高数极限与函数等价代换公式(考试必备)
等价无穷小替换公式表
等价无穷小替换公式表
等价无穷小替换公式如下：
1、sinx~x
2、tanx~x
3、arcsinx~x
4、arctanx~x
5、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。
求极限时使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
无穷小比阶：
高低阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=0，则称当x趋近于x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。
同阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=c（c不等于0），ƒ和ɡ为x趋近于x0时的同阶无穷小量。
等价无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=1，则称ƒ和ɡ是当x趋近于x0时的等价无穷小量，记做f（x）~g（x）[x趋近于x0]。
极限中的等价代换常用公式
极限中的等价代换常用公式极限是数学中非常重要的一个概念，常常被应用在数学、物理、化学等领域中。
其实，没有极限，很多事情就无法成立。
然而，计算极限往往非常困难，而等价代换公式则是计算极限时的一种重要的工具。
一、什么是等价代换公式？等价代换公式指的是在计算极限时，将一类特殊的表达式转换成另外一种形式，以便于计算。
换句话说，等价代换公式是将一个函数或表达式转化为另一种函数或表达式，使得它们在某些情况下有相同或接近的值。
这种转化不改变函数的极限值，因为两个等价的函数在极限点处有相同的极限。
二、为什么需要等价代换公式？在计算某些特殊函数的极限时，我们常常会遇到一些难以处理的函数。
例如，对于函数f(x)=(1+2x)(x-1)/(x+4)，在x趋于正无穷时，其极限无法直接计算。
而借助等价代换公式，我们可以将这个函数转化为一个更加容易处理的函数，例如(x-1)/(x+4)，进而求出该函数的极限值。
三、等价代换公式的常用方法1. 常数倍代换法在求f(x)的极限时，如果f(x)可以表示为c*g(x)，其中c是一个常数，且g(x)的极限存在，则f(x)的极限就等于c*g(x)的极限。
例如，当x趋于0时，f(x)=sin(2x)/x等于2*sin(2x)/(2x)。
此时，可以用常数倍代换法，将sin(2x)/x的极限转化为2*sin(2x)/(2x)的极限，进而求出f(x)的极限。
2. 分式分解代换法在求f(x)的极限时，如果f(x)可以化为两个函数的商g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)的极限都存在，则f(x)的极限等于g(x)/h(x)的极限。
例如，当x趋于1时，f(x)=(x-1)/(x^3-1)可以化为(x-1)/[(x-1)(x^2+x+1)]，进而化简为1/(x^2+x+1)。
由于1和x^2+x+1的极限都存在，因此可以用分式分解代换法，将f(x)的极限转化为1/(x^2+x+1)的极限，进而求出f(x)的极限。
高等数学等价代换公式
高等数学等价代换公式高等数学中的等价代换公式，那可是解决问题的神器啊！先来说说等价代换公式为啥这么重要。
就拿我曾经教过的一个学生小明来说吧，他在做一道求极限的题目时，怎么都搞不定。
那道题的式子复杂得让人头疼，小明愁眉苦脸地坐在那里，抓耳挠腮。
我走过去一看，发现其实就是因为他没有灵活运用等价代换公式，才被这道题给难住了。
等价代换公式，就像是一把神奇的钥匙，可以打开那些看似紧闭的数学难题之门。
比如说常见的等价无穷小代换，当 x 趋近于 0 时，sin x 等价于 x，tan x 等价于 x，1 - cos x 等价于 1/2 x²等等。
咱们来具体看看这些公式在解题中的威力。
比如有这么一道题：求极限lim(x→0) (tan x - sin x) / x³。
如果不使用等价代换，那可真是让人头疼不已。
但要是知道 tan x 等价于 x ，sin x 等价于 x - 1/6 x³，把它们代入式子中，原本复杂的式子一下子就变得清晰明了了，计算起来也轻松多啦。
再比如说，计算lim(x→0) (1 - cos x) / x²。
如果直接去计算，会很麻烦。
但因为我们知道 1 - cos x 等价于 1/2 x²，所以这个极限就很容易得出是 1/2 。
在实际应用中，等价代换公式还能帮助我们简化一些复杂的积分运算。
比如说在计算一个含有三角函数的积分时，如果能巧妙地运用等价代换，就可以把复杂的式子转化为相对简单的形式，从而降低计算的难度。
不过呢，使用等价代换公式也有一些需要注意的地方。
可不能随便代换，要注意代换的条件。
比如说，在做加减法运算的时候，就不能盲目地使用等价代换，否则很容易出错。
就像有一次，学生小李在做一道题时，看到式子中有 sin x 和 x ，想都没想就直接把 sin x 代换成了 x ，结果得出了错误的答案。
