数列极限归纳法的规律公式总结
高等数学极限公式汇总
高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。
极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。
一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。
2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。
（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。
（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。
3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。
（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。
求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞． 解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-． 例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈． 解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >． 解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）． 证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---； 对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）． 解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ． 注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-， 从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-． 因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-， 由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。
定积分定义求数列极限公式
定积分定义求数列极限公式
极限定义是数学中一个重要的概念，它是指当一个变量的值趋近于某一特定值时，函数的值也趋近于某一特定值。
极限定义可以用来求解数列的极限公式。
首先，我们需要确定数列的积分定义。
积分定义是指一个数列的极限公式，它可以用来描述数列的极限行为。
积分定义的一般形式为：
lim n→∞ an = ∑n=1∞ an
其中，an是数列中的第n项，∑n=1∞ an表示从n=1到无穷大的累加和。
接下来，我们可以使用积分定义来求解数列的极限公式。
首先，我们需要将积分定义中的累加和分解为有限项和无限项，即：
lim n→∞ an = ∑n=1N an + ∑n=N+1∞ an
其中，N是一个有限的正整数，∑n=1N an表示从n=1到N的累加和，∑n=N+1∞ an表示从n=N+1到无穷大的累加和。
接下来，我们可以使用数学归纳法来求解数列的极限公式。
首先，我们假设数列的前N项的和为Sn，即：
Sn = ∑n=1N an
然后，我们可以将Sn代入积分定义中，得到：
lim n→∞ an =Sn + ∑n=N+1∞ an
最后，我们可以将Sn和∑n=N+1∞ an分别求和，得到数列的极限公式：
lim n→∞ an = ∑n=1∞ an
以上就是使用积分定义求数列极限公式的过程。
积分定义是一个重要的概念，它可以用来求解数列的极限公式，从而帮助我们更好地理解数学中的概念。
大一高数知识点总结
大一高数知识点总结一、数列与数学归纳法1. 数列的概念数列是按一定顺序排列的一组数，按照一定的规律，数列可以是有限项或者无限项。
2. 等差数列等差数列是指相邻两项之差保持不变的数列，通项公式为an=a1+(n-1)d。
3. 等比数列等比数列是指相邻两项之比保持不变的数列，通项公式为an=a1*r^(n-1)。
4. 数列的求和等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
5. 数学归纳法数学归纳法是数学中一种证明方法，包括归纳基础和归纳步骤两个部分。
具体步骤为证明基础情形成立，然后假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。
二、函数与极限1. 函数的概念及性质函数是一种对应关系，对于每个定义域内的元素，都有唯一的像。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等。
2. 极限的概念当自变量趋于某个确定的数或者无穷大时，函数值的变化趋势所处的状态称为函数的极限。
常见的极限类型包括无穷大型、无穷小型和复合型。
3. 极限的运算法则极限的运算法则包括四则运算法则、复合函数的极限法则、夹逼准则等。
4. 重要极限常见的重要极限包括极限存在的充分条件、等价无穷小代换、洛比达法则等。
5. 连续性函数在某一点或某区间上连续的定义是指右极限等于左极限等于函数值。
连续函数的性质包括有界性、介值性等。
三、导数与微分1. 导数的定义函数在一点的导数定义是指当自变量趋于该点时，函数值的变化速度，即切线的斜率。
导数的定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x))/Δx。
2. 导数的运算法则导数的运算法则包括四则运算法则、复合函数的导数法则、反函数的导数法则等。
3. 高阶导数高阶导数即对函数的导数再求导数。
二阶导数f''(x)=(f'(x))'，三阶导数f'''(x)=((f'(x))')'。
考研数学求数列极限的方法总结
考研数学求数列极限的方法总结有关考研数学求数列极限的方法总结总结是事后对某一阶段的学习或工作情况作加以回顾检查并分析评价的书面材料，它可以提升我们发现问题的能力，不如静下心来好好写写总结吧。
