38317_《几何概率》文字素材2(人教B版必修3)
2020版高中数学第三章概率3.3.1几何概型课件新人教B版必修3
跟踪演练 2 如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其 信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇 形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来 源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该 地点无信号的概率是( ) A．1－π4 B．2π－1 C．2－2π D．4π
[知识链接] 1. 几何概型的概念
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概率只与子区域A的 几何 度量(长度、面积或体积)成 正比 ，而与A的 位置 和 形状无关．满足以上条件的试验称为 几何概型 ．
2. 几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件 A 的概率定义为：P(A)＝μμΩA，其中，μΩ 表 示 区域Ω的几何度量 ，μ 表示子 区域A的几何度量 ．
要点一 与长度有关的几何概型 例1 取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段
的长都不小于2 m的概率有多大？
解 如图所示．记“剪得两段绳长都不小于 2 m”为事件 A.把绳 子五等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A 发生．由 于中间一段的长度等于绳长的15，所以事件 A 发生的概率 P(A)＝15.
【答案】 B
3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方
形中随机撒一 粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，
则阴影区域的面积为( )
A．43
B．83
C．23 D．无法计算
【解析】 由几何概型的概率公式知SS阴 正＝23，
高中数学 3.3 几何概型 知识框架素材 新人教版必修3
概率的定义
用频率估计概率
概
概率的意义
率
概率的加法公式：如果事件
与
互斥事件
A与事件B互斥，则P(A∪B)
频
=P(A)+P(B)
率
概率的基本性质
对立事件
如果事件A与事件B互为对立 事件，则P(A)+P(B)=1
并、交（和、积）事件
2.随机事件的概率知识框架图
A包含的基本事件的个数
概率公式：P(A)=
基本事件的总数
古典概型
随
计算机模拟试验
机
事
件
构成事件A的区域
的
长度（面积或体积）
概
概率公式：P(A)= 试验的全部结果所构成
率
的区域长度（面积或体积）
几何概型
实物模拟试验
计算机模拟试验
3.概率框架图
应
用
概
随机事件
频率
概率，概率的
率
意义与性质
解
决
实际古典概型 Nhomakorabea几何概型
问 题
随机数与随机模拟
人教B版高中数学必修三第三章概率3.3.1
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）3.3.1 几何概型课时目标 1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．1．几何概型的概念事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，如图，A 的概率只与子区域A 的____________(长度、面积或体积)成________，而与A 的________和________无关．满足以上条件的试验称为____________． 2．几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A 的概率定义为：______________________，其中，μΩ表示______________，μA 表示__________________．一、选择题1．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为( ) A .23 B .13 C .16 D .142．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是( )A .π4B .4πC .4－π4D .4－ππ3．在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，则含有麦锈病种子的概率是( )A .11 000B .1900C .910D .11004．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A .π4 B ．1－π4 C .π8 D ．1－π85．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y)，记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P(A)为( ) A .π4 B .π2 C ．π D ．2π6．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________．8．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________． 三、解答题10．过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，求AD<AC 的概率．11．如图，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm ，4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问： (1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (3)投中大圆之外的概率是多少？能力提升12．函数f(x)＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f(x 0)≤0的概率为( )A ．1B .23C .310D .2513．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的区域的长度(角度、面积或体积)，而这往往会遇到计算困难，这是本节难点之一．实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题．为此可参考如下办法：(1)选择适当的观察角度；(2)把基本事件转化为与之对应的几何区域； (3)把随机事件A 转化为与之对应的几何区域； (4)利用概率公式计算；(5)如果事件A 对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景出发去判断．§3.3 随机数的含义与应用3．3.1 几何概型知识梳理1．几何度量 正比 位置 形状 几何概型2．P(A)＝μAμΩ区域Ω的几何度量 子区域A 的几何度量作业设计1．B [P ＝2－13＝13.]2．A [由题意，P ＝S 圆S 正方形＝π×122×2＝π4.]3．D [取出10 mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则P(A)＝取出种子的体积所有种子的体积＝101 000＝1100.]4．B [当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.]5．A[如图，集合S ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A 所对应的事件(x ，y)与圆面x 2＋y 2<1内的点一一对应，∴P(A)＝π4.]6．A [A 中P 1＝38，B 中P 2＝26＝13，C 中设正方形边长2，则P 3＝4－π×124＝4－π4，D 中设圆直径为2，则P 4＝12×2×1π＝1π.在P 1，P 2，P 3，P 4中，P 1最大．]