高中数学课时跟踪检测十四向量的加法新人教B版必修0
最新人教B版高中数学必修第二册第六章6.1.2 向量的加法
成立的条件.
微思考
(1)物理学中,位移的合成与分解遵循什么法则?
提示 位移的合成与分解,都遵循平行四边形法则.
(2)两个不共线向量相加是模相加吗?
提示 不是.因为向量既有大小,又有方向,所以两个向量相加不是模相加.由
则 + = ,作 = ,连接,
则 = + + ,如图所示.
探究二
向量加法运算律的应用
例2化简下列各式:
(1) + + + + ;
(2)( + )+ + + .
分析根据向量加法的交换律使各向量首尾连接,再运用向量加法的结合律
确.对于 B 选项,根据向量加法的平行四边形法则可知, + = ,结论正
确.对于 C 选项,由于 + = ,故结论错误.对于 D 选项, = ,所以
+ = + = =0,结论正确.故选 C.
3.向量( + )+( + )+化简后等于
名师点析 对向量加法的运算律的理解
1.向量的加法与实数加法类似,都满足交换律和结合律,当向量a,b中至少有
一个为零向量时,交换律和结合律依然成立.
2.由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按
照任意的次序与任意组合来进行.例
如:(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
高中人教B第二册案：6.1.2 向量的加法含解析
【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：6.1.2向量的加法含解析6.1。
2向量的加法素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解向量和的定义．2．掌握向量加法的法则．3．了解多个向量相加．4．理解向量加法的运算律．5．了解和向量模的不等式．1。
通过学习和向量定义，培养学生的数学抽象素养．2．通过向量加法的运算,培养学生的直观想象、数学运算素养．必备知识·探新知知识点向量加法的定义及其运算法则（1）向量加法的定义定义：求两个向量和的运算．（2)向量求和的法则三角形法则已知向量a,b，在平面内任取一点A，作错误!＝a，错误!＝b作出向量错误!，则向量__错误!__称为a 与b的和，记作a＋b，即a＋b＝错误!＋错误!＝错误!．平行四边形法则已知两个__不共线__向量a，b，作错误!＝a,错误!＝b，以__错误!__，__错误!__为邻边作□ABCD，则对角线上的向量错误!＝__a＋b__.__≤__｜a＋b|__≤__｜a|＋|b|．思考：(1）向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的?和向量的起点与终点是怎样的？（2）利用向量求和的三角形法则时,若向量a，b中有零向量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？(3)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗?(4)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？提示：（1）求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．(2）对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝A．当两向量共线时,仍可以使用三角形法则求和．（3)不可以,因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量．（4)求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量．知识点多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为__始点__，最后一个向量的终点为__终点__的向量，就是这些向量的和,如图所示．知识点向量加法的运算律交换律结合律a＋b＝b＋（a＋b)＋c＝a＋(b＋c）a思考：（a＋b）＋(c＋d)＝(a＋d）＋(b＋c)成立吗?提示：成立，向量的加法运算满足交换律和结合律,因此在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合去进行．关键能力·攻重难题型探究题型向量的加法法则┃┃典例剖析__■典例1(1）如图,在△ABC中,D，E分别是AB，AC上的点,点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD,那么(在横线上只填上一个向量）：①错误!＋错误!＝__错误!__；②错误!＋错误!＝__错误!__．(2)下列说法正确的是__①③__．①若|a｜＝3, |b｜＝2, 则｜a＋b|≥1,②若向量a,b共线，则|a＋b｜＝|a|＋｜b|，③若｜a＋b|＝|a|＋｜b|,则向量a，b共线．(3)如图所示,已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋C．［解析](1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!；②错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!．（2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确,即③正确．（3)a、b、c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量,因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一：(三角形法则)：如图（1)所示，作错误!＝a,错误!＝b，则错误!＝a＋b，再作错误!＝c,则错误!＝错误!＋错误!＝(a＋b）＋c，即错误!＝a＋b＋C．解法二：（平行四边形法则）：∵a、b、c不共线，如图（2）所示．在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b,以错误!、错误!为邻边作□OADB，则对角线错误!＝a＋b，再作错误!＝c，以错误!、错误!为邻边作□OCED．则错误!＝a＋b＋C．规律方法:1。
2019-2020学年新教材高中数学课时跟踪检测二十四向量基本定理新人教B版必修
课时跟踪检测（二十四） 向量基本定理A 级——学考水平达标练1．(多选题)设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )A ．与B ．与AD ―→ AB ―→ DA ―→ BC ―→ C ．与D ．与CA ―→ DC ―→ OD ―→ OB ―→解析：AC 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，与不共线，与不共线；而AD ―→ AB ―→ CA ―→ DC―→ ∥，∥，故A 、C 可作为基底．DA ―→ BC ―→ OD ―→ OB―→ 2.如图所示，矩形ABCD 中，若＝5e 1，＝3e 2，则等于( )BC ―→ DC ―→ OC―→ A.(5e 1＋3e 2)12B.(5e 1－3e 2)12C.(3e 2＋5e 1)12D.(5e 2－3e 1)12解析：选A ＝＝(＋)＝(＋)＝(5e 1＋3e 2)．OC ―→ 12AC ―→ 12BC ―→ AB ―→12BC ―→ DC―→ 123．对于向量a ，b 有下列表示：①a＝2e ，b ＝－2e ；②a＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a＝4e 1－e 2，b ＝e 1－e 2；25110④a＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③ B ．②③④C ．①③④D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，12则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．4．设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3，则( )BC ―→ CD―→ A ．＝－＋ B ．＝－AD ―→13AB ―→ 43AC ―→ AD ―→ 13AB ―→ 43AC ―→ C ．＝＋D ．＝－AD ―→ 43AB ―→ 13AC ―→ AD ―→ 43AB ―→ 13AC ―→解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.AD ―→ AC ―→ CD ―→ AC ―→ 13BC ―→ AC ―→ 13AC ―→ 13AB ―→13AB ―→ 43AC―→ 5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( )A. B ．－1212C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)，则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴Error!∴λ＝－.126．设向量e 1与e 2不共线，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数x ＋y ＝________.解析：∵向量e 1与e 2不共线，∴Error!解得Error!所以x ＋y ＝7.答案：77．如果3e 1＋4e 2＝a,2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为已知向量，则e 1＝________，e 2＝________.解析：由Error!解得Error!答案：3a －4b 3b －2a8.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，那么用与可表示为＝________.EF ―→ AB ―→ AD ―→ EF―→ 解析：因为＝，＝＝－，所以＝＋EC ―→ 12AB ―→ CF ―→ 23CB ―→ 23AD ―→ EF ―→ EC―→＝CF ―→ 12－.AB ―→ 23AD ―→ 答案：－12AB ―→ 23AD―→ 9．已知向量a ，b 不共线，若＝λ1a ＋b ，＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，试探求实数AB ―→ AC―→ λ1，λ2满足的关系式．解：∵A ，B ，C 三点共线，∴＝k (k ≠0)．AB ―→ AC―→∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b .又∵a ，b 不共线，∴Error!∴λ1λ2＝1.10．已知：在四边形ABCD 中，＝a ＋2b ，＝－4a －b ，＝－5a －3b ，求证：四边形AB ―→ BC ―→ CD―→ ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵＝＋＋＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )AD ―→ AB ―→ BC ―→ CD―→ ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴＝2，∴与共线，且||＝2|AD ―→ BC ―→ AD ―→ BC ―→ AD―→ |.BC ―→ 又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．B 级——高考水平高分练1．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C 不妨令a ＝，b ＝，则a －b ＝－＝，由平行四边形法则可知CA ―→ CB ―→ CA ―→ CB ―→ BA―→ ＝e 1－3e 2.BA―→ 2．已知向量＝a ＋3b ，＝5a ＋3b ，＝－3a ＋3b ，则( )AB ―→ BC ―→ CD―→ A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B ＝＋＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2，由于与有公共点B ，因此BD ―→ BC ―→ CD ―→ AB ―→ BD ―→ AB―→ A ，B ，D 三点共线．