新人教版相交线与平行线总复习
人教版七年级《平行线与相交线》全章复习与巩固
《平行线与相交线》全章复习与巩固知识点一、相交线1.对顶角、邻补角图形顶点边的关系大小关系对顶角有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2 邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB ⊥CD，垂足为O.1 2∠1与∠2（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P 到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB 与CD间的距离.知识点三、命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．探究：问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接P A、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系(1) 端点A、C同向：如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC－(∠A﹢∠C)＝_________度如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC﹢(∠A﹢∠C)＝_________度(2) 端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与(∠A－∠C)有怎样的等量关系？写出结论并证明如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC－(∠A－∠C)＝_________度【典型例题】类型一、相交线1. a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（）A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．都不对【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且∠1＝2∠3，∠2=86°，求∠4的度数.类型二、平行线的性质与判定3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=________度.如图，直线l∥m，将三角形△ABC（∠ABC＝45°）的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝_________类型三、命题及平移4.如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．【变式】下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c（2）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c（3）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c（4）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．A．1 B． 2 C． 3 D． 45.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．【变式】下列说法错误的是（）A．平移不改变图形的形状和大小B．平移中图形上每个点移动的距离可以不同C．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等D．经过平移，图形对应点的连线段相等类型四、实际应用6.如图，107国道a上有一个出口M，想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其它部分都是草地．求草地的面积．。
第5章 相交线与平行线 知识清单 2023--2024学年人教版七年级数学下册
第5章相交线与平行线5.1相交线5.1.1 相交线【知识点】（一）邻补角和对顶角1.只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.2.有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.3.对顶角形成的前提条件是两条直线相交；邻补角、对顶角成对出现；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个.（一个角的补角可以有无数个）4.邻补角与补角有什么关系？邻补角是一种特殊的补角，邻补角是两个具有公共边且互补的角. 互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角.5.性质：邻补角互补；对顶角相等.6.【易错】相等的两个角不一定是对顶角；两个角的和等于180°，这两个角不一定是邻补角.7.【拓展】若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为90°.8.【拓展】n条不同的直线相交于一点，会产生n(n-1)对对顶角.5.1.2 垂线【知识点】（一）垂线的定义、画法1.当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条的垂线，它们的交点叫做垂足. 垂直用符号“⊥”表示，如：直线AB 与直线CD垂直，记作AB⊥CD.2.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（一条直线的垂线有无数条）3.【判断】（1）两条直线互相垂直，则所有的邻补角都相等；（2）根据两条直线相交所成的角都相等，也能判断两条直线垂直；（3）一条直线不可能与两条相交直线都垂直；（4）两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直；（5）两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.4.过一点画已知直线的垂线根据垂直的定义，直角的两边是互相垂直的，因此画一条直线的垂线就是作直角，一般有如下两种画法：（1）利用三角尺的两直角边．它的基本步骤是：一靠：将三角尺的一条边紧靠在已知直线AB上；二过：使三角尺的另一直角边经过已知点C；沿已知点所在的直角边画出的直线就是所画直线AB经过点C的垂线．（2）利用量角器，它的基本步骤是：让量角器的0°线紧靠在已知直线上，再让90°的射线经过已知点，即可画出已知直线过已知点的垂线．（在画线段的垂线时，有时需先把线段延长，再画线段所在直线的垂线，所以垂足可能在线段上，也可能在其延长线上）5.【当前超纲：涉及全等三角形、圆知识】过一点作已知直线AB的垂线【方法一】点在直线上或点在直线外均适用（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁（若点C在直线上，则跳过第一步）（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E（若点C在直线上，以任意半径作弧，只要保证C点为DE中点即可）（3）分别以点D和点E为圆心，大于1DE的长为半径作弧，两弧相交于点F2（4）作直线CF，CF即为直线AB的垂线（利用全等三角形SSS可以证明）（底层思想：作线段DE的中垂线）【方法二】仅适用点在直线外（1）在直线l上任取两点A，B（2）分别以点A，B为圆心，AC，BC长为半径作弧，两弧相交于点D；（3）作直线CD，CD即为直线AB的垂线（直线l是线段CD的中垂线）（二）垂线性质的应用1.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成垂线段最短.2.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.（解决最短路线问题，往往需要运用“两点间线段最短”和“垂线段最短”的数学结论.）5.1.3 同位角、内错角、同旁内角【知识点】1.两条直线被第三条直线所截，没有公共顶点的两个角有同位角、内错角、同旁内角.2.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的一对角叫做同位角，“F”字型，“同旁同侧”（截线同侧，被截线的同方向）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样的一对角叫做内错角，“Z”字型，“之间两侧”（截线两侧，被截两线之间）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的一对角叫做同旁内角，“C”字型，“之间同侧”（截线同侧，被截两线之间）3.判断“三线八角”中两个角的位置时，应先找出这两个角的公共边，公共边所在的直线就是截线，另外两条直线就是被截线.4.在复杂图形中，一个角的同位角，或内错角，或同旁内角可能不止一个.5.2 平行线及其判定5.2.1平行线【知识点】1.在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线. 平行线用符号“//”表示，如AB//CD，读作直线AB平行于直线CD.2.在同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行.3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.（有无数条直线与已知直线平行）4.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.5.在同一平面内，任意三条直线有四种不同的位置关系：（1）三条直线平行（2）三条直线交于一点（3）三条直线两两相交但不交于一点（4）只有两条直线平行5.2.2平行线的判定【知识点】1.判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.2.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两直线平行）.3.判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行）.4.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（可以直接使用）.5.证平行线的方法：找出要证两直线被第三条直线所截，看是否满足同位角相等或内错角相等或同旁内角互补即可.6.判定两条直线平行的5种方法：（1）定义法：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.（没有公共点的两条直线）（2）平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.（3）同位角相等，两直线平行（4）内错角相等，两直线平行（5）同旁内角互补，两直线平行5.3 平行线的性质5.3.1平行线的性质【知识点】1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.4.【链接240408】平行线间拐角模型5.3.2命题、定理、证明【知识点】1.判断一件事情的语句，叫做命题，命题由题设和结论两部分组成. 题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.2.任何一个命题都可以写成“如果……那么……”（“若……则……”）的形式，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.3.一个命题是真命题，它的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理.4.命题“对顶角相等”的题设是有两个角是对顶角，结论是这两个角相等.5.若a2=b2，则a=b. 这个命题是假命题.6.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明. 证明的根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、定理等.7.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的假设，但不满足结论就可以了.5.4 平移【知识点】1.在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移.【平移概念中的“平”字指：不翻、不转、平稳过度，保持原来的姿势沿着一定方向运动】2.决定平移的因素有两个，即平移的方向和平移的距离.3.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.（平移改变的是图形的位置）4.经过平移所得的图形与原来的图形的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等.5.在平移过程中，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各对对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.6.平移三角形ABC，使A移动到点A′. 画出平移后的三角形A′B′C′.解：如图，连接AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′=AA′，点B′就是点B 的对应点.类似地，作出点C的对应点C′. 连接A′B′，B′C′，A′C′，则三角形A′B′C′就是平移后的三角形.7.平移作图步骤总结：（1）分析题目要求，找出平移的方向和距离；（2）分析所作图形，找出构成图形的关键点；（3）沿平移方向，按平移的距离平移各个关键点；（作相关的平行（或在同一直线上）且相等的线段）（4）按照原来图形的连接方式连接所作的各个关键点，并标上字母，就可得到平移后的图形.8.对于一些不规则的图形可通过平移，将其转化为规则图形进行求解. 如：求不规则的线段的长度通过平移转化为规则线段的长度，不规则图形的面积转化为规则图形的面积和或差计算.。
