三角恒等变换复习课件
合集下载
三角函数与三角恒等变换复习PPT优秀课件
偶函数
A sin( x ) 的图象（A>0, 2、函数 y
第一种变换:
>0 )
y sin( x )
y sin x
图象向左( 向右(
0
)或
1 1)或缩短( 1)到原来的 横坐标伸长( 0 纵坐标不变
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍
例3:已知函数
2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x , x R ,
求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值 及相应的x的值； ⑷函数的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到。 y 2 sin 2 x ,x R
2 2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 1 sin 2 x 2 cos x 解： 1 sin 2 x cos 2 x 1 2 2 sin( 2 x ) 4 2 ⑴ T 2 3 k x k , k Z ⑵由 2 k 2 x 2 k , 得
3 函数的单增区间为 [ k , k ]( k Z ) 8 8 2 x 2 k , 即 x k ( k Z ) 时 , y 2 2 ⑶当 最大值 4 2 8 y 2 sin( 2 x ) 2x 图象向左平移 8 个单位 ⑷ y 2sin 4
1
2 -1
o
2
3 2
2 x
2 -1
3 2
2 x
R [-1，1] T=2
R
[-1，1] T=2
简单的三角恒等变换 复习课件
形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
目录
2.常用的三角恒等变换技巧 (1)角变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的 种类，化异角为同角． (2)函数名称变换：观察比较题设与结论之间，等号两端函数 名称差异，化异名为同名． π 3 π (3)常数变换：如 1＝sin α＋cos α＝tan ， ＝sin 等． 4 2 3
π 3π ∵β∈( ，π)，∴β＝ . 2 4
目录
【规律小结】 已知三角函数值求角， 一般可分以下三个步骤： (1)确定角所在的范围； (2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围 内严格单调)； (3)根据角的范围写出所求的角．其中在第二步中，具体选用 哪个三角函数，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正 切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值时，选正、余 π 弦函数；若角范围是(0， )，正、余弦函数均可；若角范围 2 π π 是(0，π)时，一般选余弦函数；若角范围是(－ ， )时，则一 2 2 般选正弦函数等．
【答案】
(1)B
(2)1
目录
【规律小结】
给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，
从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一 定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式 转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．有时还 可逆用、变形运用公式．
目录
跟踪训练
tan 12°－ 3 1.计算： ＝________． （4cos212°－2）sin 12°
答案：2－ 3
目录
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 给角求值问题 )
sin 110°sin 20° 例1 (1) 2 的值为( cos 155°－sin2155° 1 A．－ 2 3 C. 2 1 B. 2 3 D．－ 2
目录
2.常用的三角恒等变换技巧 (1)角变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的 种类，化异角为同角． (2)函数名称变换：观察比较题设与结论之间，等号两端函数 名称差异，化异名为同名． π 3 π (3)常数变换：如 1＝sin α＋cos α＝tan ， ＝sin 等． 4 2 3
π 3π ∵β∈( ，π)，∴β＝ . 2 4
目录
【规律小结】 已知三角函数值求角， 一般可分以下三个步骤： (1)确定角所在的范围； (2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围 内严格单调)； (3)根据角的范围写出所求的角．其中在第二步中，具体选用 哪个三角函数，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正 切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值时，选正、余 π 弦函数；若角范围是(0， )，正、余弦函数均可；若角范围 2 π π 是(0，π)时，一般选余弦函数；若角范围是(－ ， )时，则一 2 2 般选正弦函数等．
【答案】
(1)B
(2)1
目录
【规律小结】
给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，
从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一 定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式 转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．有时还 可逆用、变形运用公式．
