山西省忻州市高考数学 专题 线面平行2复习教学案(无答案)
高三线面平行判定教案
高三线面平行判定教案一、教学目标。
1. 知识与技能。
（1）掌握线面平行的定义和判定方法。
（2）能够运用线面平行的性质解决相关的几何问题。
2. 过程与方法。
（1）培养学生观察、分析和推理的能力。
（2）引导学生学会合作与交流，培养团队精神。
3. 情感态度与价值观。
（1）激发学生对数学的兴趣，增强自信心。
（2）培养学生严谨的思维和严密的逻辑推理能力。
二、教学重点与难点。
1. 教学重点。
（1）线面平行的定义和判定方法。
（2）线面平行的性质和应用。
2. 教学难点。
（1）线面平行的判定方法的灵活运用。
（2）线面平行的相关问题的解决。
三、教学过程。
1. 导入新课。
通过提问和讨论，引导学生回顾线面平行的定义和性质，激发学生对新知识的兴趣。
2. 概念讲解。
（1）线面平行的定义，当一条直线与一个平面上的两条平行线相交时，这条直线与这个平面平行。
（2）线面平行的判定方法，通过观察和推理，可以判定线面平行的关系。
例如，若一条直线与一个平面上的两条平行线相交，且这条直线与这两条平行线的夹角相等，则这条直线与这个平面平行。
3. 实例演练。
通过实例演练，让学生掌握线面平行的判定方法和应用技巧。
4. 练习训练。
布置练习题，让学生独立完成，并相互交流讨论，加深对线面平行的理解和掌握。
5. 拓展延伸。
引导学生运用线面平行的知识解决实际问题，拓展思维，培养学生的创新能力。
6. 总结反思。
让学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和收获，促进知识的巩固和提高。
四、教学手段。
1. 多媒体教学。
通过多媒体教学，展示相关图形和实例，直观形象地呈现线面平行的概念和性质。
2. 小组讨论。
组织学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的合作精神和团队意识。
3. 互动问答。
通过互动问答，激发学生的学习兴趣，提高课堂气氛。
4. 练习训练。
设计多样化的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学反思。
通过本节课的教学，学生对线面平行的概念和判定方法有了更深入的理解，能够灵活运用线面平行的性质解决相关问题。
山西省忻州市高考数学 专题 合情推理复习教学案(无答案)
合情推理一、新课引入:1、引出推理的概念：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。
（2分钟）2、日常生活中，推理。
例如:医生诊断病人的病症，警察侦破案件，气象专家预测天气的可能状态，考古学家推断遗址的年代，数学家论证命题的真伪等等。
3、生活中我们遇到这样的情形，你能得到怎样的推理？4、看见柳树发芽，冰雪融化。
5、看见乌云密布，燕子低飞。
6、看见花儿凋谢，树叶变黄。
（5-6分钟）二、数学猜想例1、设f(n)=n 2+n+41,1、观察下列数据，你能猜到什么结论？2、由此猜想：n 为任何正整数时f(n)=n 2+n+41都是质数3、n=40呢？n=41呢？(10-12分钟)4、引出归纳推理定义，（板书课题）5、归纳推理的一般步骤.(12-14分钟)感受归纳推理的魅力，重点介绍两大猜想（同时指出：归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还需证明。
）1、费马猜想。
已知12,12,12,1243212222++++都是质数，运用归纳推理你能得出什么样的结论？ 614144)4(534133)3(474122)2(434111)1(2222=++==++==++==++=f f f f 42949672971252=+6700417641⨯=半个世纪后欧拉发现说明了什么？后来人们又发现12,12,12876222+++都是合数，你们又能得到什么样的结论？这个结论是否正确呢？(16-18分钟)2．介绍歌德巴赫猜想观察下列等式：10=3+7 ，20=3+17 ，30=13+17你们能从中发现什么规律？你能多写几个这样的式子么？这个规律对于其他偶数是否成立？ 介绍歌德巴赫猜想（22-25分钟）3、请同学们举出一些其他学科中运用归纳推理得到的重要发现的实例。
三、归纳推理的练习及归纳推理的作用1．发现新事实：应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，下面是一个数学中的例子。
山西省忻州市高考数学 专题 线面平行判定定理复习教学案(无答案)
线面平行判定定理一、教材分析【地位和作用】直线与平面平行是我们日常生活中经常见到的也是立体几何中最重要的知识点之一，《直线与平面平行的判定》是北师大版高中数学必修2中的第一章第五节的第一课时的内容；是在学生学习线、面位置关系之后学习空间中平行关系的第一个判定定理；是学生进一步研究空间中平行关系和垂直关系的基础，起到承前启后的作用.通过本节课的学习对学生的观察探索、交流归纳、空间想象能力及逻辑推理能力很大的提高.【教学目标】1) 知识与技能: 掌握直线与平面平行的判定定理，并能进行简单应用.2) 过程与方法: 通过直观感知---观察---操作的认知方法, 经历新知识形成过程，体会蕴含在其中的数学思想方法.归纳出直线与平面平行的判定定理.3) 情感态度与价值观: 让学生在观察、探究、发现、交流中学习,体验学习的乐趣,培养学生观察探究发现的能力,空间想象能力和逻辑思维能力.【教学重难点】重点：直线和平面平行的判定难点：直线与平面平行的判定的应用二、学情分析本节课是在学生对简单的几何体的特征有了初步的认识,且已具备了一定的合情推理能力的基础上进行的,但思维缺乏严谨性,因此在教学中培养他们严谨的思维和良好的数学品质.三、教法学法分析基于以上的教材分析和学情分析，为了完成确立的目标，所以在教学时让学生通过观察、操作、交流、探索、归纳、反思主动参与学习，让学生在问题情景中经历知识的形成和发展过程，因此教学上采用了直观教学法、探索式教学法、启发式教学法，讲练结合法等教学法。
