九年级上数学第二章知识点讲解
九年级上册数学第二章知识点总结
九年级上册数学第二章知识点总结1、一元二次方程的有关定义及其形式（1）整式方程及一元二次方程的概念①.整式方程的定义：方程两边都是关于未知数的整式；②.一元二次方程的定义一：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。
③.一元二次方程的定义二：只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2次的整式方程。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
（3）一元二次方程的特殊形式：①.当b=0，c≠0时，ax2 +c=0②.当b≠0，c=0时，ax2+bx =0③.当b=0，c=0时，ax2 =02、配方法ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
（形如：x2 =p且p≥0的形式）（2）配方法的步骤和方法方法：①.移项，把方程的常数项移到等号的右边；②.配方，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；③.直接用开平方法求出它的解。
具体步骤：①.把一元二次方程化成一般形式；②.将二次项的系数化为1；③.将常数项移到方程的右边；④.将一次项的系数写成2倍的关系；⑤.给方程两边同时加上尾项的平方；（即一次项系数绝对值的一半的平方。
这里的尾项是指在完全平方式中的尾项。
）⑥.把原方程化为（x+m）2=n(当n＜0时，方程无实数解；当n≥0时，方程有实数解。
)的形式；⑦.直接用开平方求出方程的解；⑧.方程的解的形式表示为：x1=a，x2 =b的形式。
3、公式法ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)（1）求根公式b2-4ac≥0时，x=a acb b24 2-±-（2）一元二次方程根的判别式△=b2-4ac①.当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；②.当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③.当b2-4ac<0时，方程无实数根。
九年级数学(上第二章
1 2
5,
即 x2x10. 解这个方程, 得
x 1 5 . 2
x2
1 2
5 (不合题意 ,舍去).
黄金 A比 C 1 50.61.8
AB 2
源于生活,服务于生活
运用方程还能解决什么
问题
例1 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里
处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目
标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 AC BC ,
AB AC
那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线
段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
解 :由 A CC,B 得 A2C AB C.B
ABAC
A
CB
设 A x1 B 2 ,A 1 1 C x ,则 xC , 1 B x .x1
移项:把常数项移到方程的右边;
A B ,A C B B 2 C 海 0,0里 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
整理得:2x2-7x=0.
移项:把常数项移到方程的右边;
AC 2AB 200 2海,里 ∠C=45 . 我思 我进步
0
小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛DA出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方
小 D 和 岛F 小 相 1岛 距 海 00 . 里 800平方厘米.
B C 学生会准备举办摄影展览, 在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.
E F 心动 不如行动
例题欣赏 ☞
北师大版九年级数学上册《一元二次方程》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《一元二次方程》
知识点归纳
第二章一元二次方程
定义：方程是只含有一个未知数的整式方程，并且可以
化成ax2+bx+c=0的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
用配方法求解一元二次方程
思路：将方程转化为2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程
的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
用公式法求解一元二次方程
对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是：
初中数学北师大版九年级上册《第二章一元二次方程》
知识点归纳
