【百强校】2017届四川绵阳中学高三上学期入学考试数学(理)试卷(带解析)
2017年绵阳高中招生考试数学试卷
绵阳市2017年高中阶段学校招生暨初中学业水平考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共36分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每个小题只有一个选项最符合题目要求.1.中国人最早使用负数,可追溯到两千多年前的秦汉时期,-0.5的相反数是()A.0.5B.±0.5C.-0.5D.52.下列图案中,属于轴对称图形的是()3.中国幅员辽阔,陆地面积约为960万平方公里.“960万”用科学记数法表示为()A.0.96×107B.9.6×106C.96×105D.9.6×1024.如图所示的几何体的主视图正确的是()5.使代数式+有意义的整数x有()A.5个B.4个C.3个D.2个6.为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4cm,则旗杆DE的高度等于()A.10mB.12mC.12.4mD.12.32m7.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则n m的值为()A.-8B.8C.16D.-168.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8cm,圆柱体部分的高BC=6cm,圆锥体部分的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是()A.68πcm2B.74πcm2C.84πcm2D.100πcm29.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F 两点.若AC=2,∠AEO=120°,则FC的长度为()A.1B.2C.D.10.将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是()A.b>8B.b>-8C.b≥8D.b≥-811.如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E 作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为()A. B. C. D.12.如图所示,将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形.第1幅图中“•”的个数为a1,第2幅图中“•”的个数为a2,第3幅图中“•”的个数为a3,……,以此类推,则+++…+的值为()A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题,共104分)二、填空题:本大题共6个小题,每小题3分,共18分.将答案填写在相应的横线上.13.因式分解:8a2-2=.14.关于x的分式方程-=的解是.15.如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是.16.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是.17.将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置,点D在AB边上,△DEF绕点D 旋转,腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA,CB于M,N两点.若CA=5,AB=6,AD∶AB=1∶3,则MD+的最小值为.18.如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM=AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是,则的值是.三、解答题:本大题共7个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分)(1)计算:+cos245°-(-2)-1-;(2)先化简,再求值:÷,其中x=2,y=.20.(本题满分11分)红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查,从试验田中随机抽取了30株,得到的数据如下(单位:颗):182195201179208204186192210204 175193200203188197212207185206 188186198202221199219208187224(1)对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析,请补全下表中空格,并完善直方图:如图所示的扇形统计图中,扇形A对应的圆心角为度,扇形B对应的圆心角为度;(2)该试验田中大约有3000株水稻,据此估计,其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株.21.(本题满分11分)江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷?(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案?请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用.22.(本题满分11分)设反比例函数的解析式为y=(k>0).(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值;(2)若该反比例函数与过点M(-2,0)的直线l:y=kx+b的图象交于A,B两点,如图所示,当△ABO 的面积为时,求直线l的解析式.23.(本题满分11分)如图,已知AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N.(1)求证:CA=CN;(2)连接DF,若cos∠DFA=,AN=2,求圆O的直径的长度.24.(本题满分12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y=x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式;(2)证明:圆C与x轴相切;(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE∶MF的值.25.(本题满分14分)如图,已知△ABC中,∠C=90°,点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动,在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠NMC=45°.再过点N作AC的垂线交AB于点F,连接MF,将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF.已知AC=8cm,BC=4cm,设点M运动时间为t(s),△ENF与△ANF重叠部分的面积为y(cm2).(1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;(2)求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围;(3)当y取最大值时,求sin∠NEF的值.答案全解全析：一、选择题1.A只有符号不同的两个数互为相反数,所以-0.5的相反数是0.5,故选A.2.A A选项是轴对称图形,共有5条对称轴;B、D选项既不是轴对称图形,也不是中心对称图形;C选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故选A.3.B科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,故960万=9600 000=9.6×106,故选B.4.D由主视图的定义知选D.5.B由题意得解得-3<x≤,其中整数有-2,-1,0,1,故选B.6.B由题意可得∠ACB=∠ECD,∠ABC=∠EDC,∴△ABC∽△EDC.∴=,∴=,∴ED=12m,故选B.7.C由一元二次方程根与系数的关系得解得m=2,n=-4,故n m=(-4)2=16,故选C.8.C由陀螺的立体结构图可知,陀螺的表面积由底面圆面积、圆柱侧面积和圆锥侧面积组成.底面圆的半径r=4cm,底面圆的周长为2πr=8πcm,圆锥的母线长为=5cm,所以陀螺的表面积为π×42+8π×6+×8π×5=84πcm2,故选C.9.A∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=AC=.∵AD∥BC,∴∠OFC=∠AEO=120°,∴∠BFO=60°.∵EF⊥BD,∴∠BOF=90°,∴∠OBF=∠OCB=30°,∴∠COF=∠BFO-∠OCB=30°,∴OF=FC.∵OF=OB·tan30°=1,∴FC=1,故选A.10.D由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.将①代入②得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以Δ=(-8)2-4(8-b)=4b+32≥0,所以b≥-8,故选D.11.D∵在Rt△ABC中,点O是△ABC的重心,∴OC=CE,CE=AE=EB,∴∠B=∠BCE=30°,∠CAE=∠ECA=60°,∴△CAE是等边三角形.∵EF⊥AB,∴∠FEB=90°,∴∠CEF=30°,∴CF=EF,∴AF平分∠CAB,∴AM垂直平分CE,∴CM=CE,∴MO=CE=CM.∵MF=CM·tan30°=CM,∴==,故选D.12.C第1幅图中有3=1×3个“•”;第2幅图中有8=2×4个“•”;第3幅图中有15=3×5个“•”;……第19幅图中有399=19×21个“•”.所以+++…+=+++…+===,故选C.二、填空题13.答案2(2a+1)(2a-1)解析8a2-2=2(4a2-1)=2[(2a)2-12]=2(2a+1)(2a-1).14.答案x=-2解析∵-=,∴-=-,∴2(x+1)-(x-1)=-(x+1),∴2x+2-x+1=-x-1,∴2x=-4,∴x=-2.检验:当x=-2时,(x+1)(x-1)≠0,∴x=-2是原分式方程的根.15.答案(7,4)解析∵A(6,0),∴OA=6,又∵四边形ABCO为平行四边形,∴BC∥OA,BC=OA=6,∴点B的横坐标是1+6=7,纵坐标是4,∴B(7,4).16.答案解析列表如下:由表格可知,同时抛掷两枚质地均匀的骰子,共有36种结果,而符合“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果有9种,故所求概率P==.17.答案2解析∵∠B+∠BDN+∠BND=180°,∠BDN+∠FDE+∠ADM=180°,∠B=∠FDE,∴∠BND=∠ADM,又∵∠B=∠A,∴△BDN∽△AMD,∴=,∴DN·AM=MD·BD.∵AD∶AB=1∶3,∴BD=AB=4,∴DN·AM=4MD.设MD=x,则MD+=MD+=x+=()2-2··++2=+2,∴当=,即x=时,MD+取得最小值,为2.18.答案8-解析过H作HG⊥AC于点G,如图.∵AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠CAF.∵DE∥BF,∴∠EAF=∠AFC,∴∠CAF=∠AFC,∴CF=CA=2.∵AM=AF,∴AM∶MF=1∶2.∵DE∥BF,∴===,∴AH=1,S△AHC=3S△AHM=,∴×2GH=,∴GH=,∴在Rt△AHG中,AG==,∴GC=AC-AG=2-=,∴==8-.三、解答题19.解析(1)原式=0.2+--(4分)=++-(6分)=.(8分)(2)原式=÷(2分)=÷(3分)=÷(4分)=·=.(6分)当x=2,y=时,原式==-.(8分)20.解析(1)频数从左到右应填3,6;对应扇形图中区域从左到右应填B,A.(4分)补全直方图如图所示.(6分)扇形A对应的圆心角为×360°=72°,扇形B对应的圆心角为×360°=36°.(8分)(2)稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有3000×=900株.(11分)21.解析(1)设每台大型收割机1小时收割小麦a公顷,每台小型收割机1小时收割小麦b 公顷,(1分)根据题意得(3分)解得答:每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷,每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷.(4分) (2)设需要大型收割机x台,则需要小型收割机(10-x)台,(5分)根据题意得(7分)解得5≤x≤7,又x取整数,所以x=5,6,7,一共有三种方案.(9分)设费用为w元,则w=600x+400(10-x)=200x+4000,由一次函数性质知,w随x的增大而增大,所以当x=5时,w最小,即大型收割机5台,小型收割机5台时,费用最低,(10分)此时,费用为600×5+400×5=5000元.(11分)22.解析(1)由题意可得,正比例函数与反比例函数的一个交点坐标是(1,2),(2分)将其代入反比例函数解析式y=,得k=.(4分)(2)因为直线l过点M(-2,0),所以0=-2k+b,所以b=2k,所以直线l的方程可写为y=kx+2k,(5分)由消去y,得kx+2k=,因为k>0,所以x+2=,得x2+2x-3=0,(7分)解得x1=-3,x2=1,所以A(1,3k),B(-3,-k),(8分)所以S△ABO=S△AMO+S△BMO=×2(3k+|-k|)=,解得k=,(10分)所以直线l的解析式为y=x+.(11分)23.解析(1)证明:连接OF,∵ME与圆O相切于点F,∴OF⊥ME,即∠OFN+∠MFN=90°,(1分)∵∠OFN=∠OAN,∠OAN+∠ANH=90°,∴∠MFN=∠ANH,(3分)又∵ME∥AC,∴∠MFN=∠NAC,∴∠ANH=∠NAC,∴CA=CN.(5分)(2)∵cos∠DFA=,∠DFA=∠ACH,∴cos∠ACH=,(6分)在Rt△AHC中,设AC=5a,HC=4a,则AH=3a.由(1)知CA=CN,∴NH=a,(7分)在Rt△ANH中,利用勾股定理,得AH2+NH2=AN2,即(3a)2+a2=(2)2,解得a=2,(8分)连接OC,在Rt△OHC中,利用勾股定理,得OH2+HC2=OC2,设圆O的半径为R,则(R-6)2+82=R2,解得R=,(10分)∴圆O的直径的长度为2R=.(11分)24.解析(1)由题意知抛物线的解析式可化为y=a(x-2)2+1,(1分)因为抛物线经过点(4,2),所以2=a(4-2)2+1,解得a=,(2分)所以抛物线的解析式是y=(x-2)2+1=x2-x+2.(3分)(2)证明:由消去y,整理得x2-6x+4=0,(4分)解得x1=3-,x2=3+,(5分)将其代入直线方程,得y1=-,y2=+,所以B,D,因为点C是BD的中点,所以点C的纵坐标为=,(6分)利用勾股定理,可得BD==5,即半径R=,即圆心C到x轴的距离等于半径R,所以圆C与x轴相切.(7分) (3)连接BM、DM,因为BD为直径,所以∠BMD=90°,所以∠BME+∠DMF=90°,又因为BE⊥m,DF⊥m,所以∠MDF+∠DMF=90°,所以∠BME=∠MDF,所以△BME∽△MDF,所以=,即=,(9分)代入得=,化简得(t-3)2=4,解得t=5或t=1,(10分)因为点M在抛物线的对称轴的右侧,所以t=5,(11分)所以=.(12分)25.解析(1)能.(1分)如图,过F作FD⊥BC于点D,四边形MNEF为正方形时,易知MN=MF,∠FMD=∠NMC=45°,因为△CNM和△FDM都是等腰直角三角形,所以CM=MD=DF=t cm,所以BD=(4-2t)cm,易证△FDB∽△ACB,所以=,(2分)即=,解得t=.(4分)(2)如图,当点E恰好落在AB上时,连接ME,记EM与NF交于点O,由已知得,EO=OM=CM=t cm,所以EM=2OM=2t cm,易证△EMB∽△ACB,所以=,即=,解得t=2.(5分)当0<t<2时,易证△ANF∽△ACB,所以=,即=,解得NF=cm,(6分)此时y=·NF·NC=··t=-t2+2t;(7分)当2≤t≤4时,如图,设NE与AB交于点K,过K作KL⊥NF于点L,连接EM,交直线NF于点H,易证△KLF∽△ANF,所以=,因为NF=cm,且易知KL=NL,所以=,解得NL=cm,即KL=cm,(9分)此时y=·NF·KL=··=(8-t)2=t2-t+.综上所述,y=(10分)(3)由(2)知,当t=2时,y取得最大值,此时,点E恰好落在AB上,(11分)则有NM=t=2cm,∴NE=NM=2cm.过N作NG⊥AB,垂足为G,如图,∵AC=8cm,BC=4cm,∠C=90°,∴AB==4cm.易知△ANG∽△ABC,∴=,即=,∴NG=cm,(12分)∴sin∠NEF==.(14分)。
2017-2018学年四川省绵阳市高三(上)一诊数学试卷(理科)