目录
跟踪训练
tan 12°－ 3 1.计算： ＝________． （4cos212°－2）sin 12°
答案：2－ 3
目录
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 给角求值问题 )
sin 110°sin 20° 例1 (1) 2 的值为( cos 155°－sin2155° 1 A．－ 2 3 C. 2 1 B. 2 3 D．－ 2
三角恒等变换复习课件
三角恒等变换复习课件
本课件将全面介绍三角恒等变换的概念、性质、分类以及应用。通过丰富的 文字和图像，帮助您全面理解和掌握三角恒等变换。
恒等变换概述
什么是恒等变换？
恒等变换是指将一个数或表达式变换为等价的 数或表达式的过程。
恒等变换的性质有哪些？
恒等变换具有传递性、反射性、对称性、合并 性等性质。
恒等变换的作用是什么？
恒等变换的作用是简化复杂的三角函数表达式， 从而更方便地进行计算和推导。
恒等变换的分类有哪些？
恒等变换可以分为角度变换、比值变换、和差 变换、倍角变换等分类。
三角函数
1 什么是三角函数？
2 三角函数的定义式是 3 三角函数的周期、奇
三角函数是描述角度与其 对应的三角比值之间关系
什么？
常见的三角函数包括正弦
三角恒等变换的种类有哪些？
三角恒等变换包括倒数公式、和差公式、平方公式、 倍角公式等多种形式的恒等变换。
三角恒等变换的证明方法和技巧是什么？
证明三角恒等变换通常使用代数证明、几何证明、 辅助角证明等方法，还可以应用恒等变换之间的转
三角恒等变换的应用有哪些？
三角恒等变换在解三角方程、简化三角函数表达式、 证明三角恒等式等方面具有重要的应用价值。
偶性、单调性、图像 和函数值的变化规律 是什么？
的数学函数。
函数、余弦函数、正切函
数等，它们分别由三角比
三角函数的周期、奇偶性、
值的定义式给出。
单调性、图像以及函数值
的变化规律取决于不同的
函数和角度。
三角恒等变换
什么是三角恒等变换？
三角恒等变换是一类关于三角函数的恒等式，它们 在三角学中具有重要的作用。
三角恒等变换的练习
本课件将全面介绍三角恒等变换的概念、性质、分类以及应用。通过丰富的 文字和图像，帮助您全面理解和掌握三角恒等变换。
恒等变换概述
什么是恒等变换？
恒等变换是指将一个数或表达式变换为等价的 数或表达式的过程。
恒等变换的性质有哪些？
恒等变换具有传递性、反射性、对称性、合并 性等性质。
恒等变换的作用是什么？
恒等变换的作用是简化复杂的三角函数表达式， 从而更方便地进行计算和推导。
恒等变换的分类有哪些？
恒等变换可以分为角度变换、比值变换、和差 变换、倍角变换等分类。
三角函数
1 什么是三角函数？
2 三角函数的定义式是 3 三角函数的周期、奇
三角函数是描述角度与其 对应的三角比值之间关系
什么？
常见的三角函数包括正弦
三角恒等变换的种类有哪些？
三角恒等变换包括倒数公式、和差公式、平方公式、 倍角公式等多种形式的恒等变换。
三角恒等变换的证明方法和技巧是什么？
证明三角恒等变换通常使用代数证明、几何证明、 辅助角证明等方法，还可以应用恒等变换之间的转
三角恒等变换的应用有哪些？
三角恒等变换在解三角方程、简化三角函数表达式、 证明三角恒等式等方面具有重要的应用价值。
偶性、单调性、图像 和函数值的变化规律 是什么？
的数学函数。
函数、余弦函数、正切函
数等，它们分别由三角比
三角函数的周期、奇偶性、
值的定义式给出。
单调性、图像以及函数值
的变化规律取决于不同的
函数和角度。
三角恒等变换
什么是三角恒等变换？
三角恒等变换是一类关于三角函数的恒等式，它们 在三角学中具有重要的作用。
三角恒等变换的练习
三角恒等变换(1)-PPT课件
5
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
三角恒等变换ppt
04
三角恒等变换中的易错点
忽视函数定义域对解题的影响
总结词
在三角恒等变换中，忽视函数定义域会导致无法得出正确答案。
详细描述
三角函数的定义域是实数集的一部分，而在进行恒等变换时，往往需要考虑到变量的取值范围。例如 ，对于正弦函数和余弦函数，其定义域为实数集去掉整数倍的π，因此在做三角恒等变换时，需要考 虑变量的周期性和定义域。如果忽视了函数的定义域，就会导致变换后的结果不正确。
03
三角恒等变换的常见题型
求值题
总结词
掌握三角恒等变换是解决求值题的关键。
详细描述
求值题是三角恒等变换中最基础的题型之一，主要考察学生对三角函数基本 性质和公式的掌握程度。在求解过程中，学生需要注意角的范围、函数的名 称以及符号的正确性。
化简题
总结词
化简题是考察学生化简与变形能力的题型。
详细描述
例题1
已知$\sin A + \cos A = \sqrt{2}$，求$\sin^2 A + \cos^2 A$的值。
解法
根据$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$。以及$\sin A + \cos A = \sqrt{2}$。可以通过平方差公式得到$(\sin A + \cos A)^2 - 2\sin\text{ }A\cos\text{ }A = 2 2\sin\text{ }A\cos\text{ }A = 1$
实战练习题
练习1
已知$\tan A = 3$，求$\frac{\sin\text{ }A}{\cos\text{ }A}$的值。
练习2
已知$\sin A - \cos A = \frac{1}{2}$，求$\tan A$的值。
高考数学一轮复习 4.2三角恒等变换课件
5
5
∵α∈
,
2
,
0
∴sin α=- 3 ,∴tan α=3- ,
5
4
∴tan 2α= 2 =ta n α
2
=-
3
.4
24
1 tan 2α
1
3 4
2
7
精品
10
5.已知α∈
2
,,sin α=
,则3 tan
5
α=
4
.