7.815解析 P(A)＝4030＋5＋40＝815.8.13解析 由几何概型知所求的P ＝1－02－(－1)＝13.9.334π解析 设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC·OD ＝3·CD·OD＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π.10.解 在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE(如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD<AC.易知∠ACE ＝67.5°，∴AD<AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75.11．解 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为S ＝16×16＝256 (cm 2)．记“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则事件A 所占区域面积为S A ＝π×62＝36π(cm 2)；事件B 所占区域面积为S B ＝π×42－π×22＝12π(cm 2)；事件C 所占区域面积为S C ＝(256－36π)cm 2.由几何概型的概率公式，得(1)P(A)＝S A S ＝964π；(2)P(B)＝S B S ＝364π；(3)P(C)＝S C S ＝1－964π.12．C [令x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，与x 轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图象在x 轴下方，即f(x 0)≤0的x 0的取值范围为x 0∈[－1,2]，∴P ＝2－(－1)5－(－5)＝310.]13．解 由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为15，所以红色所占角度为周角的15，即α1＝360°5＝72°.同理，蓝色占周角的13，即α2＝360°3＝120°，所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°. 将α3分成四等份， 得α3÷4＝168°÷4＝42°.即每个绿色扇形的圆心角为42°.。
几何概率知识点总结
几何概率知识点总结一、基本概念概率论是数学的一个分支，研究随机现象的规律性，概率论的概念来源于人们对随机现象的观察和计量。
概率可以看作是随机事件发生的可能性大小，也可以看作是随机事件发生的频度。
在概率论中，我们要对随机现象进行分析和研究，提出概率的概念、性质和计算方法。
每一个随机现象都有其特定的样本空间Ω，样本空间Ω可以看作是所有可能的结果的集合，而样本空间中的每一个元素可以看作是一个基本事件。
概率的定义是将某个事件A发生的可能性用一个数p(A)表示，并且满足以下两个条件：首先，p(A)的取值范围是[0,1]；其次，如果一个事件发生的可能性越大，那么这个事件的概率就越大。
二、事件的概率在概率论中，事件可以包括单个的基本事件（如抛硬币的结果为正面）、也可以包括多个基本事件的集合（如抛硬币两次的结果为正反）。
事件的概率是指事件发生的可能性大小。
对于事件的概率，有几种不同的计算方法，包括古典概率、几何概率和条件概率。
1. 古典概率古典概率是指在古典概型中某个事件发生的可能性大小。
在古典概型中，所有基本事件发生的可能性都是相等的，即每个基本事件的概率都是相等的。
古典概率的计算方法是根据基本事件的个数来确定某个事件的概率。
例如，掷一枚骰子，出现一个点数的概率是1/6。
2. 几何概率几何概率是指在几何学上计算事件的概率。
在几何概率中，我们通常是通过对空间进行分析和计算来确定事件的概率。
例如，在一块长方形的区域中，事件发生的概率等于事件所占的面积与总面积的比值。
几何概率的计算方法通常是利用几何图形的性质和概率的定义来确定事件的概率。
3. 条件概率条件概率是指在某一事件已经发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算方法是利用概率的定义和事件的性质来确定。
条件概率的计算方法可以用公式p(A|B)=p(A∩B)/p(B)表示，其中p(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；p(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；p(B)表示事件B发生的概率。
人教版高中数学必修三第三章概率3.3几何概型课件共19页
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
高中数学人教B版必修3 第三章 3.3.1几何概型 课件(共28张PPT)
解析：
本题主要考查了几何概型，由题意知点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，那么在 点A两侧使劣弧 A的B 长度小于1的点所占据 的弧长为2，所以概率为 2
3
3 、如图在圆心角为900的扇形中,以圆心O 为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC
都不小于300的概率.
A
D
C
E
30°
O
30°
B
解析： 记F={作射线OC,使得∠AOC和∠BOC都不小于
P(A)=
取出的种子体 所有种子的体
= 10
1000
=0.01．
所以，取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01．
3.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想 听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的 概率. 解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A，
打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内 则事件A发生.
导入新课
古典概率的概念：
还记得吗？
满足以下两个特点： （1） 试验总所有可能出现的基本事件只有有限个； （2） 每个基本事件出现的可能性相等
——称为古典概率.
古典概率的基本特点 （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
有限、等可能！
对于古典概率，我们有古典概率公式来 求有限个事件结果的等可能事件，
这两个问题能否用古典概型的 方法来求解呢?
显然不是有限个可能事件，所以古 典概率不能解决那么怎么办？
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解 为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中 的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的 发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中 的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形 等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
新人教B版高中数学(必修3)3.3.1《几何概型》
记事件 指出概率类型 构造几何图形
求概率
计算几何度量
例1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小 杯水中含有这个细菌的概率. 解: 记A=“小杯水 中含有这个细菌” P(A)=0.1/1=0.1
例2：一金鱼在水池中自由游弋，水 池为长30米，宽20米的长方形，求 金鱼离岸边不超过2米的概率？
E C O D
关 键:
对于复杂的实际问题,解题的关键
是要建立模型,找出随机事件与所有 基本事件相对应的几何区域,把问题 转化为几何概型问题,利用几何概型 的概率公式来求解.