2017-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.（5分）设集合A={x€ Z| （x-4）（x+1）V O} , B={2, 3, 4}，则A H B=（）A. （2, 4）B. {2, 4}C. {3}D. {2, 3}2. （5分）若x>y,且x+y=2，贝U下列不等式成立的是（）A. x2v y2B. —C. x2> 1D. y2v 1x y3. （5 分）已知向量；=（x- 1 , 2） , b = （x, 1）,且；// 匸，贝U | ；+匸| =（）A.匚B. 2C. 2 匚D. 3 匚4. （5 分）若t血（a-牛）=2,则tan2 a（）A.- 3B. 3C.二D.4 45. （5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A. 13B. 14C. 15D. 166. （5 分）已知命题p: ? x o€ R,使得e x0< 0:命题q: a, b € R,若|a- 1| =| b -2|，则a - b= - 1，下列命题为真命题的是（）A. pB. ?qC. p V qD. p A qIT7. （5 分）在厶ABC中，“C^”是“sinA=cos的”）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. （5分）已知函数f （x）=sin? x+ ；cos? x （? >0）图象的最高点与相邻最低点的距离是若将y=f （x）的图象向右平移'个单位得到y=g （x）的图象，6则函数y=g （x）图象的一条对称轴方程是（）115A. x=0B.： -二C. -二D.厂一9. （5分）已知0v a v b v 1,给出以下结论：- - .. ■；④ logj > log 」•则其中正确丄丄2 323的结论个数是（ ）A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. （5分）已知x i 是函数f （x ） =x+1 - In （x+2）的零点，沁 是函数g （x ） =X-2ax+4a+4的零点，且满足| x i - X 2I < 1,则实数a 的最小值是（ ）A . 2-2 二B . 1 - 2 二 C.- 2D. - 111. （5分）已知a , b , c € R,且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与 函数f （x ） =ax+bcosx+csinx 的图象都相切，贝U a+』"H c 的取值范围是（ ）A . [ - 2, 2]B. UW *E]C . - V'e V%] D . :勺匚】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.（5分）已知变量x,y 满足约束条件r 亠®£-2，则z=2x+y 的最小值是 _________ .、x>l14 . （5分）已知偶函数f （x ）在［0, +x ）上单调递增，且f （2） =1，若f （2x+1） v 1,则x 的取值范围是 .15. （5分）在厶ABC 中，AB=2, AC=4 cosA=，过点A 作AM 丄BC,垂足为M ,Q 若点N 满足X 匕3二'I,贝U '*・■■■!= ___________ .16. （5分）如果｛a n ｝的首项 a 1=2017,其前 n 项和 S n 满足 S h +S n -1=- n 2 （n € N* ,n 》2）,贝U a 101= ____ .三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演12. （5分）若存在实数 中e 为自然对数的底数）A. ｛：｝ B ［：*x ,使得关于 x 的不等式匚「+x 2- 2ax+a 2^— （其a 的取值集合为（ ）［——,+x ）10成立，则实数 皿｝ D .算步骤.17. （12分）在厶ABC中，•-二工，D是边BC上一点，且辽m；, BD=2.(1)求/ ADC的大小；(2)若域凭蔦，求△ ABC的面积.18. (12分)设公差大于0的等差数列｛a n｝的前n项和为已知S B=15，且a i,a4, a i3成等比数列，记数列；的前n项和为T n.(I)求T n；(U)若对于任意的n € N*, tT n< a n+11恒成立，求实数t的取值范围.19. (12 分)若函数f (x) =Asin( ? x+©) (A>0，... . -一■■-—)的部分2T 2图象如图所示.(I)设x€( 0，一)且 f ( a)=，求sin 2a 的值；3 5(II)若x€ ［，‘ ］且g (x) =2入f(x) +cos (4x-丄)的最大值为•’，求实12 12 3 2数入的值.20. (12分)已知函数f (x) =ke x-x3+2 (k€ R)恰有三个极值点x i，X2，X3, 且X|V x2v x3.(I)求k的取值范围：(II)求f (X2)的取值范围.21. (12分)已知函数f (x) =axlnx- x+l (a€ R),且f (x)>0.(I)求a；(II)求证：当，n€ N*时f 甘…--亠一v2ln2.n2+l n2 + 2 n Z+3 4n Z请考生在第22, 23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.［选修4-4 :极坐标与参数方程］22. (10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是「(a为参|y=4+5sina数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设^ ，■ • ■——，若l i，I2与曲线C分别交于异于原点的A，B］ 6 2 3两点，求△ AOB的面积.［选修4-5：不等式选讲］23. 已知函数f (x) =|2x- 1|+| 2x+3| .(1)解不等式f (x)> 6;(2)记f (x)的最小值是m，正实数a, b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值.20仃-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1. (5分)设集合 A={x € Z| (x -4) (x+1)V O} , B={2, 3, 4}，则 A H B=( )A . (2, 4) B. {2, 4} C. {3} D. {2, 3}【解答】 解：集合 A={x € Z| (x-4) (x+1 )V 0}={x € Z| - 1v x v 4}={0, 1, 2, 3},B={2, 3, 4}, 则 A H B={2, 3}, 故选：D2. (5分)若x >y ,且x+y=2，贝U 下列不等式成立的是( )A . x 2v y 2B .「C. x 2> 1 D . y 2v 1K y【解答】解x >y ,且x+y=2,••• x>2 - x, ••• x> 1,故x 2> 1正确， 故选：CA .匚 B. 2C. 2 二D.• x -仁2x , 解得x=- 1 ,•- + = (-2 , 2) + (- 1 , 1) = (- 3 , 3), 第5页(共20页)3. (5分)已知向量1= (x- 1 , 2),■■= (x , 1),且 1 // ：■, 则 | ^ "| =( )【解答】解：I 尸（x - 1 , 2),=I| r + M 1「_「I' .I - = 3?,故选：D4. (5 分)若tanCCL^->2,则tan2 a==)A.- 3B. 3C.二D.44【解答】解：•••—= —可求tan a = 3,4 1+tanCl••• tan2 a= _「=「；=【1-tan21-(-3)24故选：D.5. （5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A. 13B. 14C. 15D. 16【解答】解：设该职工这个月实际用水为x立方米，•••每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，•••用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，•••该职工这个月缴水费55元，•••该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x- 10）X 5，•••由题意可列出一元一次方程式：30+ （x- 10）X 5=55，解得：x=15，故选：C.6. （5 分）已知命题p: ? xo€ R,使得e x0< 0:命题q: a，b € R,若|a- 1| =| b -2|，则a - b= - 1，下列命题为真命题的是（）A. pB. ?qC. p V qD. p A q【解答】解：由指数函数的值域为（0，+x）可得：命题p: ?勺€ R,使得e x0< 0为假命题，若|a—1|=|b - 2|，贝U a- 1=b— 2 或a-仁-b+2即a- b=- 1,或a+b=3,故命题q为假命题，故?q为真命题；p V q, p A q为假命题，故选：B7. (5 分)在厶ABC 中，“鈕”是“ sinA=cos的”)2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：“C= ”“+B=》” “A= - B? sinA=cosB2 2 2反之sinA=cosB A+B=，或A= +B，“C=_”不一定成立,2 2 2TT••• A+B= 是sinA=cosB成立的充分不必要条件，2故选：A.8. (5分)已知函数f (x) =sin? x+ ；cos? x (? >0)图象的最高点与相邻最低点的距离是.=，若将y=f (x)的图象向右平移-个单位得到y=g (x)的图象，则函数y=g (x)图象的一条对称轴方程是( )115A. x=0B.：-二C.：-二D.Zoo【解答】解：•••函数 f (x) =sin?x+ _；cos?x=2sin (®x ) (? >0)图象的最3高点与相邻最低点的距离是.广，•设函数f (x)的周期为T,则(I ) 2+[2-( - 2) ]2= ( —) 2,解得：T=2,• T=2=，解得：3 = nco• f (x) =2sin ( n + ),31 1 IT=f (x—一)=2sin[ n (x—一)+ ] =2sin ( n• y=g (x)6 6 3•••当k=0时，函数y=g (x )图象的一条对称轴方程是：x=. 3故选：C.9. (5分)已知O v a v b v 1,给出以下结论: 丄 丄①■ L .1匕 匚 一-、_门二.】④logj >log2 3T J 2的结论个数是( )A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解答】解：由O v a v b v 1,知： 在①中，d )a >d )b >d )b ，故①正确；2 2 3丄 丄丄 丄在②中，当a- , b='时， -,-，此时.，故②错误;在③中，门：「n >log a >b ，故③正确；- ----------------------------- 2 3 3在④中，当 a=—，bp 时，log ^-^v log^=1 .故④错误. 故选：B.10. (5分)已知x i 是函数f (x ) =x+1 - In (x+2)的零点，沁 是函数g (x ) =« -2ax+4a+4的零点，且满足| * - X 2| < 1，则实数a 的最小值是( A . 2-2 二 B . 1 - 2 二 C.- 2D. - 1【解答】解I ： f'( x ) =1 - •当-2v x v- 1 时，f'(x )v 0,当 x >- 1 时，f'( x )> 0, •••当x=- 1时，f (x )取得最小值f (- 1) =0, •- f (x )只有唯一一个零点x=- 1,即X 1=- 1,T |X 1 - x 2| W 1 , •- 2 w x 2 = 0,• g (x )在［-2, 0］上有零点，(1)若厶=4a 2 - 4 (4a+4) =0,即卩 a=2± 2 ':, 此时g (x )的零点为x=a, 显然当a=2 - 2「符合题意；•令 n + =k n +, k € 乙解得:jJ .则其中正确2 3k €Z ,(2)若厶=4a2—4 (4a+4)>0,即a v2- 2 ~或a>2+2 匚，①若g (x)在［-2, 0］上只有一个零点，则g (- 2) g (0)< 0, --a=- 1,g(-2)>0g(0)>0②若g (x)在［-2, 0］上有两个零点，则出_2<a<Qa< 2 -2 灵或a> 2+2^2解得-K a v2 - 2综上，a的最小值为-1.故选：D.11. (5分)已知a, b, c€ R,且满足b2+c?=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csi nx的图象都相切，贝U a+电.屮幻.•:c的取值范围是( ) A. ［- 2, 2］ B. ： PE “jG c. - Vc "扎］D. :: .■-::'【解答】解：•••函数 f (x) =ax+bcosx+csinx, b2+c2=1,••• f'(x) =a+ccosx- bsinx=a- sin (x- ©), 其中tan © =,b则 f (x)€ ［a- 1, a+1］,若存在两条互相垂直的直线与函数 f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则存在k1, k2€ ［a- 1, a+1］，使k*2=- 1,由( a- 1) (a+1) =a2- 1 >- 1 得：a=0,则a^^b+血c=应in ( ©+B),其中tan 0故a+ 二=c€ ［-二，二］,故选：B./ x \ 2 112. （5分）若存在实数x,使得关于x的不等式「_+x2- 2ax+a2< （其中e为自然对数的底数）成立，则实数a的取值集合为（）A. {-,} B ［「）C {」} D.，心）【解答】解：不等式 -'：-:+x2-2ax+a2w 1 ,9 10即为（x—a）2+ C - _）2< ——3 3 10表示点（x, 一）与（a,：）的距离的平方不超过,3 3 10即最大值为-•10由（a,卫）在直线I: y=-x上,3 3设与直线I平行且与y二一相切的直线的切点为（m, n）,3可得切线的斜率为1 e m J ,3 3解得m=0, n=,3切点为（0, 1）,由切点到直线I的距离为直线I上的点3与曲线y=‘的距离的最小值，3可得（0-a）2+ （■—a）2二丄,3 3 10解得a=,10则a的取值集合为｛七｝.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. （5分）已知变量x, y满足约束条件' s-3y<-2 ,则z=2x+y的最小值是3【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）. 由z=2x+y 得y= - 2x+z,平移直线y=- 2x+z,由图象可知当直线y= - 2x+z经过点A时，直线y= - 2x+z的截距最小，此时z最小.由/弓。
四川省绵阳市涪城区丰谷中学2017届高三上学期开学数学试卷(理科) 含解析
2016-2017学年四川省绵阳市涪城区丰谷中学高三（上）开学数学试卷（理科)一、选这题（共50分）1．已A=｛x|x＜1｝，B=｛x|x2+x≤6｝，则A∩B=（）A．(1，2］B．［﹣3，1) C．(﹣∞,﹣3］D．（﹣∞，2]2．函数f（x）=+log2（6﹣x）的定义域是（）A．｛x|x＞6｝B．{x|﹣3＜x＜6｝C．{x｜x＞﹣3}D．｛x|﹣3≤x＜6｝3．“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为(）A．[0，3］B．［﹣1，0］C．[﹣1，3］D．[0，2］5．设a＞1,函数f(x）=log a x在区间［a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C． D．46．已知函数f（x）=，其中x∈N，则f（8）=（）A．2 B．4 C．6 D．77．若函数f（x）=ax3+bsinx+2（a，b为常数），若f（θ）=﹣5，则f（﹣θ）=(）A．9 B．5 C．3 D．﹣58．已知，则下列正确的是(）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9．函数y=f（x）与y=g（x)的图象如图所示，则函数y=f（x）•g(x）的图象可能是（A．B．C．D．10．函数f(x）的定义域为D,若存在闭区间[a，b］⊆D，使得函数f（x)满足：①f（x）在[a,b]内是单调函数；②f（x）在［a，b]上的值域为[2a，2b],则称区间［a，b］为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）①f（x）=x2(x≥0）；②f（x）=e x（x∈R）;③f（x）=（x≥0)；④f（x）=．A．①②③④B．①②④ C．①③④ D．①③二。
填空题（共25分）11．函数f（x)=2x+b,点P（5，2）在函数f(x）的反函数f﹣1(x）图象上，则b=．12．函数f（x）=log(﹣x2+2x+3）的单调递增区间为．13．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x)=2x（1﹣x）,f(﹣）=．14．曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．15．已知函数f(x)满足f（x+1)=，且f（x）是偶函数,当x∈[0，1]时，f（x）=x,若在区间[﹣1，3]内,函数g（x)=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．三。
绵阳实验高级中学2017级高三上期入学考试
