2.1.1曲线与方程的概念
人教版【高中数学】选修2-1第二章曲线与方程的概念讲义
案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一曲线方程概念的理解1.在建立了平面直角坐标系之后,平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应关系,现在要求我们进一步研究平面内的曲线与含有两个变量的方程之间的关系.平面内的曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合(或轨迹)也就是说:(1)曲线上的每一个点都要符合某种条件;(2)每个符合条件的点都要在曲线上既然平面内的点与作为它的坐标的有序实数对之间建立了对应关系,那么对应于符合某种条件的一切点,它的坐标是应该有制约的,也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题,就变为探求这些点的横坐标与纵坐标应满足怎样的约束条件的问题,含两个变量x、y的方程F(x,y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束.2.在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系(1)和(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系(1)可知A⊆B,由关系(2)可知BCA;同时具有这两个关系,就有A=B.3.从充要条件的角度理解,即“某点在曲线上”与“点的坐标满足曲线的方程”之间是互为充要条件的.知识点二圆系方程1.曲线系:同时具有某一特征的一组曲线叫做一个曲线系;它们的共同方程叫做这个曲线系的曲线系方程2.圆系方程:(1)过两已知圆交点的圆系方程:两相交圆C:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.则过其交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).(2)过直线与圆交点的圆系方程:直线Ax+By+C=0与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交,则过其交点的圆系方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0. 典型例题分析题型1曲线的方程与方程的曲线 【例1】判断下列命题是否正确:①设点A(2,0)、B(0,2),则线段AB 的方程是x+y-2=0; ②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y=x -25; ③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x 2-y 2=0. 解析 根据曲线与方程的定义,逐条检验“两性”答案 命题①中方程x+y-2=0表示一条直线,坐标满足该方程的点如(-1,3)等不在线段AB 上,故命题①错误;命题②中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为x 2+y 2=52,方程y=x -25表示的曲线是圆x 2+y 2=25除去x 轴下半部分的曲线,故命题②错误命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,满足x 2-y 2=0,反过来坐标满足方程x 2-y=0的点到两坐标轴的距离相等,故命题③正确规律总结 判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上【变式训练1】下列命题是否正确?若不正确,说明原因 (1)过点A(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x|=2; (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x答案(1)错误,因为以方程|x|=2的解为坐标的点,不都在直线l 上,直线l 只是方程|x|=2所表示的图形的一部分(2) 错误,因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y=x 和y=-x,故y=x 不是所求的轨迹方程题型2曲线的交点【例2】求通过直线2x+y+4=0及圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,并且面积最小的圆的方程 解析 利用圆系公式可求出变圆的半径,参变量取适当值时可使变圆半径最小答案 设圆的方程是(x 2+y 2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即[x+(1+λ)2+(y+24-λ)=4161652+-λλ.设该圆半径为R,由圆面积公式S=πR 2,得R 2=4161652+-λλ取最小值的面积为最小.而R 2=45（λ-58）2+54,所以当λ=58时,圆面积最小.此时圆的方程是5x 2+5y 2+26x-12y+37=0.规律总结 最值问题要先列出目标函数,再利用合适的方法求最值【变式训练2】已知直线x+y+b=0与曲线x 2-1+y=0有公共点,则b 的取值范围是 .答案 联立两曲线方程,消去y 得x 2-x-(1+b)=0.由题意得△≥0,即1+4(1+b)≥0,解得b ≥-45规律 方法 总结1.判断方程是否是曲线方程,要从两方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上2.判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程一定要注意与原方程的等价 性,否则变形的方程表示的曲线就不是原方程的曲线,另外,变形的方法还有配方法、因式分 解法等3.在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题, 而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法),而此法的关键是如何来表示出相关的点定时 巩固 检测基础训练1.如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C 上”是不正确的,那么下列命题中正确的是 ( ) A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C 上 B.曲线C 上的点的坐标不都满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C 上,有些不在曲线C 上D.至少有一个不在曲线C 上的点,其坐标满足f(x,y)=0 【答案】D(点拨:由简易逻辑推理可得)2.已知圆C 的方程f(x,y)=0,点A(x 0,y 0)在圆外,点B(x ´,y ´)在圆上,则f(x,y)-f(x 0,y 0)+f(x ´,y ´)=0表示的曲线是 ( ) A.就是圆C B.过A 点且与圆C 相交的圆 C.可能不是圆 D.过A 点与圆C 同心的圆 【答案】D(点拨:由点B(x ´,y ´)在圆上, ∴f(x ´,y ´)=0,即方程为f(x,y)-f(x 0,y 0)=0, ∴方程过点A(x 0,y 0) 又f(x 0,y 0)为常数,∴f(x,y)-f(x 0,y 0)=0仍为圆的方程.)3.