山东省烟台市高三数学3月诊断性测试试题 理(烟台一模,含解析)新人教A版

数学（理）试题
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑龟墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要
字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1．已知i 是虚数单位，若(1)z i i +=，则|z|等于
A ．1
B ．
2
C ．
2
D ．
12
【答案】C
【解析】由(1)z i i +=，得2(1)11
1(1)(1)222
i i i i i z i i i i --====+++-，所以
2
z ==，选C.
2．若集合M={x∈N *
| x<6}，N={}||1|2x x -≤，则M ()R N =
A ．（-∞，-1）
B ．[)1,3
C ．（3,6）
D ．{4,5}
【答案】D 【解析】
{1,2,3,4,5}M =,{212}{13}N x x x x =-≤-≤=-≤≤，所以
(){13}R N x x x =<->或，
3．已知幂函数y=f （x ）的图象过点（
122
），则log 2f （2）的值为 A ．
1
2
B ．-
1
2
C ．2
D ．-2
【答案】
【解析】设幂函数为()f x x α
=，则11()()2
2
2f α
==
，解得1
2
α=，所以()f x =
以(2)f =
221
log (2)log 2
f ==
，选A. 4．已知函数221
()x f x e -=，若[cos(
)]12
f π
θ+=，则θ的值为
A ．4
k ππ+
B ．4
k ππ-
C ．
24k ππ+ D ．4
k π
π-（其中k∈Z） 4 4 2 4
【答案】C
【解析】由2
21
()1x
f x e -==，得2210x -=，即22cos ()102
π
θ+-=，所以
cos 2()cos(2)cos 202πθπθθ+=+=-=，所以2,2k k Z π
θπ=+∈，即
,24
k k Z ππθ=+∈，选C.
5．下列说法错误的是：
A ．命题“若x 2—4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x 2
－4x+3≠0” B ．“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件 C ．若p∧q 为假命题，则p 、g 均为假命题
D ．命题P ：″x R ∃∈，使得x 2
+x+1<0”，则2
:",10"P x R x x ⌝∀∈++≥
【答案】C
【解析】若p∧q 为假命题，则p 、g 至少有一个为假命题，所以C 错误。

选C. 6．若函数f （x ）=2sin )0(>ωωx 在区间]4
,3[π
π-上单调递增，则ω的最大值等于 A ．
3
2
B ．
2
3
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】因为函数在[,]44T T -
上递增，所以要使函数f （x ）=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增，则有34T π-≥-，即43T π≥，所以243T ππω=≥
，解得3
2
ω≤，所以ω的最大值等于2
3
，选B.
7．若回归直线方程的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是 ^ ^
A ．y =1．23x+4
B ．y =1．23x+5
C ．y =1．23x+0．08
D ．y =0．08x+1．23
【答案】C
【解析】根据点斜式方程可得5 1.23(4)y x -=-，即 1.230.08y x =+，选B. 8．如右图，某几何体的三视图均为边长为l 的正方形，则该几何体的体积是
A ．
6
5
B ．
3
2 C ．1
D ．
2
1 【答案】A
【解析】由题意三视图对应的几何体如图所示，
所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即3
115
1111326
-⨯
⨯⨯⨯=,选A.
9．若点P 是以()0,10-A 、()
0,10B 为焦点，实轴长为22的双曲线与圆x 2
+y 2
=10的一
个交点，则|PA|+ |PB|的值为 A ．22
B ．24
C ．34
D ．26
【答案】D
【解析】由题意知222,10a c ==2222,1028a b c a =
=-=-=，所以双曲线
方程为22128x y -=。