课堂小结
(1)几何概型的特点 (2)几何概型的定义 (3)几何概型的概率计算公式
1、在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标小于1 的概率是：（ ） A：1/3 B：1/2 C：2/3 D：2/9 2、在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上， 任作一条射线OA，则射线OA落在∠XOT内的概 率是（ ） A：1/3 B：1/4 C：1/5 D：1/6 3、如果在一个1万平方公里的海域里有表面积 达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海 领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是 （ ） A：1/40 B：1/25 C：1/250 D：1/500
等可能发生的的概率类型;
2.几何概型主要用于解决与长度.角度.面积.
1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是
体积有关的题目;
3.求解公式为
μA 子 区 域 A的几 何 度 量 P(A) = = μΩ 区 域的 几 何 度 量
练习：求下列事件的概率
长度
1.取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于1m的概率为（ 1 ） 3 2.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中 3 任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率（ 10） 3.如图在圆心角为90O 的扇形AOB中，以圆心O为 起点作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于20O 5 的概率为（ ） 面积 4、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的 面积小于 S 的概率为（ 3 ）
高中数学必修三概率知识点
高中数学必修三概率知识点一、概述高中数学必修三中的概率知识点是数学学科的重要组成部分，也是日常生活和工作中经常涉及的重要内容之一。
概率论是研究随机现象的数学学科，通过对随机事件的分析和推断，揭示其内在规律和特点。
概率知识点作为高中数学必修三的重要内容，涉及概率的基本概念、事件的关系和运算、古典概型、几何概型以及离散型随机变量等知识点。
掌握这些知识点对于理解现实生活中的各种随机现象，进行科学合理的决策和风险评估具有重要意义。
在学习概率知识点时，需要掌握其基本概念和原理，学会运用概率思维解决实际问题，培养逻辑思维能力和数据处理能力。
概率知识点也是后续学习统计学、金融数学等学科的基础，对于提高数学素养和综合能力具有不可替代的作用。
1. 概率论的重要性概率论是数学的一个分支，用于研究随机现象的数量规律。
在高中数学必修三的学习中，概率知识点的重要性不容忽视。
它不仅仅是一门学科的核心内容，更是理解现实世界的一把钥匙。
在我们的日常生活中，无论是天气预测、金融投资、医学研究，还是游戏设计、风险评估等各个领域，概率知识都有着广泛的应用。
学习概率论不仅能够提高学生解决实际问题的能力，更能培养他们的逻辑思维和决策能力。
概率论是理解和预测随机事件的重要工具。
在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种随机事件，比如抛硬币、抽奖等。
通过学习概率，我们可以知道这些随机事件的规律和趋势，从而更好地做出预测和决策。
其次val 序列深入式学习，概率论对于决策制定具有指导意义。
在金融投资领域，投资者可以通过学习概率知识，分析股票市场的走势和风险，从而做出更明智的投资决策。
在医学领域，医生可以根据疾病的发病率和患者的症状概率来做出诊断。
掌握概率知识对于个人和社会都具有重要意义。
它使我们能够更好地理解世界，做出明智的决策。
对于现代社会的发展，人们更需要有利用数学方法来理解世界的技能，这已成为我们教育的一大目标。
通过学习概率知识，学生可以为他们的未来生涯发展打下坚实的基础。
2019-2020人教B版数学必修3 第3章 3.3.1 几何概型 3.3.2 随机数的含义与应用课件PPT
B [A、C、D的基本事件是有限的，为古典概型，只有B为几 何概型．]
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2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，
那么点落在△ABD内的概率为( )
1 A.3
1 B.2
1 C.4
D．16
B [向△ABC内投一点的结果有无限个，属几何概型．设点落 在△ABD内为事件A，则P(A)＝△△AABBDC面面积积＝12.]
1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，
∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝23.]
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合作探究 提素养
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与长度、角度有关的几何概型 [探究问题] 1．古典概型和几何概型有何异同点？ [提示] 相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生 的可能性都是相等的． 不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限 的；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何 概型解决的问题一般都与几何知识有关．
题．(难点)
用随机模拟法解决概率
3．会利用随机数模拟某一问题的试验来解 问题，提升学生的数学
决具体的有关概率的问题．(重点、难点) 运算的核心素养.
