人教版八年级上册数学讲义
人教版八年级上册数学第12章全等三角形讲义知识点+典型例题
BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。
人版八年级(上册)数学讲义全
八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．顶点：A，B，C ．角：∠A ，∠B ，∠C．．二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2 确定三角形第三边的取值围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段2.1三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形部一点.2.3三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
ACBAD三角形的三条中线交于三角形部一点.三、三角形的角1 三角形角和定理结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角注意：①在三角形中，已知两个角可以求出第三个角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个角和的比或它们之间的关系，求各角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．2.2性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角.③三角形的一个外角与与之相邻的角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其角1、多边形的定义：在平面，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
(完整)人教版八年级上册数学讲义
八年级数学讲义第11章三角形三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.2. 三角形的表示△ ABC 中，边：AB, BC, AC 或c, a, b.顶点：A, B, C .内角：/ A ,Z B ,Z C..二、三角形的边1.三角形的三边关系：(证明所有几何不等式的唯一方法)(1) 三角形任意两边之和大于第三边：b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边：b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2确定三角形第三边的取值范围：两边之差<第三边<两边之和.2. 三角形的主要线段2.1三角形的咼线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点2.3三角形的中线1.三角形的定义B三角形的三条中线交于三角形内部一点三、三角形的角 1三角形内角和定理结论〔：△ ABC 中：/ A+Z B+Z C=180° 结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ ABC 中，Z C=180°-(Z A+Z B )② 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角. 如：△ ABC 中，已知Z A ：Z B ：Z C=2: 3： 4,求Z A Z B Z C 2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角. 2.2性质：① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ② 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 ③ 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角(相等) 可见一个三角形共有 6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段 首尾顺次 相接组成的图形叫做多边形•2、 正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
人教版八年级上数学精编讲义
第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
人教版八年级数学上册 全等三角形的判定HL 讲义
斜边直角边（HL ）一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等温馨提示：SSA 、AAA 不能证全等！！1、如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（ ）A ．SSSB. ASAC. SASD. HL 2、如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFD 的理由是（ ）.A ．SSS B. AAS C. SAS D. HL3、下列说法正确的个数有（ ）①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等；②有两边对应相等的两个直角三角形全等；③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4、在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '，AC=C A ''，那么这两个三角形（ ）.A ．全等 B. 不一定全等 C. 不全等 D. 面积相等，但不全等5、 下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等6、给出下列条件：①两边一角对应相等②两角一边对应相等③三角形中三角对应相等④三边对应相等，其中，不能判定两个三角形全等的条件是（）A. ①③B. ①②C. ②③D. ②④7、李明同学把一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的三块，现在要到玻璃商店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）.A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去8、如图，点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）∠B=∠CB、AD=AEC、BD=CED、BE=CD9、下列语句中不正确的是（）斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等有两边对应相等的两个直角三角形全等C、有两个角对应相等的两个直角三角形全等D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等10、如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A、∠A=∠DB、BC=EFC、∠ACB=∠FD、AC=DF11、在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC与Rt△DEF_______（填全等或不全等）12、如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是________（写一个即可）13、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件________（写一个即可）14、如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是:____________（写一个即可）F E D C B A 15、如图，已知AD=BC.EC ⊥AB.DF ⊥AB ， C.D 为垂足，要使ΔAFD ≌ΔBEC ，还需添加一个条件.若以“ASA ”为依据，则添加的条件是_________16、如图,AB=CD,AD 、BC 相交于点O ，要使△ABO ≌△DCO,应添加的条件为_________(添加一个条件即可)17、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB 与CD 的位置关系18、已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.A D BC19、如图，Rt△ADC与Rt△BCD，∠A=∠B=90°，AC=BD，求证AD=BC20、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD（1）求证：BD=AD（2）（八字模型）试探究BE与AC的位置关系21、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线DE经过点C，且AD⊥DE于D，BE⊥DE于E。
第12章全等三角形模型一：一线三等角讲义2022—2023学年人教版数学八年级上册
一线三等角模型构造全等三角形【模型说明】在初中数学《全等三角形》中有许多的模型，这些模型是数学重要知识点的总结与运用，很多几何题中都有数学模型的影子，掌握好这些模型，孩子们学习几何就会比较简单，成绩不会差。