在教学中教师利用实物展示等手段，充分设计问题的背景，给学生导引一个思考方向，由浅入深，在不知不觉间解决问题，充分调动学生的参与意识，合作意识，使学生真正成为课堂的主人.四、教学过程【复习导入】问题1：直线与平面有那几种位置关系？你能不能画出图形并用语言和数学符号进行描述？问题2: 观察上述图形，试给出线面平行的定义 问题3: 如何利用定义对线面平行关系进行判断？设计意图：通过复习,引出新知识;通过学生的动手、观察、实践等活动，引导学生大胆猜测，自主探究，以培养学生观察、分析、猜想、归纳的能力.【新知探究】实例感知：图片实例让学生感知现实中的线面平行关系。
线面平行教案
线面平行教案教案标题：线面平行教案教学目标：1. 理解线面平行的概念，并能够准确判断线段与平面是否平行。
2. 掌握线面平行的判定方法，能够应用判定方法解决相关问题。
3. 运用线面平行的概念和判定方法，解决实际生活中的问题。
教学重点：1. 理解线面平行的概念。
2. 掌握线面平行的判定方法。
教学难点：1. 运用线面平行的概念和判定方法，解决实际生活中的问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板笔、教学实例。
2. 学生准备：学习用品。
教学过程：Step 1：导入1. 教师通过提问或展示图片等方式，引导学生思考线面平行的概念。
2. 教师向学生解释线面平行的定义，并与学生共同讨论线段与平面是否平行的条件。
Step 2：概念讲解1. 教师通过教学课件或黑板，详细解释线面平行的概念。
2. 教师讲解线面平行的判定方法，包括平行线与平面的关系、平行线与平面的交点等。
Step 3：示例演练1. 教师提供一些线段与平面的实例，让学生根据判定方法判断线段与平面是否平行。
2. 学生通过个人或小组讨论，给出自己的判断结果，并向全班展示自己的解题过程。
Step 4：巩固练习1. 教师布置一些练习题，要求学生运用线面平行的概念和判定方法解决问题。
2. 学生在课堂上或课后完成练习题，并与同学互相讨论、交流解题思路。
Step 5：拓展应用1. 教师引导学生思考线面平行在实际生活中的应用，例如建筑设计、地图制作等领域。
2. 学生通过小组合作或个人思考，找出线面平行在实际生活中的应用，并向全班展示自己的发现。
Step 6：总结归纳1. 教师与学生共同总结线面平行的概念和判定方法。
2. 教师解答学生在学习过程中遇到的问题，并强调重点和难点。
Step 7：作业布置1. 教师布置相关的作业，要求学生运用线面平行的概念和判定方法解决问题。
2. 学生完成作业，并在下节课上向教师提交。
教学反思：教师应根据学生的实际情况和学习进度，合理安排教学内容和教学方法。
高三数学一轮教案线面平行与面面平行
芯衣州星海市涌泉学校§线面平行与面面平行【复习目的】1． 掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、断定定理和性质定理，并能运用这些知识进展论证或者者解题； 2． 理解线线平行、线面平行、面面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系。
【课前预习】1. 空间平面与平面的位置关系分类、三个平行关系的转化：2. 假设直线a ⊥平面α，直线b α，直线a 与b 的位置关系是〔〕A ．a bB ．a b ⊥C ．,a b 一定异面D ．,a b 一定相交3. 假设直线l 平面α，那么以下命题中正确的选项是〔〕A ．l 平行于α内所有直线B ．l 平行于过l 的平面与α的交线C ．l 平行于α内的任一直线D ．l 平行于α内唯一确定的直线4. 两条异面直线a 、b 分别在平面α、β内，且βα =c ，那么直线c 〔〕A ．一定与a,b 都相交B ．至少与a,b 中的一条相交C ．至多与a,b 中的一条相交D ．一定与a,b 都不相交5. 直线,a b 和平面α，那么a b 的一个必要不充分条件是〔〕A ．,a b ααB ．,a b αα⊥⊥C ．,b a αα⊂D ．,a b 与α成等角6. ,αβ表示两个平面，,a b 表示两条直线，那么a α的一个充分条件是〔〕A ．,a αββ⊥⊥B ．,b a b αβ=C ．,a b b αD ．,a αββ⊂7. 判断真假：〔1〕平行于同一直线的两直线平行〔〕；〔2〕平行于同一直线的两平面平行〔〕；〔3〕平行于同B 1Q一平面的两直线平行〔〕；〔4〕平行于同一平面的两平面平行〔〕；〔5〕垂直于同一平面的两直线平行〔〕；〔6〕垂直于同一平面的两平面平行〔〕；〔7〕垂直于同一直线的两直线平行〔〕；〔8〕垂直于同一直线的两平面平行〔〕；〔9〕一个平面上不一一共线的三点到另一个平面间隔相等，那么这两个平面平行〔〕；〔10〕与同一条直线成等角的两个平面平行〔〕。
高中数学教案线面平行
高中数学教案线面平行
教学目标：
1. 知道线面平行的定义及性质；
2. 能够判断线面之间的平行关系；
3. 能够解决与线面平行相关的问题。
教学重点：
1. 线面平行的定义；
2. 理解线面平行的性质。
教学难点：
1. 运用线面平行的性质解决问题。
教学准备：
1. 教材：高中数学教科书；
2. 板书、彩色粉笔；
3. 教具：直尺、量角器、图形纸等。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过举例，引出线面平行的概念，并让学生猜测线面平行的性质。
二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解线面平行的定义；
2. 分析线面平行的性质，并与学生探讨线面平行的判断方法。
三、知识巩固（10分钟）
让学生通过练习题加深对线面平行概念的理解，并检查学生对线面平行性质的掌握程度。
四、拓展应用（15分钟）
在实际生活中，让学生找出线面平行的实际应用场景，并进行讨论。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固学生对线面平行知识的掌握。
教学总结：
通过本节课的学习，我们了解了线面平行的概念和性质，学会了如何判断线面之间的平行关系，并能够运用线面平行的性质解决问题。
希望同学们能够加强练习，提高对线面平行知识的运用能力。
下节课见！。
高三数学一轮复习精品教案2：线面、面面平行的判定与性质教学设计