上面这个公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公
式解一元二次方程的方法称为公式法。
对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
当
b2-4ac<0时，方程没有实数根。
用因式分解法求解一元二次方程
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将方程分解成两个一元一次
方程，这两个一元一次方程的解就是一元二次方程的根，这
种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。
一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1x2,那么
x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
九年级上册第二章知识点
九年级上册第二章知识点第二章：知识点总结在九年级上册的第二章中，我们学习了许多新的知识点，包括数学、物理、化学和生物等学科。
这些知识点涵盖了我们的日常生活和学习中的方方面面。
接下来，我将从这些学科中挑选几个重要的知识点进行总结和探讨。
数学知识点：1.代数表达式和方程式：代数是数学的基础，通过代数表达式和方程式，我们可以描述和解决实际问题。
在这一部分中，我们学习了如何利用代数表达式和方程式来解决实际问题，例如利用一元一次方程求解变量的值。
2.图形的性质：图形是数学中一个非常重要的分支，也是我们日常生活中经常遇到的。
在这部分我们学习了各种图形的性质，包括圆、三角形、四边形等。
通过学习了解这些图形的性质，我们可以更好地理解和利用图形。
物理知识点：1.物质的性质：在物理学中，我们了解了不同物质的性质，包括颜色、硬度、导电性等。
通过对这些性质的了解，我们可以更好地理解物质的本质和特性，也能够更好地应用在实际生活中。
2.力和运动：力和运动是物理学中的基本概念之一。
我们学习了牛顿三定律、动量守恒和作用反作用定律等。
这些概念帮助我们理解物体的运动原理，例如为什么物体会受到重力的影响，为什么一辆车在行驶过程中需要加速和减速。
化学知识点：1.化学物质与反应：化学物质是构成物质的基本单位。
在这一部分中，我们学习了原子、分子和离子等概念，还了解了化学反应的基本原理和反应类型。
通过对化学物质和反应的学习，我们可以更好地理解和应用化学知识，例如如何制备一种化合物或者如何理解化学方程式。
2.酸、碱和盐：酸、碱和盐是化学中的重要概念。
我们学习了它们的性质、分类和实际应用。
酸碱中和反应、盐的制备和盐的应用等都是与我们生活密切相关的主题。
通过学习，我们可以更好地理解和利用酸、碱和盐，例如在日常生活中对酸碱中和反应要求的理解以及在实验室中进行盐的合成等。
生物知识点：1.细胞和生物体：细胞是生物学的基本单位，也是我们的身体构成的基础。
九年级数学知识点第二章
九年级数学知识点第二章数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们日常生活中无时无刻不在发挥作用。
而九年级的数学课程中涉及了许多重要的知识点。
在本文中，我将为大家详细介绍九年级数学知识点的第二章内容。
第二章主要涉及代数式的基本概念和运算法则。
代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，它用于表示数学关系。
其中，字母通常代表一种未知数，我们可以通过解方程等方法求得其具体数值。
代数式的运算则是对代数式进行加、减、乘、除等运算，以求得最终结果。
在代数式的基本概念中，我们需要了解字母的含义。
字母可代表常数、未知数、函数等。
在代数式中，未知数常用字母x、y、z 等表示，它们代表了我们需要求解的数值。
例如，若某代数式为2x + 3，我们可以通过解方程2x + 3 = 0来求得x的值。
代数式的运算法则是我们在进行代数式的计算时需要遵循的规则。
在简单的加减运算中，我们只需要将相同字母的系数相加或相减即可。
例如，对于代数式2x + 3y - 5x - 2y，我们可以将x的系数相加得到-3x，将y的系数相加得到y，最终得到-3x + y。
而在乘除运算中，则需要将相同字母的指数相加、相减或相乘。
例如，对于代数式3x²y × 2xy²，我们可以将x的指数相加得到x³，将y的指数相加得到y³，从而得到6x³y³。
另外，还需注意合并同类项、消去括号等运算法则。
除了代数式的基本概念和运算法则，第二章还涉及了分式的概念和运算。
分式是由两个整数或代数式用除号连接而成的表达式，其中分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。
在分式的计算中，我们需要掌握约分、通分、分式的四则运算等。
在约分时，我们要将分子和分母的公共因子约去，使得分式的值保持不变。
例如，若某分式为12/18，我们可以约去分子和分母的公共因子6，得到2/3。
在通分时，我们要将不同分数的分母变为相同，以方便进行加、减运算。
第一学期九年级数学核心知识点梳理：第二章知识点总结
第一学期九年级数学核心知识点梳理：第二章知识点总结各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，为大家整理了第一学期九年级数学核心知识点，希望同学们牢牢掌握，不断取得进步!