以下是店铺整理的有关考研数学求数列极限的方法总结，希望对大家有所帮助。
考研高数求极限的方法指南1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x)，没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母看上去复杂，处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
数列极限的方法总结
数学科学学院数学与应用数学级电子张玉龙陈进进指导教师鲁大勇摘要数列极限地求法一直是数列中一个比较重要地问题，本文通过归纳和总结，从不同地方面罗列了它地几种求法. 个人收集整理勿做商业用途关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中地一个重点内容，而对数列极限地求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用地求法.求数列极限地最基本地方法还是利用数列极限地定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求地数列，也可以利用数列极限地四则运算法则计算.夹逼性定理和单调有界原理是很重要地定理，在求地时候要重点注意运用. 泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊地数列而言地. 还有一些比较常用地方法，在本文中都一一列举了个人收集整理勿做商业用途.定义法利用数列极限地定义求出数列地极限.设｛｝是一个数列是实数,如果对任意给定地ε 〉,总存在一个正整数，当〉时,都有? < ε ,我们就称是数列{}地极限.记为. →∞ 例: 按定义证明. → ∞ ! 解()()…≤ 令< ε ,则让> 即可, ε 存在[ 立, ε ],当> 时,不等式()()…≤< ε 成. → ∞ !个人收集整理勿做商业用途利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式地函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例: 求,其中< , < . →∞ 解: 分子分母均为无穷多项地和,应分别求和,再用四则运算法则求极限? ? , ? ? ? ? →∞ ? ? 原式, ? ? →∞ ? ? 所以个人收集整理勿做商业用途利用夹逼性定理求极限若存在正整数, 当> 时, 有≤ ≤ , 且, 则有→∞ →∞ . →∞ 例:求{ 解: }地极限. 对任意正整数,显然有< ≤ , 而→ , → ,由夹逼性定理得. →∞ 个人收集整理勿做商业用途．换元法通过换元将复杂地极限化为简单. 例.求极限，此时→∞ 有，令解：若.单调有界原理个人收集整理勿做商业用途例.证明数列证：令我们用归纳法证明若≤２则则有极限，并求其极限. ，易知｛｝递增，且≤. 显然 . . 中两故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在边取极限得即解之得２或１明显不合要求，舍去，从而个人收集整理勿做商业用途.先用数学归纳法,再求极限. ? ? ? ? ( ? ) 例:求极限→∞ ? ? ? ? ? 解: < ? ? ? ? < ? ? ? ? ? 设* ? ? 则有< * *<* * 再由夹逼性定理,得→∞ ? ? ? ? ( ? ) →∞ ? ? ? ? 个人收集整理勿做商业用途.利用两个重要极限, ( ) . → → ∞ 例:求( ) → ∞ 解: 原式( ) ? ( ) ? → ∞ 个人收集整理勿做商业用途.利用等价无穷小来求极限将数列化成自己熟悉地等价无穷小地形式然后求极限. , 例:求→ 而< < ? 解:当→ 地时候, → , ? 而此时, ? ,所以原式→ ∞个人收集整理勿做商业用途.用洛必达法则求极限.适用于和型∞ ? 例:求→ 解: 是待定型. ? → → 个人收集整理勿做商业用途.积分地定义及性质例:求( > ) → ∞ 解: ( > ) ∑ ( ) → ∞ → ∞ 设( ) ,则( ) 在[]内连续, , 取ξ ∈[ , ] 所以, (ξ ) ( ) 所以原式∫ 个人收集整理勿做商业用途.级数收敛地必要条件. . 设∑ 等于所求极限地表达式, 再证∑ 是收敛地, 据必要条件知所求表达式地∞ ∞ 极限为. 例:求→ ∞ ! ∞ ! < ,则→ ∞ → ∞ ( ) ! 所以该级数收敛,所以→ ∞ 个人收集整理勿做商业用途.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数地恒等变形. ? 例. 求→ 解：? ? 法一：原式? ? ? ? ? ? ? → ? ? ? ? 法二：原式→ → → 个人收集整理勿做商业用途.奇数列和偶数列地极限相同，则数列地极限就是这个极限. () 例：求地值→∞ 解：奇数列为→∞ 偶数列为→∞ () 所以→∞ 个人收集整理勿做商业用途．利于泰勒展开式求极限. 解:设∑ 例.求( ? ? ) ? ? 解：原式?( ) ? ( ? ) ? (令) → ∞ ? ? ? ? ( ) ? ? ( )? ? ? ? ?( ) ? ( ? ) ? → ? ? 个人收集整理勿做商业用途.利于无穷小量地性质和无穷小量和无穷大量之间地关系求极限. 利用无穷小量与有界变量地乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数地关系，以及有限个无穷小地和仍是无穷小等等. 例：求地值→∞ 是无穷小量，而是有界变量，所以→∞ →∞ 还是无穷小量，即→∞ →∞ 个人收集整理勿做商业用途。
第四章数列极限数学归纳法
第四章 数列、极限、数学归纳法一、数列知识梳理：1、数列的概念： （1） 叫做数列， 叫做这个数列的项。
按一定次序排列的一列数 数列中的每一个数（2）数列的本质，数列可以看作 的函数f(n)，当自变量n 一个定义在正整数N 或它的有限子集{}1,2,,n 上从1开始一次去正整数时所对应的一列函数值f(1),f(2)，，f(n)，通常用n a 代替f(n)，于是数列的一般形式为12,,,,n a a a 简记{n a }，其中n a 是数列{n a }的第n 项。
