高中数学极限
高中数学解极限问题的技巧
高中数学解极限问题的技巧在高中数学学习中，极限是一个重要的概念，也是数学分析的基础。
解决极限问题需要一定的技巧和方法，下面我将介绍一些常见的解极限问题的技巧，希望能对高中学生和他们的父母有所帮助。
一、利用代数运算法简化式子在解极限问题中，有时候我们会遇到复杂的式子，难以直接求解。
这时，可以尝试利用代数运算法简化式子，使其更容易处理。
例如，对于形如$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用泰勒展开公式将$\sin x$展开成$x$的幂级数，然后化简式子，得到$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$。
二、利用等价无穷小替换在解极限问题时，有时候我们可以利用等价无穷小替换来简化计算。
等价无穷小是指当$x$趋于某个特定值时，与之相比的无穷小量。
例如，对于形如$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用等价无穷小替换$\sin x \approx x$，将原式化简为$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$。
三、利用夹逼定理求解夹逼定理是解极限问题中常用的方法之一。
当我们遇到一个难以直接求解的极限问题时，可以尝试利用夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得这两个函数的极限都等于要求的极限，从而确定极限的值。
例如，对于形如$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用夹逼定理，构造两个函数$f(x)=x$和$g(x)=\sin x$，显然有$f(x) \leq\frac{\sin x}{x} \leq g(x)$。
当$x$趋于0时，$f(x)$和$g(x)$的极限都等于1，因此根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$。
四、利用洛必达法则求解洛必达法则是解决极限问题中常用的方法之一。
高中数学lim公式
高中数学lim公式
高中数学中，lim公式主要有两个重要极限公式。
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)。
也可以理解为，当自变量趋于0时，自变量的正弦和自变量趋近于零的程度等效，也就是后续的等价无穷小。
而按照等价无穷小的定义，两个无穷小商的极限为1，则互为等价无穷小。
第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
这个公式中将1/x换成y，用变量代换法可以产生出另一个公式。
这两个公式虽然形式不一样，但本质都相同。
都为1加无穷小的无穷大次方近似为1。
这两公式中的自变量也可换为单项式多项式，从而由一个公式可以产生无数个公式。
以上信息仅供参考，建议查阅高中数学教材或咨询数学老师获取更多信息。
高中数学知识点总结数列极限与函数极限
高中数学知识点总结数列极限与函数极限高中数学知识点总结：数列极限与函数极限数学是一门基础性的学科，而数学中的数列极限与函数极限在高中阶段被广泛研究和应用。
本文将对高中数学中的数列极限与函数极限进行总结和解析。
以下是各章节的内容：一、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念，它在解析几何、微积分等数学领域中都有着重要的应用。
数列极限的定义是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素也趋于某个确定的数。
数列极限可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛数列收敛数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于某个确定的数。
收敛数列的定义涉及到两个重要概念：极限和无穷大。
在对数列进行分析时，可以通过计算数列的通项公式或者观察数列的性质来确定数列的极限。
2. 发散数列发散数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于无穷大或者无穷小。
发散数列在数学中也有重要的研究价值，它们常常与函数极限或者无穷小量相联系。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的数。
函数极限也分为收敛和发散两种情况。
1. 左极限和右极限函数在一点的左极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从左边逼近的极限值。
同理，右极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从右边逼近的极限值。
左极限和右极限在研究函数的连续性和间断点时起着重要的作用。
2. 无穷极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限被称为无穷极限。
无穷极限有正无穷和负无穷两种情况。
通过研究函数的无穷极限，可以了解函数在无穷远处的行为特征。
三、数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限实际上是密切相关的。
当函数的自变量取数列中的元素，并且这个数列收敛时，函数的极限可以与数列的极限相联系。
这种联系在高等数学的各个领域中都有着重要的应用。
综上所述，数列极限与函数极限是高中数学中的重要知识点。
通过深入理解数列极限和函数极限的概念以及它们之间的关系，可以更好地应用于解决实际问题和推导更高级的数学理论。
破解高中数学中的极限问题的解题方法
破解高中数学中的极限问题的解题方法数学是一门由逻辑和推理构成的学科，其中极限问题是数学中一个重要的概念。
高中数学中的极限问题涉及到函数的趋势、曲线的性质以及数列的发散和收敛等方面。
对于学生来说，掌握破解高中数学中的极限问题的解题方法对于提高数学思维和解决问题的能力至关重要。
一、理解极限的概念在破解高中数学中的极限问题之前，我们首先需要理解极限的概念。
极限是指函数或数列在某一点或无穷远处的临近情况。
数学中用极限来描述函数的趋势和数列的发散或收敛。
通过理解极限的概念，我们能更好地掌握解题方法。
二、运用基本的极限定理破解数学中的极限问题，我们可以运用一些基本的极限定理。
其中包括函数的极限定理和数列的极限定理。
函数的极限定理包括函数的极限运算法则、函数的最值与极限的关系、复合函数的极限等。
数列的极限定理包括数列的夹逼定理、数列极限运算法则等。
熟练掌握基本的极限定理有助于我们解决各种极限问题。
三、利用极限的性质和公式在破解高中数学中的极限问题时，我们可以利用一些极限的性质和公式来简化计算和推导过程。
比如，利用极限的四则运算法则、极限的乘积法则、极限的商法则等，将原问题转化为容易计算的形式。
此外，还可以利用一些极限的公式，如指数函数的极限公式、三角函数的极限公式等，使得解题更加简洁高效。
四、应用洛必达法则洛必达法则是解决高中数学中的极限问题中常用的一种方法。
当我们遇到函数的极限难以直接求解时，可以尝试应用洛必达法则进行转化。
洛必达法则利用了函数的导数与函数极限之间的关系，通过对导数的求解和化简，从而求出原函数的极限值。
但需要注意的是，洛必达法则只适用于某些特定的情况，需要注意条件的适用性和正确的运用。
五、分析问题及举一反三破解高中数学中的极限问题，除了掌握解题方法外，我们还需要培养分析问题和举一反三的能力。
在解题过程中，我们需要仔细分析问题的条件和要求，找出关键点并加以运用。
同时，通过解决一个问题，我们要尝试将其推广和拓展到其他相关的问题，从而提高自己的数学思维和解题能力。
高考数学 必看之知识点总结 极限 试题