3.如图所示向量，，的终点在同一直线上，且＝OA ―→ OB ―→ OC ―→ AC―→－3，设＝p ，＝q ，＝r ，则下列等式中成立的是( )CB ―→ OA ―→ OB ―→ OC―→ A ．r ＝－p ＋q B ．r ＝－p ＋2q 1232C ．r ＝p －qD ．r ＝－q ＋2p3212解析：选A ∵＝－3，∴＝－2＝2.∴r ＝＝＋＋＝＋AC ―→ CB ―→ AB ―→ CB ―→ BC ―→ OC ―→ OA ―→ AB ―→ BC ―→ OA―→ ＋＝＋(－)＝－＝－p ＋q .AB ―→ 12AB ―→ OA ―→ 32OB ―→ OA ―→32OB ―→ 12OA―→ 12324.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若＝m ，＝n ，则m ＋n 的值AB ―→ AM ―→ AC ―→ AN―→ 为______．解析：＝(＋)＝＋. ∵M ，O ，N 三点共线，AO ―→ 12AB ―→ AC ―→m 2AM ―→ n 2AN―→ ∴＋＝m 2n21，∴m ＋n ＝2.答案：25.如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上的一点，若＝m ＋，求实数m 的值．AN ―→ 13NC ―→ AP ―→ AB ―→ 211AC―→解：＝＋＝＋＝m ＋，AP ―→ AN ―→ NP ―→ 14AC ―→ NP ―→ AB ―→ 211AC ―→ ∴＝m －.NP ―→ AB ―→ 344AC ―→ 又＝＋＝＋(－)＝－，NB ―→ NC ―→ CB ―→ 34AC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ 14AC ―→ 设＝λ (0≤λ≤1)，则λ－λ＝m －，∴m ＝λ＝.NP ―→ NB ―→ AB ―→ 14AC ―→ AB ―→ 344AC―→3116．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：＝＋.AM ―→ 34AB ―→ 14AC―→ (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设＝x ＋y ，求x ，y 的值．BO ―→ BM ―→ BN―→解：(1)如图，由＝＋可知M ，B ，C 三点共线，AM ―→ 34AB ―→ 14AC―→ 令＝λ⇒＝＋＝＋λ＝＋λ(BM ―→ BC ―→ AM ―→ AB ―→ BM ―→ AB ―→ BC ―→ AB―→ －)＝(1－λ)＋λ⇒λ＝，AC ―→ AB ―→ AB ―→ AC―→14所以＝，即面积之比为1∶4.S △ABM S △ABC 14(2)由＝x ＋y ⇒＝x ＋，＝＋y ，由O ，M ，A 三点共线及BO ―→ BM ―→ BN ―→ BO ―→ BM ―→ y 2BA ―→ BO ―→ x 4BC ―→ BN―→ O ，N ，C 三点共线⇒Error!⇒Error!。
2019-2020人教B版数学必修4课时分层作业14 向量的加法
课时分层作业(十四) 向量的加法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2A [依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.]2.如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →C [设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.]3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形D [根据题意，由于在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋BC →. 又∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故其为平行四边形．]4．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝ 2|AO →|＝2|AB →|＝2.]5．下列结论中，正确结论的个数为( )(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；(2)在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；(4)若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B [当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确．]二、填空题6．若|a |＝|b |＝1，则|a ＋b |的取值范围为________． [0,2] [由||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |，知0≤|a ＋b |≤2.]7．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ， 则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)， 因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]8．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．|a|＝|b| [当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角．]三、解答题9.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.[证明] 连接EF (图略)，由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →＝0.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．[解] 如图，作OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|OC →|＝300 (N)，所以|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|·cos 60°＝150(N)，故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[等级过关练]1．在以下各命题中，不正确的命题个数是( ) (1)任一非零向量的方向都是唯一的； (2)|a |－|b |<|a ＋b |；(3)若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；(4)已知A 、B 、C 为平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．]2．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则下面结论正确的是( )A.AE →＝AD →＋F A →B.DE →＋AF →＝0C.AB →＋BC →＋CA →≠0D.AB →＋BC →＋AC →≠0D [容易判断AB →＋BC →＋AC →＝2AC →≠0.故选D.]3．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________，3 [如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3，∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.]4.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.2 [∵AD DB ＝AE EC ＝12，∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1. 如图所示，作CF →＝ED →，连接DF ， 则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2.]5．如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.。
2024_2025学年新教材高中数学课时作业22向量的加法新人教B版必修第二册
课时作业(二十二) 向量的加法一、选择题1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A ．AB → B ．BC →C ．CD → D ．DA →2．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示( )A ．向东走10 kmB ．向南走10 kmC ．向东南走10 kmD ．向东南走5 2 km3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( )A ．与向量a 方向相同B ．与向量a 方向相反C ．与向量b 方向相同D ．不确定4．已知O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( )A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心二、填空题5．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________．6．化简：(1)(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．(2)BC →＋AB →＝________；(3)AO →＋BC →＋OB →＝________；(4)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________．7．若|a |＝|b |＝1，则|a ＋b |的取值范围为________，当|a ＋b |取得最大值时，向量a ，b 的方向________．三、解答题8．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .9.如图，在△ABC 中，O 为重心，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，化简下列三式： (1)BC →＋CE →＋EA →；(2)OE →＋AB →＋EA →；(3)AB →＋FE →＋DC →.[尖子生题库]10．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且|AB →|＝|AD →|＝1，|OA →|＝32，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12.求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.课时作业(二十二) 向量的加法1．解析：因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A.答案：A2．解析：如图所示，＝a ＋b ，||＝5，||＝5，且AB ⊥BC ，则||＝52，∠BAC ＝45°. 答案：D3．解析：假如a 和b 方向相同，则它们的和的方向应当与a (或b )的方向相同；假如它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．答案：A4．解析：因为＋是以，为邻边作平行四边形的对角线，且过AB 的中点，设为D ，则＋＝2，所以2＋＝0，所以||＝13||， 故点O 为△ABC 的重心．答案：B5．解析：由向量加法的三角形法则，得＋＝，即a ＋b ＋c ＝＋＋＝0.答案：06．解析：(1)原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝.(2)＋＝＋＝.(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.(4)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0答案：(1) (2) (3) (4)07．解析：由||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |知0≤|a ＋b |≤2. 当|a ＋b |取得最大值时，向量a ，b 的方向相同．答案：[0，2] 相同8．解析：(1)作＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，如图(1)；(2)作＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，如图(2)；(3)作＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，如图(3).9．解析：(1)＋＋＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.10．解析：因为＋＝＋＝0，所以＝，＝.所以四边形ABCD 是平行四边形．又||＝||＝1，知四边形ABCD 为菱形，又cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0°，180°)，所以∠DAB ＝60°，所以△ABD 为正三角形．所以|＋|＝|＋|＝||＝2||＝3，|＋|＝||＝||＝1.。