（3）数列的分类：①按项数是有限还是无限分 有穷数列、无穷数列。
②按项与项之间的大小分 ， ， ， 。
递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列。
2、数列的通项公式：（1） 叫做数列的通项。
数列的第n 项n a如果通项 这个公式叫做数列的 n a 与项数n 之间的对应关系可以用一个公式来表示 通项公式，不是所有的数列都有通项公式。
注意n a 与{n a }的区别。
（2）数列通项公式求法：① 观察归纳法：先观察哪些因素随项为n 的变化而变化，哪些因素不变；分析符号、数字、与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳出公式，再取n 的特殊值进行检验是否正确。
② 公式法：利用等差等比的通项公式 ③ 逐差法； ④ 递推关系法；⑤ 利用n S 与n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩⑥ 归纳猜想。
4、数列的递推公式：（1） 这种表示数列的式子叫数列的 给出数列第一项(或前几项)并给出每一项与它前一项(或前若干项)关系式 递推公式,由递推公式给出的数列叫递推数列。
（2）等差数列的递推公式 ； 1a a =，1n n a a d +=+ (n N ∈)等比数列的递推公式 ；1(0)a b b =≠，1n n a a q += (0,q n N ≠∈)（3）几类简单递推数列通项公式的求法：①1()n n a a f n +=+型，累加法； 1()n n a a g n +=⋅型，累乘法； ②1(0,1)n n a pa q p q p p +=+≠≠、为常数，且型，待定系数法；③21n n n a pa qa ++=+（p 、q 为常数，且p+q=1）以p=1-q 代入构造新数列11n n n b a a ++=-；④11n n n n a a ba a -+=+，倒数法； ⑤归纳法。
数列的极限与数列的收敛性的判定总结
数列的极限
PART TWO
定义及性质
定义：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的项趋于某一固定值。
性质：极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
极限的运算性质
极限的四则运算性质：lim(a+b)=lim a + lim b，lim(a-b)=lim a - lim b，lim(a×b)=lim a × lim b，lim(a/b)=lim a / lim b（当lim b≠0）
性质：收敛数列具有唯一确定的极限值；收敛数列的项的绝对值随着项数的增加而趋于无穷小
单调有界定理
定义：如果数列在某个区间内单调递增（或递减），并且存在一个正数M，使得对于该区间内的任意x，都有|a_n|≤M（或-M≤a_n≤M），则称该数列在该区间内有界。
定理：如果数列单调递增（或递减）且有界，则该数列收敛。
定义：如果一个数列从某一项开始，其后续各项都无限接近于某个确定的数，则称该数为该数列的极限。
添加标题
性质：收敛数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的数都作为该数列的极限。
添加标题
证明：假设存在两个不同的数 A 和 B 都作为数列 {an} 的极限。由于数列是收敛的，根据定义，对于任意小的正数 ε，存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - A| < ε 和 |an - B| < ε 同时成立。这意味着 |A - B| = |(an - A) - (an - B)| < ε，这与 A 和 B 是两个不同的数相矛盾。因此，收敛数列的极限是唯一的。
不收敛：数列不趋近于任何值，没有极限
关系：无穷大数列和无界数列都不收敛，但无界数列不一定是无穷大
无穷小量与无穷大量在数列中的应用
求数列极限方法总结归纳
求数列极限方法总结归纳极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。
极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。
熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。
极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。
熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。
以下我们就极限的内容简单总结下。
极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
与极限计算相关知识点包括：连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。
求数列极限可以归纳为以下三种形式。
数列极限知识点总结
数列极限知识点总结一、数列的极限定义数列是一系列按照一定次序排列的数的集合，通常表示为{an}，其中an表示数列的第n 个元素。
数列的极限是数列中的元素随着n的增大而逐渐接近某个值L，当n趋于无穷大时，数列的所有元素都逼近于L。
我们用极限符号lim(n→∞)an=L来表示数列{an}的极限为L。
对于一个给定的数列{an}，如果它的极限存在且为L，我们称{an}收敛于L，记作lim(n→∞)an=L。
如果数列的极限不存在，我们称数列发散。
二、数列极限的性质1. 唯一性：数列的极限值是唯一的，即如果数列{an}收敛于L1和L2，那么L1=L2。
2. 有界性：收敛数列是有界的，即存在一个实数M，使得对于所有的n，有|an|<M。
3. 保号性：如果数列{an}收敛于L>0，那么存在一个正整数N，使得当n>N时，an>0；如果数列{an}收敛于L<0，那么存在一个正整数N，使得当n>N时，an<0。
三、数列极限的收敛定理1. 夹逼定理：设{an}、{bn}、{cn}是三个数列，如果存在一个正整数N，使得当n>N时，有an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=L，那么数列{bn}也收敛于L。
