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运筹学 中国邮递员问题
§4.中国邮递员问题（Chinese Postman Problem）1．问题的提出例5. 一个邮递员从邮局出发投递信件, 然后再返回邮局, 如果他必须至少一次地走过他负责投递范围内的每条街道, 街道路线如下图所示, 问选择怎样的路线才能使所走的路为最短?5 6 78问题的图论表述：在赋权G=[V, E]上找一条经每条边至少一次的权最小的圈。
1960年山东师范学院管梅谷教授首先提出此问题，并设计了一个“奇偶点表上作业法”，后来发现此法不是多项式算法，1973年，Edmonds和Johnson给出一个多项式算法。
2．哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
3．Euler圈Euler圈：经图G的每条边的简单圈Euler图：具有Euler圈的图Euler图非Euler图下面讨论的图G允许有重边，且重边被认为是有区别的边。
伪Euler 圈：经图G 的每条边至少一次的圈点v 的次：与点V 关联的边的数目奇(偶)点：该点的次为奇(偶)数命题1：G 的奇点个数为偶数命题2：G 中有伪Euler 圈 ⇔ G 无奇点中国邮递员问题可表述为：在图G 中找一条权最小的伪Euler 圈。
对于邮递员来说，有些街道可能会重复走，原问题便转化为尽可能少走重复的 街道。
我们将这些重复的边组成的集合称可行集，即找最小的可行集。
命题3：E *是最小可行集 ⇔ωωμμμ()()()()*()*()e e e E E E e E E ≤∑∑∀μ∈∩∈∩\初等圈重复的边 非重复的边4．算法思路由命题1，简单图G 的奇点个数为偶数，可设为v 1 , v 2 , …, v 2k , 对每个1≤ i ≤k, 找v 2i − 1 至v 2i 的链p i ，将p i 的边重复一次。
中国邮递员问题 ppt课件
中国邮递员问题
管梅谷教授首先提出的方法是奇偶点图上作业 法（1962年）
Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。
复杂度为 O(|V(G)|2|E(G)|)
中国邮递员问题
中国邮递员问题
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
Fleury算法的复杂度是 O(| E(G)|2)
中国邮递员问题
求欧拉回路的算法(回路算法)
算法思想: 首先得到一个回路C1, 再在剩
下的图G- C1中求一条与C1有公共顶点的
回路C2, 则C1与 C2构成一个更长的回路,
继续下去可得到含所有边恰好一次的回
路. 回路算法的复杂度是
O(|
E(G) |)
这个问题就是一笔画问题。
中国邮递员问题
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
中国邮递员问题
管梅谷
管梅谷教授。 上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
求解。
推广的中国邮递员问题： 混合图的中国邮递员问题，有各种限制 的中国邮递员问题，动态网络的中国邮 递员问题。 其他相关问题-旅行售货员（TSP）问题， 灾清巡视路线。
谢谢!
v1 2 5 v2 5 9 v3 v4 图2 3 v8
4
3
v7
6
v9 4 4 4
v6
4
v5
这样就得到初始方案.在这个图中，没有奇点， 故称它为欧拉图。对应于这个可行方案，重复 边总权为51。
思考
这样的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是 否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
欧拉图及求欧拉回路的算法
欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 欧拉图—存在欧拉回路的图
设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(Fleury算法，1921年) 算法思想: “过河拆桥,尽量不走独木桥”. 即若已选定迹 Wi v0e1v1e2 eivi , 从 G Wi 中选 取下一条边 ei 1 使得ei 1 与 vi 相关联, 且ei 1 不是 G Wi 的桥, 除非无边可选.
中国邮递员问题
3, 一般情况下的邮路问题
当 G ( V , E )不是欧拉图也无欧拉 道路,即奇次 顶点数大于 2时,邮路必须重复更多 的边. Edmonds 算法
思想:利用奇次结点之 间的完美匹配来确定重 复边, 使欧拉图具有最优邮路 . 步骤: 1,求出 G 的所有奇次结点之间的 最短路径和距离. 2,以 G 的所有奇次结点为结点 (必为偶数),以他们 之间 最短距离为结点之间边 的权,得到一次完全图 G1 ; 3,将 M 中的匹配边( v i , v j)写成 v i 与 v j 之间最短路径 所经过的边集合 E ij ; 4,令 G = G U { E ij ( v i , v j ) ∈ M }, 则G是欧拉图,找到最优解 .