人教版七年级数学下册知识点及典型试题汇总——适用于期末总复习
人教版七年级数学下册知识点汇总第五章相交线与平行线相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线定义：___________________________________________判定1 :同位角相等，两直线平行平行线及其判定平行线及其判定平行线的判定判定2 :内错角相等，两直线平行判定3 :同旁内角互补，两直线平行判定4 :平行于同一条直线的两直线平行性质1:两直线平行，同位角相等性质2:两直线平行，内错角相等平行线的性质性质3：两直线平行，同旁内角互补性质4:平行于同一条直线的两直线平行命题、定理平移、知识网络结构二、知识要点1、在同一平面内,2、在同一平面内, 两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。
不相交的两条直线叫平行线。
如果两条直线只有-可编辑修改-一个公共点，称这两条直线相交；如相交线与平行线的两个角叫同位角。
图3中，共有对同位角:果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角的性质：邻补角互补。
如图1所示，与互为邻补角，_____ 与___ 互为邻补角。
____ + _ = 180 ° ；______ +____ = 180 ° ；_____ +____ = 180 ° ；____ +____ = 180 °。
4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
如图1所示，与互为对顶角。
= ；=5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90。
时，称这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
如图2所示，当=90。
时，丄o b垂线的性质: 性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
新人教版七年级下册第五章相交线与平行线复习知识点总结(教师学生通用)
ODCBA第五章相交线与平行线5.1.1相交线（详见课本第页）1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。
如图1所示，直线AB 与直线CD 相交于点O 。
2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的延长线，那么这两个角叫做对顶角。
如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
3、对顶角的性质：对顶角。
4、邻补角的概念：如果把一个角的一边延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。
如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
5.1.2垂线（详见课本第页）1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是角时，就说这两条直线互相，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做。
2、垂线的性质（1）（垂直公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有条直线与已知直线。
（2）（垂直推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
即垂线段最。
3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的线段的长度，叫做点到直线的。
如图5所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到直线m 的距离。
4、垂线的画法（工具：三角板或量角器）画法指点：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第页）1、三线八角两条直线被第条直线所截形成个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图6，直线b a,被直线l所截①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a,的上方，叫做角（位置相同）同位角是“A ”型②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a,之间（内），叫做角（位置在内且交错）内错角是“Z ”型6 BA D2 3 4 5 78 9F EC 4321AB CDO 21OCBAA BCD1ABCD1图5图2图1 图7③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a,之间（内），叫做角。
人教七年级数学平行线与相交线总复习知识点归纳和例题精讲
平行线与相交线期末考试总复习考点1：余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（）A．两个互补的角中必有一个是钝角B．一个角的补角一定比这个角大C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D．相等的角一定互余4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C处的方向为（）A．南偏西32○B．东偏南32○C．南偏西58○D．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=8．如图l－2－2，AB⊥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．0个B．l个C．2个D．3个9．如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是______10．已知∠A和∠B互余，∠A与∠C互补，∠B与∠C的和等于周角的13，求∠A+∠B+∠C的度数．11．如图如图1-2-3，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD的度数；（2）求∠AOB和∠DOC的度数；（3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？考点2：同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质一、考点讲解：1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行．2．“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．3．平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.二、经典考题剖析：【考题2－1】如图1―2―4，直线a ∥b，则∠A CB＝________解：78○点拨：过点C作CD平行于a，因为a∥b，所以CD∥b．则∠A C D＝2 8○，∠DCB=5 0○．所以∠ACB＝78○．【考题2－2】（2004、开福，6分）如图1―2―5，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，∠1=5 0○求∠2的度数．解：65○点拨：由AB∥CD，得∠BEF＝180○－∠1=130○，∠BEG=∠2．又因为EG平分∠BEF，所以∠2=∠BEG=12∠BEF=65°（根据平行线的性质）三、针对性训练：1．如图1－2－6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．l个B．2个C．3个D．4个2．下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交；（3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；（4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行。
人教版数学七年级下册《相交线与平行线》的考点归纳
的一元二次方程或不等式，然后求其解.需要注意的是，求解后还得根据题目的实际情况确定适当的值.例3某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？分析：此题只涉及盈利的涨价与否问题，可以设一个未知数（设每千克应涨价x元），涨价x元以后，每千克盈利为（10+x）（元），日销售减少量为x×20=20x（千克），每天可售出量为（500-20x）（千克）.此时每天的盈利可表示为（10+x）×（500-20x）.题目中指出使顾客得到实惠（即x尽量取较小值），又要保证每天盈利6000元，所以可以转化为求满足（10+x）×（500-20x）≥6000条件的x的最小值问题.解：设每千克应涨价x元，由题意可得每千克盈利：10+x（元），日销售量减少：x×20=20x（千克）日销售量为：500-20x（千克）据题意得（10+x）（500-20x）≥6000，解一元二次不等式得，5≤x≤10.因为题目中要求“使顾客得到实惠”，所以x应当尽量小，故而x=5.答：现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元.点评：该题是一元二次方程与不等式的结合问题，设一个未知数x即可，但用含有x 的式子表示其他量时容易出错，特别是涨价x元后每千克盈利是10+x元，而不是10x 元，一定要细心以避免出错.总之，列方程解应用题可以化逆向思维为正向思维，让解题更加容易.列方程解应用题的难点在于设未知数，以及如何用未知数表示其他量，再根据等量关系列出方程求解.最后还要重视方程解完后的检验环节，这样才能确保解题的准确率．相交线与平行线是平面几何的重点内容，是以后深入学习三角形、四边形等几何知识的基础.其中互余和互补的概念、平行线的性质与判定等都是考试中常考的重要内容.现对与相交线与平行线相关的常见考点进行归纳说明.考点一补角与余角的概念如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角.类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角.同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.例1（1）如图1，已知：线段AB，延长线段AB到C，使AC＝32AB，反向延长线段AB到D，使AD＝2AB，①请画出图形；②若AB＝4，计算CD的长度．（2）如图2，已知A、O、E三点在同一条直线上，∠1＝∠2，且∠1和∠4互为余角．①∠2和∠3互余吗？为什么？②∠3和∠4有什么关系，为什么？