今天我要与大家分享是“一线三等角”模型，那么什么是“一线三等角”？顾名思义，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。
这个模型贯穿初中几何的始终。
下面我们具体分析一下这个模型。
【同侧型一线三等角（常见）】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角直角一线三等角 钝角一线三等角∠FAC=∠ABD=∠CED 添加任一边相等【基础训练】1．如图，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB BC ABC =∠=︒，点B 在直线l 上，过A 作AD l ⊥于D ，过C 作CE l ⊥于E ．下列给出四个结论：①BD CE =；②BAD ∠与BCE∠互余；③AD CE DE +=．其中正确结论的序号是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝1cm，求DE的长．3．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE ⊥直线m，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．4．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．5．在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．6．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长．7.如图①，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E ，F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BAC ．求证：△ABE ≌△CAF ．8．如图，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE ⊥AC 于B ，且DC ＝EC ，能否在△BCE 中找到与AB+AD 相等的线段，并说明理由．9、如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠A ＝36°时，求∠DEF 的度数．10.如图，在ABC ∆中，2==AC AB ，︒=∠36B ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作︒=∠36ADE ，DE 交线段AC 于点E.线段DC 的长度为何值时，DCEABD∆≅∆请说明理由；【提升训练】1．在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD ⊥MN于D（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD；（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD；（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．ADEB C3．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．4．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．5．如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F 处，则CE＝．（不要求写过程）6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC 于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AH 于点H，DE与直线AH交于点G．求证：点G是DE的中点；7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝18cm，∠B＝∠C，D为AB的中点，点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A 运动，设运动时间为t（s）．（1）若点P与点Q的速度都是3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请说明理由．（2）若点P的速度比点Q的速度慢3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请求出此时两点的速度．（3）若点P、点Q分别以（2）中的速度同时从点B，C出发，都按逆时针方向沿△ABC 三边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在△ABC的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．。
人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)
因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
八年级数学上册全套讲义-带答案
第十一章三角形11．1与三角形有关的线段11．1.1三角形的边1．会用符号表示三角形，了解按边的大小关系对三角形进行分类；理解掌握三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题．2．进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系．重点：三角形的三边之间的不等关系．难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形．一、自学指导自学1：自学课本P2－3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；其中这三条线段叫做三角形的边；相邻两边组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．(2)三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．(3)三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．(4)三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形．点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形．自学2：自学课本P3－4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系．(5分钟)总结归纳：一般地，三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图①，以A，B，C为顶点的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”，它的边分别是AB，AC，BC(或a，b，c)，内角是∠A，∠B，∠C，顶点是点A，B，C．点拨精讲：三角形的边也可以用边所对顶点的小写字母表示．2．图②中有5个三角形，分别是△ABE，△ABC，△BEC，△CDE，△BCD，以E为顶点的三角形是△ABE，△BEC，△CDE，以∠D为角的三角形是△CDE，△BCD，以AB为边的三角形是△ABE，△ABC．3．下列长度的三条线段能组成三角形的有②：①3，4，11；②2，5，6；③3，5，8.小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1一个等腰三角形的周长为28 cm.(1)已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；(2)已知其中一边的长为6 cm，求其他两边的长．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm，依题意得2×3x＋x＝28，解得x＝4，3x＝12，∴三边长分别为4 cm，12 cm，12 cm.(2)设另一边长为x cm，依题意得，当6 cm为底边时，2x＋6＝28，∴x＝11；当6 cm为腰长时，x＋2×6＝28，∴x＝16.∵6＋6＜16，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为6 cm的等腰三角形，∴其他两边的长为11 cm，11 cm.探究2某同学有两根长度为40 cm，90 cm的木条，他想钉一个三角形的木框，那么第三根应该如何选择？(40 cm，50 cm，60 cm，90 cm，130 cm)解：设第三根木条长为x cm，依题意得90－40＜x＜40＋90，∴50＜x＜130，∴第三根应选60 cm或90 cm.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．图中有6个三角形，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△ACE；以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ACD．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是C．