二次函数自学导学案(全章)

二次函数自学导学案（全章）第一课一、什么是二次函数？提出问题：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。

设售价降低x元时的利润为y。

请用含x的代数式表示y。

并求出自变量x的取值范围。

观察思考：以上解析式中含有几个自变量？它们都是几次多项式？二次函数定义：形如____________________________________的函数叫做x的二次函数，___叫做二次函数的系数，___叫做一次项的系数，___叫作常数项．练习: 1.下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5x＋1 (2)y=4x2－1(3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x＋1二、二次函数的图像和性质：问题：画函数图像分为那几个步骤？（一）二次函数y=ax2（a≠0）的图象和性质：做一做,画一画：在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?请观察所画图像回答：函数y=ax2（a≠0）的图象是一条________,它的对称轴是___________,顶点坐标是______.当a＞O时，抛物线y=ax2开口向__，在对称轴的左边(当x<0时)，曲线自左向右_____,函数值y随x的增大而_____;在对称轴的右边(当x＞0时)，曲线自左向右_____，函数值y随x的增大而_____;当x=0时，函数值y＝ax2取得最__值，最__值是_____.当a＜O时，抛物线y=ax2开口向__，在对称轴的左边(当x<0时)，曲线自左向右_____,函数值y随x的增大而_____;在对称轴的右边(当x＞0时)，曲线自左向右_____，函数值y随x的增大而_____;当x=0时，函数值y＝ax2取得最__值，最__值是_____.练习：1、分别说出函数y=4x2与y=-3x2的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。

（二）二次函数y＝ax2＋k的图象特征和性质：画一画：同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象；解：列表：根据图像回答以下问题：问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?问题2：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?问题3：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?问题4：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?函数y＝2x2＋1的性质：开口方向是______，对称轴是______,顶点坐标是_____;当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．画一画：在同一直角坐标系中画出函数y＝-2x2－2与函数y＝-2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?根据图像回答以下问题：问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?问题2：函数y＝-2x2—2和y＝-2x2的图象有什么联系?问题3：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?问题4：你能由函数y＝-2x2的性质，得到函数y＝-2x2—2的一些性质吗?函数y＝-2x2—2的性质：开口方向是______，对称轴是______,顶点坐标是_____;当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．1、函数y＝ax2＋k的图象特征和性质：函数y＝ax2＋k的图象是一条________,它的对称轴是___________,顶点坐标是______.当a＞O时，抛物线y＝ax2＋k开口向__，在对称轴的左边(当x<0时)，曲线自左向右_____,函数值y随x的增大而_____;在对称轴的右边(当x＞0时)，曲线自左向右_____，函数值y随x的增大而_____;当x=0时，函数y＝ax2＋k 取得最__值，最__值是_____.当a＜O时，抛物线y＝ax2＋k开口向__，在对称轴的左边(当x<0时)，曲线自左向右_____,函数值y随x的增大而_____;在对称轴的右边(当x＞0时)，曲线自左向右_____，函数值y随x的增大而_____;当x=0时，函数y＝ax2＋k 取得最__值，最__值是_____.2、函数y＝ax2＋k的图象可以由抛物线y＝ax2向上或者是向下平移_____个单位得到。

练习：在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，y＝12x2，y＝12x2＋2，y＝12x2－2观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置以及它们所具备的性质。

第二课（三）函数y＝a(x—h)2的图象和性质：能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗?试一试。

解：列表:问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?问题2：函数y＝2(x－1)2和y＝2x2的图象有什么联系?问题3：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?问题4：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的一些性质吗?函数y＝2(x－1)2的性质：开口方向是______，对称轴是______,顶点坐标是_____;当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．探究二：问题7：在同一直角坐标系中画出函数y＝-2(x+1)2与函数y＝-2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?问题2：函数y＝-2(x+1)2和y＝-2x2的图象有什么联系?问题3：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?问题4：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x+1)2的一些性质吗?函数y＝2(x+1)2的性质：开口方向是______，对称轴是______,顶点坐标是_____;当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．1、函数y＝a(x—h)2的图象特征和性质：函数y＝a(x—h)2的图象是一条________,它的对称轴是___________,顶点坐标是______.当a＞O时，抛物线y＝a(x—h)2开口向__，在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_____,函数值y随x的增大而_____;在对称轴的右边(当x＞h时)，曲线自左向右_____，函数值y随x的增大而_____;当x=h时，函数值y＝a(x—h)2取得最__值，最__值是_____.当a＜O时，抛物线y＝a(x—h)2开口向__，在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_____,函数值y随x的增大而_____;在对称轴的右边(当x＞h时)，曲线自左向右_____，函数值y随x的增大而_____;当x=h时，函数值y＝a(x—h)2取得最__值，最__值是_____.2、函数y＝a(x—h)2的图象可以由抛物线y＝ax2向左或者是向右平移_____个单位得到。

练习：在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，y＝x2，y＝(x＋1)2和y＝(x－1)2观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置以及它们所具备的性质。

（四）函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质：探究一：你能填写下表吗?问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)＋1与函数y=2(x－1)、y=2x图象的关系吗? 问题3：通过把函数y=2x2向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y=2(x－1)2＋1观察图像，你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?函数y=2(x－1)2＋1的性质：开口方向是______，对称轴是______,顶点坐标是_____;当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．猜想函数y=-2(x+1)2—1的性质：开口方向是______，对称轴是______,顶点坐标是_____;当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．总结探究结果，归纳出：1、函数y=a(x－h)2＋k的图象特征和性质：函数y=a(x－h)2＋k的图象是一条________,它的对称轴是___________,顶点坐标是______.当a＞O时，抛物线y=a(x－h)2＋k开口向__，在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_____,函数值y随x的增大而_____;在对称轴的右边(当x＞h时)，曲线自左向右_____，函数值y随x的增大而_____;当x=h时，函数y=a(x－h)2＋k取得最__值，最__值是_____.当a＜O时，抛物线y=a(x－h)2＋k开口向__，在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_____,函数值y随x的增大而_____;在对称轴的右边(当x＞h时)，曲线自左向右_____，函数值y随x的增大而_____;当x=h时，函数y=a(x－h)2＋k取得最__值，最__值是_____.2、函数y=a(x－h)2＋k的图象可以由抛物线y＝ax2向左或是向右平移_____个单位再向上或是向下平移_____个单位得到。

已知函数y＝2x2、y＝2(x－3)2＋3和y＝2(x＋3)2－3。

(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2(x－3)2＋3和抛物线y＝2(x＋3)2－3；(4)试讨沦函数y＝2(x＋3)2－3的性质；第三课一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和性质：问题：1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?4．不画出图象，你能求出函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5．你能画出函数y＝－12x2＋x－52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?解：列表如下：x …－2 －10 1 2 3 4 …y ……(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。