中国邮递员问题ppt课件
中国邮路问题
中国邮路问题中国邮递员问题⼀个邮递员送信，要⾛完他负责投递的所有街道（所有街道都是双向通⾏的且每条街道能够经过不⽌⼀次），完毕任务后回到邮局，应按如何的路线⾛，他所⾛的路程才会最短呢？解决⽅式1、图论建模因为街道是双向通⾏的，我们能够把它看成是赋权⽆向连通图，将路⼝模型为点，街道模型为边，街道的长度就是每条边的权值，问题转化为在图中求⼀条回路，使得回路的总权值最⼩。
1.1最理想的情况若图中有欧拉回路，由于欧拉回路通过全部的边，因此不论什么⼀个欧拉回路即为此问题的解。
1.2若G仅仅有两个Vi,Vj则有从Vi到Vj的欧拉迹，从Vj回到Vi则必须反复⼀些边，使反复边的总长度最⼩，转化为求从Vi到Vj的最短路径。
算法：1）找出奇点Vi,Vj之间的最短路径P；2）令G’ = G + P；3）G’为欧拉图，G’的欧拉回路即为最优邮路。
1.3普通情况，奇点数⼤于2的时，邮路必须反复很多其它的边。
Edmonds算法（匈⽛利算法）思想：步骤：1）求出G全部奇点之间的最短路径和距离；2）以G的全部奇点为结点（必为偶数），以他们之间的最短距离为节点之间边的权值，得到⼀个全然图G1；3）将M中的匹配边（Vi，Vj）写成Vi与Vj之间的最短路径经过的全部边集合Eij；4）令G’ = G U { Eij | (Vi,Vj)属于M}，则G’是欧拉图，求出最优邮路。
2、详细模块实现2.1最短路径⽤ Dijkstra算法计算Dijkstra算法是⼀种最短路径算法，⽤于计算⼀个节点到其他全部节点的最短路径。
2.1.1算法思想：按路径长度递增次序产⽣最短路径算法： 把V分成两组： 1）S：已求出最短路径的顶点的集合 2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T中顶点按最短路径递增的次序增加到S中，保证：1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不⼤于从V0到T中不论什么顶点的最短路径长度 2）每⼀个顶点相应⼀个距离值 S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度 T中顶点：从V0到此顶点的仅仅包含S中顶点作中间顶点的最短路径长度2.1.2求最短路径步骤 1）初始时令 S={V0},T={ 其余顶点}，T中顶点相应的距离值 若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值；若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∝ 2）从T中选取⼀个其距离值为最⼩的顶点W且不在S中，增加S 3）对S中顶点的距离值进⾏改动：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则改动此距离值；反复上述步骤2、3，直到S中包括全部顶点，即W=Vi为⽌2.2图的连通性測试检測⽤户输⼊的图是否是连通图，不是的话没办法求解，提醒⽤户⼜⼀次输⼊。
中国邮路问题
• 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设 计一条最短的投递路线（从邮局出发，经过投递区内每条 街道至少一次，权无向图G中，寻找一条经过每边至少一次 且权和最小的闭链，即G的最优环游。
①如果对应的图G是欧拉图，那么对应于邮局的顶点出发的 任何一条欧拉回路都是符合上述要求的投递员的最优投递 路线。 如果图G只有两个奇度数顶点x和y，则存在一条以x和 y为端点的欧拉路。因此，所要求的最优投递路线是由这 条欧拉路+边{x，y}。
②如果连通图不是欧拉图。 由于图G有偶数个奇度数顶点，对于任两个奇度数顶点x 和y，在G中必有一条路连接。 将这条路上的每条边改为二重边得到的新图 H1 ，则x 和y就变为H1 的偶度数顶点，在这条路上的其他顶点的度 数均增加2，即奇偶性不变。 于是 H1 的奇顶点个数比G的奇顶点个数少2，对H1 重 复上述过程得H 2 ，再对H 2 重复上述过程得H 3 ，……，经 若干次后，可将G中所有奇度数顶点变为偶度数顶点，从 而得到多重欧拉图G'。 这个欧拉图G'的一条欧拉回路就相应于中国邮递员问题 的一个可行解，且欧拉回路的长度等于G的所有边的长 度加上每次连奇度数顶点的路的长度。
（2）假设G有一条长度大于 2的圈C，且C中重复边的权和大于圈 长的一半。 则将C中的重复边分别删去一 条，不重复的边各添加 一条重复边， 这样重复边的长度之和 减少，而欧拉图的性质 不变，与P的最优性相矛盾。
" ": 设P 1 ）（2）的两条闭链， 1、P 2 是满足定理条件（ 记P E1、E2， 1、P 2 重复边的集合分别为 则只需比较（E1 E2）和（E2 E1） , 记边集F （E1 E2） ( E2 E1 )的导出子图为 G '.