A．3，4，8B．5，6，11C．2，4，53．等腰三角形一条边等于3 cm，一条边等于6 cm，则它的周长为15_cm．点拨精讲：注意三角形三边关系．(3分钟)(3分钟)1.等边三角形是特殊的等腰三角形．2．在进行等腰三角形的相关计算时，要注意分类思想的运用，同时要注意运用三角形三边关系判断所求三条线段长能否构成三角形．3．已知三角形的两边长，可依据三边关系求出第三边的取值范围．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．1.2 三角形的高、中线与角平分线1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念．2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点．重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达．难点：钝角三角形的高的画法．一、自学指导自学1：自学课本P4页，掌握三角形的高的画法，完成下列填空．(4分钟)作出下列三角形的高：如图①，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则有∠ADB ＝∠ADC ＝90°． 总结归纳：三角形的高有3条，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，相交于一点，直角三角形的三条高相交于三角形的直角顶点上；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部．自学2：自学课本P4－5页，掌握三角形的中线的画法，理解重心的概念，完成下列填空．(5分钟)作出下列三角形的中线，回答下面问题：如图①，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有DB ＝DC ＝12BC ； 总结归纳：三角形的中线有3条，相交于一点，且在三角形的内部，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．取一块质地均匀的三角形木板，试着找出它的重心．自学3：自学课本P5页，掌握三角形的角平分线的画法，理解三角形的角平分线与角的平分线的区别，完成下列填空．(3分钟)作出下列三角形的角平分线，回答下列问题：如图①，AD 是△ABC 的角平分线，则有∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ； 总结归纳：三角形的角平分线有3条，相交于一点，且在三角形的内部．三角形的角平分线是线段，而角的角平分线是射线．点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线都是线段．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)完成课本P5页的练习题1，2.小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则：(1)∵AE 是△ABC 的中线，∴BE ＝CE ＝12BC ； (2)∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ； (3)∵AF 是△ABC 的高，∴∠AFB ＝∠AFC ＝90°；(4)∵AE 是△ABC 的中线，∴BE ＝CE ，又∵S △ABE ＝12BE ·AF ，S △AEC ＝12CE ·AF ，∴S △ABE ＝S △ACE .点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线的概念既是性质，也可以做为判定定理用．探究2 如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，△ABC 的高AD 与CE 的比是多少？解：∵12AB·CE ＝12BC·AD ，AB ＝2，BC ＝4，∴CE ＝2AD ，∴AD ∶CE ＝1∶2. 学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是(C )A ．直线B ．射线C ．线段D ．射线或线段2．一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是(D )A ．中线B ．高C ．角平分线D ．以上都正确4．如图，D ，E 是边AC 的三等分点：(1)图中有6个三角形，BD 是三角形ABE 中AE 边上的中线，BE 是三角形DBC 中CD边上的中线，AD ＝DE ＝EC ＝13AC ，AE ＝DC ＝23AC ； (2)S △ABD ＝S △DBE ＝S △EBC ＝13S △ABC ； (3)S △ABE ＝S △DBC ＝23S △ABC ．(1分钟)1．三角形的高、中线和角平分线都是线段．2．三角形的高、中线和角平分线的概念既可得到角与线段的数量关系，也可做为判定三角形高、中线和角平分线的判定定理．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．1.3 三角形的稳定性通过观察和操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的应用．重、难点：了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.一、自学指导自学：自学课本P6－7页，掌握三角形的稳定性及应用，完成下列填空．(5分钟) 将准备好的木条做成的三角形木架、四边形木架取出进行操作并观察：(1)如图①，扭动三角形木架，它的形状会改变吗？(2)如图②，扭动四边形木架，它的形状会改变吗？总结归纳：由上面的操作我们发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变． (3)如图③，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．想一想其中的道理是什么？ 总结归纳：三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P7页练习题第1题．2．请例举生活中关于三角形的稳定性与四边形的不稳定性的应用实例．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 要使四边形不变形，最少需要加1条线段，五边形最少需要加2条线段，六边形最少需要加3条线段……n 边形(n ＞3)最少需要加(n －3)条线段才具有稳定性．点拨精讲：过一点把一个多边形分成若干个三角形最少需要几条线段．探究2 等腰三角形一腰上的中线将此等腰三角形分成9 cm ，15 cm 两部分，求此等腰三角形的周长是多少？解：设等腰三角形的腰长为x cm ，底边长为y cm ，依题意得，当x ＞y 时，⎩⎨⎧x ＋12x ＝15，y ＋12x ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝4；当x ＜y 时，⎩⎨⎧x ＋12x ＝9，y ＋12x ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝12，∵6＋6＝12，不符合三角形的三边关系，故舍去．∴此三角形的周长为10＋10＋4＝24(cm )．答：此等腰三角形的周长为24 cm .点拨精讲：此题用到分类思想，同时要考虑三角形的三边关系．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．课本P9页第10题．2．下列图形具有稳定性的有(C )A ．梯形B ．长方形C ．三角形D ．正方形3．体育馆屋顶的横梁用钢筋焊出了无数个三角形，是因为：三角形具有稳定性．4．已知AD ，AE 分别是△ABC 的中线、高，且AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，则△ABD 与△ADC 的周长之差为2_cm ；△ABD 与△ADC 的面积关系是相等．5．如图，D 是△ABC 中BC 边上的一点，DE ∥AC 交AB 边于E ，DF ∥AB 交AC 边于F ，且∠ADE ＝∠ADF.求证：AD 是△ABC 的角平分线．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠ADE＝∠DAC，∠ADF＝∠DAB，又∵∠ADE＝∠ADF，∴∠DAC＝∠DAB，∴AD是△ABC的角平分线．(1分钟)三角形的稳定性与四边形的不稳定性在日常生活中非常常用．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(12分钟)11．2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角(1)1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理．2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题．重点：三角形内角和定理的应用．难点：三角形内角和定理的证明．一、自学指导自学1：自学课本P11－12页“探究”，掌握三角形内角和定理的证明方法，完成下列填空．(5分钟)归纳总结：三角形内角和定理——三角形三个内角的和等于180°．已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．