第四节 直线、平面平行的判定及其性质考纲传真1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.1．直线与平面平行的判定(1)定义：直线与平面没有公共点，则称直线平行于平面． (2)判定定理：若a ⊂α，b ⊄α，a ∥b ，则b ∥α. 2．直线与平面平行的性质定理 若a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ，则a ∥b . 3．面面平行的判定与性质 判定性质图形条件 α∩β＝∅a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ， β∩γ＝b α∥β，a ⊂β 结论α∥βα∥βa ∥ba ∥α4.与垂直相关的平行的判定(1)a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ；(2)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β．1．(人教A版教材习题改编)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是() A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内可能存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α没有公共点『解析』直线a与α不平行，则直线a在α内或与α相交，当直线a在平面α内时，在α内存在与a平行的直线，B正确．『答案』B2．若直线m⊂平面α，则条件甲：直线l∥α，是条件乙：l∥m的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件『解析』∵l∥α时，l与m并不一定平行，而l∥m时，l与α也不一定平行，有可能l⊂α，∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．『答案』D3．空间中，下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β『解析』根据面面平行和线面平行的定义知，选D.『答案』D4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．『解析』如图所示，连接BD交AC于F，连接EF则EF是△BDD1的中位线，∴EF ∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD 1∥平面ACE . 『答案』 平行图7－4－15．(2013·福州模拟)如图7－4－1，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．『解析』 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.『答案』2直线与平面平行的判定与性质图7－4－2(2012·辽宁高考)如图7－4－2，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)『思路点拨』 (1)法一：证明MN ∥AC ′；法二：取A ′B ′的中点P ，证平面MPN ∥平面A ′ACC ′.(2)转化法：根据S △A ′MC ＝S △BMC 得V N —A ′MC ＝12V N —A ′BC ，从而V A ′—MNC ＝12V A ′—NBC .『尝试解答』(1)法一连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)连接BN，由题意知，A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面B′BCC′，即A′N⊥平面NBC，故V A′—MNC＝V N—A′MC＝13S△A′MC×h，又S△A′MC＝12S△A′BC，所以V A′—MNC＝V N—A′MC＝12V N—A′BC＝12V A′—NBC＝12×13×S△NBC×A′N，因为∠BAC＝90°，BA＝AC＝2，所以BC＝B′C′＝2，S△NBC＝12BC×BB′＝12×2×1＝1，A′N＝12B′C′＝1，所以V A′—MNC＝V N—A′MC＝12×13×S△NBC×A′N＝16.,1．判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用常用反证法定义；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．图7－4－3如图7－4－3，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.『证明』如图，连接AC交BD于O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM，则有AP∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH.平面与平面平行的判定与性质图7－4－4如图7－4－4，已知α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A 、B 、C 、D 四点，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)E 、F 、G 、H 共面； (2)平面EFGH ∥平面α.『思路点拨』 (1)证明四边形EFGH 为平行四边形即可；(2)利用面面平行的判定定理，转化为线面平行来证明．『尝试解答』 (1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点， ∴EH 綊12BD .同理，FG 綊12BD ，∴FG 綊EH .∴四边形EFGH 是平行四边形， ∴E 、F 、G 、H 共面．(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ， 设两平面交于过点A 的直线AD ′. ∵α∥β，∴AD ′∥BD .又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′. ∴EH ∥平面α，同理，EF ∥平面α， 又EH ∩EF ＝E ，EH ⊂平面EFGH ， EF ⊂平面EFGH ，∴平面EFGH ∥平面α.,1．解答本题(2)的关键是设出平面ABD 与平面α的交线，然后使用面面平行的性质证明．2．