已知A(1,0),B(-1,0),动点M 满足|MA|-|MB|=2,则点M 的轨迹方程是 ( ) A.y=0(-1≤y ≤1) B.y=0(x ≥1) C.y=0(x ≤-1) D.y=0(|x|≥1) 【答案】C(点拨:由|MA|-|MB|=2可设M(x,y),则()()222211y x y x ++-+-=2整理得:y=0,又|MA|-|MB|>0,∴x ≤-1.)4.点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,则a= . 【答案】31(点拔:将点代入方程中即可.) 5.已知两定点A(-1,0),B(2,0),动点P 满足21=PB PA,则P 点的轨迹方程是 . 【答案】x 2+4x+y 2=0(点披：将|PA|与|PB|用距离公式表示出整理即可,)6.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l ,交x 轴于A 点,2l 交y 轴于B 点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】如下图,设M 点的坐标为(x ，y),则A(2x,0),B(0,2y)∵1l ⊥2l ,2l P(2,4),∴PA ⊥PB,k PA ·k PB =-1,而k PA =x x -=-12224(x ≠1),k PB =2042--y =2-y, ∴x-12·(2-y)=-1,整理得x+2y-5=0(x ≠1). ∵当x=1时,A(2.0),B(0,4∴AB 的中点M(1，2)也满足方程x+2y-5=0,综上所述,点M 的轨迹方程为x+2y-5=07.线段AB 的长度为10.它的两个端点分别在x 轴,y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹是什么? 【答案】解法一：由题意可知AB 的中点P 恒满足到原点(0,0）的题离为5,所以点P 的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆.解法二:设P 点的坐标为(x,y),由中点坐标公式知A(2x ，0),B(0,2y),因为|AB|=10,所以2244y x +=10,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨为以原点为圆心,以5为半径的圆能力提升8.如图所示的曲线方程是 （ ）A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.y x =0D.yx -1=0【答案】B(点拔:A 中y ≥0与图形不符,C 、D 中都不满足y= 0,而图形过原点,所以排除C 、D,只有B 符合题意.) 9.(1)方程(x+y-1)1-x =0表示什么曲线?(2)方程2x 2+y 2-4x+2y+3=0表示什么曲线? 【答案】(1)由方程(x+y-1)1-x =0可得⎩⎨⎧=-+≥-010,1y x x 或⎩⎨⎧=-≥-.01,01x x 即x+y-1=0(x ≥1)或x=1,表示直线x=1和射线x+y-1=0(x ≥1).(2)方程左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,∵2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0)1(,0)1(222y x 得⎩⎨⎧-==,1,1y x∴方程表示的图形是点A(1,-1).10.求经过两圆C 1：x 2+y 2+6x-16=0,C 2:x 2+y 2-4x-5=0的交点,且过点(2,1)的圆的方程. 【答案】 设圆的方为x 2+y 2+6x-16+λ（x 2+y 2-4x-5)=0又因为圆过点(2,1),代入方程得λ=81,所以所求圆的方程为x 2+y 2+6x-16+81(x 2+y 2-4x-5)=0.即9x 2+9y 2+44x-133=0.（点拨:过相交的两个圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0,C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1).11.设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为定值a(a>0),试求点P 的轨迹方程,并探求点P 的轨迹 【答案】设动点P 的坐标是(x ，y),由PBPA =a(a>0)得2222)()(yc x y c x +-++=a,简得(1-a 2)x 2+2c(1+a 2)x+c 2(1-a 2)+(1-a 2)y 2=0.当a ≠1时,得x 2+221)1(2aa c -+x+c 2+y 2=0,整理得22211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c a a x +y 2=2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ac ；当a=1时，化简得x=0,所以当a ≠1时,P 点的轨迹是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,1122c a a 为圆心，122-a ac为半径的圆:当a=1时,P 点的轨迹是y 轴.。
初中数学：2.1.1曲线与方程
2、两者间的关系：点在曲线上
点的坐标适合于此曲线的方程
通俗地说：无点不是解且无解不是点 或说点不 比解多且解也不比点多
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点
集合的 观点
在曲线C上的充要条件 是
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个 圆上的一点.
由1、2可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆 的方程.
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
一定是这个方程的解
（2）、如果
是方程
在抛物线上
的解，那么以它为坐标的点一定
分析特例归纳定义
（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y
A
0
2x
分析特例归纳定义
定义 • 给定曲线C与二元方程f（x，y）=0， 若满足
• （1）曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• （2）以这个方程的解为坐标的点都 y
是曲线上的点
选修2-1课件2.1.1曲线与方程
R
M
O Q
x
图2.5 3
证明 1 如图 2 . 5 3 , 设 M x0 , y0 是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为 | y0 |, 与y轴的距离为 | x0 |, 所以 | x0 | | y0 | k .
即x0 , y0 是方程 xy 的解.
2 设点M 1的坐标 x1 , y1
又如, 以a, b 为圆心、r 为半径的圆的方程是
y
x a 2 y b2 r 2
x a y b r 2 .这 就是说, 如果M x0 , y0 是
2 2
Mx 0 , y0
x
圆上的点, 那么它到圆心 O 的距离一定等于半径, 即
积为常数 k k 0 的点的轨迹方程 .
2 2 2 2
y
x a 2 y b2 r 2
r 的解, 即 x0 a
Mx 0 , y0
x
y0 b 2 r 2 , 也就是 x0 a 2 y0 b 2
O
图2.5 2
r , 即以这个解为坐标的点到点 a, b 的 距离为r , 它一定在以a, b 为圆心r为半径 的圆上 圆 2.5 2 .