点拨精讲：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线．作辅助线是几何证明过程中常用到的方法，辅助线通常画成虚线．证明：延长BC到点D，过点B作BE∥AC，∵BE∥AC，∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∵∠1＋∠2＋∠ABC＝180°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°．自学2：自学课本P12－13“例1、例2”，掌握三角形内角和的应用．(5分钟)你可以用其他方法解决例2的问题吗？点拨精讲：可过点C作CF∥AD，可证得CF∥BE，同时将∠ACB分成∠ACF与∠BCF，求出这两个角的度数，就能求出∠ACB.解：过点C作CF∥AD，∵AD∥BE，∴CF∥BE，∵CF∥AD，CF∥BE，∴∠ACF＝∠DAC ＝50°，∠FCB＝∠CBE＝40°，∴∠ACB＝∠ACF＋∠FCB＝50°＋40°＝90°，∵∠CAB＝∠DAB －∠DAC＝80°－50°＝30°，∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝180°－30°－90°＝60°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)完成课本P13页的练习题1，2.点拨精讲：仰角是当视线在视平线上方时视线与视平线所夹的角．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(7分钟)探究1①一个三角形中最多有1个直角；②一个三角形中最多有1个钝角；③一个三角形中至少有2个锐角；④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为60°．为什么？点拨精讲：三角形的内角和为180°.探究2如图，在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B＝45°，∠F＝30°，∠CGF＝70°，求∠A的度数．解：在△CGF中，∠GCF＝180°－∠CGF－∠F＝180°－70°－30°＝80°，∴∠ACB＝180°－∠GCF ＝180°－80°＝100°，在△ABC 中，∠A ＝180°－∠B －∠ACB ＝180°－45°－100°＝35°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．课本P16页复习巩固第1题．2．在△ABC 中，∠A ＝35°，∠B ＝43°，则∠C ＝102°． 3．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶4，则∠A ＝40°，∠B ＝60°，∠C ＝80°．4．在△ABC 中，如果∠A ＝12∠B ＝13∠C ，那么△ABC 是什么三角形？ 解：∵∠A ＝12∠B ＝13∠C ，∴∠B ＝2∠A ，∠C ＝3∠A ，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＋2∠A ＋3∠A ＝180°，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．(3分钟)(3分钟)为了说明三角形的内角和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．2.1三角形的内角(2)1．掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质与判定．2．能运用直角三角形的性质与判定解决实际问题．重、难点：理解和运用直角三角形的性质与判定．一、自学指导自学：自学课本P13－14页，掌握直角三角形的表示方法及其性质，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：(1)直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．(2)直角三角形的两个锐角互余．(3)有两个角互余的三角形是直角三角形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，求出∠A，∠B的度数．解：Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．∵∠A＝2∠B，∴2∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝30°，∠A＝60°.2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？解：结论：∠ACD＝∠B.理由如下：在Rt△ACB中，∠A＋∠B＝90°，在Rt△ACD中，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD ＝∠B.点拨精讲：利用同角的余角相等可以方便地证出两角的相等关系．3．如图，∠C ＝90°，∠AED ＝∠B ，△ADE 是直角三角形吗？为什么？ 解：结论：△ADE 是直角三角形．理由如下：在Rt △ABC 中，∠A ＋∠B ＝90°(直角三角形的两个锐角相等)．∵∠AED ＝∠B ，∴∠A ＋∠AED ＝90°，∴△ADE 是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形)．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，AB ∥CD ，AE ，CE 分别平分∠BAC ，∠ACD.求证：△ACE 是Rt △. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＋∠ACD ＝180°，∵AE ，CE 分别平分∠BAC ，∠ACD ，∴∠EAC ＝12∠BAC ，∠ACE ＝12∠ACD ，∴∠EAC ＋∠ACE ＝12∠BAC ＋12∠ACD ＝90°，∴△ACE 是Rt △(有两个角互余的三角形是直角三角形)．探究2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD ，BD 是∠CAB ，∠CBA 的角平分线，求∠D 的度数．解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＋∠CBA ＝90°，∵AD ，BD 是∠CAB ，∠CBA 的角平分线，∴∠DAB ＝12∠CAB ，∠DBA ＝12∠CBA ，∴∠DAB ＋∠DBA ＝12∠CAB ＋12∠CBA ＝45°，在△ADB 中，∠D ＝180°－(∠DAB ＋∠DBA)＝180°－45°＝135°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则此三角形是直角三角形．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求证：△ACD是Rt△.证明：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴△ACD是Rt△(有两个角互余的三角形是直角三角形)．(3分钟)(3分钟)1.直角三角形的性质：两个锐角互余．2．直角三角形的判定：①有一个角是直角；②两边互相垂直；③有两个角互余；(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．2.2三角形的外角1．探索并了解三角形的外角的两条性质，利用学过的定理证明这些性质．2．能利用三角形的外角性质解决实际问题．重点：三角形外角的性质．难点：运用三角形外角的性质解决有关角的计算及证明问题．一、自学指导自学1：自学课本P14页，掌握三角形外角的定义，完成下列填空．(3分钟)如图1，把△ABC的边BC延长到D，我们把∠ACD叫做三角形的外角．思考：①在△ABC中，除了∠ACD外，还有那些外角？请在图2中分别画出来；②以点C为顶点的外角有2个，所以△ABC共有6个外角；③外角∠ACD与内角∠ACB的关系是：互为邻补角．总结归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；每一个三角形都有6个外角；每一个顶点相对应的外角都有2个；每个外角与它相邻的内角互为邻补角．自学2：自学课本P15页“探究与例4”，理解三角形外角的性质并学会运用．(7分钟)如图，△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角．能由内角∠A ，∠B 求出外角∠ACD 吗？如果能，外角∠ACD 与内角∠A ，∠B 有什么关系？认真思考，完成下面的填空：(1)∠ACB ＝50°，∠ACD ＝130°，∠A ＋∠B ＝130°，∠ACD ＝∠A ＋∠B ；(填“＞”“＜”或“＝”)(2)∠ACD ＞∠A ，∠ACD ＞∠B.(填“＞”“＜”或“＝”)总结归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图，是△BFD 的外角有∠CDA ，∠BFC ，∠DFE ，以∠AEB 为外角的三角形是△CEF ，△CEB ．2．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC 不同的三个外角，求∠1＋∠2＋∠3.