高中数学第十三章-极 限考试内容：教学归纳法．数学(sh ùxu é)归纳法应用． 数列(sh ùli è)的极限．函数(h ánsh ù)的极限．根限的四那么运算．函数的连续性． 考试(k ǎosh ì)要求：〔1〕理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 〔2〕理解数列极限和函数极限的概念．〔3〕掌握极限的四那么运算法那么；会求某些数列与函数的极限．〔4〕理解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13. 极 限 知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确；②假设当〔〕时，结论正确，证明当时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数n 有关的命题，假如①当〔〕时，)(n P 成立；②假设当〔0,n k N k ≥∈+〕时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立.那么，根据①②对一切自然数时，)(n P 都成立.2. ⑴数列极限的表示方法： ① ②当时，.⑵几个常用极限： ①〔为常数〕②③对于任意(r èny ì)实常数， 当时，当时，假设(ji ǎshè)a = 1，那么；假设(ji ǎshè)，那么(nàme)不存在 当时，不存在⑶数列极限的四那么运算法那么： 假如，那么①② ③特别地，假如C 是常数，那么.⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为.〔化循环小数为分数方法同上式〕 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限；⑴当自变量无限趋近于常数〔但不等于0x 〕时，假如函数无限趋进于一个常数，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作或者当时，.注：当0x x →时，)(x f 是否存在(c únz ài)极限与)(x f 在0x 处是否认(f ǒur èn)义无关，因为0x x →并不要求(y āoqi ú).〔当然(d āngr án)，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关.函数)(x f 在0x 有定义是存在的既不充分又不必要条件.〕 如在处无定义，但存在，因为在1=x 处左右极限均等于零.⑵函数极限的四那么运算法那么： 假如，那么 ①② ③特别地，假如C 是常数，那么. 〔〕注：①各个函数的极限都应存在.②四那么运算法那么可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.⑶几个常用极限： ①②〔0＜a ＜1〕；〔a ＞1〕③④，〔〕4. 函数的连续性：⑴假如(ji ǎr ú)函数f 〔x 〕，g 〔x 〕在某一点(y ī di ǎn)连续(li ánx ù)，那么函数在点0x x =处都连续(li ánx ù).⑵函数f 〔x 〕在点0x x =处连续必须满足三个条件： ①函数f 〔x 〕在点0x x =处有定义；②存在；③函数f 〔x 〕在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即.⑶函数f 〔x 〕在点0x x =处不连续〔连续〕的断定：假如函数f 〔x 〕在点0x x =处有以下三种情况之一时，那么称0x 为函数f 〔x 〕的不连续点.①f 〔x 〕在点0x x =处没有定义，即不存在；②)(lim 0x f x x →不存在；③)(lim 0x f x x →存在，但.5. 零点定理，介值定理，夹逼定理： ⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点〔a ＜ξ＜〕使.⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得〔a ＜ξ＜b 〕.⑶夹逼定理：设当时，有≤)(x f ≤，且，那么必有注：：表示以0x 为的极限，那么||0x x -就无限趋近于零.〔ξ为最小整数〕6. 几个常用极限：①②③为常数(chángshù)〕④⑤为常数(chángshù)〕内容总结（1）高中数学第十三章-极限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四那么运算．函数的连续性．考试要求：〔1〕理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．〔2〕理解数列极限和函数极限的概念．〔3〕掌握极限的四那么运算法那么（2）②不存在。
高中数学数列极限的性质与计算方法详解
高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。
本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。
2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。
3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。
二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。
2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。
3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。
高中数学极限公式
高中数学极限公式高中数学中，极限是一个重要的概念。
它在各种数学分支中都有重要的应用，并且是理解和掌握高中数学的基础。
为帮助读者更好地理解和应用极限，下面将介绍一些常用的极限公式和性质。
1.基本极限公式：(1)极限的四则运算法则：a) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，那么$\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = L \pm M$。
b) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，那么$\lim_{x \rightarrow a} (f(x)\cdot g(x)) = L \cdot M$。
c) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，且$M \neq 0$，那么$\lim_{x \rightarrow a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{L}{M}$。
(2)常数极限公式：a) $\lim_{x \rightarrow a} k = k$（常数的极限等于它本身）。
b) $\lim_{x \rightarrow a} x = a$（自变量的极限等于它的取值点）。
c) $\lim_{x \rightarrow a} x^n = a^n$（幂函数的极限等于各次幂的极限）。
2.无穷大与无穷小：(1) 无穷大的定义：如果对于任意的正数$M$，都存在正数$\delta$，使得当$0 < ，x-a， < \delta$时，有$，f(x)， > M$，那么我们称函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限为无穷大，记为$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty$。
高中数学知识点第十三章-极 限
高中数学第十三章-极 限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13. 极 限 知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立.2. ⑴数列极限的表示方法：①a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.⑵几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数） ②),(01lim 是常数k N k nk n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim =∞→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞→)(lim ②b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim③)0(lim ≠=∞→b ba b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11 q q a S -=. （化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =.（当然，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关.⇒函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x →存在的既不充分又不必要条件.） 如⎩⎨⎧+--=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零.⑵函数极限的四则运算法则：如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0③)0()()(lim 0≠=→b ba x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么)(lim ))((lim 00x f C x f C x x x x →→=⋅. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→=（+∈N n ） 注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①01lim =∞→xn ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0li m =-∞→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→x x x④e x x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件： ①函数f （x ）在点0x x =处有定义；②)(lim 0x f x x →存在；③函数f （x ）在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→. ⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定： 如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在；③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf . ⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当δ ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）6. 几个常用极限： ①1,0lim q q n n =+∞→ ②)0(0!lim a n a nn =+∞→ ③k a a n n kn ,1(0lim =+∞→为常数） ④0ln lim=+∞→n n n ⑤k n n k n ,0(0)(ln limεε=+∞→为常数）。
高中数学知识点：极限
高中数学知识点：极限1. 什么是极限？答：极限是一个变量趋近于某一值时（通常是无穷大或无穷小）的过程。
2. 举例说明什么是极限。
答：比如当x趋近于无穷大时，1/x的极限为0。
3. 什么是单侧极限？答：当变量趋近于某一点时，如果左右两侧的极限不相等，那么就存在单侧极限。
4. 什么是无穷小？答：当变量趋近于某一值时，如果该变量趋近于0，那么该变量被称为无穷小。
5. 无穷小与极限有何关系？答：无穷小是用来描述极限过程中变量的行为，也就是当变量趋近于某一值时的表现。
6. 极限存在的条件是什么？答：当左右两侧的极限相等时，极限才存在。
7. 极限不存在的情况有哪些？答：1）当左右两侧的极限不相等时；2）当左右两侧的极限均不存在时。
8. 极限的运算规则有哪些？答：1）极限的加减法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b，则lim[f(x)±g(x)]=a±b；2）极限的乘法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b，则lim [f(x)g(x)]=ab；3）极限的除法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b（b≠0），则lim [f(x)/g(x)]=a/b。
以上规则仅在极限存在的情况下成立。
9. 什么是函数的连续性？答：函数在某一点处连续，当且仅当该点左右两侧的极限相等，且该点处的函数值等于其极限值。
10. 极限的应用有哪些？答：极限在微积分中有广泛的应用，如求导、积分等。
练习题：1. 求limx→1 (x^2-1)/(x-1)。
答：limx→1 (x^2-1)/(x-1) = limx→1 (x+1) = 2。
2. 求limx→∞ (2x+1)/(4x-2)。
答：limx→∞ (2x+1)/(4x-2) = limx→∞ (2+1/x)/(4-2/x) = 1/2。
3. 求极限limx→2 (2x+5)/|x-2|。
答：左极限：limx→2^- (2x+5)/|x-2| = -7/0^- = 无穷大；右极限：limx→2^+ (2x+5)/|x-2| = 9/0^+ = 无穷大。
人教版高中数学课件：高二数学课件-数列的极限
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
高考数学中的极限问题复习
高考数学中的极限问题复习高中数学中的极限概念是一项重要的内容，是解决数学问题的基础。
在高考中，极限问题占有很大的比重，要想在高考数学中取得更好的成绩，就必须对极限问题有一定的掌握。
在这篇文章中，我将从极限的定义、极限的计算方法以及极限题目解析等方面对高考数学中的极限问题进行复习。
一、极限的定义极限是指一组数列或函数在趋于某个数或趋于无穷大时的极端表现，是求解数学问题的基本概念。
在数学上，极限的定义可分为数列极限和函数极限两种。
对于数列 $\{a_n\}$，当 $n$ 趋向于无穷大时，如果数列$\{a_n\}$ 的极限存在，记为 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$，则称数列 $\{a_n\}$ 的极限为 $A$。
即极限存在当且仅当 $a_n$ 能够无限接近于 $A$。
对于函数 $f(x)$，当 $x$ 趋向于某个数 $a$ 时，如果函数$f(x)$ 的极限存在，记为 $\lim_{x \to a} f(x) = L$，则称函数$f(x)$ 当 $x$ 趋于 $a$ 时的极限为 $L$。
即当 $|x - a|$ 越来越小时，$f(x)$ 能够越来越接近于 $L$。
二、极限的计算方法在高考中，极限的计算方法是重中之重，以下是常见的计算方法：（1）常数与常数的和、积、差的极限：对于数列 $\{a_n\}$ 或函数 $f(x)$，若 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim_{n \to \infty}b_n = B$，则：$$\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = A+B$$$$\lim_{n \to \infty}a_n b_n = AB$$$$\lim_{n \to \infty}(a_n - b_n) = A-B$$（2）分式的极限：若 $\lim_{n \to \infty} f(x) = A$，$\lim_{n\to \infty} g(x) = B\neq 0$，则：$$\lim_{n \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$$（3）复合函数的极限：对于函数 $f(x)$，$g(x)$，若 $\lim_{x \to a}f(x) = A$，$\lim_{x \to A}g(x) = B$，则：$$\lim_{x \to a}g(f(x)) = B$$三、极限题目解析以下是几道高考数学中的典型极限题目解析：（1）已知函数 $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + x - 6}$，求$\lim_{x \to -2}f(x)$。
高三数学函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函
数 y f ( x ) 的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数 y f ( x ) 的极限是a，
记作 limf (x) a x
也就是说：当 lim f ( x ) = lim f ( x ) =a时，才
lim f (x) C .