人教B版高中数学必修四高一同步训练：2.1.2向量的加法.docx
2.1.2 向量的加法一、基础过关1． 已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( )A ．向东南航行 2 kmB ．向东南航行2 kmC ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km2． 如图在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →3． a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可4． 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →5． 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 36． 在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.7． 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形．8． 如图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 二、能力提升9． 已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________． 10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形．三、探究与拓展13．在日本3·11大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．答案1．A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.07．证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形． 8． 证明 ∵P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →＋0＋0＝4PO →. ∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 9． 8 10.011．解 如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5. ∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →， 所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等， 所以四边形AECF 是平行四边形．13．此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处。
2018-2019学年人教B版高中数学-必修4-课时跟踪检测(十四)向量的加法(Word)
课时跟踪检测（十四）向量的加法层级一学业水平达标1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝a B．AB＋BC＋AC＝0C．AB＋BA＝0 D．CA＋AC＝OA＋CO＋AC解析：选B由向量加法可知AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC.2．(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于()A．BC B．ABC．AC D．AM解析：选C原式＝AB＋MB＋BO＋BC＋OM＝(AB＋BC)＋(MB＋BO＋OM)＝AC＋0＝AC.3．下列各式不一定成立的是()A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝aC．AC＋CB＝AB D．|a＋b|＝|a|＋|b|解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.4．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于() A．25B．4 5C．12 D．6解析：选B因为AB＋AD＝A AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故答案是4 5.5．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是() A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．6．PQ ＋OM ＋QO ＋MQ ＝________.解析：原式＝PQ ＋QO ＋OM ＋MQ ＝PQ ＋QM ＋MQ ＝PQ .答案：PQ7．已知正方形ABCD 的边长为1，AB ＝a ，AC ＝c ，BC ＝b ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析：|a ＋b ＋c |＝|AB ＋BC ＋AC |＝|AC ＋AC |＝2|AC |＝2 2.答案：2 28.如图，在平行四边形ABCD 中，(1) AB ＋AD ＝________；(2) AC ＋CD ＋DO ＝________；(3) AB ＋AD ＋CD ＝________；(4) AC ＋BA ＋DA ＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为AC .(2) AC ＋CD ＋DO ＝AD ＋DO ＝AO .(3)A AB ＋AD ＋CD ＝AC ＋CD ＝AD .(4) AC ＋BA ＋DA ＝BA ＋AC ＋DA ＝BC ＋DA ＝0.答案：(1) AC (2) AO (3) AD (4)09.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA的中点，化简下列各式：①DG ＋EA ＋CB ；②EG ＋CG ＋DA ＋EB .解：①DG ＋EA ＋CB ＝GC ＋BE ＋CB ＝GC ＋CB ＋BE ＝CB ＋BE ＝GE . ②EG ＋CG ＋DA ＋EB ＝EG ＋GD ＋DA ＋AE ＝ED ＋DA ＋AE ＝EA ＋AE ＝0.10．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝i i A A 1＋ (i ＝1,2，…，7)，b j ＝j OA (j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.解：因为OA 3＋OA 7＝0，所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝23A A ＋56A A ＋OA 2＋OA 5＋OA 7＝(OA 2＋23A A )＋(OA 5＋56A A )＋OA 7＝OA 6＝b 6.层级二 应试能力达标1.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )A ．FD ＋DA ＝FAB ．FD ＋DE ＋EF ＝0C ．DE ,＋DA ＝ECD ．DA ＋DE ＝FD解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，DA ＋DE ＝DF ≠FD .2．下列命题错误的是( )A ．两个向量的和仍是一个向量B ．当向量a 与向量b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不同向，且|a ＋b |＜|a |＋|b |C ．当向量a 与向量b 同向时，a ＋b ，a ，b 都同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．如果向量a ＝b ，那么a ，b 有相同的起点和终点解析：选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A 、B 、C 都正确；D 错误，如平行四边形ABCD 中，有AB ＝DC ，起点和终点都不相同．3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＝PC ，则下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P 在△ABC 的外部解析：选D PA ＋PB ＝PC ，根据平行四边形法则，如图，则点P 在△ABC 外部．4．下列命题正确的是( )。
2019-2020学年高一数学人教B版必修4课时作业：2.1.2 向量的加法 Word版含解析
60°，|AB |＝1，则|BC ＋，在Rt △AOB 中，AB为重心，化简下列三式： EA ＝BA →.＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝＝OE →＋EB →＝OB →. AD →＋DC →＝AC →.(限时：30分钟)1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案：A2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(P A →＋BQ →)B ．(AB →＋PC →)＋(BA →＋CQ →) C.PC →＋CD →＋DQ → D.P A →＋AB →＋QB →解析：根据向量加法的运算律与向量加法法则知A ，B ，C 可化简为PQ →，D 中P A →＋AB →＋QB →＝PB →＋QB →≠PQ →.答案：D3．下列说法：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中正确说法的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①错，若a ＋b ＝0时，方向是任意的；②正确；③错，A ，B ，C 三点共线时也满足；④错，|a ＋b |≤|a |＋|b |.答案：B4．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 的方向相同 B ．与向量a 的方向相反 C ．与向量b 的方向相同 D ．与向量b 的方向相反解析：根据向量加法的几何意义，a ＋b 的方向应与a 的方向一致． 答案：A5．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．不确定解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|.＋PB＝PC，则∠ACB＝，则四边形APBC是平行四边形．120°.．设在平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、HABC中，由三角形中位线定理知，同向，的河中，如果要使船以10 3OB →表示垂直于对岸横渡的方向，CB 且∠OBC ＝90°，知|，方向与水流方向成120°角．．如图所示，用两根绳子把重为10 N 的物体W 吊在水平柱处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计B 处所受的力，10 N 的重力用＝53(N)，．B 处所受力的大小为。