绵阳实验高级中学2017级高三上期入学考试数学试卷（理）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集为R ，集合A ＝{x |x ≥0}， {}2|1log 2B x x =≤≤，则A ∩（∁R B ）＝（ ）A ．{x |x ≤0}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4} 2．已知 是虚数单位，复数 是实数，则实数 =（ ） A ．0 B ． C ． D ．13．设函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A ．0 B ．-4 C ．-2 D ．24．直线 与曲线 相切于点 ，则 （ ） A ．1 B ．4 C ．3 D ．2 5．设，，，则 的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若23201x x x -+==，则”的逆否命题为“若21320x x x ≠-+≠，则”B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．若命题00:,21000:,21000x x p x N p x N ∃∈>⌝∀∈≤，则D ．“11a b >>且”是“1ab >”的充分不必要条件7．已知函数 （ 为实数）为偶函数，且在 单调递减，则 的解集为（ ）A ．B ．C ．D ． 8.函数f (x )＝cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．9.设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )＞f (x )成立，则( ) A ． 3f (ln 2)＞2f (ln 3) B ． 3f (ln 2)＝2f (ln 3)C ． 3f (ln 2)＜2f (ln 3)D ． 3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小不确定10．函数321()5(0)3f x ax x a =-+>在(0,1)上不单调，则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a <<B ．12a <<C ．02a <<D ．2a >11.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝ ，，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9 12.设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数()f x x α=的图像过点，则()f x 的定义域是________.14．设曲线sin cos y x x =+在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线20x ay -+=垂直，则实数a =__________．15.已知f (x )＝lg (－x 2＋8x －7)在(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是________． 16.设函数f (x )＝，g (x )＝，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式 ≤恒成立，则正数k 的取值范围是________．三、解答题（共70分，第17—21题为必答题，22，23题选一题作答）（一）必答题，共60分17．（12分）命题p ：指数函数()3xy m a =-+是减函数；命题q ：m ∃∈R ，使关于x 的方程20x x m -+=有实数解，其中,a m R ∈. (1)当0a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围； (2)当2a =-时，若p 且q 为假命题，求m 的取值范围.18．（12分）已知 是定义在 上的偶函数，当 时，（Ⅰ）在给定的坐标系中画出函数 在 上的图像（不用列表）； （Ⅱ）直接写出当 时 的解析式；（Ⅲ）讨论直线 与 的图象的交点个数．19．（12分）已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ，若()f x 在1x =处与直线12y =-相切． （1）求,a b 的值； （2）求()f x 在1[,]e e上的极值．20．（12分）已知函数32()2f x x ax =-+ （1）讨论()f x 的极值；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[0,2]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -。
2020届四川省绵阳市2017级高三上学期一诊考试数学(理)试卷及解析
2020届四川省绵阳市2017级高三上学期一诊考试数学（理）试卷★祝考试顺利★一、选择题1.已知{*|3}A x x =∈≤N ,{}2|40B x x x =-≤,则A B =I ( )A. {1,2,3}B. {1,2}C. (0,3]D. (3,4]【答案】A【解析】【分析】 先求解集合,A B ,然后求解A B I .【详解】因为{}{*|3}1,2,3A x x ==∈≤N ,{}{}2|40|04B x x x =x x =-≤≤≤,所以{}1,2,3A B =I .故选：A.2.若0b a <<,则下列结论不正确的是( ) A.11a b < B. 2ab a > C. |a|+|b|>|a+b| D.>【答案】C【解析】【分析】结合不等式的性质或特殊值,逐个选项验证.【详解】因为0b a <<,所以11a b<,选项A 正确； 因为0b a <<,所以2ab a >,选项B 正确；因为0b a <<,所以|a|+|b|=|a+b|,选项C 不正确；因为13y x =为增函数,>选项D 正确.故选：C.3.下列函数中定义域为R ,且在R 上单调递增的是( )A. 2()f x x =B. ()f x =C. ()ln ||f x x =D.2()e x f x = 【答案】D【解析】【分析】先求解选项中各函数的定义域,再判定各函数的单调性,可得选项.【详解】因为()f x =[0,)+∞,()ln ||f x x =的定义域为{}0x x ≠,所以排除选项B,C.因为2()f x x =在(,0]-∞是减函数,所以排除选项A,故选：D.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若32a =,33S =,则6a =( )A. 4B. 5C. 10D. 15【答案】B【解析】【分析】先由3S 求2a ,再求公差d ,最后可得6a .【详解】因为3233S a ==,所以21a =,可得32211d a a =-=-=,所以6335a a d =+=, 故选：B.5.已知函数2()21xx f x =-,若()2f m -=,则()f m =( ) A. -2B. -1C. 0D. 12【答案】B【解析】【分析】 先由()f x 写出()f x -,再由二者关系可得()f m 与()f m -的关系,易得()f m .。
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ）A ．}2,1{B ．}3,2{C ．}3,2,1{D ．}4,3,2{【答案】A2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R xB ．01,0200≤+-∉∃x x R xC ．01,2≤+-∈∀x x R xD ．01,0200≤+-∈∃x x R x【答案】D【解析】试题分析：p ⌝为01,0200≤+-∈∃x x R x ，选D. 考点：命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B考点：等差数列4.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 【答案】C【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中11(0,0),(1,0),(,)22A B C ，所以直线y x z +=2过点B 时取最大值2，选C.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.设命题p ：1)21(<x ，命题q ：1ln <x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元【答案】B【解析】试题分析：设购买的商品的标价为x ，则(200)20%10%;(200)20%30;400,350400x x x x x x -⨯>⋅-⨯>⇒>>⇒>，选B.考点：不等式应用7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ）A ．6π个单位B ．3π个单位C ．4π个单位D ．12π个单位 【答案】A【解析】试题分析：因为()sin 222sin(2)3f x x x x π=+=+，所以可将x y 2sin 2=的图象向左平移3=26ππ，选A.考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z). 8.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ）A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos =C ．02cos 22cos =+αβD ．αβ2cos 22cos =【答案】D9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=++543a a a （ ）A ．7B ．87 C ．45 D ．14 【答案】A【解析】 试题分析：23412345113111111(),()2(),(2)2()1,2()2,2()4,242222222a f a f f a f f a f a f ======+======，所以3451247a a a ++=++=，选A.考点：函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系10.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．1【答案】C考点：余弦定理11.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若m =，n =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A ．56B ．512C ．524D ．548【答案】C【解析】 试题分析：232555AP AC DP DA DC =⇒=+,设DP xDM yDN =+,则1x y +=，又DP mxDA ynDC =+,所以3232,15555mx ny m n ==⇒+=，因此3219412423(23)()(12)(1255555n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当23m n =时取等号，选C. 考点：向量表示，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞- D ．),212(+∞- 【答案】A二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=，)1,2(=，)1,(x =满足条件-3与垂直，则=x .【答案】1【解析】试题分析：(3)0(1,1)(,1)01a b c x x -⋅=⇒-⋅=⇒=考点：向量垂直【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .【答案】13考点：等差数列15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x e y 41-=平行，则)(x f 的极值点是 .【答案】e【解析】 试题分析：2(1ln )()a x f x x -'=，所以244(12)1()1a f e a e e-'==-⇒=，因此)(x f 的极值点是1ln 0,x x e -== 考点：导数几何意义，函数极值【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .【答案】3-≤t 或1≥t 或0t =【解析】试题分析：由题意得0x <时，3()()f x f x x =-=-，即3()||f x x =，因此33(3)8()|3|8|||3|2||f x t f x x t x x t x -≥⇒-≥⇒-≥，当0t =时，x R ∈,满足条件；当0t >时，5t x t x ≥≤-或,要满足条件，需2123150t t t t t t ⎧-≥+≤-⎪⇒≥⎨⎪>⎩或；当0t <时，5t x x t ≥-≤或,要满足条件，需2123350t t t t t t ⎧-≥-+≤⎪⇒≤-⎨⎪<⎩或；综上实数t 的取值范围是3-≤t 或1≥t 或0t = 考点：不等式恒成立【思路点睛】求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+考点：求三角函数解析式，给值求值【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）12-=n n a （2）)643[∞+， 【解析】试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥n n 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n n n n n n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ． 试题解析：(1)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．……………………………2分由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ，两式相减得122--=n n n a a a ，化简得12-=n n a a （n ≥2），∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起. 19.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心.（1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； （2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.【答案】（1（2）552sin =B 【解析】考点：向量投影，正弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：4.12≈，4.26≈）（2）若存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）有且只有1个零点（2）π22<k(2)由题意等价于x x x cos sin +x kx cos 2+>，整理得x x k sin <．…………7分 令x x x h sin )(=，则2sin cos )(xx x x x h -='， 令x x x x g sin cos )(-=，0sin )(<-='x x x g ，∴g(x)在)24(ππ，∈x 上单调递减， …………………………………………9分 ∴0)14(22)4()(<-⨯=<ππg x g ，即0sin cos )(<-=x x x x g ， ∴0sin cos )(2<-='x x x x x h ，即xx x h sin )(=在)24(ππ，上单调递减， ……11分 ∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x-=)(.（1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a-，；单调递减区间是)21(∞+-，a．（2）m ≥e 3．②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然x me x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x x me x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='xme x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e ， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e eme x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.【答案】（1）24y x =（2）∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=.（1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<<(2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分于是由题意可得11a -<<．…………10分考点：绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．：。
四川省绵阳中学高中2017届毕业班10月份第一学月考试理数试题(WORD含答案)