x x0
注意：
（1）lim f (x) x x0
中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2）lim f (x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
大底圣贤发愤之所为作也。”所有这些，都是典型的事例。 再综观当代文坛，哪个成功的作家没有被逼过？他被报社、出版社的人逼，也被他自己逼。读者逼主编；主编逼作家；作家逼自己，逼得想睡也不能睡，不想写也得写。问题是，多少惊人的作品就这样诞生了。 从某种
意义上说，逼学生的老师，何尝没有逼自己？“教学相长”不也是“教学相逼”吗？ 常言道：“用进废退。”当外部有压力逼你“用”的时候，你的学识、才干等将会有很大的长进。因此，你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。 作文题三十八 阅读下面的材料，根据要求作文。
人生，而以怎样的态度，持怎样的价值观，就是一个不可回避的问题。对于两种心态、行为、价值观，拟题者并未厚此薄彼，学生亦无需定势思维，完全可以从自己的生活体验出发，以自己的人生判断为尺度，真诚地表达自己要说的话，风行水上，自然成文，就是好文章。 作文题三十
四 阅读下面的材料，根据要求作文。 我们周围很多古代遗址都得到了保护和修缮，电视上几个戏曲节目备受欢迎，书市上古代文化类的图书也在悄悄升温，在重大的节日里很多人都穿起了唐装……传统的历史文化气氛笼罩着我们的生活。就连2008年将在举行的奥运盛会，也提出
高中数学极限问题解题思路与例题
高中数学极限问题解题思路与例题在高中数学中，极限问题是一个重要的概念，它在微积分和数学分析等领域中发挥着重要的作用。
解决极限问题需要良好的数学思维和方法，本文将介绍一些常见的解题思路，并通过例题来说明。
一、数列极限问题的解题思路1. 递推法：对于递推数列，通过递推关系式来确定极限。
例如，对于等差数列an=2n+1，可以通过推导和观察得出其极限为无穷大。
2. 逼近法：对于数列an，通过构造逼近数列bn，使得bn与an的差趋近于零，然后求出bn的极限，进而得到an的极限。
例如，在求解数列an=√n的极限时，可以构造逼近数列bn=n，通过求bn的极限等于无穷大，得出an的极限也等于无穷大。
3. 按定义法：对于给定的数列an，根据极限的定义进行证明。
例如，证明数列an=1/n的极限为零，可以通过定义极限的方式来进行推导。
二、函数极限问题的解题思路1. 代入法：当函数在某一点不存在或无法求极限时，可以尝试代入近似值进行计算。
例如，求f(x)=sinx/x在x=0处的极限时，可以通过代入x的近似值0.001、0.0001等进行计算。
2. 夹逼法：对于函数f(x)，如果在某一区间内存在两个函数g(x)和h(x)，且g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x)和h(x)的极限均为L，则可以推导出f(x)的极限也为L。
例如，在证明函数f(x)=xsin(1/x)在x=0处的极限为零时，可以构造函数g(x)=-|x|和h(x)=|x|，并证明f(x)被夹在g(x)和h(x)之间。
3. 导数法：对于某些特殊的函数，可以通过求导数来求极限。
例如，对于函数f(x)=e^x/x，在x趋近于正无穷时，可以通过求导数得到f'(x)=e^x/x^2，在取极限时，可以得到极限为无穷大。
三、综合例题例题1：求极限lim(n→∞) (√n+1-√n)。
解：对于这个极限问题，我们可以利用有理化的方法进行求解。
首先，我们将式子进行分子有理化，得到(√n+1-√n)×(√n+1+√n)/(√n+1+√n)。
高中数学极限与连续性
高中数学极限与连续性数学是一门抽象而又精确的科学，而高中数学中的极限与连续性是其中一项重要的内容。
在这篇文章中，我们将探讨高中数学中的极限与连续性概念，以及它们的应用和重要性。
一、极限的概念在高中数学中，极限是指当自变量逼近某一特定值时，函数值逐渐趋近于某一确定的值。
极限可以用符号“lim”表示，并且具有一些基本的性质，如极限的唯一性和极限的保序性。
极限的计算可以通过代入法、利用基本极限、夹逼定理等方法进行。
在实际应用中，极限在研究自然科学、经济学和工程学等领域具有广泛的应用。
例如在物理学中，我们可以利用极限概念来描述速度、加速度和力等物理量的变化情况。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点附近连续而且没有间断点的特性。
在高中数学中，我们主要研究函数在闭区间上的连续性。
函数在闭区间上连续的条件有三个：函数在该闭区间上有定义、函数在该闭区间上无间断点、函数在该闭区间上有极限。
如果一个函数在闭区间上连续，则它在该闭区间上一定有最大值和最小值。
函数的连续性在实际问题中有着重要的应用，例如经济学中的成本和收益问题，我们需要利用函数的连续性来研究最优解的存在性和性质。
三、极限与连续性的关系极限与连续性是密不可分的，它们之间存在着紧密的联系。
首先，极限是连续性的基础，只有函数在某一点的极限存在，函数才可能在该点连续。
其次，连续性可以通过极限的性质来判断。
如果一个函数在某一点连续，那么它在该点的左右极限应该存在且相等。
极限与连续性的关系也可以通过数列的极限来说明。
我们知道，数列收敛的充要条件是其极限存在，而数列的极限又与数列的连续性密切相关。
因此，我们可以通过数列的极限来判断数列的连续性。
总之，高中数学中的极限与连续性是数学中的重要内容，它们相互依存、相互补充，对于数学的发展以及实际应用都具有重要的意义。
我们需要深入学习和理解极限与连续性的概念、性质和应用，以便更好地应用于解决实际问题和深入研究数学科学。
高中数学中的极限与连续函数