2. 复合函数极限定理：设{an}是一个数列，f(x)是一个定义在R上的函数，如果lim(n→∞)an=a存在，f(x)在x=a周围有定义，并且lim(x→a)f(x)=L存在，那么lim(n→∞)f(an)=L。
3. 唯一性定理：如果一个数列存在极限，那么它的极限是唯一的。
四、数列极限的经典例题1. 例题一：计算数列lim(n→∞)(1+1/n)n。
解析：利用自然对数的极限定义可得lim(n→∞)(1+1/n)n=e。
2. 例题二：利用夹逼定理证明数列lim(n→∞)(1/n)=0。
解析：由于-1/n≤1/n≤1/n，且lim(n→∞)(-1/n)=lim(n→∞)(1/n)=0，根据夹逼定理可得lim(n→∞)(1/n)=0。
数列极限的方法总结
求数列极限数学科学学院数学与应用数学11级电子张玉龙陈进进指导教师鲁大勇摘要数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。
关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。
夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。
泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。
还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设｛Xn｝是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N，当n〉N 时,都有Xn ? a < ε ,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为lim Xn = a . n→∞例1: 按定义证明lim 1 = 0. n →∞n! 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令1/n< ε ,则让n> 即可, ε存在N=[ 立, 1 ε ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε成1 = 0. n →∞ n!2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 1+ a + a2 + L+ an 例2: 求lim ,其中a < 1, b < 1 . n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以lim3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N, 当n>N 时, 有Xn ≤Yn ≤Zn, 且lim Xn = lim Zn = a , 则有n →∞ n →∞ lim Yn = a . n →∞例3:求{ 解: 1+ n }的极限. n2 对任意正整数n,显然有1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而→ 0 , → 0 ,由夹逼性定理得n n 1+ n lim 2 = 0 . n →∞ n4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单. an ?1 例4.求极限lim n ，此时n →∞ a + 2 有，令解：若5.单调有界原理4. 例5.证明数列证：令我们用归纳法证明若≤２则则有极限，并求其极限。
求极限的方法总结--小论文
求数列极限的方法总结数学科学学院数学与应用数学08级汉班 **指导教师 ****摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。
关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。
夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。
泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。
还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。
1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞→lim . 例1: 按定义证明0!1lim=∞→n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n令1/n<ε,则让n>ε1即可, 存在N=[ε1],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成立, 所以0!1lim =∞→n n . 2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.例2: 求nnn b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ,其中1,1<<b a . 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限b b b b b a a a a a n n n n --=++++--=++++++111,1111212 ,原式=abbabbaannnn--=--=----+∞→+∞→11111111lim11lim11,3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N,当n>N时,有Xn≤Yn≤Zn,且aZnXnnn==∞→∞→limlim,则有aYnn=∞→lim.例3:求{21nn+}的极限.解: 对任意正整数n,显然有nnnnnn221122=≤+<,而01→n,02→n,由夹逼性定理得1lim2=+∞→nnn.4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.例4.求极限21lim+-∞→nnn aa，此时解：若有，令则5.单调有界原理例5.证明数列有极限，并求其极限。
数学分析中求极限的方法总结(最新整理)
,(
型).