定理: 连通无向图 G (V , E )是欧拉图 每个顶点 的度数均为偶数.
推论1:连通无向图 G为欧拉图 G的边集可划分 为若干简单回路.
二,中国邮路问题
给定一个连通赋权图 G,要求一条回路经过 每边至少一次,且此回 路的权和最小.
1,最理想的情况 若G是一个连通的欧拉图, 则有欧拉回路.这时 每边只需经过一次,回 路长度(权和)为 L(c ) = ∑ w ij
第五节 中国邮递员问题
一,欧拉回路
在连通图中,经过图中 的每边一次且仅一次的 1, 道路为欧拉道路.经过 图中每边一次且仅一次 的 回路称为欧拉回路.
2, 具有欧拉回路的图称为 欧拉图.(简称 E图)
3, 边不重复的道称为简单 道路; 边不重复的回路称为简 单回路.
4, 区别:简单回路不必经 过图的每条边,欧拉回 路 必须经过图的每条边 .
2,若G只有两个奇次点 v i , v j , 则有从 v i 到v j的欧拉 道路,从 v j回到 v i 则必须重复一些边,使 重复边 的总长度最小,转化为 寻找 i 与v j 之间的最短路径 P ; 2, G = G + P ; 令 3, 为E图,的欧拉回路即为最优邮 路. G G
图论及其应用
-16-
图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究
代数图论 化学图论 随机图论 超图
拓扑图论 算法图于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
-17-
图论及其应用第一章
内容提要 图的基本概念 图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩 阵与邻接矩阵。路、圈与连通图；最短路问题。树及 其基本性质；最小生成树。 图的连通性 割点、割边和块；边连通与点连通；连通度； Whitney 定理；可靠通信网络的设计。 匹配问题 匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配。
值是个公开的难题。
-9-
图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
-10-
图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramsey数。确定其精确
Hamilton问题源于1856年，英国数学家Hamilton设计 了一个名为周游世界的游戏：他用一个正十二面体的二十 个端点表示世界上的二十座大城市（见图），提出的问题 是要求游戏者找一条沿着十二面体的棱通过每个端点恰好 一次的行走路线。反映到图论上就是判断一个给定的图是 否存在一条含所有顶点的回路。
图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究
代数图论 化学图论 随机图论 超图
拓扑图论 算法图于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
-17-
图论及其应用第一章
内容提要 图的基本概念 图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩 阵与邻接矩阵。路、圈与连通图；最短路问题。树及 其基本性质；最小生成树。 图的连通性 割点、割边和块；边连通与点连通；连通度； Whitney 定理；可靠通信网络的设计。 匹配问题 匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配。
值是个公开的难题。
-9-
图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
-10-
图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramsey数。确定其精确
Hamilton问题源于1856年，英国数学家Hamilton设计 了一个名为周游世界的游戏：他用一个正十二面体的二十 个端点表示世界上的二十座大城市（见图），提出的问题 是要求游戏者找一条沿着十二面体的棱通过每个端点恰好 一次的行走路线。反映到图论上就是判断一个给定的图是 否存在一条含所有顶点的回路。
中国邮递员问题
对于有奇点的街道图，该怎么办呢？ 这时就必须在每条街道上重复走一次或多 次。
举例说明
如图所示。
v 1
1
1 2
v 3
1 2
1
5 6
1 4
v5
1 8
3
v2
4
4
1
v4
v6
V1~V2~V4~V3~V2~V4~V6~V5~V4~V6~V5~V3~V1 总权为 12 另一路径见书P278 路径（b）总权为11.