高中数学中的极限与连续函数数学是一门精密而又纯粹的学科，它涉及到许多重要的概念和原理。
在数学的大门中，极限与连续函数是必修的课程，它们在高中数学中占据着重要的地位。
本文将重点探讨高中数学中的极限与连续函数的基本概念和性质。
一、极限的概念极限是数学中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一点上的趋势或变化情况。
在高中数学中，我们通常用极限符号来表示一个函数在无穷或某一点上的极限值。
例如，lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限值。
极限具有一些基本的性质。
首先，极限存在唯一性，也就是说一个函数的极限只能有一个值。
其次，如果一个函数的极限存在，那么它的左极限和右极限一定存在，并且相等。
最后，对于无穷极限，我们可以用无穷和有限的值来表示。
二、连续函数的定义与性质连续函数是极限的重要应用之一。
在高中数学中，我们称一个函数在某一点上连续，如果它在该点上的极限值等于该点的函数值。
换句话说，函数在某一点上连续，意味着它不存在跳跃或间断的情况。
连续函数具有一些基本的性质。
首先，如果一个函数在某点上连续，那么它在该点的某个小区间内也是连续的。
其次，连续函数的四则运算结果仍然是一个连续函数。
此外，连续函数与极限之间存在着紧密的联系，我们可以利用极限的性质来研究连续函数的特性。
三、极限与连续函数的应用极限与连续函数在高中数学中有着广泛的应用。
首先，它们能够帮助我们探究函数的奇点和特殊点，揭示函数图像的特征。
其次，它们在微积分中有着重要的应用，例如用于求解函数的导数和积分。
此外，极限与连续函数还与数列的收敛性和级数的求和等问题有着密切的关联。
总结：高中数学中的极限与连续函数是数学学习的重要内容。
通过学习极限的概念和连续函数的性质，我们能够更好地理解数学的本质和应用。
极限与连续函数具有广泛的应用领域，不仅在数学中扮演着重要角色，而且在其他学科中也有着重要的应用。
因此，在高中数学学习中，我们要注重理解和掌握极限与连续函数的基本概念和性质，为深入学习和应用打下坚实的基础。
高中数学学极限了吗
高中数学学极限了吗
在高中阶段学习数学，极限是一个非常关键的概念，也是数学建模、微积分等学科的基础。
但是，很多同学在初步学习后就认为自己已经掌握了极限的知识，但实际上，他们可能只是学习了一些基础的定义和公式，而未真正理解极限的本质及其应用。
首先，极限的本质是什么？在数学上，极限是指某个函数在无穷接近某个数值时的表现，可以用来描述物理、化学等实际问题中的变化趋势。
因此，学习极限不仅仅是学习一些公式和定义，还需要通过实际问题的探索和解决来理解其应用价值。
其次，学习极限需要不断扩充知识面。
除了基本的极限定义和公式外，还需要学习一些相关的知识点，如导数、微分、积分等。
这些知识点的学习可以帮助同学更好地理解极限的本质及其在实际问题中的应用。
最后，学习极限需要注重实际应用。
实际问题的探索和解决可以帮助同学更好地理解极限的概念及其应用，同时也可以提高他们的数学思维和解决问题的能力。
在学习极限时，同学们可以通过做一些实际问题的应用题目，如物理、化学等领域的问题，来加深对极限的理解。
总之，学习极限需要不断扩充知识面、注重实际应用，只有真正理解极限的本质和应用，才能在未来的数学学习和职业发展中有所作为。
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高一函数极限知识点
高一函数极限知识点函数极限是高中数学中的重要概念之一，它不仅在数学中有重要的应用，而且在物理、经济等领域也发挥着重要的作用。
在高一阶段，我们首先需要了解函数极限的定义，然后学习一些相关的性质和计算方法。
接下来，我将对高一函数极限的知识点进行详细的介绍。
一、函数极限的定义函数极限的定义是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x无限接近某个实数a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，那么我们说f(x)在x趋于a的过程中极限为L，并记作lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
二、函数极限的性质1. 极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中存在极限L，那么这个极限是唯一的，即极限不存在多个值。
2. 四则运算法则：对于两个函数的和、差、积、商，如果它们都在各自的定义域内有极限，那么其极限也存在，并且满足相应的四则运算法则。
3. 复合函数的极限：如果函数f(x)在x趋于a的过程中有极限L，而函数g(x)在x趋于L的过程中有极限M，那么复合函数g(f(x))在x趋于a的过程中有极限M。
4. 夹逼定理：如果对于同一个自变量x在某个区间(a - δ, a + δ)内的三个函数f(x), g(x), h(x)，有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)成立，并且当x趋于a时，f(x)和h(x)的极限都为L，那么函数g(x)在x趋于a的过程中的极限也为L。
三、函数极限的计算方法1. 直接代入法：当函数在某个点的取值未定义或不容易计算时，可以通过将自变量x的值直接代入函数中来计算极限。
2. 分解因式法：当函数式子中存在因式可以分解的情况时，可以将式子进行因式分解，然后逐项计算各个因子的极限，最后再利用四则运算法则计算整个函数的极限。
3. 凑零法：当函数式子中存在分式或根式，并且分子与分母之间有相同的因子时，可以通过凑零来化简式子，然后计算得到极限。
高中数学数列的极限与等比数列
高中数学数列的极限与等比数列数列是数学中非常重要的概念之一，它在高中数学中占据着重要的地位。