《相交线与平行线》的考点归纳③∠3的补角是哪个角？若∠AOC：∠COE＝2：7，请计算这个补角的度数．图1图2解：（1）①画出图形，如图3：D A B C图3②∵AC＝32AB，AB＝4，∴BC＝12AB＝2，又∵AD＝2AB＝8，∴CD＝AD+AB+BC＝8+4+2＝14．（2）①∠2与∠3互余，∵∠1+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝180°-（∠1+∠4）＝90°，即∠2与∠3互余，②∠3＝∠4，∵∠1+∠4＝90°，∠1＝∠2，由①∠2+∠3＝90°，即∠3＝∠4（等角的余角相等），③∠3的补角是∠AOD，若∠AOC：∠COE＝2：7，又∵∠AOC+∠COE＝180°，∴∠AOC＝40°，∠COE＝140°，又∵∠1＝∠2＝12∠AOC＝20°，∴∠4＝90°-∠1＝70°（∠1与∠4互为余角），又∵∠AOD+∠4＝180°，即∠AOD＝180°-∠4＝180°-70°＝110°．评注:本题考查了余角、补角和两点间的距离以及角与角之间的关系.解答这类题目时，我们要熟悉线段和角的概念.考点二对顶角的定义及其性质若两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，则这两个角互为对顶角.对顶角是两条直线相交所成的角，它们是成对出现的，若∠1和∠3为对顶角，则必有∠1=∠3；但反过来，若∠1=∠3，则∠1和∠3不一定是对顶角.例2如图4所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=4：1，则∠AOF等于（）.A.130°B.120°C.110°D.100°解：设∠BOE=α，∵∠AOD：∠BOE=4：1，∴∠AOD=4α，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=α,∴∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°，∴4α+α+α=180°，∴α=30°，∴∠AOD=4α=120°，∴∠BOC=∠AOD=120°，∵OF平分∠COB，∴∠COF=12∠BOC=60°，∵∠AOC=∠BOD=2α=60°，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=120°，故选B项.评注:解本题的关键是找到角与角之间的关系，然后运用方程思想解题．考点三垂线的性质两条直线相交所成的角中，若有一个为直角，则这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，这两条直线互相垂直的交点叫垂足.垂线具有如下性质：①一条线段有无数条垂线；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③经过直线或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.例3在直线AB上任取一点O，过点O 作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（）．A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°分析：本题没有图形，OC、OD的位置不BAFEOCD图4确定，存在两种情况，画出图形，再分类讨论才能解题.O B AOBADDC C (1)(2)图5解：如图5(1)所示，∵OC ⊥OD ，∴∠COD =90°，∵∠AOC =30°，∴∠AOD =120°，∴∠BOD =60°；如图5(2)，∵OC ⊥OD ，∴∠COD =90°，∵∠AOC =30°，∴∠AOD =90°-∠AOC =60°，∴∠BOD =120°.故答案选D 项.评注:正确画出示意图，灵活运用分类讨论思想及垂线的性质，才能顺利解答此题.考点四平行线的性质在同一平面内，两条直线若没有公共点，则这两条直线必为平行线.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.平行线具有如下性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补.例4如图6，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C =50°，则∠AED =（）.A.65°B.115°C.125°D.130°解：∵AB ∥CD ，∴∠C +∠CAB =180°，∵∠C =50°，∴∠CAB =180°-50°=130°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAB =65°，∵AB ∥CD ，∴∠EAB +∠AED =180°，∴∠AED =180°-65°=115°，故选B 项．评注：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键.考点五平行线的判定当两条直线被第三条直线所截，要判定这两条直线为平行线，可借助如下方法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②若同位角相等，则这两条直线平行；③若内错角相等，则这两条直线平行；④若同旁内角互补，则这两条直线平行.例5如图7所示，DE 、BE 分别为∠BDC ，∠DBA 的角平分线，且∠DEB =∠1+∠2.求证：（1）AB ∥CD ；（2）∠DEB =90°.D CABF E21图7证明：（1）以点E 为顶点，DE 为一边，在∠DEB 的内部作∠DEF =∠2.∵DE 为∠BDC 的平分线，∴∠2＝∠EDC ，∴∠FED =∠EDC ，∴EF ∥CD ，∵∠FEB =∠DEB -∠DEF =∠DEB -∠2，∠1+∠2＝∠DEB ，∴∠FEB =∠1，∵∠1=∠ABE ，∴∠FEB =∠ABE ，∴EF ∥AB ，又∵EF ∥CD ，∴∠CDF ＋∠DFE =180°，∴∠CDF ＋∠FBA =180°，∴AB ∥CD ；（2）∵AB ∥CD ，∴∠BDC +∠DBA =180°，又∵∠1=12∠DBA ，∠2＝12∠BDC ，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1+∠2＝∠DEB ，∴∠DEB =90°.评注：解答第（1）题时，平行线的性质和判定定理可以帮助我们转化角或找到角与角之间的关系，也有利于我们确定两条直线的位置关系；解答第（2）题时，我们要对条件进行综合分析，对结论进行转化.这是找寻思路、顺利解题的一般方法.6。
人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线知识整理复习（含答案）
⼈教版七年级数学下册第五章相交线与平⾏线知识整理复习（含答案）七年级数学下册第五章知识整理知识梳理1.两个⾓有⼀条公共边，它们的另⼀条边互为反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓，互为___________.2.两个⾓有⼀个公共顶点，并且⼀个⾓的两边分别是另⼀个⾓两边的反向延长线，具有这种位置关系的⾓，互为___________.对顶⾓的性质:___________.3.垂直是相交的⼀种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的⼀条直线叫做另⼀条直线的___________，它们的交点叫做___________。
4.在同⼀平⾯内，过⼀点有且只有___________直线与已知直线垂直。
5.连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，___________最短，简单说成：___________。
6.直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度，叫做___________。
7.如图，∠1和∠4，这两个⾓分别在直线AB，CD的同⼀⽅(上⽅)，并且都在直线EF的同侧(右侧)，具有这种位置关系的⼀对⾓叫做_______;∠2和∠4，这两个⾓都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧，具有这种位置关系的⼀对⾓叫做_______;∠2和∠3也都在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同⼀旁，具有这种位置关系的⼀对⾓叫做_______;8.在同⼀平⾯内不相交的两条直线(a与b)互相_______,记作_______.9.平⾏线的基本事实(平⾏公理):经过直线外⼀点，有且只有_______直线与这条直线平⾏.10.如果两条直线都与第三条直线平⾏，那么这两条直线也_______.11.平⾏线的判定⽅法:(1)_______相等，两直线平⾏;(2)_______相等，两直线平⾏;(3)_______互补，两直线平⾏。
12.平⾏线的性质:(1)两直线平⾏，同位⾓_______;(2)两直线平⾏，内错⾓_______;(3)两直线平⾏，同旁内⾓_______.13.判断⼀件事情的语句，叫做_______.经过推理证实的真命题叫做_______.14.在很多情况下，⼀个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做_______.15.平移得到的新图形与原图形的形状和⼤⼩_______.知识反馈★知识点1;邻补⾓与对顶⾓1.下列说法正确的是( )A.和为180°的⾓为邻补⾓B和为180°的两个⾓为邻补⾓C，有公共顶点，和为90°的⾓为邻补⾓D.有公共顶点和⼀条公共边，它们的另⼀边互为反向廷长线的两个⾓为邻补⾓2.如图，∠1和∠2是对顶⾓的是( )3.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOC＝(3x+10°),∠BOC＝(2x-10°)，求∠AOD的度数.★知识点2:垂线与垂线段4.过直线AB外⼀点P画直线AB的垂线，则( )A.能画⽆数条B只能画2条 C.只能画1条 D.不能画成5.在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有⼀部分同学画出下列四种图形，请你数⼀数，错误的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，在体育测试中，裁判员测量某同学的跳远成绩，在直线l上的A、B、C三点中，点________到沙坑中脚印点P的距离为该同学的成绩.7.如图，在三⾓形ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB，垂⾜为点D.线段AB，BC，CD的⼤⼩关系如何?并说明理由.★知识点3:同位⾓、内错⾓、同旁内⾓8.如图，下⾯说法中正确的是( )A.∠2和∠3是同位⾓B.∠3和∠4是同旁内⾓C，∠1和∠2是内错⾓ D.∠1和∠3是同旁内⾓9.如图所⽰，直线DE、BC被直线AB所截，∠1与∠4是_________,∠2与∠4是_________，∠1与∠2是_________，∠3与∠4是_________.★知识点4:平⾏线的定义及画法10.下列⽣活中的线是平⾏线的有( )①铁路上并排的两条铁轨;②上体育课时，双杠的两个横杠;③滑雪时两只雪撬滑动轨迹;④操场上的升旗杆与教室屋梁。
人教版七年级下册数学《平行线的判定》相交线与平行线说课研讨复习教学课件
是为什么？
解题秘方：找出AB，CD 被
AE 所截形成的同旁内角，利
用两个角之间的数量关系来
说明这两条直线平行.
感悟新知
解：因为∠ 1= ∠ AOD(对顶角相等)，∠ 1=70°， 所以∠ AOD=70°. 又因为∠ A=110°， 所以∠ A+ ∠ AOD=180°. 所以AB ∥ CD(同旁内角互补，两直线平行).
（3）直线l1，l2位置关系如何？
两直线平行
课件
课件
课件
课件
课件
课件
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个人简历：课件/jianli/
课件
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手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
.P
A
B
1
相关概念：判定1：同位角相等，两直线平行
平行线判定1:
两条直线被第三条直线所截 ,
如果同位角相等, 课件 课件 课件 课件 课件
2. 表达方式：如图5.2-12， 因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已 知)， 所以a ∥ b(同旁内角互补， 两直线平行).