2 2
图2.5 2
x0 a y0 b r , 2 2 也就是 x0 a y0 b r 2 , 这说明它的坐 2 2 2 标 x0 , y0 是方程 x a y b r 的解 ;
反过来, 如果 x0 , y0 是 方程 x a y b
2 .1. 1 曲线与方程
前面我们研究了直线、圆、圆锥 曲线的方程 , 讨论了这些曲线( 包 括直线)和相应的方程的关系下面 . 进一步研究一般曲线( 包括直线 ) 和方程的关系.
人教B版数学选修2-1目录
第三章空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.1.1空间向量的线性运算
3.1.2空间向量的基本定理
3.1.3两个向量的数量积
3.1.4空间向量的直角坐标运算
3.2空间向量在立体几何中的应用
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
3.2.3直线与平面的夹角
3.2.4二面角及其度量
3.2.5距离（选学）
本章小结
阅读与欣赏
向量的叉积及其性质
2.1.1曲线与方程的概念
2.1.2由曲线求出它的方程、由方程研究曲线的性质
2.2椭圆
2.2.1椭圆的标准方程
2.2.2椭圆的几何性质
2.3双曲线
2.3.1双曲线的标准方程
2.3.2双曲线的几何性质
2.4抛物线
2.4.1抛物线的标准方程
2.4.2抛物线的几何性质
2.5直线与圆锥曲线
本章小结阅读与欣赏选来自2-1第一章常用逻辑用语
1.1命题与量词
1.1.1命题
1.1.2量词
1.2基本逻辑连接词
1.2.1“且”与“或”
1.2.2“非”（否定）
1.3充分条件、必要条件和命题的四种形式
1.3.1推出与充分条件、必要条件
1.3.2命题的四种形式
本章小结
阅读与欣赏
什么是数理逻辑
第二章圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.1.1曲线与方程课件 新人教A版选修2-1
错因剖析
将方程转化变形时漏掉阴影处,即忽略了根式应有
意义
【防范措施】 合理进行转化 将方程变形时,前后应保持等价,否则,变形后的方程表示 的曲线不是原方程代表的曲线.另外当方程中含有根式时,要注 意根式必须有意义.如本例含有根式,在化简时就容易忽视根式 必须有意义而导致错误.
(3)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.
(
)
【解析】(1)错误,曲线的方程必须满足两个条件. (2)正确,根据曲线的方程和方程的曲线的概念,不满足方程 F(x,y)=0的点,显然不在曲线C上. (3)错误,以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上,如M(-4,6) 就不在线段AB上. 答案:(1)〓 (2)√ (3)〓
【拓展类型】曲线的交点问题 【备选例题】(1)若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线 x2+y2=25上,则k的值是( A.1 B.-1 )
C.1或-1
2
D.以上都不对
2
(2)求直线y=x+ 3 与曲线y= 1 x2的交点.
【解析】(1)选C.联立得方程组 (-4k,-3k),代入圆的方程中. 即(-4k)2+(-3k)2=25,所以k=〒1.
【微思考】 (1)是否所有曲线都有相应的方程? 提示:不一定,有的曲线有方程,有的曲线就没有方程.如图,随 意画一条曲线,则求不出方程与之对应.
(2)怎样判断方程是曲线的方程? 提示:判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检 验曲线上点的坐标是否都适合方程,二是检验以方程的解为坐 标的点是否都在曲线上.
f (x 0，y0 ) 0， (1)若P(x0,y0)为C1,C2交点,则 g(x 0，y0 ) 0.
课件3：2.1.1曲线与方程的概念
曲线与方程
1．曲线的方程与方程的曲线的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0 之间具有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程 F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
以上两点说明了圆上的点与方程x02+y02=r2的解之间有 一一对应关系.
我们知道，圆可以看成是一个动点M的运动轨迹，于 是在坐标平面上，当圆上一个动点M沿着该圆圆周运 动时，点M的坐标（x，y）随之点M的运动而变化， 点M运动的轨迹可以用方程x02+y02=r2来表达.
学习新知
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运 动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件 的点的轨迹方程.
【答案】B 【解析】因为点在曲线上等价于点的坐标满足曲线方 程，因此把点的坐标代入方程逐一验证即可.