绵阳中学高2014级高三上学期第一学月考试理科数学试题（卷）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}N n n x x M ∈-==,12，{}062＞++-=x x x N ，则N M ⋂的非空真子集个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知命题：03,:＞x R x p ∈∀；命题：0log ,:2021＜x R x q ∈∃.以下命题为真命题的是A ．q p ∧B ．)()(q p ⌝∧⌝C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∧3．函数)2(log 3232++--=x x x y 的定义域为 （ ）A ．),3()1,(+∞⋃--∞B ．),3[)1,(+∞⋃--∞C ．]1,2(-D ．),3[]1,2(+∞⋃-- 4．已知函数)02-,0,0)(sin()(＜＜＞＞ϕπωϕωA x A x f +=的图像的最高点为)2,83(π，其 图像的相邻两个对称中心之间的距离为2π，则=ϕ （ ） A ．3π- B ．4π- C ．6π- D ．12π-5．设3.02=a ，23.0=b ，)1)(3.0(log 2＞x x c x +=，则c b a ,,的大小关系是 （ ） A ．c b a ＜＜ B ．c a b ＜＜C ．a b c ＜＜D ．a c b ＜＜6．已知),0(),sin ,(cos ),2sin ,2(cos πθθθθθ∈==b a ，则b a -的取值范围是 （ ）A ．)1,0(B ． ]1,0(C ． )2,0(D ． ]2,0(7．已知函数⎩⎨⎧≥+-=1log 1,3)2()(2x x x a x a x f ，＜的值域为R ,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(-1,2)B ． [-1,2)C ．(-∞,-1]D ．{-1}8．已知函数)2)(2cos(2)(πϕϕ＜+=x x f 的图像向右平移6π个单位得到的函数图像关于y 轴 对称，则函数)(x f 在]2,0[π上的最大值与最小值之和为（ ）A ．3-B ．1-C ．0D ．39．已知函数f (x )的图像关于(1,0)对称，当x ＞1时，f (x )—log a (x —1)，且a 0.2＜1，x 1+x 2＜2， (x 1—1)(x 2—1)＜0，则 （ ） A ．f (x 1)+f (x 2)＜0B ． f (x 1)+f (x 2)＞0C ．f (x 1)+f (x 2)可能为0D ．f (x 1)+f (x 2)可能为正可负10．已知定义在R 上的可导函数f (x )，当x ∈(1,∞)时，(x -1)f ′(x )—f (x )＞0恒成立，若a =f (2)， b =12f (3)，c =13-1f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．b a c ＜＜B ．c b a ＜＜C ．c a b ＜＜D ．b c a ＜＜11．如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图像大致为 （ ）12．已知函数f (x )＝1—2ln x +1(x ＞e ,e ＝2.71828...是自然对数的底数)若f (m )＝2ln e —f (n )，则f (mn )的取值范围为 （ ） A ．[34，1) B ．[57，1)C ．[910，1)D ．[57，1]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分）。
2017届高三上学期入学(理科)数学试卷 -答案
四川省成都七中2017届高三上学期入学（理科）数学试卷答 案1~5．DCCAA6~10．ADADA 11~12．DB13． 14．7415．816．12717．解：（Ⅰ）Q 对任意实数α、β，恒有()cos 0f α≤，()2sin 0f β-≥， ()()cos010f f ∴=≤，且()π2sin 102f f ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭， 即()10f =，则13044m +-=，解得12m =， ()2113424f x x x ∴=+-， ()()2n n n n S f a a a n +∴==+∈-N ， 可得2111113424n n n S a a ++++-=， 故()()22111114n n n n n n n a S S a a a a ++++==+---， 即()()1120n n n n a a a a ++--+=，{}n a Q 是正数数列，10n n a a +∴+>，12n n a a +-∴=，即数列{}n a 是等差数列， 又2111113424a a a =+-，且10a >，可得13a =， ()32121n a n n ∴=+-=+；11122n a n ==++， 则()()()()22111212322221n b n n n n =<=++++-11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭ 16n T ∴<，证明如下： 12n n T b b b =++⋯+1111111235572123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦K ()111111232362236n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭． 18．解：（Ⅰ）根据频率分布表知，第一组的人数为1202000.6=， 频率为0.0450.2⨯=，所以样本容量为20010000.2n ==； 由题可知，第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==； 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=；补全频率分布直方图如下；（Ⅱ）根据频率分布直方图知， 众数为最高小矩形的底边中点坐标，是303532.52+=； 又0.20.30.5+=，所以中位数为35； 平均数为27.50.232.50.337.50.242.50.1547.50.152.50.0536.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）年龄在[]40,55的三组“经纪人”的数量是60、30和15，现从中采用分层抽样法抽取7人，则分别抽取的人数为4、2和1；这7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，共有423423288A A A =g g 种不同站法．19．解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：证明：（2）EC PD Q ∥，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ，EC ∴∥平面PDA ，同理可得BC ∥平面PDA ，EC ⊂Q 平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，且EC BC C =I ，∴平面BEC ∥平面PDA ，又BE ⊂Q 平面EBC ，BE ∴∥平面PDA ．解：（3）Q 底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC PC ∥，且22PD AD EC ===，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A ，()0,0,2P ，()2,2,0B ，()0,2,1E ，()2,0,2PA =-u u u r ，()2,2,2PB =-u u u r ，()0,2,1PE =-u u u r ，设平面APB 的法向量(),,n x y z =r ，则2202220n PA x z n PB x y z ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩r u u u r g r u u u r g ，取1x =，得()1,0,1n =r ， 设平面PBE 的法向量(),,n a b c =r ，则222020m PB a b c m PE b c ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩u r u u u r g u u u r g ，取1b =，得()1,1,2m =u r ， 设二面角A PB E --的平面角为θ，则cos m n m nθ===u r r g u r r g ∴二面角A PB E --．20．解：（Ⅰ）由题意可知，1224PF PF a ==+，可得2a =，又c a =222a c b -=， 可得1b =，即有椭圆1C 的方程为2214x y +=； （Ⅱ）椭圆2C ：22143x y +=． 将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得()2224384120k x kmx m +-++=． 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()2222644434120k m k m +-∆-==， 化简得：2243m k =+．设11d F M ==22d F M ==当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ=⨯-，()121222118121m S d d d d k k m m∴=-+==++g g g2243m k =+Q ，∴当0k ≠时，m >，1m m ∴+>，S ∴<．当0k =时，四边形12F MNF是矩形，S =所以四边形12F MNF 面积S的最大值为．21．（1）解：()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．0a ∴>，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；当ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．Q 函数()()e x f x ax a a -=+∈R 的图象与x 轴交于两点()1,0A x ，()2,0B x ()12x x <，()()ln 2ln 0f a a a ∴=-<，即2e a >．此时，存在1ln a <，()1e>0f =；存在3ln ln a a >，()3323ln 3ln 30f a a a a a a a a -+>-=+>，又()f x 在R 上连续，故2e a >为所求取值范围．（2）证明：1212e 0e 0x x ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩Q ，两式相减得2121e e x x a x x -=-． 记212x x t -=，则()121221212221e e e e 2e e 22x x x x x x t t x x f t x x t ++-+-⎛⎫⎡⎤'=-=-- ⎪⎣⎦-⎝⎭， 设()()2e e t t g t t =--﹣，则()()2e e 0t t g t '=-+<﹣， ()g t ∴是单调减函数，则有()()00g t g <=，而122e 02x x t +>，1202x xf +⎛⎫'∴< ⎪⎝⎭． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +0f '∴<． 22．解：（1）曲线C 的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数）()0p >，消去t 可得：22y px =． 直线l 经过曲线C 外一点()2,4A --且倾斜角为π4，可得参数方程为：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩． （2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：()28320t t p ++=-，12t t ∴+=，1212832.0t t p t t =+<<． 不妨设11AM t =，1221M M t t -=，22AM t =， 则1221M M t t ===- 1AM Q ，12M M ，2AM 成等比数列，21212M M AM AM ∴=⨯， 2832832p p p ∴+=+，化为2340p p +-=，0p >．解得1p =．23．解：（Ⅰ）1x a -<Q ，11a x a ∴-<<+，()1,1x ∈-Q ，不等式1x a -<恒成立，1111a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩，解得0a =，∴实数a 的取值范围构成的集合{}0四川省成都七中2017届高三上学期入学（理科）数学试卷解析1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】确定集合A，B，求出∁R B，再根据集合的基本运算即可求A∩∁R B【解答】解：由题意：全集U=R，集合A={x∈N||x﹣2|＜3}={0，1，2，3，4}，B={x|y=lg（9﹣x2）}={x|﹣3＜x＜3}，则∁R B={x|x≥3或x≤﹣3}，那么：A∩∁R B={3，4}故选D2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求出实数x、y的值，得到复数z，求出，再由复数求模公式得到|z|，代入，然后运用复数的除法运算化简即可得答案．【解答】解：∵复数z=x+yi（x、y∈R），且有=1+yi，∴．∴x+xi=2+2yi∴x=2y=2．解得：y=1，x=2．则z=2+i，|z|=|2+i|=，．∴==．则的虚部为：．故选：C．3．【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，代入回归方程求出a．【解答】解：∵=3.2， =，回归直线方程=x+1．∴=3.2+1，解得m=1.675．故选：C．4．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用阴影部分与矩形的面积比等于落入阴影部分的豆子数与所有豆子数的比，由此求出阴影部分的面积．【解答】解：由题意设阴影部分的面积为S，则，所以S=；故选：A．5．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据向量数量积化简约束条件，画出可行域，数形结合得答案．【解答】解：∵P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，∴，又动点M（x，y），即，∴由，得，画出可行域如图，由点到直线的距离公式可得O到直线x+y﹣3=0的距离d=．∴点M所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为=．故选：A．6．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】记A1在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD 的对角线AC，在三角形AA1O中，求出A1O即为高．【解答】解：记A1在面ABCD内的射影为O，∵∠A1AB=∠A1AD，∴O在∠BAD的平分线上，又AB=AD，∴∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，故O在AC上；∵cos∠A1AB=cos∠A1AO×cos∠OAB∴cos∠A1AO=，∴sin∠A1AO=，在△A1AO中，AA1=∴点A1到平面ABCD的距离为A1O=1．故选：A．7．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】先根据正弦定理找到角与边的关系，即用角的正弦表示出边，然后再用余弦定理可求出角C的余弦值，从而利用二倍角公式化简所求得到答案．【解答】解：在△ABC中，根据正弦定理设ka=sinA，kb=sinB，kc=sinC，∵4（sin2A+sin2B﹣sin2C）=3sinA•sinB．∴4（k2a2+k2b2﹣k2c2）=3ka•kb，即：a2+b2﹣c2=a•b，∴由余弦定理cosC===．∴sin2====．故选：D．8．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，从而求得直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的斜率﹣的值．【解答】解：由题意可得圆心（cosθ，1）到直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的距离等于半径，即=，化简可得|sinθ﹣sin2θ|=，即sinθ﹣sin2θ=，求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，故直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的斜率为﹣=﹣，故选：A．9．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的周期及对称中心，作出f（x）的函数图象草图，利用对称性得出四个根之和．【解答】解：∵f（x﹣2）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+2），∴f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）的周期为4．又f（x﹣1）关于（1，0）对称，∴f（x）的图象关于（0，0）对称，∴f（x）是奇函数．作出f（x）的大致函数图象如图所示：设方程f（x）=m在区间[﹣4，4]上有4个不同的根从小到大依次为a，b，c，d，当m＞0，a+b=﹣6，c+d=2，∴a+b+c+d=﹣4，当m＜0时，a+b=﹣2，c+d=6，∴a+b+c+d=4．故选：D．10．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λ•μ=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），因为=λ+μ所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），所以λ+μ=1，λ﹣μ=，解得：λ=，μ=，又由λ•μ=得： =，解得：b2=c2，所以a2=c2，所以，e=．故选：A．11．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令h（x）=0得出g（f（x））=1，设g（t）=1的解，作出f（x）的函数图象，根据图象判断f （x）=t的解得个数．【解答】解：令h（x）=0得g（f（x））=1，令g（x）=1得或，解得x=0或x=e或x=．