判定面面平行的方法 (1)利用定义：(常用反证法) (2)利用面面平行的判定定理；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．图7－4－5如图7－4－5所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.『证明』如图所示，连接A1C交AC1于点E，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点，连接ED，因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED.因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点．又因为D1是B1C1的中点，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD.又A1D1∩BD1＝D1，C1D∩AD＝D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.线面、面面平行的综合应用图7－4－6如图7－4－6所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .『思路点拨』 (1)通过线面垂直证明线线垂直；(2)先确定点N 的位置，再进行证明，点N 的位置的确定要根据线面平行的条件进行探索．『尝试解答』 (1)∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ， 则AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，∴AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)在△ABE 中，过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE .同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ， ∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．,1．解决本题的关键是过M 作出与平面DAE 平行的辅助平面MNG ，通过面面平行证明线面平行．2．通过线面、面面平行的判定与性质，可实现线线、线面、面面平行的转化． 3．解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．图7－4－7如图7－4－7所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面P AD.『解』在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG.又AG⊂平面P AD，FE⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.∴F即为所求的点．又P A⊥面ABCD，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥面P AB.∴PB⊥BC.∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋P A2.设P A＝x则PC＝2a2＋x2，由PB·BC＝BE·PC得：a2＋x2·a＝2a2＋x2·63a，∴x＝a，即P A＝a，∴PC＝3a.又CE＝a2－（63a）2＝33a，∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .一种关系平行问题的转化关系：两个防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．线面平行的性质定理的符号语言为：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ，三个条件缺一不可．从近两年高考看，直线与平面，平面与平面平行是高考考查的热点．题型全面，试题难度中等，考查线线、线面、面面平行的相互转化，并且考查空间想象能力以及逻辑思维能力．预测2014年高考仍将以线面平行的判定为主要考查点，解题时不但要熟练运用平行的判定和性质，而且要注意解题的规范化．规范解答之十 线面平行问题的证明方法)图7－4－8(12分)(2012·山东高考)如图7－4－8，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.『规范解答』(1)如图(1)，取BD的中点O，连接CO，EO.(1)由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，4分因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.6分(2)如图(2)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.(2)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.8分又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.10分又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.12分『解题程序』第一步：取BD的中点O，连接CO，EO，证明BD⊥平面EOC；第二步：根据线面垂直的性质证明BD⊥EO，从而证明BE＝DE；第三步：取AB的中点N，作出辅助平面DMN；第四步：证明MN∥平面BEC；第五步：证明DN∥平面BEC；第六步：根据面面平行的判定定理下结论．易错提示：(1)第(1)小题作不出辅助线EO，CO，无法求解．(2)第(2)小题不能作出辅助平面DMN，无法求解．防范措施：(1)所求与已知中，均有线段相等，即出现等腰三角形共底边问题，此种情况下，一般取底边的中点作辅助线．(2)证明线面平行，通常有两种方法，要么用线线平行，要么用面面平行，条件中出现中点，一般考虑作出三角形的中位线．1．(2013·潍坊模拟)已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推论中正确的是() A．