归纳中国邮递员问题.pptx
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4
– 第二步：考虑到从配货中心出发的送货车辆，在送完所有的门店货物 后，仍需要返回配货中心，故再需对生成的最小树采用中国邮递员线 路的算法进行扩充。
奇点有：V0，V1，V3，V4，V6，V7，V8，V9，V10，V12。故需增加边 V3V5，重复边V0V1，V5V6，V4V9，V9V10，V7V12，V8V12，V9V12等 7条。
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6
– 第四步：检查有重复边的线路是否是多余的。即检查重复边的两端是
否已有其他线路相连通，如有的话，可将重复边连同原边从线路图中 删去。发现重复边V4V5的两端可通过其他线路相连，可将V4V5及重复 边一起从线路图中删去。即可得送货线路如下：V0—V1—V2—V3— V5—V6—V10—V9—V12—V7—V8—V12—V9—V4—V11—V1—V0。线 路的总长度减少为215千米。总长度较前减少了20千米。
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7
– 第五步：要综合考虑问题，在优化第三步时，同时考虑第四步有没有 重复边是多余的。此例题发现：圈V0—V1—V2—V13—V0中，加重复 边的长度为23， 不加重复边的长度为15+9+8=32，故不需要改进，但 是，去掉重复边V0V1，增加重复边V1V2，V0V13，V13V2。则V1V2成 为重复边，发现重复边V1V2的两端可通过其他线路相连，可将V1V2及 重复边一起从线路图中删去。这样去掉重复边V0V1和V1V2，总和长度 为31千米，增加V0V13和V13V2，总和长度为24千米，总长度较前减少 了7千米。即可得送货线路如下： V0—V1—V11—V4—V9—V12—V7— V8—V12—V9—V10—V6—V5—V3—V2—V13—V0。线路的总长度减少 为208千米。
运筹学 中国邮递员问题
§4.中国邮递员问题（Chinese Postman Problem）1．问题的提出例5. 一个邮递员从邮局出发投递信件, 然后再返回邮局, 如果他必须至少一次地走过他负责投递范围内的每条街道, 街道路线如下图所示, 问选择怎样的路线才能使所走的路为最短?5 6 78问题的图论表述：在赋权G=[V, E]上找一条经每条边至少一次的权最小的圈。
1960年山东师范学院管梅谷教授首先提出此问题，并设计了一个“奇偶点表上作业法”，后来发现此法不是多项式算法，1973年，Edmonds和Johnson给出一个多项式算法。
2．哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
3．Euler圈Euler圈：经图G的每条边的简单圈Euler图：具有Euler圈的图Euler图非Euler图下面讨论的图G允许有重边，且重边被认为是有区别的边。
伪Euler 圈：经图G 的每条边至少一次的圈点v 的次：与点V 关联的边的数目奇(偶)点：该点的次为奇(偶)数命题1：G 的奇点个数为偶数命题2：G 中有伪Euler 圈 ⇔ G 无奇点中国邮递员问题可表述为：在图G 中找一条权最小的伪Euler 圈。
对于邮递员来说，有些街道可能会重复走，原问题便转化为尽可能少走重复的 街道。
我们将这些重复的边组成的集合称可行集，即找最小的可行集。
命题3：E *是最小可行集 ⇔ωωμμμ()()()()*()*()e e e E E E e E E ≤∑∑∀μ∈∩∈∩\初等圈重复的边 非重复的边4．算法思路由命题1，简单图G 的奇点个数为偶数，可设为v 1 , v 2 , …, v 2k , 对每个1≤ i ≤k, 找v 2i − 1 至v 2i 的链p i ，将p i 的边重复一次。
中国邮递员问题 ppt课件
中国邮递员问题
管梅谷教授首先提出的方法是奇偶点图上作业 法（1962年）
Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。
复杂度为 O(|V(G)|2|E(G)|)
中国邮递员问题
中国邮递员问题
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
Fleury算法的复杂度是 O(| E(G)|2)
中国邮递员问题
求欧拉回路的算法(回路算法)
算法思想: 首先得到一个回路C1, 再在剩
下的图G- C1中求一条与C1有公共顶点的
回路C2, 则C1与 C2构成一个更长的回路,
继续下去可得到含所有边恰好一次的回
路. 回路算法的复杂度是
O(|
E(G) |)
这个问题就是一笔画问题。
中国邮递员问题
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
01-中国邮递员问题
欧拉图及判定定理
顶点可能重复
一进一出
经过一次 且不重复
偶点
如果一个连通图有欧拉环游，即从某个顶点出发，经过该图所有边一次，且不 重复，最后回到出发点，则对中间经过的任一顶点都是一进一出，而出发点开始出 去最后又进来，也是一进一出。注意有的顶点可能有若干次一进一出。不论如何， 都意味着该图的每个顶点都应该是偶点（即进出总共偶数条边）。
中国邮递员问题
厦门大学数学科学学院 金贤安
引言
中 国 邮 递 员 问 题 是 由 山 东 师 范 大 学 管 梅 谷 同 志 1960年首先提出的。
这是数学中为数不多的几个以“中国”命名的问题 或定理之一。
该问题涉及著名的的哥尼斯堡(Königsberg) 七桥问题。
七桥问题是图论和拓扑学的起源。
以交叉路口为顶点，街道为边，街道的长度为边的权得 到 一赋权图，我们称之为街道图。 不妨设邮局在一条街道上。 若街道图是欧拉图，有欧拉环游，无需重复走街道，沿 着 一个欧拉环游作为投递路线即可。
中国邮递员问题
若街道图不是欧拉图，则有些街道需要重复 走，那么中国邮递员问题就变为：重复走哪 些街道，使总路程最短？
给定一个连通图，我们称经过图的所有边一次且只有一次 的走法为一个欧拉通路。
如果进一步该走法还回到出发点，则称之为欧拉环游（回 路）。
具有欧拉环游的图称之为欧拉图。
C
哥尼斯堡问题即图3是否是欧拉图的问题。
A
B
D
图3 七桥问题对应图
欧拉图及判定定理
一笔画问题：什么样的图形可以一笔画成，笔不离纸，而 且每条线都只画一次不准重复？
(1) 在最优方案中，对街道图的任意一边，所添加的平行边的次数不会超过1。 事实上，若在某可行方案中，对街道图的某边，所添加的平行边的次数 大于等于2，那么在该方案中去掉该边2次，将得到一个新的更优的可行 方案，矛盾。
中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题
中国邮递员数学问题是一个著名的数学问题，也称为"中国邮递员问题"。
这个问题源于邮递员在担任邮递员工作时，需要沿着不同的街道进行投递。
邮递员必须走遍每一条街道至少一次，然后回到出发地点。
问题的目标是寻找一条最短的路径，使得邮递员能够满足投递的要求。
具体问题描述如下：给定一个城市的街道网络图，每条街道上都有一个正整数表示街道的长度。
邮递员需要从一个特定地点出发，沿着街道网络进行投递，然后回到出发地点。
要求邮递员经过的路径总长度最短。
这个问题属于旅行商问题的变种，是一个NP-完全问题。
因为问题规模较大，难以找到一个最优解。
因此，通常采用近似算法进行求解，如TSP（Traveling Salesman Problem）等。
邮递员问题在实际中有很多应用，比如快递员的路线规划、物流配送等。
解决这个问题可以提高物流效率，减少成本。
中国邮递员问题
管梅谷
管梅谷教授。 上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
求解。
推广的中国邮递员问题： 混合图的中国邮递员问题，有各种限制 的中国邮递员问题，动态网络的中国邮 递员问题。 其他相关问题-旅行售货员（TSP）问题， 灾清巡视路线。
谢谢!