答案
1 7
解析 由已知得cos α=-4 ,∴tan α=3- ,
5
4.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b∈R),可以化为f(α)=⑥ sain2 (αb+2φ1)
或f(α)=⑦ ac2osb(α2 -φ2) ,其中φ1、φ2可由a、b的值唯一确定. 5.在两角和的三角函数公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,当α=β时就得到二倍角的三角 函数公式:sin 2α=⑧ 2sin αcos α ,cos 2α=⑨ cos2α-sin2α ,tan 2α=⑩
A.- 3
2
答案
B.- 1
C1 .
D3.
2
2
2
C 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45°·sin 15°=sin 1230°=
,故选C.
精品
7
2.sin 15°+cos 15°的值为 ( )
A. 1
2
答案
B. 6
C. 6
D3. 2
4
2
2
C sin 15°+cos 15°=2 sin(15°+45°)2= sin 60°2 6=
三角恒等变换学习课件PPT
1 3 1 2 从而 ，故选A. 1 3 2 1 tan 2 1 tan
4 方法2：由已知 cos ， 是第三象限的角， 5 3 得 sin 1 cos 2 ， 5
1 tan 所以 1 tan
2
1
sin cos
tan 45 tan 30 tan120 tan 45 解析：原式 tan 45 tan 30 tan120 tan 45 tan(45 30) tan(120 45) tan15 cot15 1.
【思维启迪】解答本题的关键是将“1”代换为 “tan45”，这是三角函数求值常用的变换，即 常数与三角函数之间变换，又如 1 sin 2 a cos 2 a tanacota tan45， 3 sin60 cos30. 2
3．二倍角的正弦公式 sin2 2sin cos； cos2 2cos 1 1 2sin
2 2
cos sin ；
2 2
2 tan tan2 . 1 tan 2
4．变形公式 tan tan tan( )(1 tan tan )； 1 cos 2 1 cos 2 2 2 sin ； cos . 2 2 5．辅助角公式 a sin b cos a 2 b 2 sin( )， a b 其中 cos ， sin . a 2 b2 a2 b2
，代入所求式即可
sin 与cos的表达式，而sin的值可通过同角三角函数 基本关系求得．
3 3 解析：方法1：由已知得 sin ，所以 tan . 5 4 又
2
是第二或第四象限的角， 2 tan
4 方法2：由已知 cos ， 是第三象限的角， 5 3 得 sin 1 cos 2 ， 5
1 tan 所以 1 tan
2
1
sin cos
tan 45 tan 30 tan120 tan 45 解析：原式 tan 45 tan 30 tan120 tan 45 tan(45 30) tan(120 45) tan15 cot15 1.
【思维启迪】解答本题的关键是将“1”代换为 “tan45”，这是三角函数求值常用的变换，即 常数与三角函数之间变换，又如 1 sin 2 a cos 2 a tanacota tan45， 3 sin60 cos30. 2
3．二倍角的正弦公式 sin2 2sin cos； cos2 2cos 1 1 2sin
2 2
cos sin ；
2 2
2 tan tan2 . 1 tan 2
4．变形公式 tan tan tan( )(1 tan tan )； 1 cos 2 1 cos 2 2 2 sin ； cos . 2 2 5．辅助角公式 a sin b cos a 2 b 2 sin( )， a b 其中 cos ， sin . a 2 b2 a2 b2
，代入所求式即可
sin 与cos的表达式，而sin的值可通过同角三角函数 基本关系求得．
3 3 解析：方法1：由已知得 sin ，所以 tan . 5 4 又
2
是第二或第四象限的角， 2 tan
第四节 简单的三角恒等变换 课件(共106张PPT)
2．给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值． 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式或者和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或 倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
(2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
[解析]
解法一：cos
20°cos
40°·cos
80°＝sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
1
＝2sin
40°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14sins8in0°2c0o°s 80°
θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos2θ>0，∴原式＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ 2 sin
θ－φ 2.