不妨设点P 在第一象限，则由题意知222222
(2)40
PA PB a PA PB c ⎧-==⎪⎨+==⎪⎩，所以2
2
2
()2PA PB PA PB PA PB -=+-，解得232PA PB =，所以
22
2()272PA PB PA PB PA PB +=++=，所以7262PA PB +== D.
10．函数()cos lg f x x x =-的部分图像是
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，所以图象关于y 轴对称，所以排除B,D.当0x →()0f x >，排
除D ，选A.
11．实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->≤≥0)1(1y x a a y x ，若函数z=x+y 取得最大值4，则实数a 的值为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
2
3 【答案】A
【解析】
，由z x y =+得y x z =-+，作出不等式对应的区域，
平移直线y x z =-+，由图象可知当直线经过点D 时，直线的截距最大为4，由4
x y x y +=⎧⎨
-=⎩，
解得2
2x y =⎧⎨
=⎩
，即D(2，2)，所以2a =，选A. 12．已知函数f （x ）=⎩⎨⎧>+-≤-)
0(,1)1()
0(,12x x f x x ，把函数g （x ）=f （x ）－x 的零点按从小到大的
顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 A ．2
)
1(-=
n n a n
B ．1-=n a n
C ．)1(-=n n a n
D ．22-=n
n a
【答案】B
【解析】若0＜x≤1，则﹣1＜x ﹣1＜0，得f （x ）=f （x ﹣1）+1=2x ﹣1
，
若1＜x≤2，则0＜x ﹣1≤1，得f （x ）=f （x ﹣1）+1=2x ﹣2
+1
若2＜x≤3，则1＜x ﹣1≤2，得f （x ）=f （x ﹣1）+1=2x ﹣3
+2
若3＜x≤4，则2＜x ﹣1＜3，得f （x ）=f （x ﹣1）+1=2x ﹣4
+3
以此类推，若n ＜x≤n+1（其中n ∈N ），则f （x ）=f （x ﹣1）+1=2x ﹣n ﹣1
+n ，
下面分析函数f （x ）=2x
的图象与直线y=x+1的交点 很显然，它们有两个交点（0，1）和（1，2），
由于指数函数f （x ）=2x
为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后①将函数f （x ）=2x 和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f （x ）=2x
﹣1和y=x 的图象，
取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）． 即当x≤0时，方程f （x ）﹣x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f （x ）=2x
﹣1和y=x 图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f （x ）=2x ﹣1
和y=x 在0＜x≤1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（1，1）． 即当0＜x≤1时，方程f （x ）﹣x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f （x ）=2x ﹣1
和y=x 在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
即得到f （x ）=2x ﹣2
+1和y=x 在1＜x≤2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（2，2）． 即当1＜x≤2时，方程f （x ）﹣x=0有且仅有一个根x=2． ④以此类推，函数y=f （x ）与y=x 在（2，3]，（3，4]，…（n ，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）． 即方程f （x ）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n ，n+1]上的根依次为3，4，…n+1． 综上所述方程f （x ）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0，1，2，3，4，…
其通项公式为1-=n a n ,选B.
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在答题卡的相应位
置。

13．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为
【答案】10
【解析】第一次循环，1,1,2i S i ==-=；第二次循环，2
2,123,3i S i ==-+==；
第三次循环，2
3,336,4i S i ==-=-=；
第四次循环，2
4,6410,5i S i ==-+==，此时不满足条件，输出10S =. 14．若（x 2
－n
x
)1的展开式中含x 的项为第6项，设（1－3x ）
n
=a o +a 1x+a 2x 2
+…+a n x n
，则a l +a 2+…+a n 的值为 【答案】255
【解析】展开式（x 2
－n x
)1的通项公式为22311()
()(1)k n k
k k k n k k n n T C x C x x
--+=-=-，因为含x 的项为第6
项，所以5,231k n k =-=，解得8n =，令1x =，得
88018(13)2a a a ++
+=-=，又01a =，所以81821255a a ++=-=。

15．对大于l 的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧53，⎪⎩
⎪⎨⎧11
9733，⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧19
17151343，…，仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为 。

【答案】8
【解析】即13=1，23=3+5，33=7+9+11，43
=13+15+17+19，…m 增加1，累加的奇数个数便多1，
我们不难计算59是第30个奇数，若它是m 的分解，则1至m-1的分解中，累加的奇数
一定不能超过30个，故可列出不等式，进行求解，由12(1)30m ++
+-<且
12(1)30m m +++-+≥，解得8m =。

16．给出下列命题：①函数2
4
x
y x =
+在区间[1,3]上是增函数； ②函数f （x ）=2x
－x 2
的零点有3个；
③函数y= sin x （x∈],[ππ-）图像与x 轴围成的图形的面积是S= ⎰-
π
πxdx sin ；
④若ξ～N （1，2
σ），且P （0≤ξ≤1）=0.3，则P(ξ≥2）=0.2． 其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）： 【答案】②④
【解析】①2224'(4)x y x -+=+，由22
2
4
'0(4)x y x -+=>+，解得22x -<<，即函数的增区间为(2,2)-，所以①错误。

②正确。

③当0x π-≤≤时，sin 0x ≤，所以函数y= sin x
（x∈],[ππ-）图像与x 轴围成的图形的面积是
sin x dx π
π-
⎰，所以③错误。

④因为
12(01)10.6
(2)0.222
P P ξξ-≤≤-≥=
==,所以④正确，所以正确的为②④。

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推
理步骤。

17．（本小题满分12分） 已知平面向量a =（cos ϕ,sin ϕ），b=（cosx ，sinx ），c=（sin ϕ,-cos ϕ），其中0<ϕ<π，
且函数f （x ）=（a·b）cosx+（b·c）sinx 的图像过点（6
π
，1）。

（1）求ϕ的值；
（2）先将函数y=f （x ）的图像向左平移
12
π
个单位，然后将得到函数图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图像，求函数y=g （x ）在[0，2
π
]
上的最大值和最小值.
18．（本小题满分12分）
已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2·a 4=65，a 1+a 5=18。

（1）若1<i<21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；
（2）设n
n S n n
b )12(+=
，是否存在一个最小的常数m 使得b 1+b 2+…+b n <m 对于任意的正
整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由。

19．（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o
，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE⊥。