若a∥b，b⊂β，则a∥βB．a∥β，b∥β，则a∥bC．若a⊂β，b∥β，a，b共面，则a∥bD．a⊥c，b⊥c，则a∥b『解析』对于A，可能有a⊂β，故A错；对于B，a与b可能平行、相交或异面，故B错；对于D，a与b可能平行，相交或异面；对于C，根据线面平行的性质定理知，C正确．『答案』C图7－4－92．(2013·杭州模拟)在如图7－4－9所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，EF ∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.『证明』因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，所以△ABC ∽△EFG ，由于AB ＝2EF ，因此，BC ＝2FG ，连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ， 因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥F A .又F A ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ， 所以GM ∥平面ABFE .。
高考数学复习教学案：线面平行教案与练习 缺答案
1.2。
2空间中的平行关系第2课时 直线与平面平行的判定定理1.一条直线和一个平面的位置关系：1）直线在平面内:如果一条直线a 与平面α有 不同的公共点，那么这条直线就在这个平 面内，记作a ⊂α；2）直线与平面相交：直线a 与平面α 公共点A,叫做直线与平面相交,记作a ∩α＝A ，公共点A 叫做直线a 与平面α的交点;3)直线与平面平行:如果一条直线a 与平面α 公共点，叫做直线与平面平行，记作a ∥α.2.直线与平面平行的判定定理语言叙述:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线 ，那么这条直线和这个平面平行。
简称为:“线线平行，则线面平行” 符号语言：若,,αα⊂⊄b a 且 ，则 α//a图形:【例题】例1：已知空间四边形ABCD 中,E ，F 分别AB,AD 的中点．求证:EF//平面BCD ．CABDEF''''P Q 例2：如图所示，已知、是正方体的面ADD A 、面ABCD 的中心.证明：PQ//面CDD C【练习题】1.直线和平面平行的充要条件是-——--——-—--——-—-—----—————---———-—---—————---——-—-----————-——-—----—-—-（ )A.直线与平面内的一条直线平行B.直线与平面内的两条直线不相交C.直线与平面内的无数条直线平行D.直线与平面内的任何一条直线都不相交 2．下列命题（1)直线l 平行于平面α内的无数条直线,则l ∥α； (2）若直线a 在平面α外,则a ∥α； （3)若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；(4)若直线a ∥b ，b ⊂α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条D 'A 'B 'C 'ABCDPQ直线．其中真命题的个数为———-——-——-—-—--———-——--————-——--—---—-----——————--—-——--—--——-----———————--——-—-——（）A．1 B．2 C．3D．43．不同直线m、n和不同平面α，β，给出下列命题：①错误!⇒m∥n；②错误!⇒n∥β;③错误!⇒m，n不共面；④错误!⇒m∥n，其中假命题的个数是------——-—-—--——--——--——-—--—---——-——-—---——-——-----—-—--——-—-----——--——-——--—-———（)A．1 B．2 C．3D．44．直线l与平面α平行，点A是平面α内的一点，则下列说法正确的是-——-——----——-————-----( )A．过点A作与l平行的直线只能作一条,且在α外B．过点A作与l平行的直线可作无数条，可在α内，也可在α外。
山西省忻州市高考数学 专题 线面平行2复习教学案(无答案)
线面平行一、选择题1.已知平面α，β，直线a，b，c，若aα，bα，cα，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系为( )A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对2.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3.则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.包含D.平行或相交3.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个4.设m，n是平面α内的两条不同直线，a，b是平面β内的两条相交直线，能使α∥β的条件是（ )A.m∥β且a∥αB.m∥a且n∥bC.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥b5.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.46.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③c∥α，c∥β⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β；⑤c∥α，a∥c⇒a∥α；⑥a∥γ，α∥γ⇒a∥α.正确命题是________(填序号).7.在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
，则直线MN与平面BDC的位置关系是________.8.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.AB AD的中点，9.如图，空间四边形ABCD中，,E F分别是,求证：EF∥平面BCD.10.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD 上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.。