解：∵∠1＝∠ABC ＋∠ACB ，∠2＝∠BAC ＋∠ACB ，∠3＝∠ABC ＋∠CAB ，∴∠1＋∠2＋∠3＝2(∠ABC ＋∠ACB ＋∠BAC)，∵∠ABC ＋∠ACB ＋∠BAC ＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝2×180°＝360°.3．课本P15页练习题．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，在△ABC 中，∠A ＝α，△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P ，且∠P ＝β，试探求下列各图中α与β的关系，并选一个结论加以证明．解：①β＝12α＋90°；②β＝12α；③β＝90°－12α.证明：(略)探究2如图，∠A＝50°，∠B＝40°，∠C＝30°，求∠BPC的度数．解：连接AP并延长到点E，∵∠BPE＝∠B＋∠BAP，∠CPE＝∠C＋∠CAP，又∵∠BPC ＝∠BPE＋∠CPE，∴∠BPC＝∠B＋∠BAP＋∠C＋∠CAP＝∠BAC＋∠B＋∠C＝50°＋40°＋30°＝120°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是(C)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为(C)A．90°B．110°C．100°D．120°3．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°．错误!错误!,第4题图)4．如图，BE∥CF，∠B＝50°，∠C＝75°，求∠A的度数．解：∵BE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∵∠ADE＝∠B＋∠A，∴50°＋∠A＝75°，∴∠A＝25°.(3分钟)(3分钟)1.三角形的每个顶点处都有2个外角，这两个外角互为对顶角，外角与它相邻的内角互为邻补角．2．在三角形的每个顶点处各取一个外角，这三个外角的和为360°.3．三角形外角的性质是三角形有关角的计算与证明的常用依据．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．3多边形及其内角和11．3.1多边形1．理解多边形的相关概念．2．认识凸多边形及正多边形，掌握正多边形的定义及判定．重点：理解多边形的相关概述．难点：掌握正多边形的定义及判定．一、自学指导自学1：自学课本P19页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．自学2：自学课本P20页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：(1)连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．(2)画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．(3)各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．四边形有4条边，4个顶点，4个内角，8个外角；五边形有5条边，5个顶点，5个内角，10个外角；n边形有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角．2．画出下列多边形的全部对角线：3．四边形的一条对角形将四边形分成2个三角形，从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1：过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，求mn的平方根．解：由题意可得m－3＝7，∴m＝10，n＝3，∴±mn＝±30.探究2：填表顶点数一个顶点可引的对角线条数对角线总共条数过一个顶点可分成三角形个数四边形 4 1 2 2 五边形 5 2 5 3 六边形 6 3 9 4 … … … … … n 边形nn －3n （n －3）2n －2学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．下列图形中，是正多边形的是(D )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．长方形D ．正方形2．过n 边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是10.3．一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数．解：设这是一个n 边形，依题意得n （n －3）2＝4n ，∵n ≥3且为整数，∴n ＝11.(3分钟)1.在初中阶段所讲的多边形指的都是凸多边形．2．已知多边形的边，可以推导出其对角线的条数和分成的三角形的个数；反过来，已知过一点所画对角线的条数或分成的三角形的个数可以推导出多边形的边数．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)11.3.2多边形的内角和探索多边形的内角和公式及外角和，会利用多边形的内角和公式解决问题．重点：掌握多边形的内角和公式．难点：探索多边形的内角和公式．一、自学指导自学1：自学课本P21－22页，掌握多边形内角和公式的推导方法，完成下列填空．(5分钟)填写下列表格：多边形三角形四边形五边形六边形…n边形一个顶点可引的对角线条数0 1 2 3 …n－3所引对角线分成三角形的个数 1 2 3 4 …n－2总结归纳：三角形的内角和为180度；任意四边形的内角和为360度；任意五边形的内角和等于540度；六边形的内角和等于720度；n边形的内角和等于(n－2)·180°；多边形的边数每增加一条，那么它的内角和就增加180°．点拨精讲：多边形可分成若干个三角形，将多边形内角和转化成三角形知识(如图1，2)．自学2：自学课本P22－23例1，例2和探究，掌握多边形外角和应用．(5分钟)如图3，根据前面三角形的有关知识，探索在每个五边形顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和，五边形的外角和等于360度，六边形的外角和是360度．总结归纳：n边形的外角和是360°．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P24页练习题1，2，3.2．七边形的内角和900°，十边形的内角和是1440°；如果一个多边形的内角和等于1260°，那么它是九边形．3．已知四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，则∠C＝108°．4．求出正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角的度数．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 (1)一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？ (2)一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？ 解：(1)设它是n 边形，则有180°·(n －2)＝12×360°，∴n ＝3.(2)设它是n 边形，则有180°·(n －2)＝2×360°，∴n ＝6.探究2 如图，六边形ABCDEF 的内角都相等，∠DAB ＝60°，AB 与DE 有怎样的位置关系？BC 与FE 有这种关系吗？解：结论：AB ∥DE ，BC ∥FE. 证明：(略)学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．一个多边形的每个内角都等于150°，则它的边数为12．2．一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？3．已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数．解：设这个边多形的边数为n ，则有180°(n －2)＝2×180°×(5－2)，∴n ＝8.(3分钟)1.已知多边形的边数可以求出其内角和，根据其内角和也可以求出其边数．2．内角和的推理要用到转化的思想，将多边形的知识转化为三角形的知识．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)第十二章全等三角形12．1全等三角形1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．重点：掌握全等三角形的对应元素和性质的应用．难点：全等三角形性质的应用．一、自学指导自学：自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2”，理解“全等形”“全等三角形”的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)1．下列图形中的全等图形是d与g，e与h.2．如图，△ABC与△DEF能重合，则记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF，对应顶点是：点A与点D，点B与点E，点C与点F；对应边是：AB与DE，AC与DF，BC与EF；对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F．,第2题图),第3题图)3．