课堂训练 （3）已知两圆x2＋y2－2x－3＝0和x2＋y2＋6y－1＝0， 求它们的公共弦所在的直线方程．
解：设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－2x－3＋λ(x2＋y2＋6y－1)＝0，
当λ＝－1时，方程为x＋3y＋1＝0.该方程表示两圆公 共弦所在的直线方程．
3．用集合的特征性质描述曲线 如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，则M(x，y)∈C⇔ F(x，y)＝0. 因此，方程F(x，y)＝0可以作为描述曲线C的特征性 质．曲线C用集合的特征性质可描述为C＝{M(x， y)|F(x，y)＝0}．
例题解析
例 已知两圆 C1：x2+y2+6x-16=0, C2：x2+y2-4x-5=0,
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
曲线与方程 知识讲解(非常有用)
曲线与方程编稿：辛文升审稿：孙永钊【考纲要求】1.了解轨迹的背景、含义和概念2.能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求出曲线的轨迹方程，画出某些简单方程所表示的曲线；3.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，4.掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；渗透数形结合思想。
【知识网络】轨迹数学思想与方法求轨迹方程的常用方法轨迹的概念、意义【考点梳理】【高清课堂：曲线与方程408396知识要点】考点一：曲线与方程的定义1.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（轨迹的纯粹性）；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（轨迹的完备性）；那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
2.定义的理解：设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，{(,)|(,)0}Q x y f x y ==，若设点00(,)M x y ，用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：（1）00(,)M P x y Q ∈⇒∈，即P Q ⊆；（2）00(,)x y Q M P ∈⇒∈，即Q P ⊆。
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：（1）00(,)x y Q M P ∉⇒∉；（2）00(,)M P x y Q ∉⇒∉。
显然，当且仅当P Q ⊆且Q P ⊆，即Q P =时，才能称方程0),(=y x f 为曲线C 的方程；曲线C 为方程0),(=y x f 的曲线(图形)．要点诠释：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法考点二：求曲线方程的一般步骤求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合()P M ；（3）用坐标表示条件()P M ，列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程。
2.1.1曲线与方程的概念
班级________姓名________ 时间：2011-11-16一、复习回顾1、在数学2“平面解析几何初步”一章的学习中，我们学习过坐标法，用这种方法我们在坐标系中研究了直线和圆的方程，并用方程研究直线和圆的几何性质.用坐标法研究图形性质的基本思路是借助于坐标系，把_______________联系起来，从而达到_________的结合；再通过_____对曲线的几何性质进行研究，把____问题转化为____问题来解决。
2、我们研究了直线和圆的方程，回答：（1）经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为____________（2）在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________（3）圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为_______________________.二、思考与讨论（1）圆及其方程的意义（1）⊙（O，r）的方程是如何得到的？其方程是①；（2）如果有序实数对是方程一个解，为坐标的点M一定在；解，则。
结论：⊙（O，r）上的点与方程的解是的关系。
思考与讨论（2）⊙（O，r）可以看成一个动点M运动的，当动点M运动时，点M的坐标（x,y）随着M的运动而变化，其运动轨迹可以用方程来表达。
结论：一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程常称为满足某种条件的点的。
三、曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C与一个二元方程F(x,y)=0具有如下的关系:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.那么,曲线C叫做方程F(x,y)=0的，方程F(x,y)=0叫做曲线C的。
说明：四、两曲线的交点的求法由两条曲线的方程，可求出这两条曲线的交点的坐标。
已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x,y)=0，G(x,y)=0，则交点的坐标必满足上面的两个方程；反之，若(x0,y0)是上面两个方程的公共解，则以(x0,y0) 为坐标的点必定是两条曲线的交点。
2.1.1-2.1.2曲线与方程
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
∴ y = x ( y 4)
2
2 2 2
2
∴ y x y 8 y 16 2 ∴ x 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
化简
思考:( P 练习第 3 题)
37
如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 y 轨迹方程. B
f1 ( x, y) f 2 ( x, y) f3 ( x, y) f n ( x, y) 0
则曲线C是由：
f1 ( x, y) 0, f 2 ( x, y) 0, f3 ( x, y) 0,, f n ( x, y) 0
表示的曲线的全体构成的。
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
B
C
D
①表示 B ②表示 C
③表示 D
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ) D A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是 曲线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是 全部
复习回顾:
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第一章常用逻辑用语
1.1 命题与量词
1.1.1 命题
1.1.2 量词
1.2 基本逻辑联结词
1.2.1 “且”与“或”
1.2.2 “非”（否定）
1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
本章小结
阅读与欣赏
什么是数理逻辑
第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程的概念
2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
2.2 椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程
2.2.2 椭圆的几何性质
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程
2.3.2 双曲线的几何性质
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程
2.4.2 抛物线的几何性质
2.5 直线与圆锥曲线
本章小结
阅读与欣赏
圆锥面与圆锥曲线
第三章空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量的线性运算
3.1.2 空间向量的基本定理
3.1.3 两个向量的数量积
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
3.2 空间向量在立体几何中的应用
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.4 二面角及其度量
3.2.5 距离（选学）
本章小结
阅读与欣赏
向量的叉积及其性质
附录部分中英文词汇对照表后记。
人教新课标版数学高二选修2-1课件曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的 关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假 若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球 表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体， 半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
1 2345
解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方 程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就 说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关 参数的值或范围问题.
返回
答案
探究点1 曲线与方程的概念应用 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用 例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关
系：
(1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解；
湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学课件 选修2-1 2-1-1曲线与方程
-1)x=0,3
【解题指南】解答本题,要注意题目中的隐含条件x-3≥0.
【解析】因为(x+y-1)( -1)=0,所以可得 x3
x y 或1者 0, -1=0,也就是x+y-1=0(x≥3)或x=4. 故方x 程3表示0 一条射线和一x 条3直线.