2019-2020年人教B版数学必修四课时分层作业14 向量的加法+Word版含解析
课时分层作业(十四) 向量的加法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2A [依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.]2.如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →C [设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.]3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形D [根据题意，由于在四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋BC →. 又∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故其为平行四边形．]4．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝ 2|AO →|＝2|AB →|＝2.]5．下列结论中，正确结论的个数为( )(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；(2)在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；(4)若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B [当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确．]二、填空题6．若|a |＝|b |＝1，则|a ＋b |的取值范围为________． [0,2] [由||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |，知0≤|a ＋b |≤2.]7．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ， 则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)，因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]8．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．|a|＝|b| [当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角．]三、解答题9.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.[证明] 连接EF (图略)，由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →＝0.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．[解] 如图，作OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|OC →|＝300 (N)，所以|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|·cos 60°＝150(N)，故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[等级过关练]1．在以下各命题中，不正确的命题个数是( ) (1)任一非零向量的方向都是唯一的； (2)|a |－|b |<|a ＋b |；(3)若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；(4)已知A 、B 、C 为平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．]2．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则下面结论正确的是( )A.AE →＝AD →＋F A →B.DE →＋AF →＝0C.AB →＋BC →＋CA →≠0D.AB →＋BC →＋AC →≠0D [容易判断AB →＋BC →＋AC →＝2AC →≠0.故选D.]3．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________，3 [如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.]4.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.2 [∵AD DB ＝AE EC ＝12，∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1. 如图所示，作CF →＝ED →，连接DF ， 则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2.]5．如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.。
人教新课标版数学高一B版必修4学案 向量的加法
2.1.2 向量的加法1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？答 不是．两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模．2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a＋b )＋c＝a＋(b＋c ).要点一 向量的加法运算例1 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →＝________. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝________.(3)▱ABCD 中(如图)，对角线AC 、BD 交于点O . 则①AD →＋AB →＝________； ②CD →＋AC →＋DO →＝________； ③AB →＋AD →＋CD →＝________； ④AC →＋BA →＋DA →＝________.答案 (1)AD → (2)0 (3)①AC → ②AO → ③AD →④0 解析 (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A → ＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0. (3)①AD →＋AB →＝AC →，②CD →＋AC →＋DO →＝CO →＋AC →＝AO →， ③AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →， ④AC →＋BA →＋DA →＝DC →＋BA →＝0.规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．跟踪演练1 如图，E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，化简下列各式： (1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解 (1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0. 要点二 利用向量证明几何问题例2 在▱ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F 、E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形． 证明 ∵AE →＝AB →＋BE →， FC →＝FD →＋DC →.又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．规律方法 用向量证明几何问题的一般步骤： (1)要把几何问题中的边转化成相应的向量； (2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系． 跟踪演练2 下列命题①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①如果a ，b 的方向相同则a ＋b 的方向必与a ，b 相同．如果a ，b 的方向相反，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0，它的方向任意，①错误．②正确．③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 三点可能共线，③错误．④错误．要点三 向量加法的实际应用例3 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝ |AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.规律方法 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答． 跟踪演练3 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA →表示水流的速度，MN →表示小船实际过河的速度． 设MC ⊥MA ，|MA →|＝|MB →|＝10，∠CMN ＝30°. ∵MA →＋MB →＝MN →， ∴四边形MANB 为菱形． 则∠AMN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|BN →|＝|MN →|＝|MB →|＝10，∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°，∴∠CMB ＝30°， ∴小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西30°.1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反 答案 A解析 a ∥b 且|a |>|b |>0，∴当a 、b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a 、b 反向时，∵|a |>|b |，∴a ＋b 的方向仍与a 相同． 2．下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．① D ．③ 答案 B解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确． AB →＋BA →＝AA →＝0，②不正确．DC →＋AB →＋BD →＝DC →＋(AB →＋BD →)＝DC →＋AD → ＝AD →＋DC →＝AC →，③正确． 3.设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式： (1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝______； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 答案 (1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →4．