定理：连通多重图G有欧拉圈，当且仅当 G中无基点。 推论：连通多重图G有欧拉链，当且仅当 G恰有两个基点。
如图P277 图10-30 所示 ，现在的问题是： 如果我们已经知道图G是可以一笔画的， 首先引入割边概念，设e是连通图G的一个 边，如果从G中丢去e，图就不连通了， 则称e是图G的割边。
这样的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个 方案是否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
第二步：调整可行方案使重复边总权下降 最优方案必须满足以下（1）（2）两 个条件： （1）在最优方案中,图的每一边最多有 一条重复边 （2）在最优方案中,图中每个圈上的重 复边的总权不大于该圈总权的一半。
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯 堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河 中两个岛以及岛与河岸连接起来。问是否 可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通 过每座桥一次，再回到起点？ (图见P251页，图10-1)从七桥问题到一Fra bibliotek画思想
欧拉于1736年研究并解决了此问题， 他 用点表示岛和陆地，两点之间的连线表 示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简 化为一个网络，把七桥问题化成判断连 通网络能否一笔画的问题。之后他发表 一篇论文，证明了上述走法是不可能的。 并且给出了连通网络可一笔画的充要条 件这一著名的结论。
行遍性问题
定义 在加权图G=(V,E)中， （１）权最小的哈密尔顿圈称为最佳 圈． 最佳H圈 最佳 （２）经过每个顶点至少一次的权最小的闭通路称为最 最 佳推销员回路． 佳推销员回路 一般说来，最佳哈密尔顿圈不一定是最佳推销员回 路，同样最佳推销员回路也不一定是最佳哈密尔顿圈．
H回路，长22
最佳推销员回路，长4
算法步骤： 算法步骤：
（１）用 Floyd 算法求出的所有奇次顶点之间的最短路径和距离．
（２）以 G 的所有奇次顶点为顶点集（个数为偶数） ，作一完备图， 边上的权为两端点在原图 G 中的最短距离， 将此完备加权图记为 G1．
（３）用Edmonds算法求出G1的最小权理想匹配 最小权理想匹配M，得到奇次顶点的 最小权理想匹配 最佳配对．
返回
（二）推销员问题
流动推销员需要访问某地区的所有城镇，最后回到出 发点．问如何安排旅行路线使总行程最小．这就是推销 推销 员问题． 员问题 若用顶点表示城镇，边表示连接两城镇的路，边上的 权表示距离（或时间、费用），于是推销员问题就成为 在加权图中寻找一条经过每个顶点至少一次的最短闭通 路问题．
返回
二、推 销 员 问 题 （一）哈密尔顿图
定义 设G=(V,E)是连通无向图 １ ２ ３ 经过G的每个顶点正好一次的路径，称为G的一条哈密尔顿路径 哈密尔顿路径． 哈密尔顿路径 经过G的每个顶点正好一次的圈，称为G的哈密尔顿圈 哈密尔顿圈或H圈． 哈密尔顿圈 含H圈的图称为哈密尔顿图 哈密尔顿图或H图． 哈密尔顿图 图
用 Floyd 算法求出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ们之间的最短路径和距离：
2．以 v4、v7、v8、v9 为顶点，它们之间的距离为边权构造完备图 G1．
3．求出 G1 的最小权完美匹配 M={(v4,,v7),(v8,v9)}
中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题是一个著名的数学问题，也称为"中国邮递员问题"。
这个问题源于邮递员在担任邮递员工作时，需要沿着不同的街道进行投递。
邮递员必须走遍每一条街道至少一次，然后回到出发地点。
问题的目标是寻找一条最短的路径，使得邮递员能够满足投递的要求。
具体问题描述如下：给定一个城市的街道网络图，每条街道上都有一个正整数表示街道的长度。
邮递员需要从一个特定地点出发，沿着街道网络进行投递，然后回到出发地点。
要求邮递员经过的路径总长度最短。
这个问题属于旅行商问题的变种，是一个NP-完全问题。
因为问题规模较大，难以找到一个最优解。
因此，通常采用近似算法进行求解，如TSP（Traveling Salesman Problem）等。
邮递员问题在实际中有很多应用，比如快递员的路线规划、物流配送等。
解决这个问题可以提高物流效率，减少成本。
模板中国邮递员问题.ppt
总权不大于该圈总权的一半。
优选
29
第二步：调整可行方案
首先，去掉多余的重复边，使图中每一边最多
有一条重复边。见图3 v1 2 v8 4 v7
5
3
3
v2
6
v9 4
v6
5
4
4
v3
9 v4
4 v5
优选
30
图3
第二步：调整可行方案
其次，如果把图中某个圈上的重复边去掉，而 给原来没有重复边的边上加上重复边，图中仍 然没有奇点。因而如果在某个圈上重复边的总 权数大于这个圈的总权数的一半，像上面所说 的那样做一次调整，将会得到一个总权下降的 可行方案。
那么该怎样添加重复边，使得图中全为偶点呢？
其实可以通过连接匹配的奇点得到！
优选
25
第一步：确定初始可行方案
v1 2
v8 4
v7
5 v2 6
3 v9 4
3 v6
5
4
4
9
4
v3
v4
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图2
优选
26
这样就得到初始方案.在这个图中，没有奇点， 故称它为欧拉图。对应于这个可行方案，重复 边总权为51。
5
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v3
9 v4
4 v5
图4
优选
33
