用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征是统计学中的重要概念，它可以帮助我们从一个小样本中推断出整个总体的特征。
在实际应用中，这项技术被广泛用于市场调查、医学研究、商业决策等领域，帮助我们更好地了解和分析数据。
本文将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的基本原理、相关的统计学方法和实际应用。
让我们了解一下什么是样本的数字特征和总体的数字特征。
在统计学中，样本是从总体中随机抽取的一部分数据，总体是我们要研究的整体数据集。
样本的数字特征是指通过对抽样数据进行计算，得到的表示数据集特征的数字。
常见的样本数字特征包括均值、方差、标准差等。
而总体的数字特征则是指整个数据集的特征，通常我们是无法直接观测到总体的数字特征的，所以需要通过对样本的数字特征进行估计来推断总体的数字特征。
接下来，我们将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的基本原理和方法。
在统计学中，估计总体的数字特征通常使用点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本的数字特征来估计总体的数字特征的一个常见方法。
最常用的点估计方法是用样本的均值来估计总体的均值。
假设我们从总体中抽取了一个大小为n的样本，样本的均值记作x̄，总体的均值记作μ，那么通过样本的均值x̄来估计总体的均值μ的方法可以表示为：μ≈x̄。
除了均值，样本的方差和标准差也常用于估计总体的方差和标准差。
通过样本的数字特征来估计总体的数字特征的优点是简单直观，但缺点是可能会受到样本容量的影响，当样本容量较小时，估计结果可能不够准确和可信。
区间估计是通过样本的数字特征来构造总体数字特征的置信区间来估计总体的数字特征的方法。
置信区间是指用样本的数字特征构造一个区间，使得总体数字特征落在这个区间内的概率达到一定的置信水平。
常用的区间估计方法包括平均数的置信区间估计、比率的置信区间估计、方差的置信区间估计等。
区间估计的优点是较点估计来说更加全面和准确，但计算复杂度较高，需要考虑更多的因素。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，样本是对总体的一部分进行的观察和测量。
根据样本的数字特征可以估计总体的数字特征，这一过程称为参数估计。
参数估计在统计学中是一个非常重要的部分，它能够帮助我们了解总体的性质，从而做出更好的决策。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是通过样本的数字特征来估计总体的数字特征，例如样本均值可以被用来估计总体均值，样本方差可以被用来估计总体方差。
区间估计则是通过构造置信区间来估计总体的数字特征，区间估计能够提供总体数字特征的近似范围以及估计的可靠程度。
在进行参数估计之前，需要对样本数据进行描述性统计分析，包括计算样本均值、标准差、中位数等数字特征。
由于样本只代表了总体的一部分，因此为了得到准确的估计，需要考虑样本的大小、样本的选取方法以及样本所代表的总体的特点等因素。
在进行点估计时，我们通常选择样本的均值、中位数和众数等数字特征作为总体的估计值。
其中，样本的均值是最常用的估计方法，它是样本中所有观察值的算术平均数，通常被假定为总体均值的无偏估计量。
如果样本的大小很大，样本分布接近正态分布，则用样本均值进行总体均值的估计是相对可靠的。
但如果样本的大小很小或者样本分布不规则，则用样本均值进行总体均值的估计就可能存在偏移。
除了样本均值之外，样本方差是另一个常用的数字特征，用来估计总体方差。
样本方差是样本中所有观察值与其均值之差的平方和除以样本大小减一。
样本方差是总体方差的无偏估计量，但它通常会被低估。
因此，在进行区间估计时，我们通常使用标准误差计算置信区间，标准误差是样本标准差除以样本大小的平方根。
通常用95%或99%的置信度来建立置信区间，这个置信度表示有95%或99%的概率总体数字特征在置信区间内。
当我们对置信区间的长度感兴趣时，可以计算置信区间的中心值和半径，半径等于置信区间的两端点的距离除以2。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
学习课题：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征※学习目标1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
※课前准备（阅读课本P71-P78）※探索新知一、众数、中位数、平均数众数：_______________________________________________________________________中位数：_______________________________________________________________________平均数：_______________________________________________________________________ 思考探究：1、在频率分布直方图中如何求出众数、中位数、平均数。
2、分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？3、你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？二、标准差、方差标准差S=思考探究：1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？注：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
※例题精析例：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：甲：900，920，900，850，910，920乙：890，960，950，850，860，890那种水稻的产量比较稳定？※当堂检测（ABC班完成）1、求下列各组数据的众数、中位数、平均数（1）1 ，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8（2）1 ，2，3，3，3，4，6，7，8，9，92、下列对一组数据的分析，不正确的说法是（）A、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定※延伸拓展(AB班完成)某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下表：（2）若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
举例 1. 甲在一次射击比赛中的得分如下: ( 单 位:环).7,8,6,8,6,5,9,10,7,5,则他命中的平均 数是_____. 7.1 2. 某次数学试卷得分抽样中得到:90分 的有3个人,80分的有10人,70分的有5人,60 77分 分的有2人,则这次抽样的平均分为______.