如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有AC＝DB，AO＝DO，CO＝BO，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD．点拨精讲：通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．4．已知△OCA≌△OBD，若OC＝3 cm，BD＝4 cm，OD＝6 cm.则△OCA的周长为13_cm；若∠C＝110°，∠A＝30°，则∠BOD＝40°．点拨精讲：全等三角形的对应边、对应角、周长分别对应相等．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1如图，下面各图的两个三角形全等，指出它们的对应顶点、对应边、对应角，其中△ABC可以经过怎样的变换得到另一个三角形？点拨精讲：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是寻求全等的一种策略．解：①△ABC≌△DEF，A和D，B和E，C和F是对应顶点，AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角，△DEF是△ABC经过平移得到的．②△ABC≌△DBC，A和D，B和B，C和C是对应顶点，AB与DB，AC与DC，BC与BC是对应边，∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB是对应角，△DBC是△ABC 沿BC所在直线向下翻折得到的．③△ABC≌△AED，A和A，B和E，C和D是对应顶点，AB与AE，AC与AD，BC与ED是对应边，∠BAC与∠EAD，∠B与∠E，∠C与∠D是对应角，△AED是△ABC绕点A 旋转180°得到的．探究2如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，AC＝DF，且点B，E，C，F在同一条直线上．(1)求证：BE＝CF，AC∥DF；(2)若∠D＋∠F＝90°，试判断AB与BC的位置关系．解：(1)证明：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF，BC－EC＝EF－EC，∴BE＝CF.(2)结论：AB⊥BC.证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠F，∵∠D＋∠F＝90°，∴∠A＋∠ACB ＝90°，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC.。
初中数学人教版八年级上册三角形全等之动点问题(讲义及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料三角形全等之动点问题（讲义）➢课前预习已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．➢知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．➢精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边EAD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何P D A值时，△PDQ ≌△CQD ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，点D 为AB 的中点．点P 在线段BC 上以每秒3 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．D CBA4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE=4 cm，点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP 全等，求此时t的值及点Q的运动速度．5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA6. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =CD =3 cm ，AD =BC =5 cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1 cm 的速度沿BC 方向向点C 运动，动点Q 从点C 出发，以每秒2 cm 的速度沿CD -DA -AB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，设点P 运动时间为t 秒．请回答下列问题：（1）请用含t 的式子表达△CPQ 的面积S ，并直接写出t 的取值范围．（2）是否存在某个t 值，使得△ABP 和△CDQ 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA【参考答案】➢课前预习（1）2t，t（2）4s➢知识点睛速度已知1．研究背景图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．➢精讲精练1.解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．理由如下：如图，由题意得BP=2t∴当t=1.5时，BP=3∵AE=7，AD=10∴DE=3∴BP=DE在矩形ABCD 中 AB =CD ，∠B =∠CDE 在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ） （2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12 ∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3. 解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8 ∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点 ∴BD =12AB =5 ①要使△BDP ≌△CPQ ， 则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =43则Q 的速度为Q v =s t =5×34=154（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4. 解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4 ∴BE =10-4 =6①要使△BEP ≌△CPQ ， 则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t ∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ， 则需BP =CP ，BE =CQ 即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =st=6×25=125（cm/s ） 即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5. 解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0<t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴②当P 在CD 上时，（2.5<t ≤4.5）12145210ABP S AB BC∆=⋅=⨯⨯=∴ ③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5<t <7）12141422284ABP S AB APt t ∆=⋅=⨯⨯=∴--（） （2）①当P 在BC 上时， 如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE ∵CE =2 ∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6. 解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0<t ≤1.5）2121(5)22 5CPQ S CP CQt t t t ∆=⋅=-⋅=-∴11 ②当Q 在DA 上时，（1.5<t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CDt t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4<t <5） 2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQt t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴（2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时，如图，由题意得DQ =2t -3要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ∵DQ =2t -3，BP =t∴t =2t -3，t =3即当t =3时，△ABP ≌△CDQ ．③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 综上所述，当t =3时，△ABP 和△CDQ 全等．。