检查图4中圈（v1,v2, v9, v6,v7, v8,v1）的 总长度为24，但圈上重复边总权为13，大于该 圈总长度的一半，因此可以做一次调整，使重 复边总长度下降为15。见图5。
优选
34
v1
2
v8
4
v7
优选
29
第二步：调整可行方案
首先，去掉多余的重复边，使图中每一边最多
有一条重复边。见图3 v1 2 v8 4 v7
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优选
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图3
第二步：调整可行方案
其次，如果把图中某个圈上的重复边去掉，而 给原来没有重复边的边上加上重复边，图中仍 然没有奇点。因而如果在某个圈上重复边的总 权数大于这个圈的总权数的一半，像上面所说 的那样做一次调整，将会得到一个总权下降的 可行方案。
那么该怎样添加重复边，使得图中全为偶点呢？
其实可以通过连接匹配的奇点得到！
优选
25
第一步：确定初始可行方案
v1 2
v8 4
v7
5 v2 6
3 v9 4
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5
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v5
图2
优选
26
这样就得到初始方案.在这个图中，没有奇点， 故称它为欧拉图。对应于这个可行方案，重复 边总权为51。
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图4
优选
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检查图4中圈（v1,v2, v9, v6,v7, v8,v1）的 总长度为24，但圈上重复边总权为13，大于该 圈总长度的一半，因此可以做一次调整，使重 复边总长度下降为15。见图5。
优选
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v1
2
v8
4
v7
归纳中国邮递员问题.pptx
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4
– 第二步：考虑到从配货中心出发的送货车辆，在送完所有的门店货物 后，仍需要返回配货中心，故再需对生成的最小树采用中国邮递员线 路的算法进行扩充。
奇点有：V0，V1，V3，V4，V6，V7，V8，V9，V10，V12。故需增加边 V3V5，重复边V0V1，V5V6，V4V9，V9V10，V7V12，V8V12，V9V12等 7条。
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6
– 第四步：检查有重复边的线路是否是多余的。即检查重复边的两端是
否已有其他线路相连通，如有的话，可将重复边连同原边从线路图中 删去。发现重复边V4V5的两端可通过其他线路相连，可将V4V5及重复 边一起从线路图中删去。即可得送货线路如下：V0—V1—V2—V3— V5—V6—V10—V9—V12—V7—V8—V12—V9—V4—V11—V1—V0。线 路的总长度减少为215千米。总长度较前减少了20千米。
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7
– 第五步：要综合考虑问题，在优化第三步时，同时考虑第四步有没有 重复边是多余的。此例题发现：圈V0—V1—V2—V13—V0中，加重复 边的长度为23， 不加重复边的长度为15+9+8=32，故不需要改进，但 是，去掉重复边V0V1，增加重复边V1V2，V0V13，V13V2。则V1V2成 为重复边，发现重复边V1V2的两端可通过其他线路相连，可将V1V2及 重复边一起从线路图中删去。这样去掉重复边V0V1和V1V2，总和长度 为31千米，增加V0V13和V13V2，总和长度为24千米，总长度较前减少 了7千米。即可得送货线路如下： V0—V1—V11—V4—V9—V12—V7— V8—V12—V9—V10—V6—V5—V3—V2—V13—V0。线路的总长度减少 为208千米。
运筹学最短路邮递员问题PPT课件
从一点到任意点的最短路
• 木器厂有六个车间，办事员经常 要到各个车间了解生产进度。从 办公室到各车间的路线由图1给出。
找出点1（办公室）到其它各点 （车间）的最短路
11
27
2
2
1 5 3 5 55 7
3
1
4
3
1
6
7
5
12
2
权wij(dij)
2
距离、价格 2
15
3
点（vi）
边eij或记为（vi，vj） 13
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3 0 v1
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2.5
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53
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v7 2
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0
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6 v5
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2.5
最短路问题不仅可以求解交通图中两点之间的最短距离，实际 中很多问题也可变为最短路问题加以求解。例如设备更新问题，厂 区合理布局问题等。兹举一例：
例1（设备更新问题）某企业使用一台设备，在每年年底，企业 都要决策下年度是购买一台新设备呢？还是继续使用这台设备。若 购买新的，就要支付一笔购置费；如果使用旧设备，只要支付维修 费，而维修费随着设备的使用年限延长而增加。现根据以往统计资 料已经估算出设备在各年初的价格和不同使用年限的修理费用，分 别如表1、表2所示。
