届中考数学总复习(19)相交线与平行线-精练精析(2)及答案解析

合集下载

相交线与平行线解析含答案

相交线与平行线解析含答案一、选择题1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1=15°，∠3=130°．则∠2的度数是()A．37.5°B．75°C．50°D．65°【答案】D【解析】【分析】先根据条件和邻补角的性质求出∠1的度数，然后即可求出∠2的度数．【详解】）∵∠3=130°，∠1+∠3=180°，∴∠1=180°-∠3=50°，∵∠2-∠1=15°，∴∠2=15°+∠1=65°；故答案为D.【点睛】本题考查角的运算，邻补角的性质，比较简单.2．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为A．80°B．50°C．30°D．20°【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．3．如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB交BD于点O，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠F＝∠G，则图中与∠ECB相等的角有( )A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】B【解析】【分析】由对顶角关系可得∠EOD=∠COB，则由∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，再结合CE是角平分线即可判断.【详解】解：由∠EOD+∠OBF=∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，结合CE是角平分线可得∠ECB=∠ACE=∠CBF，再由EC∥BF可得∠ACE=∠F=∠G，则由三角形内角和定理可得∠GDC=∠CBF.综上所得，∠ECB=∠ACE=∠CBF=∠F=∠G=∠GDC，共有5个与∠ECB相等的角，故选择B.【点睛】本题综合考查了平行线的判定及性质.4．如图AD∥BC,∠B=30o,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为（）A．30o B．60o C．90o D．120o【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB=∠ADE，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠DEC=∠B+∠BDE=60°．故选B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．5．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p,q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】到l1距离为2的直线有2条，到l2距离为1的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是（2，1）的点．【详解】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是2，1的点，即距离坐标是（2，1）的点，因而共有4个．故选：D．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题时注意：到一条已知直线距离为定值的直线有两条．6．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于()A．81°B．99°C．108°D．120°【答案】B【解析】试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o，∵153C ∠=o ，∴27DBC ∠=o ，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.7．如图，AB ∥EF ，设∠C ＝90°，那么x 、y 和z 的关系是（）A ．y ＝x+zB ．x+y ﹣z ＝90°C ．x+y+z ＝180°D ．y+z ﹣x ＝90°【答案】B【解析】【分析】过C 作CM ∥AB ，延长CD 交EF 于N ，根据三角形外角性质求出∠CNE ＝y ﹣z ，根据平行线性质得出∠1＝x ，∠2＝∠CNE ，代入求出即可．【详解】解：过C 作CM ∥AB ，延长CD 交EF 于N ，则∠CDE ＝∠E+∠CNE ，即∠CNE ＝y ﹣z∵CM ∥AB ，AB ∥EF ，∴CM ∥AB ∥EF ，∴∠ABC ＝x ＝∠1，∠2＝∠CNE ，∵∠BCD ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y ﹣z ＝90°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．8．如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为( )A．75°B．72°C．70°D．65°【答案】B【解析】【分析】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，已知AB∥CD，根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1，再由∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，可得5∠2=180°，即可求得∠2=36°，所以∠AEF=∠3=∠1=72°【详解】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，∵AB∥CD，∴∠3=∠1，∵∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，∴5∠2=180°，即∠2=36°，∴∠AEF=∠3=∠1=72°故选B．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．9．如图，下列条件中能判定//DE AC 的是( )A ．EDC EFC ∠=∠B ．AEF ACD ∠=∠C ．34∠=∠D ．12∠=∠【答案】C【解析】【分析】对于A ，∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的，据此进行判断；对于B 、D ，∠AFE=∠ACD ，∠1=∠2是EF 和BC 被AC 所截得到的同位角和内错角，据此进行判断；对于C ，∠3=∠4这两个角是AC 与DE 被EC 所截得到的内错角，据此进行判断.【详解】∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行；∠AFE=∠ACD,∠1=∠2是EF 和BC 被AC 所截得到的同位角和内错角,因而可以判定EF ∥BC,但不能判定DE ∥AC ；∠3=∠4这两个角是AC 与DE 被EC 所截得到的内错角,可以判定DE ∥AC.故选C.【点睛】本题考查平行线的判定，掌握相关判定定理是解题的关键.10．如图，直线 a ∥b ∥c ，直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若∠1＝30°，则∠2 等于（）A ．40°B ．60°C ．50°D ．70° 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等得1324==∠∠，∠∠，再根据直角三角板的性质得341290+=+=︒∠∠∠∠，即可求出∠2的度数．【详解】∵a ∥b ∥c∴1324==∠∠，∠∠∵直角三角板的直角顶点落在直线 b 上∴341290+=+=︒∠∠∠∠∵∠1＝30°∴290160=︒-=︒∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线和三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角板的性质是解题的关键．11．若a ⊥b ，c ⊥d ，则a 与c 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：①当b ∥d 时；②当b 和d 相交但不垂直时；③当b 和d 垂直时；即可得出a 与c 的关系．【详解】当b ∥d 时a ∥c ；当b 和d 相交但不垂直时，a 与c 相交；当b 和d 垂直时，a 与c 垂直；a 和c 可能平行，也可能相交，还可能垂直．故选：D ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，掌握平行、垂直、相交的性质是解题的关键．12．如图，下列说法一定正确的是（）A ．∠1和∠4是内错角B ．∠1和∠3是同位角C ．∠3和∠4是同旁内角D ．∠1和∠C 是同位角【答案】D【解析】【分析】根据内错角、同位角以及同旁内角的定义进行判断即可．【详解】解：A 、∠2和∠4是内错角，故本选项错误；B 、∠1和∠C 是同位角，故本选项错误；C 、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；D 、∠1和∠C 是同位角，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．13．如图所示，某同学的家在P 处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C 路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A ．两点确定一条直线B ．垂直线段最短C ．两点之间线段最短D ．三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的定义判断即可.【详解】解：Q 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,∴ 选:B.【点睛】直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称“垂线段最短”．14．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••，即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯，解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=；故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.15．下列命题错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．两直线平行，内错角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A 、平行四边形的对角线互相平分，正确；B 、两直线平行，内错角相等，正确；C 、等腰三角形的两个底角相等，正确；D 、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D 错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.16．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【详解】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C ．【点睛】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图，直线//a b ，将一块含45︒角的直角三角尺（90︒∠=C ）按所示摆放．若180︒∠=，则2∠的大小是（）A ．80︒B ．75︒C ．55︒D ．35︒【答案】C【解析】【分析】先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解：给图中各角标上序号，如图所示：∵//a b∴3180︒∠=∠=（两直线平行，同位角相等），又∵34,25∠=∠∠=∠（对顶角相等），∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，同位角相等）、对顶角的性质（对顶角相等），熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.18．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A ．115°B ．120°C ．145°D ．135°【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．19．如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（）A．34°B．56°C．66°D．54°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=34°，∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．故选B．考点：平行线的性质．20．如图，在下列四组条件中，不能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180°【答案】A【解析】【分析】根据各选项中各角的关系，利用平行线的判定定理，分别分析判断AB、CD是否平行即可．【详解】A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A不能判断；B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故B能判断；C、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C能判断；D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故D能判断，故选A．【点睛】本题考查了平行线的判定．掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．。

中考数学总复习十九相交线与平行线精练精析2 华东师大版

人教版初中数学相交线与平行线全集汇编含答案解析

人教版初中数学相交线与平行线全集汇编含答案解析一、选择题1．如图，在下列四组条件中，不能判断AB ∥CD 的是（）A ．∠1＝∠2B ．∠3＝∠4C ．∠ABD ＝∠BDCD ．∠ABC+∠BCD ＝180°【答案】A【解析】【分析】根据各选项中各角的关系，利用平行线的判定定理，分别分析判断AB 、CD 是否平行即可．【详解】A 、∵∠1＝∠2，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行），故A 不能判断；B 、∵∠3＝∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），故B 能判断；C 、∵∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），故C 能判断； D 、∵∠ABC +∠BCD ＝180°，∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行），故D 能判断，故选A ．【点睛】本题考查了平行线的判定．掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．2．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC∥DE，故①正确；∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC∥DE，AC⊥BC，∴DE⊥BC，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB，故③正确，④错误；∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．3．如图，能判定EB∥AC的条件是（）A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD C．∠C＝∠ABC D．∠A＝∠ABE【答案】D【解析】【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【详解】A、∠C＝∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；B、∠A＝∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；C、∠C＝∠ABC只能判断出AB＝AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意；D、∠A＝∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．故选：D．【点睛】此题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．4．一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CED＝50°，那么∠BAF＝（）A．10°B．50°C．45°D．40°【答案】A【解析】【分析】先根据∠CED＝50°，DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．【详解】∵DE∥AF，∠CED＝50°，∴∠CAF＝∠CED＝50°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，故选：A．【点睛】此题考查平行线的性质，几何图形中角的和差关系，掌握平行线的性质是解题的关键. 5．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65°B．115°C．125°D．130°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE 平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．考点：平行线的性质．6．如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 相交，若∠1=56°，则∠2等于（）A ．24°B ．34°C ．56°D ．124°【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据对顶角相等可得∠3=∠1=56°，根据平行线的性质得出∠2=∠3=56°．故答案选C.考点：平行线的性质.7．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A 是72°，第二次拐弯处的角是∠B ，第三次拐弯处的∠C 是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B 等于( )A ．81°B ．99°C ．108°D ．120°【答案】B【解析】试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o，∵153C ∠=o ，∴27DBC ∠=o ，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.8．如图，将一张含有30o 角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若244∠=o ，则1∠的大小为（）A ．14oB ．16oC ．90α-oD ．44o α-【答案】A【解析】分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A ．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．9．如图，若AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（）A ．∠α+∠β+∠γ=180°B ．∠α+∠β﹣∠γ=360°C ．∠α﹣∠β+∠γ=180°D ．∠α+∠β﹣∠γ=180°【答案】D【解析】试题解析：如图，作EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°，∵EF∥CD，∴∠γ=∠DEF，而∠AEF+∠DEF=∠β，∴∠α+∠β=180°+∠γ，即∠α+∠β-∠γ=180°．故选：D．10．如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为( )A．75°B．72°C．70°D．65°【答案】B【解析】【分析】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，已知AB∥CD，根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1，再由∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，可得5∠2=180°，即可求得∠2=36°，所以∠AEF=∠3=∠1=72°【详解】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，∵AB∥CD，∴∠3=∠1，∵∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，∴5∠2=180°，即∠2=36°，∴∠AEF=∠3=∠1=72°故选B ．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．11．如图，快艇从P 处向正北航行到A 处时，向左转50°航行到B 处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）A ．北偏东30°B ．北偏东80°C ．北偏西30°D ．北偏西50°【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．【详解】如图，AP ∥BC ，∴∠2=∠1=50°，∵∠EBF=80°=∠2+∠3，∴∠3=∠EBF ﹣∠2=80°﹣50°=30°，∴此时的航行方向为北偏东30°，故选A ．【点睛】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．12．如图，12180∠+∠=︒，3100∠=︒，则4∠=（）A．60︒B．70︒C．80︒D．100︒【答案】C【解析】【分析】首先证明a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠6，再根据对顶角相等可得∠4．【详解】解：∵∠1+∠5=180°，∠1+∠2=180°，∴∠2=∠5，a∥b，∴∠3=∠6=100°，∴∠4=180°-100°=80°．故选：C．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键是掌握两直线平行同位角相等．13．给出下列说法,其中正确的是( )A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等；B．平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；C．相等的两个角是对顶角；D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．【答案】B【解析】【分析】正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念，逐一判断．【详解】A选项：同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误；B选项：强调了在平面内，正确；C选项：不符合对顶角的定义，错误；D选项：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度．故选：B.【点睛】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．14．A、B、C是直线L上三点，P为直线外一点，若PA＝2cm，PB＝3cm，PC＝5cm，则P 到直线L的距离是（）A．等于2cm B．大于2cm C．不小于2cm D．不大于2cm【答案】D【解析】【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．【详解】∵PA=2cm，PB=3cm，PC=5cm，∴PA＜PB＜PC．∴①当PA⊥L时，点P到直线L的距离等于2cm；②当PA与直线L不垂直时，点P到直线L的距离小于2cm；综上所述，则P到直线L的距离是不大于2cm．故选：D．【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．15．下列说法中，正确的是（）A．不相交的两条直线是平行线B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离D．在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直．【答案】D【解析】【分析】运用平行线，垂线的定义，点到直线的距离及平行公理及推论判定即可．【详解】A 、不相交的两条直线是平行线，要在同一平面内的前提条件下，故A 选项错误；B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B 选项错误；C 、从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离，应为垂线段的长度，故C 选项错误；D 、在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直，故D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线，垂线的定义，点到直线的距离及平行公理及推论，解题的关键是熟记定义与性质．16．已知α∠的两边与β∠的两边分别平行，且α∠=20°，则∠β的度数为( ) A ．20°B ．160°C ．20°或160°D ．70°【答案】C【解析】【分析】分两种情况，画出图形，结合平行线的性质求解即可.【详解】如图1，∵a ∥b ；∴∠1=α∠=20°，∵c ∥d∴∠β=∠1=20°；如图2，∵a ∥b ；∴∠1=α∠=20°，∵c ∥d∴∠β=180°-∠1=160°；故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.本题也考查了分类讨论的数学思想.17．如图，//AB CD ，点E 在CD 上，点F 在AB 上，如果:6:7CEF BEF ∠∠=，50ABE ∠=︒，那么AFE ∠的度数为（）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】B【解析】【分析】由//AB CD 可得∠ABE+∠CEB=180°,∠BED=50ABE ∠=︒,即∠CEB=130°,由:6:7CEF BEF ∠∠=可得=67CEF BEF ∠∠,设=67CEF BEF ∠∠=k,则∠CEF=6k,∠FEB=7k,可得∠FEB=70°，可得∠DEF=∠FEB+∠BED=120°;又由//AB CD 可得AFE ∠=∠DEF 即可解答．【详解】解：∵//AB CD∴∠ABE+∠CEB=180°，∠BED=50ABE ∠=︒∴∠CEB=130°∵:6:7CEF BEF ∠∠= ∴=67CEF BEF ∠∠ 设=67CEF BEF ∠∠=k ，则∠CEF=6k,∠FEB=7k, ∴6k+7k=130°∴∠FEB=7k=70°∴∠DEF=∠FEB+∠BED=120°∵//AB CD∴AFE ∠=∠DEF=120°故答案为B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质以及比例的应用，.熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．18．如图，在ABC V 中，AB AC =，30A ∠=︒，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【答案】C【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得ACB ∠度数，由三角形外角的性质可得AED ∠的度数，再根据平行线的性质得同位角相等，即可求得2∠．【详解】∵AB AC =，且30A ∠=︒， ∴18030752ACB ∠︒-︒==︒，在ADE ∆中，∵1145A AED ∠∠∠=+=︒，∴14514530115AED A ∠∠=︒-=︒-︒=︒，∵//a b ，∴2AED ACB ∠∠∠=+，即21157540∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容．等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180︒；三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；两直线平行，同位角相等．19．如图，已知AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，100BED ∠=︒，则BFD ∠的度数为（）A ．100°B ．130°C ．140°D ．160°【答案】B【解析】【分析】连接BD ，因为AB ∥CD ，所以∠ABD ＋∠CDB ＝180°；又由三角形内角和为180°，所以∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝180°＋180°＝360°，所以∠ABE ＋∠CDE ＝360°−100°＝260°；又因为BF 、DF 平分∠ABE 和∠CDE ，所以∠FBE ＋∠FDE ＝130°，又因为四边形的内角和为360°，进而可得答案．【详解】连接BD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＋∠CDB ＝180°，∴∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝180°＋180°＝360°，∴∠ABE ＋∠CDE ＝360°−100°＝260°，又∵BF 、DF 平分∠ABE 和∠CDE ，∴∠FBE ＋∠FDE ＝130°，∴∠BFD ＝360°−100°−130°＝130°，故选B ．【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．还考查了三角形内角和定理与四边形的内角和定理．解题的关键是作出BD 这条辅助线．20．如图，OC 平分AOB ∠，//CD OB ．若3DC =，C 到OB 的距离是2.4，则ODC ∆的面积等于（）A ．3.6B ．4.8C ．1.8D ．7.2【答案】A【解析】【分析】由角平分线的定义可得出∠BOC=∠DOC ，由CD ∥OB ，得出∠BOC=∠DCO ，进而可证出OD=CD=3．再由角平分线的性质可知C 到OA 的距离是2.4，然后根据三角形的面积公式可求ODC ∆的面积．【详解】证明：∵OC 平分∠AOB ，∴∠BOC=∠DOC ．∵CD ∥OB ，∴∠BOC=∠DCO ，∴∠DOC=∠DCO ，∴OD=CD=3．∵C 到OB 的距离是2.4，∴C 到OA 的距离是2.4，∴ODC ∆的面积=13 2.4=3.62⨯⨯．故选A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、以及角平分线的性质，利用角平分线的性质得出C 到OA 的距离是2.4是解题的关键．。

中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 三线八角：同位角，内错角，同旁内角。

2. 平行线定义：两条永不相交的直线的位置关系是平行线。

3. 平行线性质：①两直线平行，同位角相等。

②两直线平行，内错角相等。

③两直线平行，同旁内角互补。

④同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

⑤平行于同一直线的两直线平行。

即c b b a ∥，∥，则c a ∥。

4. 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角相等，两直线平行。

④垂直于同一直线的两直线平行。

即若c a b a ⊥⊥，，则c a ∥。

⑤平行于同一直线的两直线平行。

即若c b b a ∥，∥，则c a ∥。

5. 平行线间的距离：平行线间的距离处处相等。

练习题9．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．10．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；B、∠1和∠3是同位角，故B正确；C、∠2和∠3是内错角，故C错误；D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．故选：B．11．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．65°【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：B．12．（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∴∠2＝∠ACB，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，故选：B．13．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故选：B．14．（2022•锦州）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．50°【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝110°，∴∠3＝∠1＝110°，∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，∵∠B＝30°∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；故选：C．15．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137°B．53°C．47°D．43°【分析】根据平行线的性质，得∠2＝∠1＝43°．【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．16．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．57.5°D．65°【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：B．17．（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC ⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．32°B．38°C．48°D．52°【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．18．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故选：C．19．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46°B．90°C．96°D．134°【分析】根据平行线的性质定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．20．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52°B．45°C．38°D．26°【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝52°，根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故选：C．21．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（）A．55°B．70°C．60°D．35°【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，∴∠OBC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，故选：A．22．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，∴∠2＝∠1＝40°10'，∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，∵入射光线l与出射光线m平行，∴∠6＝∠5＝99°40'．故选：C．23．（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，又∵∠C＝50°，∴∠D＝∠C＝50°，故选：D．24．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°【分析】由两直线平行，同位角相等可知∠2＝∠1．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝70°．故选：C．25．（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（）A．60°B．120°C．30°D．15°【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线的性质及对顶角相等．【解答】解：∵∠1＝120°，∴它的对顶角是120°，∵a∥b，∴∠2＝60°．故选：A．26．（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：D．27．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．120°B．122°C．132°D．148°【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠C＝∠1＝58°，∵BC∥EF，∴∠CGF＝∠C＝58°，∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，故选：B．28．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．29．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90°B．∠3＝90°C．∠4＝90°D．∠5＝90°【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．30．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180°C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．。