其中，极限和等比数列是数列的两个重要概念。
本文将详细讨论高中数学中数列的极限与等比数列，以帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
一、数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列中的项趋于某个确定的值。
我们以一个简单的数列为例进行说明，假设有数列{1, 2, 3, 4, ...}，即从1开始，每项比前一项增加1。
显然，这个数列随着项数的增加，数列中的值也在增加，但它并没有一个确定的极限值，所以我们说这个数列的极限不存在。
在数学中，对于数列的极限，有以下两个重要的概念：数列的有界性和数列的单调性。
1. 数列的有界性一个数列如果存在一个上界和下界，即所有的项都小于等于某个数M和大于等于某个数m，那么我们说这个数列是有界的。
根据数列的有界性，可以将数列分为上半有界数列和下半有界数列。
当数列的极限存在时，一定是有界的，但有界的数列不一定存在极限。
2. 数列的单调性如果数列的项随着项数的增加严格递增或者严格递减，那么我们说这个数列是单调的。
根据数列的单调性，可以将数列分为递增数列和递减数列。
当数列的极限存在时，数列一定是单调的，但单调的数列不一定存在极限。
例如，等差数列{1, 3, 5, 7, ...}就是一个递增数列，但它不存在极限。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项都与前一项成相同的比例关系。
具体可以表示为：{a, ar, ar^2, ar^3, ...}，其中a为首项，r为公比。
等比数列是一种特殊的数列，它具有一些独特的性质。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a为首项，r为公比。
通过这个公式，我们可以求解等比数列中的任意项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多重要的性质。
其中，最重要的性质之一是比值性质。
对于等比数列的相邻两项，它们的比值是相同的，即an/an-1 = r。
高中极限计算题
高中极限计算题在高中数学学科中，极限计算是一个重要的知识点，也是学生们普遍感到困难的一个部分。
极限计算问题通常要求我们求出某个函数在特定点的极限值。
本文将从三个不同的角度，来解释和探讨高中极限计算题。
一、数列的极限计算数列的极限是极限计算题中最基本、最简单的一种形式。
对于一个数列{an}而言，当n趋向于无穷大时，我们需要求出该数列的极限值。
以数列{1/n}为例，要求出该数列当n趋向于无穷大时的极限值。
首先将数列的通项表达式中的n换成一个较大的数，比如10、100、1000等，然后计算出这些数所对应的数列的值，即1/10、1/100、1/1000等。
通过观察这些数列的值，我们可以发现它们趋近于0。
因此，我们可以猜测当n趋向于无穷大时，数列{1/n}的极限值为0。
为了证明我们的猜测，需要利用数学推理方法，如夹逼准则等。
二、函数的极限计算函数的极限计算是极限计算题中较为复杂的一种形式。
对于给定的函数f(x)，我们需要求出x趋向于某个特定值时，函数f(x)的极限值。
以函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)为例，要求出函数f(x)当x趋向于1时的极限值。
首先，我们不能直接将x代入函数f(x)中计算，因为当x等于1时，分母为0，这是一个未定义的情况。
为了解决这个问题，可以通过变形或者化简来处理。
将函数f(x)进行化简，得到f(x) = x + 1。
这样，当x趋向于1时，f(x)的极限值就是2。
通过合理的变形和化简，我们可以求出函数在特定点的极限值。
三、级数的极限计算级数的极限计算是极限计算题中较为高级、较为复杂的一种形式。
级数是由数列的和所构成的数列，通常用无穷数列的形式表示。
对于给定的级数{Sn}，我们需要求出当n趋向于无穷大时，级数的极限值。
以级数{1/2^n}为例，要求出该级数当n趋向于无穷大时的极限值。
首先，我们将级数的前几项进行求和，即1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + ...，通过计算可以得到该部分的和为3/2。
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高中数学极限、数学归纳法一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．(精选考题·江西高考) lim n →∞ (1＋13＋132＋…＋13n )＝( )C ．2D ．不存在 解析：lim n →∞ (1＋13＋132＋…＋13n )＝11－13＝32.答案：B2．设函数f (x )＝(x ＋1)2(x －2)，则lim x →－1 f ′(x )x ＋1等于( ) A ．6 B ．2 C ．0 D ．－6解析：∵f ′(x )x ＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)(x －2)x ＋1＝3x －3，∴lim x →－1 f ′(x )x ＋1＝－6. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3x －1(x ＞1)ax ＋1 (x ≤1)在x ＝1处连续，则f －1(3)等于( )A ．0B ．1C ．－23解析：∵函数f (x )在x ＝1处连续，∴f (1)＝lim x →1 x 2＋2x －3x －1＝4.又当x ＝1时，f (1)＝a ＋1，∴a ＝3.当x ＞1时，令x 2＋2x －3x －1＝3，得x ＝0或1，不满足题设．