免费)中国邮递员问题
2Biblioteka v 8 3 v 94
v 7 3 v 6
6
4
4 9 v 4
图4
4 4 v 5
检查图4中圈（v1,v2, v9, v6,v7, v8,v1）
的总长度为24，但圈上重复边总权为13， 大于该圈总长度的一半，因此可以做一次 调整，使重复边总长度下降为15。见图5。
v1 5 v2 5 v3
2
v8 3 v9 4
2
v 8 3 v 9
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v 7 3 v 6
6
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4 9 v 4
图3
4 4 v 5
第二步：调整可行方案
而给原来没有重复边的边上加上重复边， 图中仍然没有奇点。因而如果在某个圈上 重复边的总权数大于这个圈的总权数的一 半，像上面所说的那样做一次调整，将会 得到一个总权下降的可行方案。
其次，如果把图中某个圈上的重复边去掉，
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯
堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河 中两个岛以及岛与河岸连接起来(如图)。 问是否可能从这四块陆地中任一块出发， 恰好通过每座桥一次，再回到起点？
欧拉于1736年研究并解决了此问题， 他
用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示 连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为 一个网络，把七桥问题化成判断连通网络 能否一笔画的问题。之后他发表一篇论文， 证明了上述走法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条件这一著名的 结论。
v 1 3
v2
2
4
v 3
2 v4
5 6 4
v5
8 v6
4
如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次，
我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条边 的权和原来的权相等，并把所增加的边，称为 重复边，于是这条路线就是相应的新图中的尤 拉图。 原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。 我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
v 7 3 v 6
6
4
4 9 v 4
图4
4 4 v 5
检查图4中圈（v1,v2, v9, v6,v7, v8,v1）
的总长度为24，但圈上重复边总权为13， 大于该圈总长度的一半，因此可以做一次 调整，使重复边总长度下降为15。见图5。
v1 5 v2 5 v3
2
v8 3 v9 4
2
v 8 3 v 9
4
v 7 3 v 6
6
4
4 9 v 4
图3
4 4 v 5
第二步：调整可行方案
而给原来没有重复边的边上加上重复边， 图中仍然没有奇点。因而如果在某个圈上 重复边的总权数大于这个圈的总权数的一 半，像上面所说的那样做一次调整，将会 得到一个总权下降的可行方案。
其次，如果把图中某个圈上的重复边去掉，
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯
堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河 中两个岛以及岛与河岸连接起来(如图)。 问是否可能从这四块陆地中任一块出发， 恰好通过每座桥一次，再回到起点？
欧拉于1736年研究并解决了此问题， 他
用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示 连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为 一个网络，把七桥问题化成判断连通网络 能否一笔画的问题。之后他发表一篇论文， 证明了上述走法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条件这一著名的 结论。
v 1 3
v2
2
4
v 3
2 v4
5 6 4
v5
8 v6
4
如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次，
我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条边 的权和原来的权相等，并把所增加的边，称为 重复边，于是这条路线就是相应的新图中的尤 拉图。 原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。 我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
01-中国邮递员问题
欧拉图及判定定理
顶点可能重复
一进一出
经过一次 且不重复
偶点
如果一个连通图有欧拉环游，即从某个顶点出发，经过该图所有边一次，且不 重复，最后回到出发点，则对中间经过的任一顶点都是一进一出，而出发点开始出 去最后又进来，也是一进一出。注意有的顶点可能有若干次一进一出。不论如何， 都意味着该图的每个顶点都应该是偶点（即进出总共偶数条边）。
中国邮递员问题
厦门大学数学科学学院 金贤安
引言
中 国 邮 递 员 问 题 是 由 山 东 师 范 大 学 管 梅 谷 同 志 1960年首先提出的。
这是数学中为数不多的几个以“中国”命名的问题 或定理之一。