中考数学《平行线与相交线》总复习训练含解析

平行线与相交线一、选择题1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条．A．7 B．6 C．9 D．82．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（）A．线段PB的长是点P到直线a的距离B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短C．线段AC的长是点A到直线PC的距离D．线段PC的长是点C到直线PA的距离3．如图，已知ON⊥L，OM⊥L，所以OM与ON重合，其理由是（）A．两点确定一条直线B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线D．垂线段最短4．用一副学生用的三角板的内角（其中一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个是30°，60°，90°）可以画出大于0°且小于等于150°的不同角度的角共有（）种．A．8 B．9 C．10 D．115．如果∠α与∠β是邻补角，且∠α＞∠β，那么∠β的余角是（）A．B．C．D．不能确定6．已知α与β是钝角，甲、乙、丙、丁四个人计算（α+β）的结果依次为28°，48°，60°，88°其中只有一个结果正确，那么并得到正确的结果的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，则AC的取值范围（）A．大于b B．小于a C．大于b且小于a D．无法确定9．如图，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（）A．BC=AB﹣CD B．BC=（AD﹣CD）C．BC=（AD﹣CD）D．BC=AC﹣BD10．观察图形，下列说法正确的个数是（）（1）直线BA和直线AB是同一条直线（2）射线AC和射线AD是同一条射线（3）AB+BD＞AD（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（）A．∠1=∠3 B．∠1=180°﹣∠3 C．∠1=90°+∠3 D．以上都不对二、填空题12．线段AB=10cm，BC=5cm，A、B、C三点在同一条直线上，则AC=．13．已知线段AB=1996cm，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1200cm，线段BP=1050cm，则线段PQ=．14．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．若∠MON=50°，∠BOC=10°，则∠AOD=度．15．如图，线段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于厘米．16．一条直线上立有10根距离相等的标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了6.5s，则当他走到第10杆时所用时间是．17．平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b=．18．上午九点时分针与时针互相垂直，再经过分钟后分针与时针第一次成一条直线．19．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC=28°，则∠COD=，∠BOE=．三、解答题21．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，试比较∠EDF与∠BDF的大小，并说明理由．22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数．23．如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：β=2α24．如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．25．已知一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的余角．26．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；（2）过点P画OA的垂线，垂足为H；（3）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）．27．如图，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，已知图中所有的线段之和为39，求线段BC的长．28．（6分）如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，（1）填写下表：点的个数所得线段的条数所得射线的条数1 234（2）在直线上取n个点，可以得到几条线段，几条射线？29．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．30．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD （1）如果∠AOD=40°①那么根据，可得∠BOC=度．②那么∠POF的度数是度．（2）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出三对：①；②；③．31．已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？平行线与相交线参考答案与试题解析一、选择题1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条．A．7 B．6 C．9 D．8【考点】直线、射线、线段．【分析】根据直线的定义作出图形即可得解．【解答】解：如图，共有8条直线．故选D．【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念是解题的关键，作出图形更形象直观．2．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（）A．线段PB的长是点P到直线a的距离B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短C．线段AC的长是点A到直线PC的距离D．线段PC的长是点C到直线PA的距离【考点】点到直线的距离．【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．【解答】解：A、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；B、根据垂线段最短可知此选项正确；C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故选项错误；D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．故选C．【点评】本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质．3．如图，已知ON⊥L，OM⊥L，所以OM与ON重合，其理由是（）A．两点确定一条直线B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线D．垂线段最短【考点】垂线．【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，逐一分析，排除错误答案．【解答】解：A、点M、N可以确定一条直线，但不可以确定三点O、M、N都在直线l 的垂线上，故本选项错误；B、直线OM、ON都经过一个点O，且都垂直于OL，故本选项正确；C、在同一平面内，过直线外一点只能作一条垂线，故本选项错误；D、此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短．正确理解它们的含义是解题的关键．4．用一副学生用的三角板的内角（其中一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个是30°，60°，90°）可以画出大于0°且小于等于150°的不同角度的角共有（）种．A．8 B．9 C．10 D．11【分析】先明确一副三角板的六个角共有四个度数，30°45°60°90度．然后进行加减运算，找到符合条件的角．【解答】解：若画75°的角，先在纸上画出30°的角，再画出45°的角叠加即可．同理可画出30°、45°、60°、90°、15°、105°、120°、135°、150°的角（因为45°﹣30°=15°、45°+30°=75°、90°+45°=135°、90°+60°=150°、60°+60°=120°、60°+45°=105°）．故选C．【点评】本题考查了角的计算，此题结合生活实际，既考查了对角的认识，又考查了同学们的完全归纳能力，是一道好题．不要漏角，也不能重复计算．5．如果∠α与∠β是邻补角，且∠α＞∠β，那么∠β的余角是（）A．B．C．D．不能确定【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．【分析】根据补角定义可得∠α+∠β=180°，进而得到（∠α+∠β）=90°，然后根据余角定义可得∠β的余角是：90°﹣∠β再利用等量代换可得（∠α+∠β）﹣∠β，然后计算即可．【解答】解：∵∠α与∠β是邻补角，∴∠α+∠β=180°，∴（∠α+∠β）=90°，∴∠β的余角是：90°﹣∠β=（∠α+∠β）﹣∠β=（∠α﹣∠β），故选：C．【点评】此题主要考查了邻补角和余角，关键是掌握邻补角互补，余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．6．已知α与β是钝角，甲、乙、丙、丁四个人计算（α+β）的结果依次为28°，48°，60°，88°其中只有一个结果正确，那么并得到正确的结果的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】角的计算．【分析】根据钝角的概念进行解答，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，求出范围，然后作出正确判断．【解答】解：∵大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，∴30°＜＜60°，∴满足题意的角只有48°，故选B．【点评】此题主要考查了角的计算的知识点，理解钝角的概念，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，本题比较基础，需要牢固掌握．7．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】平行线；相交线；对顶角、邻补角；垂线．【分析】根据垂线、对顶角、平行线的定义、角相互间的关系、点与直线的关系进行判断．【解答】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误；②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．所以错误的有4个．故选：C．【点评】本题主要考查：平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要学会区分不同概念之间的联系和区别．8．如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，则AC的取值范围（）A．大于b B．小于a C．大于b且小于a D．无法确定【考点】垂线段最短．【分析】根据垂线段最短即可得到AC的取值范围．【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，∴CD＜AC＜AB，即b＜AC＜a．故选C．【点评】此题考查了垂线段最短的性质．9．如图，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（）A．BC=AB﹣CD B．BC=（AD﹣CD）C．BC=（AD﹣CD）D．BC=AC﹣BD【考点】比较线段的长短．【专题】常规题型．【分析】根据BC=BD﹣CD和BC=AC﹣AB两种情况和AB=BD对各选项分析后即不难选出答案．【解答】解：∵B是线段AD的中点，∴AB=BD=AD，A、BC=BD﹣CD=AB﹣CD，故本选项正确；B、BC=BD﹣CD=（AD﹣CD），故本选项正确；C、BC=BD﹣CD=（AD﹣CD），故本选项错误；D、BC=AC﹣AB=AC﹣BD，故本选项正确．故选C．【点评】本题主要考查线段中点的定义和等量代换，只要细心进行线段的代换便不难得到正确答案．10．观察图形，下列说法正确的个数是（）（1）直线BA和直线AB是同一条直线（2）射线AC和射线AD是同一条射线（3）AB+BD＞AD（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线、射线、线段．【专题】分类讨论．【分析】结合图形，区别各概念之间的联系．【解答】解：（1）直线BA和直线AB是同一条直线，直线没有端点，此说法正确；（2）射线AC和射线AD是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；（3）AB+BD＞AD，三角形两边之和大于第三边，所以此说法正确；（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点，错误，可能有1个交点的情况．所以共有3个正确．故选C．【点评】在图形中，找出正确的说法，一定要注意对几何问题各种情况的讨论．11．如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（）A．∠1=∠3 B．∠1=180°﹣∠3 C．∠1=90°+∠3 D．以上都不对【考点】余角和补角．【分析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算．【解答】解：∵∠1+∠2=180°∴∠1=180°﹣∠2又∵∠2+∠3=90°∴∠3=90°﹣∠2∴∠1﹣∠3=90°，即∠1=90°+∠3．故选：C．【点评】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．二、填空题12．线段AB=10cm，BC=5cm，A、B、C三点在同一条直线上，则AC=5或者15cm．【考点】两点间的距离．【专题】计算题；分类讨论．【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据题意画出的图形进行解答．【解答】解：本题有两种情形：（1）当点C在线段AB上时，如图，AC=AB﹣BC，又∵AB=10cm，BC=5cm，∴AC=10﹣5=5cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC=AB+BC，又∵AB=10cm，BC=5cm，∴AC=10+5=15cm．故线段AC=15cm或5cm．故答案为：15cm或5cm．【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．13．已知线段AB=1996cm，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1200cm，线段BP=1050cm，则线段PQ=254cm．【考点】两点间的距离．【分析】根据题意画出图形，然后利用等量关系AQ+BP=AB+PQ=1200+1050解答即可．【解答】解：如图：由题意得：AQ+BP=AB+PQ=1200+1050=2250（cm），∴PQ=2250﹣1996=254（cm）．故答案为：254cm．【点评】本题考查求解线段长度的知识，比较简单，注意画出草图，根据已知线段解答．14．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．若∠MON=50°，∠BOC=10°，则∠AOD=90度．【考点】角平分线的定义．【专题】应用题．【分析】利用角平分线的性质求出∠AOM=∠MOB，∠CON=∠DON，再根据角与角之间的关系计算．【解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠AOM=∠MOB，∠CON=∠DON，∵∠MON=50°，∠BOC=10°，∴∠AOD=∠MON+∠AOM+∠DON=90°，即∠AOD=90°．故答案为：90°．【点评】根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解，难度适中．15．如图，线段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于20厘米．【考点】加法原理与乘法原理；比较线段的长短．【分析】从图可知长为1厘米的线段共4条，长为2厘米的线段共3条，长为3厘米的线段共2条，长为4厘米的线段仅1条．所以可以求出所有的线段之和．【解答】解：因为长为1厘米的线段共4条，长为2厘米的线段共3条，长为3厘米的线段共2条，长为4厘米的线段仅1条．所以图中所有线段长度之和为1×4+2×3+3×2+4×1=20（厘米）．故答案为：20．【点评】本题考查看图能力，关键是能够数出1cm，2cm，3cm，4cm的线段的条数，从而求得解．16．一条直线上立有10根距离相等的标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了6.5s，则当他走到第10杆时所用时间是11.7s．【考点】直线、射线、线段．【分析】根据到第6杆时有5个间隔求出走1个间隔的时间，再求出到第10杆有9个间隔，然后列式计算即可得解．【解答】解：从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔，所以，每个间隔行进6.5÷5=1.3s，从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔，所以，行进9个间隔共用1.3×9=11.7s．故答案为：11.7s．【点评】本题考查了直线、射线、线段，根据标杆的根数求出间隔数是解题的关键．17．平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b=4．【考点】直线、射线、线段．【专题】计算题．【分析】分析可得：平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，则即可求得a+b的值．【解答】解：∵平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，∴a+b=4．故答案为：4．【点评】本题考查与直线、线段、射线相关的几何图形的性质．18．上午九点时分针与时针互相垂直，再经过16分钟后分针与时针第一次成一条直线．【考点】钟面角．【专题】计算题．【分析】9点后分针与时针第一次成一条直线，则分针再3与4之间，时针在9与10之间，设9点时x分时，分针与时针第一次成一条直线，根据分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，则x•6°﹣3×30°=x•0.5°，然后解方程即可．【解答】解：9点时x分时，分针与时针第一次成一条直线，根据题意得x•6°﹣3×30°=x•0.5°，解得x=16，即9时16分钟时分针与时针第一次成一条直线．故答案为．【点评】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．19．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC=28°，则∠COD=152°，∠BOE=62°．【考点】角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】先根据∠AOC+∠COD=180°求出∠COD的度数，再根据角平分线的性质求出∠AOB的度数，由平角的性质可求出∠DOB的度数，OE是∠BOD的平分线即可求出∠BOE 的度数．【解答】解：∵∠AOC+∠COD=180°，∠AOC=28°，∴∠COD=152°；∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC=28°，∴∠AOB=2∠AOC=2×28°=56°，∴∠BOD=180°﹣∠AOB=180°﹣56°=124°，∵OE是∠BOD的平分线，∴∠BOE=∠BOD=×124°=62°．故答案为：152°、62°．【点评】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．三、解答题21．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，试比较∠EDF与∠BDF的大小，并说明理由．【考点】平行线的性质；垂线．【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行，得出∠BDF=∠BCE，∠FDE=∠DEC，再根据平行线的性质得出∠DEC=∠ACE，然后利用角平分线等量代换即可得出两角的关系．【解答】解：∠EDF=∠BDF．∵CE⊥AB于E，DF⊥AB于F∴DF∥CE （垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠BDF=∠BCE （两直线平行，同位角相等），∠FDE=∠DEC （两直线平行，内错角相等）又∵AC∥ED，∴∠DEC=∠ACE （两直线平行，内错角相等），∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠ECB（角平分线的定义），∴∠EDF=∠BDF（等量代换）．【点评】本题主要运用了平行线的性质和垂线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等．22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数．【考点】三角形内角和定理．【专题】整体思想．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠OAB+∠OBA，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠ABC+∠BAC=180°﹣90°=90°，∵∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，∴∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC）=×90°=45°，在△AOB中，∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣45°=135°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．23．如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：β=2α【考点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角．【专题】证明题．【分析】此题的关键是过点C作AB的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E=180°，∠B+∠C+∠D=360°，即可证明．【解答】证法1：∵AB∥ED，∴α=∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）过C作CF∥AB（如图1）∵AB∥ED，∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∵CF∥AB，∴∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）又∵CF∥ED，∴∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）∴β=∠B+∠C+∠D=∠1+∠BCD+∠2=360°（周角定义）∴β=2α（等量代换）证法2：∵AB∥ED，∴α=∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）过C作CF∥AB（如图2）∵AB∥ED，∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∵CF∥AB，∴∠B+∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）又∵CF∥ED，∴∠2+∠D=180°，（两直线平行，同旁内角互补）∴β=∠B+∠C+∠D=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°，∴β=2α（等量代换）【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线的作法很关键，也是常见作法，需掌握．24．如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】因为∠1=∠3，∠1=∠2，所以∠2=∠3，由同位角相等证明BD∥CE，则有∠C=∠B，又因为∠C=∠D，所以∠B=∠D，由内错角相等证明DF∥AC，故可证明∠A=∠F．【解答】证明：∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BD∥CE；∴∠C=∠ABD，∵∠C=∠D，∴∠ABD=∠D，∴DF∥AC；∴∠A=∠F．【点评】此题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．25．已知一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的余角．【考点】余角和补角；解一元一次方程．【专题】方程思想．【分析】设这个角为x°，则这个角的补角为180°﹣x°，余角为90°﹣x°，从而根据题意可列出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设这个角为x°，则这个角的补角为（180﹣x）°，依题意得：（180﹣x）﹣4x=15°，解得：x=33°，∴90°﹣x°=57°．答：这个角的余角是57°．【点评】此题考查了余角和补角的知识，见到这个题，首先应当想到列方程．在这个前提下，分析理解题目，可事半功倍，难度一般．26．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；（2）过点P画OA的垂线，垂足为H；（3）线段PH的长度是点P到OA的距离，PC的长度是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC（用“＜”号连接）．【考点】作图—基本作图．【分析】（1）过点P画∠OPC=90°即可；（2）过点P画∠PHO=90°即可；（3）利用点到直线的距离可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC．【解答】解：（1）（2）如图；（3）OA，PC（4分）PH＜PC＜OC．（6分）【点评】本题主要考查了基本作图﹣﹣﹣﹣作已知直线的垂线，另外还需利用点到直线的距离才可解决问题．27．如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段BC 的中点，已知图中所有的线段之和为39，求线段BC 的长．【考点】比较线段的长短．【专题】计算题．【分析】结合图形可知，图形中共有6条线段，分别用x 的代数式表示出6条线段，根据题意列方程求解即可．【解答】解：设CD=x ，则AC=BC=2x ，AD=3x ，AB=4x ，DB=x ．∴x +2x +2x +3x +4x +x=39解得x=3∴BC=2x=6．答：线段BC 的长为6．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．28．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，（1）填写下表：点的个数所得线段的条数所得射线的条数1 02 2 1 4336468（2）在直线上取n个点，可以得到几条线段，几条射线？【考点】直线、射线、线段．【专题】规律型．【分析】（1）根据图形数出线段和射线的数量即可；（2）根据（1）中的数量，找出规律条线段，2n条射线．【解答】解：（1）表格如下：点的个数所得线段的条数所得射线的条数102214336468（2）可以得到条线段，2n条射线．【点评】此题主要考查了射线和线段，关键是数出线段的条数后，找出其中的规律．29．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】由已知∠FOC=90°，∠1=40°结合平角的定义，可得∠3的度数，又因为∠3与∠AOD互为邻补角，可求出∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD可求出∠2．【解答】解：∵∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线，∴∠3+∠FOC+∠1=180°，∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°．∠3与∠AOD互补，∴∠AOD=180°﹣∠3=130°，∵OE平分∠AOD，∴∠2=∠AOD=65°．【点评】本题主要考查邻补角的概念以及角平分线的定义．30．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD （1）如果∠AOD=40°①那么根据对顶角相等，可得∠BOC=40°度．②那么∠POF的度数是70°度．（2）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出三对：①∠AOD=∠BOC；②∠AOC=∠BOD；③∠POB=∠POC．【考点】角的计算．【专题】计算题．【分析】根据对顶角相等即可求出∠BOC，再根据OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF ⊥CD，即可求出∠POF．【解答】解：（1）∵∠AOD=40°与∠BOC是对顶角，根据对顶角相等，∴∠BOC=∠AOD=40°．（2）根据OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠POB=20°，∠BOF=90°﹣∠AOD=90°﹣40°=50°，∴∠POF=∠POB+∠BOF=20°+50°=70°．（3）根据对顶角相等：∠AOD=∠BOC，∠AOC=∠BOD．由OP是∠BOC的平分线，∴∠POB=∠POC．【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是根据已知条件进行求解．31．已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？【考点】角的计算；角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】（1）根据∠AOB是直角，∠AOC=40°，可得∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，再利用OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，即可求得答案．（2）根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC，又利用∠AOB是直角，不改变，可得．【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=40°，∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，∴，．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．∵=，又∠AOB是直角，不改变，∴．【点评】此题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．。

中考数学复习解答题专项集训之相交线与平行线

中考数学复习解答题专项集训之相交线与平行线1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．（1）求证：DE∥BC；（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．2．如图，AB∥CD，AB∥EF，AF平分∠BAE，∠DAE＝10°，∠ADC＝120°．求∠AFE 的度数．3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E为边AB上一点，AE＝DE．（1）求证：AC∥DE．（2）若DE＝2，BE＝4，CD=32，求BC的长．4．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．（1）求证：FG∥AE；（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．（1）求证：∠E＝∠ECD；（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，请判断△BCE的形状，证明你的结论．6．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．（1）求证：OE∥DM；（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．7．已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．连接DE，若∠ADE ＝3∠CDE．（1）若∠AED＝60°，求∠CDE的度数；（2）若∠AEB＝60°，探究DE与BE的位置关系，并说明理由．8．已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．9．综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上（如图1，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°）．保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．深入探究：①老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB﹣∠DCA＝15°，当AC在∠DCE内部的其他位置时，结论∠ECB﹣∠DCA＝15°是否依然成立？请说明理由．②勤学小组提出：若AC旋转至∠DCE的外部，∠DCA与∠ECB是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出∠DCA与∠ECB的数量关系，并说明理由．拓展提升：③智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．10．如图，已知∠E＝∠F，∠A＝∠D．求证：∠1＝∠2．11．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，G在AB的延长线上，若∠D+∠GBC＝180°，AD∥BC，EF∥DC．求证：AB∥EF．12．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．13．如图，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；（2）若BF⊥AC，∠2＝135°，求∠AFG的度数．14．图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，始终与平台l垂直，连杆BC长度为60cm，机械臂CD长度为40cm，点B，C是转动点，AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，机械臂CD，当张角∠ABC＝120°且CD∥AB时（如图2），求机械臂臂端D到操作台l的距离．（2）转动连杆BC，机械臂CD，要使机械臂端D能碰到操作台l上的物体M，则物体M 离底座A的最远距离是多少？15．已知，如图所示，直线AB∥CD，∠AEP＝∠CFQ．求证：∠EPM＝∠FQM．16．课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：∠1＝∠2．”小莲同学解答如下：∵AB∥CD，∴∠1+∠BCD＝180°，∵AD∥BC，∴∠2+∠BCD＝180°，∴∠1＝∠2．小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．17．如图1是长方形纸带，∠DEF＝28°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠DHF的度数是．18．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．19．如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．（1）求证：DF∥AB．（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．20．如图1，AB∥CD，E为AB与CD之间的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与CD相交于点F．（1）求证：∠1+∠2＝90°．（2）如图2，E为AB上方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请写出正确结论并证明．（3）如图3，E为AB下方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请直接写出正确结论．。