v1 2 5 v2 5 9 v3 v4 图2 3 v8
4
3
v7
6
v9 4 4 4
v6
4
v5
这样就得到初始方案.在这个图中，没有奇点， 故称它为欧拉图。对应于这个可行方案，重复 边总权为51。
思考
这样的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是 否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
欧拉图及求欧拉回路的算法
欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 欧拉图—存在欧拉回路的图
设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(Fleury算法，1921年) 算法思想: “过河拆桥,尽量不走独木桥”. 即若已选定迹 Wi v0e1v1e2 eivi , 从 G Wi 中选 取下一条边 ei 1 使得ei 1 与 vi 相关联, 且ei 1 不是 G Wi 的桥, 除非无边可选.
图论与网络模型_中国邮递员问题
Edmonds-Johnson 算法
有奇点的中国邮路问题，这种情形下，有的边要通过至少两次。下图中，边旁写的是权。
图3
（1）在图 3 中，奇点集合为
V 0={v1 , v2 , v3, v4}
(5,6)，(9,7)。
邮递员问题
一位邮递员从邮局选好邮件去投递，然后返回邮局，他必须经过由他负责投递的每条街 道至少一次，为这位邮递员设计一条投递线路，使其耗时最少。
用图的语言来描述，就是给定一个连通图 G，在每条边 e 上有一个非负的权 w(e)，要寻 求一个回路 W，经过 G 的每条边至少一次，并且回路 W 的总权数最小。
图论中的图是由点和点与点之间的线所组成的。 通常，我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧。
如果边 [ vi, v j]∈ E ，E 是边集合，那么称 vi, vj 是边的端点，或者称 vi, vj 是相邻的。 如果一个图 G 中，一条边的两个端点是相同的，那么称为这条边是环。 如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。 一个无环，无多重边的图标为简单图。 一个无环，有多重边的图标图称为多重图。
∑ w(e )=min
e∈W
如果 G 是欧拉图，则所求的 W 就是一条欧拉回路。 由于这个问题是我国菅梅谷同志于 1962 年首先提出来的，因此国际上长称它为中国邮递 员问题。
求无奇点连通图的中国邮递员问题的算法(Fleury 算法)
就是求欧拉回路。算法思想：“过河拆桥，尽量不走独木桥”。 例如，下图是欧拉图，设从 v1 开始，寻找一条欧拉回路，如果开始三步是 v1v3v2v1，那 么就失败了，因为回到 v1 之后发现左侧的 v3 上的边还没有用过，而 v1 的关联边已全用过， 不能从 v1 再去通过左侧那些未用过的边了（注意每边只能用一次）。
运筹学最短路邮递员问题PPT课件
从一点到任意点的最短路
• 木器厂有六个车间，办事员经常 要到各个车间了解生产进度。从 办公室到各车间的路线由图1给出。
找出点1（办公室）到其它各点 （车间）的最短路
11
27
2
2
1 5 3 5 55 7
3
1
4
3
1
6
7
5
12
2
权wij(dij)
2
距离、价格 2
15
3
点（vi）
边eij或记为（vi，vj） 13
3
5
3
3 0 v1
v2
3
v6
2.5
2
53
1
2
v3
4 3
4
v7 2
v4
v9
4 v8
41
v5
3
5
3
3 0 v1
v2
3
v6
2.5
2
53
1
2
v3
4 3
4
v7 2
v4
v9
4 v8
42
6 v5
3
5
3
v2
3
6
3
v6
2.5
0
v1
2
53
1
2
v3
4 3
4
v7 2
v4
v9
4 v8
43
6 v5
3
5
3
v2
3
6
3
v6
2.5
最短路问题不仅可以求解交通图中两点之间的最短距离，实际 中很多问题也可变为最短路问题加以求解。例如设备更新问题，厂 区合理布局问题等。兹举一例：