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 ∵AP →＝AB →＋BP →， AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →， 即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．一、基础达标1．下列三个命题：①若a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，则a ＝c ；②AB →＝CD →的等价条件是点A 与点C 重合，点B 与点D 重合；③若a ＋b ＝0且b ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 答案 B解析 ①中，∵a ＋b ＝0，∴a 、b 的长度相等且方向相反．又b ＋c ＝0，∴b 、c 的长度相等且方向相反，∴a 、c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ，①正确．②中，当AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有点A 与点C 重合，点B 与点D 重合，故②错．③显然正确．2．如图，在▱ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A 4.如图所示，在▱ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 答案 C解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 答案 D解析 因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →. 6．已知|OA →|＝|OB →|＝1，且∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝________. 答案3解析 如图所示，OA →＋OB →＝OC →， |OA →＋OB →|＝|OC →|，在△OAC 中，∠AOC ＝30°， |OA →|＝|AC →|＝1，∴|OC →|＝ 3.7．设O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．证明：OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →. 证明如图所示，因为OA →＝OD →＋DA →，OB →＝OE →＋EB →，OC →＝OF →＋FC →， 所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →＋DA →＋EB →＋FC →. 因为D ，E ，F 分别为各边的中点， 所以DA →＋EB →＋FC →＝12(BA →＋CB →＋AC →)＝0.所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →. 二、能力提升8．已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD → D.AC →＋AD →＝DC → 答案 C解析 对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.9．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．答案 20,4解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______. 答案 0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度． 解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.12．已知四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明 如图所示．AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →.又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →，∴AB ∥DC ，且AB ＝DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．三、探究与创新13．在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置． 解如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →，在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，在Rt △ACD 中，|AC →|＝ |AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价二十四向量的加法新人教B版必修
课时素养评价二十四向量的加法(20分钟·40分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019·烟台高一检测)如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++=( )A. B.C. D.【解析】选B.++=++=.2.化简+++的结果等于( )A.0B.C.D.【解析】选A.+++=0.3.在四边形ABCD中,=+,则一定有( )A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形【解析】选D.由=+得=,即AD=BC,且AD∥BC,所以四边形ABCD一组对边平行且相等,故为平行四边形.4.在矩形ABCD中,AB=,BC=1,则向量++的长等于 ( )A.2B.2C.3D.4【解析】选D.矩形ABCD中,AB=,BC=1,所以AC=2,因为++=++=+=2,所以其长度为4.二、填空题(每小题4分,共8分)5.若|a|=|b|=1,则|a+b|的取值范围为________,当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向________.【解析】由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知0≤|a+b|≤2. 当|a+b|取得最大值时,向量a,b的方向相同.答案:[0,2] 相同6.已知平行四边形ABCD,设+++=a,且b是一非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是________.【解析】因为在平行四边形ABCD中,+=0,+=0,所以a为零向量,因为零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以①③正确,②④错误.答案:①③三、解答题7.(16分)如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.【解析】如题图,设,分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行800 km,则飞机飞行的路程指的是||+||;两次飞行的位移的和指的是+=.依题意,有||+||=800+800=1 600(km),又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,所以||===800(km).其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.答:飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°.(15分钟·30分)1.(4分)已知O是△ABC内的一点,且++=0,则O是△ABC的( )A.垂心B.重心C.内心D.外心【解析】选B.因为+是以,为邻边作平行四边形的对角线,且过AB的中点,设为D,则+=2,所以2+=0,所以||=||,故点O为△ABC的重心.2.(4分)若四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是( )A.+=B.+=C.+=D.+=【解析】选A.因为四边形ABCD为菱形,所以+=,+≠,+≠,+≠.3.(4分)(2019·湖州高一检测)当非零向量a,b满足________时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.【解析】当|a|=|b|时,以a与b为邻边的平行四边形为菱形,则其对角线上向量a+b平分此菱形的内角.答案:|a|=|b|4.(4分)已知=a,=b,且|a|=|b|=3.∠AOB=60°,则|a+b|=________.【解析】如图,根据平行四边形法则,四边形OACB为平行四边形,又因为||=||=3,所以四边形OACB为菱形.连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.因为∠AOB=60°,所以AB=||=3,所以在Rt△BDC中,CD=,所以|a+b|=||=×2=3.答案:35.(14分)如图,已知向量a,b,c,d.(1)求作a+b+c+d.(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.【解析】(1)如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.(2)在平面内任取一点O,作=a,=e,则a+e=+=,因为e为单位向量,所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示),由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,所以||即|a+e|最大,最大值是3.。
高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：2.1.2向量的加法含解析
向量的加法课时过关 ·能力提高1.如图,等于()A.0B.0C.2D.-2答案 :B2.在四边形ABCD 中 ,若,且 | |=||,则四边形ABCD 为 ()A. 梯形B. 菱形C.矩形D. 正方形分析 :由知四边形ABCD 为平行四边形 ,又对角线AC=BD ,故四边形ABCD 为矩形 .答案 :C3.已知 a,b 为非零向量 ,且 |a+b|=|a|+|b| ,则 ()A. a∥ b,且 a 与 b 方向同样B.a,b 是共线向量C.a=-bD.a,b 不论什么关系均可答案 :A4.设 a,b 为非零向量 ,以下说法不正确的选项是()A. 若 a 与 b 反向 ,且 |a|>|b| ,则向量 a+b 与 a 的方向同样B.若 a 与 b 反向 ,且 |a|<|b| ,则向量 a+b 与 a 的方向同样C.若 a 与 b 同向 ,则向量 a+b 与 a 的方向同样D.若 a 与 b 同向 ,则向量 a+b 与 b 的方向同样答案 :B5.设 ()+ ()= a,而 b 是一个非零向量,则以下结论中 ,正确的有 ()①a∥ b;②a+b=a ; ③a+b=b ;④|a+b|<|a|+|b|.A. ①③B. ②③C.②④D. ①②分析 :由已知得a= 0,因此 a∥ b,a+b=0+b=b .答案 :A6.以下等式错误的选项是()A. a+ 0= 0+a= aB.= 0C.D.()+()+分析:=2,故B错.答案 :B7.如图 ,在正六边形ABCDEF 中 ,= ()A.0B.C.D.分析:.答案 :D8.如图 ,已知梯形ABCD ,AD∥ BC,则=.答案 :9.若 | a|= 4,|b|= 5,则 |a+b|的取值范围是.分析 :因为 ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| ,则 1≤|a+b| ≤9.答案 :[1,9]10.已知 | |=| a|= 3,||=| b|= 3,∠ AOB= 60°,求 |a+b |.解 : 如图 ,以为邻边作平行四边形OACB,则=a+b .∵||=||= 3,∴平行四边形OACB 为菱形 .连结 OC,AB,则 OC⊥ AB.∵∠ AOB= 60°,∴AB=||= 3.∴在 Rt△BDC 中 ,CD=.∴|a+b |=||=×2= 3.★11.我们知道在△ABC 中,= 0,反过来 ,三个不共线的非零向量a,b,c 知足什么条件时 ,按序将它们的终点与始点相连可构成一个三角形?解 : 当 a+b+c = 0 时 ,按序将它们的终点与始点相连可构成一个三角形.可作= a,=b,则,于是+ c=0,即 c 与方向相反,大小同样,也即 c= .故 a,b,c 可构成一个三角形.。