人教版初中七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典习题(含答案解析)(2)

一、选择题1．如图，//AB CD ，EC 分别交,AB CD 于点,F C ，链接DF ，点G 是线段CD 上的点，连接FG ，若13∠=∠，24∠∠=，则结论① C D ∠=∠，②FG CD ⊥，③EC FD ⊥，正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③B解析：B【分析】由平行线的性质和垂直的定义，逐个判断得结论．【详解】∵∠1=∠3，∠2=∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠1+∠4=90°，∴∠EFD=∠1+∠2=90°，∴EC ⊥FD ，故③正确；∵AB ∥CD ，∴∠1=∠C ，∴∠FGD=∠4+∠C=∠4+∠1=90°，∴FG ⊥CD ，故②正确；∵∠1不一定等于∠2，∴∠C≠∠D ，故①不正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质及垂直的定义，由相等的角和平角的定义得到互余的角是解决本题的关键．2．下列命题中是真命题的有（）①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；A．1个B．2个C．3个D．4个B解析：B【分析】根据补角和邻补角的定义可判断①，根据平行公理可判断②，根据平行线的性质和判定可判断③，根据平移的性质可判断④，进而可得答案．【详解】解：两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，故命题①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故命题②是假命题；两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，故命题③是真命题；图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，故命题④是真命题．综上，真命题有2个．故选：B．【点睛】本题考查了真假命题、平行线的判定和性质以及平移的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．3．下列说法正确的是（）A．命题一定是正确的B．定理都是真命题C．不正确的判断就不是命题D．基本事实不一定是真命题B解析：B【分析】根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得．【详解】A、命题有真命题和假命题，此项说法错误；B、定理都是经过推论、论证的真命题，此项说法正确；C、不正确的判断是假命题，此项说法错误；D、基本事实是真命题，此项说法错误；故选：B．【点睛】本题考查了命题、真命题与假命题，熟练掌握理解各概念是解题关键．4．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④C解析：C【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．【详解】图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，图③中的∠1与∠2不是同位角，图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．故选：C ．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．5．如图，A 是直线l 外一点，过点A 作AB l ⊥于点B ，在直线l 上取一点C ，连接AC ，使2AC AB =，P 在线段BC 上，连接AP ．若3AB =，则线段AP 的长不可能是（）A ．4B ．5C ．2D ．5.5C解析：C【分析】根据题意计算出AC 的长度，由垂线段最短得出AP 的范围，选出AP 的长度不可能的选项即可．【详解】3AB =，26AC AB cm ∴==，结合垂线段最短，得：36AP ≤≤．故选：C ．【点睛】本题主要考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，熟记概念并求出对应线段的范围是解题关键．6．下面命题中是真命题的有（）①相等的角是对顶角②直角三角形两锐角互余③三角形内角和等于180°④两直线平行内错角相等A．1个B．2个C．3个D．4个C解析：C【分析】利用平行线的性质、三角形的内角和、直角三角形的性质、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故不符合题意；②直角三角形两锐角互余，故符合题意；③三角形内角和等于180°，故符合题意；④两直线平行内错角相等，故符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及三角形的内角和等知识，难度不大．7．如图，直线a∥b，则∠A的度数是（）A．28°B．31°C．39°D．42°C解析：C【解析】试题分析：根据平行线的性质可得∠1=70°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠A=70°-31°=39°.故选C.考点：平行线的性质8．如图是郝老师的某次行车路线，总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度120︒，第三次转过的角度135︒，则第二次拐弯的角度是（）A ．75︒B ．120︒C ．135︒D ．无法确定A解析：A【解析】分析：根据两直线平行，内错角相等，得到∠BFD 的度数，进而得出∠CFD 的度数，再由三角形外角的性质即可得到结论．详解：如图，延长ED 交BC 于F ．∵DE ∥AB ，∴∠DFB =∠ABF =120°，∴∠CFD =60°．∵∠CDE =∠C +∠CFD ，∴∠C =∠CDE -∠CFD =135°－60°=75°．故选A ．点睛：本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质．解题的关键是理解题意，灵活应用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型．9．如图，一副直角三角板图示放置，点C 在DF 的延长线上，点A 在边EF 上，//AB CD ，90ACB EDF ∠=∠=︒，则CAF ∠=（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒B解析：B【分析】根据平行线的性质可知，BAF=EFD=45∠∠ ，由BAC=30∠ 即可得出答案。

中考数学专题复习卷：相交线与平行线(含解析)

订交线与平行线一、选择题1.如图，直线∥，直线与、都订交，假如∠1=50 °，那么∠ 2 的度数是（）A. 50 °B. 100C. 130°D. 150°【答案】 C【分析】：∵ a∥ b，∠ 1=50°，∴∠ 1=∠ 3=50°，∵∠ 2+∠ 3=180°，∴∠ 2=180°-∠ 1=180°-50 °=130°.故答案为： C.【剖析】此中将∠ 2 的邻补角记作∠3，利用平行线的性质与邻补角的意义即可求得∠ 2 的度数.2.如图，AB ∥ CD，且∠DEC=100°，∠ C=40°，则∠B 的大小是（）A. 30 °B. 40C. 50°D. 60°【答案】 B【分析】：∵∠ DEC=100°，∠ C=40°，∴∠ D=40°，又∵ AB ∥ CD，∴∠ B=∠ D=40°，故答案为： B ．【剖析】第一依据三角形的内角和得出∠ D 的度数，再依据二直线平行，内错角相等得出答案。

3.如图，若l 1∥l2，l3∥ l4，则图中与∠ 1互补的角有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】 D【分析】如图，∵ l 1∥l2，l3∥ l4，∵∠ 2=∠ 4，∠ 1+∠ 2=180°，又∵∠ 2=∠3，∠ 4= ∠5，∴与∠ 1 互补的角有∠ 2、∠ 3、∠ 4、∠ 5 共 4 个，故答案为： D.【剖析】依据二直线平行同位角相等，同旁内角互补得出∠2= ∠ 4，∠ 1+∠ 2=180°，再依据对顶角相等得出∠ 2=∠ 3，∠ 4=∠ 5，从而得出答案。

4.如图，直线，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】：∵∠ 1=42°，∠ BAC=78°，∴∠ ABC=60°，又∵ AD ∥ BC，∴∠ 2=∠ ABC=60°，故答案为： C．【剖析】第一依据三角形的内角和得出∠ABC 的度数，再依据二直线平行内错角相等即可得出答案。

2019年全国各地中考数学试题分类汇编之专题19 相交线与平行线(含解析)

相交线与平行线一.选择题1．（2019•浙江宁波•4分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED ＝70°．【解答】解：设AB与直线n交于点E，则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．又直线m∥n，∴∠2＝∠AED＝70°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．2（2019•湖北十堰•3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（）A．50°B．45°C．40°D．30°【分析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1．【解答】解：∵直线AB⊥AC，∴∠2+∠3＝90°．∵∠1＝50°，∴∠3＝90°﹣∠1＝40°，∵直线a∥b，∴∠1＝∠3＝40°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，余角角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．3 （2019•湖北天门•3分）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠AOD+∠D＝180°，∴∠AOD＝70°，∴∠DOB＝110°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝55°，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．4 （2019•湖北孝感•3分）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1＝∠CAB＝70°，∵BC⊥l3交l1于点B，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故选：B．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．5. （2019•湖南衡阳•3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵BE⊥AF，∠BED＝40°，∴∠FED＝50°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠FED＝50°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出∠FED的度数是解题关键．6 （2019•江苏苏州•3分）如图，已知直线//，分别交于点A B，．若a b，直线c与直线a b∠=o，则2154∠=（）A ．126oB ．134oC ．136oD ．144oa【分析】考察平行线的性质，简单题型【解答】根据对顶角相等得到1354∠=∠=o根据两直线平行，同旁内角互补得到32180∠+∠=o所以218054126∠=-=o o o故选Aa7. （2019•山东省滨州市 •3分）如图，AB ∥CD ，∠FGB ＝154°，FG 平分∠EFD ，则∠AEF 的度数等于（）A ．26°B ．52°C ．54°D ．77°【考点】平行线的性质【分析】先根据平行线的性质，得到∠GFD 的度数，再根据角平分线的定义求出∠EFD 的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠FGB +∠GFD ＝180°，∴∠GFD ＝180°﹣∠FGB ＝26°，∵FG 平分∠EFD ，∴∠EFD ＝2∠GFD ＝52°，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD＝52°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．8. （2019•山东省济宁市•3分）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．75°【考点】平行线的性质【分析】首先证明a∥b，推出∠4＝∠5，求出∠5即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4＝∠5，∵∠5＝180°﹣∠3＝55°，∴∠4＝55°，故选：C．【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9（2019▪广西池河▪3分）如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是（）A．60°B．80°C．100°D．120°【分析】根据同位角相等，两直线平行即可求解．【解答】解：如果∠2＝∠1＝120°，那么a∥b．所以要使a∥b，则∠2的大小是120°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．10.(2019，山西，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是（）A.30°B.35°C.40°D.45°【解析】∵AB=AC且∠A=30°，∴∠ACB=75°.在△ADE中：∠1=∠A+∠3，∴∠3=115°∵a∥b，∴∠3=∠2+∠ACB，∴∠2=40°11.（2019，山东淄博，4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°【分析】根据平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．【解答】解：如图：∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，故选：C．【点评】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．12. （2019•湖南长沙•3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1＝80°，∴∠3＝100°，∵AB∥CD，故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键．13. （2019•湖南邵阳•3分）如图，已知两直线l1与l2被第三条直线l3所截，下列等式一定成立的是（）A．∠l＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠2+∠4＝180°D．∠1+∠4＝180°【分析】由三线八角以及平行线的性质可知，A，B，C成立的条件题目并没有提供，而D选项中邻补角的和为180°一定正确．【解答】解：∠1与∠2是同为角，∠2与∠3是内错角，∠2与∠4是同旁内角，由平行线的性质可知，选项A，B，C成立的条件为l1∥l2时，而∠1与∠4是邻补角，故D正确．故选：D．【点评】本题考查三线八角的识别及平行线的性质和邻补角的概念．本题属于基础题，难度不大．14（2019•湖南湘西州•4分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为（）A．40°B．90°C．50°D．100°【分析】根据平行线的性质即可得到∠4的度数，再根据平角的定义即可得到∠3的度数．【解答】解：∵a∥b，∵∠2＝40°，∴∠3＝90°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．15 （2019•湖南湘西州•4分）下列命题是真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．相等的两个角是对顶角D．圆内接四边形对角相等【分析】由平行线的判定方法得出A是假命题；由平行四边形的判定定理得出B是真命题；由对顶角的定义得出C是假命题；由圆内接四边形的性质得出D是假命题；即可得出答案．【解答】解：A/同旁内角相等，两直线平行；假命题；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；C．相等的两个角是对顶角；假命题；D．圆内接四边形对角相等；假命题；故选：B．【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；要熟练掌握．15. （2019•湖南岳阳•3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．50°【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质分析得出答案．【解答】解：∵BE 平分∠ABC ，∠ABC ＝50°，∴∠ABE ＝∠EBC ＝25°，∵BE ∥DC ，∴∠EBC ＝∠C ＝25°．故选：B ．【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出∠EBC ＝25°是解题关键．16 （2019•甘肃•3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A ．48°B ．78°C ．92°D ．102°【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°， ∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D ．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．17. （2019•广东深圳•3分）如图，已知AB l 1，AC 为角平分线，下列说法错误的是（）A.∠1=∠4B.∠1=∠5C.∠2=∠3D.∠1=∠3【答案】B【解析】两直线平行，同位角相等，即∠2=∠3.故选B.18. （2019•广西贵港•3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（）A．2B．3C．2D．5【分析】设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出＝，从而可求出CD的长度．【解答】解：设AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝4，＝，∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴＝，设AE＝2y，AC＝3y，∴＝，∴AD＝y，∴＝，∴CD＝2，故选：C．二.填空题1（2019•南京•2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵∠1+∠3＝180°，∴a∥b．【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．故答案为：∠1+∠3＝180°．【点评】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．2 （2019•广东•4分）如图，已知a∥b，∠l=75°，则∠2 =________．【答案】105°【解析】180°-75°=105°.【考点】平行线的性质3 （2019•广西贵港•3分）如图，直线a∥b，直线m与a，b均相交，若∠1＝38°，则∠2＝142°．【分析】如图，利用平行线的性质得到∠2＝∠3，利用互补求出∠3，从而得到∠2的度数．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠3，∵∠1+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣38°＝142°．故答案为142°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．三.解答题1. （2019•湖北天门•8分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE ≌△ECG得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CEG+∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴AE⊥BF；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°，∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由（1）得∠BAE＝∠CEG，在△APE和△ECG中，，∴△APE≌△ECG（ASA），∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2. （2019•湖北天门•10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）；（2）当PQ＝3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y 关于t的函数解析式（由时间＝路程÷速度可得出t的取值范围）；（2）将PQ＝3代入（1）的结论中可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，利用勾股定理可求出OB的长，由BQ∥OP可得出△BDQ∽△ODP，利用相似三角形的性质结合OB＝10可求出OD ＝6，由CB∥OA可得出∠DOF＝∠OBC，在Rt△OBC中可求出sin∠OBC及cos∠OBC 的值，由OF＝OD•cos∠OBC，DF＝OD•sin∠OBC可求出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．（2）当PQ＝3时，25t2﹣80t+100＝（3）2，整理，得：5t2﹣16t+11＝0，解得：t1＝1，t2＝．（3）经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝6，BC＝8，∴OB＝＝10．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴＝＝＝，∴OD＝6．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OB C．在Rt△OBC中，sin∠OBC＝＝＝，cos∠OBC＝＝＝，∴OF＝OD•cos∠OBC＝6×＝，DF＝OD•sin∠OBC＝6×＝，∴点D的坐标为（，），∴经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值为×＝．【点评】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ＝3时t 的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标．3. （2019•湖北武汉•8分）如图，点A.B.C.D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．【分析】根据平行线的性质可得∠ACE＝∠D，又∠A＝∠1，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出∠E＝∠F．【解答】解：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D，∵∠A＝∠1，∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，∴∠E＝∠F．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．4. （2019•湖南衡阳•8分）如图，点A.B.C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得到∠＝30°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵∠BCA＝∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°，即OB⊥AC，∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝OB＝8，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．。

中考数学【相交线与平行线】考点专项复习教案(含例题、习题、答案)

第五章相交线与平行线本章小结小结1 本章概述本章的主要内容是两条直线的位置关系——相交与平行.特别是垂直和平行关系是平面几何所要研究的基本内容之一.这一章的内容是很重要的基本知识，是几何学习的重要阶段，要引起高度重视.教材在给出对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的基础上又给出了对顶角、邻补角的性质、垂线的基本性质和平行线的判定和性质，最后给出平移的概念、性质以及利用平移绘制图案．小结2 本章学习重难点【本章重点】了解对顶角、余角、补角的概念；掌握等角的余角相等，等角的补角相等；掌握垂线、垂线段的概念；知道两条直线平行，同位角相等以及同位角相等，两直线平行，进一步探索平行线的性质和判定.【本章难点】掌握垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义；通过具体实例认识平移；能按要求作出简单平面图形平移后的图形，利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．小结3 中考透视中考所考查的内容主要体现在以下几个方面：1. 对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的理解，对顶角、邻补角以及垂线性质的应用，包括实际应用.2. 同位角、内错角、同旁内角的含义，能由线找出角、由角说出线.3. 平行线的识别与特征，以及在实际问题中的应用.4. 简单命题的证明．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 有关基本图形的问题【专题解读】本章中主要考查数图形的个数问题，构造基本图形以及基本图形的组合，如平行线与角平分线的组合，平行线与平行线的组合等.例1 如图5-132所示，直线AB,CD,EF都经过点O，图中共有几对对顶角？分析数基本图形不能重复，不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角，图中有3组两条直线相交，故对顶角有2×3=6（对）.解：共有6对对顶角.【解题策略】数图形个数及书写时，应注意顺序性，这样不易例2 如图5-133所示，图中共有几对同旁内角？分析我们知道两条直线被第三条直线所截共形成八个角，其中有两对同旁内角.图形中有两个“三线八角”，即CD,EF被GH所截，形成两对同旁内角，AB,EF被GH所截，又形成两对同旁内角，所以共有4对同旁内角.解：图中共有4对同旁内角.【解题策略】注意观察同旁内角的特点.例3 如图5-134所示，AB∥CD,P为AB,CD之间的一点，已知∠1=32°，∠2=25°，求∠BPC的度数.分析此图不是我们所学的“三线八角”的基本图形，需添加一些线（辅助线）把它们转化成我们熟悉的基本图形.解：如图5-134所示，过点P作射线PN∥AB.因为AB∥CD(已知)，所以PN∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)，所以∠4=∠2=25°（两直线平行，内错角相等）.因为PN∥AB(已知)，所以∠3=∠1=32°（两直线平行，内错角相等）.所以∠BPC=∠3+∠4=32°+25°=57°.【解题策略】构造基本图形就是将残缺的基本图AB所以GM∥HN（内错角相等，两直线平行）.【解题策略】此题考查平行线的性质、判定以及角平分线的综合应用.例5 如图5-136所示，已知AB∥CD,BC∥DE.试说明∠B=∠D.分析条件为直线平行，故可根据平行线的性质说明.解：因为AB∥CD(已知)，所以∠B=∠C(两直线平行，内错角相等).因为BC∥DE(已知)，所以∠C=∠D(两直线平行，内错角相等).【解题策略】此题重点考查了平行线的性质的应用.例6 如图5-137所示，已知AB∥CD,G为AB上任一点，GE,GF分别交CD于E,F.试说明∠1+∠2+∠3=180°.分析要说明180°问题，想到了“平角”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个知识点，故可用它们解决问题.解：因为AB∥CD(已知)，所以∠4=∠2，∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）.因为∠4+∠1+∠5=180°（平角定义），所以∠2+∠1+∠3=180°（等量代换）.【解题策略】此题把说明∠2+∠1+∠3=180°转化为说明∠1+∠5+∠4=180°，应用等量代换解决了问题.例7 如图5-138所示，AB,DC相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC.试说明OE⊥OF解：因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOC(已知)，所以∠1=12∠AOC,∠2=12∠BOC(角平分线定义).所以∠1+∠2=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC).又因为∠AOC+∠BOC=180°(邻补角定义)，所以∠1+∠2=1×180°=90°，∠和°可说明∠1+∠2=90°.例9 如图5-140所示，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G,ED∥BC.试说明∠1=∠2.解：因为CD⊥AB,FG⊥AB(已知)，所以∠CDB=∠FGB=90°(垂直定义)，所以∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.因为DE∥BC(已知)，所以∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），所以∠1=∠2（等量代换）.【解题策略】多次运用平行线的性质说明∠1，∠2，∠3的关系.二、规律方法专题专题2 基本命题的计算与证明【专题解读】基本命题的计算与证明涉及的题型有（1）有关角的计算；(2)有关角相等的判定；（3）判定平行问题；（4）判定垂直问题；（5）判定共线问题.例10 如图5-141所示，已知∠4=70°，∠3=110°，∠1=46°，求∠2的度数.分析由∠3+∠4=180°，知AB∥CD,故∠2=180°-∠1.解：因为∠4=70°，∠3=110°（已知），所以∠4+∠3=180°，所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，所以∠2=180°-∠1=180°-46°=134°（两直线平行，同旁内角互补）.【解题策略】此题考查由同旁内角互补判定两直线平行，由两直线平行可行同旁内角互补，从而计算相关的角.例11 如图5-142所示，AB∥CD,EB∥DF.试说明∠1=∠2.解：因为AB∥CD(已知)，所以∠1+∠3=∠2+∠4（两直线平行，内错角相等）.因为EB∥DF(已知)，所以∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），所以∠1=∠2（等式性质）.【解题策略】判定角相等的方法有：（1）同角（等角）的余角相等；（2）同角（等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）角平分线定义；（5）两直线平行，同位角相等；（6）两直线平行，内错角相等.例12 如图5-143所示，DF∥AC,∠1=∠2.试说明DE=AB.分析要说明DE∥AB,可说明∠1=∠A,而由DF∥AC,有∠2=∠A.又因为∠1=∠2，故有∠1=∠A,从而得出结论.解：因为DF∥AC(已知)，所以∠2=∠A(两直线平行，同位角相等).因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠A（等量代换），所以DE∥AB(同位角相等，两直线平行).【解题策略】判定平行的方法有：（1）平行于同一条直线的两直线平行；（2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）同位角相等，两直线平行；（4）内错角相等，两直线平行；（5）同旁内角互补，两直线平行.例13 如图5-144所示，∠1=∠2，CD∥EF.试说明EF⊥AB.分析要说明EF⊥AB,可说明∠2=90°，而由CD∥EF,可得∠1+∠2=180°，又∠1=∠2，所以有∠1=∠2=90°，从而得出结论.解：因为CD∥EF(已知)，所以∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.又因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠2=90°，所以EF⊥AB（垂直定义）.【解题策略】判定垂直的方法有：（1）说明两条相交线的一个交角为90°；（2）说明邻补角相等；（3）垂直于平行线中的一条，也必垂直于另一条.例14 如图5-145所示，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.试说明E,O,F三点在一条直线上.分析要说明E,O,F三点共线，只需说明∠EOF=180°.解：因为AB,CD相交于点O（已知），所以∠AOC=∠BOD(对顶角相等).因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOD（已知），已知的.例15 如图5-146所示，直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOE,且∠COA:∠AOD=7:2,求∠BOE的度数.分析欲求∠BOE,因为∠BOE与∠AOE互为邻补角，所以可先求∠AOE,而∠AOE=2∠AOD,所以只需求∠AOD即可，由已知条件可求得∠AOD.解：∵∠COA+∠AOD=180°,∠COA:∠AOD=7:2,∴∠COA=79×180°=140°,∠AOD=29×180°=40°.∵OD平分∠AOE,∴∠AOE=2∠AOD=2×40°=80°,∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-80°=100°.【解题策略】互为邻补角的两个角的和为180°、对顶角相等是在有关求角的大小的问题中常用的两个等量关系，要注意发现图形中的这两种角，它们常隐藏在直线条件的背后.2011中考真题相交线与平行线精选一、选择题1.（2011云南保山2，3分）如图，l1∥l2，∠1=120°，则∠2= .考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。