[证明] 因为θ＝θ＋2 φ＋θ－2 φ，φ＝θ＋2 φ－θ－2 φ，
所以cos θ－cos φ
＝cosθ＋2 φ＋θ－2 φ－cosθ＋2 φ－θ－2 φ
第四章 三角函数 解三角形
第四节 简单的三角恒等变换
[复习要点] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但 对这三组公式不要求记忆)．
理清教材•巩固基础
知识点 半角公式(不要求记忆)
1－cos α 1．sin α2＝_±_______2____；
高考数学复习：三角恒等变换 课件
π 0<α<2.
因为 tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×13132＝34>0，所以 0<2α<π2，所以 tan(2α－β)＝1t＋an2taαn－2αttaannββ＝
1－34＋34×17 17＝1.因为 tanβ＝－17<0，所以π2<β<π，所以－π<2α－β<0，所以 2α－β＝－34π.
三角函数的求值思路：(1) 先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的 联系(从三角函数名及角入手)；(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．
三角函数的求角思路：(1) 先求角的某一个三角函数值；(2) 确定角的取值范围；(3) 根据角的取值范围写出所求的角的大小．
(1) 计算：cosπ9·cos29π·cos－239π＝__－__18____.
第2课时 三角恒等变换
研题型 ·融会贯通
分类解析
目标 1 三角函数式的化简
(1)
当
π<α<2π
1＋sin 时，化简：
α＋2c＋os2αcossiαnα2－cosα2＝__c_o_s_α___.
【解析】 原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα2 4cos2α2
＝2cosα2cosα2＋sinα2αsinα2－cosα2 2cos2
目标 3 辅助角公式应用 (2020·武汉一模)已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－2cos2x＋1(x∈R)．
(1) 求 f(x)的单调增区间； (2) 当 x∈－π6，π4时，求 f(x)的值域． 【解答】 (1) f(x)＝ 3sin 2x－2cos2x＋1＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin2x－π6， 令 2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)， 得 kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)， 故函数 f(x)的单调增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2
(3)半角公式
1 cos cos 2 2 1 cos
2
1 cos
2
1 cos sin 2 2
sin
tan
=
cos
2 sin 2 = cos 2
1 cos 2 2 sin sin cos 2 2 2 1 cos sin 2 2 2 sin sin cos 2 2 2 sin 2
a a b
2 2
确定.
3. 二倍角公式:
sin 2 2 sin cos
变形
(sin cos ) 1 sin 2
2
2
1 2sin
2
变形
1 cos 2 sin 2
变形
2 tan tan2 2 1 tan
（ 降幂公式 ）
4. 几个三角恒等式：（不要求记忆，但要会推导） (1)积化和差公式
基本公式： 1、两角和与差的三角函数公式：
sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos coscos sin sin
(2)和差化积公式
sin sin 2 sin
2
cos
2
sin sin 2 cos
2
sin
2
cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin
a 2 b2 sin(x ) . b 其中 由 sin ， cos 2 2
a b
说明： 利用辅助角公式可以将形如 y =a sin +b cos 的函 数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
这个公式 有什么作 用？
2α 2α 2α
基本知识框架：
S
向量的数量 积及其坐标 运算
S 2
T T
C
S
C
C 2
C S
2 2
T2
T
2
基础练习：
计算：
(1) cos74 sin 14 sin 74 cos14
(2) sin 20 cos110 cos160 sin 70
sin( )
tan tan . tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) . 1 tan tan
2、辅助角公式
a sin x b cos x a b sin x cos x ) 2 2 ( a b a 2 b2 a 2 b2 2 2 (cos sinx sin cos x ) a b
课后巩固：
5 1 (1) sin sin 12 12
(2) cos20 cos40 cos60 cos80
(3)函数f ( x) cos2 x 2 sin x的值域为
(4) sin 7 cos15 sin 8 cos 7 sin15 sin 8
=
注：⑴ 常用角的变换：