这就是没有注意使用条件导致的。
总之，高等数学中的等价代换公式是非常有用的工具，但要想用得好，就得熟悉它们的性质和使用条件，多做练习，这样才能在解题的时候得心应手。
常用的等价无穷小的替换公式
常用的等价无穷小的替换公式在我们学习数学的道路上，等价无穷小的替换公式可是个非常实用的工具。
就像一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开很多难题的大门。
先来说说什么是等价无穷小吧。
当两个函数在某个变化过程中，它们的比值趋近于 1 ，那这两个函数就叫做等价无穷小。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
常用的等价无穷小替换公式有不少呢，像当 x 趋近于 0 时，sin x ~ x ，tan x ~ x ，1 - cos x ~ 1/2 x²等等。
这些公式看起来简单，用起来可厉害啦！记得有一次，我在给学生们讲解一道数学题。
题目是求当 x 趋近于0 时，(tan x - sin x) / x³的极限。
这道题如果直接用极限的定义去做，那可就太复杂了。
我就引导学生们运用等价无穷小的替换公式。
我先在黑板上写下了 tan x ~ x ，sin x ~ x ，然后把原式中的 tan x 和sin x 分别替换成 x ，式子就变成了 (x - x) / x³，也就是 0 / x³，结果就等于 0 啦。
学生们一开始还满脸疑惑，经过我一步一步的讲解，他们恍然大悟，那种从迷茫到明白的表情，让我特别有成就感。
等价无穷小的替换公式在解决极限问题时，真的能让复杂的问题变得简单明了。
比如说求当 x 趋近于 0 时，(1 - cos x) / x²的极限。
因为 1 - cos x ~ 1/2 x²，所以把 1 - cos x 替换成 1/2 x²，式子就变成了 (1/2 x²) / x²，结果就是 1/2 。
再比如，求当 x 趋近于 0 时，(e^x - 1) / x 的极限。
因为 e^x - 1 ~ x ，所以替换一下，结果就是 1 。
在实际应用中，使用等价无穷小的替换公式要注意一些条件。
不能随意替换，要保证替换后的式子极限存在，并且替换是在乘除运算中进行的，如果是加减运算，就不能简单地直接替换，否则可能会得出错误的结果。
高数等价替换公式
高数等价替换公式正如学生们所知，高数使用等价替换公式是一个能够替换另一个数学公式的有效的方法，这种替换可以有助于更容易理解和求解数学问题。
本文将主要介绍高数等价替换公式，以及等价替换如何来帮助学生解决复杂的数学问题。
首先，让我们来看看什么是等价替换公式。
等价替换公式实际上是把一个数学公式拆分成另一个具有相同性质和结果的数学公式，这样拆分出来的公式就是我们所说的等价替换公式。
举个例子，如果你要处理方程式：P(x)= ax2+bx+c你可以把它拆分成等价的替换公式：P(x)=a(x+b/2a)2+(c-b2/4a)可以看到，经过等价替换，原来复杂的方程式变得非常简单，易于理解和求解。
当然，不只有方程式可以拆分，函数也可以，比如有一个函数： f(x)=x3+bx2+cx也可以拆分成：f(x)=x2(x+b/2)+cx可以看到，经过等价替换，这个函数的计算也变得更加容易了。
接下来，让我们来说说等价替换公式会给学生带来什么好处。
首先，等价替换公式可以帮助学生更加容易理解复杂的数学公式。
拆分出来的公式总是比原来的要简单一些，这样学生们就可以更容易理解了。
其次，等价替换公式也可以帮助学生更高效地求解数学问题。
掌握等价替换技巧，可以让学生避免花费大量时间处理复杂的公式，而是用简单的公式解决复杂的问题，这将大大提高学生的效率。
最后，等价替换公式还能让学生更好地记忆数学公式。
由于拆分后的公式较为简单，学生可以更容易记住它。
这样，学生就可以在解决其他类似问题时，利用这些公式，从而避免重复计算，从而节约时间和精力。
从以上可以看出，等价替换公式是一种有效的数学工具。
它在数学计算中可以发挥重要作用，可以帮助学生更容易理解和求解复杂的数学问题，从而极大地提高学生的效率和学习成绩。
因此，学生应该熟悉等价替换技巧，以便在学习和解决数学问题时发挥它的优势。
所有等价无穷小替换公式
所有等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种重要的工具，用于替换函数中的无穷小量，以便更方便地进行计算。
通过等价无穷小替换公式，我们可以将复杂的极限计算问题化简为简单的代数运算。
在本篇文章中，我将介绍一些常见的等价无穷小替换公式。
1.当x趋向于正无穷时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x)、tan(x) 和 sec(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 sin(x) = x， tan(x) = x 和 sec(x) = x。
- 无穷小量 1 - cos(x) 可以用等价无穷小量 x^2/2 替换，即 1 - cos(x) = x^2/2- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 ln(1+x) = x。
