2015-2016人教A版必修3 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(共45张)

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人教A版高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)

反思与感悟解析答案
跟踪训练3 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 (单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种第1年第2年第3年第4年第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解甲品种的样本平均数为10，样本方差为
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►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
解析答案
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1 234
1.下列说法正确的是( B ) A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高解析 A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系； C中求和后还需取平均数； D中方差越大，射击越不平稳，水平越低.
第二章 § 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)
学习目标
1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差； 2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征； 3.体会用样本估计总体的思想.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究点点落实

高中数学人教A版必修三2.2.2【教学设计】《用样本的数字特征估计总体的数字特征》

用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）1、知识与技能（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。

（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。

（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。

（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

2、过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

3、情感态度与价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。

【教学重点】用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。

【教学难点】能应用相关知识解决简单的实际问题。

（一）知识回顾回顾初中所学三数概念：1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。

2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

3、平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的值。

（二）新课导入美国NBA在2011——2012年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49；乙运动员得分：8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就应有相应的数据作为比较依据，即通过样本数字特征对总体的数字特征进行研究．所以今天我们开始学习用样本的数字特征估计总体的数字特征。

（三）新课讲授探究:众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系思考1:如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出众数的值？举例加以说明。

答:众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标。

必修三2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特征

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 1.中位数的求法 (1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间那个数． (2)当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的平均数． 2．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
众数、中位数、平均数的概念 1．次数最多的数称为这组数据的 (1)众数：一组数据中出现_____ 众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有．众集中趋势．在频率分布直方图中，数反映了该组数据的_________ 中点就是数据的众数．最高矩形的_____ (2)中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 _____ 中间位置的数称为这组数据的中位数(或两个数据的平均数)．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积_____ 相等 .
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1 解 (1) 利用平均数计算公式得 x ＝ (82×27 ＋ 48 80×21)≈81.13(分)． (2)∵男同学的中位数是75， ∴至少有14人得分不超过75分．
又∵女同学的中位数是80， ∴至少有11人得分不超过80分． ∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)． (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．
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(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感，方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常用标准差——样本方差的算术平方根来描述． (5)标准差的大小不会越过极差． (6)方差、标准差、极差的取值范围：[0，＋∞)．当标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性． (7)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差．

2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修三：2.2.3《用样本的数字特征估计总体的数字特征》ppt(优秀课件)

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基础梳理
1．平均数：数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 x1＋x2＋…＋xn x＝ . n 例如：一组数据 6,13,13,16 的平均数是 12 ______________________________________________________ __________________．
2
自测评价
1．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( B ) A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8 2．样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3，若该样本的平均值为 1，则样本方差为( D ) 6 6 A. B. C. 2 D．2 5 5
⇒ x＝30.
点评：1.深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用． 2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存
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在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知
道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．
题型二中位数、众数、平均数与频率分布直方图的关系
例2 为了了解高一学生的体能情况，某校抽
取部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
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(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
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3．有 10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12 ，设平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有( A ) A．a<b<c B．a>b>c C．a<c<b D．c>a>b 4．如下图，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 x 和 x ，样本标准差分别为 s A 和

人教A版必修三 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件(36张)

C.－x ，s2
D.－x ＋100，s2
【解析】
(1)因为
－x
＝
1 11
(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11
＋x)＝111(61＋x)＝6，所以x＝5.
方差为s2＝42＋22＋22＋12＋12＋1012＋12＋22＋32＋52＋12＝6116＝
6.
(2)样本数据x1，x2，…，x10的均值－x ＝110(x1＋x2＋…＋x10)，
解析：因为甲班学生成绩的平均分是85，所以
78＋79＋85＋80＋x＋80＋96＋92 7
＝85，解得x＝5，又因为乙班学
生成绩的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝8.
答案：8
类型二方差、标准差的计算与应用
例2 (1)有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小
排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这
知识点一众数、中位数、平均数
1．众数一组数据中重复出现次数最__多__的数叫做这组数的众数，即在样本数据中，频率_最__大__值___所对应的样本数据为众数．
2．中位数把一组数据按__从__小__到__大___(或__从__大__到__小__)___的顺序排列，把处于中__间__位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，
3．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数的众数为5，那么该组数据的中位数是( )
A．7 B．5 C．6 D．11
解析：由这组数据的众数为5，可知x＝5，把这组数据由小到大排列为－3,5,5,7,11，则可知中位数为5.
答案：B
4．已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为( ) A．5 B. 5 C．2 D. 2