相交线与平行线常考题目及问题详解(绝对经典)

相交线与平行线一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个B．2个 C．1个 D．0个3．如图所示，同位角共有（）A．6对B．8对 C．10对D．12对二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B 点，则四边形OAPB的面积为．6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是．评卷人得分三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB ∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为．（直接写结论）19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF=．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH ﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴∥（）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴∥（）（3）∵∠ADF+=180°（已知）∴AD∥BF（）27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．29．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以∥（）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=°．所以∠EAB=∠FBG（）．所以∥（同位角相等，两直线平行）．30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．33．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）所以∠1=∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3=180°（已知）∠3=∠6（）所以∠2+∠6=180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）34．已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．35．已知：如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度数．36．如图，∠B和∠D的两边分别平行．（1）在图1 中，∠B和∠D的数量关系是，在图2中，∠B和∠D的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．页眉内容页脚内容5137．已知AD ∥BC ，AB ∥CD ，E 为射线BC 上一点，AE 平分∠BAD ．（1）如图1，当点E 在线段BC 上时，求证：∠BAE=∠BEA ．（2）如图2，当点E 在线段BC 延长线上时，连接DE ，若∠ADE=3∠CDE ，∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC ；②求∠CED 的度数．38．如图，已知a ∥b ，ABCDE 是夹在直线a ，b 之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．39．如图，AB ∥DC ，增加折线条数，相应角的个数也会增多，∠B ，∠E ，∠F，∠G ，∠D 之间又会有何关系？40．已知直线AB ∥CD ，（1）如图1，点E 在直线BD 上的左侧，直接写出∠ABE ，∠CDE 和∠BED 之间的数量关系是．（2）如图2，点E 在直线BD 的左侧，BF ，DF 分别平分∠ABE ，∠CDE ，直接写出∠BFD 和∠BED 的数量关系是．页眉内容页脚内容51（3）如图3，点E 在直线BD 的右侧BF ，DF 仍平分∠ABE ，∠CDE，那么∠BFD 和∠BED 有怎样的数量关系？请说明理由．41．（1）如图，直线a ，b ，c 两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠AOD ：∠BOE=4：1，求∠AOF 的度数．42．如图，已知CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，∠1=∠2．试说明DF ∥AE ．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）∴∠CDA=∠DAB ．（等量代换）又∠1=∠2，从而∠CDA ﹣∠1=∠DAB ﹣ ．（等式的性质）即∠3= ．∴DF ∥AE ．（）．43．如图1，AB ∥CD ，EOF 是直线AB 、CD 间的一条折线．页眉内容页脚内容51（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO ．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO 、∠O 、∠P 、∠PFC 会满足怎样的关系，证明你的结论．（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n 次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG 平分∠AEC ，∠NCE=75°．求证：（1）AB ∥EF ．（2）AB ∥ND ．45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE 是∠ABC 的角平分线．求证：DF ∥AB ．46．已知，直线AB ∥CD ，E 为AB 、CD 间的一点，连结EA 、EC ．（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC= ．（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC= ．（3）如图③，请直接写出∠A ，∠C 与∠AEC 之间关系是．47．如图，已知AB ∥CD ，EF ⊥AB 于点G ，若∠1=30°，试求∠F 的度数．页眉内容页脚内容5148．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的∠ABC 的度数．（2）图2中AE ∥BC ，请你计算出∠AFD 的度数．49．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿EF 对折，延长DE 交BF 于点G ，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．50．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB 平行的线段有哪些？（2）图中和AB 垂直的直线有哪些？页眉内容页脚内容51页眉内容参考答案及解析一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L1与L8的位置关系是平行．【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，∴l2⊥l8．∵l1⊥l2，∴l1∥l8．故选A【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个B．2个 C．1个 D．0个【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF 都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个．【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，∴∠1=∠AOF，∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．页脚内容51页眉内容∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．故选A．【点评】本题解决的关键是由已知联想到可以转化为求∠1和∠AOF的余角．3．如图所示，同位角共有（）A．6对B．8对C．10对D．12对【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN 后，增加了多少对同位角，求总和．【解答】解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．则总共10对．故选C．【点评】本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成8块．【分析】一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成23=8块．【解答】解：长方体橡皮可以想象为立体图形，第一次最多切2块，第二次在第一次的基础上增加2倍，第三次在第二次的基础上又增加2倍，故最多能被分成8块．【点评】本题考查了学生的空间想象能力，分清如何分得到的块数最多是解决本题的关键．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B 点，则四边形OAPB的面积为9．页脚内容51页眉内容页脚内容51【分析】过P 分别作x 轴和y 轴的垂线，交x 轴和y 轴与C 和D ．构造全等三角形△PDB ≌△PCA （ASA ）、正方形CODP ；所以S 四边形OAPB =S 正方形ODPC =3×3=9．【解答】解：过P 分别作x 轴和y 轴的垂线，交x 轴和y 轴于点C 和D ． ∵P 点坐标为（3，3），∴PC=PD ；又∵l 1⊥l 2，∴∠BPA=90°；又∵∠DPC=90°，∴∠DPB=∠CPA ，在△PDB 和△PCA 中∴△PDB ≌△PCA （ASA ），∴S △DPB =S △PCA ，S 四边形OAPB =S 正方形ODPC +S △PCA ﹣S △DPB ，即S 四边形OAPB =S 正方形ODPC =3×3=9．故答案是：9．【点评】本题综合考查了垂线、坐标与图形性质、三角形的面积．解答此题时，利用了“割补法”求四边形OAPB 的面积．6．如图，直线l 1∥l 2，∠1=20°，则∠2+∠3= 200° ．页眉内容【分析】过∠2的顶点作l2的平行线l，则l∥l1∥l2，由平行线的性质得出∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，即可得出∠2+∠3=200°．【解答】解：过∠2的顶点作l2的平行线l，如图所示：则l∥l1∥l2，∴∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°+20°=200°；故答案为：200°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是75°．【分析】根据平行线的性质得到∠EDC=∠E=45°，根据三角形的外角性质得到∠AFD=∠C+∠EDC，代入即可求出答案．【解答】解：∵∠EAD=∠E=45°，∵AE∥BC，∴∠EDC=∠E=45°，∵∠C=30°，∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能利用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，难度适中．页脚内容51三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB ∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．【分析】（1）首先作MQ∥AB，根据平行线的性质，推得∠M=（∠FHP+∠HFP）；然后根据HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，据此求出∠M的度数即可．（2）①首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．②首先判断出∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=（∠DEF﹣∠HEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=180°﹣2∠ENQ即可．【解答】解：（1）如图1，作MQ∥AB，，∵AB∥CD，MQ∥AB，∴MQ∥CD，∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=（∠FHP+∠FED）=（∠FHP+∠HFP），∵HP⊥EF，∴∠HPF=90°，∴∠FHP+∠HFP=180°﹣90°=90°，∵∠1+∠2=∠M，∴∠M=．（2）①如图2，，∠FHE=2∠ENQ，理由如下：∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，∵NQ⊥EM，∴∠NEQ+∠ENQ=90°，∴∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，∵AB∥CD，∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．②如图3，，∠FHE=180°﹣2∠ENQ，理由如下：∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=（∠DEF﹣∠HEF）=∠HED，∵NQ⊥EM，∴∠NEQ+∠ENQ=90°，∴∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，∵AB∥CD，∴∠FHE=180°﹣∠CEH=180°﹣2∠ENQ．综上，可得当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°﹣2∠ENQ．【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2个交点；4条直线相交有1+2+3个交点；5条直线相交有1+2+3+4个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；…n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=个交点．【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交有个交点．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等得到答案；（2）设∠EOC=4x，根据邻补角的概念列出方程，解方程求出∠EOC=80°，根据角平分线的定义和对顶角相等计算即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠EOC=70°，OA平分∠EOC，∴∠AOC=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°；（2）设∠EOC=4x，则∠EOD=5x，∴5x+4x=180°，解得x=20°，则∠EOC=80°，又∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=40°，∴∠BOD=∠AOC=40°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？【分析】（1）、（2）根据平角的性质求得∠AOF，又有角平分线的性质求得∠FOC；然后根据对顶角相等求得∠EOD=∠FOC；∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，∠BOD=∠EOD﹣∠BOE；（3）由（1）、（2）的结果找出它们之间的倍数关系．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，∴∠AOF=140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，∴∠AOF=180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．【点评】本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．【分析】（1）过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，即可求出∠BED的度数，（2）过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，即可求出∠BED的度数，【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥PQ，∵∠CBN=100°，∠ADQ=130°，∴∠CBM=80°，∠ADP=50°，∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDP=∠ADP=25°，∵EF∥PQ，∴∠DEF=∠EDP=25°，∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN．∴∠FEB=∠EBM=40°∴∠BED=25°+40°=65°；（2）如图2，过点E作EF∥PQ，∵∠CBN=100°，∴∠CBM=80°，∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDQ=∠ADQ=n°，∵EF∥PQ，∴∠DEF=180°﹣∠EDQ=180°﹣n°，∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN，∴∠FEB=∠EBM=40°，∴∠BED=180°﹣n°+40°=220°﹣n°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，运用角平分线与平行线的性质相结合来求∠BED解题的关键．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据平角等于180°，列式计算即可得解；（2）根据三角形的外角性质求出∠4，然后根据同位角相等，两直线平行解答．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠1=26°，∴∠2=180°﹣∠1﹣∠ACB，=180°﹣90°﹣26°，=64°；（2）结论：n∥m．理由如下：∵∠3=19°，∠A=45°，∴∠4=45°+19°=64°，∵∠2=64°，∴∠2=∠4，∴n∥m．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，可得：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2．（2）关系：∠3=∠2﹣∠1；过P作直线PQ∥l1∥l2，则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，∴∠3=∠2﹣∠1．（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1∥l2；同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，即可得出结论；（2）由（1）的结论代入计算即可．【解答】解：（1）∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°；理由如下：延长NP交BC于M，如图所示：∵AB∥PN∥CD，∴∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，∵∠PCD=∠BCD﹣∠BCP=∠ABC﹣∠BCP，∴∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°．（2）由（1）得：∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°，则∠BCP=∠ABC+∠CPN﹣180°=155°+42°﹣180°=17°．【点评】本题考查了平行线的性质；熟记平行线的性质是解决问题的关键．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质和等量关系可得∠EAD+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；（2）根据平行线的性质可得∠AEB=∠C，根据三角形内角和定理和等量关系即可得到∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠EAD=∠C，∴∠EAD+∠D=180°，∴AE∥CD；（2）∵AE∥CD，∴∠AEB=∠C，∵∠FEC=∠BAE，∴∠B=∠EFC=50°．【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是证明AE∥CD．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．【分析】（1）首先作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，据此分别判断出∠B=∠1，∠D=∠2，即可判断出∠B+∠D=∠E，据此解答即可．（2）首先作EF∥AB，即可判断出∠B=∠1；然后根据∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，可得∠D=∠2，据此判断出EF∥CD，再根据EF∥AB，可得AB∥CD，据此判断即可．（3）首先过E作EF∥AB，即可判断出∠BEF+∠B=180°，然后根据EF∥CD，可得∠D+∠DEF=180°，据此判断出∠E+∠B+∠D=360°即可．（4）首先根据AB∥CD，可得∠B=∠BFD；然后根据∠D+∠E=∠BFD，可得∠D+∠E=∠B，据此解答即可．（5）首先作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，根据AB∥CD，可得∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，所以∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；然后根据∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，可得∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，据此判断即可．【解答】解：（1）如图1，作EF∥AB，，∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠D=∠2，∴∠B+∠D=∠1+∠2，又∵∠1+∠2=∠E，∴∠B+∠D=∠E．（2）如图2，作EF∥AB，，∵EF∥AB，∴∠B=∠1，∵∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，∴∠D=∠2，∴EF∥CD，又∵EF∥AB，∴AB∥CD．（3）如图3，过E作EF∥AB，，∵EF∥AB，∴∠BEF+∠B=180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF=180°，∵∠BEF+∠DEF=∠E，∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°．（4）如图4，，∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∵∠D+∠E=∠BFD，∴∠D+∠E=∠B．（5）如图5，作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，，又∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；∵∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为∠P+n∠Q=360°．（直接写结论）【分析】（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可．（2）首先由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF=，即可判断出∠EPF+2∠EQF=360°．（3）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+3∠Q=360°．（4）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+n∠Q=360°．【解答】（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，又∵∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，，由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）==，∴∠EPF+2∠EQF=360°．（3）如图3，，由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]=×（360°﹣∠P），∴∠P+3∠Q=360°．（4）由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]=×（360°﹣∠P），∴∠P+n∠Q=360°．故答案为：∠P+n∠Q=360°．【点评】此题主要考查了平行线的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．【分析】设∠1=x，根据题意表示出∠2，再表示出∠3，然后根据邻补角的和等于180°列式求出x，再根据对顶角相等求出∠4即可．【解答】解：设∠1=x，则∠2=x，∠3=8x，依题意有x+x+8x=180°，解得x=18°，则∠4=18°+18°=36°．故∠4的度数是36°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角的定义，准确识图，设出未知数并列出方程是解题的关键．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【分析】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．【解答】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【点评】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF=．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．【分析】（1）由对顶角的性质可知∠BOD=70°，从而可求得∠FOB=20°，由角平分线的定义可知∠BOE=∠BOD，最后根据∠EOF=∠BOE+∠FOB 求解即可；（2）①先证明∠AOE=∠COE=x，然后由角平分线的定义可知∠FOE=；②∠BOE=∠FOE﹣∠FOB可知∠BOE=x﹣15°，最后根据∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，从而可求得∠AOC的度数．【解答】解：（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF﹣∠BOD，∴∠FOB=90°﹣70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠BOD=×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°，（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠FOE=x，故答案为：；②∵∠BOE=∠FOE﹣∠FOB，∴∠BOE=x﹣15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴x﹣15°+x=180°，解得：x=130°，∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°﹣130°）=100°．【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．【分析】（1）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，设∠BOE=2x，根据题意列出方程，解方程即可；（2）根据角平分线的定义求出∠AOF的度数即可．【解答】解：（1）设∠BOE=2x，则∠EOD=3x，∠BOD=∠AOC=75°，∴2x+3x=75°，解得，x=15°，则2x=30°，3x=45°，∴∠BOE=30°；（2）∵∠BOE=30°，∴∠AOE=150°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=75°，∴∠COF=∠AOC，∴OA是∠COF的角平分线．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．【分析】（1）设∠BOE=x，根据题意列出方程，解方程即可；（2）分射线OF在∠AOD的内部和射线OF在∠BOC的内部两种情况，根据垂直的定义计算即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=72°，∴∠BOD=72°，∠AOD=108°，设∠BOE=x，则∠DOE=2x，由题意得，x+2x=72°，解得，x=24°，∴∠BOE=24°，∠DOE=48°，∴∠AOE=156°；（2）若射线OF在∠BOC的内部，∠DOF=90°+48°=138°，若射线OF在∠AOD的内部，∠DOF=90°﹣48°=42°，∴∠DOF的度数是138°或42°．【点评】本题考查的是对顶角和邻补角的概念和性质以及垂直的定义，掌握对顶角相等、邻补角的和是180°是解题的关键．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH ﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．（2）由已知条件和对顶角相等得出∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，得出∠ONF=90°，求出∠OFM=54°，延长∠OFG=2∠OFM=108°，证出∠OFG+∠EOC=180°，即可得出结论．【解答】解：∵∠EOC：∠EOD=2：3，∴∠EOC=180°×=72°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∴∠BOD=∠AOC=36°．（2）延长FM交AB于N，如图所示：∵∠MFH﹣∠BOD=90°，FM平分∠OFG，∴∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，∴∠ONF=126°﹣36°=90°，∴∠OFM=90°﹣36°=54°，∴∠OFG=2∠OFM=108°，∴∠OFG+∠EOC=180°，∴OE∥GH．【点评】本题考查了平行线的判定、角平分线定义、角的互余关系等知识；熟练掌握平行线的判定、角平分线定义是解决问题的关键，（2）有一定难度．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，根据余角的概念计算即可；（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE=70°，∴∠BOC=2∠BOE=140°，∴∠AOC=180°﹣140°=40°，又∠COF=90°，∴∠AOF=90°﹣40°=50°；（2）∵∠BOD：∠BOE=1：2，OE平分∠BOC，∴∠BOD：∠BOE：∠EOC=1：2：2，∴∠BOD=36°，∴∠AOC=36°，又∵∠COF=90°，∴∠AOF=90°﹣36°=54°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）（3）∵∠ADF+∠5=180°（已知）∴AD∥BF（同旁内角互补，两直线平行）【分析】（1）由∠3=∠4根据平行线的判定推出CD∥AB；（2）由∠DBE=∠CAB，根据同位角相等，两直线平行得出答案；（3）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠3=∠4（已知），∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），（2）∵∠DBE=∠CAB（已知），∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行），（3）∵∠ADF+∠5=180°（已知），。

中考数学点对点-相交线与平行线(解析版)

专题16 相交线与平行线专题知识点概述一、相交线1．邻补角（1）定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

（2）性质：邻补角的性质：邻补角互补。

2．对顶角（1）定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

（2）性质：对顶角的性质：对顶角相等。

3．垂线（1）定义：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

（2）垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

4．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角定义：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

（2）内错角定义：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

（3）同旁内角定义：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

二、平行线1.平行线概念：在同一平面内，两条不想交的直线叫做平行线。

记做a∥b 如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

2.两条直线的位置关系：平行和相交。

3.平行线公理及其推论：（1）公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行. 4.平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；判定方法2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行；判定方法3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行. 补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）垂直于同一条直线的两直线平行。