形如y=a_+b_+c(其中a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
一般的，形如
y=a_+b_+c(a0)的函数叫二次函数。
自变量(通常为_)和因变量(通常为y)。
右边是整式，且自变量的最高次数是2。
注意，变量不同于未知数，不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
未知数只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，变量可在一定范围内任意取值。
在方程中适用未知数的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。
欢迎大家去阅读由小编为大家提供的第一学期九年级数学核心知识点，大家好好去品味了吗?希望能够帮助到大家，加油哦!。
浙教版九年级上册数学第二章知识点
浙教版九年级上册数学第二章知识点浙教版九年级上册数学第二章知识点1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。
独自的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算而且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。
( 数字与字母的积包含单独的一个数或字母)几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①依据除式中有否字母，将整式和分式差别开; 依据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。
区分代数式类型时，是从外形来看。
如， =x, = │x│等。
4.系数与指数差别与联系：①从地点上看; ②从表示的意义上看5.同类项及其归并条件：①字母同样; ②同样字母的指数同样归并依照：乘法分派律6.根式表示方根的代数式叫做根式。
含有对于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断; ②差别：、是根式，但不是无理式( 是无理数 ) 。
7.算术平方根⑴正数 a 的正的 . 平方根 ( [a与平方根的差别]);⑵算术平方根与绝对值①联系：都是非负数，= │a│②差别：│ a│中， a 为一确实数 ;中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式此后，被开方数同样的二次根式叫做同类二次根式。
知足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式 ; ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数⑴ (幂，乘方运算)①a0 时，②a0 时， 0(n 是偶数 ) ， 0(n 是奇数 )⑵零指数： =1(a0)负整指数： =1/ (a0,p是正整数)二、运算定律、性质、法例1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法例2.分式的性质⑴基天性质：= (m0)⑵繁分式：①定义; ②化简方法 ( 两种 )3.整式运算法例 ( 去括号、添括号法例 )4.幂的运算性质：①② ③ =;④ =;⑤技巧：5.乘法法例：⑴单⑵单⑶多多。
九年级上册数学知识点第二章
九年级上册数学知识点第二章第二章数与式2.1 正数、负数、零- 正数：大于0的数- 负数：小于0的数- 零：等于0的数2.2 数的相反数、绝对值- 相反数：一个数与它的相反数的和等于0- 绝对值：一个数的绝对值是该数与0的距离2.3 数轴- 数轴是一个直线，用来表示数的相对大小关系- 数轴上，数越大，距离越远2.4 有理数- 有理数是可以表示为两个整数的比的数- 有理数包括正数、负数、分数和整数2.5 数的比较与排序- 可以通过大小比较符号来比较数的大小- 大于号(>)表示大于- 小于号(<)表示小于- 等于号(=)表示等于- 大于等于号(≥)表示大于或等于- 小于等于号(≤)表示小于或等于- 数的大小关系可以通过画数轴来表示和比较2.6 数的相加与相减- 加法：将两个数相加得到和- 减法：从一个数中减去另一个数得到差2.7 符号问题- 正数加正数得到正数- 负数加负数得到负数- 正数加负数时，可以转化为两个正数相减- 正数减正数得到正数- 