人教版八年级上册数学讲义
【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边〞或“ SAS 〞，几何表示如图，在ABC 和 DEF 中，ADAB DE B E ABC ≌ DEF (SAS)BCEFBCEF【典型例题】【例 1】 ：如图， AB=AC ，AD=AE ，求证： 【例 4】如图，点 A 、F 、 C 、 D 在同一直线上，BE=CD.点B 和点E 分别在直线 AD 的两侧， AB ∥ DE证明： 在△ABE 和△ ACD 中，A且 AB ＝ DE ， AF ＝ DC 。
求证： BC ∥EF 。
AB=AC ，∠ BAE= ∠CADAD=AE DE∴△ ABE ≌△ ACD 〔 SAS 〕∴ B E=CD.BC【例 2】 如图，：点 D 、E 在 BC 上，且 BD=CE ， AD=AE ，∠ 1=∠ 2，由此你 能得出哪些结论？给出证A 明 .B1 2 【例 5】如图，△ ABC 、△ BDE 均为等边三DEC角形。
求证： BD ＋ CD=AD 。
A【例 3】 如图： AE=AF ，AB=AC ，∠ A=60°，E∠ B=24°，求∠ BOE 的度数 .BBCEDOACF【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边〞或“SSS 〞， 几何表示【典型例题】例 3. 如图： AB=CD ， AE=DF ， CE=FB 。
求证：【例 1】如图，在ABC 中，M 在BC 上，D 在∠B=∠C 。
ABAM 上，AB=AC , DB=DC 求证： AM 是ABC的角平分线证明 : 在△ABD 和△ ACD 中，FEAB=AC DB=DC AD=AD∴△ ABD ≌△ ACD (SSS) ∴∠ BAD= ∠ CAD又∵ AB=AC∴MB=MC∴ AM 是ABC 的角平分线 (三线合一 )【例 2】如图：在△ ABC 中， BA=BC ，D 是 AC 的中点。
求证： BD ⊥ AC 。
人教版八年级数学上册讲义
八年级上册讲义第十一讲三角形与三角形有关的线段三角形的边三角形的高、中线、角平分线及三角形的稳定性与三角形有关的角三角形的内角三角形的外角多边形及其内角和教学活动小结复习题11【知识精要】1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．（六）多边形①多边形的对角线2)3(nn条对角线②n边形的内角和为（n－2）×180°③多边形的外角和为360°考点11.对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高.AACA2题图DCBAEE ACBACBABC ABCEE6题图7题图5题图FEDDFD EB CA ACB B CA考点21、下列说法错误的是( ).A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点2、下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是( )3．如图3，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，则∠B等于（）A．25° B．30° C．45° D．60°4. 如图4，已知AB=AC=BD，那么∠1和∠2之间的关系是（）A. ∠1=2∠2B. 2∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D. 3∠1-∠2=180°5.如图5，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABCS∆= 42cm，则S阴影等于( )A．22cm B. 12cm C.122cm D.142cm6.如图7，BD=DE=EF=FC，那么，AE是 _____ 的中线。
人教版八年级数学上册 多边形的性质 讲义
多边形的性质图形可不止三角形，还有四边形、五边形、六边形等多边形，我们已经学了三角形的性质，那么多边形的性质是什么呢？与三角形的有什么联系呢？接下来让我们探究以下王者攻略：例1、已知一个正多边形的内角和是1800°（1）这个多边形有多少条边？（2）求这个多边形的一个内角和一个外角的度数（3）直接写出这个多边形的外角和、对角线总数例2、已知在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B：∠C：∠D=1:2:3，则∠C=_________1、单独用一种正多边形铺地面，哪一种不能铺满？( )A、正三角形B、正方形C、正五边形D、正六边形2、商店出售下列形状的地砖：①正方形②长方形③正五边形④正六边形。
若只选购其中某一种地砖镶嵌地面。
可供选用的地砖共有（)A、1种B、2种C、3种D、4种3、下列能镶嵌的多边形组合是( )A.正方形和正六边形B.正方形和正五边形C三角形和正方形. D.正六边形和正八边形4、下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是( )A. 正六边形和正三角形B. 正三角形和正方形C. 正八边形和正方形D. 正五边形和正八边形5、从10边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是____6、从7边形的一个顶点作对角线，可以作出对角线的条数是____7、十二边形所有对角线的条数是_______条8、一个多边形有14条对角线，则这个多边形的边数是______9、一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为2520°，则原多边形有_______条边例3、一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数例4、如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是（）A．k B．2k+1 C．2k+2 D．2k－2例5、一个多边形的每一个内角都是108°，则这个多边形的边数是_______10、内角和等于外角和的多边形是（）A、三角形B、四边形C、五边形D、六边形11、正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（）边形．A．8 B．9 C．12 D．1012、多边形每一个内角都等于150°，则这个多边形是____边形，从此多边形一个顶点发出的对角线有____条，从此多边形一个顶点发出的对角线分成的三角形有___个13、一个多边形的外角和是内角和的2，求这个多边形的边数714、有两个正多边形，它们的边数之比是1:2，且第二个正多边形的内角比第一个正多边形的内角大15°，求这两个正多边形的边数15、已知一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2400°，则这个多边形的边数是多少？这个外角的度数是多少？。
第12章旋转全等模型之夹半角模型讲义人教版八年级数学上册
“夹半角”模型模块一：夹半角模型知识导航夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如图所示。
这类题目有其固定的做法，当a取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。
夹半角的常见分类：（1）90度夹45度（2）120度夹60度（3）2a夹a题型一：90°夹45°例1 、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，E在BC上，F在CD 上，且∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF；（2练习：1、在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC（1）DF－BE=EF；（2）∠AEB+∠AEF=180°.2、如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC=∠、CN、MN之间的数量关系并证明。
题型二：120°夹60°例2、已知如图所示，△ABC为等边三角形，∠且∠MDN=60°.（1）求证：BM+CN=MN；（2）若将上题条件中的“△ABC的一个内角∠A=60°明：若不成立，请说明理由。
练习：1、如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF.2、如图所示，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°DC延长线上，且AE=EF+CF，求证：∠EBF=60°.题型三：2a夹a例3、如图，在四边形ABCD中，M、N分别为AB、，∠∠BDC，求证：BM+CN=MN.例4 在等边△ABC的两边AB、AC，BD=DC，当M、N分别在直线AB、AC（1）当点M、N在边AB、AC上，试求出BM、NC、ABC的周长L 的关系；（2）当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上试，若AN=2，则Q=__________（用含有L 的式子表示）。