感悟新知
特别解读 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之
间的关系是互补，不是相等.
感悟新知
例 3 如图5.2-13， 直线AE，CD 相交于点O， 如果
∠ A=110°，∠ 1=70°，就可以说明AB ∥ CD，这
【例1】如图，∠1=∠2=35°，
则AB与CD的关系是___A__B_∥_C_D____，
理课 课 课件 件 件 由课课课件件件 是___同___位__角__相__等__，__两__直__线__平__行__.
(完整版)平行线与相交线知识点整理总复习.doc
1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角∠ 1 的两边与∠2 的两边1 2邻补角∠ 3 与∠ 4 有一43 条边公共，另一边注意点：⑴两直线相交形成的 4 个角的位置关系有：（ 2）∠α与∠β是对顶角，那么一定有；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有；反之如果∠α+∠β =180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有个，而对顶角只有个。
(4) 两直线相交形成的四个角中，共有组邻补角，组对顶角。
2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：C如图所示：记作：垂足为A O BD⑵垂线性质1：⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：3、垂线的画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离。
5、如何理解“垂线” 、“垂线段”、“两点间距离” 、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区别⑴ 垂线与垂线段区别：联系：具有垂直于已知直线的共同特征。
⑵ 两点间距离与点到直线的距离区别：⑶ 线段与距离区别6、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线b互相平行，记作 a ∥b。
7、两条直线的位置关系，两条直线的位置关系只有两种：8、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过一点，一条直线与这条直线平行9、平行公理的推论：如果那么这两条直线也互相平行a如左图所示，∵ b ∥a，c∥ab ∴ b ∥c注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。
人教版七年级数学下册《相交线与平行线》总复习课件PPT课件
O
AOE BOE 1800
A
B 又 AOE 360
C
F
BOE 1800 360 1440
又 DOE 900
AOD AOE DOE 1260
又 BOC与AOD是对顶角
BOC AOD 1260
1.垂线的定义: 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角 是900 时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一 条直线的垂线。它们的交点叫垂足。
CE
┓
AO
B
D 此题需要正确地
应用、对顶角、
邻补角、垂直的
概念和性质。
解 :由邻补角的定义知: COE+DOE=1800， 又由DOE 5COE COE 5COE 1800 COE 300 又 OE AB BOE 900 BOC BOE COE 1200 由对顶角相等得:
AOD=BOC=1200
例2.已知OA OC，OB OD，AOB : BOC 32 :13，
求COD的度数。
解.由OA OC知 : AOC 900
C ∵∠1和∠2无一边共线。
读下列语句,并画出图形
B
（两直线平行，同位角相等）
即AOB BOC 900
由AOB : BOC 32 :13， 垂线的性质 (1)同一平面内，过一点有且只有一条直线与
例3.已知 EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC， 求证：∠AGD=∠ACB。
证明： ∵ EF⊥AB，CD⊥AB （已知）
∴ AD∥BC
A
(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)
∴ ∠EFB＝ ∠DCB （两直线平行，同位角相等）
∵ ∠EFB=∠GDC （已知） ∴ ∠DCB=∠GDC （等量代换）
2023年新人教版七年级下相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线5.1 相交线邻补角、对顶角对顶角相等。
直线a与直线b互相垂直，记作a b垂直是相交旳一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中旳一条直线叫做另一条直线旳垂线，它们旳交点叫做垂足。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点旳所有线段中，垂线段最短。
垂线段最短。
直线外一点到这条直线旳垂线段旳长度，叫做点到直线旳距离。
同位角、内错角、同旁内角5.2 平行线及其鉴定5.2.1 平行线a b.在同一平面内，当直线a与直线b不相交时，我们就说直线a与直线b互相平行，记作//平行公理：通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即假如b a，c a，那么b c.5.2.2 平行线旳鉴定鉴定措施1 两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行。
同位角相等，两直线平行。
鉴定措施2 两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行。
内错角相等，两直线平行。
鉴定措施3 两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
5.3 平行线旳性质5.3.1 平行线旳性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两直线平行，同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两直线平行，内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
两直线平行，同旁内角互补。
5.3.2 命题、定理、证明判断一件事情旳语句，叫做命题命题由题设和结论两部分构成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出旳事项。
数学中旳命题一般可以写成“假如……那么……”旳形式，这时“假如”后旳部分是题设，“那么”后接旳部分是结论。
假如题设成立，那么结论一定成立，这样旳命题叫做真命题。
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样旳命题中做假命题。
在诸多状况下，一种命题旳对旳性需要通过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线知识点复习
（7） 同旁内角互补；（8） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离； （9） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; （10） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （11） 两直线不相交就平行；（12） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
练习:1、下列说法正确的是( ）Ａ、相等的角是对顶角 B 、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离 C 、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。
D 、过一点有且只有一条直线与已知直线平行1. 如图,,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到B Ｃ的距离是__＿__,点Ｂ到ＡC 的距离是_____＿＿，点Ａ、B 两点的距离是＿____,点C 到AB 的距离是_＿_____＿．2. 设a 、b 、ｃ为平面上三条不同直线,a) 若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是＿________； b) 若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是＿_＿_＿____； c) 若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________． 考点二:相关推理（识记)(1）∵a ∥c,b ∥c(已知） ∴＿__＿_＿ ∥___＿＿_() （2)∵∠1=∠２，∠2=∠3（已知） ∴______ =___＿_＿(） （3)∵∠1+∠2=1８0°，∠2=30°（已知) ∴∠1=______()(4）∵∠１＋∠2=9０°，∠2=2２°(已知） ∴∠1=_＿＿＿__（） (5）如图(1）,∵∠AO Ｃ=55°（已知） ∴∠BOD=______() （６）如图(1)，∵∠AOC ＝５5°(已知） ∴∠BOC ＝______()（7）如图(1）,∵∠AOC=21∠ＡOD,∠AOC+∠AOD=18０°(已知） ∴∠ＢOC=______()（1) （2) (3） （4) （８)如图（２),∵a ⊥b(已知） ∴∠1=_＿____（） （9）如图（2),∵∠１＝＿＿____（已知) ∴a ⊥ｂ（）（1０）如图(３）,∵点C 为线段AB 的中点 ∴A Ｃ=_____＿（） (11） 如图（３)，∵ AC=BC ∴点C 为线段AB 的中点（） (12)如图(4),∵a ∥b(已知) ∴∠1＝∠2（) （13）如图(4),∵a ∥ｂ(已知） ∴∠1=∠３（） (14）如图(4）,∵ａ∥ｂ(已知) ∴∠1＋∠4=() (15)如图(4），∵∠１=∠2（已知) ∴a ∥b() (16)如图（４）,∵∠1=∠3(已知) ∴ａ∥b() （17)如图(4）,∵∠1+∠４=(已知） ∴a ∥ｂ（)ab11 234ab...ACB考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算例题1:如图5-1，直线A Ｂ、C Ｄ相交于点O ，对顶角有＿＿__＿＿___对,它们分别是_________，∠ＡOD 的邻补角是____＿___＿。
专题01 相交线与平行线全章复习攻略(考点清单)解析版-2024学年7下数学期末考点大串讲(人教版)