该问题涉及著名的的哥尼斯堡(Königsberg) 七桥问题。
七桥问题是图论和拓扑学的起源。
以交叉路口为顶点，街道为边，街道的长度为边的权得 到 一赋权图，我们称之为街道图。 不妨设邮局在一条街道上。 若街道图是欧拉图，有欧拉环游，无需重复走街道，沿 着 一个欧拉环游作为投递路线即可。
中国邮递员问题
若街道图不是欧拉图，则有些街道需要重复 走，那么中国邮递员问题就变为：重复走哪 些街道，使总路程最短？
给定一个连通图，我们称经过图的所有边一次且只有一次 的走法为一个欧拉通路。
如果进一步该走法还回到出发点，则称之为欧拉环游（回 路）。
具有欧拉环游的图称之为欧拉图。
C
哥尼斯堡问题即图3是否是欧拉图的问题。
A
B
D
图3 七桥问题对应图
欧拉图及判定定理
一笔画问题：什么样的图形可以一笔画成，笔不离纸，而 且每条线都只画一次不准重复？
(1) 在最优方案中，对街道图的任意一边，所添加的平行边的次数不会超过1。 事实上，若在某可行方案中，对街道图的某边，所添加的平行边的次数 大于等于2，那么在该方案中去掉该边2次，将得到一个新的更优的可行 方案，矛盾。
中国邮递员问题
? 这个问题就是一笔画问题。
12
管梅谷
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
? 定理：任何一个图中的奇点个数必为偶 数。
? 推论：连通的多重图有尤拉链，当且仅 当图中有两个奇点。
8
欧拉图及求欧拉回路的算法
? 欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 ? 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 ? 欧拉图—存在欧拉回路的图
? 设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
? 一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
5
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
? 图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
? 试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要
求呢？
6
一笔画问题
? 凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
13
中国邮递员问题
在一个连通的赋权图G（V，E）中，求一 条回路，使该回路包含G中的每条边至少 一次，且该回路的权最小．（称此回路 为最优回路或者中国邮路）
14
求解中国邮递员问题的算法
如果中国邮递员问题中的图是 欧拉图，那么欧拉回路就是最优回路。
12
管梅谷
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
? 定理：任何一个图中的奇点个数必为偶 数。
? 推论：连通的多重图有尤拉链，当且仅 当图中有两个奇点。
8
欧拉图及求欧拉回路的算法
? 欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 ? 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 ? 欧拉图—存在欧拉回路的图
? 设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
? 一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
5
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
? 图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
? 试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要
求呢？
6
一笔画问题
? 凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
13
中国邮递员问题
在一个连通的赋权图G（V，E）中，求一 条回路，使该回路包含G中的每条边至少 一次，且该回路的权最小．（称此回路 为最优回路或者中国邮路）
14
求解中国邮递员问题的算法
如果中国邮递员问题中的图是 欧拉图，那么欧拉回路就是最优回路。
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中国邮递员问题
(Chinese Postman Problem)
优选
1
主要内容
七桥问题与一笔画 中国邮递员问题 欧拉图及求欧拉回路的算法 求解中国邮递员问题的算法
优选
2
七桥问题 Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问 题之一。在哥尼斯堡的 一个公园里，有七座桥 将普雷格尔河中两个岛 以及岛与河岸连接起来 (如图)。问是否可能从 这四块陆地中任一块出 发，恰好通过每座桥一 次，再回到起点？
一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
优选
5
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要
求呢？
优选
6
一笔画问题
凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
优选
9
欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(Fleury算法，1921年) 算法思想: “过河拆桥,尽量不走独木桥”.