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自主预习 探新知
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1．几何概型的定义 事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图所示)，A的概率只与子 区域A的几何度量( 长度 、 面积 或 体积 )成正比，而与A的位置 和 _形__状___无关，满足以上条件的试验称为几何概型．
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(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生随机数 的方法)：
①Scilab中用 rand() 函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一 次rand()函数，就产生一个随机数．
人教版高中数学必修三概率的基本性质课件2
B
例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件H ={出现 的点数为奇数}即为互为对立事件。
人 教 版 高 中 数学必 修三第 三章第 1节 3 . 1.3 概 率 的基 本性质 课 件( 共28张 PPT)
人 教 版 高 中 数学必 修三第 三章第 1节 3 . 1.3 概 率 的基 本性质 课 件( 共28张 PPT)
人 教 版 高 中 数学必 修三第 三章第 1节 3 . 1.3 概 率 的基 本性质 课 件( 共28张 PPT)
事件的关系和运算：
6、互为对立事件
若A B 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件
A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一 次试验中有且仅有一个发生。
如图：
A
事件的关系和运算：
（4）交事件（积事件）C4 D2 D3
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件
为事件A和事件B的交事件（或积事件），记作 A B（或AB） 。
如图：
B AB A
例.若事件 C4 ={ 出现 4 点 }；发生，则 事件 D2 ={ 出现的点数大于 3 }
与事件 D3 ={ 出现的点数小于 5 }同时发生，则
与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次 试验中都不会同时发生。
如图：
A
B
例.因为事件 C1 ={出现 1 点} 与事件C2 ={出现 2 点}
不可能同时发 生，故这两个事件互斥。
人 教 版 高 中 数学必 修三第 三章第 1节 3 . 1.3 概 率 的基 本性质 课 件( 共28张 PPT)
2、相等关系
(2)若事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立，
则称这两个事件相等。
高中数学 概率章末归纳总结(含解析)新人教B版必修3
高中数学第三章概率章末归纳总结新人教B版必修3一、选择题1．从装有m个红球，n个白球(m、n≥2)的袋中任取2个球，则互为对立事件的是( ) A．至少有1个白球和至多有1个白球B．至少有1个白球和至少有1个红球C．恰有1个白球与恰有2个白球D．至少有1个白球与都是红球[答案] D[解析]取得一红一白时，A中两个事件都发生，故不互斥；取得一红一白时，B中两个事件都发生，故也不互斥；取得两个红球时，C中两个事件都不发生，故不对立；只有D 中的两个事件不同时发生又有一个发生，是对立事件．2．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：A．0.4 B．0.5C.0.6 D．0.7[答案] B[解析]由表格可知，男婴出生的频率分别为0.49，0.54，0.50,0.50，故这一地区男婴出生的概率约是0.5.3．(2015·河南南阳市高一期末测试)把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．必然事件C．不可能事件D．互斥但不对立事件[答案] D[解析]“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．4．(2015·河北邯郸市高一期末测试)某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是( )A.15B．13C.35 D ．23[答案] A[解析] 抽取的6个班中，高一、高二、高三分别有3个班、2个班、1个班，记高一的3个班分别为A 1、A 2、A 3，高二的2个班分别为B 1、B 2，高三的1个班为C ，从6个班中随机抽取2个班的基本事件有(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，C )、(A 2，A 3)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，C )、(A 3，B 1)、(A 3，B 2)、(A 3，C )、(B 1，B 2)、(B 1，C )、(B 2，C )共15个，抽取的2个班均为高一的基本事件有(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 2，A 3)共3个，∴所求概率P ＝315＝15.5．在数轴上的区间[0,3]内任取一点，则此点落在区间[2,3]内的概率是( ) A.13 B ．12 C.23 D ．34[答案] A[解析] 区间[2,3]的长度为1，区间[0,3]的长度为3，由几何概型的计算公式可知所求概率为13.6．在一底面半径和高都是2 m 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中，现从中随机取出2m 3的种子，则取出带有麦锈病的种子的概率是( )A.14 B ．18π C.14πD ．1－14π[答案] C[解析] 所有小麦种子的体积为πR 2h ＝π×4×2＝8π(m 3)，现从中随机取出2m 3的种子，则取出带有麦锈病的种子的概率为28π＝14π.二、填空题7．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物 1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物 1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．[答案] 12 000[解析] 设保护区内有这种动物x 只，每只动物被逮到的概率是相同的，所以1 200x＝1001 000，解得x ＝12 000. 8．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆面，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率为________(油滴的大小忽略不计)．[答案]49π[解析] 记事件A 为“油正好落入孔中”，由题意可知μA ＝1 cm 2, μΩ＝9π4 cm 2，所以由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝μA μΩ＝49π.三、解答题9．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，将得到的点故分别记为a ，b .