山西省忻州市高考数学 专题 平面复习教学案(无答案)
平面一、教学目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；(2) 让学生体会由整体到局部，由局部再到整体的逐步认识空间几何体的过程。
3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四：教学过程一本章课题定位思考：观察长方体，长方体中出现了哪些几何元素？点，直线，平面是构成空间几何体的基本几何元素。
思考：这些几何元素间有什么位置关系？思考：研究空间几何体结构时主要观察什么呢？你是怎样进行观察的？观察几何体是主要是局部观察其内部点、线、面的位置关系，整个过程是先整体感受，再局部确定，再整体把握。
二研探新知师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。
与此同时，教师对学生的活动给予评价。
1、 认识平面思考：观察下列事物呈现什么出怎样的形象？有什么共同特征？给出飞机场、平整的操场、桌面、平静的湖面的幻灯片平面是理想的，绝对的平。
平面的基本特征是无限延展性；无限大、没有厚薄和宽窄，面积是不可度量的.2、平面的画法及表示思考：画图时，无限延伸的直线用什么表示？方法类比，用什么表示平面呢？画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）立体几何中通常用平行四边形来表示平面，有时也用其他多边形或圆等封闭的平面图形来表示平面.为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮挡的部分用虚线画出来.符号表示：平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形（多边形）的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
山西省忻州市高考数学专题高考数学研究复习教学案(无答案)(new)
高考数学试题探究练习：5 数字传递实质例5 直线033=-+y x 与圆 122=+y x 相交于A 、B 两点，则=AB .分析：直线033=-+y x 中出现两次“3"绝对不是无意的，正是本题的奥妙，正三角形的本质所在，不必计算。
练习题:已知)80sin ,80cos )20sin ,20(cos （、B A ,则=AB 。
6 图像显示实质 例6已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如右图，则b 的取值范围是 . A. (-∞，0） B. (—∞,1） C.(0，1） D 。
(1,2）分析:解决本题的关键在于消元、建立关于b 的不等式。
实现这一目标，有不同的途径，最本质的就在图中，我们要求发现。
如图，必有0)1(0)1(0)0(<-==f f f 、、,尤其是0)1(<-f ,再结合不等式性质完成解答。
练习题: 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V 甲和V 乙 (如下图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是（ ）AA. 在t 1时刻，甲车在乙车前面 B 。
t 1时刻后，甲车在乙车后面 C.在t 0时刻，两车的位置相同D 。
t 0时刻后，乙车在甲车前面 7 运动中发现实质例7 已知平面向量，β （≠α，≠β,βα≠）满足1=，且α与β－α的夹角为的取值范围是_____. 、-构成一个三角形，且一边边长为定值,对角为定值,结合同弧所对圆周的最大值为该三角形的外接圆直径,最小值趋近于0，由正弦定理可求直径。
练习题:如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1,A1E=x，DQ=y,DP＝ｚ(ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEFQ的体积（）A。
与ｘ，ｙ，ｚ都有关B.与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关C。
高三数学复习线面平行与面面平行.doc
§50. 线面平行与面面平行（教案）一、复习目标1、掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理、性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题.2、理解线线平行，线面平行，面面平行之间的关系，能进行三者之间的转化.二、课前预习1、若直线l∥平面α，则下列命题中，正确的是（）A、l平行于α内的所有直线B、l平行于过l的平面与α的交线C、l平行于α内的任意直线D、l平行于α内的唯一确定的直线解：B2、α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的充分条件是（）A、α⊥β，且a⊥βB、α∩β=b，且a∥bC、a∥b，且b∥αD、α∥β，且a⊂β解：D3、已知a、b为异面直线，且a⊥α,b⊥β,则平面α与平面β的位置关系是A、α∥βB、α与β相交C、α与β重合D、α与β关系不确定解：B4、已知直线a、b，平面α、β、γ，有下面四个命题①若a⊥α，a⊥β，则α∥β.②若a∥α，b∥β，a∥β，a∥b，则α∥β．③若α∥γ，β∥γ，则α∥β④若α∩γ=a.β∩γ=b且a∥b，则α∥β．其中正确的命题是（）A、①与②B、①与③C、③与④D、②与④解：B5、在长方体ABCD-A'B'C'D'中，经过其对角线BD'的平面分别与棱AA'、CC'相交于E、F两点，则四边形EBFD'的形状为__________.解：平行四边形三、典型例题例1、如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内两条直线平行，那么这两个平面平行.备课说明：复习命题形式的问题的证明步骤和证明两个平面平行的方法.例2、已知直线PQ、RT分别与两个平行平面α、β相交于P、Q和R、T，线段PQ、RT的中点分别为M、N，求证MN∥α.