人教A版高中数学必修3：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(4)

中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
中位数 37.81
3. 同样，可以从频率分布直方图中估计样本平均数
平均数的估计值=频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，由此估计工人日加工零件数的平均数又是多少呢？
平均数的估计值=频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
3、平均数 x x1 x2 x3 ... xn n
随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：25，29，30， 31，32，33，34，34，36，36，36，37，37，38， 39，40，41，42，42，43，43，44，45，46，49.
平均数：37.5
练习1 如图所示是一样本的频率分布直方图,则由
图形中的数据,可以估计众数、中位数与平均数分别是多少？
众数：12.5 中位数：13 平均数：13
练习2
某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求: (1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. 众数：65 中位数：65 (2)高一参赛置
大册子P35-P37相应的题目做完，要有过程步骤。
样本频率分布直方图如下：
二、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
例如，从刚才例子中频率分布直方图可以看出，工人的日加工零件的众数是多少？
众数（最高矩形的中点的横坐标）
众数：37.5
2、在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。下图中虚线代表工人日加工零件数的中位数的估计值，此数据值为______.

人教版高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

3 平均数平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25频×率 0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22 +2.2组5距×0.25+2.75×0.14+3.25× 0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.
0.25，0.75，1.25，1.75，2.25
高为
cm.
2024/11/3
14
2024/11/3
15
例有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，
每次命中的环数如下：
甲：７８７９５４９１０７４
乙：９５７８７６８６７７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?
如果看两人本次射击的平均成绩,由于
x甲 7, x乙 7
两人射击的平均成绩是一样的.那么两个人的水平
就没有什么差异吗?
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甲的环数极差=10- 4=6
乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一起, 可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端值非常敏锐,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的统计策略.
因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反应该工厂的工资水平。
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想一想:
• 从某小学随机抽取100名同学,将
他们的身高(单位:cm)数据绘制成
频率散布直方图(如图).由图中数

高中数学人教A版必修3-2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征-课件(共28张PPT)

3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的个数所得到的数.
小练习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.(× )
众数可以有多个，中位数是唯一的. （求中位数先排序）
4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( A )
A．3,5 C．3,7
B．5,5 D．5,7
课堂小结
1.样本的数字特征:众数、中位数和平均数. 2.用样本频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数.
2.用相关知识来解决简单的统计问题.(重点）
3.体会样本数据特征具有随机性(重点） 4.初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。
【教学方法】：启发式、探究式
复习回顾
1.众数的定义: 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数.
2.中位数的定义: 将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
又因为第一个小矩形的面积为0.3，所以设第二个小矩形底边的一部分长为x，

高中数学必修三 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教案新人教A版必修3

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征（一）创设情境，引入新课在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。

——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。

（二）研探新知1、众数、中位数、平均数探究：P74（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。

例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。

提出问题：原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而 2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。

提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。

因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。

由此可以估计出中位数的值为2.02。

思考：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（课本75页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。

人教版高中数学 A版必修三第二章《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》

知识点三平均数定义如果有 n 个数
x1，x2，x3，…，xn，那么
x
＝
1n(x1＋x2＋…＋xn)
叫做
这 n 个数的平均数.
特点 (1)一组数据有且仅有一个平均数.(2)平均数是频率分布直方图的
“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中
点的横坐标的乘积之和为平均数.(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，
度.
3.现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准
差客观存在，但是我们无从知道.所以通常的做法随是机用样本的平均数和标准
差去估计总体的平均数与标准差.虽然样本具有
性，不代同表的性样本测
得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的
答案
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题型探究
重点难点个个击破
类型一感受数据的离散程度
3.利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点.②中位数左右两边直方图的面积应相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
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第二章 § 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)
学习目标
1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差； 2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征； 3.体会用样本估计总体的思想.
知识点二用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征
1.样本的基本数字特征包括众数、中位数平、均数标、准差
.
2.平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们
作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些

高中数学人教版必修3 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征教案 (系列五)