第二十页，编辑于星期日：十五点 四十五分。
【拓展提升】
x1
x2
1 2
,
又∵A(x1,y1),B(x2,y2)都在x直1 x线2 y=x32+. 3上,
∴y1=x1+3,y2=x2+3,∴y2-y1=x2-x1,
第二十七页，编辑于星期日：十五点 四十五分。
∴|AB|= x2 x1 2 y2 y1 2
= 2 x2 x1 2 2[ x1 x2 2 4x1x2]
1-|x|≥0即-1≤x≤1,
∴方程表示如图所示的两条线段.
第二十三页，编辑于星期日：十五点 四十五分。
类型 三 曲线的交点问题
【典型例题】
1.若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上,则k的值是( )
A.1
B.-1
C.1或-1
D.以上都不对
2.求直线y=x+3被抛物线y=2x2截得的线段的长度.
∴ AB (1 3 )2 (2 9 )2 5 2 .
∴所截线段的长为 2
2
2
52
.
2
x
3， 2
y3).,992，
22
第二十六页，编辑于星期日：十五点 四十五分。
方法二:设直线y=x+3与抛物线y=2x2的交点坐标为
A(x1,y1),B(x2,y2),则由方程组
2.1.1曲线与方程
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1
探究点二 由方程判断曲线 例 2 下列方程表示如图所示的直线，对吗？ 为什么？不对请改正． (1) x－ y＝0；(2)x2－y2＝0； (3)|x|－y＝0.
2．1.1
曲线与方程
1．对于曲线和方程的概念要了解． 2．理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会 “曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义．
通过直线与方程、 圆与方程理解曲线与方程的关系； 利用数形结合，直观体会曲线上点的坐标与方程解的关 系.
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1
探究点一 曲线与方程的概念 引言：在必修 2 的直线与方程、圆与方程中，讨论了曲线 与方程的关系，同学们有了一定的感性认识．这一节的主 要目的是对曲线与方程的关系有一个更加系统、完整的认 识． 问题 1 直线 y＝ x 上任一点 M 到两坐标轴距离相等吗？
解 (1)中曲线上的点不全是方程 x－ y＝0 的解， 如点 (－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程 的解”这一结论； (2)中，尽管“曲线上的坐标都是方程的解”，但以方程 x2－y2＝0 的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，－2) 等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这 一结论；
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1
跟踪训练 2 方程 x2＋xy＝x 的曲线是 A．一个点 C．一条直线 B．一个点和一条直线 D．两条直线
( D )
解析 ∵方程可化为 x(x＋y)＝x，即 x(x＋y－1)＝0， ∴x＝0 或 x＋y－1＝0，因此方程的曲线是两条直线
学案8：2.1.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程学习目标1．结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系．2．了解数与形结合的基本思想．学习重点：理解曲线的方程和方程的曲线的概念．学习难点：曲线和方程通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系．学习过程自学导引曲线的方程与方程的曲线1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上⇔____________；②点P不在曲线C上⇔____________.3．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝__________；(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．想一想：如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，能否认为f(x0，y0)＝0是点P0(x0，y0)在曲线上的充要条件？名师点睛曲线的方程与方程的曲线概念的理解(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．(3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程.例题解析例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k .变式训练1、若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是()．A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点2、判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝r2－x2；(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.3、求方程(x＋y－1)x－1＝0所表示的曲线．4、方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是()．课堂作业一、选择题1．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )2．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A ．y ＝x 与y 2＝xB ．y ＝x 与x y＝1 C ．y 2－x 2＝0与|y |＝|x |D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x4．已知点A (－2,0)，B (2,0)，C (0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( )A ．x ＝0B ．x ＝0(0≤y ≤3)C ．y ＝0D ．y ＝0(0≤x ≤2)5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝4 (x >0)C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2 (0<x <2)6．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则下列说法正确的是( )A ．曲线C 的方程是F (x ，y )＝0B ．方程F (x ，y )＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上二、填空题7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 8．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为______________________________．9．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是________________．三、解答题10．已知平面上两个定点A ，B 之间的距离为2a ，点M 到A ，B 两点的距离之比为2∶1，求动点M 的轨迹方程．11．动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．课堂小结1．曲线C 的方程是f (x ，y )＝0要具备两个条件：①曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解；②以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x ，y )，所得方程会随坐标系的不同而不同．3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．参考答案学习过程知识梳理1．(2)曲线的方程 方程的曲线2．①f (x 0，y 0)＝0 ②f (x 0，y 0)≠03．(1)(x ，y ) (2){M |p (M )} (3)坐标想一想： 能．由曲线方程的定义可知，如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充分必要条件是f (x 0，y 0)＝0.例题解析例1证明：（1）如图，设M (x 0，y 0)是轨迹上的任意一点.因为点M 与x 轴的距离为 0y ，与y 轴的距离为 0x ， 所以00x y k =即(x 0，y 0)是方程xy =±k 的解.设点M 1的坐标（x 1,y 1）是方程xy =±k 的解，则x 1y 1=±k ，即 11x y k =变式训练1、D 【解析】∵题设命题只说明“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，并未指出“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”，∴A ，B ，C 都是假命题，如曲线C ：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f (x ，y )＝x 2－y 2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A ，B ，C 的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D 是正确的．2、解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2.