定理 6.2：设（1）当 x 时,函数 f x 和 F x 都趋于零;
f (x)
（2）在
a
点的某去心邻域内,
f
'x和
F
'x
都存在且
F
'x
0
;（3）
lim
xa
( x )
F
( x)
存在
(或无穷大),
则
定义 6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 法则.
lim
1 1 x2
lim
1
1
解原式 x
1
x
1 x x2
x
1 x2
1
.
型：
lim sec x tan x
例 13 求 x
.
2
sec x tan x 1 sin x 1 sin x
解
cos x cos x cos x ，
lim 1 sin x lim cos x 0
故原式 x cos x x sin x .
x
x
故 x 在 x 时是无穷小量。 1 x3
利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
所以
1
x sin
lim
x 0
x 1 x 3
.
10.利用等价无穷小的代换求极限
利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不
要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。常见等价无穷小量(
数学分析中求极限的方法总结
精心整理
1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下：
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法一、知识要点 （一） 数列的极限1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作A a n n =∞→lim .2.运算法则：若lim n n a →∞、lim n n b →∞存在，则有lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn nn n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()(0)()(lim q p q p b a q p n g n f qpn 不存在4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11a S q=- （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞= （当lim n n S →∞存在时）（二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。
②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。
二、例题（数学的极限）例1.（1）∞→n lim 112322+++n n n = ;（2）数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n n n b a ∞→lim=3,则122lim nn na a a nb →∞+++=（3）∞→n lim nn a a +-+211(a>1)= ;（4）2221321lim()111n n n n n →∞-++++++= ;（5）)2(lim 2n n n n -+∞→= ;（6）等比数列{a n }的公比为q =─1/3,则nnn a a a a a a 24221lim++++++∞→ = ;例2．将无限循环小数••21.0；1.32••21化为分数.例3．已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 例4．数列{a n },{b n }满足∞→n lim (2a n +b n )=1, ∞→n lim (a n ─2b n )=1,试判断数列{a n },{b n }的极限是否存在，说明理由并求∞→n lim (a n b n )的值.例5．设首项为a ，公差为d 的等差数列前n 项的和为A n ,又首项为a,公比为r 的等比数列前n 项和为G n ,其中a ≠0,|r|<1.令S n =G 1+G 2+…+G n ,若有lim()n n n A S n→∞-=a,求r 的值.例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n 项之和为S n ,又设T n =1(1,2,)n n S n S +=,求n n T ∞→lim .例7．{a n }的相邻两项a n ,a n+1是方程x 2─c n x+n )31(=0的两根，又a 1=2,求无穷等比c 1,c 2,…c n , …的各项和.例8．在半径为R 的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
