陕西省2015年中考专题复习红卷：综合与实践(含答案)

综合与实践
1.问题探究
（1）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC =6，作高AD ，则△ABC 的面积 为 ．
（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在对角线AC 上，且CP ＝CB ，求△PCB 的面积． 问题解决
（3）如图③，△ABC 是一块商业用地，其中∠B ＝90°，AB ＝30米，BC ＝40米，某开发商现准备再征一块地，把△ABC 扩充为四边形ABCD ，使∠D ＝90°．是否存在面积最大的四边形ABCD ？若存在，求出四边形ABCD 的最大面积；若不存在，请说明理由．
第1题图 解：（1）12；
【解法提示】如解图①，在Rt △ABD 中，AB =5，BD =13,2
BC =
4,AD ∴===
11
6412;22
ABC S BC AD ∆∴=
⋅=⨯⨯= 第1题解图① （2）如解图②，过点P 作PE ⊥BC ，垂足为E ，则PE //AB , ∴△CPE ∽△CAB ,
,CP PE CA AB
∴
= 在Rt △ABC 中，90,3,4,ABC AB BC ∠===
5,4,53
12
,
5111224
4;
2255
PBC AC PE PE S BC PE ∆∴==∴=∴=∴=⋅=⨯⨯= 第1题解图② （3）如解图③，作△ABC 的外接圆⊙O ,
90,ABC ∠= ∴AC 为⊙O 的直径，
90ADC ∠=又， ∴点D 在⊙O 上.
在Rt △ABC 中，90,30,40,B AB BC ∠===
50.AC ∴= 1
25,2
OD AC ∴=
= 过点D 作DN ⊥AC ，垂足为N ，
,11
304060022
ABC ACD ABCD ABC
S S S S AB BC ∆∆∆=+=⋅=⨯⨯=四边形而， ∴只要ACD S ∆最大，那么ABCD S 四边形最大，
21
,2
251
2550256252
6006251225.
ACD ACD S AC DN DN DO DN S ABCD ∆∆=
⋅≤=∴=⨯⨯=∴+=又
而，当时，最大，即，
四边形的最大面积为：（米）
2.问题探究 第1题解图③ （1）如图①，点E 是正△ABC 高AD 上的一定点，请在AB 上找一点F ，使EF
＝2
1
AE ，并说明理由；
（2）如图②，点M 是边长为2的正△ABC 高AD 上的一动点，求2
1
AM +MC 的最小值； 问题解决
（３）如图③，A 、B 两地相距600 km ，AC 是笔直的沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B 到AC 的最短距离为360 km ．今计划在铁路线AC 上修一个中转站M ，再在BM 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A 到M 再通过公路由M 到B 的总运费达到最小值，请确定中转站Ｍ的位置，并求出AM 的长．（结果保留根号）
第2题图
解：（1）如解图①，作EF ⊥AB ，垂足为点F ，点F 即为所求
.
第2题解图
（2）如解图②，作CN ⊥AB ，垂足为点N ，交AD 于点M ，此时1
2
AM MC +最小，最小为CN 的长.
∵△ABC 是边长为2的正三角形，
sin 6022
1
2
CN BC MN CM CN AM MC ∴=⋅=⨯=∴+==
+=
即
1
2
AM MC +
（3）如解图③，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，在AC 异于点B 的一侧作30,CAN ∠= 作BF ⊥AN ，垂足为点F ，交AC 于点M ，点M 即为所求.
在Rt △ABD 中，480(km),AD ===
在Rt △MBD 中，30tan301203(km),MBD MAF MD BD ∠=∠==⋅=，得
∴(480AM AD MD =-=-
第2题解图③ 3.如图①，在△ABC 中，中线AD 将△ABC 分成面积相等的两部分，我们称直线AD 为“好线”．
（1）在图②中，利用尺规作图，试确定四边形ABCD 对角线BD 的中点（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）如图③，试确定四边形ABCD 的“好线”；
（3）如图④，AF 是五边形ABCDE 的一条“好线”,M 为AE 边上一点，试作出经过点M 的五边形ABCDE 的“好线”MN ，并简单说明理由.