负数减负数得到负数- 正数减负数时，可以转化为两个正数相加，且结果的符号与被减数相同2.8 数的相乘与相除- 乘法：将两个数相乘得到积- 除法：将一个数除以另一个数得到商2.9 符号问题- 同符号相乘得到正数- 异符号相乘得到负数- 正数除以正数得到正数- 负数除以负数得到正数- 正数除以负数得到负数- 0除以任何不等于0的数得到02.10 计算次序- 用括号确定优先次序- 乘法和除法优先于加法和减法- 同级运算按从左到右的顺序计算2.11 算式的值- 代数式：只有字母和数字的组合- 值：将字母用实数代替后所得到的结果2.12 用字母表示数- 可以用字母表示未知数或数- 通常用x、y、z等字母表示未知数- 用字母表示数时，可以进行数的加减乘除运算。
九年级上第二章知识点总结
圆的定理公式总结2.1圆1.圆的特点：(1).圆是一条的曲线。
(2).确定一个圆需要两个条件：和。
2.圆的第二定义：到距离等于的点的，其中定点为，定长为。
3.点与直线的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：(1).点P在⊙O内⇔，(2).点P在⊙O上⇔，(3).点P在⊙O外⇔。
4.弦的定义：连接圆上的叫做弦，经过的弦叫做直径。
5.圆上任意两点间的部分叫做。
6.同圆或等圆的半径。
2.2圆的对称性7.圆是图形，对称中心是。
α，都能够和原来的图形，这叫做圆8.圆绕圆心任意旋转︒的。
9.同圆或等圆中，，和中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。
10.弧的度数= 。
11.圆的对称轴是，它有条对称轴。
12.垂径定理：于弦的平分，并且平分。
2.3确定圆的条件13.经过一个点可以作个圆；经过两个点可以作个圆，它们的圆心都在上。
14. 的个点可以确定一个圆；在同一直线上的三个点作圆。
15.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的，的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。
16.外心是三角形的交点，它到三角形的距离相等。
17.用直尺和圆规作ABC∆的外心：18.锐角三角形的外心在三角形的，直角三角形的外心在三角形的，钝角三角形的外心在三角形的。
2.4圆周角19.圆周角定理：圆周角的度数等于，同弧或等弧所对应的圆周角。
20.同一圆中同一条弦所对的圆周角。
21.圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对应的圆周角是，︒90的圆周角所对的弦是。
22.圆的内接四边形。
23.圆的内接平行四边形是。
2.5直线与圆的位置关系图形直线与圆的位置关系公共点的个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点的名称直线名称25.切线的判定定理：经过半径的并且于这条半径的直线是圆的切线。
26.切线的性质定理：圆的切线于过的半径。
27.一条直线若满足下列条件：①过圆心；②过切点；③于切线中的任两条，一定满足第三条。
28.和三角形的三边都的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的。
九上第二章知识点总结
九上第二章知识点总结第二章是九年级上册的第二个单元，主要学习了有关方程式和不等式的知识。
这些知识在数学中具有重要意义，它们广泛应用于各种数学问题的求解中，也是后续学习的基础。
本文将以“四则运算”、“方程式”、“一次方程式”、“二次方程式”、“不等式”、“一元一次不等式”以及“一元二次不等式”等知识点为主线，总结第二章的知识点。
一、四则运算在初中数学中，四则运算是最基础的数学运算，包含了加法、减法、乘法和除法。
在九年级，四则运算依然是基础且重要的内容，能够体现在各种数学问题的解决过程中。
1. 加法和减法：在九年级的数学学习中，我们可以用代数式表示加法和减法，通常形式如下：a+b和a-b。
这里，a和b可以是数字或者代数式，可以对加法和减法进行多种运算规则，例如：交换律、结合律等。
2. 乘法：在九年级，乘法可以用分配律、结合律、交换律等进行多种运算，例如：(a+b)*c、a*(b+c) 等。
3. 除法：除法是九年级的重要内容，它可以通过算式或者方程的形式进行表达，例如：a÷b 或者 a/b。
在数学求解中，除法能够帮助我们解决各种问题，例如：比例问题、分数及分式问题等。