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征●三维目标1．知识与技能(1)能利用频率分布直方图估计总体的众数，中位数，平均数．(2)结合实际，能选取恰当的样本数字特征，对问题作出合理判断，制定解决问题的有效方法．2．过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．3．情感、态度与价值观通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风．●重点难点重点：利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数．难点：(1)从频率分布直方图中计算出中位数；(2)选取恰当的样本数字特征来估计总体，从而正确的对实际问题做出决策．●教学建议1．本节课让学生通过熟知的一组数据的代表－众数、中位数、平均数，并辅以计算器、多媒体手段，通过一定手脑结合的训练，让学生感受在只能得到频率分布直方图的情况下也可以估计总体数字特征．在课堂结构上，建议根据学生的认知水平，采取“仔细观察—分析研究—小组讨论—总结归纳”的方法，使知识的获得与知识的发生过程环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标．2．教学方法与手段分析(1)教学方法：结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，建议采用“问答探究”式的教学方法，层层深入．充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体．(2)教学手段：通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．(3)本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念．教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究问题，探究问题的结论．●教学流程创设问题情境引出问题⇒引导学生结合初中学过的众数、中位数、平均数的概念感受这三个数字特征⇒教师通过多媒体展示这三个数字特征，通过分组讨论总结求法⇒通过例1的展示及变式训练的强化使学生进一步体会这三个数字特征通过例2及变式训练使学生掌握求方差及标准差的方法，体会方差的应用⇒引导学生探究方差及标准差的特征及求法，分组讨论说明方差的实际意义⇒归纳整理进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．(重点) 2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．(重点) 3．会应用相关知识解决统计实际问题．(难点)众数、中位数、平均数的概念1.众数：一组数据中重复出现次数最多的数叫做这组数的众数．2．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间的那个数；当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数．3．平均数：如果有n个数x1，x2，x3，…，x n，那么x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)叫这n个数的平均数．标准差、方差【问题导思】甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,51．甲、乙两战士命中环数的平均数x甲、x乙各是多少？【提示】x甲＝7环；x乙＝7环．2．由x甲，x乙能否判断两人的射击水平？【提示】由于x甲＝x乙，故无法判断．3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？【提示】从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定．1．标准差的计算公式标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝1n x1－x2＋x2－x2＋…＋x n－x2].2．方差的计算公式标准差的平方s2叫做方差．s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]．其中，xi(i＝1,2，…，n)是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数.众数、中位数、平均数的应用例题1某公司的33名人员的月工资如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资(元)5500500035003000250020001500(1)求该公司人员月工资的平均数、中位数、众数(精确到元)；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元；董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．【思路探究】由平均数定义→计算平均数→将数据从小到大排列→得中位数、平均数→结论【自主解答】(1)平均数是x＝(5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20)÷33≈2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(2)平均数是x′＝(30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1 500×20)÷33≈3288(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平．规律方法1．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．3．平均数对极端值敏感，而中位数对极端值不敏感．因此两者结合，可较好地分析总体的情况．变式训练高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？【解】(1)利用平均数计算公式得x＝148(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)∵男同学的中位数是75，∴至少有14名男同学得分不超过75分．又∵女同学的中位数是80，∴至少有11名女同学得分不超过80分．∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．用频率分布表或直方图求数字特征例题2已知一组数据：125121123125127129125128130129126 124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数累计频数频率[120.5,122.5)[122.5,124.5)[124.5,126.5)[126.5,128.5)[128.5,130.5]合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．【思路探究】将数据分组后依次填写分布表．然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解．【自主解答】(1)分组频数累计频数频率[120.5,122.5)20.1[122.5,124.5)30.15[124.5,126.5) 8 0.4 [126.5,128.5) 4 0.2 [128.5,130.5]3 0.15 合计201(2)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×58＝125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x －＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上平均数的精确值为x －＝125.75.规律方法1．