例1（设备更新问题）某企业使用一台设备，在每年年底，企业 都要决策下年度是购买一台新设备呢？还是继续使用这台设备。若 购买新的，就要支付一笔购置费；如果使用旧设备，只要支付维修 费，而维修费随着设备的使用年限延长而增加。现根据以往统计资 料已经估算出设备在各年初的价格和不同使用年限的修理费用，分 别如表1、表2所示。
中国邮递员问题
12
管梅谷
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
? 定理：任何一个图中的奇点个数必为偶 数。
? 推论：连通的多重图有尤拉链，当且仅 当图中有两个奇点。
8
欧拉图及求欧拉回路的算法
? 欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 ? 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 ? 欧拉图—存在欧拉回路的图
? 设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
? 一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
5
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
? 图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
? 试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要
求呢？
6
一笔画问题
? 凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
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中国邮递员问题
在一个连通的赋权图G（V，E）中，求一 条回路，使该回路包含G中的每条边至少 一次，且该回路的权最小．（称此回路 为最优回路或者中国邮路）
14
求解中国邮递员问题的算法
如果中国邮递员问题中的图是 欧拉图，那么欧拉回路就是最优回路。
一笔画和中国邮递员问题
《集合论与图论》第17讲
14
Fleury算法(递归形式)
算法:
(1) if d(v)>1 then e:=v关联的任意非割边
(2)
else e:=v关联的唯一边
(3) u:=e的另一个端点.
(4) 递归地求G-e的从u到w的欧拉通路
27
作业(#13)
p234, 习题八, 2,3,4(更正: G-v0)
《集合论与图论》第17讲
28
定理1: 设G是无向连通图,则 (1) G是欧拉图
⇔ (2) G中所有顶点都是偶数度 ⇔ (3) G是若干个边不交的圈的并 证明: (1)⇒(2)⇒(3)⇒(1). (1)⇒(2): 若欧拉回路总共k次经过顶点v,则
d(v)=2k.
《集合论与图论》第17讲
6
定理1((2)⇒(3))
(2) G中所有顶点都是偶数度 (3) G是若干个边不交的圈的并 证明: (2)⇒(3): 若删除任意1个圈上的边,
else Gi+1:=G-E(Pi+1), e:=Gi+1中与Pi+1上vk关联的任意边, Pi+1:= vk…vk. v*:=vk,v:=vk, i:=i+1, goto (1).
《集合论与图论》第17讲
19
逐步插入回路算法(举例)
《集合论与图论》第17讲
20
应用(轮盘设计)
000,001,010,011,100,101,110,111
i1goto集合论与图论第17讲20逐步插入回路算法举例集合论与图论第17讲21应用轮盘设计集合论与图论第17讲22应用轮盘设计00110110000001100010101011110111集合论与图论第17讲23中国邮递员问题中国邮递员问题chinesepostmanproblem
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欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(Fleury算法，1921年) 算法思想: “过河拆桥,尽量不走独木桥”.
即若已选定迹 Wi v0e1v1e2 L eivi , 从G Wi 中选 取下一条边ei1 使得ei1 与 vi 相关联, 且ei1 不是 G Wi 的桥, 除非无边可选.