当x ≤1时，令3x ＋1＝3，得x ＝23，满足题设．∴f －1(3)＝23.答案：D4．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1134时，由n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边的变化是( )A ．增加12(k ＋1)一项B ．增加12k ＋1和12k ＋2两项C ．增加12k ＋1，12k ＋2两项，同时减少1k ＋1一项D ．以上结论均错解析：n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故增加12k ＋1，12k ＋2两项，减少1k ＋1一项． 答案：C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝( )解析：由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝nn ＋2a n(n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110.猜想a n ＝2n (n ＋1).答案：B6．设a ，b 满足lim x →2 x 2－bx －2x ＋2b x －a ＝－1，则lim n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n等于( ) A ．1解析：依题意得a ＝2，lim x →2 x 2－bx －2x ＋2b x －a ＝lim x →2 (x －b )(x －2)x －2＝lim x →2 (x －b )＝2－b ＝－1，因此b ＝3.故lim n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n＝lim n →∞ 2n ＋1＋2×3n －12n －1＋2×3n ＝lim n →∞ 4×(23)n －1＋2(23)n －1＋2×3＝13. 答案：C二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7．设a ＝lim x →1 x 3－x x 4－1，则1＋a ＋a 2＋a 3＋…＝________. 解析：∵a ＝lim x →1 x 3－x x 4－1＝lim x →1 x (x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)＝lim x →1xx 2＋1＝12， ∴1＋a ＋a 2＋a 3＋…＝2. 答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a cos x (x ≥0)x 2－1 (x ＜0)在点x ＝0处连续，则a ＝________.解析：由题意得lim x →0－f (x )＝lim x →0－ (x 2－1)＝－1，lim x →0＋f (x )＝lim x →0＋a cos x ＝a ，由于f(x)在x＝0处连续，因此a＝－1.答案：－19．已知log a b＞1(0＜a＜1)，则limn→∞b n＋a nb n－a n＝________.解析：log a b＞1,0＜a＜1得0＜b＜a，∴limn→∞b n＋a nb n－a n＝limn→∞(ba)n＋1(ba)n－1＝－1.答案：－1三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10．(本小题满分15分)已知数列{a n}的前n项和S n＝(n2＋n)·3n.(1)求limn→∞a n S n ；(2)证明：a112＋a222＋…＋a nn2＞3n.解：(1)因为limn→∞a nS n＝limn→∞S n－S n－1S n＝limn→∞ (1－S n－1S n)＝1－limn→∞S n－1S n，lim n→∞S n－1S n＝13limn→∞n－1n＋1＝13，所以limn→∞a nS n＝23.(2)证明：当n＝1时，a112＝S1＝6＞3；当n＞1时，a112＋a222＋…＋a nn2＝S112＋S2－S122＋…＋S n－S n－1n2＝(112－122)·S1＋(122－132)·S2＋…＋[1(n－1)2－1n2]S n－1＋1n2·S n＞S nn2＝n2＋nn2·3n＞3n.综上知，当n≥1时，a112＋a222＋…＋a nn2＞3n.11．(本小题满分15分)已知{a n}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，a3＝2，a n＋1a n＝(a n－1＋2)(a n－2＋2)，n＝3,4,5，….试用数学归纳法证明：a n＝a n－2＋2，n＝3,4,5，…；证明：①当n＝3时，a3＝2＝a1＋2，所以等式成立；②假设当n＝k≥3时等式成立，即a k＝a k－2＋2.而由题设有a k＋1a k＝(a k－1＋2)(a k－2＋2)．由a k－2是非负整数，得a k＝a k－2＋2≠0，∴a k＋1＝a k－1＋2，即当n＝k＋1时，等式也成立．综合①②得：对任意正整数n≥3，都有a n＝a n－2＋2.12．(本小题满分16分)在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n，S n，S n－12成等比数列．(1)求a2，a3，a4并推出a n的表达式，(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：∵a n，S n，S n－12成等比数列，∴S2n＝a n(S n－12)(n≥2)①(1)由a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋a2代入①得a2＝－23，由a1＝1，a2＝－23，S3＝13＋a3代入①得a3＝－215.