利用频率分布直方图求数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边的中点． (2)中位数左右两侧直方图的面积相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．变式训练下表是某校学生的睡眠时间抽样的频率分布表(单位：h )，试估计该校学生的日平均睡眠时间．睡眠时间 [6， 6．5) [6.5， 7) [7， 7．5) [7.5， 8) [8， 8．5) [8.5， 9] 合计频数 5 17 33 37 6 2 100 频率0.050.170.330.370.060.021【解】法一日平均睡眠时间为x ＝1100×(6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2)＝1100×739＝7.39(h )．法二求组中值与对应频率之积的和：x ＝6.25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h )．所以，估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h .标准差与方差的应用例题3 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．【思路探究】着眼点—错误!)【自主解答】 (1)x 甲＝16[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，x 乙＝16[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x 甲＝x 乙，比较它们的方差，∵s 2甲＞s 2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．规律方法1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)：方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．2．关于统计的有关性质及规律：(1)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等． (3)若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.变式训练对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试，测得他们每次的最大速度(m /s )如下：甲：27,38,30,37,35,31 乙：33,29,38,34,28,36根据以上数据，试判断他们谁更优秀．【解】x 甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝16×94≈15.7， x 乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33， s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝16×76≈12.7. 所以x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙.这说明甲、乙两运动员的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.巧用分类讨论思想求数字特征典例 (12分)某班4个小组的人数为10,10，x ,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．【思路点拨】 x 的大小未知，可根据x 的取值不同分别求中位数．【规范解答】该组数据的平均数为14(x ＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x 不知是多少，所以要分几种情况讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x ,8,10,10，其中位数为12×(10＋8)＝9.若14(x ＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.4分 (2)当8<x ≤10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x ,10,10，其中位数为12(x ＋10)．若14(x ＋28)＝12(x ＋10)，则x ＝8，而8不在8<x ≤10的范围内，所以舍去.8分 (3)当x >10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x ，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.12分启迪思维当在数据中含有未知数x ，求该组数据的中位数时，由于x 的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论，讨论时要做到全面合理，不重不漏．课堂小结1．一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数．2．利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点．②中位数左右两边直方图的面积应相等．③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．基础达标训练1．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为( )A ．4.55B ．4.5C ．12.5D ．1.64 【解析】x ＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2≈4.55.【答案】 A2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x ,23,27,28,31，中位数为22，则x ＝________.【解析】由题意知x ＋232＝22，则x ＝21.【答案】 213．五个数1,2,3,4，a 的平均数是3，则a ＝________，这组数据的标准差是________．【解析】由平均数公式得1＋2＋3＋4＋a 5＝3，则a ＝5，s 2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.∴s ＝ 2.【答案】 524.2012年青年歌手大奖赛民族唱法组中，6位评委现场给每位歌手打分，去掉一个最高分和一个最低分后，其余分数的平均数作为歌手的成绩，已知6位评委给某位歌手的打分是：9．2 9.5 9.4 9.6 9.8 9.5求这位歌手的得分及6位评委打分的众数和中位数．【解】这位歌手的得分为x ＝14(9.5＋9.4＋9.6＋9.5)＝9.5分．在这组数据中，9.5出现了2次，出现的次数最多，所以6位评委打分的众数是9.5分，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，位于最中间的两个数都是9.5，所以6位评委打分的中位数是9.5分.课后测试一、选择题1．(2013·济南高一检测)某学习小组在某次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85,85,85B ．87,85,86C ．87,85,85D ．87,90,85【解析】从小到大排列为75,80,85,85,85,85,90,90,95,100观察可知，众数、中位数分别为85、85，计算得平均数为87.【答案】 C2．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x 及其方差s 2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是( )甲乙丙丁 x7 8 8 7 s 26.36.378.7A .甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】 ∵x 乙＝x 丙＞x 甲＝x 丁，且s 2甲＝s 2乙＜s 2丙＜s 2丁，∴应选择乙进入决赛．【答案】 B3．