思考
2.2.2用样本的数字特征 估计总体的数字特征
创设意境
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击
10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥
的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规
如何从频率分布直方图中估计中位数？
练习
应该采用平均数来表示每一个国家项目的平 均金额，因为它能反映所有项目的信息.但平均数 会受到极端数据2200万元的影响，所以大多数项 目投资金额都和平均数相差比较大.
标准差
有两位射击运动员在一次射击测试中各射 靶十次，每次命中的环数如下：
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出 评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选 择？
律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行 研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征.
1. 众数
在一组数据中，出现次数最多
的数据叫做这一组数据的众数. 2. 中位数 将一组数据按大小依次排列，把 处在最中间位置的一个数据（或两个数据的 平均数）叫做这组数据的中位数. 3. 平均数 (1) x = (x1+x2+……+xn) /n (2) x = x’ +a (3) x = (x1f1+x2f2+……xkfk)/n
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，用样本的数字特征估计总体的数字特征是一种重要的实用技术。
这种方法可以通过收集一部分数据样本来推断整个总体的数字特征，从而用相对较小的代表性数据来建立总体的分布模型。
本文将从样本的概念开始，介绍如何利用样本的数字特征估计总体的数字特征。
一、样本概念样本是指总体中的一部分数据，可以用来作为总体特征的代表。
在进行研究或实验时，由于无法对整个总体进行调查或实验，因此需要从中抽取一部分数据进行观察和统计分析。
例如，一个人口普查局需要统计某一城市的人口数量，它是无法对整个城市的人口进行调查的，因此需要从中抽取一部分人口进行调查，这个部分人口就被称为样本。
样本的选择应该是具有代表性的，即包含总体的不同群体，并且样本数据应该尽可能多地反映总体数据的特征。
二、样本数字特征在对样本进行统计分析时，我们通常会关注以下几个数字特征：1. 样本均值 (Sample Mean)：指样本中所有数据的总和除以样本的数量。
其计算公式为：$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$其中，$\bar{x}$表示样本均值，$x_i$表示第$i$个样本数据，$n$表示样本数量。
2. 样本中位数 (Sample Median)：指将样本数据按升序排列后，中间位置的数值。
如果数据数量为偶数，则将中间两个数取平均值。
3. 样本众数 (Sample Mode)：指出现最频繁的数值。
有时样本可能出现多个众数，此时称为多峰分布。
5. 样本标准差 (Sample Standard Deviation)：是方差的平方根，用于度量样本数据的波动程度。
其计算公式为：当我们获得了样本数据的数字特征之后，可以通过适当的方法来估计总体的数字特征。
以下介绍几种常用的方法：1. 样本均值估计总体均值：如果样本是随机抽取的，并且代表性良好，那么样本均值可以很好地估计总体均值。
在这种情况下，总体均值的点估计为：$$\mu=\bar{x}$$$$\sigma=s$$其中，$\sigma$表示总体标准差，$s$表示样本标准差。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
在统计学中，样本是从总体中抽取的部分数据。
样本的数字特征是通过对样本数据的分析和计算得出的描述性统计量，可以用来估计总体的数字特征。
本文将介绍常用的样本数字特征，并讨论如何利用这些特征来估计总体的数字特征。
一、样本的数字特征
1. 平均数：样本的平均数是样本数据的总和除以样本的个数。
平均数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的平均数。
2. 中位数：样本的中位数是将样本数据按照大小排列后，位于中间位置的数字。
中位数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的中位数。
3. 众数：样本的众数是样本数据中出现次数最多的数字。
众数可以表示样本数据的最常见的数值，可以用来估计总体的众数。
4. 方差：样本的方差是样本数据与样本均值之差的平方的平均值。
方差反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的方差。
5. 标准差：样本的标准差是样本方差的平方根。
标准差也反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的标准差。
三、注意事项
1. 样本的数字特征只能提供对总体数字特征的估计，估计的准确程度取决于样本的大小和抽样方法的随机性。
样本越大，估计的准确性一般越高。
2. 在利用样本数字特征估计总体数字特征时，需要考虑样本的代表性。
抽样时要保证样本能够代表总体的各个特征和属性。
3. 样本数字特征只能给出对总体数字特征的一种估计，通过使用统计方法和推断技巧，可以给出估计结果的置信区间和可靠程度。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教新课标
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
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2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 （两课时）零号作业一、众数、中位数、平均数1、众数：(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势 [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．（3）在直方图中为最高矩形下端中点的横坐标 2、中位数：(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．[破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．（3） 直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.左右两边面积各占一半3、平均数：(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为xn＝x 1＋x 2＋…＋x nn(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．（3） 直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和. 