(十二)数列、极限、数学归纳法2008.11.26
（3）两个重要极限①∞→n lim c n 1=⎪⎩⎪⎨⎧不存在10 000<=>c c c ②∞→n lim r n =⎪⎩⎪⎨⎧不存在10 11||11||-=>=<r r r r 或 1.特殊数列的极限 （1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 . （3）()111lim11nn a q a S q q→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q- (||1q <)的和）.2. 函数的极限定理0lim ()x x f x a →=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.3.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.4.几个常用极限 （1）1lim0n n→∞=，lim 0nn a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，011limx x xx →=.5.两个重要的极限 （1）0sin lim1x x x→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).6.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim0x x f x a b g x b→=≠.7.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).高考题回顾一.数列的极限1. 计算：112323lim-+∞→+-n nnn n =_________。
数列极限归纳法的规律公式总结
4、AP中，
5、AP 、 中，有 如C95等差数列 、 的前n项和分别为 ，若 ，求
6、 为A·P，
其前n项和为 ,求 的前n项和
⑴a1>0，d<0时,则数列为减,设 时， ， 时，
则：
⑵a1<0，d>0时，数列为增，设 时， 时
如 的前n项和 ，求
三、求和的常用方法
方法一：变通项，用公式
1、
2、
3、
4、 （自己完成）
5、（C89）是否存在常数a、b、c使等式
对一切自然数n均成立，证明你的结论。（用两种方法完成）
数列、极限、归纳法的规律、公式总结
一、等差、等比数列的有关知识
等差数列（A·P）
等比数列（G·P）
定义
常数
的常数
通项公式
①
②
③叠加公式
①
②
③叠乘：
增减性
d>0 递增
常数列
递减
递增
递减
常数列
摆动数列
前n项和
推导方法：例写相加
乘公比错位相减
中项
A为a、b的等差中项
G为a、b的等比中项
性质
⑴ 为A·P
（k、b常数）
⑵ 为A·P
⑶ 为AP，
⑷ 为A·P，则
（m，n同奇或同偶）
⑸ 为AP，则 ，
成AP
⑴ 为G·P ，
）
⑵ 为G·P，且 ，
⑶ 为G·P，
⑷ 为A·P，则
⑸ 为GP，则 ，
成GP
二、几个常用结论
1、在AP 中，若共有奇数项 项，则
2、在AP 中，若a1>0， ，则①m、k同奇或同偶时， 时，
数列极限的几种计算方.
3n 2 n 2-3-3数列极限的几种计算方法1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1数学的应用，在我们的生活中随处可见，而数学分析中的数列极限是高等数学的重 要内容，是贯穿于整个微积分教学的主线，它描述了变量在运动过程中的变化趋势，是 从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的必备推理工具.同时，数列极限又 是极限的基础，它的计算是微积分教学中的重点和难点，所以本文通过典型实例，对数 列极限的计算方法做了一些规律性的分析和总结.二计算方法 1定义法设为数列，a 为任一常数，若对任给的；7,总存在N>0,使得当n>N 时,有a. - a c s 则称数列牯,收敛于a ,或称数列以为极限a.注1 一般来说，用定义求数列极限局限性很大，它更多地被应用于有关极限值 的相关证明，对于如何用数列极限定义证明数列极限问题， 常用的基本方法有：适当 放大法，条件放大法.3n 2例题1用定义法证明数列极限冋厂弋 分析由于 9n 一3 .n因此，对任给的；0,只要9 ：：：；,便有n3n 2 n 2-33即当？