2015-2016年四川省遂宁市高一下学期数学期末试卷与解析PDF

2015-2016学年四川省遂宁市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（5分）对于数列a，a，a，…a下列说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．既是等差数列，又是等比数列D．以上都不正确2．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2D．若a＜b＜0，则＜3．（5分）计算cos18°cos42°﹣cos72°cos48°=（）A．B．C．D．4．（5分）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是空集的条件是（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形6．（5分）下列结论正确的是（）A．两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱B．若△ABC中，•＜0，则△ABC是钝角三角形C．函数f（x）=x+（x＞1）的最小值为5D．若G2=ab，则G是a，b的等比中项7．（5分）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（）A．6 B．5 C．4 D．38．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．19．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或10．（5分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α∈（0，），β∈（﹣，0），则sinα=（）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）已知O是△ABC内部一点，++=，•=2且∠BAC=60°，则△OBC的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）存在正实数b使得关于x的方程sinx+cosx=b的正根从小到大排成一个等差数列，若点P（6，b）在直线nx+my﹣2mn=0上（m，n均为正常数），则m+4n的最小值为（）A．5+2B．4 C．8 D．7+4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）正项等比数列{a n}中，若a2a98=16，则log2（a3a97）=．14．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．15．（5分）在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，=2，=3，则在方向上的投影．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|=2n（n∈N*），若数列{a2n}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n=．﹣1三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣）（Ⅰ）求|3+|；（Ⅱ）若向量﹣λ与2+平行，求λ的值．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式（ax﹣b）（x﹣c）＞0（c为常数）．20．（12分）已知=（2sinx，cos2x），=（cosx，2），函数f（x）=•﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f（﹣）=，且sinB+sinC=，求△ABC的面积．21．（12分）如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n=2a n﹣n（Ⅰ）求证：数列{a n+1}为等比数列；并求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．2015-2016学年四川省遂宁市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（5分）对于数列a，a，a，…a下列说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．既是等差数列，又是等比数列D．以上都不正确【解答】解：对于数列a，a，a，…a，一定是公差为0等差数列，当a≠0时，此数列也是等比数列．故只有A正确．故选：A．2．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2D．若a＜b＜0，则＜【解答】解：对于A，c=0时，不成立，对于B，令a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，对于C，根据不等式的性质，显然成立，对于D，令a=﹣2，b=﹣1，显然不成立，故选：C．3．（5分）计算cos18°cos42°﹣cos72°cos48°=（）A．B．C．D．【解答】解：原式=．故选：B．4．（5分）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是空集的条件是（）A．B．C．D．【解答】解：若二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是空集，即二次不等式ax2+bx+c≥0在R恒成立，故，故选：A．5．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选：D．6．（5分）下列结论正确的是（）A．两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱B．若△ABC中，•＜0，则△ABC是钝角三角形C．函数f（x）=x+（x＞1）的最小值为5D．若G2=ab，则G是a，b的等比中项【解答】解：对于A，有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故A错；对于B，若△ABC中，•＜0，即为||•||cos（π﹣B）＜0，则cosB＞0，B为锐角，不能确定三角形的形状，故B错；对于C，函数f（x）=x+（x＞1）=（x﹣1）++1≥2+1=5，当且仅当x﹣1=，即x=3，取得等号，则f（x）的最小值为5，故C正确；对于D，若G=a=b=0，满足G2=ab，则G不为a，b的等比中项，故D错．故选：C．7．（5分）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：D．8．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选：D．10．（5分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α∈（0，），β∈（﹣，0），则sinα=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故选：A．11．（5分）已知O是△ABC内部一点，++=，•=2且∠BAC=60°，则△OBC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴∴O为三角形的重心∴△OBC的面积为△ABC面积的∵∴∵∠BAC=60°∴△ABC面积为=∴△OBC的面积为故选：A．12．（5分）存在正实数b使得关于x的方程sinx+cosx=b的正根从小到大排成一个等差数列，若点P（6，b）在直线nx+my﹣2mn=0上（m，n均为正常数），则m+4n的最小值为（）A．5+2B．4 C．8 D．7+4【解答】解：由sinx+cosx=b，可得：2=b存在正数b，使得方程sinx+cosx=b的正根从小到大排成一个等差数列，即有0＜b≤2．