∴f（x）=0或f（x）=e或f（x）=．作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）=0有4个解，f（x）=e有两个解，f（x）=有4个解，∴h（x）共有10个零点．故选：D．12．【考点】函数恒成立问题．【分析】设f（x）=lnx﹣x+1+a，g（x）=x2e x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值，建立条件关系进行求解即可．【解答】解：设f（x）=lnx﹣x+1+a，f′（x）=，当x∈[e﹣1，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，e]时，f′（x）＜0，∴f（x）在[e﹣1，1）上是增函数，在x∈（1，e]上是减函数，∴f（x）max=a，又f（e﹣1）=a﹣，f（e）=2+a﹣e，∴f（x）∈[a+2﹣e，a]，设g（x）=x2e x，∵对任意的x1∈[e﹣1，e]，总存在唯一的x2∈[﹣1，1]，使得lnx1﹣x1+1+a=x22e成立，∴[a+2﹣e，a]是g（x）的不含极值点的单值区间的子集，∵g′（x）=x（2+x）e x，∴x∈[﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）=x2e x是减函数，当x∈（0，1]，g′（x）＞0，g（x）=x2e x是增函数，∵g（﹣1）=＜e=g（1），∴[a+2﹣e，a]⊆（，e]，∴，解得．故选：B．13．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由条件求得cos（）的值，可得cosθ的值，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得x1x2+y1y2的值．【解答】解：由题意可得＜θ＜π，sin（）=＞0，∴还是钝角，∴cos（）=﹣，∴，∴cosθ=﹣．∴•=x1•x2+y1•y2=||•||cosθ=1×1×（﹣）=﹣，故答案为：．14．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加S的值并输出，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：第一（i=1）步：s1=s1+x i=0+1=1第二（i=2）步：s1=s1+x i=1+1.5=2.5第三（i=3）步：s1=s1+x i=2.5+1.5=4第四（i=4）步：s1=s1+x i=4+3=7，s=×7=第五（i=5）步：i=5＞4，输出s=．故答案为：74．15．【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得b＞a＞0，再由△≤0，得到c≥，把c代入M，将关于a，b的不等式利用基本不等式的性质就能求得最小值．【解答】解：∵a＜b，二次函数y=ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立．∴△≤0，解得：c≥，a＞0，b﹣a＞0，∴M=≥==≥=8．当且仅当2a=b﹣a，取得等号．∴M的最小值是8，故答案为：816．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】根据定义分别求出f（x）=0和g（x）=0，将函数方程转化为sin2[x]+sin2{x}﹣1=0和[x]•{x}=+1，分别利用图象讨论两个函数零点的个数．【解答】解：由f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1=0得sin2{x}=1﹣sin2[x]=cos2[x]．则{x}=+2kπ+[x]或{x}=﹣+2kπ+[x]，即{x}﹣[x]= +2kπ或{x}﹣[x]=﹣+2kπ．即x=+2kπ或x=﹣+2kπ．若x=+2kπ，∵0≤x≤100，∴当k=0时，x=，由x=+2kπ≤100，解得k≤15.68，即k≤15，此时有15个零点，若x=﹣+2kπ，∵0≤x≤100，∴当k=0时，x=﹣不成立，由x=﹣+2kπ≤100，解得k≤16.28，此时有15个零点，综上f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1的零点个数为15+15=30个．∵{x }=，∴[x ]•{x }=，由g （x ）=0得[x ]•{x }=+1，分别作出函数h （x ）=[x ]{x }和y =+1的图象如图：由图象可知当0≤x ＜1和1≤x ＜2时，函数h （x ）=[x ]{x }和y =+1没有交点，但2≤x ＜3时，函数h （x ）=[x ]{x }和y =+1在每一个区间上只有一个交点，∵0≤x ＜100，∴g （x ）=[x ]•{x }﹣﹣1的零点个数为100﹣2﹣1=97个．故m =30，n =97．m +n =127．故答案为：127．17．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）令α=0，β=，根据f （cosα）≤0，f （2﹣sinβ）≥0化简后，列出方程求出m ，根据函数解析式和条件表示出S n 和S n +1，根据a n +1=S n +1﹣S n 化简后，由等差数列的定义判断出{a n }是等差数列，求得a 1利用等差数列的通项公式求出a n ；（Ⅱ）把a n 代入中求得b n ，利用裂项法求出T n ，即可证明T n ＜．【解答】解：（Ⅰ）Q 对任意实数α、β，恒有()cos 0f α≤，()2sin 0f β-≥，()()cos010f f ∴=≤，且()π2sin 102f f ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭， 即()10f =，则13044m +-=，解得12m =， ()2113424f x x x ∴=+-， ()()2n n n n S f a a a n +∴==+∈-N ， 可得2111113424n n n S a a ++++-=， 故()()22111114n n n n n n n a S S a a a a ++++==+---， 即()()1120n n n n a a a a ++--+=，{}n a Q 是正数数列，10n n a a +∴+>，12n n a a +-∴=，即数列{}n a 是等差数列， 又2111113424a a a =+-，且10a >，可得13a =， ()32121n a n n ∴=+-=+；11122n a n ==++， 则()()()()22111212322221n b n n n n =<=++++- 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭ 16n T ∴<，证明如下： 12n n T b b b =++⋯+1111111235572123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦K ()111111232362236n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭． 18．【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）根据频率分布表，结合频率分布直方图，即可求出n 、p 和a 的值；再补全频率分布直方图即可；（Ⅱ）根据频率分布直方图，求出众数、中位数和平均数；（Ⅲ）求出年龄在[40，55]的三组“经纪人”的数量以及采用分层抽样法抽取7的人数，利用排列组合法求出不同的站法即可．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布表知，第一组的人数为1202000.6=， 频率为0.0450.2⨯=，所以样本容量为20010000.2n ==； 由题可知，第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==； 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=；补全频率分布直方图如下；（Ⅱ）根据频率分布直方图知， 众数为最高小矩形的底边中点坐标，是303532.52+=； 又0.20.30.5+=，所以中位数为35； 平均数为27.50.232.50.337.50.242.50.1547.50.152.50.0536.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）年龄在[]40,55的三组“经纪人”的数量是60、30和15，现从中采用分层抽样法抽取7人，则分别抽取的人数为4、2和1；这7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，共有423423288A A A ••=种不同站法． 19．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）按照三视图所在的平面两两垂直，看不见的线用虚线，看得见的用实线画出．（2）由EC ∥PD ，得EC ∥平面PDA ，同时，有BC ∥平面PDA ，因为EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC 且EC ∩BC =C ，得到平面BEC ∥平面PDA ，进而有BE ∥平面PDA ．（3）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣PB ﹣E 的余弦值．【解答】解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：证明：（2）EC PD Q ∥，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ，EC ∴∥平面PDA ，同理可得BC ∥平面PDA ，EC ⊂Q 平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，且EC BC C =I ，∴平面BEC ∥平面PDA ，又BE ⊂Q 平面EBC ，BE ∴∥平面PDA ．解：（3）Q 底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC PC ∥，且22PD AD EC ===，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A ，()0,0,2P ，()2,2,0B ，()0,2,1E ，()2,0,2PA =-u u u r ，()2,2,2PB =-u u u r ，()0,2,1PE =-u u u r ，设平面APB 的法向量(),,n x y z =r ，则2202220n PA x z n PB x y z ⎧•=-=⎪⎨•=+-=⎪⎩r u u u r r u u u r ，取1x =，得()1,0,1n =r ， 设平面PBE 的法向量(),,n a b c =r ，则222020m PB a b c m PE b c ⎧•=+-=⎪⎨•=-=⎪⎩u r u u u r u u u r ，取1b =，得()1,1,2m =u r ， 设二面角A PB E --的平面角为θ，则cos m n m nθ•===•u r r u r r ． ∴二面角A PB E --．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）将直线l 的方程y =kx +m 代入椭圆C 的方程3x 2+4y 2=12中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l与椭圆C 仅有一个公共点知，△=0，即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d 1=|F 1M |，d 2=|F 2N |．当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1﹣d 2|=|MN |×|tanθ|，即可得到四边形F 1MNF 2面积S 的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S 的最大值【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，1224PF PF a ==+，可得2a =，又c a =222a c b -=， 可得1b =，即有椭圆1C 的方程为2214x y +=； （Ⅱ）椭圆2C ：22143x y +=．将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得()2224384120k x kmx m +-++=． 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()2222644434120k m k m +-∆-==， 化简得：2243m k =+．设11d F M ==22d F M ==当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ=⨯-，()121222118121m S d d d d k k m m∴=••-•+==++2243m k =+Q ，∴当0k ≠时，m >，1m m ∴+>，S ∴<．当0k =时，四边形12F MNF是矩形，S =所以四边形12F MNF 面积S的最大值为．21．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f （x ）=e x ﹣ax +a ，知f ′（x ）=e x ﹣a ，再由a 的符号进行分类讨论，能求出f （x ）的单调区间，然后根据交点求出a 的取值范围；（2）由x 1、x 2的关系，求出＜0，然后再根据f ′（x ）=e x ﹣a 的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明．【解答】（1）解：()'e x f x a =-．若0a ≤，则()'0f x >，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．0a ∴>，令()'0f x =，则ln x a =．当ln x a <时，()'0f x <，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()'0f x >，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．Q 函数()()e x f x ax a a -=+∈R 的图象与x 轴交于两点()1,0A x ，()2,0B x ()12x x <，()()ln 2ln 0f a a a ∴=-<，即2e a >．此时，存在1ln a <，()1e>0f =；存在3ln ln a a >，()3323ln 3ln 30f a a a a a a a a -+>-=+>，又()f x 在R 上连续，故2e a >为所求取值范围．（2）证明：1212e 0e 0x x ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩Q ，两式相减得2121e e x x a x x -=-． 记212x x t -=，则()121221212221e e e 'e 2e e 22x x x x x x t t x x f t x x t ++-+-⎛⎫⎡⎤=-=-- ⎪⎣⎦-⎝⎭， 设()()2e e t t g t t =--﹣，则()()2e e 0t t g t '=-+<﹣， ()g t ∴是单调减函数，则有()()00g t g <=，而122e 02x x t +>，12'02x xf +⎛⎫∴< ⎪⎝⎭． 又()'e x f x a =-是单调增函数，且122x x +0f ∴'<． 22．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C 的参数方程为（t 为参数）（p ＞0），消去t 可得普通方程．利用点斜式可得直线l 的参数方程．（2）把直线l 的参数方程代入抛物线方程可得：t 2﹣+8p +32=0，可得t 1+t 2=p ，t 1t 2=8p +32.0＜t 1＜t 2．不妨设|AM 1|=t 1，|M 1M 2|=t 2﹣t 1，|AM 2|=t 2，则|M 1M 2|=t 2﹣t 1=．由于|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，可得=|AM 1|×|AM 2|．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数）()0p >，消去t 可得：22y px =． 直线l 经过曲线C 外一点()2,4A --且倾斜角为π4，可得参数方程为：24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩． （2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：()28320t t p ++=-，12t t ∴+=，1212832.0t t p t t =+<<． 不妨设11AM t =，1221M M t t -=，22AM t =， 则1221M M t t ===- 1AM Q ，12M M ，2AM 成等比数列，21212M M AM AM ∴=⨯， 2832832p p p ∴+=+，化为2340p p +-=，0p >．解得1p =．23．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）先解绝对值不等式，再根据集合之间的关系即可求出a 的范围（Ⅱ）化简|f （x ）﹣f （a ）|为|x ﹣a ||x +a ﹣1|，小于|x +a ﹣1|即|（x ﹣a ）+（2a ﹣1）|．再由|（x ﹣a ）+（2a ﹣1）|≤|x ﹣a |+|2a ﹣1|＜1+2|a |+1，从而证得结论．【解答】解：（Ⅰ）1x a -<Q ，11a x a ∴-<<+， ()1,1x ∈-Q ，不等式1x a -<恒成立，1111a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩， 解得0a =，∴实数a 的取值范围构成的集合{}0（Ⅱ）证明：Q 函数()2f x x x c =-+，实数a 满足1x a -<，()()()2211f x f a x x c a a c x a x a x a ∴-=--<+-+=-+-+-()()21x a a =-+-()2112121x a a a a ≤-+-<++=+，即()()()21f x f a a <-+成立．。