二、标准差、方差1、标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用以下公式来计算s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较_ 小．2．方差(1)定义：标准差的平方，即s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小． (3)取值范围：[0，＋∞)3、数据组x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，标准差为s ，则数据组ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b (a ，b 为常数)的平均数为a x ＋b ，方差为a 2s 2，标准差为4、规律总结（1）用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据. 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据（2）平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策.（3）标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.列出一组样本数据的频率分布表步骤说明：1、对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由此可见抽样方法的重要性.2.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，如从一个包含6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本就有20中可能抽样，因此样本的数字特征也有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有惟一答案.3.在实际应用中，调查统计是一个探究性学习过程，需要做一系列工作，我们可以把学到的知识应用到自主研究性课题中去.一号作业11、众数(1)定义：一组数据中出现次数______的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据中的众数可能______一个，也可能没有，反映了该组数据的____________．在直方图中为最高矩形下端中点的____________最多不止集中趋势横坐标2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于______位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是______的，反映了该组数据的______________．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积______．．中间唯一集中趋势相等3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，x n的平均数为x n＝_________________.(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的_____________．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的______，但平均数受数据中_________的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的. ______x1＋x2＋…＋x nn平均水平信息极端值乘积之和4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算s＝__________________________.可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕______波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较______；标准差较小，数据的离散程度较______．1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]平均数大小5．方差(1)定义：标准差的平方，即s2＝________________________________________．(2)特征：与____________的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．(3)取值范围：___________．1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2] 标准差[0，＋∞)数据组x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b(a，b为常数)的平均数为a x＋b，方差为a2s2，标准差为as.典例讲解中位数、众数、平均数的应用例1据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：(1)求该公司的职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到1元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[解析](1)平均数是x＝1 500＋4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)平均数是x′＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．练习1：某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征？[答案](1)甲群市民年龄的平均数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋5710＝15(岁)，中位数为5岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．例2：(1)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差(2)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．①求这次测试数学成绩的众数．②求这次测试数学成绩的中位数．③求这次测试数学成绩的平均分．[解析](1)x甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的中位数是6，乙的中位数是5.甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4.甲的极差是4，乙的极差是4.所以A，B，D错误，C正确．(2)①由图知众数为70＋802＝75.②由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.