即若已选定迹 Wi v0e1v1e2 eivi , 从G Wi 中选 取下一条边ei1 使得ei1 与 vi 相关联, 且ei1 不是 G Wi 的桥, 除非无边可选.
Fleury算法的复杂度是 O(| E(G) |2 )
定理：任何一个图中的奇点个数必为偶 数。
推论：连通的多重图有尤拉链，当且仅 当图中有两个奇点。
优选
8
欧拉图及求欧拉回路的算法
欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 欧拉图—存在欧拉回路的图
设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
优选
15
求解中国邮递员问题的算法
管梅谷教授首先提出的方法是奇偶点图上作业 法（1962年）
Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。
复杂度为 O(|V (G) |2| E(G) |)
优选
16
求解中国邮递员问题的算法（例）
优选
17
求解中国邮递员问题的算法（例）
优选
18
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
优选
13
中国邮递员问题
在一个连通的赋权图G（V，E）中，求一 条回路，使该回路包含G中的每条边至少 一次，且该回路的权最小．（称此回路 为最优回路或者中国邮路）
优选
14
求解中国邮递员问题的算法
如果中国邮递员问不是欧拉图），最优
回路包含某些边至少两次。这时求最优 回路的思想是：在图G中添加一些重复边 使新图G*成为欧拉图，且使得所有添加 的重复边的权和最小。再由G*的欧拉回 路得到G的最优回路。
优选
3
欧拉于1736年研究并解决了 此问题， 他用点表示岛和陆
地，两点之间的连线表示连 接它们的桥，将河流、小岛 和桥简化为一个网络，把七 桥问题化成判断连通网络能 否一笔画的问题。之后他发 表一篇论文，证明了上述走 法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条 件这一著名的结论。
优选
4
一笔画问题
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
优选
22
现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
奇点：那个点的角度来看，数有多少条线从连接着那 个点，如果连接那个点的线的数量是奇数条，那这个 点就是奇点，反之，就是偶点。
在一个多重边的连通图中，从某个顶点 出发，经过不同的线路，又回到原出发 点，这样的线路必是尤拉图，即能一笔 画出的图必是尤拉图。
优选
7
定理：连通的多重图G是尤拉图，当且仅 当G中无奇点。
优选
23
举个例子
车辆从某配送中心 （v1）出发，给街道
v1 2
边上的超市
5
（v2,v3,v4,v5,v6,v
7,v8,v9）送货，如 图1所示。
这个问题就是一笔画问题。
优选
12
管梅谷
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
优选
19
问题
对于有奇点的街道图，该怎么办呢？ 这时就必须在每条街道上重复走一次或多次。
优选
20
举例说明
如图所示。
v1 2 v3
5 v5
3
4
26 8
v2
4 v4
4 v6
优选
21
如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次， 我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条 边的权和原来的权相等，并把所增加的边，称 为重复边，于是这条路线就是相应的新图中的 尤拉图。
优选
10
欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(回路算法)
算法思想: 首先得到一个回路C1, 再在剩
下的图G- C1中求一条与C1有公共顶点的
回路C2, 则C1与 C2构成一个更长的回路,
继续下去可得到含所有边恰好一次的回
路. 回路算法的复杂度是
O(|
E(G)
|)
上述两算法都是在连通欧拉图中求欧拉 回路的算法.
优选
11
中国邮递员问题
一个邮递员送信，要走完他负责投递的 全部街道，投完后回到邮局，应该怎样 走，使所走的路程最短？
这个问题是我国管梅谷同志1960年首先 求出来的，因此在国际上通称为中国邮 递员问题。在物流活动中，经常会遇到 这样的问题，如：每天在大街小巷行驶 的垃圾车、洒水车、各售货点的送货车 等都需要解决一个行走的最短路程问题。
(Chinese Postman Problem)
优选
1
主要内容
七桥问题与一笔画 中国邮递员问题 欧拉图及求欧拉回路的算法 求解中国邮递员问题的算法
优选
2
七桥问题 Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问 题之一。在哥尼斯堡的 一个公园里，有七座桥 将普雷格尔河中两个岛 以及岛与河岸连接起来 (如图)。问是否可能从 这四块陆地中任一块出 发，恰好通过每座桥一 次，再回到起点？
一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
优选
5
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要
求呢？
优选
6
一笔画问题
凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
优选
9
欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(Fleury算法，1921年) 算法思想: “过河拆桥,尽量不走独木桥”.