(2012·山东高考)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差【解析】对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．【答案】 D4．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A ．3.5B ．－3C ．3D ．－0.5【解析】少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3.【答案】 B5．(2012·安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2－2－9所示，则( )图2－2－9A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】由条形统计图得到相关数据，然后利用平均数、中位数、方差、极差的概念求解．由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8；乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9，所以x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x 乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6.所以x 甲＝x乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2<125，所以s 2甲<s 2乙.故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故D 不正确．故选C .【答案】 C 二、填空题6．(2013·深圳高一检测)已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，标准差为2，则xy ＝________.【解析】由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50，∴x ＋y ＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2＝(2)2×5＝10，得x 2＋y 2－20(x ＋y )＝－192，(x ＋y )2－2xy －20(x ＋y )＝－192，∴xy ＝96.【答案】 967．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________．分数 5 4 3 2 1 人数2010303010【解析】平均成绩为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100＝3，s 2＝1100×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝160100.∴s ＝2105【答案】21058．(2012·广东高考)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)【解析】利用平均数、中位数、标准差公式分类讨论求解．假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝ 4.又s ＝ 14x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＋x 4－2]＝12x 1－2＋x 2－2＋－x 2－2＋－x 1－2＝12x 1－22＋x 2－2]＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.【答案】 1,1,3,3 三、解答题9．某公司销售部有销售人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：每人销售件数1 800 510 250 210 150 120 人数113532(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额．【解】 (1)平均数x ＝115×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中就有13人的销售额达不到320件，也就是说320虽是这一组数据的平均数但它却不能反映销售人员的一般水平．销售额定为210件要合理些．由于210既是中位数，又是众数，是绝大部分人都能达到的销售额．10．某篮球队教练要从甲、乙两名运动员中挑选一名运动员，甲、乙两人进行10轮投篮比赛，每轮每人投10次，甲每轮投中的次数分别为9,7,8,7,8,10,7,9,8,7，乙每轮投中的次数分别为7,8,9,8,7,8,9,8,9,7，请你给教练一个人选的建议．【解】由已知x 甲＝110×(9＋7＋8＋7＋8＋10＋7＋9＋8＋7)＝8，x 乙＝110×(7＋8＋9＋8＋7＋9＋8＋9＋8＋7)＝8， s 2甲＝110×[(9－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝1.s 2乙＝110×[(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝35.∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴乙运动员发挥稳定，应选乙．11．为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图2－2－10，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.图2－2－10(1)求第四小组的频率；(2)问参加这次测试的学生人数是多少？(3)问在这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？【解】(1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)参加这次测试的学生人数为50.1＝50.(3)由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．∵0.1＋0.3＝0.4<0.5，0．1＋0.3＋0.4＝0.8>0.5，故这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.(教师用书独具)备选例题某学校高一A班和高一B班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下：班级平均分众数中位数标准差A班79708719.8B班7970795.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析：A班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．【思路探究】综合考虑四个数字特征对小刚成绩情况进行判断，同时对班级成绩作出分析．【自主解答】(1)由于A班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游．(2)A班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助．B班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率．备选变式某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：分数5060708090100人数甲班161211155乙班351531311选用平均数、众数和中位数评估这两个班的成绩？【解】甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班．可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定．如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适.。