③由图知这次数学成绩的平均分为：40＋502×0.005×10＋50＋602×0.015×10＋60＋702×0.02×10＋70＋802×0.03×10＋80＋902×0.025×10＋90＋1002×0.005×10＝72.[答案](1)C (2)见解析练习1：参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分布的茎叶图1和频率分布直方图2均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：求参加数学抽测的人数n，抽测成绩的中位数及分数分布在[80,90)，[90,100]内的人数．[答案]分数在[50,60)内的频率为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[90,100]内的同样有2人．由2n＝10×0.008，得n＝25.由茎叶图可知抽测成绩的中位数为73.∴分数在[80,90)之间的人数为25－(2＋7＋10＋2)＝4.参加数学竞赛人数n＝25，中位数为73，分数在[80,90)，[90,100]内的人数分一号作业21．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值都不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的值相等．其中正确的结论的个数() A．1B．2 C．3 D．42、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如下图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m O，平均值为x，则()A．m e＝m O＝x B．m e＝m O<x C．m e<m O<x D．m O<m e<x3、某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是() A．31,6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁4、阶段考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均分为N，那么M N为________．1、A 2 D 3、C 4、 15、为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2．3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4 1.60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2．70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？[解析](1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．标准差、方差的应用例3、从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？[解析]看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的苗的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米的苗高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数．(1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．所以x甲＜x乙．(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1042＝104.2(cm2)，s2乙＝110[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝110×1288＝128.8(cm2)．所以s2甲＜s2乙.[答案](1)乙种玉米的苗长得高，(2)甲种玉米的苗长得齐．练习1：甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有() A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1[答案] B练习2：一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下表：已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．[答案](1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝150×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.s2乙＝150×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256.因为s2甲＜s2乙，所以甲组成绩较乙组成绩稳定．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为20人，乙组成绩大于或等于90分的人数为24人，所以乙组成绩在高分阶段的人数多，同时，乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．一号作业31． 若样本数据x 1，x 2，……，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．322．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品7个月份的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前6个月的市场收购价格：则前7A.757 B.767 C ．11D.7873． 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数4．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)1、C2、B3、C4、1,1,3,3。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征估计总体的数字特征是统计学中的一个重要问题，在实际应用中经常需要通过样本数据对总体数据的统计参数进行估计。
估计总体的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度、峰度等多个方面。
首先，对于总体的均值μ的估计，可以使用样本的平均值x_bar作为总体均值的近似值，即：μ ≈ x_bar这是因为样本的平均值是总体均值的无偏估计量。
在大样本条件下，由于中心极限定理的作用，样本的平均值的标准差会越来越小，从而使得x_bar更加接近总体均值μ。
其次，对于总体的方差σ^2的估计，可以使用样本方差s^2作为总体方差的无偏估计量，即：σ^2 ≈ s^2其中，样本方差的计算公式为：s^2 = ∑(x_i - x_bar)^2 / (n-1)其中，x_i表示第i个样本数据，x_bar表示样本的平均值，n表示样本容量。
在样本容量较大时，样本方差与总体方差之间的差别会越来越小，从而可以更加准确地估计总体方差。
