离散模型-差分方程模型(12.7)汇总.

1 经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
y y0 0 y g f g f x
则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。 若所有Fra Baidu bibliotek ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分 方程，即n阶常系数线性差分方程可分成
a0 yn t a1 yn t 1 an yt b(t )
的形式，其对应的齐次方程为
（1.1）
a0 yn t a1 yn t 1 an yt 0 （1.2） ( 2) (1) 容易证明，若序列 y t 与 y t 均为方程（1.2）的解，则
xk 1 h( yk )
k x x ( ) ( x1 x0 ) xk 1 x0 ( xk x0 ) k 1 0
1 ( 1 / )
xk x0 xk
P0稳定 K f K g P0不稳定 K f K g
1 ( 1 / )
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数
yk f ( xk )
减函 数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
f
yk g ( xk 1 )
g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(1.2)的通解 情况1 若特征方程（1.3）有n个互不相同的实根
,…, ，则齐次方程（ 1.2）的通解为 n 1
，
t C11 C n tn (C1,…,Cn为任意常数)
情况2 若λ 是特征方程（1.3）的k重根，通解中对应 (C1 C k t k 1 )t 于λ的项为 C 为任意常数， i=1,…,k。 i
x
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
P P P P P P P P0 1 2 3 1 2 3 0
P0是稳定平衡点
y y2 f g P4 P0 y
蛛 网 模 型 yk f ( xk )， xk 1 h( yk ) yk g ( xk 1 ) x1 y1 x2 y2 x3 设x1偏离x0 xk x0 , yk y0 xk x0 , yk y0
方程模型与蛛网模型的一致
Kf
1/ K g
结果解释 结果解释
考察 , 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
yk y0 ( xk x0 )
~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度
xk 1 x0 ( yk y0 )
~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增加 ~ 消费者对需求的敏感程度 ~ 生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定
满足一差分方程的序 列yt称为此差分方程的解。类似于微分 方程情况，若解中含有的任意常数的个数等于差分方程的阶 数时，称此解为该差分方程 的通解。若解中不含任意常数， 则称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差 分方程 易见
yt sin 与 yt cos 均是它的特解，而 2 2 yt c1 sin t c2 sin t 2 2则为它的通解，其 中c1，c2为两个任
意常数。类似于微分方程，称差分方程
t
yt 2 yt 0
t
a0 (t ) yt n a1 (t ) yt n1 an (t ) yt b(t )
为n阶线性差分方程， 当 b( t )≠0时称其为n阶非齐次线性差 分方程，而
a0 (t ) yt n a1 (t ) yt n1 an (t ) yt 0
yt c1 yt(1) c2 yt( 2 )
也是方程（1.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（1.1）也成立。
方程（1.1）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程 （1.3） a0 n a1 n1 an 0
差分方程模型
一 差分方程简介
二 市场经济中的蛛网模型
三 差分形式的阻滞增长模型
四 微分方程的数值解
一 差分方程简介
以t 表示时间，规 定t只取非负整数。t=0表示第一周期初， t=1表示第二周期初等。 记yt 为变量y在时刻t 时的取值，则 称 yt yt 1 yt 为yt 的一阶差分，称
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 g P4
y0 y3 y1
0
P3
P2
曲线斜率
K f Kg
P1 x1 x
y0 0
P2
K f Kg
x
P1 x0
x2 x0 x3
方程模型 yk f ( xk )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
（步三） 求非齐次方程 (1.1)的一个特解 y t .若yt为方程(1.2)的 yt yt 通解,则非齐次方程 (1.1)的通解为
二 市场经济中的蛛网模型
供大于求 价格下降
数量与价格在振荡 增加产量 价格上涨 供不应求
减少产量
现 象
问 题
描述商品数量与价格的变化规律 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
2 yt ( yt ) yt 1 yt yt 2 2 yt 1 yt
为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。 由t、yt及yt的差分给出的方程称 为yt差分方程，其中含的最 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成 不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 2 yt yt yt 0 也可改写成 yt 2 yt 1 yt 0