专题01相交线与平行线全章复习攻略（考点清单，5个概念2个判定2个性质2种方法2种思想专练）5个概念【考点题型一】相交线（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．【例1】（2023春•澄迈县期末）平面上画三条直线，交点的个数最多有()A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据相交线的性质可得答案．【解答】解：平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，故选：A．【点评】本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前提．l与直线2l相交，点M在直线1l上，直线2l不经过点M．”【变式1-1】（2023秋•路北区期末）根据语句“直线1画出的图形是()A．B．C．D．l与直线2l相交，点M在直线1l上，直线2l不经过点M进行判断，即可得出结论．【分析】根据直线1l不经过点M，故本选项不合题意；【解答】解：A．直线2B．点M在直线l上，故本选项不合题意；1C．点M在直线l上，故本选项不合题意；1D．直线l与直线2l相交，点M在直线1l上，直线2l不经过点M，故本选项符合题意；1故选：D．【点评】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．【变式1-2】（2023春•攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为()A．0个或1个B．1个或2个C ．2个或3个D ．0个或1个或2个或3个【分析】分三条直线互相平行、有两条平行和三条直线都不平行三种情况讨论．【解答】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：①三条直线互相平行，有0个交点；②一条直线与两平行线相交，有2个交点；③三条直线都不平行，有1个或3个交点；所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．故选：D ．【点评】考查了相交线，本题要注意列举出所有可能的情况．【变式1-3】（2023春•秦都区期末）如图，直线CD 与EF 交于点O ，OC 平分AOF ∠，若40AOE ∠=︒，求DOE ∠的度数．【分析】先根据平角定义可得140AOF ∠=︒，从而利用角平分线的定义可得1702COF AOF ∠=∠=︒，然后利用对顶角相等可得70DOE COF ∠=∠=︒，即可解答．【解答】解：40AOE ∠=︒ ，180140AOF AOE ∴∠=︒-∠=︒，OC 平分AOF ∠，1702COF AOF ∴∠=∠=︒，70DOE COF ∴∠=∠=︒，DOE ∴∠的度数为70︒．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【考点题型二】“三线八角”（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．【例2】（2023春•黄石港区期末）如图，图中1∠是同位角的是()∠与2A．（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）【分析】根据同位角的定义作答．【解答】解：（1）（2）（4）中，1∠不是同位角，因为这两个角的边∠与2∠是同位角；图（3）中，1∠与2所在的直线没有一条公共边．故选：C．【点评】两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在两条被截直线的同旁的两个角是同位角．如果两个角是同位角，那么它们一定有一条边在同一条直线上．【变式2-1】．（2023秋•同安区期末）如图，1∠的位置关系是()∠和4A．对顶角B．同位角C．内错角D．同旁内角【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．【解答】解：1∠和4∠的位置关系是同位角．故选：B．【点评】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．【变式2-2】（2023秋•思明区校级期末）如图所示，B∠与3∠是一对()A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角【分析】根据“同位角、内错角、同旁内角”的意义进行判断即可．【解答】解：B∠与3∠是直线DE和直线BC被直线AB所截得到的同旁内角，故选：C．【点评】本题考查“同位角、内错角、同旁内角”的意义，理解和掌握“同位角、内错角、同旁内角”的特征是正确判断的前提．【变式2-3】（2023春•清远期末）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列属于同旁内角是()A．1∠和4∠B．3∠和5∠C．2∠和3∠D．1∠和3∠【分析】根据对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角的意义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、1∠属于同位角，故A不符合题意；∠与4B、3∠与5∠属于对顶角，故B不符合题意；C、2∠与3∠属于内错角，故C不符合题意；D、1∠与3∠属于同旁内角，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．【考点题型三】平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．【例3】（2023春•敦化市期末）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和两种位置关系．【分析】根据两直线的位置关系解答即可．【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，故答案为：平行．【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．【变式3-1】（2023春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对【分析】根据直线的位置关系解答．【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．故选：C．【点评】本题考查了两直线的位置关系，需要特别注意，垂直是相交特殊形式，在同一平面内，不重合的两条直线只有平行或相交两种位置关系．【变式3-2】（2023春•东昌府区校级月考）下列语句正确的有()个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使//c bc a，且//④若直线//c a．b c，则//a b，//A．4B．3C．2D．1【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使//a b时才能画出，故说法错误；c b，只有//c a，且//④若直线//c a，说法正确；a b，//b c，则//故选：D．【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式3-3】（2023春•双牌县期末）下列说法正确的有（填序号）:．①同位角相等；②一条直线有无数条平行线；③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；④在同一平面内，如果//a c；a b，//b c，则//⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．【分析】根据平行线的性质，平行公理以及平行线与线段的区别对各小题分析判断后利用排除法求解．【解答】解：①应是两直线平行，同位角相等，故本小题错误；②一条直线有无数条平行线，正确；③因为线段有端点，所以有长短，不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线，故本小题错误；④在同一平面内，如果//a c，符合平行公理，正确；b c，则//a b，//⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行，故本小题错误，故答案为：②④．【点评】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，都是基础知识，需要熟练记忆．【考点题型四】平移概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形图形的这种移动,叫做平移要素：一是平移的方向,二是平移的距离性质：平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同对应边平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)相等注意：“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别:前者是由原图形上的点与平移后图形上的对应点连接而成的;而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一条边【例4】．（2023春•南山区期末）如图，将直角ABC∆的位置，连结BE，若∆沿边AC的方向平移到DEF6CD =，14AF =，则BE 的长为()A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】根据平移的性质得到BE AD =，DF AC =，结合图形计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质可知，BE AD =，DF AC =，则DF DC AC DC -=-，即CF AD =，11()(146)422AD AF CD ∴=-=-=，4BE ∴=，故选：A ．【点评】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．【变式4-1】．（2023春•鼎城区期末）如图，在三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，将三角形ABC 沿BC 方向平移得到三角形DEF ，其中7AB =，3BE =，2DM =，则阴影部分的面积是()A ．15B ．18C ．21D ．不确定【分析】根据平移的性质得出3AD BE CF ===，再根据ADM ACFD S S S ∆=-阴影部分平行四边形进行计算即可．【解答】解：如图，连接AD ，由平移的性质可知，3AD BE CF ===，ADMACFD S S S ∆∴=-阴影部分平行四边形137232=⨯-⨯⨯18=，故选：B ．【点评】本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等是正确解答的前提．【变式4-2】．（2022秋•临淄区期末）如图，4AB cm =，5BC cm =，2AC cm =，将ABC ∆沿BC 方向平移a (05)cm a <<，得到DEF ∆，连接AD ，则阴影部分的周长为cm ．【分析】根据平移的性质得到4DE AB cm ==，AD BE a ==cm ，根据周长公式计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质可知：4DE AB cm ==，AD BE a ==cm ，(5)EC a cm ∴=-，∴阴影部分的周长(5)2411()AD EC AC DE a a cm =+++=+-++=，故答案为：11．【点评】本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．