(1)求直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率；(2)将a ，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． [解析] 先后两次抛掷一颗骰子，将得到的点故分别记为a 、b ，事件总数为6×6＝36. (1)因为直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，所以有5a 2＋b 2＝1即：a 2＋b 2＝25，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，所以，满足条件的情况只有a ＝3、b ＝4和a ＝4、b ＝3两种情况， 所以，直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118. (2)∵三角形的一边长为5， ∴当a ＝1时，b ＝5， 当a ＝2时，b ＝5， 当a ＝3时，b ＝3、5， 当a ＝4时，b ＝4、5，当a ＝5时，b ＝1、2、3、4、5、6， 当a ＝6时，b ＝5、6. ∴满足条件的情况共有14种．故三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝718.10．(2015·陕西文，19)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨．．．的概率； (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．[解析] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是1315.(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.一、选择题1．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65 C.0.35 D ．0.3[答案] D[解析] 本题主要考查互斥事件概率的求解方法．由题意知事件A 、B 、C 互为互斥事件，记事件D ＝{抽到的是二等品或三等品}，则P (D )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.2＋0.1＝0.3，故选D.2．教室有4扇编号分别为a 、b 、c 、d 的窗户和2扇编号分别为x 、y 的门，窗户d 敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇，则至少有1扇门被敞开的概率为( )A.23 B ．49 C.710D ．712 [答案] C[解析] 本题主要考查古典概型的概率求解问题．记“随机地敞开2扇门或窗”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为：(a ，b )、(a ，c )、(a ，x )、(a ，y )、(b ，c )、(b ，x )、(b ，y )、(c ，x )、(c ，y )、(x ，y )，共10种．记“至少有1扇门被敞开”为事件B ，则事件B包含的基本事件有：(a ，x )、(a ，y )、(b ，x )、(b ，y )、(c ，x )、(c ，y )、(x ，y )，共7种，所以P (B )＝710，故选C.3．有五根细木棒，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )A.320B ．25 C.15 D ．310[答案] D[解析] 以5根木棒中取3根有10种取法，而构成三角形只能有3种，3、5、7；5、7、9；3、7、9，∴P ＝310.4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则log 2x y ＝1的概率为( )A.16 B ．536 C.112D ．12[答案] C[解析] 骰子朝上的面的点数x 、y 构成的有序数对(x ，y )共有36个，满足log 2x y ＝1，即2x ＝y 的有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3个，故所求概率P ＝336＝112.二、填空题5．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些正方体中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是________．[答案] 49[解析] 在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆；12个(在12条棱上，每条棱上一个)，两面涂漆；6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆，1个(中心)各面都不涂漆，∴所求概率为1227＝49.6．一个员工需在一周内值班两天，其中恰有一天是星期六的概率为____________． [答案] 27[解析] 基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)(5,7)，(6,7)}，恰有一天是星期六含6个基本事件，概率P ＝621＝27，选B.三、解答题7．某外语学校英语班有A 1、A 2两位同学，日语班有B 1、B 2、B 3、B 4四位同学，俄语班有C 1、C 2两位同学共8人报名奥运会志愿者，现从中选出懂英语、日语、俄语的志愿者各1人，组成一个小组．(1)写出一切可能的结果组成的基本事件空间并求出B 4被选中的概率； (2)求A 1和C 1不全被选中的概率．[解析] (1)基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 1，B 4，C 1)，(A 1，B 4，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 2，B 4，C 1)，(A 2，B 4，C 2)}共16个．其中B 4被选中的事件有4个． ∴B 4被选中的事件的概率为416＝14. (2)A 1和C 1全被选中的事件有(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 4，C 1)4个，∴A 1和C 1全被选中的概率为416＝14. 故A 1和C 1不全被选中的概率为1－14＝34.8.(2015·山东潍坊高一期末测试)某校随机抽取20名学生在一次知识竞赛中的成绩(均为整数)，并绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．(1)求频率分布直方图中x 的值；(2)估计这次知识竞赛成绩的合格率(60分及以上为合格)；(3)从成绩在[40,60)的学生中任选2人，求此2人的成绩在同一分组区间的概率． [解析] (1)由题意，得(0.010＋0.020＋0.030＋0.020＋x ＋0.005)×10＝1，解得x＝0.015.(2)估计这次竞赛成绩的合格率为：(0.030＋0.020＋0.015＋0.005)×10×100%＝70%.(3)成绩在区间[40,50)人数为0.1×20＝2人，记为A1、A2；成绩在区间[50,60)人数为0.2×20＝4人，记为B1、B2、B3、B4.从成绩在[40,60)的学生中任选2人的所有基本事件有：(A1，A2)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，B3)、(A1，B4)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，B3)、(A2，B4)、(B1，B2)、(B1，B3)、(B1，B4)、(B2，B3)、(B2，B4)、(B3，B4)共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“2人的成绩在同一分组区间”所包含的基本事件是：(A1，A2)、(B1，B2)、(B1，B3)、(B1，B4)、(B2，B3)、(B2，B4)、(B3，B4)共7个．∴此2人的成绩在同一分组区间的概率为P＝715.。