2017年四川省绵阳高中高三年级高考模拟试题数学试题
2017年四川省绵阳高中高三年级高考模拟试题数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()123V h S S =+ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知定义域为R 的函数错误！未找到引用源。
不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
2．设等差数列错误！未找到引用源。
的前n 项和为错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 3．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度4．设R b a ∈,，则“a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若变量,x y 满足210201xy x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+所在区域的面积为（ ）A ．34 B. 43 C. 12D. 1 6．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)7．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为（ ）A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 8．过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱DD 1的中点与直线BD 1所成角为40°，且与平面AC C 1A 1所成角为50°的直线条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分．9．设全集为R ，集合2{|430},M x R x x =∈-+>集合{|24},xN x R =∈>则M N ⋃= ；M N ⋂= ；()R C M N ⋂= .10．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan 4α=，则cos α=________,sin β=_______. 11．在如图所示的空间直角坐标系O —xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为（填写编号） ，此四面体的体积为 .1A12．已知圆22:(cos )(sin )2(R)C x y ααα-++=∈与直线:cos sin 10(R)l x y βββ--=∈，则圆C 的圆心轨迹方程为 ，直线l 与圆C 的位置关系是______． 13．已知点)21,21(-A 在抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若3=⋅，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ．14．在直径AB 为2的圆上有长度为1的动弦CD ，则AC BD ⋅的取值范围是 ．15．已知,,a b c 为非零实数，(),ax b f x x R cx d +=∈+，且(2)2,(3)3f f ==.若当dx c≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一的实数是 ．三、解答题：本大题共5小题，第16至19题每题15分，第20题14分，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．ABC ∆中，内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =. （Ⅰ）求11tan tan A B +的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅= ，求a c +的值.17．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为23ABC π∠=的菱形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在直线PA上.（Ⅰ）证明：直线QC ⊥直线BD ；18．已知数列{a n }中，111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数， （Ⅰ）求证：数列23{}2n a -是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n ．19．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T 都过点(0,M ，且椭圆1T 与2T （Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q ，当k '=时，问直线PQ20．设1)(2+--=ax x x f ，22()ax x a g x x ++=，（Ⅰ）若0)(=+b x f 在]2,1[上有两个不等实根，求(1)g b +的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,1[1∈x ，使得对任意的21[,1]2x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题二、填空题：9. (,1)(2,)-∞⋃+∞；(3,)+∞；(,3]-∞ 10.45；725- 11. ③ ② ② ；83；12. 221x y +=；相交; 13. 214. 31[,]22-; 15. 52三、解答题：16. 解：（Ⅰ）因为,,a b c 成等比数列，所以ac b =2,由余弦定理可知：)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B 又3cos 4B =，所以47sin =B ，且43)1(21=-+c a a c ，解得212或=a c . 于是772778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或=⋅=⋅=+=+B a c B A C B B A A B A . （Ⅱ）因为32BA BC ⋅= ,所以23cos =B ca ，所以2=ca ，又212或=a c ，于是3=+a c . 【另解】由32BA BC ⋅= 得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+= ∴ 3a c +=.17. （Ⅰ）证明：显然BD AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，则PA BD ⊥，故BD PAC ⊥平面,QC PAC ⊆平面,则直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）由已知和对称性可知，二面角A B QC --的大小为3π，设底面ABCD 的棱长为单位长度2，AQ x = ，设AC ，BD 交于点E,则有点B 到平面AQC 的距离BE 为1，过点E 做QC 的垂线，垂足设为F ，则有tan tan3BE BFE EF π∠==，BE=1，则，点A 到QC ，则有3x =⋅2x =. 过点M 作AB 的平行线交AD 的中点为G ，则GM=2，QG =AM ==QM ==，22234104cos 234QM GM QG QMG QM GM +-+-∠===⋅， 即所求的QM 与AB所成角的余弦值为34.18.（Ⅰ）证明：21222(1)22221313113(21)(6)(21)13232322333332222n n n n n n n n a n a n n a a a a a a ++++--++---====----， 所以数列23{}2n a -是以23126a -=-为首项，13为公比的等比数列。
2017届高三上学期开学数学试卷(理科) Word版含解析
2017届高三上学期开学数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或33．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣ B．C．﹣D．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1的大致图象是（）5．函数y=log2A． B．C． D．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD 的长为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）二、填空题9．抛物线x 2=ay 的准线方程是y=2，则a= ．10．极坐标系中，直线ρsin （﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为 （只需写出一个即可）11．点P 是直线l ：x ﹣y+4=0上一动点，PA 与PB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB 的最小面积为 ．12．已知双曲线C 的渐进线方程为y=±x ，则双曲线C 的离心率为 ．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有 个，从中任意选出2个不同的子集A 和B ，若A ⊈B 且B ⊈A ，则不同的选法共有 种．14．已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a 1=4，则d 的取值集合为 ；（2）若a 1=2m （m ∈N *），则d 的所有可能取值的和为 ．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，]，求函数f （x ）的最值及相应x 的取值．16．已知递减等差数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 3=40．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）若递减等比数列{b n }满足：b 2=a 2，b 4=a 4，求数列{b n }的通项公式．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x 台（x ∈N *）的总收入为30x ﹣0.2x 2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P （x ）的边际利润函数MP （x ）来研究何时获得最大利润，其中MP （x ）=P （x+1）﹣P （x ）．（Ⅰ）求利润函数P （x ）及其边际利润函数MP （x ）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP （x ）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？18．已知函数f （x ）=axe x ，其中常数a ≠0，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f （x ）的极值；（Ⅲ）若直线y=e （x ﹣）是曲线y=f （x ）的切线，求实数a 的值．19．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），离心率e=，已知点P （0，）到椭圆C 的右焦点F 的距离是．设经过点P 且斜率存在的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于一点Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点Q 的横坐标x 0的取值范围．20．对于序列A0：a，a1，a2，…，an（n∈N*），实施变换T得序列A1：a1+a2，a2+a3，…，an﹣1+an，记作A1=T（A0）：对A1继续实施变换T得序列A2=T（A1）=T（T（A）），记作A2=T2（A）；…；An﹣1=Tn﹣1（A）．最后得到的序列An﹣1只有一个数，记作S（A）．（Ⅰ）若序列A0为1，2，3，求S（A）；（Ⅱ）若序列A0为1，2，…，n，求S（A）；（Ⅲ）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B，若序列B为序列A：1，2，…，n的一个排列，请问：B=A0是S（B）=S（A）的什么条件？请说明理由．2017届高三上学期开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】根据A，B，以及两集合的交集为B，得到B为A的子集，确定出实数m的值即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，m}，且A∩B=B，∴B⊆A，则实数m的值为2或3，故选：D．3．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】直接利用诱导公式化简求解函数值即可．【解答】解：sin（π﹣A）=，可得sinA=，cos（﹣A）=sinA=，故选：B．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由⊥，可得=0，解出即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=3+x（2﹣x）=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故选：D ．5．函数y=log 2的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】分析出函数的定义域和单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：函数y=log 2的定义域为（1，+∞），故排除C ，D ；函数y=log 2为增函数，故排除B ，故选：A ．6．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=3x ﹣y 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[﹣1，6]D ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z 的几何意义可求z 的最大值与最小值，进而可求z 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x ﹣y 可得y=3x ﹣z ，则﹣z 为直线y=3x ﹣z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x ﹣z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时z 最大由可得B （，3），=6由可得C（2，0），zmax∴故选A7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD 的长为（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】在△OAC中，运用余弦定理可得AC，cos∠ACO，延长CO交圆于E，再由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，求得CD，再在△BCD中，运用余弦定理可得BD的长．【解答】解：在△OAC中，OA=2，OC=1，∠AOC=120°，可得AC2=OA2+OC2﹣2OA•OC•cos∠AOC=4+1﹣2•2•1•cos120°=5+2=7，即AC=，cos∠ACO===，延长CO交圆于E，由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，即CD===，在△BCD中，BD2=BC2+DC2﹣2BC•DC•cos∠BCD=1+﹣2•1••=．可得BD=．故选：C．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的f′（x）=x﹣=，由f′（x）＞0解得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此时函数单调递减，故x=1时，函数取得极小值．①当k=1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；②当k＞1时，∵函数f（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴x=1在（k﹣1，k+1）内，即，即，即0＜k＜2，此时1＜k＜2，综上1≤k＜2，故选：B．