算法大全差分方程模型
差分方程建模示例1
生存资源是重要的因素，修改的模型为： 其中－ b xn2为竞争或约束项，r、b 称生命系数 记a=r+1，那么 xn+1= a xn- bxn2 这是一个如下非线性映射的迭代 f(x)=ax-bx2 数据观察 (迭代计算与国家统计局发表数字比较) 基本接近 存在极限值
四．问题的讨论和分析
●
Logistic映射
分叉值如何求?
依赖于数值方法 任务：求分叉值和画分叉图
2．浑沌与遍历性 当c*<a<4时，Logistic映射进入浑沌区域.反映出 的是： ■ 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期 轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何 一个子区间(a,b)内都会出现无数次.这是浑沌的 敏感性： 轨道表现出对初始条件的强烈敏感 性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的轨 道也终将以某种方式分离. ■ 存在周期小窗口 浑沌区域内某些地方仍有倍 周期分叉，例如a＝3.835附近
■
这四个数满足
x f ( x), x f ( x), x f ( x), x f ( x),
4 2 3
称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点 又失稳)
若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定周 期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依 次出现周期16点，周期32点…. ，(请考虑什么是周期 n) 这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值c1=3, c2=1+61/2…构成一个单调增加的数列{ck}.其极限值为 c*=3.569945557391…。
差分方程建模示例1:人口增长模型
●
Malthus 模型
设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末 时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为 r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原 人口数成正比,从而 xn+1＝ xn ＋r xn 即 xn+1 = a xn 其中 a=r+1.
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
第八章差分方程模型
第八章 差分方程模型差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。
8.1个人住房抵押贷款随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。
1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列:表8.1 中国人民银行贷款利率表贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率﹪ 6.126.396.667.207.56当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。
其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整。
表8.2和表8.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。
表8.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 利率﹪ 6.12 6.2256.3906.5256.660表8.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 月还款（元） 到期一次还清 本息总和（元） 10612.00 444.36 10664.54305.99 11015.63237.26 11388.71196.41 11784.71一个自然的问题是,表8.2和表8.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为 6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。
然而二年期贷款的年利率为6.225﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。
由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。
设贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，月还款m 元,则由A k 变化到A k +1,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。
数学模型(差分方程)
定义为
X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k
k 0 k
其中z是复变量，因此级数 x(k ) z 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X ( z)
的Z反变换记作 x(k ) Z 1[ X ( z)]
(k )
1.几个常用离散函数的变换
一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k ) 0 (n k , k 1,) (1)
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 ( n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3x 2 5 x 2 0
x 其根为：1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
令l k N
特别地 Z[ x(k 1)] z[ X ( z) X (0)] 证 ： Z[ x(k N )] x(k N ) z
k 0 N
l l 0
k
x(l ) z