人教B版高中数学必修三第三章概率3.3.2.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作3.3.2 随机数的含义与应用 课时目标 1.了解随机数的产生方法与意义.2.会用模拟实验求几何概型的概率.3.能利用模拟实验估计不规则图形的面积．1．随机数随机数就是在________________________，并且得到这个范围内的_______________．2．计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法建立一个概率模型，它与某些我们____________有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来______________．按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法．一、选择题1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为( )A.a= a 1*7B.a= a 1*7+3C.a= a 1*7-3D.a= a 1*42．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的顺序为( )A .SHIFT RNDB .SHIFT RanC .SHIFT Ran #D .STO Ran #3．与均匀随机数特点不符的是( )A ．它是[0,1]内的任何一个实数B ．它是一个随机数C ．出现的每一个实数都是等可能的D ．是随机数的平均数4．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A .43B .83C .23D ．无法计算 5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形．这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A .3681B .1236C .1281D .146．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是( )A ．一样大B ．蓝白区域大C ．红黄区域大D ．由指针转动圈数决定题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为______．8．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x|≤1的概率为________．9．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．三、解答题10．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积．11．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：(1)小燕比小明先到校；(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．能力提升12．如图所示，曲线y ＝x 2与y 轴、直线y ＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)．13．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率(用两种方法)．1．[0,1]或[a，b]上均匀随机数的产生利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]的均匀随机数，试验的结果是区间[0,1]内的任一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟．计算器不能直接产生[a，b]区间上的随机数，但可利用伸缩和平移变换得到：如果Z是[0,1]区间上的均匀随机数，则a＋(b－a)Z就是[a，b]区间上的均匀随机数．2．随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算机或计算器模拟试验，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数．如长度、角度型只用一组，面积型需要两组．(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围．(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．3．3.2 随机数的含义与应用知识梳理1．一定范围内随机产生的数 每一个数的机会一样2．感兴趣的量 确定这些量作业设计1．C [根据伸缩、平移变换a=a 1*［4-(-3)］+(-3)=a 1*7-3.］2．C3．D [A 、B 、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．]4．B [∵S 阴影S 正方形＝23，∴S 阴影＝23S 正方形＝83.] 5．D [由题意知，6<AM<9，而AB ＝12，则所求概率为9－612＝14.] 6．B [指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大．] 7.13解析 作∠AOE ＝∠BOD ＝30°，如图所示，随机试验中，射线OC 可能落在扇面AOB内任意一条射线上，而要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 落在扇面DOE 内，∴P(A)＝13. 8.23解析 由|x|≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23. 9.3π6解析 以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形，当P 落在其内时符合要求．∴P ＝3×(12×π3×12)34×22＝3π6. 10．解 设事件A ：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND .(2)经过伸缩变换x ＝x 1 *3,y=y 1*3，得到两组［0,3］上的均匀随机数.（3）统计出试验总次数N 和满足条件y<log 3x 的点（x,y ）的个数N 1.(4)计算频率f n (A)＝N 1N，即为概率P(A)的近似值． 设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为9，由几何概率公式得P(A)＝S 9，所以N 1N ≈S 9. 所以S ≈9N 1N即为阴影部分面积的近似值．11．解 记事件A “小燕比小明先到校”；记事件B “小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ，c ＝RAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；②统计出试验总次数N 及其中满足b<c 的次数N 1，满足b<c<a 的次数N 2；③计算频率f n (A)＝N 1N ，f n (B)＝N 2N，即分别为事件A ，B 的概率的近似值． 12．解 方法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据落在区域A 内的豆子数落在正方形内的豆子数≈区域A 的面积正方形的面积，即可求区域A 面积的近似值．例如，假设撒1 000粒豆子，落在区域A 内的豆子数为700，则区域A 的面积S ≈7001 000＝0.7. 方法二 对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x ，y)的坐标．如果一个点的坐标满足y ≥x 2，就表示这个点落在区域A 内．第二步，统计出落在区域A 内的随机点的个数M 与落在正方形内的随机点的个数N ，可求得区域A 的面积S ≈M N. 13.解 方法一 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示． 由几何概型的概率公式得：P(A)＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以两人能会面的概率是716. 方法二 设事件A ＝{两人能会面}．(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)经过伸缩变换,x=1x *60,y=1y *60，得到两组［0,60］上的均匀随机数；（3）统计出试验总次数N 和满足条件|x-y|≤15的点（x,y ）的个数1N ；（4）计算频率fn(A)= 1N N ，即为概率P （A ）的近似值.。