-无穷小量e^x-1可以用等价无穷小量x替换，即e^x-1=x。
-无穷小量1/(1+x)可以用等价无穷小量x替换，即1/(1+x)=x。
2.当x趋向于负无穷时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x)、tan(x) 和 sec(x) 可以用等价无穷小量 -x 替换，即 sin(x) = -x， tan(x) = -x 和 sec(x) = -x。
- 无穷小量 1 - cos(x) 可以用等价无穷小量 x^2/2 替换，即 1 - cos(x) = x^2/2- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 -x 替换，即 ln(1+x) =-x。
-无穷小量e^x-1可以用等价无穷小量-x替换，即e^x-1=-x。
-无穷小量1/(1+x)可以用等价无穷小量-x替换，即1/(1+x)=-x。
3.当x趋向于0时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 sin(x) = x。
- 无穷小量 tan(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 tan(x) = x。
- 无穷小量 sec(x) 可以用等价无穷小量 1 替换，即 sec(x) = 1- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 ln(1+x) = x。
常用无穷小等价代换公式
常用无穷小等价代换公式无穷小等价代换公式是数学中常用的一种计算方法，它可以帮助我们简化复杂的数学问题。
在求极限、求导数等问题中，经常需要利用无穷小等价代换公式进行转化。
首先，我们来看一些常用的无穷小等价代换公式：1. 当 x 趋向于零时，可以使用以下等价代换公式：- sin(x) ≈ x- tan(x) ≈ x- arcsin(x) ≈ x- arctan(x) ≈ x- ln(1+x) ≈ x- e^x - 1 ≈ x- (1 + x)^n ≈ nx (n为常数)2. 当 x 趋向于无穷大时，可以使用以下等价代换公式：- e^x ≈ x^n (n为常数)- ln(x) ≈ x^m (m为常数)- sin(x) ≈ x- cos(x) ≈ 1这些无穷小等价代换公式可以帮助我们快速简化复杂的数学问题，使得求极限、求导数等计算更加高效。
但需要注意的是，这些等价代换公式只在特定情况下成立，不可盲目使用。
例如，当我们在计算极限时遇到形如 lim (sin(x)/x) 的表达式，可以利用无穷小等价代换公式sin(x) ≈ x 进行简化，即将该极限转化为 lim (x/x) = 1。
在计算导数时，无穷小等价代换公式也常被应用。
例如，当需要求函数 f(x) = e^x 的导数时，可以将该函数利用等价代换公式简化为 f(x) = x^n 的形式，并计算导数为 f'(x) = nx^(n-1)。
总之，无穷小等价代换公式是数学中常用的一种计算方法，能够帮助我们简化复杂的数学问题，提高计算的效率。
但在应用过程中需注意适用条件，并避免盲目使用，以保证计算结果的准确性。
极限的等价代换公式
极限的等价代换公式
极限的等价代换公式是指当数学表达式或者数学必要条件满足极
限情况时，其可以通过等价代换转换而得出更加精确、有限的表达。
举个例子，当我们向复杂函数求极限时，我们可以根据等价代换公式，将变量和运算符向极限情况的等价表达式转换，从而求出有限的表达。
例如，当函数f（x）=[sin(x)]/x 的 x 趋于0 时，可以用等价代换
公式把 f（x）改写为 f（x）=1。
通过这种方式，我们可以从复杂的
函数得到一个十分简单的极限表达式，获得极限的准确结果。
高数中的等价无穷小替换公式
高数中的等价无穷小替换公式在我们学习高等数学的时候，有一个特别重要的知识点，那就是等价无穷小替换公式。
这玩意儿可太有用啦，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多复杂问题的大门。
记得我当年上大学的时候，有一次参加数学竞赛的集训。
那时候，大家都在为了比赛拼命地刷题。
有一道题，是求一个复杂函数的极限。
当时好多同学都被难住了，抓耳挠腮的。
我一开始也有点懵，但是突然想到了等价无穷小替换公式。
那道题大概是这样的：求当 x 趋近于 0 时，(sin x - x)/x³的极限。
一般看到这种式子，可能会觉得很头疼，但是我发现，当x 趋近于0 时，sin x 等价于 x - (1/6)x³。
于是我就把 sin x 替换成了 x - (1/6)x³，式子就变成了 [(x - (1/6)x³) - x]/x³，经过一番化简，答案就轻松出来啦。
咱先来说说等价无穷小替换公式到底是啥。