高中数学人教B版必修4：课时跟踪检测(十三) 向量的概念 Word版含答案
课时跟踪检测（十三）向量的概念]层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()AB．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2.如图，在圆O()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选CC.3()ABCD．以上说法都不正确解析：选B故选B.4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C3个．5．已知向量a ，b a ，b 同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )A B ．C 1 D解析：选D 由于a 与b A 、B 选项1＝C 错D 对．6|＝1|＝2，若∠ABC ＝90°________.解析：由勾股定理可知，BC ＝AC 2－AB 2＝3＝ 3. 答案： 37.如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取222的向量个数是______．解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为22，在其22的向量有2个，所以共8个．答案：88．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)．解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b .答案：①③④9.如图，O 是正方形ABCD 的中心．(1)(2)解：(1)(2)10.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)(2)所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是()A BC D解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：ABCD EF2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．终点相同的两个向量不共线C．若a≠b，则a一定不与b共线D．零向量的长度为0解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．3.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()A．一组B．二组C．三组D．四组解析：选A4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是()A(不含AB)B9个(C模的3倍D解析：选D A A正确；B项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC9个，正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝32DA，所以BD＝3DA，故C项正确；D项，因为四边形ABCD D项错误，选D.5．四边形ABCD|ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．解析：∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形．ABCD是矩形．答案：矩形6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四________________________．(填图中所画出的向量)解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)长度相等的向量．(2)相等的向量．(3)解：(1)(2)(3)8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 0；(2)x ，y ＝1.解：(1)0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－22. (2)如图，由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－22，所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有2＋＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1，即 1.同理可得，当B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，|AB 2|＝1.综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－2＝1.。
人教新课标版数学高一-人教B版必修4精练 向量的加法
第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A ．BC → B ．AB →C ．AC →D ．AM →C原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →. 2．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同 B∵a 与b 方向相反，且|a |<|b |时，a ＋b 与a 的方向相反，a ＋b 与b 的方向相同，故B 不正确．3．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．以上都不对 C由向量加法的平行四边形法则知，若a ＋b 平分a 与b 的夹角，则四边形是菱形，因此|a |＝|b |.4．(2015·四川德阳市第五中学高一月考)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A ．AD →＋BE →＋CF →＝0 B ．BD →＋CF →＋DF →＝0 C ．AD →＋CE →＋CF →＝0D ．BD →＋BE →＋FC →＝0A∵D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，∴DE ∥AC ，DF ∥BC ． ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴ED →＝CF →.又AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝DE →＋ED →＝0，故选A ．5．已知下列各式：①AM →＋M B →＋B A →；②A B →＋C A →＋B D →＋D C →；③O A →＋O C →＋BO →＋C O →.其中结果为零向量的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3CAM →＋M B →＋B A →＝0，A B →＋C A →＋B D →＋D C →＝A B →＋B D →＋D C →＋C A →＝0，O A →＋O C →＋B O →＋C O →＝O A →＋B O →，故选C ．6．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 D在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋BC →， 又AC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 二、填空题7．如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋BC →＝________.OC →OA →＋AB →＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →. 8．根据右图填空： b ＋c ＝________； a ＋d ＝________；b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________. af f b δ由向量加法的多边形法则可知． 三、解答题9.已知下图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力F 1＝24 N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力F 2＝12 N ．求F 1和F 2的合力．如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F ＝F 1＋F 2＝OC →.在△OCA 中，|F 1|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°， ∴∠OCA ＝90°.∴|OC →|＝12 3.∴F 1与F 2的合力为12 3 N ，与F 2成 90°角竖直向上．10．两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1＝40N ，方向向东，F 2＝403N ，方向向北，求它们的合力．如图所示，OA →表示F 1，OB →表示F 2，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →表示合力F .易知F ＝80N ，合力F 与F 1的夹角为60°.一、选择题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”向量b 表示“向南航行1 km ”则a ＋b 表示( ) A ．向东南航行 2 km B ．向东南航行2 km C ．向东北航行 2 km D ．向东北航行2 kmA如图所示，故选A ．2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |C 如图，a ＋b ＝c ，|a ＋b |＝|c |，a ＋d ＝b ，b ＋d ≠a ，故选C ．3．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ． 2 D ．2 2D∵AB →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |， ∵|c |＝2，∴|a ＋b ＋c |＝22，故选D ．4.如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋CD →＋BC →等于( )A ．DO →B ．OD →C ．BD → D ．DB →BOA →＋AB →＋CD →＋BC →＝OA →＋AB →＋BC →＋CD →＝OB →＋BC →＋CD →＝OC →＋CD →＝OD →. 二、填空题5．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________．3如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.6.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.2∵AD DB ＝AE EC ＝12，∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1，如图所示，作CF →＝ED →，连DF ， 则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2. 三、解答题7．如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.解法一：AP →＝AB →＋BP →，BQ →＝BC →＋CQ →，CR →＝CA →＋AR →.又∵P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 的中点，∴BP →＝12BC →，CQ →＝12CA →，AR →＝12AB →，∴AP →＋BQ →＋CR →＝(AB →＋BC →＋CA →)＋12BC →＋12CA →＋12AB →＝32(AB →＋BC →＋CA →)＝0.解法二：AP →＝12(AB →＋AC →)，BQ →＝12(BA →＋BC →)，CR →＝12(CA →＋CB →)， ∴AP →＋BQ →＋CR →＝12(AB →＋AC →＋BA →＋BC →＋C A →＋CB →)＝0.8. 轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40 n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40 n mile 到达C 处．求此时轮船关于A 港的相对位置．如下图，AB →、BC →分别表示轮船的两次位移，则AC →表示轮船的和位移，AC →＝AB →＋BC →.在△ADB 中，∠ADB ＝90°，∠DAB ＝30°，|AB →|＝40， 所以|DB →|＝20，|AD →|＝20 3.在△ADC 中，∠ADC ＝90°，|DC →|＝60， 所以|AC →|＝|AD ―→|2＋|DC ―→|2＝(203)2＋602＝403(n mile)．因为|AC →|＝2|AD →|，所以∠CAD ＝60°.答：轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港403n mile的C处．。