5.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

6．证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

例题解析与对点练习【例题1】（2020•北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5【答案】A【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．【解析】A．∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，故A正确；B．∵∠2＝∠A+∠3，∴∠2＞∠3，故B错误；C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误.【对点练习】（2019•河北省）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB【答案】C．【解析】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EF C．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点拨】以角度之间的关系为前提，得出两条直线平行，是平行线判定定理的运用。

中考数学第五章相交线与平行线知识点及练习题及解析

中考数学第五章相交线与平行线知识点及练习题及解析一、选择题1．如图所示，下列说法正确的是（）．A ．1∠与2∠是同位角B ．1∠与3∠是同位角C ．2∠与3∠是内错角D ．2∠与3∠是同旁内角 2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，画射线ED ．下列说法错误的是（）A ．∠B 与∠2是同旁内角B ．∠A 与∠1是同位角C ．∠3与∠A 是同旁内角D ．∠3与∠4是内错角 3．如图，给出下列条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B ；④AD ∥BE ，且∠D =∠B ．其中能说明AB ∥DC 的条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图，下列条件不能判定AB ∥CD 的是（）A ．12∠∠=B ．2E ∠∠=C ．B E 180∠∠+=D ．BAF C ∠∠=5．如图，AB ∥CD ，∠B ＝20°，∠D ＝40°，则∠BED 为（）A ．20°B ．30°C ．60°D ．40°6．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（）A ．70°B ．45°C ．110°D ．135°7．给出下列命题：①平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧；②平面上任意三点能确定一个圆；③图形经过旋转所得的图形和原图形全等；④三角形的外心到三个顶点的距离相等；⑤经过圆心的直线是圆的对称轴.正确的命题为（）A ．①③⑤B ．②④⑤C ．③④⑤D ．①②⑤8．下列命题是假命题的有（）①邻补角相等；②对顶角相等；③同位角相等；④内错角相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，////OP QR ST 下列各式中正确的是（）A ．123180∠+∠+∠=B ．12390∠+∠-∠=C ．12390∠-∠+∠=D ．231180∠+∠-∠= 10．如图，25AOB ︒∠=，90AOC ︒∠=，点B ，O ，D 在同一直线上，则COD ∠的度数为（）A ．65B ．25C ．115D ．155二、填空题11．如图，已知12∠=∠，求证：A BCH ∠=∠．证明：∵12∠=∠（已知）23∠∠=（______）∴13∠=∠（等量代换）∴//CH （______）（同位角相等，两直线平行）∴A BCH ∠=∠（______）12．如图，已知A 1B //A n C ，则∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A n 等于__________(用含n 的式子表示)．13．如图，已知//AB CF ，//CF DE ， 90BCD ∠=︒，则D B ∠-∠=_________14．如图，AB //CD BED 110BF ，，∠=平分ABE DF ∠，平分CDE ∠，则BFD ∠= ______ ．15．如图，AB ∥CD, AC ∥BD, CE 平分∠ACD ，交BD 于点E ，点F 在CD 的延长线上，且∠BEF=∠CEF ，若∠DEF=∠EDF ，则∠A 的度数为_____︒.16．已知∠ABC=70︒，点D 为BC 边上一点，过点D 作DP//AB ，若∠PBD=12∠ABC ，则∠DPB=_____︒.17．探究题： (1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；(3)根据以上探究的结果，n(n 为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有______对．(用含n 的式子表示)18．如图，直线a ∥b ，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC ＝_______．19．如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，28HG cm =，5MG cm =，4MC cm =，则阴影部分的面积是___20．如图,AC ∥BD,AE 平分∠BAC 交BD 于点E,若∠1=62°，则∠2=______.三、解答题21．如图，直线MN ∥GH ，直线l 1分别交直线MN 、GH 于A 、B 两点，直线l 2分别交直线MN、GH于C、D两点，且直线l1、l2交于点E，点P是直线l2上不同于C、D、E点的动点．（1）如图①，当点P在线段CE上时，请直写出∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系：；（2）如图②，当点P在线段DE上时，（1）中的∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明成立的理由；如果不成立，请写出这三个角之间的数量关系，并说明理由．（3）如果点P在直线l2上且在C、D两点外侧运动时，其他条件不变，请直接写出∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系．22．已知：直线l分别交AB、CD与E、F两点，且AB∥CD．（1）说明：∠1=∠2；（2）如图2，点M、N在AB、CD之间，且在直线l左侧，若∠EMN+∠FNM=260°，①求：∠AEM+∠CFN的度数；②如图3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度数；（3）如图4，∠2=80°，点G在射线EB上，点H在AB上方的直线l上，点Q是平面内一点，连接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接写出∠GQH的度数．23．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB ∥EF ，请直接写出∠BAD ，∠ADE ，∠DEF 之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD ，ED 分别平分∠BAC ，∠CEF 时，∠ACE 与∠ADE 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB ∥EF ，当∠ACD=90°时，∠BAC 、∠CDE 和∠DEF 之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．24．如图1．已知直线AB ED ．点C 为AB ，ED 内部的一个动点，连接CB ，CD ，作ABC ∠的平分线交直线ED 于点E ，作CDE ∠的平分线交直线BA 于点A ，BE 和DA 交于点F ．（1）若180FDC ABC ∠+∠=︒，猜想AD 和BC 的位置关系，并证明；（2）如图2，在（1）的基础上连接CF ，则在点C 的运动过程中，当满足CF AB ∥且32CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数． 25．问题情境（1）如图①，已知360B E D ∠+∠+∠=︒，试探究直线AB 与CD 有怎样的位置关系？并说明理由．小明给出下面正确的解法：直线AB 与CD 的位置关系是//AB CD ．理由如下：过点E 作//EF AB （如图②所示）所以180B BEF ∠+∠=︒（依据1）因为360B BED D ∠+∠+∠=︒（已知）所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=︒所以180FED D ∠+∠=︒所以//EF CD （依据2）因为//EF AB所以//AB CD （依据3）交流反思上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？“依据1”：________________________________；“依据2”：________________________________；“依据3”：________________________________．类比探究（2）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件________时，有//AB CD ．拓展延伸（3）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件_________时，有//AB CD ．26．如图，已知AB ∥CD ，∠A=40°，点P 是射线B 上一动点（与点A 不重合），CM ，CN 分别平分∠ACP 和∠PCD ，分别交射线AB 于点M,N ．（1）求∠MCN 的度数．（2）当点P 运动到某处时，∠AMC=∠ACN ，求此时∠ACM 的度数．（3）在点P 运动的过程中，∠APC 与∠ANC 的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据同位角、同旁内角．内错角的定义进行判断．【详解】A ．1∠与2∠不是同位角，故选项A 错误；B ．1∠与3∠是内错角，故该选项错误；C ．2∠与3∠是同旁内角，故选项C 错误，选项D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义．熟记同位角、同旁内角、内错角的定义是解答此题的关键．2．B解析：B【分析】根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可．【详解】解：A ．∠B 与∠2是BC 、DE 被BD 所截而成的同旁内角，故本选项正确；B ．∠A 与∠1不是同位角，故本选项错误；C ．∠3与∠A 是AE 、DE 被AD 所截而成的同旁内角，故本选项正确；D ．∠3与∠4是内错角AD 、CE 被ED 所截而成的内错角，故本选项正确；故选：B ．【点睛】本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．3．B解析：B【详解】解：34∠∠=//AB CD ∴,①正确；12∠=∠//AD BC ∴,②不正确；5B ∠=∠//AB CD ∴,③正确；//AD BE∴∠=∠D5∠=∠B D∴∠=∠B5∴,④正确；AB CD//综上所述，①、③、④正确，故选B．4．B解析：B【分析】结合图形，根据平行线的判定方法对选项逐一进行分析即可得.【详解】A. ∠l=∠2，根据内错角相等，两直线平行，可得AB//CD，故不符合题意；B. ∠2=∠E，根据同位角相等，两直线平行，可得AD//BE，故符合题意；C. ∠B+∠E= 180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB//CD，故不符合题意；D. ∠BAF=∠C，根据同位角相等，两直线平行，可得AB//CD，故不符合题意，故选B.【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.5．C解析：C【分析】过点E作EF∥AB，得∠B=∠BEF=20°，结合AB∥CD知EF∥CD，据此得∠D=∠DEF=40°，根据∠BED=∠BEF+∠DEF可得答案．【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF=20°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF=40°，则∠BED=∠BEF+∠DEF=20°+40°=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行内错角相等的性质和平行与平面内同一直线的两直线平行的性质．6．C解析：C【分析】根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a∥b，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．【详解】解：∵∠1与∠5是对顶角，∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，∴a∥b，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝70°，∴∠4=∠6＝110°．故答案为C．【点睛】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定，其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键．7．C解析：C【分析】①垂径定理的逆定理，注意有否有缺少什么；②如果三点共线；③旋转的性质；④三角形的外心的性质；⑤圆的性质.【详解】①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧，原命题错误；②三点共线时不能确定一个圆，原命题错误；③由旋转的性质可知，原命题正确；④由三角形的外心的性质，原命题正确；⑤由圆的性质，原命题正确；本题的答案是：C.【点睛】考查垂径定理的逆定理、旋转的性质、三角形的外心的性质、圆的性质.8．C解析：C【解析】试题分析：根据命题的正确与否，直接可知：邻补角相加和为180°，不一定相等，故①是假命题；根据对顶角相等的性质，可知②是真命题；根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，可知③是假命题；根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可知④是假命题.故选C.9．D解析：D【解析】试题分析：延长TS，∵OP∥QR∥ST，∴∠2=∠4，∵∠3与∠ESR互补，∴∠ESR=180°﹣∠3，∵∠4是△FSR的外角，∴∠ESR+∠1=∠4，即180°﹣∠3+∠1=∠2，∴∠2+∠3﹣∠1=180°．故选D．考点：平行线的性质．10．C解析：C【分析】先求出∠BOC，再由邻补角关系求出∠COD的度数．【详解】∵∠AOB=25°，∠AOC=90°，∴∠BOC=90°-25°=65°，∴∠COD=180°-65°=115°．故选：C．【点睛】本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是解题的关键．二、填空题11．对顶角相等，AG，两直线平行，同位角相等．【分析】根据对顶角的定义可得，再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明．【详解】解：证明：∵（已知）（对顶角相等）解析：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．【分析】根据对顶角的定义可得23∠∠=，再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明．【详解】解：证明：∵12∠=∠（已知）23∠∠=（对顶角相等）∴13∠=∠（等量代换）∴//CH （AG ）（同位角相等，两直线平行）∴A BCH ∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故答案为：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．【点睛】本题考查了对顶角的定义、平行线的性质和判定定理等知识，灵活应用平行线的性质和判定定理是解答本题的关键．12．【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．【详解】解：如图，过点向右作，过点向右作,故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质定理,根据题解析：()1180n -⋅︒【分析】过点2A 向右作21//A D A B ，过点3A 向右作31//A E A B ，得到321////...////n A E A D A B A C ，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．【详解】解：如图，过点2A 向右作21//A D A B ，过点3A 向右作31//A E A B1//n A B A C321////...////n A E A D A B A C ∴112180A A A D ∴∠+∠=︒,2323180DA A A A E ∠+∠=︒...()11231...1180n n A A A A A A C n -∴∠+∠++∠=-⋅︒故答案为：()1180n -⋅︒．【点睛】本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键．13．90°【分析】根据AB∥CF，可得出∠B 和∠BCF 的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED 和∠D 的关系，合并即可得出∠D―∠B 的大小【详解】∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠解析：90°【分析】根据AB ∥CF ，可得出∠B 和∠BCF 的关系，根据CF ∥DE ，可得出∠FED 和∠D 的关系，合并即可得出∠D ―∠B 的大小【详解】∵AB ∥CF ，∴∠B=∠BCF∵CF ∥DE∴∠FCD+∠D=180°∴∠FCD+∠D －∠B=180°－∠BCF ，化简得：∠D －∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°∴∠D ―∠B=90°故答案为：90°本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．14．【解析】【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=25解析：125【解析】【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．【详解】过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，∵∠BED=110°，∴∠ABE+∠CDE=250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE，∠CDF=12∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=12（∠ABE+∠CDE）=125°，∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．故答案为125°【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．【解析】分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性解析：108【解析】分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.详解：∵CE平分∠ACD∴∠ACE=∠DCE∵AB∥CD，AC∥BD,∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=12 x，∴∠EDF=x，∠BEF=32x∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+12x=360°解得x=72°∴∠A=180°-72°=108°.故答案为108.点睛：此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的综合应用，关键是利用平行线的性质和三角形的外角确定角之间的关系，有一定的难度.16．35或75【解析】分析：根据题意，分为点P在∠ABC的内部和外部两种情况，由平行线的性质求解.详解：如图，当P点在∠ABC的内部时，∴∠P=∠ABP∵∠PBD=∠ABC，∠A解析：35或75【解析】分析：根据题意，分为点P在∠ABC的内部和外部两种情况，由平行线的性质求解.详解：如图，当P点在∠ABC的内部时，∵PD∥AB∴∠P=∠ABP∵∠PBD=12∠ABC，∠ABC=70︒∴∠PBD=35°∴∠ABP=∠ABC-∠PBD=35°.当点P在∠ABC的外部时，∵∠PBD=12∠ABC，∠ABC=70︒∴∠PBD=35°∴∠ABP=∠ABC+∠DPB=105°∵PD∥AB∴∠DPB+∠ABP=180°∴∠DPB=75°.故答案为：35或75.点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是明确P点的位置，分两种情况进行求解. 17．(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)【解析】试题分析：根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都解析：(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)【解析】试题分析：根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．试题解析：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有 2对．（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有 12对，内错角有 6对，同旁内角有 6对．（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n（n-1）对，内错角有 n（n-1）对，同旁内角有n（n-1）对，点睛：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．18．78°【解析】解：过点B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．点睛：此题考查了平行线的性质：两直线解析：78°【解析】解：过点B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．点睛：此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解此题的关键是辅助线的作法．19．130cm2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD，那么GH=CD，BC=FG，观察可知梯形EFMD是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD，再根据梯形的面积计解析：130cm2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD，那么GH=CD，BC=FG，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD，再根据梯形的面积计算公式计算即可．【详解】解：∵直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，∴梯形EFGH≌梯形ABCD，∴GH=CD，BC=FG，∵梯形EFMD是两个梯形的公共部分，∴S梯形ABCD-S梯形EFMD=S梯形EFGH-S梯形EFMD，∴S阴影=S梯形MGHD=12（DM+GH）•GM=12（28-4+28）×5=130（cm2）．故答案是130cm2．【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等．20．121°【分析】由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即解析：121°【分析】由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．【详解】∵AC∥BD，∴∠B=∠1=64°，∴∠BAC=180°-∠1=180°-62°=118°，∵AE平分∠BAC交BD于点E，∴∠BAE=12∠BAC=59°，∴∠2=∠BAE+∠B=62°+59°=121°．故答案为121°．【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．三、解答题21．（1）∠APB＝∠NAP+∠HBP；（2）见解析；（3）∠HBP＝∠NAP+∠APB【分析】（1）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；（2）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；（3）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.【详解】解：（1）如图①，过P点作PQ∥GH，∵MN∥GH，∴MN∥PQ∥GH，∴∠APQ＝∠NAP，∠BPQ＝∠HBP，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，∴∠APB＝∠NAP+∠HBP，故答案为：∠APB＝∠NAP+∠HBP；（2）如图②，过P点作PQ∥GH，∵MN∥GH，∴MN∥PQ∥GH，∴∠APQ+∠NAP＝180°，∠BPQ+∠HBP＝180°，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，∴∠APB＝（180°﹣∠NAP）+（180°﹣∠HBP）＝360°﹣（∠NAP+∠HBP）；（3）如备用图，∵MN∥GH，∴∠PEN＝∠HBP，∵∠PEN＝∠NAP+∠APB，∴∠HBP＝∠NAP+∠APB.故答案为：∠HBP＝∠NAP+∠APB.【点睛】此题考查了平行公理的推论：平行于同一条直线的两直线平行，以及平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟记定理是解题的关键.22．（1）理由见解析；（2）①80°，②40°；（3）38°、74°、86°、122°．【分析】（1）根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；（2）①过拐点作AB 的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；②过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数；（3）分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可．【详解】（1）//AB CD1EFD ∴∠=∠，2EFD ∠=∠12∠∠∴=；（2）①分别过点M ，N 作直线GH ，IJ 与AB 平行，则//////AB CD GH IJ ，如图：AEM EMH ∴∠=∠，CFN FNJ ∠=∠，180HMN MNJ ∠+∠=︒，()80AEM CFN EMH FNJ EMN MNF HMN MNJ ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒；②过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质可得：3AEP ∠=∠，4CFP ∠=∠，∵EP 平分∠AEM ，FP 平分∠CFN ， ∴11344022AEP CFP AEM CFM ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，即40P ∠=︒；（3）分四种情况进行讨论：由已知条件可得80BEH ∠=︒，①如图：118082EPG BEH AGQ ∠=︒-∠-∠=︒182HPQ EPG ∴∠=∠=︒11118074GQ H EHQ HPQ ∴∠=︒-∠-∠=︒②如图：104BPH FHP BEH ∠=∠+∠=︒，22122BQ H BPH AGQ ∴∠=∠+∠=︒；③如图：56BPH BEH FHP ∠=∠-∠=︒，3338BQ H BPH AGQ ∴∠=∠-∠=︒；④如图：104BPH BEH FHP ∠=∠+∠=︒ ，4486GQ H BPH AGQ ∴∠=∠-∠=︒；综上所述，∠GQH 的度数为38°、74°、86°、122°．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想．23．（1）C ；（2）BAD DEF ADE ∠+∠=∠；（3）2360C ADE ∠+∠∠=︒；（4）90BAC DEF CDE【分析】（1）利用平行线的性质，即可得到180A ACD ∠+∠=︒，180E ECD ∠+∠=︒，进而得出360BACACE CEF ；（2）过D 作//DG AB ，利用平行线的性质，即可得到A ADG ，E EDG ，进而得出A E ADG EDG ADE ；（3）利用（1）可得360BACC CEF ，利用（2）可得D BAD DEF ，根据AD ，ED 分别平分BAC ∠，CEF ∠，即可得到22360BADC DEF ,化简即可得到ACE ∠与ADE ∠之间的数量关系；（4）过C 作//CG AB ，过D 作//DH AB ，则有//////CG AB EF DH ，可得1180BAC， 23∠∠=，4DEF ，34CDE ，则有1180BAC ，可求出390BAC ，利用34CDE ，4DEF ，得到90BAC DEF CDE ．【详解】解：（1）////AB CD EF ，180A ACD ，180E ECD ∠+∠=︒， 360A ACDE ECD ，即360BACACE CEF ，故选：C ．（2）BAD DEF ADE ∠+∠=∠，如图，过D 作//DG AB ，//AB EF ，////DG AB EF ∴，A ADG ，E EDG ， A E ADG EDG ADE ；（3）2360C ADE ∠+∠∠=︒，理由：由（1）可得，360BACC CEF ，由（2）可得，DBAD DEF ，又AD ，ED 分别平分BAC ∠，CEF ∠，2BAC AD B ，2CEF DEF ，22360BAD C DEF ，即2()360BADDEF C ，2360ACE ADE ．（4）90BAC DEF CDE ，理由：如图，过C 作//CG AB ，过D 作//DH AB ，//AB EF ，//////CG AB EF DH ，∴1180BAC ， 23∠∠=，4DEF，34CDE ∴1180BAC ∵1290∠+∠=，∴329019018090BAC BAC ， ∴3490BAC DEF CDE ，即有：90BACDEF CDE ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．24．（1）AD BC ∥，见解析；（2）108°【分析】（1）//AD BC ，根据角平分线的性质可知EDF FDC ∠=∠，又因为//AB ED ，因此EDF DAB ∠=∠，推出FDC DAB ∠=∠，再结合已知条件即可得出结论；（2）设DCF x ，则32CFB x ∠=，根据平行线的的性质有32ABF CFB x ∠=∠=，再根据角平分线性质可得23ABC ABF x ∠=∠=，又因为//AD BC ，推出3BCD ABC x ∠=∠=，2BCF x ∠=，由//CF AB 得180ABC BCF ∠+∠=︒，从而可解得x 的值，即可得出答案．【详解】解：（1）//AD BC ．证明如下：∵//AB ED ，∴EDF DAB ∠=∠，∵DF 平分EDC ∠，∴EDF FDC ∠=∠，∴FDC DAB ∠=∠，∵180FDC ABC ∠+∠=︒，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∴//AD BC ．（2）∵32CFB DCF ∠=∠， ∴设DCF x ，则32CFB x ∠=， ∵//CF AB ， ∴32ABF CFB x ∠=∠=， ∵BE 平分ABC ∠，∴23ABC ABF x ∠=∠=，由（1）得//AD BC ，∴180FDC BCD ∠+∠=︒，∵180FDC ABC ∠+∠=︒，∴3BCD ABC x ∠=∠=，∴2BCF x ∠=，∵//CF AB ，∴180ABC BCF ∠+∠=︒，即32180x x +=︒，解得36x =︒，∴3108BCD x ∠==︒．【点睛】本题考查的主要知识点是平行线的判定及性质以及角平分线的性质，根据图形找准角与角之间的关系是解此题的关键．25．（1）两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）∠B ＋∠E ＋∠F ＋∠D ＝540°；（3）∠B ＋∠E ＋∠D －∠F ＝180°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定，平行公理的推论回答即可；（2）过点E 、F 分别作GE ∥HF ∥CD ，根据两直线平行，同旁内角互补及已知条件求得同旁内角∠ABE ＋∠BEG ＝180°，得到AB ∥GE ，再根据平行线的传递性来证得AB ∥CD ；（3）过点E 、F 分别作ME ∥FN ∥CD ，根据两直线平行，内错角相等及已知条件求得同旁内角∠B ＋∠BEM ＝180°，得到AB ∥ME ，再根据平行线的传递性来证得AB ∥CD ．【详解】解：（1）由题意可知：“依据1”：两直线平行，同旁内角互补；“依据2”：同旁内角互补，两直线平行；“依据3”：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B＋∠E＋∠F＋∠D＝540°时，有AB∥CD．理由：如图，过点E、F分别作GE∥HF∥CD，则∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFD＋∠CDF＝180°，∴∠GEF＋∠EFD＋∠FDC＝360°；又∵∠B＋∠BEF＋∠EFD＋∠D＝540°，∴∠ABE＋∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD；（3）当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B＋∠E＋∠D－∠F＝180°时，有AB∥CD．如图，过点E、F分别作ME∥FN∥CD，则∠MEF＝EFN，∠D＝∠DFN，∵∠B＋∠BEF＋∠D－∠EFD＝180°，∴∠B＋∠BEM＋∠MEF＋∠D－∠EFN－∠DFN＝180°，∴∠B＋∠BEM＝180°，∴AB∥ME，∴AB∥CD．【点睛】本题考查平行线的判定和性质的综合应用，作出合适的辅助线，灵活运用平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．26．（1）∠MCN=70°；（2）∠ACM=35°；（3）不变．（详见解析）【分析】（1）由AB∥CD可得∠ACD=180°-∠A，再由CM、CN均为角平分线可求解；（2）由AB∥CD可得∠AMC=∠MCD，再由∠AMC=∠ACN可得∠ACM =∠NCD；（3）由AB∥CD可得∠APC=∠PCD，再由CN为角平分线即可解答．【详解】解：（1）∵A B∥CD，∴∠ACD=180°﹣∠A=140°，又∵CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，∴∠MCN=∠MCP+∠NCP=12（∠ACP+∠PCD）=12∠ACD=70°，故答案为：70°．（2）∵AB∥CD，∴∠AMC=∠MCD，又∵∠AMC=∠ACN，∴∠MCD=∠ACN，∴∠ACM=∠ACN﹣∠MCN=∠MCD﹣∠MCN=∠NCD，∴∠ACM=∠MCP=∠NCP=∠NCD，∴∠ACM=14∠ACD=35°，故答案为：35°．（3）不变．理由如下：∵AB∥CD，∴∠APC=∠PCD，∠ANC=∠NCD，又∵CN平分∠PCD，∴∠ANC=∠NCD=12∠PCD=12∠APC，即∠APC：∠ANC=2：1．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．。