即若已选定迹 Wi v0e1v1e2 eivi , 从G Wi 中选 取下一条边ei1 使得ei1 与 vi 相关联, 且ei1 不是 G Wi 的桥, 除非无边可选.
Fleury算法的复杂度是 O(| E(G) |2 )
定理：任何一个图中的奇点个数必为偶 数。
推论：连通的多重图有尤拉链，当且仅 当图中有两个奇点。
优选
8
欧拉图及求欧拉回路的算法
欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 欧拉图—存在欧拉回路的图
设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
优选
15
求解中国邮递员问题的算法
管梅谷教授首先提出的方法是奇偶点图上作业 法（1962年）
Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。
复杂度为 O(|V (G) |2| E(G) |)
优选
16
求解中国邮递员问题的算法（例）
优选
17
求解中国邮递员问题的算法（例）
优选
18
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
优选
13
中国邮递员问题
在一个连通的赋权图G（V，E）中，求一 条回路，使该回路包含G中的每条边至少 一次，且该回路的权最小．（称此回路 为最优回路或者中国邮路）
优选
14
求解中国邮递员问题的算法
如果中国邮递员问不是欧拉图），最优
回路包含某些边至少两次。这时求最优 回路的思想是：在图G中添加一些重复边 使新图G*成为欧拉图，且使得所有添加 的重复边的权和最小。再由G*的欧拉回 路得到G的最优回路。
优选
3
欧拉于1736年研究并解决了 此问题， 他用点表示岛和陆
地，两点之间的连线表示连 接它们的桥，将河流、小岛 和桥简化为一个网络，把七 桥问题化成判断连通网络能 否一笔画的问题。之后他发 表一篇论文，证明了上述走 法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条 件这一著名的结论。
优选
4
一笔画问题
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
优选
22
现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
奇点：那个点的角度来看，数有多少条线从连接着那 个点，如果连接那个点的线的数量是奇数条，那这个 点就是奇点，反之，就是偶点。
在一个多重边的连通图中，从某个顶点 出发，经过不同的线路，又回到原出发 点，这样的线路必是尤拉图，即能一笔 画出的图必是尤拉图。
优选
7
定理：连通的多重图G是尤拉图，当且仅 当G中无奇点。
优选
23
举个例子
车辆从某配送中心 （v1）出发，给街道
v1 2
边上的超市
5
（v2,v3,v4,v5,v6,v
7,v8,v9）送货，如 图1所示。
这个问题就是一笔画问题。
优选
12
管梅谷
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
优选
19
问题
对于有奇点的街道图，该怎么办呢？ 这时就必须在每条街道上重复走一次或多次。
优选
20
举例说明
如图所示。
v1 2 v3
5 v5
3
4
26 8
v2
4 v4
4 v6
优选
21
如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次， 我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条 边的权和原来的权相等，并把所增加的边，称 为重复边，于是这条路线就是相应的新图中的 尤拉图。
优选
10
欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(回路算法)
算法思想: 首先得到一个回路C1, 再在剩
下的图G- C1中求一条与C1有公共顶点的
回路C2, 则C1与 C2构成一个更长的回路,
继续下去可得到含所有边恰好一次的回
路. 回路算法的复杂度是
O(|
E(G)
|)
上述两算法都是在连通欧拉图中求欧拉 回路的算法.
优选
11
中国邮递员问题
一个邮递员送信，要走完他负责投递的 全部街道，投完后回到邮局，应该怎样 走，使所走的路程最短？
这个问题是我国管梅谷同志1960年首先 求出来的，因此在国际上通称为中国邮 递员问题。在物流活动中，经常会遇到 这样的问题，如：每天在大街小巷行驶 的垃圾车、洒水车、各售货点的送货车 等都需要解决一个行走的最短路程问题。