然而，使用样本方差进行总体方差的估计存在一个问题，即样本方差的值通常比总体方差的值偏小。
因此，为了更加准确地估计总体方差，可以使用修正样本方差s_*^2，即将分母从n-1改为n，计算公式为：除了均值和方差的估计外，偏度和峰度等数字特征的估计也是非常重要的。
偏度是衡量数据分布对称性的数字特征，偏度为0表示数据分布对称。
正偏度表示数据分布向右倾斜，负偏度表示数据分布向左倾斜。
偏度的计算公式为：其中，s是样本标准差。
峰度是衡量数据分布尖峭程度的数字特征，峰度为0表示数据分布与正态分布相同。
正峰度表示数据分布比正态分布更加集中，负峰度表示数据分布较为平缓。
峰度的计算公式为：通过样本的数字特征估计总体的数字特征是数据分析的一个基本问题。
在实际应用中，要根据数据分析的目的选择合适的估计方法，并掌握估计方法的优缺点，以确保估计结果的准确性和可靠性。
用样本的数字特征估计总体的数字特征(IV)
VS
详细描述
样本中位数是总体中位数的无偏估计，但 当样本量较小时，由于受到异常值的影响 ，估计的精度较低。因此，在估计总体中 位数时，需要保证样本量足够大。
实例三：基于方差的总体数字特征估计
总结词
样本方差是总体方差的无偏估计，但当样本 量较小时，估计的精度较低。
详细描述
样本方差是总体方差的无偏估计，但在实际 应用中，由于受到抽样误差的影响，样本方 差可能会被低估或高估。因此，在估计总体 方差时，需要使用修正的样本方差公式，以 提高估计的精度。
例子
样本均值$overline{x}$ 是总体均值$μ$的无偏 估计。
有效估计
定义
如果一个估计量是某个无偏估计量的函数，则称 这个估计量为有效估计量。
意义
有效估计量在无偏估计的基础上，进一步减小了 估计误差，提高了估计的精度。
例子
样本方差$s^{2}$是总体方差$σ^{2}总体的数字特 征(iv)
目录
• 引言 • 样本数字特征的选取 • 总体数字特征的估计 • 样本数字特征的性质 • 实例分析 • 结论与展望
01
CATALOGUE
引言
研究背景
随着大数据时代的来临，大量数据被收集和存储，如 何从这些数据中提取有用的信息成为了一个重要的研
究课题。
3
此外，随着数据量的不断增加，快速、准确地估 计总体数字特征的需求也日益迫切，因此该研究 具有重要的现实意义。
02
CATALOGUE
样本数字特征的选取
均值
总结词
均值是所有数值相加后除以数值的数量所得的结果，它反映了数据的平均水平 。
详细描述
在统计学中，均值是一种常用的数字特征，它能够概括一组数据的中心趋势。 通过计算样本的均值，可以估计总体均值的近似值，从而了解总体数据的平均 水平。
(完整版)用样本的数字特征估计总体的数字特征(教案)
2。
2。
2 用样本的数字特征估计总体的数字特征一、教学目标1．能从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释． 2．会求样本的众数、中位数、平均数．3．能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数． 二、教学重难点重点:根据实际问题，对样本数据提取基本的数字特征并做出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性．难点:在频率分布直方图中分析众数、中位数、平均数. 三、众数、中位数、平均数的概念 1。
众数的概念一组数据中重复出现次数_____的数叫做这组数的众数 2。
中位数的定义把一组数据按大小顺序排列，把处于_____位置的那个数称为这组数据的中位数； 当数据个数为奇数时，中位数是按大小顺序排列的____的那个数；当数据个数为偶数时,中位数是按大小顺序排列的最中间两个数的_________。
3.平均数的概念 如果有n 个数12,,,n x x x ,那么这n 个数的算术平均数就是这组数平均数，即例1:在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下: 甲运动员：7,8，6,8,6，5，8，10,7,4 乙运动员：9，5，7,8，7，6，8,6，7,7观察上述样本数据，分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数？ 甲运动员命中环数:众数: 中位数：平均数:786865810746.910x +++++++++==乙运动员命中环数:众数： 中位数：平均数：9578768677710x +++++++++==例2、在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。
众数（最多的）： ；中位数（最中间的）: 平均数 ：四、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 思考1：如何从频率分布直方图中估计出众数的值？例3：在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，这些样本数据的频率分布直方图如下所示:观察图形，估计出众数的思考2：如何从频率分布直方图中估计出中位数的值？在样本中，有50％的个体小于或等于中位数,也有50％的个体大于或等于中位数反映到频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值. 所以，中位数在频率分布直方图中，就是使其左右小矩形面积和相等 思考3：如何从频率分布直方图中估计出平均数的值?例4：射击选手甲10次的射击情况，求其命中环数的平数2.54.5所以,平均数为:456272831010x ++⨯+⨯+⨯+=1122314567810101010101010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯即：平均数等于每个命中环数乘以该数的频率之和例5：100位居民月均用水量的频率分布表，求其平均数的估计值0.250.040.750.08 1.250.15 1.750.22 2.250.252.750.14 3.250.06 3.750.04 4.250.022.02x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以，平均数的估计值=小矩形底边中点的横坐标乘以对应频率之和 思考4：怎么在样本的频率分布直方图中估计出平均数的值？平均数的估计值=每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 五、反思与感悟 :众数：最高矩形端点的横坐标;中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和。
用样本的数字特征估计总体的数字特征说课稿 教案 教学设计
本章节是学生在初中学过的简单的统计知识一个深化。学生通过本章的学习应体会统计思维与确定性思维的差异。在本章中学生应通过实习作业较为系统地经历数据收集与处理的全过程。学生在了解统计问题时，应该包括两个方面的信息，即问题所涉及的总体和变量，处理统计问题时，学生对于随机性的理解是困难的，为此在教学过程中要通过日常生活中大量的实例以助理解。
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
〖例2〗ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（见课本Ｐ６９）