中考数学专项练习相交线与平行线(含解析)

中考数学专项练习相交线与平行线（含解析）【一】单项选择题1.下面四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是〔〕A.B. C.D.2.以下说法：〔1〕同角的余角相等〔2〕相等的角是对顶角〔3〕在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线〔4〕直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短中，正确的个数是〔〕A.1B.2C.3D.43.如图，∠1=∠2，∠3=40°，那么∠4等于〔〕A.120°B.130°C.140°D.40°4.如图，AB∥CD，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，那么α=〔〕A.10°B.15°C.20°D.30°5.如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOD，假设∠EOD=11 0°，那么∠AOC的度数是〔〕A.35°B.55°C.70°D.110°6.如图，在△ABC中，∠CAB＝70º，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB, 那么∠BAD的度数为〔〕A.30°B.35°C.40°D.50°7.如下图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交C D于点H,EF⊥AB于点F，那么以下结论中，不正确的选项是〔〕A.ACD=B B.CH=CE=EF C.AC=AF D.CH=HD8.如图，以下推理正确的选项是〔〕A.假设AB∥CD，那么∠1=∠2B.假设AD∥BC，那么∠1=∠2C.假设∠B=∠D，那么AB∥CDD.假设∠CAB=∠ACD，那么AD∥BC9.如图，以下说法中，正确的选项是〔〕A.因为∠A+∠D=180°，所以AD∥BC B.因为∠C+∠D=18 0°，所以AB∥CDC.因为∠A+∠D=180°，所以AB∥CD D.因为∠A+∠C=18 0°，所以AB∥CD10.如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC、AE＝2，AC＝3，BC＝6，那么⊙O的半径是〔〕A.3B.4C.4D.2【二】填空题11.填写理由AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3.BE与DF平行吗?为什么?解:BE∥/DF∵AB⊥BC,∠ABC=________即∠3+∠4=________又∵∠1+∠2=90°,且∠2=∠3∴________=________理由是：________∴BE∥DF理由是:________12.如图，a∥b，∠1=65°，∠2=140°，那么∠3等于________．13.如图，直角三角尺的直角顶点在直线b上，∠3 = 25°，转动直线a，当∠1=________,时，a∥b14.如图一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB∥CD，是根据________15.如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，∠F=40°，那么∠E=________度．16.如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有________．17.如图，AB∥CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC 于E，OE=2，那么点O到AB与CD的距离之和为________．18.，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，假设BC=10 cm，那么△ODE的周长________cm．【三】计算题19.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得△DEC，假设BC∥D E，求∠B的度数．20.如图在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别平分∠BA D和∠BCD、试问直线AE、CF的位置关系如何？请说明你的理由．21.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=68°，求∠AGD的度数．22.：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB ∥CD、【四】解答题23.如图,直线l1∥l2,∠BAE=125°,∠ABF=85°,那么∠1+∠2等于多少度?24.如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．25.：如图，a//b，∠1=55°，∠2=40°，求∠3和∠4的度数．【五】综合题26.如图，点M〔4，0〕，以点M为圆心，2为半径的圆与x轴交于点A、B，抛物线y= x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C、〔1〕求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．〔2〕点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PC﹣PA的最大值．〔3〕CE是过点C的⊙M的切线，E是切点，CE交OA于点D，求O E所在直线的函数关系式．【一】单项选择题【考点】对顶角、邻补角【解析】【解答】解：根据对顶角的定义可知：C中∠1、∠2属于对顶角，应选C、【分析】根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．【考点】余角和补角，对顶角、邻补角，垂线段最短【解析】【解答】解：同角的余角相等，故〔1〕正确；如图：∠ACD=∠BCD=90°，但两角不是对顶角，故〔2〕错误；在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故〔3〕正确；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故〔4〕正确；即正确的个数是3，应选C、【分析】根据余角定义，对顶角定义，垂线段最短，平行线定义逐个判断即可．【考点】平面中直线位置关系【考点】平行线的性质【解析】【解答】过点P作PM∥AB，∴AB∥PM∥CD，∴∠BAP=∠APM，∠DCP=∠MPC，∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP，∴45°+α=〔60°-α)+〔30°-α)，解得α=15°．应选B、【分析】过点P作一条直线平行于AB，根据两直线平行内错角相等得：∠APC=∠BAP+∠PCD，得到关于α的方程，解即可．注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．【考点】角平分线的定义，对顶角、邻补角【解析】【解答】解：∵∠EOD=110°，OB平分∠EOD，∴∠BOD = ∠EOD=55°，∴∠AOC=∠BOD=55°，应选：B、【分析】根据角平分线定义可得∠BOD= ∠EOD，由对顶角性质可得∠A OC=∠BOD、【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质【解析】【分析】因为△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转得到的，所以△ADE≌△ABC，所以∠CAB＝∠EAD=70º，AE=AC，因为EC∥AB，所以∠CAB＝∠ECA=70°，因为AE=AC，所以∠AEC=70°，所以∠EAC=180°-70°×2=40°，所以∠CAD=∠EAD-∠EAC=70º-40°=30°，所以∠BAD=∠CAB-∠CAD =70º-30°=40°.【点评】该题是常考题，主要考查学生对图形旋转的意义，以及对全等三角形性质和角的等量代换的应用。