l N
l N
z
N
=z [ x(l ) z x(l ) z l ] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
差分方程的通解为：
t
mi
重根，则该
h(n) h1 (n) h2 (n) ht (n) hi (n)
数学建模中的差分法
用Euler法求出前三次逼近，初始条件为
t0 0, x0 1, y0 2, t 0.1
解
t1 t0 t 0.1
t2 t1 t 0.2 t3 0.3
( x0 , y0 ) (1,2)
第一组点： x1 x0 f (t0 , x0 , y0 )t x0 (3x0 x0 y0 )t 1 (3 2) 0.1 1.1
xk 1 axk b, k 0,1,2,, (1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
b . 即平衡点为 x 1 a
当k 时，xk x , 则称 x 是稳定的， 否则是不稳定的。
西北大学数学系
xk 1 axk b,
k 0,1,2,,
例1 从 t 0 出发并取 t 0.1 ，求下列初值问题 的近似解。
1 x, x x(0) 1
解
t0 0, x0 1 t1 t0 t 0.1
t2 t1 t 0.2 t3 0.3
x1 x0 f (t0 , x0 )t x0. (1 x0 )t 1 (1 1) 0.1 1.2
西北大学数学系
二阶差分
(xt ) xt 1 xt xt 2 xt 1 xt 1 xt
2 xt xt 2 2xt 1 xt
同理，可定义三阶差分等。 二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。 差分的性质：
(cxt ) cxt ( xt yt ) xt yt
(1)
b b xk 1 axk b , 1 a 1 a
b ab xk 1 axk , 1 a 1 a
差分方程模型
′( x * ) < 1 f f ′( x ) > 1
*
xk +1 = bx k (1 xk ) 的平衡点及其稳定性
平衡点 x = f ( x) = bx(1 x) 稳定性
f ′( x * ) < 1
b = r +1
另一平衡 点为 x=0
1 x =1 b
*
f ′( x * ) = b (1 2 x * ) = 2 b
现 象
问 题
描述商品数量与价格的变化规律 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格 时段商品数量; 第 时段商品价格 第 时段商品数量 消费者的需求关系 生产者的供应关系
y
需求函数
yk = f ( xk )
t z t = ( c 1 + c 2 t + + c d t d 1 ) λ 1 + c d +1 λ td +1 + + c p λ tp
– 有相等实根场合λ1=…= λd 有相等实根场合λ
– 复根场合λ1=a+bi=rei, λ2=a-bi=re-i 复根场合λ
t z t = r t ( c 1 e it + c 2 e it ) + c 3 λ 3t + + c p λ p t = r t ( c 1 c o s t + c 2 s in t ) + c 3 λ 3t + + c p λ p
β ~ 价格上涨 单位 (下时段 供应的增量 价格上涨1单位 下时段 单位, 下时段)供应的增量 α ~ 消费者对需求的敏感程度 β ~ 生产者对价格的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β 小, 有利于经济稳定
数学建模分类方法大全
最优化
模拟退火法
神经网络
遗传算法
分治算法
差分进化
蚁行算法
粒子群
不确定
模型
灰色系统
数理统计
模糊数学
聚类分析
无分类
模型名称
所在目录
1，国有企业业绩分化的数学模型
2，打假问题的机理数学分析
3，足球比赛排名问题
4，大象群落的稳定性分析
5，火车便餐最有价格方案
6，影院最优设计方案
7，国有企业业绩分化的数学模型
196
冲突目标
Minmax与maxmin
机会约束
约束满足概率性>P
矛盾约束
约束相互矛盾
单纯形法
木匠生产模型
注意步骤性。
215
组合模型
参数模型
动态规划
决策法
背包问题
排序问题程优化
黄金分割搜索法
还有二分搜索法
233
网络流
最大树
最大流
最短路
关键路线法
网络计划
布点问题
中心问题
重心问题
8，打假问题的机理数学分析
9，足球比赛排名问题
10，大象群落的稳定性分析
11，火车便餐最有价格方案
12，施肥效果分析
13，迷宫问题
14，锁具装箱问题
15，密码问题
16，席位分配模型
初等模型
17，双重玻璃窗功效模型
18，储存模型
优化模型
19，森林救火模型
20，消费者均衡模型
21，加工奶制品模型
数学规划模型
155
港口系统模型
改变参数时，改善情况的分析
164
离散概率模型
马尔可夫链
差分方程模型
差分方程模型差分方程： 把数列 {a n } 中的 a n 和前面的 a (0)i i n ≤< 关联起来的方程叫做差分方程，差分方程也叫递推关系。
例1：12121,2n n n a a na a a --=+⎧⎨==⎩ 其中，121,2a a ==就是初始值。
例 2:设第一月初有雌雄各一的一对小兔。
假定两个月后长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。
设第n 月末共有n F 对兔子，试建立关于n F 的差分方程。
解： 因第n 月末的兔子包括两部分，一部分为上个月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以12121n n n F F F F F --=+⎧⎨==⎩ n F 称为Fibonacci 数列。
差分方程的解法常系数线性齐次差分方程的解法形如1122+b 0n n n k n k a a b a b a ---+++= （1） 的差分方程，称为{}n a 的k 阶常系数线性齐次差分方程，其中i b 为常数，0,.kb n k ≠≥方程 1212+b ...0k k k k x x b x b --+++= （2）称为方程（1）的特征方程，其根称为特征根。
定理1（单根）设差分方程1122+b ...0,0n n n k n k k a a b a b a b ---+++=≠的特征方程1212+b ...0k k k k x x b x b --+++=有k 个相异的特征根12,,...,,k x x x 则1122...n n n n k k a c x c x c x =+++是一个通解，其中1,2,...,k c c c 为任意常数。