① ( ) ② 2 ( ) ( )
解： ，为锐角 0
1 13 又 cos , cos( ) 7 14 4 3 3 3 sin , sin( ) , 7 14
课堂小结：
三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形 （结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及 复杂的综合问题，一般的考虑方法是：
⑴ 找差异：角、名、形的差异；
⑵ 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间 可以用哪个公式联系起来； ⑶ 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变 形后，正用或逆用公式. （4）常用技巧： ①弦化切 ②化“1” ③正切的和、积 ⑤“升幂”与“降次” ⑥辅助角 ④角变换
[借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关 系，分析角与角之间的互余、互补关系，合理拆、凑，把未知角 用已知角表示．
变式练习：
sin( 2 ) sin 例2：求证 2 cos( ) sin sin
证明：左边
sin( 2 ) 2 cos( ) sin sin sin[( ) ] 2 cos( ) sin sin sin( ) cos cos( ) sin sin sin sin 右边 sin( 2 ) sin 2 cos( ) sin sin
3 2
1
1 4
(3)1 2 sin 22.5
2
(4) sin 15 cos15
2 2
tan12 tan33 (5) 1 tan12 tan33
（公式变，逆用）
1
典型例题：
例1：已知 ， 为锐角， cos
求 cos 的值
1 13 , cos( ) 7 14
[借题发挥]证明的本质是化异为同，可以说，证明是有目 标的有目的化简. 左右归一或变更结论，常用定义法、化 弦法、拆项拆角法、1的变换法、公式变形法等方法．
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量 m (1 , 3 ) , n (cos A , sinA) , m n 1 . （） 2 若 12 sin2B 3 , 求 tanC . （） 1 求角 A； 2 cos B sin B 解：(1) m n 1 ,
1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2
1 cos sin sin 1 cos
注：在半角公式中，根号前的正负号，由角 的象限确定.
2
所在
(4)万能公式
α α α 2sin cos 2tan 2 2 2 α α sinα ＝2sin cos ＝ ＝ . α α α 2 2 sin2 ＋cos2 1＋tan2 2 2 2 －sin 1－tan 2 2 2 2α 2α cosα ＝cos －sin ＝ ＝ . α α α 2 2 sin2 ＋cos2 1＋tan2 2 2 2 cos
③ 2 ( )
④ ⑤ ( ) ( ) 4 4 ⑵ 注意对角范围的要求。
2 2
cos cos[( ) ]
23 cos( ) cos sin( ) sin 98
1 1 1 1 3 (5)化简 cos 2 2 ) （ 2 2 2 2 2 3 1 tan （6）已知sin( ) , sin( ) , 则 5 5 tan
(1 , 3 ) (cos A , sinA) 1 , 3 sin A 1 cos A) 1 , 即 3 sinA cos A 1 , 2( 2 2 sin(A ) 1 . 6 2 0 A , A 5 , 6 6 6 A , 即 A . 6 6 3
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”： （1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、 倍角）. （2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化 简、证明. （3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数 问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算 结构”方面 思考 （4）从算法层面看：使用公式的三重境——顺用、 逆用、变用.
tanC tan[ ( A B)] tan(A B)
tan A tan B 2 3 8 5 3 . 11 1 tan A tan B 1 2 3
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换 技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
（）由 2
1 sin2B 3 , cos2 B sin2 B
即 cos B sinB 3 , cos B sinB
(cosB si nB )2 得 3 , 2 2 cos B si n B
cos B 0 ,
tan B 2 ,
1 tan B 3 , 1 tan B
(3)半角公式
1 cos cos 2 2 1 cos
2
1 cos
2
1 cos sin 2 2
sin
tan
=
cos
2 sin 2 = cos 2
1 cos 2 2 sin sin cos 2 2 2 1 cos sin 2 2 2 sin sin cos 2 2 2 sin 2
a a b
2 2
确定.