第3题图
解：( 1 )BD 的中点如解图①中的点Ｐ所示； ( 2 ) 如解图②，由（１）可知，点Ｐ是BD 的中点， 连接AP 、CP ，
则.ABP BCP ADP CDP ABCP ADCP S S S S S S ∆∆∆∆=+=+=四边形四边形
连接AC ，过点Ｐ作ＰＥ∥ＡＣ交ＣＤ于点Ｅ，连接ＡＥ交ＰＣ于点Ｆ． 则ACP ACE S S ∆∆=, ∴APF CEF S S ∆∆= ∴APE ABCE S S ∆=四边形．
故直线AE 是平分四边形ABCD 的“好线”；
( 3 )如解图③，连接MF ，过点Ａ作ＡN ∥MF 交CD 于点Ｎ，连接MN ，交AF 于点O ，则直线MN 就是经过点M 的五边形ABCDE 的“好线”． 理由如下：
∵AF 是五边形ABCDE 的“好线”，
∴,ABCF AEDF S S =四边形四边形 ∵AN ∥MF ， ∴AMN AFN S S ∆∆=， ∴AOM NOF S S ∆∆=,
∴ABCNM
MNDE
S
S =五边形四边形，
∴直线MN 就是经过点M 的五边形ABCDE 的“好线”.
第3题解图
4.若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此三角形为该 图形的内接三角形．
（１）在图①中画出△ABC 的一个内接直角三角形；
（２）如图②，已知△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝8，AD 为BC 边上的高，探究以D 为一个顶点作△ABC 的内接三角形，其周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（３）如图③，△ABC 为等腰直角三角形，∠C ＝90°，AC ＝６，试探究：△ABC
的内接等腰直角三角形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
第4题图
解：（1）如解图①，△DEF为所求作的三角形（答案不唯一）；
第4题解图
（2）存在．
如解图②，分别作点D关于AB、AC的轴对称点D'、D''，连接D D'''，交AB、AC于点E、F，
连接DE、DF，则△DEF即为周长最小的内接三角形，
D D'''的长即为最小周长．
∵AB＝８，∠Ｂ＝45°，AD⊥BC，∴AD＝AB·si45°＝
∵点D关于AB、AC的轴对称点分别为D'、D''，
'''＝2∠BAC＝120°,
∴AD′＝AD''＝AD＝D AD
过点A作AH⊥EF于点H，
''＝30°,
在Rt△AHD''中，∠AD H
∴HD''＝AD''·cos30°＝
∴△DEF周长的最小值为
(3)分类讨论：
①当内接等腰直角三角形的直角顶点在斜边AB上时，
如解图③，∵∠ACB ＝∠EDF ＝９０°，
以EF 为直径画圆，则点Ｃ、Ｄ在圆上， 第4题解图③ 连接CD ，∵DE ＝DF ， ∴∠ACD ＝∠BCD ，又∵AC ＝BC ，
∴CD 是AB 边上的中线，点D 是AB 边的中点， 过点D 作DE ′⊥AC ，DF′⊥BC ，此时，DE′、DF′最短． 当点E 与E′重合，点F 与F′重合时，△DEF 的面积最小， 此时四边形CEDF 为矩形． 设DE ＝x ，则BC ＝2DE ＝2x ＝6， ∴x ＝3，∴S 最小＝
9
2
； ②当内接等腰直角三角形的直角顶点在直角边上时，如解图④， 过点F 作FG ⊥BC 于点G ，设DG ＝y ，GF ＝x ，易证△CDE ≌△GFD ， ∴CD ＝FG ＝x ， ∵∠B ＝45°，FG ⊥BC ， ∴GB ＝GF ＝x ，
∴BC ＝CD ＋DG ＋GB ＝2x ＋y ＝6，即y ＝6－2x .
2222
211
()22
51218251218(255DEF S DF y x x x x ∆==+=
-+=-+）
故当x=
12
5
时，18.5S =最小 第4题解图④
∵918
25
>, ∴△DEF 的面积存在最小值，其最小值为18
5
.。