中考数学专题复习《相交线与平行线》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《相交线与平行线》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一．解答题（共15小题）1．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°）一块三角板CDE中∠CED＝90°∠CDE＝30°将三角板CDE如图所示放置使顶点C落在OB边上经过点D作直线MN∥OB交OA 边于点M且点M在点D的左侧．（1）如图若CE∥OA∠NDE＝45°则α＝°（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F①如图当DF∥OA且α＝60°时试说明：CE∥OA②如图当CE∥OA保持不变时试求出∠OFD与α之间的数量关系．2．如图（1）AB∥CD猜想∠BPD与∠B∠D的数量关系并说明理由．①读下列过程并填写理由．解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．理由：过点P作EF∥AB．∴∠B+∠BPE＝180°．（）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（辅助线的作法）．∴CD∥EF．（）∴∠EPD+∠CDP＝180°．∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°．∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．②仿照上面的解题方法观察图（2）已知AB∥CD猜想图中的∠BPD与∠B∠D的数量关系并说明理由．③观察图（3）和图（4）已知AB∥CD直接写出图中的∠BPD与∠B∠D的数量关系不必说明理由．3．如图1 将一副直角三角板放在同一条直线AB上其中∠ONM＝30°∠OCD＝45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置使得点O与点N重合CD与MN相交于点E则∠CEN＝°．（2）操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转使一边OD在∠MON的内部如图3 且OD恰好平分∠MON CD与NM相交于点E求∠CEN的度数（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周在旋转的过程中当边OC 旋转°时边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）4．问题探究：如图①已知AB∥CD我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②过点E作EF∥AB把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和然后分别证明∠BEF＝∠B∠DEF＝∠D．李思同学：如图③过点B作BF∥DE则∠E＝∠EBF再证明∠ABF＝∠D．问题解答：（1）请按张山同学的思路写出证明过程（2）请按李思同学的思路写出证明过程问题迁移：（3）如图④已知AB∥CD EF平分∠AEC FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F请直接写出∠F的度数．5．如图由线段AB AM CM CD组成的图形像∑称为“∑形BAMCD”．（1）如图 1 ∑形BAMCD中若AB∥CD∠AMC＝60°则∠A+∠C ＝°（2）如图2 连接∑形BAMCD中B D两点若∠ABD+∠BDC＝160°∠AMC＝α试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系并说明理由（3）如图3 在（2）的条件下当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．6．如图1 E点在BC上∠A＝∠D∠ACB+∠BED＝180°．（1）求证：AB∥CD（2）如图2 AB∥CD BG平分∠ABE与∠EDF的平分线交于H点若∠DEB比∠DHB大60°求∠DEB的度数．（3）在（1）的结论下保持（2）中所求的∠DEB的度数不变如图3 BM平分∠EBK DN平分∠CDE作BP∥DN则∠PBM的度数是否改变？若不变请求值若改变请说明理由．7．如图点D点E分别在△ABC边AB AC上∠CBD＝∠CDB DE∥BC∠CDE的平分线交AC于F点．（1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°（2）如图②如果∠ACD的平分线与AB交于G点∠BGC＝50°求∠DEC的度数．（3）如图③如果H点是BC边上的一个动点（不与B C重合）AH交DC于M点∠CAH的平分线AI交DF于N点当H点在BC上运动时∠DEC+∠DMH∠ANF的值是否发生变化？如果变化说明理由如果不变试求出其值．8．已知直线AB∥CD点E F分别在直线AB CD上点P是直线AB与CD外一点连接PE PF．（1）如图1 若∠AEP＝45°∠DFP＝105°求∠EPF的度数（2）如图2 过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N若∠M与3∠N互补试探索直线EP与直线FN 的位置关系并说明理由（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．9．实验证明平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图一束光线m射到平面镜上被a反射到平面镜b上又被b镜反射若被b 反射出的光线n与光线m平行且∠1＝50°则∠2＝°∠3＝°（2）在（1）中若∠1＝55°则∠3＝°若∠1＝40°则∠3＝°（3）由（1）（2）请你猜想：当两平面镜a b的夹角∠3＝°时可以使任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a b的两次反射后入射光线m与反射光线n平行请说明理由．10．如图已知直线l1∥l2l3l4和l1l2分别交于点A B C D点P在直线l3或l4上且不与点A B C D重合．记∠AEP＝∠1 ∠PFB＝∠2 ∠EPF＝∠3．（1）若点P在图（1）位置时求证：∠3＝∠1+∠2（2）若点P在图（2）位置时请直接写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系（3）若点P在图（3）位置时写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系并给予证明（4）若点P在C D两点外侧运动时请直接写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系．11．当光线经过镜面反射时入射光线反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①图②中都有∠1＝∠2 ∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①若α＝90°判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系并说明理由．（2）如图②若90°＜α＜180°入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系并说明理由．（3）如图③若α＝120°设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°）入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°）已知入射光线EF从镜面AB开始反射经过n（n为正整数且n≤3）次反射当第n次反射光线与入射光线EF平行时请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）12．已知：直线a∥b点A和点B是直线a上的点点C和点D是直线b上的点连接AD BC设直线AD和BC交于点E．（1）在如图1所示的情形下若AD⊥BC求∠ABE+∠CDE的度数（2）在如图2所示的情形下若BF平分∠ABC DF平分∠ADC且BF与DF交于点F当∠ABC＝64°∠ADC＝72°时求∠BFD的度数（3）如图3 当点B在点A的右侧时若BF平分∠ABC DF平分∠ADC且BF DF 交于点F设∠ABC＝α∠ADC＝β用含有αβ的代数式表示∠BFD的补角．13．如图1 AB∥CD E为AB上一点点P在线段CE上且PD∥CF．（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE（2）如图2 在线段CF上取点H使∠HPF＝∠HFP若CD平分∠ECF PQ平分∠EPH∠HPQ+∠AEC＝90°试判断PF与EF的大小关系．14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．（1）若∠DCE＝45°则∠ACB的度数为（2）若∠ACB＝140°求∠DCE的度数（3）猜想∠ACB与∠DCE之间存在什么数量关系？并说明理由（4）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在请直接写出∠ACE的值若不存在请说明理由．15．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象如图1 光线a从空气中射入水中再从水中射入空气中形成光线b根据光学知识有∠1＝∠2 ∠3＝∠4 请判断光线a与光线b是否平行并说明理由（2）如图2 直线EF上有两点A C分别引两条射线AB CD．已知∠BAF＝150°∠DCF＝80°射线AB CD分别绕点A点C以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动设时间为t秒当射线CD转动一周时两条射线同时停止．则当直线CD与直线AB互相垂直时t＝秒．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°）一块三角板CDE中∠CED＝90°∠CDE＝30°将三角板CDE如图所示放置使顶点C落在OB边上经过点D作直线MN∥OB交OA 边于点M且点M在点D的左侧．（1）如图若CE∥OA∠NDE＝45°则α＝45°（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F①如图当DF∥OA且α＝60°时试说明：CE∥OA②如图当CE∥OA保持不变时试求出∠OFD与α之间的数量关系．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段角相交线与平行线推理能力．【答案】（1）45（2）①证明过程见解答②150°−12α．【分析】（1）过点E作EF∥MN根据MN∥OB可得EF∥OB根据平行线的性质可得∠AOB＝45°（2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明CE∥OA②当CE∥OA保持不变时总有∠ECB＝α在直角三角形DCE中∠DCE＝60°可得∠DCB＝60°+α根据MN∥OB和角平分线定义即可求出∠OFD与α之间的数量关系．【解答】解：（1）如图过点E作EF∥MN∴∠DEF＝∠NDE＝45°∵∠CED＝90°∴∠FEC＝45°∵MN∥OB∴EF∥OB∴∠BCE＝∠FCE＝45°∵AO∥CE∴∠AOB＝∠ECB＝45°则α＝45°故答案为：45（2）①∵DF∥OA∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°∵MN∥OB∴∠MDF＝∠DFC∵DF平分∠MDC∴∠CDF＝∠MDF＝60°在直角三角形DCE中∠DCE＝60°∴∠CDF＝∠DCE∴CE∥DF∵DF∥OA∴CE∥OA②∵当CE∥OA保持不变时总有∠ECB＝α在直角三角形DCE中∠DCE＝60°∴∠DCB＝60°+α∵MN∥OB∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α且∠DFC＝∠MDF ∵DF平分∠MDC∴∠DFC=∠MDF=30°+1 2α∴∠OFD=180°−∠DFC=180°−(30°+12α)=150°−12α．【点评】本题考查了平行线的判定与性质解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．2．如图（1）AB∥CD猜想∠BPD与∠B∠D的数量关系并说明理由．①读下列过程并填写理由．解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．理由：过点P作EF∥AB．∴∠B+∠BPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（辅助线的作法）．∴CD∥EF．（平行线公理的推论）∴∠EPD+∠CDP＝180°．∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°．∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．②仿照上面的解题方法观察图（2）已知AB∥CD猜想图中的∠BPD与∠B∠D 的数量关系并说明理由．③观察图（3）和图（4）已知AB∥CD直接写出图中的∠BPD与∠B∠D的数量关系不必说明理由．【考点】平行线的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】①根据平行线的性质得到的∠B+∠BPE＝180°∠EPD+∠CDP＝180°．等量代换即可得到结论②首先过点P作PE∥AB由AB∥CD可得PE∥AB∥CD根据两直线平行内错角相等即可得∠1＝∠B∠2＝∠D则可求得∠BPD＝∠B+∠D．③由AB∥CD根据两直线平行内错角相等与三角形外角的性质即可求得∠BPD与∠B∠D的关系．【解答】解：①猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．理由：过点P作EF∥AB．∴∠B+∠BPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（辅助线的作法）．∴CD∥EF．（平行线公理的推论）∴∠EPD+∠CDP＝180°．∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°．∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．故答案为：两直线平行同旁内角互补平行线公理的推论②∠BPD＝∠B+∠D．理由：如图2 过点P作PE∥AB∵AB∥CD∴PE∥AB∥CD∴∠1＝∠B∠2＝∠D∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D③如图（3）：∠BPD＝∠D﹣∠B．理由：∵AB∥CD∴∠1＝∠D∵∠1＝∠B+∠P∴∠D＝∠B+∠P即∠BPD＝∠D﹣∠B如图（4）：∠BPD＝∠B﹣∠D．理由：∵AB∥CD∴∠1＝∠B∵∠1＝∠D+∠P∴∠B＝∠D+∠P即∠BPD＝∠B﹣∠D．【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大解题的关键是注意掌握两直线平行内错角相等定理的应用注意辅助线的作法．3．如图1 将一副直角三角板放在同一条直线AB上其中∠ONM＝30°∠OCD＝45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置使得点O与点N重合CD与MN相交于点E则∠CEN＝105°．（2）操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转使一边OD在∠MON的内部如图3 且OD恰好平分∠MON CD与NM相交于点E求∠CEN的度数（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周在旋转的过程中当边OC 旋转75或255°时边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）【考点】平行线的判定平移的性质．【专题】常规题型．【答案】见试题解答内容【分析】（1）在△CEN中依据三角形的内角和定理求解即可（2）根据角平分线的定义求出∠DON＝45°利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB 再根据两直线平行同旁内角互补求解即可（3）当CD在AB上方时CD∥MN设OM与CD相交于F根据两直线平行同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD即可得解当CD在AB的下方时CD∥MN设直线OM与CD相交于F根据两直线平行内错角相等可得∠DFO＝∠M＝60°然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF再求出旋转角即可．【解答】解：（1）∵∠ECN＝45°∠ENC＝30°∴∠CEN＝105°．故答案为：105°．（2）∵OD平分∠MON∴∠DON=12∠MON=12×90°＝45°∴∠DON＝∠D＝45°∴CD∥AB∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°．（3）如图1 CD在AB上方时设OM与CD相交于F ∵CD∥MN∴∠OFD＝∠M＝60°在△ODF中∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD＝180°﹣45°﹣60°＝75°当CD在AB的下方时设直线OM与CD相交于F∵CD∥MN∴∠DFO＝∠M＝60°在△DOF中∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°∴旋转角为75°+180°＝255°综上所述当边OC旋转75°或255°时边CD恰好与边MN平行．故答案为：75或255．【点评】本题考查了旋转的性质三角形的内角和定理三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质直角三角形两锐角互余的性质熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．4．问题探究：如图①已知AB∥CD我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②过点E作EF∥AB把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和然后分别证明∠BEF＝∠B∠DEF＝∠D．李思同学：如图③过点B作BF∥DE则∠E＝∠EBF再证明∠ABF＝∠D．问题解答：（1）请按张山同学的思路写出证明过程（2）请按李思同学的思路写出证明过程问题迁移：（3）如图④已知AB∥CD EF平分∠AEC FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F请直接写出∠F的度数．【考点】平行线的性质．【专题】线段角相交线与平行线三角形推理能力．【答案】（1）（2）证明见解析部分．（3）36°．【分析】（1）如图②中过点E作EF∥AB利用平行线的性质证明即可．（2）如图③中过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．（3）设∠AEF＝∠CEF＝x∠CDF＝∠EDF＝y则∠F＝x+y根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°构建方程求出x+y可得结论．【解答】解：（1）如图②中过点E作EF∥AB∵AB∥CD EF∥AB∴AB∥EF∥CD∴∠B＝∠BEF∠D＝∠DEF∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．（2）如图③中过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．∵DE∥FG∴∠EDC＝∠G∠DEB＝∠EBF∵AB∥CG∴∠G＝∠ABF∴∠EDC＝∠ABF∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．（3）如图④中∵EF平分∠AEC FD平分∠EDC∴∠AEF＝∠CEF∠CDF＝∠EDF设∠AEF＝∠CEF＝x∠CDF＝∠EDF＝y则∠F＝x+y ∵∠CED＝3∠F∴∠CED＝3x+3y∵AB∥CD∴∠BED＝∠CDE＝2y∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°∴5x+5y＝180°∴x+y＝36°∴∠F＝36°．【点评】本题考查平行线的性质平角的性质等知识解题的关键是学会添加常用辅助线利用平行线的性质解决问题．5．如图由线段AB AM CM CD组成的图形像∑称为“∑形BAMCD”．（1）如图1 ∑形BAMCD中若AB∥CD∠AMC＝60°则∠A+∠C＝60°（2）如图2 连接∑形BAMCD中B D两点若∠ABD+∠BDC＝160°∠AMC＝α试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系并说明理由（3）如图3 在（2）的条件下当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．【考点】平行线的性质．【专题】线段角相交线与平行线三角形推理能力．【答案】（1）60°（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°（3）∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠BAM﹣∠MCD＝20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．【分析】（1）过M作MN∥AB利用平行线的性质计算可求求解（2）过A点作AP∥CD交BD于点P利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°结合（1）的结论可求解（3）可分两种情况：当D C位于AM两侧时当D C位于AM同侧时利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解．【解答】解：（1）过M作MN∥AB∵AB∥CD∴AB∥MN∥CD∴∠AMN＝∠A∠MCD＝∠C∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°故答案为：60°（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°．理由：过A点作AP∥CD交BD于点P∴∠APB＝∠D∵∠BAP+∠APB+∠B＝180°∠B+∠D＝160°∴∠BAP＝180°﹣160°＝20°由（1）可得∠AMC＝∠P AM+∠MCD∵∠AMC＝α∴∠P AM+∠MCD＝α∴∠BAM+∠MCD＝α+20°（3）如图当D C位于AM两侧时∵∠ABD+∠BDC＝160°∠CDM+∠BDC＝180°∴∠CDM﹣∠ABD＝20°∵∠AMQ＝∠B+∠BAM∠CMQ＝∠MCD+∠CDM∠AMC＝α∴α＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠BAM﹣∠MCD﹣20°即∠BAM﹣∠MCD＝α+20°当A C M三点共线时∠AMC＝α＝0°∴∠BAM﹣∠MCD＝20°当D C位于AM同侧时∵∠ABD+∠BDC＝160°∠CDM+∠BDC＝180°∴∠CDM﹣∠ABD＝20°∵∠AMO＝∠B+∠BAM∠CMO＝∠MCD+∠CDM∠AMC＝α∴α＝∠CMO﹣∠AMO＝∠MCD+∠CDM﹣（∠B+∠BAM）＝∠MCD﹣∠BAM+20°即∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．综上∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．【点评】本题主要考查平行线的性质三角形外角的性质三角形的内角和定理掌握平行线的性质是解题的关键．6．如图1 E点在BC上∠A＝∠D∠ACB+∠BED＝180°．（1）求证：AB∥CD（2）如图2 AB∥CD BG平分∠ABE与∠EDF的平分线交于H点若∠DEB比∠DHB大60°求∠DEB的度数．（3）在（1）的结论下保持（2）中所求的∠DEB的度数不变如图3 BM平分∠EBK DN平分∠CDE作BP∥DN则∠PBM的度数是否改变？若不变请求值若改变请说明理由．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题线段角相交线与平行线运算能力推理能力．【答案】（1）证明过程请看解答（2）100°（3）40°．（1）如图1 延长DE交AB于点F根据∠ACB+∠BED＝180°∠CED+∠BED 【分析】＝180°可得∠ACB＝∠CED所以AC∥DF可得∠A＝∠DFB又∠A＝∠D进而可得结论（2）如图2 作EM∥CD HN∥CD根据AB∥CD可得AB∥EM∥HN∥CD根据平行线的性质得角之间的关系再根据∠DEB比∠DHB大60°列出等式即可求∠DEB 的度数（3）如图3 过点E作ES∥CD设直线DF和直线BP相交于点G根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．【解答】（1）证明：如图1 延长DE交AB于点F∵∠ACB+∠BED＝180°∠CED+∠BED＝180°∴∠ACB＝∠CED∴AC∥DF∴∠A＝∠DFB∵∠A＝∠D∴∠DFB＝∠D∴AB ∥CD（2）如图2 作EM ∥CD HN ∥CD∵AB ∥CD∴AB ∥EM ∥HN ∥CD∴∠1+∠EDF ＝180° ∠MEB ＝∠ABE∵BG 平分∠ABE∴∠ABG =12∠ABE∵AB ∥HN∴∠2＝∠ABG∵CF ∥HN∴∠2+∠β＝∠3∴12∠ABE +∠β＝∠3 ∵DH 平分∠EDF∴∠3=12∠EDF∴12∠ABE +∠β=12∠EDF ∴∠β=12（∠EDF ﹣∠ABE ）∴∠EDF ﹣∠ABE ＝2∠β设∠DEB ＝∠α∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β∵∠DEB比∠DHB大60°∴∠α﹣60°＝∠β∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）解得∠α＝100°∴∠DEB的度数为100°（3）∠PBM的度数不变理由如下：如图3 过点E作ES∥CD设直线DF和直线BP相交于点G∵BM平分∠EBK DN平分∠CDE∴∠EBM＝∠MBK=12∠EBK∠CDN＝∠EDN=12∠CDE∵ES∥CD AB∥CD∴ES∥AB∥CD∴∠DES＝∠CDE∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK ∠G＝∠PBK由（2）可知：∠DEB＝100°∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°∴∠EBK﹣∠CDE＝80°∵BP∥DN∴∠CDN＝∠G∴∠PBK＝∠G＝∠CDN=12∠CDE∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK=12∠EBK−12∠CDE=12（∠EBK﹣∠CDE）=12×80°＝40°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．7．如图点D点E分别在△ABC边AB AC上∠CBD＝∠CDB DE∥BC∠CDE的平分线交AC于F点．（1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°（2）如图②如果∠ACD的平分线与AB交于G点∠BGC＝50°求∠DEC的度数．（3）如图③如果H点是BC边上的一个动点（不与B C重合）AH交DC于M点∠CAH的平分线AI交DF于N点当H点在BC上运动时∠DEC+∠DMH∠ANF的值是否发生变化？如果变化说明理由如果不变试求出其值．【考点】平行线的性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据DE∥BC得到∠EDB+∠DBC＝180°再利用角平分线的性质即可解答（2）根据FD⊥AB∠BGC＝50°得到∠DHG＝40°利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD＝40°再根据DF平分∠EDC CG平分∠ACD得到∠EDC＝2∠FDC∠ACD＝2∠HCD得到∠EDC+∠ACD＝2（∠FDC+∠HCD）＝80°利用三角形内角和为180°∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ACD）＝180°﹣80°＝100°．（3）不变根据∠DMH+∠DEC＝2（∠ADF+∠DAN）∠ANF＝∠ADF+∠DAN即可解答．【解答】解：（1）如图1∵DE∥BC∴∠EDB+∠DBC＝180°∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC＝180°∵∠CDB＝∠DBC∠EDF＝∠FDC∴2∠FDC+2∠CDB＝180°∴∠FDC+∠CDB＝90°∴FD⊥BD∴∠DBF+DFB＝90°．（2）如图2∵∠BGC＝50°FD⊥BD∴∠DHG＝40°∴∠FDC+∠HCD＝40°∵DF平分∠EDC CG平分∠ACD∴∠EDC＝2∠FDC∠ACD＝2∠HCD∴∠EDC+∠ACD＝2（∠FDC+∠HCD）＝80°∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ACD）＝180°﹣80°＝100°．（3）不变如图3∵∠DMH +∠DEC ＝2（∠ADF +∠DAN ） ∠ANF ＝∠ADF +∠DAN∴∠DEC+∠DMH ∠ANF =2(∠ADF+∠DAN)∠ADF+∠DAN =2．【点评】本题考查了平行线的性质三角形角平分线外角的性质三角形内角和定理解决本题的关键是利用三角形的角平分线外角得到角之间的关系．8．已知直线AB ∥CD 点E F 分别在直线AB CD 上点P 是直线AB 与CD 外一点连接PE PF ．（1）如图1 若∠AEP ＝45° ∠DFP ＝105° 求∠EPF 的度数（2）如图2 过点E 作∠AEP 的角平分线EM 交FP 的延长线于点M ∠DFP 的角平分线FN 交EM 的反向延长线交于点N 若∠M 与3∠N 互补试探索直线EP 与直线FN 的位置关系并说明理由（3）若点P 在直线AB 的上方且不在直线EF 上作∠DFP 的角平分线FN 交∠AEP 的角平分线EM 所在直线于点N 请直接写出∠EPF 与∠ENF 的数量关系．【考点】平行线的性质余角和补角．【专题】线段角相交线与平行线推理能力．【答案】（1）120°（2）EP∥FN理由见解析（3）∠EPF+2∠ENF＝180°或∠EPF＝2∠ENF﹣180°．【分析】（1）过P作PQ∥AB根据平行线的性质可得∠EPF＝120°（2）EP∥FN根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得∠4＝2∠1＝∠AEP进而可得结论（3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可．【解答】解：（1）如图过P作PQ∥AB∵AB∥CD∴PQ∥CD∴∠QPE＝∠AEP＝45°∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°．故∠EPF＝120°（2）EP∥FN如图理由：∵EM平分∠AEP FN平分∠MFD∴∠AEP＝2∠1 ∠MFD＝2∠3由（1）得∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4）∵AB∥CD∴∠3＝∠4由三角形外角的性质可得∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1∵∠M与3∠N互补∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°整理得∠4＝2∠1＝∠AEP∴EP∥FN（3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如图∵AB∥CD∴∠CFH＝∠EHF∠EKF＝∠DFK∵FN平分∠DFP ME平分∠AEP∴∠CFH＝180°﹣2∠DFK∠AEP＝2∠AEM＝2∠KEN由外角的性质得∠EPF＝∠EHF﹣∠AEP＝180°﹣2∠DFK﹣2∠AEM∠ENF＝∠EKF+∠KEN＝∠DFK+∠AEM∴∠EPF＝180°﹣2∠ENF∴∠EPF+2∠ENF＝180°．②∠EPF＝2∠ENF﹣180°．如图∵AB∥CD∴∠PKB＝∠PFD＝2∠DFN由外角的性质得∠EPF＝∠PKB﹣∠BEP＝∠PKB﹣（180°﹣2∠MEP）＝2∠DFN+2∠AEM﹣180°由（1）得∠ENF＝∠DFN+∠NEK＝∠DFN+∠AEM∴2∠ENF＝2∠DFN+2∠AEM∴∠EPF＝2∠ENF﹣180°．【点评】本题考查平行线判定和性质角平分线的定义三角形外角与内角的关系根据题意理清各角之间的关系是解题关键．9．实验证明平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图一束光线m射到平面镜上被a反射到平面镜b上又被b镜反射若被b 反射出的光线n与光线m平行且∠1＝50°则∠2＝100°∠3＝90°（2）在（1）中若∠1＝55°则∠3＝90°若∠1＝40°则∠3＝90°（3）由（1）（2）请你猜想：当两平面镜a b的夹角∠3＝90°时可以使任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a b的两次反射后入射光线m与反射光线n 平行请说明理由．【考点】平行线的判定与性质三角形内角和定理．【专题】跨学科．【答案】见试题解答内容【分析】根据入射角与反射角相等可得∠1＝∠4 ∠5＝∠6．（1）根据邻补角的定义可得∠7＝80°根据m∥n所以∠2＝100°∠5＝40°根据三角形内角和为180°即可求出答案（2）结合题（1）可得∠3的度数都是90°（3）证明m∥n由∠3＝90°证得∠2与∠7互补即可．【解答】解：（1）100°90°．∵入射角与反射角相等即∠1＝∠4 ∠5＝∠6根据邻补角的定义可得∠7＝180°﹣∠1﹣∠4＝80°根据m∥n所以∠2＝180°﹣∠7＝100°所以∠5＝∠6＝（180°﹣100°）÷2＝40°根据三角形内角和为180°所以∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°（2）90°90°．由（1）可得∠3的度数都是90°（3）90°（2分）理由：因为∠3＝90°所以∠4+∠5＝90°又由题意知∠1＝∠4 ∠5＝∠6所以∠2+∠7＝180°﹣（∠5+∠6）+180°﹣（∠1+∠4）＝360°﹣2∠4﹣2∠5＝360°﹣2（∠4+∠5）＝180°．由同旁内角互补两直线平行可知：m∥n．【点评】本题是数学知识与物理知识的有机结合充分体现了各学科之间的渗透性．10．如图已知直线l1∥l2l3l4和l1l2分别交于点A B C D点P在直线l3或l4上且不与点A B C D重合．记∠AEP＝∠1 ∠PFB＝∠2 ∠EPF＝∠3．（1）若点P在图（1）位置时求证：∠3＝∠1+∠2（2）若点P在图（2）位置时请直接写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系（3）若点P在图（3）位置时写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系并给予证明（4）若点P在C D两点外侧运动时请直接写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系．【考点】平行线的性质三角形的外角性质．【专题】证明题探究型．【答案】见试题解答内容【分析】此题四个小题的解题思路是一致的过P作直线l1l2的平行线利用平行线的性质得到和∠1 ∠2相等的角然后结合这些等角和∠3的位置关系来得出∠1 ∠2 ∠3的数量关系．【解答】解：（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2由两直线平行内错角相等可得：∠1＝∠QPE∠2＝∠QPF∵∠3＝∠QPE+∠QPF∴∠3＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1证明：过P作直线PQ∥l1∥l2则：∠1＝∠QPE∠2＝∠QPF∵∠3＝∠QPF﹣∠QPE∴∠3＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．证明：过P作PQ∥l1∥l2同（1）可证得：∠3＝∠CEP+∠DFP∵∠CEP+∠1＝180°∠DFP+∠2＝180°∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2＝360°即∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．（4）过P作PQ∥l1∥l2①当P在C点上方时同（2）可证：∠3＝∠DFP﹣∠CEP∵∠CEP+∠1＝180°∠DFP+∠2＝180°∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1＝0即∠3＝∠1﹣∠2．②当P在D点下方时∠3＝∠2﹣∠1 解法同上．综上可知：当P在C点上方时∠3＝∠1﹣∠2 当P在D点下方时∠3＝∠2﹣∠1．【点评】此题主要考查的是平行线的性质能够正确地作出辅助线是解决问题的关键．11．当光线经过镜面反射时入射光线反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①图②中都有∠1＝∠2 ∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①若α＝90°判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系并说明理由．（2）如图②若90°＜α＜180°入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系并说明理由．（3）如图③若α＝120°设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°）入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°）已知入射光线EF从镜面AB开始反射经过n（n为正整数且n≤3）次反射当第n次反射光线与入射光线EF平行时请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）【考点】平行线的性质列代数式．【专题】综合题压轴题分类讨论线段角相交线与平行线几何直观运算能力推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）在△BEG中∠2+∠3+α＝180°α＝90°可得∠2+∠3＝90°根据入射光线反射光线与镜面所夹的角对应相等可得∠FEG+∠EGH＝180°进而可得EF∥GH（2）在△BEG中∠2+∠3+α＝180°可得∠2+∠3＝180°﹣α根据入射光线反射光线与镜面所夹的角对应相等可得∠MEG＝2∠2 ∠MGE＝2∠3 在△MEG中∠MEG+∠MGE+β＝180°可得α与β的数量关系（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时根据入射光线反射光线与镜面所夹的角对应相等及△GCH内角和可得γ＝90°+m．②当n＝2时如果在BC边反射后与EF 平行则α＝90°与题意不符则只能在CD边反射后与EF平行根据三角形外角定义可得∠G＝γ﹣60°由EF∥HK且由（1）的结论可得γ＝150°．【解答】解：（1）EF∥GH理由如下：在△BEG中∠2+∠3+α＝180°α＝90°∴∠2+∠3＝90°∵∠1＝∠2 ∠3＝∠4∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°∵∠1+∠2+∠FEG＝180°∠3+∠4+∠EGH＝180°∴∠FEG+∠EGH＝180°∴EF∥GH（2）β＝2α﹣180°理由如下：在△BEG中∠2+∠3+α＝180°∴∠2+∠3＝180°﹣α∵∠1＝∠2 ∠1＝∠MEB∴∠2＝∠MEB∴∠MEG＝2∠2同理可得∠MGE＝2∠3在△MEG中∠MEG+∠MGE+β＝180°∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°（3）90°+m或150°．理由如下：①当n＝3时如图所示：∵∠BEG＝∠1＝m∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m）∵EF∥HK∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°则∠GHK＝120°则∠GHC＝30°由△GCH内角和得γ＝90°+m．②当n＝2时如果在BC边反射后与EF平行则α＝90°与题意不符则只能在CD边反射后与EF平行如图所示：根据三角形外角定义得∠G＝γ﹣60°由EF∥HK且由（1）的结论可得∠G＝γ﹣60°＝90°则γ＝150°．综上所述：γ的度数为：90°+m或150°．【点评】本题考查了平行线的性质列代数式解决本题的关键是掌握平行线的性质注意分类讨论思想的利用．12．已知：直线a∥b点A和点B是直线a上的点点C和点D是直线b上的点连接AD BC设直线AD和BC交于点E．（1）在如图1所示的情形下若AD⊥BC求∠ABE+∠CDE的度数（2）在如图2所示的情形下若BF平分∠ABC DF平分∠ADC且BF与DF交于点F当∠ABC＝64°∠ADC＝72°时求∠BFD的度数（3）如图3 当点B在点A的右侧时若BF平分∠ABC DF平分∠ADC且BF DF 交于点F设∠ABC＝α∠ADC＝β用含有αβ的代数式表示∠BFD的补角．【考点】平行线的性质余角和补角垂线．【专题】线段角相交线与平行线推理能力．【答案】（1）∠BED＝90°（2）∠BFD＝68°（3）∠BFD的补角=12α−12β．【分析】（1）过点E作EG∥AB根据a∥b可得EG∥CD得∠ABE+∠CDE＝∠BED ＝90°（2）过点F作FH∥AB结合（1）的方法根据BF平分∠ABC DF平分∠ADC即可求∠BFD的度数（3）过点F作FH∥AB结合（1）的方法根据BF平分∠ABC DF平分∠ADC设∠ABC＝α∠ADC＝β即可用含有αβ的代数式表示∠BFD的补角．【解答】解：（1）过点E作EG∥AB∵a∥b∴EG∥CD∴∠ABE＝∠BEG∠CDE＝∠DEG∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED∵AD⊥BC∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°（2）如图过点F作FH∥AB∵a∥b∴FH∥CD∴∠ABF＝∠BFH∠CDF＝∠DFH∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH∵BF平分∠ABC DF平分∠ADC∠ABC＝64°∠ADC＝72°∴∠ABF=12∠ABC＝32°∠CDF=12∠ADC＝36°∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°（3）如图过点F作FH∥AB∵a∥b∴FQ∥CD∴∠ABF+∠BFQ＝180°∠CDF＝∠DFQ∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC DF平分∠ADC∠ABC＝α∠ADC＝β∴∠ABF=12∠ABC=12α∠CDF=12∠ADC=12β∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°−12α+12β∴∠BFD的补角=12α−12β．【点评】本题考查了平行线的性质角平分线定义解决本题的关键是掌握平行线的性质．13．如图1 AB∥CD E为AB上一点点P在线段CE上且PD∥CF．（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE（2）如图2 在线段CF上取点H使∠HPF＝∠HFP若CD平分∠ECF PQ平分∠EPH∠HPQ+∠AEC＝90°试判断PF与EF的大小关系．【考点】平行线的性质．【专题】线段角相交线与平行线推理能力．【答案】（1）证明过程详见解答（2）PF＜EF．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AEC＝∠ECD∠PDC＝∠DCF然后根据外角的性质即可证得结论（2）设∠ECD＝∠FCD＝α则∠ECF＝2α设∠HPF＝∠HFP＝β根据平行线的性质可推出∠EPD＝∠ECF＝2α∠FPD＝∠PFH＝β∠AEC＝∠ECD＝α从而得出∠EPH＝2α+2β根据已知条件∠HPQ+∠AEC＝90°可得出2α+β＝90°进一步得出结果．【解答】（1）证明：∵AB∥CD∴∠AEC＝∠ECD∵PD∥CF∴∠PDC＝∠DCF∵∠DPE＝∠ECD+∠PDC∴∠DPE＝∠AEC+∠DCF（2）∵CD平分∠ECF∴∠ECF＝2∠ECD＝∠2FCD设∠ECD＝∠FCD＝α则∠ECF＝2α设∠HPF＝∠HFP＝β∵PD∥CF∴∠EPD＝∠ECF＝2α∠FPD＝∠PFH＝β∴∠HPD＝∠FPH+∠FPD＝β+β＝2β∴∠EPH＝∠EPD+∠HPD＝2α+2β∵PQ平分∠EPH∴∠HPQ=12∠EPH=12(2α+2β)=α+β∵AB∥CD∴∠AEC＝∠ECD＝α∵∠HPQ+∠AEC＝90°∴（α+β）+α＝90°∴2α+β＝90°∴∠EPF+∠HFP＝90°∴∠EPF＝∠CPF＝90°∴PF＜EF．【点评】本题主要考查了平行线的性质角平分线的定义等知识解决问题的关键是设参数简明地表达角之间数量关系．14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．（1）若∠DCE＝45°则∠ACB的度数为135°（2）若∠ACB＝140°求∠DCE的度数（3）猜想∠ACB与∠DCE之间存在什么数量关系？并说明理由（4）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在请直接写出∠ACE的值若不存在请说明理由．【考点】平行线的判定余角和补角．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据∠DCE和∠ACD的度数求得∠ACE的度数再根据∠BCE求得∠ACB的度数（2）根据∠BCE和∠ACB的度数求得∠ACE的度数再根据∠ACD求得∠DCE的度数（3）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°进行计算即可得出结论（4）当∠ACE＝30°时CB∥AD时根据平行线的判定即可解决问题【解答】解：（1）∵∠DCE＝45°∠ACD＝90°∴∠ACE＝45°∵∠BCE＝90°∴∠ACB＝90°+45°＝135°故答案为：135°（2）∵∠ACB＝140°∠ECB＝90°∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°（3）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°（4）30°理由：∵∠ACD＝∠ECB＝90°∴∠ACE＝∠DCB＝30°∴∠D＝∠DCB＝30°∴CB∥AD．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质解题时注意分类讨论思想的运用分类时注意不能重复也不能遗漏．15．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象如图1 光线a从空气中射入水中再从水中射入空气中形成光线b根据光学知识有∠1＝∠2 ∠3＝∠4 请判断光线a与光线b是否平行并说明理由（2）如图2 直线EF上有两点A C分别引两条射线AB CD．已知∠BAF＝150°∠DCF＝80°射线AB CD分别绕点A点C以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动设时间为t秒当射线CD转动一周时两条射线同时停止．则当直线CD与直线AB互。