二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a= ‐8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意可求得抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，而抛物线x2=ay的准线方程是y=2，从而可求a．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，又抛物线x2=ay的准线方程是y=2，∴﹣=2，∴a=﹣8．故答案为：﹣8．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（2，π）（只需写出一个即可）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】令θ=π，可得： +1=0，解得ρ即可得出．【解答】解：令θ=π，可得： +1=0，解得ρ=2，可得交点（2，π）．故答案为：（2，π）．11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB 的最小面积为 4 ．【考点】圆的切线方程．【分析】利用切线与圆心的连线垂直，可得S PACB =2S ACP ．，要求四边形PACB 的最小面积，即直线上的动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形PACB 的最小面积．【解答】解：根据题意：圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4，圆心为（1，1），半径r=2，∵点P 在直线x ﹣y+4=0上，设P （t ，t+4），切线与圆心的连线垂直，直线上的动点到圆心的距离d 2=（t ﹣1）2+（t+4﹣1）2，化简：d 2=2（t 2+2t+5）=2（t+1）2+8，∴，那么：，则|PA|min =2，三角形PAC 的最小面积为：=2， 可得：S PACB =2S ACP =4，所以：四边形PACB 的最小面积S PABC =4，故答案为：4．12．已知双曲线C 的渐进线方程为y=±x ，则双曲线C 的离心率为 或 ． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线为y=±x ，可得=或3，利用e==，可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x ，∴=或3，∴e===或．故答案为：或．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有8 个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A⊈B且B⊈A，则不同的选法共有9 种．【考点】子集与真子集．【分析】根据含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，即可得到子集个数．从中任意选出2，A⊈B且B⊈A．先去掉{1，2，3}和∅，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A⊈B且B⊈A，即可得到答案．【解答】解：集合U={1，2，3}含有3个元素，其子集个数为23=8个．从中任意选出2个不同的子集A和B，A⊈B且B⊈A．先去掉{1，2，3}和∅，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A⊈B且B⊈A，有①{1}，{2}、②{1}，{3}、③{1}，{2，3}、④{2}，{3}、⑤{2}，{1，3}、⑥{3}，{1，2}、⑦{1，2}，{1，3}、⑧{1，2}，{2，3}、⑨}{1，3}，{2，3}，则有9种．故答案为：8，9．14．已知数列{an }是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4} ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1﹣1 ．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由题意可得，ap +aq=ak，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．【解答】解：由题意可得，ap +aq=ak，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为 {1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d 的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m ==2m+1﹣1， 故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，]，求函数f （x ）的最值及相应x 的取值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f （x ），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x 的范围，可得2x ﹣2x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=sin2x+2cos 2x+1=sin2x+cos2x+2=sin （2x+）+2，令2k π﹣≤2x+≤2k π+，k ∈Z ， 则k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z ，则有函数的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．（Ⅱ）当x ∈[0，]时，2x+∈[，]， 则有sin （2x+）∈[﹣1，1]， 则当x=时，f （x ）取得最小值，且为1，当x=时，f （x ）取得最大值，且为+2．16．已知递减等差数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 3=40．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）若递减等比数列{b n }满足：b 2=a 2，b 4=a 4，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和．【分析】（I ）格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S n ； （II ）根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式．【解答】解：（I ）设{a n }的公差为d ，则a 2=2+d ，a 3=2+2d ，∴（2+d ）（2+2d ）=40，解得：d=3或d=﹣6．∵{a n }为递减数列，∴d=﹣6．∴a n =2﹣6（n ﹣1）=8﹣6n ，Sn=•n=﹣3n2+5n．（II）由（I）可知a2=﹣4，a4=﹣16．设等比数列{bn}的公比为q，则，解得或．∵{bn}为递减数列，∴．∴bn=﹣2•2n﹣1=﹣2n．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）利用利润是收入与成本之差，求利润函数P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）=30x﹣0.2x2﹣（5x+40）=﹣0.2x2+25x﹣40，MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]=24.8﹣0.4x，（Ⅱ）∵MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，∴当x=1时，MP（x）的最大值为24.40（万元）18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；（Ⅲ）设出切点坐标为（m，ame m），求出切线斜率和方程，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a 的值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=a（e x+xe x）=a（1+x）e x，若a ＞0，由f′（x ）＞0得x ＞﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），由f′（x ）＜0，得x ＜﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），若a ＜0，由f′（x ）＞0得x ＜﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），由f′（x ）＜0，得x ＞﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣1，+∞）；（Ⅱ）当a=1时，由（1）得函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）， 即当x=﹣1时，函数f （x ）取得极大值为f （﹣1）=﹣，无极小值；（Ⅲ）设切点为（m ，ame m ），则对应的切线斜率k=f′（m ）=a （1+m ）e m ，则切线方程为y ﹣ame m =a （1+m ）e m （x ﹣m ），即y=a （1+m ）e m （x ﹣m ）+ame m =a （1+m ）e m x ﹣ma （1+m ）e m +ame m =a （1+m ）e m x ﹣m 2ae m ，∵y=e （x ﹣）=y=ex ﹣e ，∴∴，即若直线y=e （x ﹣）是曲线y=f （x ）的切线，则实数a 的值是．19．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），离心率e=，已知点P （0，）到椭圆C 的右焦点F 的距离是．设经过点P 且斜率存在的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于一点Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点Q 的横坐标x 0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I ）由题意可得：e==， =，又a 2+b 2=c 2．联立解出即可得出． （II ）设直线AB 的方程为：y=kx+，（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点M （x 3，y 3），直线AB 的方程与题意方程联立化为：（1+4k 2）x 2+12kx ﹣7=0，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得可得中点M 的坐标，可得线段AB 的中垂线方程，令y=0，可得x 0，通过对k 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（I ）由题意可得：e==， =，又a 2+b 2=c 2．联立解得：c 2=12，a=4，b=2．∴椭圆C 的标准方程为： =1．（II ）设直线AB 的方程为：y=kx+，（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点M （x 3，y 3），线段AB 的中垂线方程为：y ﹣y 3=﹣（x ﹣x 3）．联立，化为：（1+4k 2）x 2+12kx ﹣7=0，△＞0，∴x 1+x 2=﹣， ∴x 3==﹣．y 3=kx 3+=．∴线段AB 的中垂线方程为：y ﹣=﹣（x+）．令y=0，可得x 0==，k ＞0时，0＞x 0≥．k ＜0时，0＜x 0≤．k=0时，x 0=0也满足条件．综上可得：点Q 的横坐标x 0的取值范围是．20．对于序列A 0：a 0，a 1，a 2，…，a n （n ∈N *），实施变换T 得序列A 1：a 1+a 2，a 2+a 3，…，a n ﹣1+a n ，记作A 1=T （A 0）：对A 1继续实施变换T 得序列A 2=T （A 1）=T （T （A 0）），记作A 2=T 2（A 0）；…；A n ﹣1=T n ﹣1（A 0）．最后得到的序列A n ﹣1只有一个数，记作S （A 0）．（Ⅰ）若序列A 0为1，2，3，求S （A 0）；（Ⅱ）若序列A 0为1，2，…，n ，求S （A 0）；（Ⅲ）若序列A 和B 完全一样，则称序列A 与B 相等，记作A=B ，若序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，请问：B=A 0是S （B ）=S （A 0）的什么条件？请说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（I ）序列A 0为1，2，3，A 1：1+2，2+3，A 2：1+2+2+3，即可得出S （A 0）． （II ）n=1时，S （A 0）=1+2=3；n=2时，S （A 0）=1+2+2+3=1+2×2+3；n=3时，S （A 0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…；取n 时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+•n +•（n+1）；利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．（III ）序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，B=A 0⇒S （B ）=S （A 0）．而反之不成立．例如取序列B 为：n ，n ﹣1，…，2，1．满足S （B ）=S （A 0）．即可得出．【解答】解：（I ）序列A 0为1，2，3，A 1：1+2，2+3，A 2：1+2+2+3，即8，∴S （A 0）=8． （II ）n=1时，S （A 0）=1+2=3．n=2时，S （A 0）=1+2+2+3=1+2×2+3=8，n=3时，S （A 0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4， …，取n ﹣1时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+（n ﹣1）+•n，取n 时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+•n +•（n+1），利用倒序相加可得：S （A 0）=×2n =（n+2）•2n ﹣1． 由序列A 0为1，2，…，n ，可得S （A 0）=（n+2）•2n ﹣1． （III ）序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，B=A 0⇒S （B ）=S （A 0）．而反之不成立． 例如取序列B 为：n ，n ﹣1，…，2，1．满足S （B ）=S （A 0）． 因此B=A 0是S （B ）=S （A 0）的充分不必要条件．。
2017级绵阳三诊数学理科答案
绵阳市高中2017级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBDCB BACAD BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．4514．2 15．2 16．3三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）由123n n a S +=，得123n n n S S S +−=，∴ 153n n S S +=，即153n n S S +=． ……………………………………………………4分 ∵ 111S a ==，∴ 数列{S n }是一个首项为1，公比为53的等比数列， 故15()3n n S −=． ……………………………………………………………………8分（2）由113()5n n n b S −==， ………………………………………………………9分 得1231()55355()3225215nn n n T b b b −=++⋅⋅⋅+==−<−． ……………………………12分 18．（1）证明：连接BD 交AC 于F ，连接EF ．∵ 正方形ABCD ，F 为BD 中点， 又E 为BS 中点， ∴ EF ∥SD ．又SD ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ，∴ SD ∥平面AEC ．…………………………4分（2）取BC 的中点为O ，连接OF 并延长，显然OF ⊥OC ． 在等边三角形SBC 中，易得SO ⊥BC ，∵ 侧面SBC ⊥底面ABCD ，且侧面SBC ∩底面ABCD =BC ， ∴ OS ⊥平面ABCD ． ∴ OS ⊥OF ，OS ⊥OC ，于是可以O 为原点，分别以OF 、OC 、OS 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O -xyz ，如图． …………………………………………………………6分得A (2，-1，0)，C (0，1，0)，1(02，E −，D (2，1，0)，S (0，0，)，∴ CD =(2，0，0)，CS =(0，-1，，1(220)(2)22，，，，，AC AE =−=−．设平面CDS 的一个法向量为m ()，，x y z =，则200，，x y =⎧⎪⎨−=⎪⎩解得x =0，令1z =，则y = 所以m (01)=． ……………………………………………………………8分 设平面ACE 的法向量为n 111()，，x y z =．∴1111122012022，，x y x y z −+=⎧⎪⎨−++=⎪⎩令x 1=1，则y 1=1，z 1=， 所以n (11=． ……………………………………………………………10分∴cos 0||||，⋅<>===>⋅m n m n m n ．