人教B版高中数学必修三几何概率文字素材(2)
几何概型的应用例说几何概型，以其形象直观的特点，倍受人们青睐．下面举例说明几何概型在几方面的应用，以使同学们感受数学美的思维之花． 一、与数有关的几何概型例１ 在区间(01)，上随机取两个数m n ，，求关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率．解析：在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m n ，的值，因为m n ，是(01)，与图1中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A 表示方程20x nx m -+=有实根，则事件40()|0101n m A m n m n ⎧-⎫⎧⎪⎪⎪=<<⎨⎨⎬⎪⎪⎪<<⎩⎩⎭，，所对应的区域为图1中的阴影部分，且阴影部分的面积为18．故由几何概型公式得1()8S P A S ==阴影正方形，即关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率为18．二、与形有关的几何概型例2 在等腰ABC Rt △中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率．解析：点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 为试验所有结果构成的区域．在AB 上截取AC AC '=，则当点M 位于图2中线段AC '上时，AM AC <，故线段AC 即为构成事件AM AC <的区域． 于是2()()AC AC P AM AC P AM AC AB AB ''<=<===，即AM 的长小于AC 的长的概率为2． 例3 如图3，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的 终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在xOT ∠内的概率． 解析：以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的．落在xOT ∠内的概率只与xOT ∠的大小有关，符合几何概型的条件．记{}B OA xOT =∠射线落在内． 60xOT ∠=∵°， 601()3606P B ==°∴°，即射线OA 落在xOT ∠内的概率为16． 三、与时间有关的几何概型例4 从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？ 解析：到达乙地的时间是9:30到10:00之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是9:45到10:15之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系中用x 轴表示班车到达乙地的时间，y 轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为0．5的正方形．设“他能赶上车”为事件A ，则事件A 的条件是x y ≤，构成事件A 的区域为图4的阴影部分．由几何概型公式，得22210.50.252()0.8750.5P A -⨯==，即他能赶上车的概率为0．875．例5 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有10s 长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？ 解析：包含两个间谍谈话录音的部分在30s 到40s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在０到30s 之间时全部被擦掉，即在0到40s 之间的时间段内容按错键时，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关．记Ａ＝｛按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉了｝，Ａ发生就是在0到23min 时间段内按错键．213()3045P A ==∴．四、体育运动中的古典概率例6 在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选取2个质量盘装在拉力器上．有2个装质量盘的箱子，每个箱子中都装有4个不同的质量盘：2．5kg ，5kg ，10kg 和20kg ，每次都随机的从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上后，再拉动这个拉力器．（1）随机的从2个箱子中各取1个质量盘，共有多少种可能的结果？用表格列出所有可能的结果．（2）计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概率：①20kg；②30kg；③不超过10kg；④超过10kg．（3）如果一个人不能拉动超过22kg的质量，那么他不能拉开拉力器的概率是多少？解：（1）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以从4种不同的质量盘中任意选取．我们可以用一个“有序实数对”来表示随机选取的结果．例如，我们用（10，20）来表示：在一次随机的选取中，从第一个箱子中取的质量盘是10kg，从第二个箱子中取的质量盘是20kg．表1列出了所有可能结果．从表1中可以看出，随机的从2个箱子中各取1个质量盘的所有可能结果共有16种．由于选取质量盘是随机的，因此这16种结果出现的可能性是相同的，这个试验属于古典概型．（2）①用A表示事件“选取的两个质量盘的总质量是20kg”，从表2中可以看出，总质量为20kg的所有可能结果只有1种，因此，事件A的概率1 ()0.062516P A==．②用B表示事件“选取的两个质量盘的总质量是30kg”，从表2中可以看出，总质量为30kg的所有可能结果共有2种，因此，事件B的概率21()0.125168P B===．③用C表示事件“选取的两个质量盘的总质量不超过10kg”．总质量不超过10kg，即总质量为5kg，7．5kg，10kg之一，从表2中容易看出，所有可能结果共有4种，因此，事件C的概率41()0.25164P C===．④用D表示事件“选取的两个质量盘的总质量超过10kg”．总质量超过10kg，即总质量为12．5kg，15kg，20kg，22．5kg，25kg，30kg，40kg之一，从表2中可以看出，所有可能结果共有12种，因此，事件D的概率123()0.75164P D===．（3）用E表示事件“不能拉开拉力器”，即总质量超过22kg．总质量超过22kg是指总质量为22．5kg，25kg，30kg，40kg之一．从表2中可以看出，这样的可能结果共有7种，因此，不能拉开拉力器的概率7()0.437516P E==．。
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几种常见的几何概率模型
几何概型是高中阶段一个重要的概率模型,其求解方法是多种多样的.但我们只要掌握了几种常见的几何概型,就可以做到“举一反三”,做到真正的了解和掌握这一类题目的求法.下面我们就介绍几种常见的几何概型.