【变式4-3】．（2023春•重庆期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，三角形ABC 三个顶点的坐标分别是(4,2)A ，(1,0)B ，(5,3)C -，三角形ABC 中任意一点0(P x ，0)y ，经平移后对应点为0(6P x '-，02)y +，将三角形ABC 作同样的平移得到三角形A B C '''，点A ，B ，C 的对应点分别为A '，B '，C '．（1）点A '的坐标为，点B '的坐标为；（2）①画出三角形A B C '''；②写出三角形A B C '''的面积；（3）过点A '作//A D y '轴，交B C ''于点D ，则点D 的坐标为．【分析】（1）由点P 的对应点P '坐标知，需将三角形向左平移6个单位、向上平移2个单位，据此可得；（2）①根据平移规律求出C '点的坐标，根据A '，B '，C '点的坐标即可画出三角形A B C '''；②利用割补法求解可得答案；（3）设(2,)D m -，利用面积法求解．【解答】解：（1）点A '的坐标为(46,22)-+，点B '的坐标为(16,02)-+，即(2,4)A -，(5,2)B -；故答案为：(2,4)-，(5,2)-；（2）①如图，△A B C '''即为所求；②△A B C '''的面积11117545123342222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；（3）设(2,)D m -，则有171(4)422m =⨯-⨯，解得14m =-，1(2,4D ∴--，故答案为：1(2,)4--．【点评】此题主要考查了平移作图，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．【考点题型五】命题1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．【例5】（2023春•大竹县校级期末）下列说法正确的是()A．同位角相等B．对顶角相等C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等【分析】根据平行线的性质对A、C、D进行判断；根据对顶角的性质对B进行判断．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，所以A选项错误；B、对顶角相等，所以B选项正确；C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以C选项错误；D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果⋯那么⋯”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．【变式5-1】（2023春•汝南县期末）发现：如图，AOBPC OB交OA于点C，画∠内有一点P：过点P画//∠的数量关系；∠与CPD//PD OA交OB于点D；根据所画图形试说明：O验证：完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：PC OB//∴∠=ACP()OPD OA//∴∠=∠∴∠=O CPDCPD探究：某数学兴趣小组通过以上练习发现了命题“两边分别平行的两个角相等”，甲同学认为该命题是真命题并画了图1进行验证，乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到B D∠与D∠的数量关系，∠≠∠，根据乙同学的作图，试判断此时B并说明理由．归纳：综合甲乙两同学的证明得到结论：两边分别平行的两个角．【分析】验证：利用平行线的性质和等量代换进行填空即可；探究：结合图1和图2，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：验证：如图，，PC OB//∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），O ACP，PD OA//∴∠=∠（两直线平行，内错角相等），CPD ACP∴∠=∠．O CPD故答案为：ACP∠；∠；两直线平行，同位角相等；ACP探究：两边分别平行的两个角相等或互补，理由：如图1，，DF BC//∴∠=∠．D CGE，DE BA//∴∠=∠，B CGE∴∠=∠．D B∴两边分别平行的两个角相等；如图2，DF BC，//∴∠=∠．D DGB，//DE BA∴∠+∠=︒，B DGB180∴∠+∠=︒．D B180∴两边分别平行的两个角互补，综上，两边分别平行的两个角相等或互补．故答案为：相等或互补．【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，分类讨论是思想方法，等量代换，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式5-2】．（2023春•盐山县期末）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．（1）如图，//∠=∠，EF CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得BEF CDG并给出证明过程．小丽添加的条件：180∠+∠=︒．B BDG请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．证明：//（已知）EF CDBEF∴∠=BCD∠()∠+∠=︒（已知）B BDG180∴()BC//∴∠=()CDG∴∠=∠（等量代换）BEF CDG（2）拓展：如图，请你从三个选项①//∠，③B BCD∠=∠中任选出两个作为条DG BC，②DG平分ADC件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．①条件：，结论：（填序号）．②证明：．【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．【解答】（1）证明：//EF CD （已知），BEF BCD ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），180B BDG ∠+∠=︒ （已知），//BC DG ∴（同旁内角互补，两直线平行），CDG BCD ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等），BEF CDG ∴∠=∠（等量代换）；（2）①条件：//DG BC ，B BCD ∠=∠（答案不唯一），结论：DG 平分ADC ∠，②证明：//DG BC ，ADG B ∴∠=∠，CDG BCD ∠=∠，B BCD ∠=∠ ，ADG CDG ∴∠=∠，即DG 平分ADC ∠．故答案为：（1）BCD ∠；两直线平行，同位角相等；DG ；同旁内角互补，两直线平行；BCD ∠；两直线平行，内错角相等；（2）①、①③；②，//DG BC ，ADG B ∴∠=∠，CDG BCD ∠=∠，B BCD ∠=∠ ，ADG CDG ∴∠=∠，即DG 平分ADC ∠．【点评】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式5-3】．（2023春•清江浦区期末）探究问题：已知ABC ∠，画一个角DEF ∠，使//DE AB ，//EF BC ，且DE 交BC 于点P ．ABC ∠与DEF ∠有怎样的数量关系？（1）我们发现ABC ∠与DEF ∠有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中ABC ∠与DEF ∠数量关系为；图2中ABC ∠与DEF ∠数量关系为；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）:．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30︒，请直接写出这两个角的度数．【分析】（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可．（2）设两个角分别为x 和230x -︒，由题意230x x =-︒或230180x x +-︒=︒，解方程即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，180ABC DEF ∠+∠=︒．如图2中，ABC DEF ∠=∠，故答案为：180ABC DEF ∠+∠=︒，ABC DEF ∠=∠．理由：如图1中，//BC EF ，DPB DEF ∴∠=∠，//AB DE ，180ABC DPB ∴∠+∠=︒，180ABC DEF ∴∠+∠=︒．如图2中，//BC EF ，DPC DEF ∴∠=∠，//AB DE ，ABC DPC ∴∠=∠，ABC DEF ∴∠=∠．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）设两个角分别为x和230x-︒，由题意230+-︒=︒，x xx x=-︒或230180解得30x=︒或70x=︒，∴这两个角的度数为30︒，30︒或70︒和110︒．【点评】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2个判定【考查题型六】垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．【例6】（2023春•澄迈县期末）过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是()A．B．C．D．【分析】根据垂线段的定义及题意逐个图进行判断即可得出正确结论．【解答】解：A．此选项是过点A作BC边的垂线段，故错误；B．此选项是过点B作AB边的垂线段，故错误；C．此选项是过点C作AB边的垂线段，故此项正确；D．此选项是过点B作CA边的垂线段，故错误．故选：C．【点评】本题考查了垂线段的定义及作法，是一道基础题，解题时要善于观察，准确理解垂线段的定义是解题的关键．【变式6-1】（2023春•孟村县期末）已知，如图所示，AB CD ⊥，垂足为O ，EF 为过O 点的一条直线，则α∠与β∠的关系一定成立的是()A ．相等B ．互余C ．互补D ．互为对顶角【分析】根据图形可看出，β∠的对顶角COE ∠与α∠互余，那么α∠与β∠就互余．【解答】解：图中，COE β∠=∠（对顶角相等），又AB CD ⊥ ，90COE α∴∠+∠=︒，90αβ∴∠+∠=︒，∴两角互余．故选：B ．【点评】本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．【变式6-2】．（2022秋•太仓市期末）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE AB ⊥，OF CD ⊥．（1）如图中与COE ∠互补的角是；（把符合条件的角都写出来）（2）若15AOD EOF ∠=∠，求AOD ∠的度数．【分析】（1）根据互补的两个角的和等于180︒，结合图形找出与COE ∠的和等于180︒的角即可；（2）设AOd x ∠=，可以得到5EOF x ∠=，然后列式求解即可．【解答】解：（1）180COE EOD ∠+∠=︒ ，EOD ∴∠与COE ∠互补；90COE BOC ∠+∠=︒ ，90BOC BOF ∠+∠=︒，COE BOF ∴∠=∠，180BOF AOF ∠+∠=︒ ，180COE AOF ∴∠+∠=︒，AOF ∴∠与COE ∠互补；综上：EOD ∠和AOF ∠与COE ∠互补．