两边开平方取算术平方根，得x 20＋y 20＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(r 2，－32r )在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2.(2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是l 的方程，直线l 的方程为x ＝2.3、解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －1≥0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.规律方法 判断方程表示什么曲线，需对方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解法或化为我们所熟悉的形式，然后根据方程的特征进行判断．4、C【解析】方程x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy <0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．课堂作业一、选择题1．B 【解析】可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．2．C 【解析】方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．故选C.3．C 【解析】考虑x 、y 的范围．4．B 【解析】直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．5．D 【解析】注意所求轨迹在第四象限内．6．C 【解析】直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法C.特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然A 、B 、D 中的说法都不正确．7．16－83 28．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0【解析】设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1， 即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹方程为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.9．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝010．解以两个定点A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．由于|AB |＝2a ，则设A (－a,0)，B (a,0)， 动点M (x ，y )．因为|MA |∶|MB |＝2∶1，所以x ＋a 2＋y 2∶x －a 2＋y 2＝2∶1，即x ＋a 2＋y 2＝2x －a 2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 所以所求动点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 11．解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎨⎧ x ＝x 0＋32y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3y 0＝2y ， 又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.。
选修2-1教案2.1.1曲线与方程 2
教学要求：理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识．教学重点：求曲线的方程教学难点：掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法教学过程：一、复习准备：1. 动一动：画出函数y=2x 2(-1≤x ≤2)的图象C2. 提问：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l ，并写出其方程二、讲授新课：1. 教学曲线与方程：① 提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．能否写成y =|x |，为什么？ ②曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二元方程F (x ,y )=0之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是方程F (x ,y )=0的解；2．以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点，都是曲线C 上的点，那么，方程F (x ,y )=0叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程F (x ,y )=0的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法．4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．（请学生再认真阅读一遍课本中的定义，真正弄懂曲线方程的概念．）③讲解例1：点P (1,a )在曲线x 2+2xy -5y =0上，则a =_______________．练习：1。
A (1,0)，B (0,1)，线段AB 的方程是x +y -1=0吗？2．由到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y -5=0吗？3．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？2. 小结1、什么是曲线的方程、方程的曲线；2、两个条件缺一不可（请学生说出哪两个条件）三、巩固练习：1、以O 为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2、下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 222x y x x-=- (3) log a x y a = (4) y =sin(arcsin x )3、画出方程()(0x y x +=的曲线．4、设集合{(,)|0}A x y x =，{(,)|0}B x y y ==，则A ⋂B 表示的曲线是____________________，A ⋃B 表示的曲线是____________________．教学目标：(1)掌握求曲线的方程的步骤；(2)会根据具体条件正确写出曲线的方程．教学重点： 求方程的步骤, 正确写出曲线的方程．教学难点：正确写出曲线的方程.教学过程：一、复习准备：1、已知曲线C 的方程为 y=2x 2 ；①现曲线C 上有点A （1，2），A 的坐标是不是y=2x 2 的解？点（0.5,t)在曲线上,则t=___.②已知方程y=2x 2 的一组解为 28x y =⎧⎨=⎩，以这组解为坐标的点B （2，8）——（在/不在）曲线C 上？2、曲线包括直线,曲线与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、讲授新课：1．自17世纪笛卡尔发明了坐标系后,人们开始用代数的方法来研究几何.我们这节课就来学习求曲线的方程.例1：有一圆，它的圆心为O ，半径长为4r =，试写出此圆的方程。
§2.1.1 曲线与方程
§2.1.1 曲线与方程
复习回顾: 复习回顾
我们研究了直线和圆的方程. 我们研究了直线和圆的方程 1.经过点 经过点P(0,b)和斜率为 的直线 的方程 和斜率为k的直线 经过点 和斜率为 的直线L的方程
y = kx +b 为____________ 2.在直角坐标系中 平分第一、三象限的 在直角坐标系中,平分第一 在直角坐标系中 平分第一、
直线方程是______________ 直线方程是 x-y=0 3.圆心为 圆心为C(a,b) ,半径为 的圆 的方程 半径为r的圆 圆心为 半径为 的圆C的方程
( x − a ) + ( y − b) = r 为_______________________.
2 2 2
为什么? 为什么?
思考? 思考?
课后作业： 金榜》素能综合检测（ 课后作业：《金榜》素能综合检测（九）
练习:若命题“曲线 上的点的坐标满足方程 练习 若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 若命题 f(x,y)=0”是正确的 则下列命题中正确的是 D) 是正确的,则下列命题中正确的是 是正确的 则下列命题中正确的是( A.方程 方程f(x,y)=0 所表示的曲线是 所表示的曲线是C 方程 B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线 上 的点都在曲线C上 坐标满足 C.方程 方程f(x,y)=0的曲线是曲线 的一部分或是曲 的曲线是曲线C的一部分或是曲 方程 的曲线是曲线 线C D.曲线 是方程 曲线C是方程 曲线 是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 的曲线的一部分或是全 部
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1
y
y
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时 曲线与方程
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的 轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上 的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.
2.1.1曲线与方程(张用)
因而满足方程
x0 2 y0 2 r
，即x2+y2=r2.
