2018届高三理科数学二轮复习课件：高考解答题专讲4 空间向量与立体几何

a → a (2)由(1)知， E(0,0,3)， G2，1，4， F(0,1,4)， 则EG＝2，1，1，
→ → → EF＝(0,1,1)，B1D· EG＝0＋2－2＝0， → → B1D· EF＝0＋2－2＝0， 即 B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又 EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面 EGF， 因此 B1D⊥平面 EGF. 结合(1)可知平面 EGF∥平面 ABD.
高考解答题专讲(四)
空间向量与立体几何
一、向量法证明空间位置关系 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，平面 α、β 的法向量分别为 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)， (μ、v≠0)． (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a· μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.
设 BA＝a，则 A(a,0,0)， → → → 所以BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，B1D＝(0,2，－2)， → → → → B1D· BA＝0，B1D· BD＝0＋4－4＝0， 即 B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又 BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面 ABD， 因此 B1D⊥平面 ABD.
ABCD 为菱形，所以 BO＝1，AO＝CO＝ 3，AC⊥BD.
如图，以 O 为坐标原点，以 OB，OC 所在直线分别为 x 轴， y 轴，过点 O 且平行于 PA 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 O －xyz，
则 P(0，－ 3，2)，A(0，－ 3，0)，B(1,0,0)，C(0， 3，0)， D(－1,0,0)，E(0，－ 3，1)． → (1)设平面 BDE 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，因为BE＝(－1， → － 3，1)，BD＝(－2,0,0)， → n1· BD＝0， 由 → n · 1 BE＝0，
2 2 x－1 ＋1＋z ＝4， 得 2 2 x ＋z ＝1，
1 3 得 x＝－2，z＝ 2 .
即点
1 P －2，0，
3 ，而 E 为 PD 的中点， 2
1 1 ∴E －4，2，
3 . 4
设平面 PAB 的法向量为 n＝(x1，y1，z1)， → 3 1 → ∵AP＝－ ，1， ，AB＝(1,1,0)， 2 2
过点 O 在平面 POB 内作 OB 的垂线 OM，交 PB 于 M，
以 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴， OM 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 设 CD＝1，则有 A(0，－1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)． 设 P(x,0，z)(z>0)，由 PC＝2，OP＝1，
[ 对点训练] 1．(2017· 福州质检)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60° ，E 是 PA 的中点．
(1)求证：直线 PC∥平面 BDE； (2)求证：BD⊥PC.
[ 证明 ]
设 AC∩BD ＝ O. 因为∠ BAD ＝ 60° ， AB ＝ 2 ，底面
3 1 － x1＋y1＋ z1＝0， x1＝－y1， 2 2 ∴ ⇒ z1＝－ 3y1， x ＋ y ＝ 0 ， 1 1 取 y1＝－1，得 n＝(1，－1， 3)． → → 1 3 5 而CE＝－ ，－ ， ，则 CE · n＝0，而 CE⊄平面 PAB，∴ 4 2 4 CE∥平面 PAB.
(3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4. (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ· v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
[ 证明]
(1)以 B 为坐标原点，BA，BC，BB1 所在的直线分别
为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 B(0,0,0)， D(0,2,2)，B1(0,0,4)，C(0,2,0)
[ 探究追问] 的认识．
[ 证明]
本例用几何方法如何证明？谈谈你对两种方法
(1)∵AB⊥平面 BCC1B1，B1D⊂平面 BCC1B1，
∴AB⊥B1D.
在矩形 BCC1B1 中，D 为 CC1 的中点，且 DC＝BC＝DC1＝2， ∴∠BDC＝∠B1DC1＝45° ， ∴∠BDB1＝90° ，即 B1D⊥BD. 又∵AB∩BD＝B. ∴B1D⊥平面 ABD. (2)取 BB1 的中点 H，则 HC1∥BD. ∵B1E＝1，B1H＝2，∴E 为 B1H 的中点． ∵F 为 B1C1 的中点，∴EF∥HC1. ∴EF∥BD.
－2x1＝0， 得 －x1－ 3y1＋z1＝0，
令 z1＝ 3，得 y1＝1，所2)，所以PC· n1＝0＋2 3－2 3＝0， → 即PC⊥n1，又 PC⊄平面 BDE， 所以 PC∥平面 BDE. → → (2)因为PC＝(0,2 3，－2)，BD＝(－2,0,0)， → → 所以PC· BD＝0. 故 BD⊥PC.
二、向量法求直线与平面所成的角
[ 解]
(1)证明：设 AD 的中点为 O，连接 OB，OP.
∵△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，∴OP⊥AD. 1 ∵BC＝2AD＝OD，且 BC∥OD， ∴四边形 BCDO 为平行四边形， 又∵CD⊥AD，∴OB⊥AD， ∵OP∩OB＝O，∴AD⊥平面 OPB.
∵EF⊄平面 ABD，BD⊂平面 ABD， ∴EF∥平面 ABD. 又 G 为 A1C1 的中点，∴GF∥A1B1∥AB， ∵GF⊄平面 ABD，AB⊂平面 ABD， ∴GF∥平面 ABD. 又∵GF∩EF＝F. ∴平面 EGF∥平面 ABD.
向量法证明平行与垂直的 4 个步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的 垂直关系． (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示 出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． (3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平 行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题．