分析： 比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值。
考试说明：1.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差及方差。2.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。3.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。4.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。
〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，我们经常需要对总体的数字特征进行估计。
由于总体往往很大或者难以获得全部数据，我们通常只能通过抽样得到部分数据。
这时，我们可以利用样本的数字特征来估计总体的数字特征，从而对总体进行推断。
本文将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法和相关概念。
一、样本与总体的概念在统计学中，总体是指研究对象的全部个体或观察值的集合。
总体通常是我们想要了解的全部群体，比如全国人口总数、某一批产品的质量总体等。
样本是从总体中选取的、具有代表性的一部分个体或观察值的集合。
样本的选择要求有代表性，即能够反映总体的一般情况。
在实际应用中，由于种种原因往往难以获得全部总体数据，因此我们通常只能依靠样本数据来进行统计推断。
二、样本的数字特征样本的数字特征是用来表示样本数据的数字指标，通常包括中心位置的指标（均值、中位数）、离散程度的指标（标准差、方差）和形状的指标（偏度、峰度）等。
这些数字特征可以帮助我们了解样本数据的集中趋势、变异程度和分布形状，从而为估计总体的数字特征提供依据。
1. 中心位置的指标中心位置的指标用来表示样本数据的集中趋势，反映了样本数据的平均水平。
常用的中心位置指标包括均值和中位数。
均值是样本数据的平均值，可用于表示样本数据的平均水平。
中位数是将样本数据按照大小顺序排列后位于中间位置的数值，能较好地反映样本数据的中心位置。
2. 离散程度的指标离散程度的指标用来表示样本数据的分散程度，反映了样本数据的离散程度。
常用的离散程度指标包括标准差和方差。
标准差是样本数据偏离均值的平均距离的平方根，是对样本数据的分散程度的度量。
方差是标准差的平方，是样本数据离均值的平均偏差的度量。
3. 形状的指标1. 点估计点估计是利用样本的数字特征估计总体的数字特征的一种方法。
点估计通常是利用样本的数字特征来估计总体的数字特征的一个数值。
比较常用的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本标准差估计总体标准差等。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本的数字特征是描述样本数据分布情况的统计量，可以通过样本的数字特征来估计总体的数字特征。
在统计学中，常用的样本数字特征包括均值、中位数、方差、标准差和偏度等。
这些数字特征可以帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度和偏斜程度，从而对总体的情况进行估计。
均值是样本数据的平均值，可以用来估计总体的平均值。
通过样本均值来估计总体均值的过程称为点估计。
如果样本均值是来自一个大样本，并且满足一些假设条件，那么根据中心极限定理，样本均值的抽样分布将服从正态分布，从而可以利用正态分布的性质进行总体均值的估计。
中位数是样本数据的中间值，可以用来估计总体的中位数。
中位数能够较好地反映数据的中间位置，不受极端值的影响。
对于偏斜的数据分布，中位数通常比均值更能够代表数据的中心位置。
方差和标准差是样本数据的离散程度的度量，可以用来估计总体的离散程度。
方差是各数据与均值之差的平方和的平均数，而标准差则是方差的平方根。
通过样本的方差和标准差，我们可以对总体的离散程度进行估计。
偏度是样本数据分布偏斜程度的度量，可以用来估计总体的偏斜程度。
偏度为0表示数据分布不存在偏斜，大于0表示右偏，小于0表示左偏。
通过样本的偏度，我们可以了解数据分布的偏斜情况，从而对总体的偏斜程度进行估计。
样本的数字特征可以帮助我们对总体的数字特征进行估计。
在进行估计时需要注意样本的代表性、样本容量以及样本的分布情况等因素，以确保估计的准确性和可靠性。
在进行估计时还可以利用区间估计的方法，即通过样本数字特征来估计总体数字特征的置信区间，以提高估计的精度和置信度。
用样本的数字特征估算总体的数字特征
（1）多高株苗在这两种玉米中最常见？
（2）哪种玉米要长得高一些？
（3）哪种玉米要长得齐一些？
例1：某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名 学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
标准差越小，表示数据越稳定，离散程度越 小；标准差越大，则说明数据差异很大，离 散程度大，不稳定。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中的10 次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 你能说说谁的成绩更稳定吗？
随堂练习：下面是甲乙两个品种玉米的株高情况，各抽10 柱，情况为：（单位：cm）
5、平均数：将样本中所有数据求和之后，除以样本中 个体的个数，得到的结果。它是最常用的表现数据平均 水平的量。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中 的10次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 1、计算甲乙二人的平均成绩，说说谁的更好。 2、甲乙二人的射击成绩中，中位数是多少？众数呢？ 对于选手来说，稳定性也很重要，有没有什 么数据能够说明样本的稳定性的？
变式题:为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图， 则 (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数、众数和平均 数分别为多少？
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在数；
(2)求这次测试数学成绩的平均数；
（1）利用直方图估算众数， (3)求这次测试数学成绩的中位数。 即频数最高区域两端点的平 均值。 （2）利用直方图估算平均数，将各组 的两端点的平均值作为各组的平均数。 （3）利用直方图估算中 位数，利用中位数左边右 边各占一半，故直方图面 积也应该各占50%。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的
25.49 25.32
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量 ks5u精品课件 较高？
x 甲 » 25.401 s甲 » 0.037
x 乙 » 25.406
s乙 » 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定 程度较高，故甲生产的零件质量较高.