备课说明：复习证明线面平行的常用方法.例3、已知α∥β，γ∩β=a,求证：α与γ相交.备课说明：复习反证法及证明面面平行定理的应用.*例4、（提高题）已知A 、B 、C 、D 四点在平面α和β和之外，A 、B 、C 、D 在α上的射影A '、B '、C '、D '这四点在一直线上，A 、B 、C 、D 在平面β上的射影A ''、B ''、C ''、D ''，且A ''B ''C ''D ''为平行四边形，求证：ABCD 是一个平行四边形.备课说明：共面问题、垂直问题、平行问题的综合应用，提高分析问题、转化问题的能力.四、反馈练习1、直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则a 与b 的关系是（ ）A 、a ∥bB 、a ⊥bC 、a ，b 一定异面对面D 、a,b 一定相交 解：B2、α、β是两个不重合平面，l ,m 是两条不重合直线，那么α∥β的一个充分条件是（ ）A 、l ⊂α,m ⊂α,l ∥β,m ∥βB 、l ⊂α,m ⊂β,l ∥mC 、l ⊥α,m ⊥β,l ∥mD 、l ∥α,m ∥β,l ∥m解：Cα β P Q R T M N α β γ a3、设线段AB 、CD 是夹在两平行平面α、β之间的异面线段，点A 、C ∈α，B 、D ∈β，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则有（ ）A 、MN=21(AC+BD) B 、MN>21(AC+BD) C 、MN<21(AC+BD) D 、MN 与21(AC+BD)大小关系不确定. 解：C4、以下七个命题：（1）垂直于同一条直线的两个平面平行；（2）平行于同一条直线的两个平面平行；（3）平行于同一平面的两个平面平行；（4）与同一条直线成等角的两个平面平行；（5）一个平面上不共线三点到同一平面的距离相等，则这两个平面平行；（6）两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行.其中正确命题的序号是_______________.解：（1）、（3）.5、在正方体ABCD-A 'B 'C 'D '中，点N 在BD 上，点M 在B 'C 上，且CM=DN .求证：MN ∥面AA 'B 'B .证明：（略）6、在正方体AC '中，E 、F 、G 、P 、Q 、R 分别是所在棱AB 、BC 、BB '、A 'D '、D 'C '、DD '的中点，求证：平面PQR ∥平面EFG 。
山西省忻州市高考数学 专题 平行关系复习课件
∴ PC // 平面 BDE ．
A
D
（2）∵ PA 平面 ABCD ，
B
∴VP ABCD
1 3 S正方形ABCD
PA
1 12 3
2
2， 3
O C
∴四棱锥 P ABCD 的体积为 2 ． 3
课堂小结
中位线（拓展2）
判定定理
线 （ 线线平行 线面平行） 面
平行四边形（拓展1）
平
线不在面内
行
面面平行
图形表示
一个平面内的两
判定
条相交直线与另一
a ,b
aI bPຫໍສະໝຸດ //定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果两个平行平 / / 性质 面 同 时 和 第 三 个 I a a / /b 定律 平面相交，那么它 I b
们的 交线 平行．
检测题
（2012 北京师大附中）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形， 侧棱 PA 底面 ABCD ，且 PA 2 ， E 是侧棱 PA 上的中点．
考纲要求
1.以空间直线、平面位置关系的定义及四个公 理为出发点认识和理解空间中的平行关系。
2.理解直线和平面平行、平面和平面平行的判 定定理。
3.理解并能证明直线和平面平行、平面和平面 平行的性质定理。
4.能用公理、定理和已获得的结论证明一些空 间位置关系的简单命题。
1．直线与平面平行
定理
定理内容
符号表示
如果 平面外一条直
判定 线 与 平 面 内 的 一 条
定律
直线平行，那么该直
a a
/ /b
,
b
a
/
/
高考数学第二轮专题复习直线和平面教案
高考数学第二轮专题复习直线和平面教案一、考纲要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念.2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.3.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.4.会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.5.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题.二、知识结构1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l—点A在直线l上；A∉α—点A不在平面α内；l⊂α—直线l在平面α内；a⊄α—直线a不在平面α内；l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；α∩l=A—平面α与直线l交于A点；α∩β=l —平面α与平面β相交于直线l.公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.平行—没有公共点 共面(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点相交—有一条公共直线(无数个公共点)(3)平面与平面平行—没有公共点证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l⊄α，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α，a⊄β，a∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,b⊄α，b⊥a，则b∥α.⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或b⊂α)(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a －β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB⊂α.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a⊂α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P∉α，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则a⊂β.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则b⊂α.(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值X围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值X围0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值X围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法(Ⅳ)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S ′=S ·cos α其中S 为二面角一个面内平面图形的面积，S ′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.(1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法直线与平面【例题】 【例1】 正三棱锥P-AB C 的高和底面边长都等于a ，EF 是P A 与B C 的公垂线，E 、F 分别是垂足。
山西省忻州市高考数学 专题 平面的基本性质复习教案
解析：∵M∈CD，N∈AB，CD 平面ABCD，AB 平面ABCD ∴MN平面ABCD。 （公理1的运用）
3、[反同思理问可题证•得EF出经平验面]ADD1A1。
F
D
A N
总结：公理1常用于判断直线在平面内或平面过直线。
Q
C1 B1
M C
B
二、教学过程 Teaching Process
（二）请同学们观看一个动画，并思考动画中表明的数学结论。
a∩b=A
Aa
α
b
（图像语言）
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
（文字语言）
直线a 直线b a∥b
确定平面α，使a α，b α。
b
α
a
（符号语言） （图像语言）
3、[运用知识•解决问题]
2.已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，交点分别为A、B，求证：直线a，b，l共面。
证明：∵a∥b，故a，b可确定一个平面α （推论3）
∴a α， b α 又∵A∈a，B∈b ∴A、B所在的直线l α 故a、b、l三线共面。（主要依据是公理1）
总结：公理2及其推论常用于确定平面、点共面、线共面、两面重合等问题。
三、教学总结
旧知识
点
线
平面图形
面
平面的画法
平面
空间四边形
新知识
平面的概念以及表示
公理1 公理2 公理3
文字语言 图形语言 符号语言
B
· 思考又：∵结B、合C本∈α例，，∴公过一理条2还直线有和其这它条的直等线外价一表点述，方有式且只吗有？一个平面。
·C a
点推评论：1：请经结过合本一例条，直课线后和对公这理条2直的另线外外两一个点推，论加有以且证只明有。一个平面。（文字语言）
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线面平行
一、选择题
1.已知平面α，β，直线a，b，c，若aα，bα，cα，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系为( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.以上都不对
2.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶
3.则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.包含
D.平行或相交
3.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作
( )
A.1个或2个
B.0个或1个
C.1个
D.0个
4.设m，n是平面α内的两条不同直线，a，b是平面β内的两条相交直线，能使α∥β的条件是（ )
A.m∥β且a∥α
B.m∥a且n∥b
C.m∥β且n∥β
D.m∥β且n∥b5.
如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中
点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面
PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
6.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；
③c∥α，c∥β⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β；
⑤c∥α，a∥c⇒a∥α；⑥a∥γ，α∥γ⇒a∥α.
正确命题是________(填序号).
7.在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若错误！未找到引
用源。
=错误！未找到引用源。
，则直线MN与平面BDC的位置
关系是________.
8.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.
AB AD的中点，
9.如图，空间四边形ABCD中，,E F分别是,
求证：EF∥平面BCD.
10.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD 上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.。