Fleury算法的复杂度是 O(| E(G) |2 )
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中国邮递员问题
一个邮递员送信，要走完他负责投递的 全部街道，投完后回到邮局，应该怎样 走，使所走的路程最短？
这个问题是我国管梅谷同志1960年首先 求出来的，因此在国际上通称为中国邮 递员问题。在物流活动中，经常会遇到 这样的问题，如：每天在大街小巷行驶 的垃圾车、洒水车、各售货点的送货车 等都需要解决一个行走的最短路程问题。
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中国邮递员问题
在一个连通的赋权图G（V，E）中，求一 条回路，使该回路包含G中的每条边至少 一次，且该回路的权最小．（称此回路 为最优回路或者中国邮路）
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求解中国邮递员问题的算法
如果中国邮递员问题中的图是欧拉 图，那么欧拉回路就是最优回路。
一般情形下（不是欧拉图），最优 回路包含某些边至少两次。这时求最优 回路的思想是：在图G中添加一些重复边 使新图G*成为欧拉图，且使得所有添加 的重复边的权和最小。再由G*的欧拉回 路得到G的最优回路。
奇点：那个点的角度来看，数有多少条线从连接着那 个点，如果连接那个点的线的数量是奇数条，那这个 点就是奇点，反之，就是偶点。
在一个多重边的连通图中，从某个顶点 出发，经过不同的线路，又回到原出发 点，这样的线路必是尤拉图，即能一笔 画出的图必是尤拉图。
7
定理：连通的多重图G是尤拉图，当且仅 当G中无奇点。
中国邮递员问题
(Chinese Postman Problem)
1
主要内容
七桥问题与一笔画 中国邮递员问题 欧拉图及求欧拉回路的算法 求解中国邮递员问题的算法
2
七桥问题 Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问 题之一。在哥尼斯堡的 一个公园里，有七座桥 将普雷格尔河中两个岛 以及岛与河岸连接起来 (如图)。问是否可能从 这四块陆地中任一块出 发，恰好通过每座桥一 次，再回到起点？
23
举个例子
车辆从某配送中心 （v1）出发，给街道
v1 2
边上的超市
5
（v2,v3,v4,v5,v6,v
7,v8,v9）送货，如 图1所示。
v2 6
5
9 v3
v8 4
3 v9 4
4 4
v4
v7 3
v6 4
v5
3
欧拉于1736年研究并解决了 此问题， 他用点表示岛和陆 地，两点之间的连线表示连 接它们的桥，将河流、小岛 和桥简化为一个网络，把七 桥问题化成判断连通网络能 否一笔画的问题。之后他发 表一篇论文，证明了上述走 法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条 件这一著名的结论。
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一笔画问题
这个问题就是一笔画问题。
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管梅谷
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
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问题
对于有奇点的街道图，该怎么办呢？ 这时就必须在每条街道上重复走一次或多次。
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举例说明
如图所示。
v1 2 v3
5 v5
3
4
26 8
v2
4 v4
4 v6
21
Hale Waihona Puke 如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次， 我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条 边的权和原来的权相等，并把所增加的边，称 为重复边，于是这条路线就是相应的新图中的 尤拉图。
定理：任何一个图中的奇点个数必为偶 数。
推论：连通的多重图有尤拉链，当且仅 当图中有两个奇点。
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欧拉图及求欧拉回路的算法
欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 欧拉图—存在欧拉回路的图
设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
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求解中国邮递员问题的算法
管梅谷教授首先提出的方法是奇偶点图上作业 法（1962年）
Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。
复杂度为 O(|V (G) |2| E(G) |)
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求解中国邮递员问题的算法（例）
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求解中国邮递员问题的算法（例）
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解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
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欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(回路算法)
算法思想: 首先得到一个回路C1, 再在剩
下的图G- C1中求一条与C1有公共顶点的
回路C2, 则C1与 C2构成一个更长的回路,
继续下去可得到含所有边恰好一次的回
路. 回路算法的复杂度是
O(|
E(G)
|)
上述两算法都是在连通欧拉图中求欧拉 回路的算法.
一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
5
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要
求呢？
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一笔画问题
凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
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现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？