若0＜b＜2，由y=sin（x+）的图象可得：直线y=b与函数y=2sin（x+）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若b=2，即有x+=2kπ+，即为x=2kπ+，k∈Z，可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π．由点P（6，2）在直线直线nx+my﹣2mn=0上（m，n均为正常数），∴6n+2m﹣2mn=0，化为：=1．则m+4n=（m+4n）=7+≥7+2=7+4，当且仅当m=2n=3+2时取等号．故选：D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）正项等比数列{a n}中，若a2a98=16，则log2（a3a97）=4．【解答】解：由正项等比数列{a n}中，可得a2a98=16=a3a97，∴正项等比数列{a n}中，若a2a98=16，则log2（a3a97）=log216=4．故答案为：4．14．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．【解答】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为：．15．（5分）在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，=2，=3，则在方向上的投影．【解答】解：如图，以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB=AC=2，=2，=3，∴A（0，0），B（2，0），C（0，2），则D（1，1），E（0，），∴．则，||=．∴在方向上的投影为．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|=2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n=．【解答】解：方法一：先采用列举法得a1=﹣1，a2=1，a3=﹣3，a4=5，a5=﹣11，a6=21，…，然后从数字的变化上找规律，得，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n﹣1•2n﹣2+…﹣22+2﹣1==．方法二：∵，，∴，而{a2n﹣1}递减，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，故；同理，由{a2n}递增，得；又a2＞a1，∴，以下同上．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣）（Ⅰ）求|3+|；（Ⅱ）若向量﹣λ与2+平行，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（x，﹣2），∴=（1﹣x，4），由⊥（﹣），得（1，2）•（1﹣x，4）=1﹣x+8=0，∴x=9．则=（12，4），∴；（Ⅱ）∵=（1，2），=（9，﹣2），∴=（1﹣9λ，2+2λ），=（11，2）．∵向量﹣λ与2+平行，∴（1﹣9λ）×2﹣11×（2+2λ）=0．解得：．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d．∵，∴，解得：d=2或d=0（舍），∴a1=3，∴a n=2n+1（n∈N*）；（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴，∴=（n∈N*）．19．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式（ax﹣b）（x﹣c）＞0（c为常数）．【解答】解：（1）由题意知1，b是关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根…（2分）将x=1代入方程得a﹣3+2=0，解得a=1，…（4分）从而原方程变为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，∴方程的另一个根为b=2；…（6分）（2）不等式为（x﹣2）（x﹣c）＞0，当c＞2时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞c}；当c=2时，不等式的解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时，不等式的解集为{x|x＜c或x＞2}．…（12分）20．（12分）已知=（2sinx，cos2x），=（cosx，2），函数f（x）=•﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f（﹣）=，且sinB+sinC=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）=•﹣．可得f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴f（x）的最小正周期为T=．（Ⅱ）已知锐角A满足f（﹣）=，可得2sin[2（﹣）+]=，即2sinA=又∵A为锐角，∴A=．又∵a=7，sinB+sinC=，由正弦定理可得：sinB=，sinC=，∴+=，可得：b+c=13由余弦定理可知，cosA===．可求得：bc=40．=bcsinA=．故得S△ABC21．（12分）如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD=EF，设∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，则θ=α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=，tanβ=，则tanθ=tan（α﹣β）==（x＞0），令u=，则ux2﹣2x+1.25u=0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max=，∵正切函数y=tanx在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x==，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ===，即x2﹣4x+4=﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2=﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n=2a n﹣n（Ⅰ）求证：数列{a n+1}为等比数列；并求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：当n=1时，s1=2a1﹣1=a1，∴a1+1=2≠0 …（1分）当n≥2时，∵S n=2a n﹣n，∴s n﹣1=2a n﹣1﹣（n﹣1），两式相减∴a n=2a n﹣2a n﹣1﹣1，∴a n=2a n﹣1+1，∴a n+1=2（a n﹣1+1）…（3分）∴数列{a n+1}是首项和公比都是2的等比数列，得a n+1=2n⇒a n=2n﹣1…（4分）（Ⅱ）可得b n==，T n=+n×=1×+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n×，两式相减得=2﹣∴…（8分）（Ⅲ）不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立⇔不等式（﹣1）nλ＜4﹣对一切n∈N*恒成立由为递增函数．…（9分）若n为偶数，则λ＜f（2）=3，∴λ＜3 …（10分）若n为奇数，则﹣λ＜f（1）=2，∴﹣λ＜2，λ＞﹣2 …（11分）∴﹣2＜λ＜3 …（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。