2015-2016学年人教A版必修3 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件(52张)

(3)三种数字特征的优缺点． ①众数体现了样本数据的最大集中点，但显然它对其他数据信息的忽视使得它无法客观地反映总体特征． ②中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．
③由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具备的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均均能反映该公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
规律技巧
在用平均数估计总体的时候，样本中的每一个
数据都会影响到平均数的大小，因此在实际操作中，一定要注意个别极端值对平均数的影响.
从数学的角度考虑，有时用标准差的平方s2—方差来代替 1 标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：s ＝n[(x1－ x )2＋
2
(x2－ x )2＋„＋(xn－ x )2]．
(2)对方差、标准差的理解． ①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．标准差的大小不会超过极差． ②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
课堂互动探究
剖析归纳触类旁通

【人教A版高一数学必修3教学设计】2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征整体设计教学分析教科书结合实例展示了频率分布的众数、中位数和平均数.对于众数、中位数和平均数的概念,重点放在比较它们的特点,以及它们的适用场合上,使学生能够发现,在日常生活中某些人通过混用这些（描述平均位置的）统计术语进行误导.另一方面,教科书通过思考栏目让学生注意到,直接通过样本计算所得到的中位数与通过频率直方图估计得到的中位数不同.在得到这个结论后,教师可以举一反三,使学生思考对于众数和平均数,是否也有类似的结论.进一步,可以解释对总体众数、总体中位数和总体平均数的两种不同估计方法的特点.在知道样本数据的具体数值时,通常通过样本计算中位数、平均值和众数,并用它们估计总体的中位数、均值和众数.但有时我们得到的数据是整理过的数据,比如在媒体中见到的频数表或频率表,用教科书中的方法也可以得到总体的中位数、均值和众数的估计.教科书通过几个现实生活的例子,引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的,还需要描述样本数据离散程度的特征.通过对如何描述数据离散程度的探索,使学生体验创造性思维的过程.教科书通过例题向学生展示如何用样本数字特征解决实际问题,通过阅读与思考栏目“生产过程中的质量控制图”,让学生进一步体会分布的数字特征在实际中的应用.三维目标1.能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数；能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法；通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风.2.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）,并作出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.3.在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系.重点难点教学重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性.教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题. 课时安排2课时教学过程第1课时众数、中位数、平均数导入新课思路1在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计总体的数字特征.(板书课题)思路2在日常生活中,我们往往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征,例如：买灯泡时,我们希望知道灯泡的平均使用寿命,我们怎样了解灯泡的使用寿命呢？当然不能把所有灯泡一一测试,因为测试后灯泡则报废了.于是,需要通过随机抽样,把这批灯泡的寿命看作总体,从中随机取出若干个个体作为样本,算出样本的数字特征,用样本的数字特征来估计总体的数字特征.推进新课新知探究提出问题(1)什么是众数、中位数、平均数？(1)如何绘制频率分布直方图？(3)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？活动:那么学生回忆初中所学的一些统计知识,思考后展开讨论,教师提示引导.讨论结果：(1)初中我们曾经学过众数（在一组数据中,出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小顺序排列的一组数据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均数）等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.(2)画频率分布直方图的一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图.(3)教材前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是2.25 t（最高的矩形的中点）,它告诉我们,该市的月均用水量为2.25 t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少.请大家翻回到课本看看原来抽样的数据,有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义,2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.思考：2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）课本显示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02 t左右）,但是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗？（让学生讨论,并举例）对极端值不敏感有利的例子：考察课本中表21中的数据,如果把最后一个数据错写成22,并不会对样本中位数产生影响.也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的影响,而在实际应用中,人为操作的失误经常造成错误数据.对极端值不敏感有弊的例子:某人具有初级计算机专业技术水平,想找一份收入好的工作,这时如果采用各个公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险:很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低,其原因是中位数对极小的数据不敏感.这里更好的方法是同时用平均工资和中位数来作为参考指标,选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.对极端值不敏感的方法,不能反映数据中的极端情况.同样的,可以从频率分布直方图中估计平均数,上图就显示了居民用水的平均数,它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.由估计可知,居民的月均用水量的平均值为2.02 t.显示了居民月均用水量的平均数,它是频率分布直方图的“重心”.由于平均数与每一个样本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具有的性质.也正因为这个原因,与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.从图上可以看出,用水量最多的几个居民对平均数影响较大,这是因为他们的月均用水量与平均数相差太多了. 利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.总之,众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算,但只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的影响也越大．三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心”. 应用示例思路1例1 （1）若M 个数的平均数是X,N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是___________；（2）如果两组数x 1,x 2,…,x n 和y 1,y 2,…,y n 的样本平均数分别是x 和y,那么一组数x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n 的平均数是___________．活动：学生思考或交流,教师提示,根据平均数的定义得到结论.解：（1）N M NYMX ++；（2）2y x +.例2 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分）,试确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好一些．甲班：112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114 乙班：116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水平,因此,分别求出甲、乙两个班的平均分即可．解：用计算器分别求出甲班的平均分为101.1,乙班的平均分为105.4,故这次考试乙班成绩要好于甲班．思路2例1 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位：h),试估计该校学生的日平均睡眠时间．一个范围,可以用各组区间的组中值近似地表示．解法一：总睡眠时间约为6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25×6+8.75×2=739（h）,故平均睡眠时间约为7.39 h．解法二：求组中值与对应频率之积的和6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×0.37+8.25×0.06+8.75×0.02=7.39（h）.答：估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h．例2 某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单位职工的平均年收入．分析：上述百分比就是各组的频率．解：估计该单位职工的平均年收入为12 500×10%+17 500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000×5%=26 125(元). 答：估计该单位人均年收入约为26 125元．