定理1（重根）设差分方程1122+b ...0,0n n n k n k k a a b a b a b ---+++=≠的特征方程1212+b ...0k k k k x x b x b --+++=有t 个相异的特征根12,,...,,t x x x 重数依次为12,,...,,t m m m 12...,t m m m k +++=且则差分方程的通解为12mmm1111122111...tj n j n j nn j j tj t j j j a c n x c n x c n x ---====+++∑∑∑。
差分方程模型
设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x
差分方程模型介绍
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2
∗ 以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
xn = (1 + r ) M
n
∗ 例2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固 定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ ∗ 记第k天的污水浓度为Ck,则第k+1天的污水浓度为 Ck+1=(1q)Ck, k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得
模型及其求解
∗ 记一棵植物春季产种的平均数为C,种子能活过一个冬天的 (1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天 的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽 率a2。 ∗ 设C,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 ∗ 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决 定的部分是 a1bCXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bCXk-2
• 用矩阵表示
x1 (k + 1) 0.6 0.2 0.1 x1 (k ) x2 (k + 1) = 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k + 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
λ1,2 < 1, xk → 0(k → ∞)
λ 1, 2 > 1, x k → ∞ ( k → ∞ )
差分方程模型
函数 y = f ( x )的二阶差分为函数 y的一阶差分的 差分 , 即 ∆ 2 y x = ∆ (∆ y x ) = ∆ ( y x + 1 − y x ) = ( y x + 2 − y x +1 ) − ( y x +1 − y x ) = y x + 2 − 2 y x +1 + y x
= ∆∆[3 x ( 2 ) + 6 x (1) + x ( 0 ) ]
= ∆[3∆x + 6∆x + ∆1]
( 2) (1)
= 6∆x (1) + 6∆x ( 0 ) = 6.
例6 设y = e 2 x，求 ∆2 y x . 解
∆y x = y x + 1 − y x
=e2( x +1) Nhomakorabea=e
2
2x
yx+n + a1( x) yx+n−1 +⋯+ an−1( x) yx+1 + an ( x) yx = f ( x) (2)
f ( x) ≠ 0
1.n阶齐次线性差分方程解的结构 阶齐次线性差分方程解的结构
yx+n + a1( x) yx+n−1 +⋯+ an−1( x) yx+1 + an ( x) yx = 0
方程中未知数下标的最 大值与最小值的差 称为差分方程的阶 .
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 由差分的定义及性质可知， 不同定义形式之间可以相互转换。 不同定义形式之间可以相互转换。 是三阶差分方程； 如y x + 5 − 4 y x + 3 + 3 y x + 2 − 2 = 0是三阶差分方程；
5 第3章 差分方程模型(一)
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
差分方程的解 {xk } 的极限 lim xk 刻画了动态过程
k
长期变化之后的结局. 极限 lim xk 与差分方程的平衡
k
点及渐进稳定性有密切关系. 对于一阶差分方程(3.1.2)式，令 xk 1 xk x ，就 得到一元代数方程 (3.1.5) x F ( x) (3.1.5)式的解 x x 就是(3.1.2)式的平衡点.
3.2.2 一阶线性常系数 非齐次差分方程
如果 r≠0，(3.2.4)式有且仅有平衡点 x b r . 容 易证明： 平衡点 x b r 是渐进稳定的当且仅当 −2<r<0. 平衡点 x b r 的渐进稳定性也属于全局渐 进稳定性.
3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化
是(3.1.2)式的常数解，并且有 xk 0, k 0,1, 2, .
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
对于二阶差分方程(3.1.4)式，令 xk 2 xk 1 xk x 就得到一元代数方程 x F ( x, x) (3.1.6)式的解 x x 就是(3.1.4)式的平衡点.
第3章
差分方程模型
3.2节
一阶线性常系数 差分方程及其应用
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
一阶线性常系数齐次差分方程形如： (3.2.1) xk 1 (1 r ) xk , k 0,1, 2, 其中 r 是常数. 在建模的时候，(3.2.1)式中的 xk 是实 际对象在第 k 时段的状态值，参数 r 是相邻时段的用 前差公式计算的增长率： xk 1 xk (3.2.2) r , k 0,1, 2, xk 由(3.2.2)式可见， (3.2.1)式的模型假设为 “用前差公式 计算的增长率为常数”.