综上所述，四则运算在九年级数学学习中扮演着不可或缺的角色，我们需要掌握其基本规则和运算法则，这对我们后续的学习和生活中都是非常有帮助的。
二、方程式方程式是含有未知数的等式，它在数学中有着广泛的应用。
在九年级的数学学习中，方程式的内容主要包括一次方程式和二次方程式。
1. 一次方程式：一次方程式是一种最简单的方程式，一般表示为ax+b=0 的形式。
在解一次方程式时，我们可以通过逆向运算的方式，即通过减法、除法等逆向运算，将方程的未知数解出，从而得到方程的解。
同时，一次方程式也包括了一元一次方程式和多元一次方程式。
2. 二次方程式：二次方程式是一次方程式的进阶形式，在九年级的数学学习中，我们会更深入地了解二次方程式的相关知识。
一般情况下，二次方程式的一般形式为ax^2+bx+c=0。
人教版初三数学第二章知识点总结
人教版初三数学第二章知识点总结本文档总结了人教版初三数学第二章的知识点，以帮助同学们更好地复和掌握相关内容。
1. 直角三角形直角三角形是指一个角为直角（90度）的三角形。
在直角三角形中，以下几个概念需要掌握：- 斜边：直角三角形中最长的一条边。
- 直角边：直角三角形中与直角相邻的两条边。
- 勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$。
2. 三角形的分类根据角度和边长的关系，三角形可以分为以下几类：- 钝角三角形：三个内角都大于90度。
- 锐角三角形：三个内角都小于90度。
- 直角三角形：一个内角为90度。
- 等腰三角形：两条边长度相等。
- 等边三角形：三条边长度都相等。
3. 三角形的周长和面积计算公式计算三角形的周长和面积是数学中的基本技能。
根据三角形的特性，我们可以使用以下公式进行计算：- 周长公式：周长 = 边1的长度 + 边2的长度 + 边3的长度。
- 面积公式：面积 = 底边的长度 * 高 / 2。
4. 三角形的相似性当两个三角形的对应角度相等时，它们被称为相似三角形。
在相似三角形中，以下几个定理需要掌握：- AAA相似定理：两个三角形的对应角度相等，则它们相似。
- AA相似定理：两个三角形的两个对应角度相等，则它们相似。
- 平行线分比定理：两个平行线与其他一条直线所形成的三角形，它们成比例。
5. 三角形的重心和垂心三角形的重心是指三条中线的交点，垂心是指三条高线的交点。
重心和垂心在三角形的性质和计算中有着重要的应用。
以上是人教版初三数学第二章的主要知识点总结。
希望同学们能够通过复习和掌握这些知识，提高自己的数学水平。
如果还有其他问题，可以随时向老师请教。
北师版九年级数学上册第2章2用配方法求解一元二次方程
再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.
特别提醒
知2－讲
1.用配方法解方程时，在方程两边同时加上“一次项系数
一半的平方”，这里“一次项系数”是指在二次项系数
化为1后的一次项系数.另外，要注意是在方程“两边”
都加，不是“一边”加.
知3－练
3-1. 关爱儿童健康，创建育人环境. 如图，某幼儿园教室 矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间 铺设一块面积为18 m2的地毯. 四周未铺地毯的条形区 域的宽度相同， 求四周未铺地毯的条形区域的宽度．
知3－练
解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是 x m. 根据题意，得(8－2x)(5－2x)＝18. 整理，得 x2－123x＝－121. 配方，得 x2－123x＋－1432＝－121＋－1432， 即x－1432＝8116.
知3－练
思路导引：
知3－练
解：设AD=x m(0 < x ≤ 20)，则AB=1002－xm. 根据题意，得x·1002－x=450 . 整理，得x2－10 0x＋900=0. 配方，得(x－50)2=1600， 解得x1=10，x2=90(舍去). 所以，所利用旧墙AD 的长为10 m.
知3－练
知1－讲
知1－练
例 1 用直接开平方法解下列方程： 解题秘方：：紧扣“直接开平方法”的步骤求解.
知1－练
(1)9x2－81=0；
解：移项，得9x2=81. 系数化为1，得x2=9. 开平方，得x =±3 . ∴ x1=3，x2=－3 .
将方程变成左边是完 全平方的形式，且系数为1， 右边是非负数的形式(如果 方程右边是负数，那么这 个方程无实数根).