这就是说(x0, y0)是此方程的一个解；
如果点(x0, y0)不在⊙(O, r)上，则必有，
x0 y0 r
2 2
即有x2+y2≠r2. (x0, y0)就不会是方程 x2+y2=r2的解。
（2）如果(x0, y0)是方程x2+y2=r2的一个解， 则可以推得， x0 2 y0 2 r
不是 (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+ y =0;
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1 的点集其方程为y= 是
y
1
y
1
y
1
-1
0
x 1
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
⑵
⑶
提问：说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2
的距离的积为常数k（k>0）的点的轨迹方程.
课堂小结
“曲线方程”的概念 ：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点 那么，这个方程叫做曲线方程；
课堂练习
1.下面各对方程中表示的曲线相同的 一对是（ C ）. （A） y2=x与y=x
（B）y=x与 y / x=1
果点 M（x0，y0）是这条直线上的任一点，它
到坐标轴的距离相等，
即 x0 = y0，那么，
点 M（ x0，y0 ）
M(x0，y0)
是方程 x - y=0的解.
(纯粹性)
M(x0，y0)
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圆锥曲线与科研、生活、以及 人类生活有着密切的关系.
早在16，17世纪之交，开普勒就 发现行星绕太阳运行是一个椭圆.
喷泉喷出 美丽的抛物线
发电厂冷却塔 的外形是双曲线
平面解析几何研究的主要问题是： (1) 根据已知条件，求出表示平面曲线的 方程； (2) 通过方程，研究平面曲线的性质． 用坐标系研究图形性质的基本思路是， 借助于坐标系，把点与坐标，曲线与方程 联系起来，从而达到形与数的结合；再通 过方程对曲线的几何性质进行研究，把几 何问题转化为代数问题来解决。
可以用方程x2+y2=r2来表达。
一般地，一条曲线可以看成动点运动的 轨迹，曲线的方程又常称为某种条件的点 的轨迹方程。 一个二元方程总可以通过移项写成F(x， y)=0的形式。其中F(x，y)是关于x, y的解 析式，例如y=x2可以写成x2－y=0的形式。
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方 程F(x，y)=0之间具有下列关系： （1）曲线C上的点的坐标都是方程F(x， y)=0的解； （2）以方程F(x，y)=0的解为坐标的点 都在曲线C上。 那么曲线C叫做方程F(x，y)=0的曲线， 方程F(x，y)=0叫做曲线C的方程。
的距离的积为常数k（k>0）的点的轨迹方程.
例4：
已知等腰三角形三个顶点的坐标
分别是A（0，3），B（-2，0），C（2， 0）.
问：中线AO（O为原点）所在直线的
方程是 x = 0吗？为什么？
解：是，由图可知，等 腰三角形ABC的边BC上 的中线AO所在直线的方 程是：x=0 这里的“曲线”指的是三角形 ABC中BC的中线所在的直线x=0是
7. P(m+1，m+4)在曲线y=x2+5x+3上，则
m的值为 －1或－5 。
8. “点M在曲线y=|x|上”是“点M到两坐 充分不必要 标轴距离相等”的 条件。
9. 已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线 (x－2)2+y2=3上，则α的值为
.
5 或 3 3
10.已知△ABC的面积为4，A、B两点的
这就是说，如果曲线C的方程是F(x, y)=0. 则M (x，y)∈C F(x，y)=0.
因此方程F(x，y)=0可作为描述曲线C的 特征性质。曲线C用集合特征性质描述法， 可以描述为C={ M (x，y)| F(x，y)=0}.
在坐标系选定以后，曲线被它的方程所 惟一确定，但曲线的方程表示不是惟一的， 除与我们选取的坐标系有关外，在同一坐 标系下，还会有同解方程。
3 2 2 9 9 25 2 (x ) y 2 1 (1 )
2
因为方程中等号右端大于0，所以它是
一个圆的方程，两圆的交点坐标满足已知
圆的方程，当然也满足这个方程。因此此 方程表示的圆通过两圆交点。
例2. 已知曲线C上的点的坐标都是方程f(x， y)=0的解，则下列命题中正确的是（ ） (A)D 满足方程f(x，y)=0的点都在曲线C上
3. 曲线y=
1 4
x2与x2+y2=5的交点是（ B ）
(A) (2，1) (B) (±2，1) (C) (2，1)或(2 5，5) (D) (±2，1)或(±2 5 ，5)
4. 命题“曲线S上的点的坐标满足方程 F(x，y)=0”是正确的，则下列命题正确的 一个是（ D ） (A)方程F(x，y)=0的曲线是S
导入新课
观察与分析
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的 平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面 的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥 曲线的夹角，会得到什么呢？
双曲线
抛物线 椭圆
观察与分析
如图：以上三个不垂直于圆锥轴的
平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不
同时，可以得到不同的截口曲线，他们
分别是抛物线，双曲线，和椭圆. 因此我们通常把抛物线，双曲线和 椭圆统称为圆锥曲线.
坐标分别是（－2，0）、（2，0）， 则顶点C的轨迹方程是 y=2和 y =－2 ______________ .
11.已知直线x+3y-7=0，
kx-y-2=0和x轴、y轴围成
四边形有外接圆，求k. 解：如图，设围成四边形为OABC， 因OABC有外接圆，且∠AOC＝90°， 故∠ABC＝90°. ∴两条直线x+3y-7=0,kx – y – 2 = 0互
y A
B
O C
x
这条曲线的方程.