第1讲：差分方程模型
特征
• 研究控制对象特征的手段 研究控制对象特征的手段
在研究实际问题时, 在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量 之间的关系, 之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系 这就是微分方程. 式,这就是微分方程. 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的, 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人 口数、生产周期与商品价格等, 口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有 可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 不管是微分方程还是差分方程模型， 不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得 到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解), ),既 到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既 使得到其解析解,尚有未知参数需要估计( 使得到其解析解,尚有未知参数需要估计(这时可利用 参数估计方法). 参数估计方法). 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论. 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
若有常数a是差分方程 的解 若有常数 是差分方程(1)的解 即 是差分方程 的解, F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程 的平衡点. 是差分方程(1)的平衡点 是差分方程 又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 又对差分方程 的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 都有 →∞), xn→a (n→∞ →∞ 则称这个平衡点a是稳定的 则称这个平衡点 是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中 b为常数 且a ≠-1, 0)的通解为 其中a, 为常数, 其中 为常数 的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点 由上式知 当且仅当 是其平衡点, 易知 是其平衡点 由上式知, |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点 是稳定的平衡点. ＜ 时 是稳定的平衡点
第三章_差分方程模型
第三章 差分方程模型§1、 差分方程设有未知序列{}k y ，称0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1）为n 阶差分方程。
若有)(k y y k =，满足0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解， 当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。
[例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。
设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。
[解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有⎩⎨⎧==+=++1,01012y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。
[例2] 汉诺塔问题将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。
现将此k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。
设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。
[解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。
所以，差分方程为⎩⎨⎧=+=+01201y y y k k§2、 差分方程的解法一.常系数线性齐次差分方程形如 0110=+++-++k n n k n k y a y a y a ——（1）其中n a a a ,,,10 为常数，且0,00≠≠n a a ，称为n 阶常系数齐次线性差分方程。
数学建模中的差分法
步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。
优点：容易编程计算。
西北大学数学系
例2 从 t0 出发并取 t 1
的近似解。 dN rN , dt
，求下列初值问题 N (0) N0
解 t0 0, N (0) N0
t1 t0 t 1 t2 t1 t 2 t3 3
(t, x, t) (1 ) f (t, x) f (x t , y t f (t, x)) 2 2
西北大学数学系
(t, x, t) (1 ) f (t, x) f (x t , y t f (t, x)) 2 2
(t, x, t) f (t, x)
yn1
yn
g(tn ,
xn ,
yn )t
步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。
西北大学数学系
对捕食模型
dx dt
3x
xy
dy
dt
xy
2
y
用Euler法求出前三次逼近，初始条件为
t0 0, x0 1, y0 2, t 0.1
解 t1 t0 t 0.1 t2 t1 t 0.2 t3 0.3
xk1 axk b, k 0,1,2,,
(1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
即平衡点为 x b . 1 a
当k 时，xk x, 则称 x 是稳定的， 否则是不稳定的。
西北大学数学系
xk1 axk b, k 0,1,2,,
(4)
平衡点为 x 0. 为了得到（4）零点的稳定性
我们求解方程（4）。
差分方程及其Z变换法求解
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr(k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。 单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
y (t ) y(kT )(t kT )
* n 0
[1/ 6 1/ 2(1) k 2 / 3(2) k ](t kT )
n 0
例4：求y[(k+2)T]+y[(k+1)]+0.24y(kT)=u(kT)在单位阶跃函数 作用下的解。初始条件y(0)=0, y(T)=1。
U ( z ) Z [1(t )]
z z 1