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是 总体的平均数.
ks5u精品课件
例5 有20种不同的零食，它们的热量 含量如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 （1）以上20个数据组成总体，求总体平 均数与总体标准差； （2）设计一个适当的随机抽样方法，从 总体中抽取一个容量为7的样本，计算样 本的平均数和标准差.
（3）
O
1Байду номын сангаас2 3 4 5 6 7 8
（4）
ks5u精品课件
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种 零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们 生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸 如下（单位：mm）：
甲 ： 25.46 25.45 25.44 乙： 25.40 25.49 25.47 25.32 25.38 25.40 25.43 26.36 25.31 25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32 25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32 25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32 25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48 25.42 25.40
用样本的数字特征估计总体的数字特征
（B）4
（C）2
（D）1
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株 的分蘖数后，计算出样本方差分别为S甲2=11 ，S乙2=3.4，由此可以估计（ B ） （A）甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 （B）乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 （C）甲、乙种水稻分蘖整齐程度相同 （D）甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比 较
频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是 一个估计值，且所得的估计值与数据分组有关.
注: 在只有样本频率分布直方图的情况下， 我们可以按上述方法估计众数、中位数和平 均数，并由此估计总体特征.
频率 组距
0.5 0.44 0.3 0.28
众数： 最高矩形的中点 中位数：左右两边直方图的面积相等.
平均数：频率分布直方图中每 个小矩形的面积乘以 小矩形底边中点的横 坐标之和.
x乙
=
1（13+14+12+12+14）=13 5
s2甲
=
1 5
[(10
13)2
+(13
13)2
+(12
13)2
+(14
13)2
+(16
13)2
]=4
s2乙
=
1 5
[(13
13)2
+(14
13)2
+(12
13)2
+(12
13)
2
+(14
13)2
]=0.8
(2)由 s2甲＞s2乙可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，
算一算：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布
直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04， 0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此 估计总体的平均数是什么？
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征【知识点的知识】1．样本的数字特征：众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．2、三种数字特征的优缺点：：（1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息．（2）中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据排在中间的数据的信息．（3）样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．（4）如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．（5）使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心，从而产生一些误导作用．3、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字．（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4、样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道（或不可求）的．如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一部分作为样本，要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断．但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的．如一个总体包含6个个体，现在要从中抽取3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异．这就会影响到我们对总体情况的估计．。
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三
三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中 点，但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征.如上例中众数是 2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的 居民数比月均用水量为其它数值的居民 数多,但它并没有告诉我们多多少.
2、中位数是样本数据所占频率 的等分线，它不受少数几个极端值的 影响，这在某些情况下是优点，但它 对极端值的不敏感有时也会成为缺点。 如上例中假设有某一用户月均用水量 为10t，那么它所占频率为0.01,几乎 不影响中位数,但显然这一极端值是不 能忽视的。
故平均睡眠时间约为7.39 h .
解法 2 求组中值与对应频率之积的和 6.25 0.05 6.75 0.17 7.25 0.33 7.75 0.37 8.25 0.06 8.75 0.02 7.39 h .
答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h .
合 计
分析 要确这100 名学生的平均睡 眠 时间, 就 必须 计算其总睡眠时间.由于每组中的个体睡眠时间只 是一个范围, 可以用各组区间的组中值近似地表示 .
解法1 总睡眠时间约为 6.25 5 6.75 17 7.25 33 7.75 37 8.25 6 8.75 2 739 h .
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗？ 2.02这个中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.
标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居 民月均用水量的例子中,平均数 x 1.973 标准差s=0.868 ,所以
x s 2.841 x 2 s 3.709 , x s 1.105, x 2 s 0.237.