3. 二倍角公式:
sin 2 2 sin cos
变形
(sin cos ) 1 sin 2
2
2
1 2sin
2
变形
1 cos 2 sin 2
变形
2 tan tan2 2 1 tan
（ 降幂公式 ）
4. 几个三角恒等式：（不要求记忆，但要会推导） (1)积化和差公式
基本公式： 1、两角和与差的三角函数公式：
sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos coscos sin sin
(2)和差化积公式
sin sin 2 sin
2
cos
2
sin sin 2 cos
2
sin
2
cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin
a 2 b2 sin(x ) . b 其中 由 sin ， cos 2 2
a b
说明： 利用辅助角公式可以将形如 y =a sin +b cos 的函 数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
这个公式 有什么作 用？
2α 2α 2α
基本知识框架：
S
向量的数量 积及其坐标 运算
S 2
T T
C
S
C
C 2
C S
2 2
T2
T
2
基础练习：
计算：
(1) cos74 sin 14 sin 74 cos14
(2) sin 20 cos110 cos160 sin 70
sin( )
tan tan . tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) . 1 tan tan
2、辅助角公式
a sin x b cos x a b sin x cos x ) 2 2 ( a b a 2 b2 a 2 b2 2 2 (cos sinx sin cos x ) a b
课后巩固：
5 1 (1) sin sin 12 12
(2) cos20 cos40 cos60 cos80
(3)函数f ( x) cos2 x 2 sin x的值域为
(4) sin 7 cos15 sin 8 cos 7 sin15 sin 8
=
注：⑴ 常用角的变换：
① ( ) ② 2 ( ) ( )
解： ，为锐角 0
1 13 又 cos , cos( ) 7 14 4 3 3 3 sin , sin( ) , 7 14
课堂小结：
三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形 （结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及 复杂的综合问题，一般的考虑方法是：
⑴ 找差异：角、名、形的差异；
⑵ 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间 可以用哪个公式联系起来； ⑶ 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变 形后，正用或逆用公式. （4）常用技巧： ①弦化切 ②化“1” ③正切的和、积 ⑤“升幂”与“降次” ⑥辅助角 ④角变换
[借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关 系，分析角与角之间的互余、互补关系，合理拆、凑，把未知角 用已知角表示．
变式练习：
sin( 2 ) sin 例2：求证 2 cos( ) sin sin
证明：左边
sin( 2 ) 2 cos( ) sin sin sin[( ) ] 2 cos( ) sin sin sin( ) cos cos( ) sin sin sin sin 右边 sin( 2 ) sin 2 cos( ) sin sin
3 2
1
1 4
(3)1 2 sin 22.5
2
(4) sin 15 cos15
2 2
tan12 tan33 (5) 1 tan12 tan33
（公式变，逆用）
1
典型例题：
例1：已知 ， 为锐角， cos
求 cos 的值
1 13 , cos( ) 7 14
[借题发挥]证明的本质是化异为同，可以说，证明是有目 标的有目的化简. 左右归一或变更结论，常用定义法、化 弦法、拆项拆角法、1的变换法、公式变形法等方法．
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量 m (1 , 3 ) , n (cos A , sinA) , m n 1 . （） 2 若 12 sin2B 3 , 求 tanC . （） 1 求角 A； 2 cos B sin B 解：(1) m n 1 ,
1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2
1 cos sin sin 1 cos
注：在半角公式中，根号前的正负号，由角 的象限确定.
2
所在
(4)万能公式
α α α 2sin cos 2tan 2 2 2 α α sinα ＝2sin cos ＝ ＝ . α α α 2 2 sin2 ＋cos2 1＋tan2 2 2 2 －sin 1－tan 2 2 2 2α 2α cosα ＝cos －sin ＝ ＝ . α α α 2 2 sin2 ＋cos2 1＋tan2 2 2 2 cos
③ 2 ( )
④ ⑤ ( ) ( ) 4 4 ⑵ 注意对角范围的要求。
2 2
cos cos[( ) ]
23 cos( ) cos sin( ) sin 98
1 1 1 1 3 (5)化简 cos 2 2 ) （ 2 2 2 2 2 3 1 tan （6）已知sin( ) , sin( ) , 则 5 5 tan
(1 , 3 ) (cos A , sinA) 1 , 3 sin A 1 cos A) 1 , 即 3 sinA cos A 1 , 2( 2 2 sin(A ) 1 . 6 2 0 A , A 5 , 6 6 6 A , 即 A . 6 6 3
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”： （1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、 倍角）. （2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化 简、证明. （3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数 问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算 结构”方面 思考 （4）从算法层面看：使用公式的三重境——顺用、 逆用、变用.
tanC tan[ ( A B)] tan(A B)
tan A tan B 2 3 8 5 3 . 11 1 tan A tan B 1 2 3
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换 技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
（）由 2
1 sin2B 3 , cos2 B sin2 B
即 cos B sinB 3 , cos B sinB
(cosB si nB )2 得 3 , 2 2 cos B si n B
cos B 0 ,
tan B 2 ,
1 tan B 3 , 1 tan B