0.446 1.429 1.875 z ( z -1) ( z 0.4) ( z 0.6)
y(kT ) 0.446 1.429(-0.4)k -1.875(-0.6)k
y (t ) [0.446 1.429(0.4) k 1.875(0.6) k ](t kT )
数学建模方法之差分方程模型
数学建模方法之差分方程模型差分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它基于差分方程来描述问题，并用差分方程来求解问题。
所谓差分方程，是指用差分代替微分的方程，它是一种离散的模型。
在实际问题中，很多情况下，并不能直接通过微分方程来描述问题，而差分方程模型则可以通过离散化的方法来近似地描述问题。
差分方程模型的优点之一是可以适用于离散化的数据，对于实际问题的离散化模型建立是非常有帮助的。
差分方程模型的另一个优点是可以通过数值方法来求解，不需要进行繁琐的解析推导，因此适用于复杂问题的求解。
差分方程模型的基本形式为：yn+1 = fn(yn, yn-1, ..., yn-k)其中，yn表示第n个时刻的解，fn是一个给定的函数，表示通过前k个时刻的解来计算第n+1个时刻的解。
这个方程是离散的，通过已知的初始条件来逐步递推获得结果。
差分方程模型的适用范围非常广泛，可以用于描述和预测各种动态过程。
例如，差分方程模型可以用来描述人口增长模型、生态系统模型、传染病模型等等。
在这些例子中，差分方程模型可以通过已知的数据和初始条件来预测未来的发展趋势。
差分方程模型的建立步骤主要包括以下几个方面：1.确定问题的描述和目标：明确问题的背景和目标，确定需要建立差分方程模型的原因和用途。
2.确定模型的变量和参数：根据实际问题，确定需要用到的变量和参数。
3.确定差分方程的形式和函数：根据问题的特点和要求，选择合适的差分方程形式和函数。
这部分需要结合实际问题和数学方法来确定。
4.确定初始条件和边界条件：确定差分方程模型的初始条件和边界条件。
这部分是求解差分方程的前提条件。
5.差分方程的求解和分析：通过数值方法求解差分方程，得到数值解，并对结果进行分析和解释。
差分方程模型
第一讲 差分方程 第二讲 蛛网模型 第三讲 商品销售量预测 第四讲 养老保险
实用文档
t
1、差分方规t定程简只介取非负整数，y t 记 为t变量在 点
的取值，yt 则y称t1yt y t
为 的一阶
向前 差2 y 分t ， 称( y t) y t 1 y t y t 2 2 y t 1 y t
如何从数学的角度来描述上述现象呢？
实用文档
2、模型假设
(1)设 时段商品数量为 ，其价格为 ，
这里把时k间
xk
yk
离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。
(2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，
称
yk f(xk)
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。
x(k)k,0,1, x(k ) Z
繁琐，下面介绍 变换，将差 分方程转化为代数方程去求
解
X(z)Z(x(k)) x(k)zk
设有离散序列
k0
，则
的
变换z 定义为
X (z) Z
其中 部
x(k)Z1[X(z)] 是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外
的 反变换记作
实用文档
几个常用离散函数的 Z 变
定， (3) 下一时段xk的1商g品(y数k)量由上一时段的商品价格决
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
，则
Z [x (k 1 ) ]z [X (z) x (0 )]
N 1
Z[x(kN ) ]zN[X(z) x(k)zk]
Z [x (k 1 ) ]z 1 [X (z ) k x 0 ( 1 )z ]
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其特征方程为
λ2 .
2λ.
2 =
0
特征根
λ1 =
1+
3 ，λ2 =
1.
3
则通解为
h(n) =1(1+
3)n
+
c2 (1.
3)n
，(n =3,4,L)
利用条件h(1) =
3，h(2)(c) =
8，求得
(k)z.k
]，
k
=0
Z[ f
(k
.1)] =
z.1[F(z) +
f
(.1)z]，
.Nk
Z[ f (k. N )] = z [F(z) +Σ(N) (.) (1) f
(.k)z
]
k
=1
例 3 求齐次差分方程
-194-
2 +
3
.
2 +
3
h(n) =
(1+
3)n
+
(1.
3)n
，(n
=1,2,L)
2
3
2
3
在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性
差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数c1,L,cn
意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程
a0 yn+t
+
a1 yn+t.1 +L+
an
yt
=
b(t) （1）
为n阶常系数线性差分方程，其中 a0,a1,L,an
是常数，a0 ≠
0 。其对应的齐次方程为
a0 yn+t
+
a1 yn+t.1 +L+
X(z) 的Z反变换记作
x(k) =
Z
.1[X
(z)]
1.2.1 几个常用离散函数的 Z变换（i）单位冲激函数δ
(k)的Z变换
Z[δ(k)] =
Σ(∞) δ
(k)z
[1 ]kkk=
..×=z0 =
1
k
=0
即单位冲激函数的Z变换为 1。
设：需求函数为一个单调下降函数。
（iii）下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定，把
xk
+1 =
g( yk
) （6）
称之为供应函数。由于价格越高可以导致产量越大，故可假设供应函数是一个单调上升
的函数。
2.3模型求解
在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形，设两条曲线相交于
，对应齐次方程
的通解为
ππ
=c
cos t
+
c
sin t
yt
12
22
原方程有形如 at
+b
的特解。代入原方程求得 a
=1
，b
=.1
，故原方程的通解
22
为
ππ
11
c
cos t
+
c
sin t
由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引
起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品；一段时间之后，随着产
量的下降，带来的供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的生产；
随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将会
，通解中对应它们的项为
c1 ρ
t
cos.t
+c2 ρ
t
sin.t
，其中ρ=α
2 +β
2 为λ的模，.=
arctgβ
为λ的幅角。
α
（iv）若λ
=α±βi
是特征方程（3）的k重复根，则通解对应于它们的项为
k
.1 tk
.1 t
阶向前差分，简称差分，称 Δ2 yt
=Δ(Δyt
) =Δyt+1 .Δyt
=
yt+2 .