：：：；时,左边的式子成立•又由于（1）式是在n —3的条件下成立的，故应取n9N 二 max{3, —}.z9 证明 任给；0,取N = max{3, -}. z根据分析，当n • N 时3n 2n 2-3于是此题得证.2利用数列极限的四则运算法则计算数列极限设极限lim a n 与lim b n 均存在，则nn _po(1) lim a n士b n= lim a n士 lim b n;n — %f n —sc n _咨(2) lim a nb n=lima nlimb n;n — * * n —sc(3) lim ca n= clim a n;n ^^ n _iClim a n--limb n";注2数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况， 而不能推广到无限个数列 或不定个数的数列上去.1 1 c2 2 5 6 = 2n 5n -n n 解 lim 2limn------- -- n「n 3n 4 n「3 ]4 q n n 2( 1 1 )lim2 5 - -6 飞 n1 n n 2( 1 1 \ lim 13 4 2nn n 23利用数列的一些特征计算数列极限a nb nlimb n n/n _ac2n 25n - 6例题2求极限lim 2nTc n +3n +4分析由于n r "，，所以有-r 0， n数列极限四则运算法计算即可.4 > 0.于是给分子分母同时除以n 2，再利用 n4利用夹逼准则计算数列极限设 lim a n ，lim g 均存在，且 lim a “ 二 A,lim g 二 A ，若数列｛c n｝满足 a n_c n — b n，则有n ^^ n ^^ n _^c11 111111lim c n = A.n _j :注4利用夹逼准则求极限的关键是：将原数列适当地放大和缩小，使得放大后和缩小后的两个新数列的极限值相等，贝U 原数列的极限值存在且等于新数列的极限值 .111 1例题 4 计算数歹U 极限 lim —^=2+ / 2+ /2 = +，''十 』2 :f &n 2 +1 J n 2+2 J n 2+3 J n 2+n 丿分析 括号里的数列极限不能用上面的方法，但是，数列可以放大和缩小，所以关 键是找到极限值相等的数列｛a n｝与｛b n｝，进而可以用夹逼准则来计算数列极限注3此种方法也就是直接将数列进行化简，从而计算出数列极限 •方法只适用于些特殊的数列，不具有一般性.例题 f 1 1 13计算极限lim + ++' ■■+J X 2 2x3 3x41（n —1" n 』 f n 1 、 1分析 观察数列，可以看出数列极限为lim = —1—，通项a 」=―1—，由(i —1)如， (n — 1)x n- --，所以括号中的式子可用裂项相消法计算，以此可以解出数列极限(n -1) n n -1 nlimn L :（n 一1）汉 n y-•丄2 2解5利用“单调有界数列必有极限”准则求解数列极限(a) 如果数列｛a n｝单调增加且有上界，即存在数M,使得a^M n = 1,2….那么lim a n* * n^ic存在且不大于M.(b) 如果数列｛a n｝单调递减且下界，即存在数m,使得a n_ m n =1,2…，那么lim a.存在且不小于m.注5递推数列极限的计算是数列极限计算中的一大类问题.而“单调有界准则”是判别递推数列极限是否存在最常用的一种方法，它不用借助其它数列而是直接利用所给数列自身的单调性和有界性来判别极限的存在性.例题5计算数列极限人-2, x2 - • 2 • . 2 ,…,x n = 2 x n,求lim x n分析(1)通过观察可以看出x, ::：x2…x^即数列｛x n｝单调增加；(2)X1 ：：：2,X2「WE —W2 =2，…,X n 二-.2 •X n',厂2 =2,即数列｛x n｝有上界. 所以，由单调有界准则知，数列极限存在，设lim = a，然后计算出常数a即为数列极限.解由单调有界准则知，数列极限存在，设lim焉二a,V X n =逗:x 4所以给等式两边取极限得］叫& jm广2也，也即a二庞―a,解出a =2或a =T.又由于X n 0,所以取a =2.例题6设捲=丄,y i =1,X n =族川」,丄J 丄+丄,证明数列｛焉｝ , ｛ y .｝收敛, 2 y n 2Mn 」 y n 」丿 且有相同的极限•分析 因数列｛X n ｝与数列｛y n ｝之间有大小关系，所以只要明确两者之间的关系，利 用夹逼准则，就可证明两个数列极限均存在，进而证明两个极限相等又：X n 二JX^i y nd j X n-i X n 」二X n" 数列仇｝单调递减，且有0 ：：：：：：为=1且有1二力”：y n ，于是1二力疳y 2疳…”：y n 疳x .：：：…：：：捲=1.2所以 数列｛X n ｝单调递减有下界，数列｛Y n ｝单调增加有上界; 由单调有界准则知两个数列的极限均存在设 lim x n = a,lim y n 二 b. n ^^ n ^c 于是有a= ab,^ - 1 1 , 求出a = b. b 2 (a b 丿 即两个数列有相等的极限.6利用多项式型极限性质求得数列极限多项式型极限:0,k clk亠k -1 I Ii..a°n +dn + …+ azn+ak a 。