在理解什么是“曲线”时，要注 意曲线是满足条件的图形；在理解 “方程”时，要注意方程包含对其中
未知数的限制.比如本例题中，三角形A NhomakorabeaC中BC
的中线的方程是x=0（0≥y≥3）.
课堂练习
1. 下列各组方程中表示相同曲线的是 （ D ）
y (A) y x, x 1
由两条曲线的方程，可求出这两条曲线 的交点的坐标。 已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x， y)=0，G(x，y)=0，则交点的坐标必须满 足上面两个方程，反之如果(x0, y0)是上面 两个方程的公共解，则以(x0, y0)为坐标的 点必定是两条曲线的交点。因此求两条曲 线C1和C2的交点坐标，只要求方程组
即点M(x0, y0)到圆心的距离等于r，点M 在⊙(O, r)上； 如果(x0, y0)不是方程x2+y2=r2.的解，则 可以推出 x0 2 y0 2 r
即点M(x0, y0)不在⊙(O, r)上。
以上两点说明了⊙(O, r)上的点与方程 x2+y2=r2的解之间有一一对应关系。 我们知道⊙(O, r)可以看成一个动点M 运动的轨迹，于是在坐标平面上，当⊙(O, r)上一个动点M运动时，点M的坐标(x, y) 随着点M的运动而变化，点M运动的轨迹
与y轴的距离为|x0|，所以
R O Q
M
|x0| · 0|=k，即（x0，y0）是 |y
方程 x y=±k的解. 如图2.1-3
（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程xy=±k
的解则x1y1=±k 即|x1|· 1|=k，|x1|，|y1|正是点 |y M1到纵轴和横轴的距离，因此点M1到这两条 直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点. 由（1）（2）可知x y =±k是与两条坐标
(B) 点P不在直线l上，但在圆M上
(C) 点P在直线l上，也在圆M上
(D) 点P不在直线l上，也不在圆M上
例3：
证明：与两条坐标轴的
距离的积是常数k（k>0） 的点的轨迹方程是xy=±k 的解. R O Q
M
图2.1-3
证明：
（1）如图2.1-3，设M（x0，y0）
是轨迹上的任一点.
因为点M与x轴的距离为|y0|，
因而满足方程
x0 2 y0 2 r
，即x2+y2=r2.
这就是说(x0, y0)是此方程的一个解；
如果点(x0, y0)不在⊙(O, r)上，则必有，
x0 y0 r
2 2
即有x2+y2≠r2. (x0, y0)就不会是方程 x2+y2=r2的解。
（2）如果(x0, y0)是方程x2+y2=r2的一个解， 则可以推得， x0 2 y0 2 r
F ( x, y ) 0 G ( x , y ) 0
的实数解就可以得到。
思考与推论： 下面两个命题正确吗？ （1）到两条坐标轴距离相等的点的轨迹 方程是y=x； 不正确 （2）如图，MA和MB分别 是动点M(x，y)与两定点 A(－1，0)，B(1，0)的连线， A 使∠AMB为直角的动点轨迹 -1 方程是：x2+y2=1. 不正确
y M(x, y)
B x O 1
例1. 已知两圆C1：x2+y2+6x－16=0，C2： x2+y2－4x－5=0， 求证：对任一不等于－1的实数λ，方程 x2+y2+6x－16+λ(x2+y2－4x－5)=0是通过两 圆交点的圆的方程。 证明：方程x2+y2+6x－16+λ(x2+y2－4x－ 5)=0可以变形为 (1+λ)x2+(1+λ)y2+(6－4λ)x－16－5λ=0, 因为λ≠－1，得
(B) y x, y x (D)
2
(C)
| y || x |,
y x
| y || x |, y 2 x 2
2. 已知直线l：x+y－3=0及曲线C：(x－ 3)2+ (y－2)2=2，则点M(2，1)（ B ）
(A) 在直线l上，但不在曲线C上 (B) 在直线l上，也在曲线C上 (C) 不在直线l上，也不在曲线C上 (D) 不在直线l上，但在曲线C上
(B) 满足方程F(x，y)=0的点都在曲线S上
(C)曲线S是方程F(x，y)=0的轨迹 (D)方程F(x，y)=0的曲线不一定是S
5. 方程4x2－y2+4x+2y=0表示的曲线是 （ C） (A) 一个点 (B) 两条互相平行的直线 (C) 两条相交但不垂直的直线 (D) 两条相互垂直的直线
6. 经过两圆2x2+2y2－3x+4y=0与x2+y2+ 2x+6y－6=0的交点的直线方程为 7x+8y－12=0 。
让我们回顾一下圆及其方程的意义。 如图，以点O为圆心，半径为r(r>0)的圆， 记作⊙(O, r)，以O为原点建立直角坐标系 xOy，我们可以得到圆的方程x2+y2=r2.
上述圆的方程表示的意义是： （1）设M(x0, y0)是⊙(O, r) 上任意一点，则它到圆心O 的距离等于r，
y M(x 0, y 0) r x O
1 相垂直，(- )· k=-1，即k=3. 3