练习：如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为 等腰直角三角形，A （4，4）. （1）求B 点坐标；（2）过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上的一点，G 为EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰直角Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式1AM FM-=是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．顶点：A，B，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C．．二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和.2. 三角形的主要线段三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点.三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、 三角形的角1 三角形内角和定理结论1：△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180° ※三角形中至少有2个锐角结论2：在直角三角形中，两个锐角互余． ※三角形中至多有1个钝角注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数ADBCCBAD2三角形外角和定理外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
3、多边形的对角线(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。
任意凸形多边形的外角和等于360°※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。
【考点三】判断三角形的形状8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。
9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC 的形状。
10、若△ABC的三边为a、b、c（a与b不相等），且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断△ABC的形状。
二、三角形角有关计算1.如图△ABC中AD是高,AE、BF是角平分线，它们相交于点O,∠A= 50°,∠C = 70°求∠DAC,∠AOB解∵AD是△ABC的高,∠C = 70°∴ ∠DAC =180°-90°-70°=20°∵ ∠BAC =50°∴ ∠ABC =180°-50°-70°=60°∵ AE 和BF是角平分线∴ ∠BAO =25°, ∠ABO =30°∴ ∠AOB =180°-25°-30°=125°2.如图, △ABC 中, D 是BC 边上一点，∠1= ∠2, ∠3=∠4，∠BAC= 63°,求∠DAC 的度数3. 已知：P 是△ABC 内任意一点. 求证：∠BPC ＞∠A4.如图，∠1=∠2， ∠3=∠4，∠A= 100°，求x 的值:000000000112,2312234422418026318039633924x x x x BAC x x x DAC ∠=∠=∠∴∠=∴∠=∠+∠=∠=∠∴∠=∠+∠+∠=∴++=∴=∴∠=-=解设又又5.已知△ABC的∠B、∠C的平分线交于点O。
求证：∠BOC=90°+ ∠A (角平分线模型)6.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线，交于点P。
求证：∠P=90°- ∠A (角平分线模型)7.△ABC中，∠ABC的平分线BD和△ABC的外角平分线CD交于D，求证：∠A=2∠D (角平分线模型)8.△AOB中，∠AOB=90°,∠OAB的平分线和△ABC的外角∠OBD平分线交于P，求∠P的度数9.如图：求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC (飞镖模型)第12章全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作ABC∆≌DEF∆2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等二、全等三角形的判定1 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)三边对应相等的两三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等. 有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL ）2．全等三角形证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS ③②①3全等三角形的隐含条件：①公共边（或公共角）相等 ②对顶角相等 ③利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等全等三角形（SAS ） 【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.证明：在△ABE 和△ACD 中， AB=AC ，∠B AE =∠C AD AD=AE∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论给出证明.【例3】如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度数.【例4】如图，点A、一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC。
求证：BC∥EF。
【例5】如图，已知△ABC、△BDE 均为等边三角形。
求证：BD＋CD=AD。
全等三角形（SSS）【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”，几何表示【典型例题】【例1】如图，在ABC∆中，M在BC 上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 求证：AM是ABC∆的角平分线证明:在△ABD和△ACD中，AB=ACDB=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD (SSS)∴∠B AD=∠C AD又∵AB=AC∴MB=MC∴AM是ABC∆的角平分线(三线合一)【例2】如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。
求证：BD⊥AC。
DCBA例3. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：∠B=∠C。
F（图22）EDCBA例4. 如图，在ABC∆中,∠C，D、=90E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE⊥AB。
全等三角形（AAS ） 【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS ”，【典型例题】证：BC=EF【例1】已知如图，DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求【例2】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE【例3】已知：如图，AB =AC ，BD AC ，CE AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．ADB EC F【例4】已知如图，4∠∠，点P在AB上，可以得出PC=PD吗试证明之．=∠=,231∠DA全等三角形（ASA ） 【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS ”，【典型例题】【例1】如图，已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =． ED CB A【例2】如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN＝∠MRN＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ≌△NHQ（ASA ） ∴PM＝HN【例3】已知：如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M是AB的中点 , 连结CM并延长交BD于点F。
求证：AC=BF．全等三角形（HL）【知识要点】直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”【典型例题】1、如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．求证：AB∥CD．例2、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DAE；②DF⊥BC．例3、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM⊥MN 于M ，BN⊥MN 于N 。