2 yt+1 +
yt
为 yt的二
阶差分。类似地，可以定义 yt的n阶差分Δnyt
。
由t、yt
及 yt的差分给出的方程称为 yt的差分方程，其中含 yt的最高阶差分的阶
+yt
。
求非齐次方程（ 1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的 b(t)
也可使用待定系数法。例如，当b(t) =bt
pk
(t) ， pk(t) 为t的k次多项式时可以证明：
若b不是特征根，则非齐次方程（ 1）有形如 btqk
(t) 的特解， qk(t) 也是t的k次多项
,yk 在图上的变化(k =1,2,L) 。如下图所示，当 x1给定后，价格 y1由f(0) 上的(1) P1
-195-
点决定，下一时段的数量 x2由 g上的P2点决定， y2又可由 f上的P3点决定。依此类
推，可得一系列的点P(x
, y
) ，P2(x2, y1) ，P3(x2, y2) ，P4(x3, y2) ，图上的箭头
（ii）单位阶跃函数 U(k)的Z变换
Z[U(k)] =Σ(∞) U(k)z.k =Σ(∞) 1×
z.k
，
k
=0 k
=0
即
z
Z[U
(k)] =
(| z
|>
1)
z
.1
（iii）单边指数函数 f
(k) =ak
的Z变换（a为不等于 1的正常数）
+
t
.
1 2 2222
例 2 在信道上传输仅用三个字母 a,b,c
且长度为n的词，规定有两个a连续出现
的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词的个数。
解令h(n)表示容许传输且长度为 n的词的个数， n
=1,2,L
，通过简单计算可
求得：h(1) =
3，h(2) =
(1) +
yt
(2) 也是方程（1）的解。
方程（1）可用如下的代数方法求其通解：
（I）先求解对应的特征方程
a0λn
+
a1λn.1 +L+
a0 =
0 （3）
（II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（ 2）的通解。
（i）若特征方程（ 3）有n个互不相同的实根 λ1,L,λn，则齐次方程（ 2）的通解
8。当n
≥
3时，若词的第一个字母是 b或c,则词可按h(n
.1)
种方式完成；若词的第一个字母是 a，则第二个字母是 b或c，该词剩下的部分可按
h(n
.2) 种方式完成。于是，得差分方程
h(n) =
2h(n
.1) +
2h(n
.
2) ，(n
=3,4,L)
z
Z[a Σ(∞) =
(| z
|>
a)
=
.az=
0]
kkkkz
.
a
1.2.2 Z变换的性质
（i）线性性质
设Z[ f1(k)] =F
(z) ，Z[ f2(k)] =F2(z) ，则
Z[(1) af
(k) +bf
(k)] =
aF
(z) +
数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
Δ2 yt
+Δyt
+
yt
=
0 也可改写成 yt+2 .
yt+1 +
yt
=
0 。
满足一差分方程的序列 yt称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有
的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任
如何取值，在t
→
+∞
时总有 yt→
0 ，则称方程（ 1）的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非齐次方
-193-
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
1.2常系数线性差分方程的 Z变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采
式；若 b是r重特征根，则方程（ 1）有形如 bttrqk
(t) 的特解。进而可利用待定系数法
求出qk(t) ，从而得到方程（1）的一个特解 yt。
例 1 求解两阶差分方程 yt+2+
yt
=
t
。
解对应齐次方程的特征方程为 λ2 +1 =
0 ，其特征根为 λ1,2=±i Leabharlann (c +L+
ct
)ρ
cos.t
+
(c
+L+
ct
)ρ
sin.t
1 kk
+12k
-192-
ci
(i
=1,L,2k) 为任意常数。
（III）求非齐次方程（ 1）的一个特解 yt。若 yt为方程（2）的通解，则非齐次方