2021届中考数学总复习：相交线与平行线-精练精析(2)及答案解析

图形的性质——相交线与平行线2一．选择题（共8小题）1如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°2．如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）A．30° B．35° C．36° D．40°3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°4．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（）A．30° B．60° C．120°D．150°5．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°6．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G，若∠1=42°，则∠2的大小是（）A．56° B．48° C．46° D．40°7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°8．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（）A．16° B．33° C．49° D．66°二．填空题（共6小题）9．如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=_________ 度．10．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2=_________ ．11．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是_________ ．12．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2=_________ ．13．如图，若AB∥CD∥EF，∠B=40°，∠F=30°，则∠BCF=_________ ．14．如图，直线a∥b，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若∠1=24°，则∠2=_________ ．三．解答题（共9小题）15．如图，在三角形ABC中，点D、F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，AD∥EF，∠1+∠FEA=180°．求证：∠CDG=∠B．16．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，那么∠BDC+∠DGF=180°吗？说明理由．17．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．18．如图，已知AD∥BE，∠CDE=∠C，试说明∠A=∠E的理由．19．已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数．20．已知：OA⊥OB，OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，求∠AOC的度数．21．如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=16°，求∠DOE的度数．22．如图，已知∠B=30°，∠BCD=55°，∠CDE=45°，∠E=20°，求证：AB∥CD．23．如图，若∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，试证明：AB∥DE．图形的性质——相交线与平行线2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．解答：解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选：A．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．2．如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）A．30°B．35°C．36°D．40°考点：平行线的性质．分析：过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°，然后计算即可得解．解答：解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∴∠3+∠4=125°+85°﹣180°=30°，∴∠1+∠2=30°．故选：A．点评：本题考查了平行线的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据平行线的性质得∠2=∠3，再根据互余得到∠3=60°，所以∠2=60°．解答：解：∵a∥b，∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣30°=60°，∴∠2=60°．故选：D．点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．4．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到∠1=∠3，再由邻补角性质得到∠3与∠2互补，即∠1与∠2互补，即可确定出∠1的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠2=120°，∠3+∠2=180°，∴∠3=60°．故选B点评：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．5．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据AB∥CD可得∠3=∠1=65，然后根据∠2=180°﹣∠3﹣90°求解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=65°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°．故选：D．点评：本题重点考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一道较为简单的题目．6．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G，若∠1=42°，则∠2的大小是（）A．56°B．48°C．46°D．40°考点：平行线的性质．专题：几何图形问题．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据垂直的定义可得∠GFE=90°，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=42°，∵FG⊥FE，∴∠GFE=90°，∴∠2=180°﹣90°﹣42°=48°．故选：B．点评：本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°考点：平行线的性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．解答：解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选：C．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．8．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（）A．16°B．33°C．49°D．66°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：由AB∥CD，∠C=33°可求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE 的度数，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠BED的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠C=33°，∴∠ABC=∠C=33°，∵BC平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABC=66°，∵AB∥CD，∴∠BED=∠ABE=66°．故选D．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等．二．填空题（共6小题）9．如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=42 度．考点：平行线的性质；垂线．专题：计算题．分析：根据垂线的性质和平行线的性质进行解答．解答：解：如图，∵AB⊥BC，∠1=48°，∴∠3=90°﹣48°=42°．又∵直线a∥b，∴∠2=∠3=42°．故答案为：42．点评：本题考查了平行线的性质．此题利用了“两直线平行，同位角相等”的性质．10．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2=55°．考点：平行线的性质．专题：常规题型．分析：根据平角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．解答：解：如图，∵∠1=35°，∴∠3=180°﹣35°﹣90°=55°，∵a∥b，∴∠2=∠3=55°．故答案为：55°．点评：本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．11．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是63°．考点：平行线的性质．分析：先根据三角形外角性质得∠BFD=∠E+∠D=63°，然后根据平行线的性质得到∠ABE=∠BFD=63°．解答：解：如图，∵∠BFD=∠E+∠D，而∠D=27°，∠E=36°，∴∠BFD=36°+27°=63°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BFD=63°．故答案为：63°．点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2=40°．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．解答：解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=85°，∴∠4=∠3﹣45°=85°﹣45°=40°，∴∠2=∠4=40°．故答案为：40°．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．13．如图，若AB∥CD∥EF，∠B=40°，∠F=30°，则∠BCF=70°．考点：平行线的性质．分析：由“两直线平行，内错角相等”、结合图形解题．解答：解：如图，∵AB∥CD∥EF，∴∠B=∠1，∠F=∠2．又∠B=40°，∠F=30°，∴∠BCF=∠1+∠2=70°．故答案是：70°．点评：本题考查了平行线的性质．平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．14．如图，直线a∥b，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若∠1=24°，则∠2=36°．考点：平行线的性质．专题：几何图形问题．分析：过B作BE∥直线a，推出直线a∥b∥BE，根据平行线的性质得出∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，即可求出答案．解答：解：过B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，∵∠ABC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴∠2=∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣24°=36°，故答案为：36°．点评：本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，题目比较好，难度适中．三．解答题（共9小题）15．如图，在三角形ABC中，点D、F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，AD∥EF，∠1+∠FEA=180°．求证：∠CDG=∠B．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：根据两直线平行，同位角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行DG∥AB，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．解答：证明：∵AD∥EF，（已知），∴∠2=∠3，（两直线平行，同位角相等），∵∠1+∠FEA=180°，∠2+∠FEA=180°，∴∠1=∠2（同角的补角相等），∴∠1=∠3（等量代换），∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠CDG=∠B．（两直线平行，同位角相等）．点评：本题考查了平行线的性质与判定，是基础题，熟记平行线的性质与判定方法并准确识图是解题的关键．16．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，那么∠BDC+∠DGF=180°吗？说明理由．考点：平行线的判定与性质．分析：若证∠BDC+∠DGF=180°，则可证GF、CD两直线平行，利用图形结合已知条件能证明．解答：解：∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，（2分）∴∠2=∠DCF，（4分）∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCF，（6分）∴CD∥FG，（8分）∴∠BDC+∠DGF=180°．（10分）点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．17．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定与性质；角平分线的定义．专题：证明题．分析：根据BE∥CF，得∠1=∠2，根据BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，得∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，则∠ABC=∠BCD，从而证明AB∥CD．解答：证明：∵BE∥CF，∴∠1=∠2．∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，即∠ABC=∠BCD，∴AB∥CD．点评：此题综合运用了平行线的性质和判定以及角平分线的定义．18．如图，已知AD∥BE，∠CDE=∠C，试说明∠A=∠E的理由．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：易证AB∥DE，根据同旁内角互补和等量代换，即可解答．解答：证明：∵∠CDE=∠C，∴AC∥DE，∴∠A+∠ADE=180°，∵AD∥BE，∴∠E+∠ADE=180°，∴∠A=∠E．点评：本题主要考查了平行线的判定与性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．19．已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，然后解答即可．解答：解：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF，∴∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE=90°．点评：本题考查了角平分线的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．20．已知：OA⊥OB，OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，求∠AOC的度数．考点：垂线；角平分线的定义．分析：根据角平分线的性质，可得∠BOE与∠AOB的关系，∠FOB与∠COB的关系，根据角的和差，可得答案．解答：解：OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，∠BOE=∠AOB，∠BOF=∠BOC，∵∠EOF=（∠AOB+∠BOC）=68°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=136°．点评：本题考查了垂线，利用了角平分线的性质．21．如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=16°，求∠DOE的度数．考点：垂线；角平分线的定义．分析：首先根据垂直定义以及角平分线的性质得出∠BOD的度数，进而得出∠DOE 的度数．解答：解：∵OC⊥OE，∴∠COE=90°，∵∠BOE=16°，∴∠COB=90°+16°=106°，∵OD为∠BOC的平分线，∴∠BOD=53°，∴∠DOE=53°﹣16°=37°．点评：此题主要考查了角平分线的性质以及垂直定义，正确求出∠COB的度数是解题关键．22．如图，已知∠B=30°，∠BCD=55°，∠CDE=45°，∠E=20°，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：作CM∥AB，D N∥EF，根据平行线的性质得∠1=∠B=30°，∠4=∠E=20°，则∠2=∠BCD﹣∠1=25°，∠3=∠CDE﹣∠4=25°，即∠2=∠3，根据平行线的判定得到CM∥DN，然后利用平行线的传递性得到AB∥EF．解答：解：作CM∥AB，DN∥EF，如图，∴∠1=∠B=30°，∠4=∠E=20°，∴∠2=∠BCD﹣∠1=45°﹣25°=25°，∠3=∠CDE﹣∠4=30°﹣10°=25°，∴∠2=∠3，∴CM∥DN，∴AB∥EF．点评：本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行．也考查了平行线的性质，熟记定义是解题的关键．23．如图，若∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，试证明：AB∥DE．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：延长ED交BC于F，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CFD=∠CDE﹣∠C，再根据邻补角的定义表示出∠BFD，再根据内错角相等，两直线平行证明即可．解答：解：如图，延长ED交BC于F，由三角形的外角性质得，∠CFD=∠CDE﹣∠C，所以，∠BFD=180°﹣∠CFD=180°﹣（∠CDE﹣∠C），∵∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，∴∠ABC=180°﹣（CDE﹣∠C），∴∠ABC=∠BFD，∴AB∥DE．点评：本题考查了平行线的判定，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，邻补角的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．。

相交线与平行线专题总结(含答案)-2

相交线与平行线专题总结一、知识点填空1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_____________.2. 对顶角的性质可概括为：3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.4. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，5. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做6. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中:⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.7. 在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.8. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 9. 平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：________________________________________.10. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .11. 平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：________________________________ .12. 判断一件事情的语句，叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项，结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是，“那么”后接的部分是_________. 如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.13. 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.14. 平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全___ ___.⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.二：典型题型训练15. 如图，,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____，点B 到AC 的距离是_______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________．16. 设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．17. 如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．18. 如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．19. 如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．解：∠B ＋∠E ＝∠BCE 过点C 作CF ∥AB ，则B ∠=∠____（）又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ，∴____________（） ∴∠E ＝∠____（） ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2即∠B ＋∠E ＝∠BCE ．20. ⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a ∥b ．⑵直线//a b ，求证：12∠=∠．21. 阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明EP ∥FQ ．证明：∵AB ∥CD ，∴∠MEB ＝∠MFD （）又∵∠1＝∠2，∴∠MEB －∠1＝∠MFD －∠2，即 ∠MEP ＝∠______∴EP ∥_____．（）22. 已知DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ，求：⑴∠BAC 的大小；⑵∠PAG 的大小.23. 如图，已知ABC ∆，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，//DG BA 交CA 于G.求证12∠=∠24.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明理由．三：兴趣拓展平行线问题：平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1=∠B1+∠A2．例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．例4求证：三角形内角之和等于180°．例5求证：四边形内角和等于360°．例6如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．例7如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．求证：∠3=∠B．四，课后思考题1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？4．证明：五边形内角和等于540°．5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF 平分∠DEB．参考答案一：1.邻补角2.对顶角，对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行相交平行7.平行这两直线互相平行8.同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行.9.平行10.两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补.11.命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移相同平行且相等13.6cm 8cm 10cm 4.8cm.14.平行平行垂直15.28°118°59°16. OD⊥OE理由略17. 1（两直线平行，内错角相等）DE∥CF（平行于同一直线的两条直线平行）2（两直线平行，内错角相等）.18.⑴∵∠1＝∠2，又∵∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠3∴a∥b（同位角相等两直线平行）⑵∵a∥b∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)又∵∠2＝∠3（对顶角相等）∴∠1＝∠2.19. 两直线平行，同位角相等MFQ FQ同位角相等两直线平行20. 96°，12°.21.,AD BC FE BC⊥⊥90EFB ADB∴∠=∠=//EF AD ∴23∴∠=∠ //,31DG BA ∴∠=∠ 1 2.∴∠=∠ 22. ∠A ＝∠F .∵∠1＝∠DGF （对顶角相等）又∠1＝∠2 ∴∠DGF ＝∠2 ∴DB ∥EC （同位角相等，两直线平行） ∴∠DBA ＝∠C （两直线平行，同位角相等）又∵∠C ＝∠D ∴∠DBA ＝∠D ∴DF ∥AC （内错角相等，两直线平行）∴∠A ＝∠F (两直线平行,内错角相等).三例1 如图 1－18，直线a ∥b ，直线 AB交 a 与 b 于 A ，B ，CA 平分∠1，CB 平分∠ 2，求证：∠C=90°分析由于a ∥b ，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=过C 点作直线 l ，使 l ∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．证过C 点作直线l ，使l ∥a(图1－19)．因为a ∥b ，所以b ∥l ，所以∠1+∠2=180°(同侧内角互补)．因为AC 平分∠1，BC 平分∠2，所以又∠3=∠CAE ，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以∠3+∠4=∠CAE+∠CBF说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立，即“两条直线a ，b 被直线AB 所截(如图1－20所示)，CA ，CB 分别是∠BAE 与∠ABF 的平分线，若∠C=90°，问直线a 与直线b 是否一定平行？”由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．例2 如图1－21所示，AA 1∥BA 2求∠A 1-∠B 1+∠A 2．分析本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即∠A1+∠A2=∠B1．①猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．证过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠B1+∠A2=0．说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋…-∠B n-1+∠A n=0．这时，连结A1，A n之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，…，B n-1A n(当然，仍要保持 AA1∥BA n)．推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．问题1 如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？问题2 如图1－25所示．若∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n-1，问AA1与BA n是否平行？这两个问题请同学加以思考．例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．分析利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC 或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．解过F到 FG∥CB，交 AB于G，则∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(内错角相等)．因为 AE∥BD，所以∠1=∠BFA(内错角相等)，所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°．说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．例4求证：三角形内角之和等于180°．分析平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种．证如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．显然∠1+∠BAC+∠2=平角，所以∠A+∠B+∠C=180°．说明事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．例5求证：四边形内角和等于360°．分析应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．证如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．∠C=∠4(同位角相等)，又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°．说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180°=(3-2)×180°，四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)×180°=540°，…………………………n边形内角和=(n-2)×180°．这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．例6如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．证过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．又∠1+∠2=180°，所以∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．A，B，C三点共线．思考若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否还有同样的结论？例7如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．求证：∠3=∠B．分析如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC ∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．证因为∠1=∠2，所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．因为∠D=90°及EF⊥CD，所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．所以 BC∥EF(平行公理)，所以∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。