人教B版高中数学必修四课时跟踪检测：第2章 平面向量 2.1.1
第二章 2.1 2.1.1 向量的概念课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．下列说法正确的是( )A.AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．长度相等的向量叫相等向量C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在同一条直线上的向量答案：C2．已知，a ，b 都是单位向量，则下列说法正确的是( )A ．a ＝bB.|a |＝|b | C ．如果a 和b 平行，则a ＝bD.a ＞b答案：B3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( )A ．相等的向量B.平行的向量 C ．有相同起点的向量 D.模相等的向量 解析：由正方形性质可知|AO →|＝|BO →|＝|OC →|＝|OD →|.答案：D4．下列说法正确的是( )A ．若|a |＞|b |，则a ＞bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两条：方向相同与|a |＝|b |，所以B 不正确；C 正确；共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确． 答案：C5．设e 1，e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )A ．e 1＝e 2 B.e 1>e 2C ．e 1＝－e 2D.|e 1|＝|e 2|答案：D 6.如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，设AE →＝a ，DA →＝b ，则与a 相等的向量有________；与b 相等的向量有________；与a 平行的向量有__________；与b 共线的向量有________．解析：根据平行四边形的性质求解，注意向量相等与共线的区别．答案：FC → CB → BE →，FD →，FC →，DC →，CD → EF →，CB →7．如图，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出__________个互不相等的非零向量．解析：可设AD 的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中AB →＝BC →＝CD →，BA →＝CB →＝DC →；长度为2的向量有4个，其中AC →＝BD →，CA →＝DB →；长度为3的向量有2个，分别是AD →和DA →，所以最多可以写出6个互不相等的向量．答案：68．如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是过点O 且平行于AB 的线段．(1)写出图中的各组共线向量；(2)写出图中的各对同向向量；(3)写出图中的各对反向向量．解：(1)向量DC →、BA →、EO →、OF →、EF →为一组共线向量，向量AO →、OC →、AC →为一组共线向量，向量OD →、BD →为一组共线向量，向量AE →、ED →、AD →为一组共线向量，向量BF →、FC →、BC →为一组共线向量．(2)向量DC →与EO →、OF →、EF →为同向向量，向量AO →与OC →，AC →为同向向量，向量AE →与ED →、AD →为同向向量，向量BF →与FC →、BC →为同向向量．向量OD →与BD →为同向向量．(3)DC →与BA →、BA →与EO →、BA →与OF →、BA →与EF →互为反向向量．[B 组 技能提升]1．下列命题中，真命题是( )A ．若两个向量不相等，则这两个向量的长度必不相等B ．若两个向量不相等，则这两个向量的方向必不相同C ．若两个向量不相等，则这两个向量一定不平行D ．若两个向量不相等，则这两个向量一定不能用同一条有向线段表示 解析：长度相等方向不同的向量也不相等，故A 错；方向相同长度不等的向量也不相等，故B 错；平行的向量可以方向相反或长度不等，这样也是不等的向量，所以C 错；两个向量若能用同一条有向线段表示，则它们相等，故D 是真命题．答案：D2．把平面上所有的单位向量平移到相同的始点上，那么它们的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B.一段圆弧 C ．两个孤立点D.一个圆答案：D3．若向量a 与b 是两个不平行的向量，a ∥c 且b ∥c ，则c 为________． 解析：只有零向量与任何不平行的向量都平行．若c 为非零向量，又向量a 与b 不平行，则a ，b 也为非零向量，由a ∥c ，b ∥c ，得a ∥b ，这与已知矛盾，故c 为零向量．答案：零向量4．河中水流自西向东每小时10 km ，小船自南岸A 点出发，想要沿直线驶向正北岸的C 点，并使它的实际速度达到每小时10 3 km ，该小船行驶的方向和静水速度分别为________．解析：如图，AB →表示“正东10 km/h ”，AC →表示“正北10 3 km/h ”；在直角△CAB 中，tan ∠CBA ＝|AC ||AB |＝10310＝3，∴∠B ＝60°，∴小船应向北偏西30°方向行驶，静水速度为20 km/h.答案：北偏西30°，静水速度为20 km/h5.如图所示，四边形ABCD 为矩形，设点的集合M ＝{A ，B ，C ，D }，试用列举法表示集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}．解：T ＝{AC →，CA →，AB →，BA →，AD →，DA →，BD →，DB →，BC →，CB →，CD →，DC →}．6．把平面内所有平行于同一直线l 的向量的起点平移到直线外一点O 处，它们的终点会构成什么图形？解：平行于直线l的向量都平行，将它们的起点移到一点后，它们在一条直线上，由于长度不同，它们的终点构成过O点的平行于l的一条直线．由Ruize收集整理。
新课程同步人教B高中数学必修第二册练习：课时跟踪检测二十一 向量的加法 含解析
课时跟踪检测（二十一） 向量的加法A 级——学考水平达标练1.如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP ―→＋OQ ―→＝( )A ．OH ―→B ．OG ―→C ．FO ―→D ．EO ―→解析：选C OP ―→＋OQ ―→＝FO ―→.2．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 的方向相同 B ．与向量a 的方向相反 C ．与向量b 的方向相同D ．不确定 解析：选A 若a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；若它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．3．下列命题错误的是( ) A ．两个向量的和仍是一个向量B ．当向量a 与向量b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不同向，且|a ＋b |＜|a |＋|b |C ．当向量a 与向量b 同向时，a ＋b ，a ，b 都同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．如果向量a ＝b ，那么a ，b 有相同的起点和终点解析：选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A 、B 、C 都正确；D 错误，如平行四边形ABCD 中，有AB ―→＝DC ―→，起点和终点都不相同．4．若在△ABC 中，AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，且|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝2，则△ABC 的形状是( ) A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形D ．等腰直角三角形解析：选D 由于|AB ―→|＝|a |＝1，|BC ―→|＝|b |＝1，|AC ―→|＝|a ＋b |＝2，所以△ABC 为等腰直角三角形，故选D.5．在矩形ABCD 中，已知|AB ―→|＝4，|BC ―→|＝2，则向量AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的模等于( ) A ．2 5 B ．4 5 C ．12D ．6解析：选B 因为AB ―→＋AD ―→＝AC ―→，所以AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的长度为AC ―→的模的2倍，故答案是4 5.6．PQ ―→＋OM ―→＋QO ―→＋MQ ―→＝________.解析：原式＝PQ ―→＋QO ―→＋OM ―→＋MQ ―→＝PQ ―→＋QM ―→＋MQ ―→＝PQ ―→. 答案：PQ ―→7．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA ―→＋BC ―→＋AB ―→＝________.解析：OA ―→＋BC ―→＋AB ―→＝OA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝OC ―→. 答案：OC ―→8．若向量a ，b 满足|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值是__________． 解析：||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，a ，b 异向共线，此时|a ＋b |的最小值为4. 答案：49．如图所示，求：(1)a ＋d ；(2)c ＋b ；(3)e ＋c ＋b ；(4)c ＋f ＋b . 解：(1)a ＋d ＝d ＋a ＝DO ―→＋OA ―→＝DA ―→； (2)c ＋b ＝CO ―→＋OB ―→＝CB ―→；(3)e ＋c ＋b ＝e ＋(c ＋b )＝e ＋CB ―→＝DC ―→＋CB ―→＝DB ―→； (4)c ＋f ＋b ＝CO ―→＋OB ―→＋BA ―→＝CA ―→.10.