这100个数据中， 在区间 x 2s, x 2s 0.237,3.709外的只有4个。
2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为 了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中 各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36
25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42
25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47
频率
0.3 0.2 0.1 频率 4 5 6 7 8 9 10 环数 (甲) 0.4 0.3 0.2
直观上看,还是有差异的.如: 甲成绩比较分散,乙成绩相对 集中(如图示).因此,我们还需 要从另外的角度来考察这两 组数据.例如:在作统计图表时 提到过的极差. 甲的环数极差=10-4=6 乙的环数极差=9-5=4.
标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示． 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
假设样本数据是 1 , x2 ,...xn , x 表示这组数据的平均数 i到 x 的距离是： x 。x
xi x ( i 1, 2, , n).
于是， 样本数据x1 , x2 , xn到 x 的“平均距离”是：
S x1 x x2 x xn x n .
由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常 改用如下公式来计算标准差．
s
1 2 2 ( x1 x ) ( x2 x ) ( xn x )2 . n
一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用 下图表示: 考虑一个容量为2的样本:
s甲
s乙
4
5
6
7条形图,说明它们的 异同点.
(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; (2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6; (3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7; (4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ; 频率
这个问题中总体平均数能 客 观 地反映工人的工 , 资水平吗? 为什么?
在上面的 思考"中, 计算平均数的式子可以 " 写为
1 6 5 10 1 11000 1250 1100 1000 500 . 23 23 23 23 23
一般地, 若取值为x1 , x2 , , xn 的频率为p1 , p2 , , pn 则其平均数为x1 p1 x2 p2 xn pn .
表单位 : h , 试估计该校学生的日平均睡眠时间.
睡眠时间 人 数 5 17 33 37 6 2 100 频 率 0.05 0.17 0.33 0.37 0.06 0.02 1
2 下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布
6,6.5 6.5,7 7,7.5 7.5,8 8,8.5 8.5,9
人员 人数 合计 经理 管理人员 技工 工人 学徒 合计 1 250 6 75 000 1 100 5 1000 10 500 1 23 1 11 000
月工资 11 000
5 500 10 000 500 34 500
小张通计算发现表中工 资的总平均数恰为 11000 1 1250 6 1100 10 500 1 23 1500. 并没有错.
O
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
月平均用水量(t)
2、在样本中，有50％的个体小于或等于 中位数，也有50％的个体大于或等于中位 数，因此，在频率分布直方图中，中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等，由 此可以估计中位数的值。下图中虚线代表 居民月均用水量的中位数的估计值，此数 据值为2.02t.
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中，就是最高矩形的中点的横坐标。 例如，在上一节调查的100位居民的月 均用水量的问题中，从这些样本数据的频 率分布直方图可以看出，月均用水量的众 数是2.25t.如图所示：
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
一 众数、中位数、平均数的概念
众数：在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数． 中位数：将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或最中间 两个数据的平均数）叫做这组数据的中位 数．
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x=
1 ( x1 x 2 x n ) n
3 某单位年收入在10 000 到15 000、 000 15 到20000、 20000到25000、 25000到 30000、 30000 到35000、 35000到 40000及40000到 50000 元之 间的职工所占的比例分别为10% ,15 % ,20 %, 25% ,15% ,10% 和5%试估计该单位职工的平 均年收入. 解 估计该单位职工的平均 年收入为 12500 10 % 17500 15 % 22500 20 % 27500 25 % 32500 15 % 37500 10 % 45000 5 % 26125元.
x5
S=0.82
x5
S=1.49
1 2 3 45 (2)
6 7 8
1 2 3 45
6 7 8
x5
S=2.83
四组数据的平均数都是5.0,标准 差分别是0.00,0.82,1.49,2.83.虽 然它们有相同的平均数,但是它 们有不同的标准差,说明数据的 分散程度是不一样的.
1 2 3 4 5 6 7 8
答 估计该单位人均年收入 约为26125 . 元
四.标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均数有时 也会使我们作出对总体的片面判断．因为这个平均数掩盖了 一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此， 只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．
如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射 靶10次，每次命中的环数如下： 甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４ 乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７ 如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于 x甲 7，x乙 7 两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水 平就没有什么差异吗?
解:四组样本数 据的条形图是:
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o
x5
S=0.00
1 2 3 45 (1)
6 7 8
频率
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o
频率 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o 频率 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o
x1 x2 , 其样本的标准差为
a
x1 x2 2
x2 x1 x x1 , 记a 2 . 2 2
x1
x2