同理可得a4＝－235，由此可推出a n＝⎩⎨⎧1 (n ＝1)－2(2n －3)(2n －1) (n ≥2).(2)证明：①当n ＝1、2、3、4时，由(1)知猜想成立， ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，a k ＝－2(2k －3)(2k －1)成立．故S 2k ＝－2(2k －3)(2k －1)·(S k －12)，∴(2k －3)(2k －1)S 2k ＋2S k －1＝0，∴S k ＝12k －1，S k ＝－12k －3(舍)． 由S 2k ＋1＝a k ＋1·(S k ＋1－12)得 (S k ＋a k ＋1)2＝a k ＋1(a k ＋1＋S k －12)，∴1(2k －1)2＋a 2k ＋1＋2a k ＋12k －1＝a 2k ＋1＋a k ＋12k －1－12a k ＋1， ∴a k ＋1＝－2[2(k ＋1)－3]·[2(k ＋1)－1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知a n＝⎩⎨⎧1 (n ＝1)－2(2n －3)(2n －1) (n ≥2)对一切n ∈N *成立． 1．1lim x → (xx －1＋x －3x 2－1)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵xx －1＋x －3x 2－1＝x (x ＋1)＋x －3x 2－1＝x 2＋2x －3x 2－1＝(x －1)(x ＋3)(x ＋1)(x －1)＝x ＋3x ＋1，∴1lim x → (xx －1＋x －3x 2－1)＝1lim x → x ＋3x ＋1＝1＋31＋1＝2. 答案：B 2．函数f (x )＝(x －a )(x ＋b )x －c在点x ＝1和x ＝2处的极限值都是0，而在点x＝－2处不连续，则不等式f (x )＞0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(1,2)解析：由已知得：f (x )＝(x －1)(x －2)x ＋2，则f (x )＞0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)．答案：C3．设常数a ＞0，(ax 2＋1x)4的展开式中x 3的系数为32，则li m n →∞ (a ＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝________.解析：∵T r ＋1＝C r 4a 4－r x 8－5r 2，令8－5r 2＝3，得r ＝2，∴x 3的系数为C 24a 2＝6a 2＝32，则a ＝12， ∴li m n →∞ (a ＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝121－12＝1.答案：14．(精选考题·上海高考)将直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：nx ＋y －n ＝0，l 3：x ＋ny －n ＝0(n ∈N *，n ≥2)围成的三角形面积记为S n ，则lim n →∞S n ＝________.解析：如图所示，由⎩⎨⎧ nx ＋y －n ＝0，x ＋ny －n ＝0得⎩⎨⎧x ＝nn ＋1，y ＝n n ＋1，则直线l 2、l 3交于点A (n n ＋1，nn ＋1)． S n ＝12×1×nn ＋1＋12×1×n n ＋1－12×1×1＝n n ＋1－12， lim n →∞S n ＝lim n →∞(nn ＋1－12)＝lim n →∞ 11＋1n－12＝1－12＝12.答案：125．对于数列{x n }，满足x 1＝43，x n ＋1＝3x n1＋x 3n；函数f (x )在(－2,2)上有意义，f (－12)＝2，且满足x ，y ，z ∈(－2,2)时，有f (x )＋f (y )＋f (z )＝f (x ＋y ＋z1＋xyz )成立．(1)求f (43)的值；(2)求证：{f (x n )}是等比数列； (3)设{f (x n )}的前n 项和为S n ，求li m n →∞3n －2S n.解：(1)由x ＝y ＝z ＝03f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0， 令z ＝0，得f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， 再令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0， 则f (－x )＝－f (x )．所以f (43)＝f (12)＋f (12)＋f (12)＝3f (12)＝－3f (－12)＝－6.(2)证明：由x 1＝43，结合已知可得0＜x n ＋1＝3x n 1＋x 3n ＝31x n＋x 2n≤34＜2； 由f (x n ＋1)＝f (3x n 1＋x 3n )＝f (x n ＋x n ＋x n1＋x 3n)＝f (x n )＋f (x n )＋f (x n )＝3f (x n )， 得f (x n ＋1)f (x n )＝3，即{f (x n )}是以－6为首项，以3为公比的等比数列，且f (x n )＝－2×3n.(3)由S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－6×(1－3n )1－3＝3×(1－3n )，得lim n →∞ 3n －2S n＝lim n →∞ 3n －23×(1－3n )＝lim n →∞ 1－23n3×(13n －1)＝－13.。