h( yk ) yk g ( xk 1 ) x1 y1 x2 y2 x3 设x1偏离x0 xk x0 , yk y0 xk x0 , yk y0
2
平衡点稳定，即k, xkx0的条件:
1, 2 1
2
( ) 8 1, 2 4
2
1, 2