全国高中数学竞赛专题三角函数

全国高中数学竞赛专题三角函数This manuscript was revised on November 28, 2020三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=ry,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1； 商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α,cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α,cot (-α)=cot α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tanα, cot (π-α)=-cot α;（Ⅳ）s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。

单调区间：在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2π时, y 取最小值-1，值域为[-1，1]。

对称性：直线x =k π+2π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心。

这里k ∈Z .定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。

单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。

最小正周期：2π。

奇偶性：偶函数。

有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。

值域为[-1，1]。

对称性：直线x =k π均为其对称轴，点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk 均为其对称中心。

这里k ∈Z .定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+2π)在开区间(k π-2π,k π+2π)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π，0）均为其对称中心。

定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β;tan (α±β)=.)tan tan 1()tan (tan βαβα ± 两角和与差的变式：2222sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+-三角和的正切公式：tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-++=---定理7 和差化积与积化和差公式:s in α+s in β=2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫⎝⎛-2βα, s in α-s in β=2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα,co s α+co s β=2co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫⎝⎛-2βα, co s α-co s β=-2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα,s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)], co s αs in β=21[s in (α+β)-s in (α-β)],co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)], s in αs in β=-21[co s(α+β)-co s(α-β)].定理8 二倍角公式：s in 2α=2s in αco s α, co s2α=co s 2α-s in 2α=2co s 2α-1=1-2s in 2α, tan 2α=.)tan 1(tan 22αα- 三倍角公式及变式：3sin 33sin 4sin ααα=-，3cos34cos 3cos ααα=-1sin(60)sin sin(60)sin 34αααα-+=，1cos(60)cos cos(60)cos34αααα-+=定理9 半角公式: s in 2α=2)cos 1(α-±, co s 2α=2)cos 1(α+±,tan2α=)cos 1()cos 1(αα+-±=.sin )cos 1()cos 1(sin αααα-=+ 定理10 万能公式: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 12tan 2sin 2ααα, ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2tan 12tan 1cos 22ααα,.2tan 12tan 2tan 2⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα 定理11 辅助角公式：如果a , b 是实数且a 2+b 2≠0，则取始边在x 轴正半轴，终边经过点(a , b )的一个角为β，则s in β=22ba b +,co s β=22ba a +，对任意的角α.a s in α+bco s α=)(22b a +s in (α+β).定理12 正弦定理：在任意△ABC 中有R CcB b A a 2sin sin sin ===， 其中a , b , c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径。

定理13 余弦定理：在任意△ABC 中有a 2=b 2+c 2-2bco s A ，其中a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边。

定理14 射影定理：在任意△ABC 中有cos cos a b C c B =+，cos cos b a C c A =+，cos cos c a B b A =+定理15 欧拉定理：在任意△ABC 中，222OI R Rr =-，其中O,I 分别为△ABC 的外心和内心。

定理16 面积公式：在任意△ABC 中，外接圆半径为R,内切圆半径为r ，半周长2a b cp ++=则211sin 2sin sin sin (sin sin sin )224a abc S ah ab C rp R A B C rR A B C R======++定理17 与△ABC 三个内角有关的公式：（1）sin sin sin 4cos cos cos ;222A B CA B C ++=（2）cos cos cos 14sin sin sin ;222A B CA B C ++=+（3）tan tan tan tan tan tan ;A B C A B C ++=（4）tantan tan tan tan tan 1;222222A B B C C A++= （5）cot cot cot cot cot cot 1;A B B C C A ++= （6）sin 2sin 2sin 24sin sin sin .A B C A B C ++=定理18 图象之间的关系：y =s inx 的图象经上下平移得y =s inx +k 的图象；经左右平移得y =s in (x +ϕ)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1，得到y =s in x ω(0>ω)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +ϕ)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +ϕ)(ω, ϕ>0)(|A |叫作振幅)的图象向右平移ωϕ个单位得到y =A s in ωx 的图象。

定义4 函数y =s inx ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 的反函数叫反正弦函数，记作y =a r c s inx (x ∈[-1, 1])，函数y =co s x (x ∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y =a r cco s x (x ∈[-1,1]).函数y =tanx ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 的反函数叫反正切函数。

记作y =a r ctanx (x ∈[-∞, +∞]).函数y =co t x (x ∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y =a r ccotx (x ∈[-∞, +∞]).定理19 三角方程的解集，如果a ∈(-1,1)，方程s inx =a 的解集是{x |x =n π+(-1)n a r c s ina , n ∈Z }。

方程co s x =a 的解集是{x |x =2kx ±a r cco s a ,k ∈Z }.如果a ∈R ，方程tanx =a 的解集是{x |x =k π+a r ctana ,k ∈Z }。

恒等式：a r c s ina +a r cco s a =2π；a r ctana +a r ccota =2π.定理20 若干有用的不等式：（1）若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则s inx <x <tanx .（2）函数sin x y x =在(0,)π上为减函数；函数tan x y x =在(0,)2π上为增函数。