九年级数学第二章知识点
九年级数学第二章知识点概述数学是一门既抽象又实际的学科，它拥有严密的逻辑和精确的计算方法。
九年级数学的第二章知识点是基础知识的拓展与延伸，包括了平面几何、立体几何，以及代数方面的相关内容。
在这一章中，学生将进一步探索几何形状和几何变换的性质，也会学习如何应用代数知识求解问题。
下面将介绍本章的几个重要知识点。
一、平面几何平面几何是几何学的基本分支，主要研究平面上的图形和性质。
本章涉及的平面几何知识点主要包括：1. 角的性质：包括角的定义、角的分类、角的度量等。
学生需要掌握角的度量方法，如度、弧度和角度符号。
此外，还要熟悉与角度有关的术语，如互补角、对顶角和余角等。
2. 三角形的性质：三角形是平面几何研究的重点之一。
本章主要涉及三角形的分类、角的性质、边的关系等。
学生需要熟练掌握等边三角形、等腰三角形和直角三角形的性质，以及三角形内角和外角的性质。
3. 相似三角形：相似三角形是几何学中的一个重要概念。
学生需要理解相似三角形的定义，以及相似三角形的判定、性质和应用。
对于相似三角形的比例关系和比值定理，学生需要掌握如何利用这些关系解决实际问题。
二、立体几何立体几何是研究空间内立体图形的形状、体积和表面积等性质的学科。
本章涉及的立体几何知识点主要包括：1. 立体图形的分类：学生需要了解不同种类的立体图形的特点和性质，如正方体、长方体、棱锥、棱台等。
重点掌握它们的平面展开图和视图。
2. 立体图形的体积和表面积：学生要学会计算不同形状立体图形的体积和表面积，掌握相关计算公式的推导过程并能熟练运用。
3. 空间几何变换：本章还包括了平移、旋转、镜像和拉伸等空间几何变换的概念和性质。
学生需要理解这些变换对图形的影响，并学会进行变换后的图形的判断和画出。
三、代数方面代数是数学的核心内容之一，也是数学中应用较为广泛的一门学科。
九年级数学第二章涉及的一些代数方面的知识点包括：1. 代数式的展开和因式分解：学生需要了解多项式的定义和性质，掌握多项式的加减和乘法运算法则。
九年级上册数学知识点第二章
九年级上册数学知识点第二章九年级上册数学知识点第二章一个大于1的整数，假如除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。
一个大于1的数，假如除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数……表示物体个数的1、2、3、4···等都称为自然数【质数与合数】一个大于1的整数，假如除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。
一个大于1的数，假如除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。
【相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。
零的相反数是零。
【绝对值】一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。
从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点分开原点间隔。
【倒数】1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。
零没有倒数。
【完全平方数】假如一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b叫做完全平方数。
【方根】假如一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，这个数叫做a的n次方根。
【开方】求一数的方根的运算叫做开方。
【算术根】正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。
【代数式】用有限次运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。
【代数式的值】用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。
代数式的分类【有理式】只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式。
【无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式。
【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式。
【分式】除式中含字母的有理式叫分式。
数学根本函数的概念及性质1.函数y=-8x是一次函数。
2.函数y=4x+1是正比例函数。
3.函数是反比例函数。
4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下。
九年级上数学第二章知识点
九年级上数学第二章知识点数学是一门智力训练的学科，通过学习数学可以培养我们的逻辑思维能力和分析问题的能力。
九年级上数学的第二章主要包括了一些重要的知识点，下面我将逐一介绍和探讨。
1. 一元一次方程与一元一次方程组一元一次方程是数学中最基础的形式之一，形如 ax + b = 0。
在解一元一次方程时，我们可以通过移项、相消和代入等方法，找到方程的解。
而在解一元一次方程组时，我们需要将两个或多个方程联立，通过消元、代入和加减法等运算找到方程组的解。
2. 二元一次方程组二元一次方程组是由两个形如 ax + by = c 的方程组成，求解二元一次方程组有多种方法，包括消元法、代入法和加减法等。
通过解二元一次方程组，我们可以得到方程组的解集，通常是一个有序对。
3. 直角三角形和勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其两条边与直角的关系是十分重要的。
勾股定理是描述直角三角形边长之间关系的定理，即a² + b² = c²。
通过勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长，判断三角形是否为直角三角形。
4. 平行线和平行四边形平行线是指在同一个平面内不相交且不重合的线段，平行四边形则是由两组平行线所围成的四边形。
平行四边形有着一些特殊的性质，其中包括对角线的长度相等、对角线互相平分等角度等。
5. 梯形和等腰梯形梯形指的是两条平行边不等长的四边形，等腰梯形则是指有两边长度相等的梯形。
求解梯形和等腰梯形的面积时，我们需要根据梯形的性质利用底边长度和高的关系，通过公式计算出面积。
6. 圆的周长和面积圆是数学中的一个重要概念，它是由一个确定的中心点和到中心点的距离都相等的所有点组成的。
计算圆的周长时，我们需要利用圆的半径或直径与周长的关系；计算圆的面积时，则需要利用圆的半径或直径与面积的关系。