故答案为：EOD ∠，AOF ∠．（2）设AOD x ∠=，则5EOF x ∠=，90EOC x ∠=︒-，AOD BOC ∠=∠ （对顶角相等），90905EOF EOC COF x x ∴∠=∠+∠=︒+︒-=，即6180x =︒，解得：30x =︒．30AOD ∴∠=︒．【点评】本题考查了补角的和等于180︒的性质，以及对顶角相等，周角等于360︒的性质，结合图形找出各角的关系是解题的关键．【变式6-3】．（2023春•红山区期末）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，EO CD ⊥于点O ，OF 平分AOD ∠，且50BOE ∠=︒，求COF ∠的度数．【分析】依据垂线以及邻补角，即可得到AOC ∠的度数，再根据角平分线即可得出AOF ∠的度数，进而得出COF ∠的度数．【解答】解：EO CD ⊥ ，50BOE ∠=︒，90DOE ∴∠=︒．180905040AOC ∴∠=︒-︒-︒=︒，140AOD BOC ∠=∠=︒．又OF 平分AOD ∠，1702AOF AOD ∴∠=∠=︒．4070110COF AOC AOF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点评】本题考查角平分线的定义、角的和差关系的运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【考查题型七】平行线判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．【例7】（2023春•西乡塘区期末）如图，下列条件中，能判断//AB CD的是()A．12∠=∠B．34∠=∠C．180∠=∠DAB ABC∠+∠=︒D．B D【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．【解答】解：12，∠=∠∴，AB CD//故①选项符合题意；，34∠=∠∴，//AD BC故②选项不符合题意；，180∠+∠=︒DAB ABC∴，AD BC//故③选项不符合题意；∠=∠，不能判定//B DAB CD，故④选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．【变式7-1】．（2023春•高新区校级期末）如图，ABC ADC ∠=∠，BF ，DE 分别是ABC ∠，ADC ∠的角平分线，12∠=∠，求证：//DC AB ．【分析】先利用角平分线定义得到132ADC ∠=∠，122ABC ∠=∠，而ABC ADC ∠=∠，则32∠=∠，加上12∠=∠，则13∠=∠，于是可根据平行线的判定得到//DC AB ．【解答】证明：BF ，DE 分别是ABC ∠，ADC ∠的角平分线，132ADC ∴∠=∠，122ABC ∠=∠，ABC ADC ∠=∠ ，32∴∠=∠，12∠=∠ ，13∴∠=∠，//DC AB ∴．【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【变式7-2】．（2023春•武胜县校级期末）完成下面的证明如图，BE 平分ABD ∠，DE 平分BDC ∠，且90αβ∠+∠=︒，求证：//AB CD ．完成推理过程BE 平分ABD ∠（已知），2(ABD α∴∠=∠)．DE 平分BDC ∠（已知），2BDC β∴∠=∠()222()ABD BDC αβαβ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠()90αβ∠+∠=︒ （已知），180(ABD BDC ∴∠+∠=︒)．//(AB CD ∴)．【分析】首先根据角平分线的定义可得2ABD α∠=∠，2BDC β∠=∠，根据等量代换可得222()ABD BDC αβαβ∠+∠=∠+∠=∠+∠，进而得到180ABD BDC ∠+∠=︒，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．【解答】证明：BE 平分ABD ∠（已知），2ABD α∴∠=∠（角平分线的定义）．DE 平分BDC ∠（已知），2BDC β∴∠=∠（角平分线的定义）222()ABD BDC αβαβ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠（等量代换）90αβ∠+∠=︒ （已知），180ABD BDC ∴∠+∠=︒（等量代换）．//AB CD ∴（同旁内角互补两直线平行）．故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．【变式7-3】．（2023春•岳池县校级期末）如图，已知点E 、F 在直线AB 上，点G 在线段CD 上，ED 与FG 交于点H ，C EFG ∠=∠，CED GHD ∠=∠．（1）求证：//CE GF ；（2）试判断AED ∠与D ∠之间的数量关系，并说明理由；（3）若100EHF ∠=︒，30D ∠=︒，求AEM ∠的度数．【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，可证//CE GF ；（2）根据平行线的性质可得C FGD ∠=∠，根据等量关系可得FGD EFG ∠=∠，根据内错角相等，两直线平行可得//AB CD ，再根据平行线的性质可得AED ∠与D ∠之间的数量关系；（3）根据对顶角相等可求DHG ∠，根据三角形外角的性质可求CGF ∠，根据平行线的性质可得C ∠，AEC ∠，再根据平角的定义可求AEM ∠的度数．【解答】（1）证明：CED GHD ∠=∠ ，//CE GF ∴；（2）解：//CE GF ，C FGD ∴∠=∠，C EFG ∠=∠ ，FGD EFG ∴∠=∠，//AB CD ∴，180AED D ∴∠+∠=︒；（3）100DHG EHF ∠=∠=︒ ，30D ∠=︒，10030130CGF ∴∠=︒+︒=︒，//CE GF ，18013050C ∴∠=︒-︒=︒，//AB CD ，50AEC ∴∠=︒，18050130AEM ∴∠=︒-︒=︒．【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．2个性质【考查题型八】垂线段的性质（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．【例8】（2023秋•婺城区期末）如图，某污水处理厂要从A 处把处理过的水引入排水渠PQ ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB ．这种铺设方法蕴含的数学原理是()。
七年级数学第二章相交线平行线全章复习人教版知识精讲
七年级数学第二章相交线、平行线全章复习人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第二章相交线、平行线全章复习教学目的：使学生能够系统掌握本章的知识，并且熟练对基础知识、基本概念的应用。
教学重点：垂线的概念与性质，平行线的判定和性质。
教学难点：推理论证的方法与格式。
教学过程：一. 复习1. 几个与角有关的概念（1）对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角、两条直线相交，构成两对对顶角。
（2）邻补角：两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角，一个角的邻补角有两个。
（3）同位角、内错角、同旁内角：两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角：①在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角；②在两条直线相同的一侧并且都在第三条直线的同旁的两个角叫做同位角；③在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。
2. 两条直线的两个特殊位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交与平行。
垂直是相交的特例。
（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，平行关系是相互的。
（3）垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
3. 本章的性质、定理、公理（1）对顶角相等（2）一个角与它的邻补角的和等于180°。
（3）垂线段最短。
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
（4）平行线的判定和性质（见表）。
（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（6）一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或互补。
4. 本章应注意的几个问题（1）垂直和垂线：垂直指两条直线的位置关系，垂线指具有垂直特性的直线。
（2）对顶角与对顶角相等：对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称；对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。
（3）对顶角相等和同位角相等：前者一定正确的，后者不一定正确，必须在附加条件（两直线平行）时才成立。
新人教版相交线与平行线总复习
期末总复习（一）——相交线与平行线第一部分：知识考点梳理考点一、同一平面内两条直线的位置关系（1）相交；（2）平行.考点二：两条直线相交的有关性质◆对顶角的定义注意：1、对顶角都是成对出现的，单独的角不能构成对顶角；2、两条直线相交构成两对对顶角；3、对顶角只有公共顶点、没有公共边，它们的两边互为反向延长线。
◆邻补角的定义注意：1、邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线；2、邻补角≠补角；3、两相交直线可以形成四对邻补角。
◆对顶角的性质：对顶角相等。
考点三、垂线及其性质◆垂直的定义两条直线相交，夹角为90°时，这两条直线的位置关系称为垂直，这两条线互为对方的“垂线”，它们的交点称为“垂足”；根据定义判断两直线是否垂直时，只需要判断其夹角是不是90°。
◆垂线的性质１、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；２、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（其它的线段称为“斜线段”）。
◆距离１、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称为点到直线的距离；２、平行线之间的距离：作平行线的垂线，两个垂足之间的线段的长度，称为平行线之间的距离。
考点四、三线八角两条直线被第三条直线所截,三种位置的角：同位角；内错角；同旁内角。
考点五、平行线及平行线的判定、性质１．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ２．平行公理及其推论：◆经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ◆平行于同一条直线的两条直线互相平行。