如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝A i A i ＋1―→(i ＝1,2，…，7)，b j ＝OA j ―→(j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.解：因为OA 3―→＋OA 7―→＝0，所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝A 2A 3―→＋A 5A 6―→＋OA 2―→＋OA 5―→＋OA 7―→＝(OA 2―→＋A 2A 3―→)＋(OA 5―→＋A 5A 6―→)＋OA 7―→＝OA 6―→＝b 6.B 级——高考水平高分练1．(多选题)已知平行四边形ABCD ，设AB ―→＋CD ―→＋BC ―→＋DA ―→＝a ，且b 是一非零向量，则下列结论中正确的是( )A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＜|a |＋|b |解析：选AC ∵在平行四边形ABCD 中，AB ―→＋CD ―→＝0，BC ―→＋DA ―→＝0，∴a 为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴A 、C 正确， B 、D 错误．2．在平行四边形ABCD 中，若|BC ―→＋BA ―→|＝|BC ―→＋AB ―→|，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形D ．不确定解析：选B 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ―→＋BA ―→＝BD ―→，BC ―→＋AB ―→＝AC ―→.又|BC ―→＋BA ―→|＝|BC ―→＋AB ―→|，所以|BD ―→|＝|AC ―→|.所以该平行四边形ABCD 为矩形．3.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB ―→＋FE ―→＋CD ―→|等于________．解析：∵正六边形ABCDEF 中，AB ―→＝ED ―→，CD ―→＝AF ―→，∴AB ―→＋FE ―→＋CD ―→＝ED ―→＋FE ―→＋AF ―→＝AF ―→＋FE ―→＋ED ―→＝AD ―→，∵|AB ―→|＝1，∴|AD ―→|＝2.答案：24．若a 等于“向东走8 km ”，b 等于“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________ km ，a ＋b 的方向是________．解析：如图所示，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则AC ―→＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则|AC ―→|＝82，∠BAC ＝45°.答案：8 2 北偏东45°5.如图，已知向量a ，b ，c ，d . (1)求作a ＋b ＋c ＋d .(2)设|a |＝2，e 为单位向量，求|a ＋e |的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA ―→＝a ，AB ―→＝b ，BC ―→＝c ，CD ―→＝d ，则OD ―→＝a ＋b ＋ c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA ―→＝a ，AB ―→＝e ， 则a ＋e ＝OA ―→＋AB ―→＝OB ―→， 因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，即O ，A ，B 1三点共线时， |a ＋e |最大，最大值是3.。
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学习资料汇编
课时跟踪检测（十四）向量的加法
层级一学业水平达标
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a B．AB＋BC＋AC＝0
C．AB＋BA＝0 D．CA＋AC＝OA＋CO＋AC
解析：选B 由向量加法可知AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC.
2．(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于( )
A．BC B．AB
C．AC D．AM
解析：选C 原式＝AB＋MB＋BO＋BC＋OM
＝(AB＋BC)＋(MB＋BO＋OM)
＝AC＋0＝AC.
3．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a
C．AC＋CB＝AB D．|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
4．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于( ) A．2 5 B．4 5
C．12 D．6
解析：选B 因为AB＋AD＝A AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故答案是4 5.
5．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是( ) A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
解析：选A ∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
6．PQ＋OM＋QO＋MQ＝________.
解析：原式＝PQ＋QO＋OM＋MQ＝PQ＋QM＋MQ＝PQ.
答案：PQ
7．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋AC|＝|AC＋AC|＝2|AC|＝2 2.
答案：2 2
8.如图，在平行四边形ABCD中，
(1) AB＋AD＝________；
(2) AC＋CD＋DO＝________；
(3) AB＋AD＋CD＝________；
(4) AC＋BA＋DA＝________.
解析：(1)由平行四边形法则可知为AC.
(2) AC＋CD＋DO＝AD＋DO＝AO.
(3)A AB＋AD＋CD＝AC＋CD＝AD.
(4) AC＋BA＋DA＝BA＋AC＋DA＝BC＋DA＝0.
答案：(1) AC(2) AO(3) AD(4)0
9.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
化简下列各式：
①DG＋EA＋CB；
②EG＋CG＋DA＋EB.
解：①DG＋EA＋CB＝GC＋BE＋CB＝GC＋CB＋BE＝CB＋BE＝GE.
②EG＋CG＋DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝EA＋AE＝0.
10．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝i i A A 1＋ (i ＝
1,2，…，7)，b j ＝j OA (j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.
解：因为OA 3＋OA 7＝0，
所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7
＝23A A ＋56A A ＋OA 2＋OA 5＋OA 7
＝(OA 2＋23A A )＋(OA 5＋56A A )＋OA 7
＝OA 6＝b 6.
层级二 应试能力达标
1.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等
式中不正确的是( )
A ．FD ＋DA ＝FA
B ．FD ＋DE ＋EF ＝0
C ．DE ,＋DA ＝EC
D ．DA ＋D
E ＝FD
解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，DA ＋DE ＝DF ≠FD .
2．下列命题错误的是( )
A ．两个向量的和仍是一个向量
B ．当向量a 与向量b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不同向，且|a ＋b |＜|a |＋|b |
C ．当向量a 与向量b 同向时，a ＋b ，a ，b 都同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |
D ．如果向量a ＝b ，那么a ，b 有相同的起点和终点
解析：选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A 、B 、C 都正确；D 错误，如平行四边形ABCD 中，有AB ＝DC ，起点和终点都不相同．
3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＝PC ，则下列结论中正确的是( )
A ．P 在△ABC 的内部
B ．P 在△AB
C 的边AB 上
C ．P 在AB 边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D PA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点
P在△ABC外部．
4．下列命题正确的是( )
A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同B．若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点
C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥b
D．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0
解析：选C 当a＋b＝0时，A选项不正确；若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则a＋b与a不共线，故C选项正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|＞|b|)，故D选项不正确．
5．O为三角形ABC内一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是三角形ABC的________心．解析：∵OA＋OB＋OC＝0，
∴OA＋OB＝－OC＝CO，
此时OA与OB共起点，
∴以OA，OB为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，
则OA＋OB＝2OD，
即2OD＝CO，
∴O是三角形ABC的重心．
答案：重
6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b 的方向是________．
解析：如图所示，设AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则|AC|＝82，∠BAC＝45°.
答案：8 2 km 北偏东45°
7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB
＋AC＝AP＋AQ.
证明：AB＝AP＋PB，
AC＝AQ＋QC，
∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.
∵PB与QC大小相等，方向相反，
∴PB＋QC＝0，
故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.
8.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为模为1的向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b ＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝e，
则a＋e＝OA＋AB＝OB，
因为e为模为1的向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
所以|OB|即|a＋e|最大，最大值是3.
敬请批评指正。