一、长度型的几何概率模型
例1、如图1所示,平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径a r <的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行相碰的概率。
分析硬币不与直线相碰，可以看作硬币 的中心O 到直线的距离r OM >||，这样就可以 把问题转化为中心O 到较近的一条直线的距离 ||OM 满足a OM r ≤<||的概率问题。
因为硬币 是任意掷在平面上的，所以硬币中心O 到较近 一条直线的距离||OM 在0到a 之间是等可能的 任意一个值，所以这符合几何概型的条件。
解设事件A={硬币不与任一条平行相碰}，为了确定 硬币的位置，由硬币的中心O 垂足为M ，如图1所示，这样线段OM 的长度的取值范围
是[]a ,0，只有当a OM r ≤<||时硬币不与平行线相碰。
由几何概率公式求得：a
r
a A P -=)(。
即硬币不与任一条平行相碰的概率为
a
r
a -。
注解决本题的关键是把硬币与直线的关系转化为中心到直线的距离，从而转化为长度型的几何概率问题。
二、角度型的几何概率模型
例2、如图2所示，在直角三角形ABC 中，030=∠A ，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，求使|AM|>|AC|的概率。
分析因为过一点作射线是均匀的，因而应把在ACB ∠ 内任射线CM 看作是等可能的。
基本事件为射线CM 落在∠内任一处。
使|AM|>|AC|的概率只与1ACC ∠以这是符合几何概型的。
解记事件A={作射线CM ，使|AM|>|AC|}，在AB 上
任取一点1C 使得||||1AC AC =，所以1ACC ∆是等腰三角形，所以
000175230180=-=∠ACC ，由几何概率公式求得：6
1
9015)(==A P 。
即使|AM|>|AC|的概率为
6
1。
注此类题目容易与长度型的几何概率问题混淆，如果把问题看成在1AC 上取点M 使|AM|<|AC|就说M 在1AC 上是等可能的，但是此时射线CM 是不均匀的，射线CM 不是等可能的，
图1
解决本题的关键是找准基本事件抢救无效可能的看待问题的角度。
三、面积型的几何概率模型
例3、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去。
求两人能会面的概率。
分析这是历史上有名的会面问题。
由甲乙两人中每人到达会面地点的时刻都6到7时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达约会地点的时间，y 轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标()y x ,就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间。
而会面的时间由15≤-y x 所对应的图中阴影部分表示。
由于每人到达会面地点的时刻都是随机的，所正方形内每个点都是等可能被取到的(即基本事件等可能发生)。
所在两人能会面只与阴影部分的面积有关，这就转化为面积型的几何概率问题。
解以x 和y 轴分别表示甲、乙两人到约会地点的时间，
则两人能够会面的条件是15≤-y x 。
在平面上建立直 角坐标系如图所示：由()y x ,的所有可能结果是边长为 60的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分所表 示。
这是一个几何概型的问题。
由等可能性知所求概率 为：
1676045-60S 2
22===
正方形阴影S P 。
注本题的难点是把两个时间分别用y x ,两坐标轴表示，构成平面的点()y x ,，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，这样就把会面问题转化为成面积型的几何概率问题。
四、体积型的几何概率模型
例4、在L 1高产小麦种子中混入了一粒带麦绣病的种子，现从中随机抽出mL 10，含带麦绣病的种子的概率有多大？
分析由于带麦绣病的种子在什么位置是随机的，而取麦样也具有随机性，所取哪一部分麦样的可能性相等，所以取到带麦绣病种子的概率只与所取麦样的体积有关。
这符合几何概型的条件。
解设事件{
}麦种含带麦绣病的种子取mL A 10=，由几何概率公式求得： 01.01000
10
)(==
A P 。
故含带麦绣病的种子的概率为0.01。
例5、在线段[]a ,0上随机地取三个点，试求由点o 至三个点的线段能构成一个三角形的概率。
分析令{}形三线段能构成一个三角=A ，设三线段各长为
z y x ,,，则每个试验结果可表示为：()a z y x z y x ≤≤,,0,,,，所
有可能的结果组成集合(){}a z y x z y x W ≤≤=,,0|,,因为三线段构成一个三角形的条件是x z y y z x z y x >+>+>+,,，所以事件A 构成集合
(){}a z y x x z y y z x z y x z y x A ≤≤>+>+>+=,,0,,,|,,，表示一个以D C B A O ,,,,为顶
点的六面体，其体积等于32
3212313a a a a =⋅⋅⋅-，故()2
1
21W 33
===a a
A A P 的体积的体积
x。