7. 圆内角和扇形面积圆内角是指圆上任意两条弦所夹的角，扇形是指由圆心和圆上两点所围成的面积。
计算圆内角的时候，我们需要利用弧所对应的圆心角与圆内角的关系；计算扇形的面积时，我们需要利用扇形的圆心角与圆的面积的关系。
2021九年级上册数学知识点第二章
2021九年级上册数学知识点第二章数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。
下面是小编整理的九年级上册数学知识点第二章，仅供参考希望能够帮助到大家。
九年级上册数学知识点第二章一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。
一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数……表示物体个数的1、2、3、4···等都称为自然数【质数与合数】一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。
一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。
【相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。
零的相反数是零。
【绝对值】一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。
从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。
【倒数】1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。
零没有倒数。
【完全平方数】如果一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b 叫做完全平方数。
【方根】如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，这个数叫做a的n次方根。
【开方】求一数的方根的运算叫做开方。
【算术根】正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。
【代数式】用有限次运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。
【代数式的值】用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。
代数式的分类【有理式】只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式。
【无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式。
【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式。
初三数学上册二单元重要知识点
初三数学上册二单元重要知识点1500字初三数学上册二单元主要包括线段的垂直平分线、三角形的内角和定理、对称图形的性质和三维图形的展开等内容。
下面是这些重要知识点的详细说明：1. 线段的垂直平分线：- 定义：线段的垂直平分线是将线段分成两段长度相等且垂直的线段。
- 构造：以线段的中点为圆心，线段的一半长度为半径，画一个圆；再以线段的两端点为圆心，半径为一半长度的线段，画两个相交的圆弧；连接两个圆弧的交点和线段的中点即为线段的垂直平分线。
- 性质：线段的垂直平分线是线段的对称轴。
2. 三角形的内角和定理：- 定义：三角形的内角和是指三角形内部所有角的和。
- 公式：三角形的内角和等于180度，即A+B+C=180度，其中A、B、C分别为三角形的内角。
- 推论：等腰三角形的两个底角相等，且等于三角形的顶角的一半。
3. 对称图形的性质：- 定义：对称图形是指通过某个中心点、中心线或中心面，图形的一部分和另一部分完全相同的图形。
- 性质：对称图形具有对称性，即通过对称中心点、中心线或中心面，图形的一部分可以映射到另一部分上，而且映射后相互重合。
4. 三维图形的展开：- 定义：三维图形的展开是将三维图形的各个面按一定的规律展开成平面图形。
- 方法：首先观察三维图形的各个面的形状和相对位置，然后根据规律展开成平面图形，可以通过剪纸或折纸的方式进行。
- 注意事项：展开后的平面图形要保持准确的比例和形状，且要保证各个面的相对位置和连接关系。
以上是初三数学上册二单元的重要知识点的详细说明。
这些知识点在初三数学学习中扮演着重要的角色，掌握这些知识点将有助于提高数学解题的能力和应用问题的解决能力。
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第二章一元二次方程知识点
1.一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数
的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方
程。
2．一元二次方程的一般形式：
)0(02≠=++a c bx ax ，其中2
ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
3.一元二次方程的解法
（1） 直接开平方法
直接开平方法适用于解形如
b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，
当b<0时，方程没有实数根。
（2） 配方法
配方法的理论根据是完全平方公式2
22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并
用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
（3） 公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：
)04(2422≥--±-=ac b a
ac b b x （4） 因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
4.一元二次方程根的判别式
一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 中，ac b 42
-叫做一元二次
方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，
即ac b 42
-=∆ 5. 一元二次方程根与系数的关系
如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是
21x x ，，那么a
b x x -=+21，a
c x x =21。