３．平行线的判定及性质：平行线的判定平行线的性质1、 同位角相等，两直线平行2、 内错角相等，两直线平行3、 同旁内角互补，两直线平行4、 平行于同一条直线的两直线平行5、 垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行考点六、平移及其性质平移的条件：（1）平移的方向（2）移动的距离 平移的性质：◆平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； ◆平移变换中，连结各组对应点的线段平行（或共线）且相等。
人教版七年级下册数学《相交线》相交线与平行线培优说课教学复习课件
对顶角; ……
n条直线相交于一点，有
n(n-1) ÷2
种组合方式，
产生 n(n-1) 组对顶角；
那么交点重合是否对对顶角的组数产生影响？ 不影响
即所有的直线不交于一点或相交于一点，产生对顶角的对数
是同样的，都是 n(n-1) 对。
想一想，n 条直线相交，邻补角的对数是多少呢？
2n(n-1)
角
的 名
若两角互为邻补角，则这两角相加等于180°（互补）。
证明：因为∠1与∠2互为邻补角，
A
所以∠1+∠2=180°
1
同理得：∠2+∠3=180°
∠3+∠4=180° C
∠1+∠4=180°
2
3 O4
D B
下列各图中，∠1 、∠2是邻补角吗？
1 2
12
12
12
12
观察图中的∠1和∠3。
∠1与∠3的顶点所在的位置有什么特点？
②有公共顶点; ③没有公共边
①两条直线相交而成；
②有公共顶点; ③有一条公共边 的角；
①有无公共边；
②两直线相交时，对顶角只
有两对，邻补角有四对
②都有一个公共顶点；
③都是成对出现的
第五部分 随堂演练
随堂演练
判断题: 1.如果两个角有公共顶点和一条公共边,而且这两角互为补角 , 那么它们互为邻补角. ( × ) 2.两条直线相交,如果它们所成的邻补角相等,那么一对对顶 角就互补. ( √ )
邻补角的定义：∠1和∠2有一条公共边OA，它们的另一边互为反 向延长线（∠1与∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角。
图中还有哪些邻补角？
∠1与∠4 ∠2与∠3 ∠3与∠4
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期末总复习（一）——相交线与平行线第一部分：知识考点梳理考点一、同一平面内两条直线的位置关系（1）相交；（2）平行.考点二：两条直线相交的有关性质◆对顶角的定义注意：1、对顶角都是成对出现的，单独的角不能构成对顶角；2、两条直线相交构成两对对顶角；3、对顶角只有公共顶点、没有公共边，它们的两边互为反向延长线。
◆邻补角的定义注意：1、邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线；2、邻补角≠补角；3、两相交直线可以形成四对邻补角。
◆对顶角的性质：对顶角相等。
考点三、垂线及其性质◆垂直的定义两条直线相交，夹角为90°时，这两条直线的位置关系称为垂直，这两条线互为对方的“垂线”，它们的交点称为“垂足”；根据定义判断两直线是否垂直时，只需要判断其夹角是不是90°。
◆垂线的性质１、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；２、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（其它的线段称为“斜线段”）。
◆距离１、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称为点到直线的距离；２、平行线之间的距离：作平行线的垂线，两个垂足之间的线段的长度，称为平行线之间的距离。
考点四、三线八角两条直线被第三条直线所截,三种位置的角：同位角；内错角；同旁内角。
考点五、平行线及平行线的判定、性质图1-1１．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； ２．平行公理及其推论：◆经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ◆平行于同一条直线的两条直线互相平行。
平移的条件：（1）平移的方向（2）移动的距离 平移的性质：◆平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；◆平移变换中，连结各组对应点的线段平行（或共线）且相等。
◆ 命题１．判断一件事情的句子，叫做命题。
２．每个命题都是由题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；结论由已知事项推出的事项。
３．命题需写成“如果…，那么…”的形式，具有这种形式的命题，前半句话是题设，后半句是结论。
（凡是命题都可经过分析，改写成这种形式）； ◆ 真命题，假命题的区别；【例题】1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2．如图1-1，直线AB 、CD 、EF 都经过点O ，图中有几对对顶角。
（ ）12121221３．如图1-2，若∠AOB 与∠BOC 是一对邻补角，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内部，并且∠BOE =12∠COE ，∠DOE =72°。
求∠COE 的度数。
类型二：垂线【例题】已知：如图，在一条公路l 的两侧有A 、B 两个村庄.<1>现在乡政府为民服务，沿公路开通公交汽车，并在路边修建一个公共汽车站P ，同时修建车站P 到A 、B 两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短，请你设计出车站的位置，在图中画出点P 的位置，(保留作图的痕迹)．并在后面的横线上用一句话说明道理：<2>为方便机动车出行，A 村计划自己出资修建一条由本村直达公路l 的机动车专用道路，你能帮助A 村节省资金，设计出最短的道路吗？，请在图中画出你设计修建的最短道路，并在后面的横线上用一句话说明道理． .类型三：同位角、内错角和同旁内角的判断同位角、内错角和同旁内角的位置特征： 1、同位角 位于截线同旁，被截两线的同方向； 2、内错角 位于截线两侧，被截两线之间； 3、同旁内角 位于截线同旁，被截两线之间。
【例题】1．如图3-1，按各角的位置，下列判断错误的是（ ）DBEACO（图1-2）12345678图3-1（A）∠1与∠2（C）∠5与∠62.如图3-2，与∠EFB与∠FEB【练习】题组一：1.如图4-1，若∠3=∠4，则∥；若AB∥CD,则∠ =∠。
2.已知两个角的两边分别平行，其中一个角为52°，则另一个角为_______.3．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（）A.同位角B.同旁内角C.内错角D. 同位角或内错角4．如图4-2，要说明AB∥CD，需要什么条件？试把所有可能的情况写出来，并说明理由。
题组二：出现转折角，巧添平行线5．如图4-3，EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°。
试判断AB和CD的位置关系，并说明理由。
【变式训练】图4-1图4-3⌒⌒⌒⌒A BCD1432（1）FEDCBA（图4-2）图4-4 图4-56．如图4-4，AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，求∠C的度数．7．如图4-5，CD∥BE，则∠2+∠3−∠１的度数等于多少？8．如图4-6：AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．图4-6题组三：发散与探究9．如图（1），MA 1∥NA 2，则∠A 1＋∠A 2＝_____ ______度。
如图（2），MA 1∥NA 3，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＝______ ____度。
如图（3），MA 1∥NA 4，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＝___ 度。
如图（4），MA 1∥NA 5，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＋∠A 5＝___ ______度。
从上述结论中你发现了什么规律？ 如图（5），MA 1∥NA n ，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋……＋∠A n ＝_ __度。
类型五：平行线的实际应用【练习】1． 如图5-1，一条公路修到湖边时，需要绕湖而过，如果第一次拐的角∠Ａ是120°，第二次拐的角∠B 是150°，第三次拐的角是∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 是多少度？２.某人从A 点出发向北偏东60°方向走了10米，到达B 点，再从B 点方向向南偏西15°方向走了10米，到达C 点，则∠ABC 等于（ ）A 1 A 2A 2A 1A 3A 2 图（1）图（2） MMMNNA 3A 1A 4图（3）NA 3A 1A 2A 4A 5 图（4）MN A 1A 3A 4A 5 A 2A 6A n图（5）MNC B E AD C BE A 图5-1A.45°B.75°C.105°D.135°３．一位学员练习驾驶汽车，发现两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次的拐弯角度可能是（）A第一次向右拐50°，第二次向左拐130°B第一次向左拐50°，第二次向右拐50°C 第一次向左拐50°，第二次向左拐130°D第一次向右拐50°，第二次向右拐50°４．如图5-2,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于°练习训练：1.下列命题中，真命题的个数为（）个①一个角的补角可能是锐角；②两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离；③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；A.1B.2C.3D.4类型六：逻辑推理1．已知：如图8-1，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2。
求证：∠CDG=∠B.2. 已知：如图8-2，A B∥CD，∠1=∠2，∠E=65°20′，求：∠F的度数。
E21GF D CBA3图8-1EF CD2 图5-2 D3.已知：如图8-3, AE ⊥BC , FG ⊥BC , ∠1=∠2, ∠D =∠3+60︒, ∠CBD =70︒ . (1)求证：AB ∥CD ； (2)求∠C 的度数。
（25°）4．如图8-4，在长方形ABCD 中，∠ADB ＝20°，现将这一长方形纸片沿AF 折叠，若使 AB ’ ∥BD ，则折痕AF 与AB 的夹角∠BAF 应为多少度？（55°）5. 如图8-5, B 点在A 点的北偏西30︒方向, 距A 点100米, C 点在B 点的北偏东60︒, ∠1 32 D B C A E FG 图8-3 B 'DFCBA图8-4ACB = 40(1) 求A点到直线BC的距离；(2) 问：A点在C点的南偏西多少度？(写出计算和推理过程)图8-5A。