知能训练从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：甲公司：800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 5001 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 5002 000 2 000 2 0002 000 2 000 2 500 2 500 2 500乙公司：700 700 700 700 700 700 700 700 700700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 6 000 8 000 10 000试计算这两个公司50名员工月工资平均数、众数、中位数,并估计这两个企业员工平均工资.答案：甲公司：员工月工资平均数1 240,众数1 200,中位数1 200；乙公司：员工月工资平均数1 330,众数1 000,中位数1 000；从总体上看乙公司员工月工资比甲公司少,原因是乙公司有几个收入特高的员工影响了工资平均数.拓展提升“用数据说话”, 这是我们经常可以听到的一句话.但是,数据有时也会被利用,从而产生误导.例如,一个企业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是一万元左右,另有一些经理层次的人,年收入可以达到几十万元.这时,年收入的平均数会比中位数大得多.尽管这时中位数比平均数更合理些,但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时,也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释?这句话的目的是谨防利用人们对统计术语的模糊认识进行误导(蒙骗).使学生能够正确理解在日常生活中像“我们单位的收入水平比别的单位高”这类话的模糊性,这里的“收入水平”是指员工收入数据的某个中心点,即可以是中位数、平均数或众数,不同的解释有不同的含义.在这里应该注意以下几点:1.样本众数通常用来表示分类变量的中心值,容易计算,但是它只能表达样本数据中的很少一部分信息,通常用于描述分类变量的中心位置.2.中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或排序靠后的数据)的影响,容易计算,它仅利用了数据中排在中间数据的信息.当样本数据质量比较差,即存在一些错误数据(如数据的录入错误、测量错误等)时,应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值,可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本中位数的影响程度.3.平均数受样本中的每一个数据的影响,“越离群”的数据,对平均数的影响也越大.与众数和中位数相比,平均数代表了数据更多的信息.当样本数据质量比较差时,使用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差.可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本平均数的影响程度.在体育、文艺等各种比赛的评分中,使用的是平均数.计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量保证公平性.4.如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息,帮助我们作出决策.5.使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据的中心位置,从而产生一些误导作用. 课堂小结1．能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（平均数）,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平；3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．作业习题2.2A组3.第2课时标准差导入新课思路1平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.(教师板书课题)思路2在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛？我们知道,x甲=7，x乙=7.两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没有水平差距呢？从上图直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据——标准差.推进新课新知探究提出问题(1)如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？(2)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计哪种钢筋的质量较好？(3)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产量分别如下:(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?(4)全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平.民政局对该市100户家庭进行调查统计,它们的人均收入达到了1.6万元,民政局即宣布该市民生活水平已达到小康水平,你认为这样的结论是否符合实际?(5)如何考查样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?讨论结果：(1)利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(2)由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论.(3)选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.(4)不符合实际.样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统计数据的分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,都是考察数据的分散程度.(5)把问题(3)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差. 标准差：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示.所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ,x 表示这组数据的平均数.x i 到x 的距离是|x i -x |(i=1,2,…,n). 于是,样本数据x 1,x 2,…,x n 到x 的“平均距离”是S=nx x x x x x n ||||||21-++-+- .由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差: s=])()()[(122221x x x x x x nn -++-+- . 意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数x =1.973，标准差s=0.868，所以 x +s=2.841,x +2s=3.709； x -s=1.105,x -2s=0.237.这100个数据中，在区间［x -2s,x +2s ］=［0.237,3.709］外的只有4个，也就是说，［x -2s, x +2s ］几乎包含了所有样本数据.从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具： s 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］. 显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差. 需要指出的是,现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.如导入中的运动员成绩的标准差的计算器计算.用计算器计算运动员甲的成绩的标准差的过程如下：即s甲=2.用类似的方法，可得s乙≈1.095.由s甲>s乙可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.应用示例思路1例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.3625.34 25.42 25.45 25.38 25.4225.39 25.43 25.39 25.40 25.4425.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值. 解：用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.点评：从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性. 变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 解：运用计算器计算得：100450126024701880309012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=79.40,(12+30+18+24+12)÷100=96%,所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02. 乙品种的样本平均数也为10,样本方差为［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24. 因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.例2 为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯。

高中数学必修3(人教A版)教案—2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

2. 2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征〖教学目标〗1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

〖教学重难点〗教学重点用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。

教学难点能应用相关知识解决简单的实际问题。

〖教学过程〗一、复习回顾作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？二、创设情境在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。

三、新知探究众数、中位数、平均数众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。

中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。

平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。

思考探究：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。

（2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。