简单来说，就是在求极限的时候，如果两个函数在某个变化过程中比值的极限是 1 ，那么在一定条件下，就可以把其中一个函数替换成另一个函数来进行计算。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小，tan x 和 x也是等价无穷小，还有 1 - cos x 和 (1/2)x²也是等价无穷小等等。
那为啥要用等价无穷小替换公式呢？这就好比你走在路上，有一条近道能让你更快到达目的地，谁不想走呢？等价无穷小替换能大大简化计算过程，让那些原本复杂得让人头疼的极限问题变得简单明了。
比如说，要求lim(x→0) (tan x - sin x)/x³，如果不用等价无穷小替换，那得用各种复杂的方法，比如洛必达法则，反复求导，算起来可麻烦了。
但如果我们知道当 x 趋近于 0 时，tan x 等价于 x ，sin x 等价于 x ，那式子就可以变成lim(x→0) (x - x)/x³= 0 ，是不是一下子就简单多啦？不过，使用等价无穷小替换公式也有一些要注意的地方。
常见等价无穷小替换公式
常见等价无穷小替换公式在我们学习数学的过程中，等价无穷小替换公式可是个非常实用的工具呢！它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开一些复杂问题的大门。
先来说说什么是等价无穷小。
简单来讲，就是当两个函数在某个变化过程中，它们的比值趋近于 1 。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和x 就是等价无穷小。
常见的等价无穷小替换公式有很多。
比如当 x 趋近于 0 时，tan x 等价于 x ，1 - cos x 等价于 1/2 x²。
我还记得我上高中那会，有一次数学考试，就考到了等价无穷小替换公式的运用。
那道题是这样的：计算当 x 趋近于 0 时，(tan x - sin x)/ x³的极限。
当时我一看到这道题，心里还有点小慌张。
但是我很快就冷静下来，想到了等价无穷小替换公式。
我把 tan x 替换成 x ，把 sin x 替换成 x ，经过一番计算，最终得出了正确答案。
那次考试因为这道题，我的成绩还不错呢！再比如说，当 x 趋近于 0 时，ln(1 + x) 等价于 x ，e^x - 1 等价于 x 。
这些公式在解决极限问题时，常常能起到化繁为简的作用。
咱们来实际操作一下。
假设要求当 x 趋近于 0 时，(ln(1 + x) - x) / x²的极限。
这时候，我们就可以利用等价无穷小替换公式，把 ln(1 + x)替换成 x ，然后再进行计算，是不是一下子就简单多啦？在学习等价无穷小替换公式的时候，可一定要注意使用条件哦！不是随便什么时候都能直接替换的。
比如说，在加减运算中，如果直接替换可能会出错。
这就好比做菜，不是什么调料都能随便乱放的，得讲究个时机和分量。
还有啊，要多做一些练习题来巩固这些公式的运用。
只有通过不断地练习，才能真正掌握它们，让它们成为我们解题的得力助手。
总之，等价无穷小替换公式虽然看起来有点小复杂，但只要我们认真学习，多多练习，就一定能熟练掌握，让它们为我们的数学学习之路添砖加瓦！相信大家都能在数学的海洋里畅游，轻松应对各种难题！。
函数等价代换公式
函数等价代换公式
函数等价代换公式，也称为函数替换公式，是代数学中的基本公式，用于将一个函数的表达式替换为另一个功能等价的表达式。
其基本形式为：
若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上定义，则有：
∫f(u(x))u'(x)dx = ∫f(x)dx |x=u^(-1)(t)
其中，u(x) 是可导函数，且在区间 [a,b] 上单调递增或单调递减，其反函数 u^(-1)(t) 存在且可导。
这个公式的意义是，把函数 f(x) 用 u(x) 表示后，可以通过变量替换将其转换为在 t 坐标系下的积分形式，然后通过原函数公式求解即可。
在具体应用中，通常会根据具体需求适当选择u(x) 的形式，以方便求解。
极限等价无穷小替换条件公式
极限等价无穷小替换条件公式
极限等价无穷小替换条件公式是求极限的一种方法，它是基于极限的等价原理，即如果两个函数在某一点附近的值非常接近，那么这两个函数在这一点附近的极限也应该相等。
因此，我们可以用一个函数的无穷小项来代替另一个函数的无穷小项，从而简化极限的计算。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限都存在且f(x)与g(x)在x=a处
的值相等，那么就可以用g(x)的无穷小项来代替f(x)的无穷小项，即有以下等价关系：
f(x) ~ g(x) (x→a)
f(x) - g(x) = o(g(x)) (x→a)
其中“~”表示函数的等价，“o(g(x))”表示g(x)的无穷小项。
这个条件可以简化很多极限的计算，尤其是在涉及到一些复杂的函数时，可以通过将其分解为更小的
无穷小项来简化计算。
需要注意的是，极限等价无穷小替换条件公式并不是普适的，只有在满足一定条件的情况下才能使用。
因此，在使用时需要先判断函数是否满足等价条件，如果不满足则不能使用该方法进行极限的计算。
高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。