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法、知识要点 (一) 数列的极限列中找到一项 aN,使得当n>N 时，|an-A|< 恒成立，则称常数 A 为数列｛a n ｝的极限，记作lim a n A .n2.运算法则：若lim a n 、lim b n 存在，则有lim(a n b n )lim a n lim ；lim( a n b n ) lim a n lim b nnnnnn na lim a nlim —— , (lim b n 0)nb n lim b n nn(a1)3.两种基本类型的极限<1> S= lima nn1(a 1)不存在(a诚a<2>设f (n)、g(n)分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为 a p 、0 (p q)b p 且 g( n) 0(n N),则 limng(n )(二)数学归纳法①验证命题对于第一个自然数 n n 0成立。
②假设命题对 n=k(k > n o )时成立，证明n=k+1时命题也成立 则由①②，对于一切n > n o的自然数，命题都成立。
、例题(数学的极限)1.定义：对于无穷数列｛a n ｝，若存在一个常数 A,无论预选指定多么小的正数 ，都能在数 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：S「q E )无穷数列｛a n ｝的所有项和: a p- (p q) b q 不存在 (p q)S lim S n (当 lim S n 存在时)nn数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为:(4) lim( J-3Lnn 1 n 1(5) lim G. n 2 2n n)=;n例2 •将无限循环小数 0.12 ； 1.32 12 化为分数.『1例3•已知lim(an b) 1,求实数a, b 的值;nn 1例 4•数列{a n },{b n }满足 lim (2a n +b n )=1,lim (a n — 2tn)=1，试判断数列{a n },{b n }的极限是否nn存在，说明理由并求lim (a n b n )的值.n例5.设首项为a ，公差为d 的等差数列前-项的和为A,又首项为a,公比为r 的等比数列S例6.设首项为1,公比为q(q>0)的等比数列的前 -项之和为S n ,又设T n =— (n 1,2,L ),S- 1求 lim T n .n21 例7. ｛a n ｝的相邻两项a n ,a n+1是方程x —c -X +(—)n =0的两根，又a 1=2,求无穷等比C 1 ,c 2, (3)C n ,…的各项和.例8在半径为R 的圆内作内接正方形， 在这个正方形内作内切圆， 又在圆内作内接正方形,如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
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⑶ 为AP，
⑷ 为A·P，则
（m，n同奇或同偶）
⑸ 为AP，则 ，
成AP
⑴ 为G·P ，
）
⑵ 为G·P，且 ，
⑶ 为G·P，
⑷ 为A·P，则
⑸ 为GP，则 ，
成GP
二、几个常用结论
1、在AP 中，若共有奇数项 项，则
2、在AP 中，若a1>0， ，则①m、k同奇或同偶时， 时，
②当m、k—ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ—偶时， 时
3、AP中， （用多种方法证，如 共线等）
4、AP中，
5、AP 、 中，有 如C95等差数列 、 的前n项和分别为 ，若 ，求
6、 为A·P，
其前n项和为 ,求 的前n项和
⑴a1>0，d<0时,则数列为减,设 时， ， 时，
则：
⑵a1<0，d>0时，数列为增，设 时， 时
如 的前n项和 ，求
三、求和的常用方法
数列、极限、归纳法的规律、公式总结
一、等差、等比数列的有关知识
等差数列（A·P）
等比数列（G·P）
定义
常数
的常数
通项公式
①
②
③叠加公式
①
②
③叠乘：
增减性
d>0 递增
常数列
递减
递增
递减
常数列
摆动数列
前n项和
推导方法：例写相加
乘公比错位相减
中项
A为a、b的等差中项
G为a、b的等比中项
性质
⑴ 为A·P
（k、b常数）
方法一：变通项，用公式
1、
2、
3、
4、 （自己完成）
5、（C89）是否存在常数a、b、c使等式
对一切自然数n均成立，证明你的结论。（用两种方法完成）