∴ 平面ACE 与平面SCD所成锐二面角的余弦值为． ……………12分 19．解：（1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则3()8P A =，∴ 随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为2211120333335355485()()()()()88888512C C C ++=．………………………………………4分 （2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[4080)，，[80120)，，[120160)，， [160200)，的概率分别为18，14，12，18． …………………………………5分设物流公司每天的营业利润为Y ．若租赁1辆车，则Y 的值为2000元；若租赁2辆车，则Y 的可能取值为4000，1600，其分布列为：故71()40001600370088E Y =⨯+⨯=元；…………………………………………7分 若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，其分布列为：故511()6000360012004800848E Y =⨯+⨯+⨯=元； ……………………………9分若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，其分布列为：故1111()80005600320080047008248E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=元； …………………11分因为4800＞4700＞3700＞2000，所以为使该物流公司每天的营业利润最大，该公司应租赁3辆车． ………12分 20．解：（1）当a =4时，22ln 64)(+−−=xx x x f ，x >0， 得2222)1)(12(2264264)(xx x x x x x x x f −−=+−=+−='． …………………………2分 ∴ 函数)(x f 在1(0)2，和(1)，+∞上单调递增，在1(1)2，上单调递减， ∴ 当21=x 时，函数()f x 取得极大值1()6ln 22f =； 当x =1时，函数()f x 取得极小值(1)4f =．……………………………………5分（2）2222)1)(2(2)2(22)(xx ax x x a ax x x a a x f −−=++−=++−='． 当a ≤0时，得)(x f 在(1，e)上递减，f (x )<f (1)=a ≤0， 故)(x f 在(1，e)上没有零点；当a ≥2时，得)(x f 在(1，e)上递增，f (x )>f (1)=a ≥2， 故)(x f 在(1，e)上没有零点； 当0<a ≤2e ，即2e ≥a时，得)(x f 在上(1，e)递减， 要使)(x f 在(1，e)上有零点，则(1)02(e)e 0e ，，f a f a a =>⎧⎪⎨=−−<⎪⎩解得20e(e 1)a <<−；……………………………………………………………8分当22e a <<，即21e a <<时，得()f x 在2(1)，a 上递减，在2(e)，a上递增， 由于0)1(>=a f ，2224(e)(e 1)(e 1)20e e e ef a =−−>−−=−>． 令22ln )2(2)2()(+−+−==a aa a f a g =2ln 24)2ln 1(ln )2(−++−+a a a ，令=)(a h 2ln 2ln )(−+='aa a g ， 则0221)(22<−=−='aa a a a h ， ∴)(a h 在2(2)e，上递减，故01)2()(>=>h a h ，即0)(>'a g ，∴ )(a g 在2(2)e，上递增，故24()()20e eg a g >=−>，即0)2(>a f ，∴ )(x f 在(1，e)上没有零点．………………………………………………………11分 综上所述，当20e(e 1)a <<−时，)(x f 在(1，e)上有唯一零点；当0a ≤或2e(e 1)a −≥时，)(x f 在(1，e)上有没有零点．………12分21．解：（1）设直线l 的方程为x =ty +1，若t =0，则l 的垂直平分线与x 轴重合，与题意不合．若t ≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点E (x 0，y 0)． 联立方程214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，整理得y 2-4ty -4=0， 由韦达定理得y 1+ y 2=4t ，y 1y 2=-4． …………………………………………2分 ∴ y 0=2t ，x 0=ty 0+1=2t 2+1， 即E (2t 2+1，2t )．故线段MN 的垂直平分线的方程为y -2t =-t (x -2t 2-1)，令y =0，则Q (2t 2+3，0)． ……………………………………………………4分 即|FQ |=|(2t 2+3)-1|=8， 解得t=，综上所述，直线l的斜率1k t ==． ………………………………………6分（2）点M 恒在以FP 为直径的圆外，则∠FMP 为锐角，等价于0MF MP ⋅>．设M 211()4，y y ，F (1，0)， P (x 0，0)，则2211011()(1)44，，，y y MP x y MF y =−−=−−，故 224222111101103((1)(1)441644）y y y y MF MP x y y x ⋅=−−+=++−>0恒成立． ………8分令214y t =，则t >0，原式等价于203(1)0t t t x ++−>对任意的t >0恒成立，即200(3)0t x t x +−+>对任意的t >0恒成立． 令200()(3)h t t x t x =+−+．①Δ=(3-x 0)2-4x 0=201090x x −+<， 解得1< x 0<9；…………………………………………………………………………10分②00302(0)0≥，≤，≥，x h ∆⎧⎪−⎪⎨⎪⎪⎩ 解得0≤x 0≤1． 又x 0≠1，故0≤x 0<1．综上所述，x 0的取值范围是[01)(19)，，． ……………………………………12分22．解：（1）由题意得，半圆C 1的极坐标方程为π8cos (0)2≤≤ρθθ=，圆C 2的极坐标方程为(0π)≤≤ρθθ=． …………………………………4分 （2）由（1）得，∣MN ∣=∣M N ρρ−∣=ππ8cos133−=， ……………5分 显然当P 点到直线MN 的距离最大时，△PMN 面积最大．此时P 点为过C 2且与直线MN 垂直的直线与圆C 2的一个交点，如图， 设PC 2与直线MN 垂直于点H ， 在Rt △OHC 2中，22πsin 6HC OC =，……7分 ∴ 点P 到直线MN 的最大距离为22C d HC r =+=+=………………9分 ∴ △PMN面积的最大值为11122MN d ⋅=⨯=……………………10分 23．解：（1）当x ≤-1时，()215≤f x x x =−−−，解得21≤≤x −−；当12x −<<时，()2135≤f x x x =−++=，满足题意；……………………………3分 当x ≥2时，()215≤f x x x =−++，解得23≤≤x ．综上所述，不等式()5≤f x 的解集为{23}≤≤x x −． ………………………………5分（2）由()21f x x x =−++≥(2)(1)1x x −−+=，即()f x 的最小值为1，即m =3．……………………………………………………6分1111111()(49)49349a b c a b c a b c++=++++ 14499(3)34949b a b c c a a b c b a c=++++++1(33≥+ =3．当且仅当a =4b =9c =1时等号成立， …………………………………………………9分 所以cb a 91411++最小值为3． ……………………………………………………10分1。
2016-2017学年四川省绵阳中学高三(上)入学数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年四川省绵阳中学高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）已知复数是纯虚数，则实数a＝（）A．﹣2B．4C．﹣6D．63．（5分）设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）＝P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为（）A．1B．C．5D．94．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e5．（5分）设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k＝（）A．2B．﹣4C．﹣2D．46．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则ω＝4x•2y的最大值是（）A．100B．240C．500D．5128．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）9．（5分）把一枚质地均匀的硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（）A．B．C．D．10．（5分）8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（）A．C83B．C83A83C．C83A22D．3C8311．（5分）如图，正方形A1BCD折成直二面角A﹣BD﹣C，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．12．（5分）过点A（2，1）做曲线f（x）＝x3﹣3x的切线，最多有（）A．3条B．2条C．1条D．0条二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．14．（4分）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为．15．（4分）已知复数z＝x+yi，且|z﹣2|＝，则的最大值为．16．（4分）已知实数x，y满足x﹣＝﹣y，则x+y的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．18．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（Ⅰ）求证：PD⊥平面P AB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱P A上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．20．（12分）已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．2016-2017学年四川省绵阳中学高三（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝（0，+∞），B＝{x|x2﹣1＜0}＝（﹣1，1），∴A∪B＝（0，+∞）∪（﹣1，1）＝（﹣1，+∞）．故选：C．2．【解答】解：化简可得复数＝＝，由纯虚数的定义可得a﹣6＝0，2a+3≠0，解得a＝6故选：D．3．【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ＝2，P（ξ＞a+2）＝P（ξ＜2a﹣3），则：，解得a＝．故选：B．4．【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）＝2f′（1）+，把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，解得f′（1）＝﹣1，故选：B．5．【解答】解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，∵α∥β，由题意可得，∴k＝4．故选：D．6．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，ω＝4x•2y＝22x•2y＝22x+y，设z＝2x+y，即y＝2x﹣z，由图象可知当直线经过点C时，直线y＝2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得：，即C（3，3），此时z的最大值为z＝6+3＝9，则ω＝4x•2y的最大值是29＝512，故选：D．8．【解答】解：∵若命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．命题p是假命题，则¬p是真命题，说明方程x2+ax+a≥0恒成立，∴△＝a2﹣4a≤0，解得0≤a≤4，故选：A．9．【解答】解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是P（A）＝，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝，故选：A．10．【解答】解：从8人中任选3人有C83种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有A22种，故有C83A22种．故选：C．11．【解答】解：∵正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD，连接BD，A1C，相交于O，则AO⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD∴AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设正方形的棱长为1，则O（0，0，0），A（0，0，），C（，0，0），B（0，﹣，0），D（0，，0），＝（0，0，）是平面BCD的一个法向量．＝（，0，﹣），＝（，，0），＝（﹣，，0）设平面ACD的法向量＝（x，y，z），则，即，即，令x＝1，则y＝1，z＝1，解得＝（1，1，1）．从而|cos＜，＞|＝＝＝，二面角A﹣CD﹣B的余弦值为，故选：B．12．【解答】解：设切点为P（x0，x03﹣3x0），f′（x0）＝3x02﹣3，则切线方程y﹣x03+3x0＝（3x02﹣3）（x﹣x0），代入A（2，1）得，2x03﹣6x02+7＝0．令y＝2x03﹣6x02+7＝0，则由y′＝0，得x0＝0或x0＝2，且当x0＝0时，y＝7＞0，x0＝2时，y＝﹣1＜0．所以方程2x03﹣6x02+7＝0有3个解，则过点A（2，1）作曲线f（x）＝x3﹣3x的切线的条数是3条．故选：A．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴＝（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴＝λ•＝（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴＝+＝+＝（﹣λ，1﹣λ，λ），∴＝1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．14．【解答】解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x＝1，得3n＝729，解得n＝6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1＝＝，由6﹣＝2，得r＝3．∴该展开式中x2的系数为＝8×＝160．故答案为：160．15．【解答】解：，即（x﹣2）2+y2＝3就是以（2，0）为圆心以为半径的圆，的几何意义点与原点连线的斜率，易得的最大值是：故答案为：．16．【解答】解：∵，∴x+y＝+≤2则（x+y）2≤2（x+y+4）解得：﹣2≤x+y≤4∴x+y的最大值为4故答案为：4三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，由于乙队中3人答对的概率分别为，，，P（ξ＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，P（ξ＝10）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝＝，P（ξ＝20）＝××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×＝＝，P（ξ＝30）＝××＝，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝0×+10×+20×+30×＝．（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．又P（A）＝＝，P（B）＝××＝，则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为P（A+B）＝P（A）+P（B）＝＝．18．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ，可得ρ2sin2θ＝2aρcosθ，它的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；，消去t，可得x﹣y﹣2＝0，直线l的普通方程为x﹣y﹣2＝0．4分（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）＝0 （*）△＝8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2＝|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2＝|t1t2|．由（*）得t1+t2＝2（4+a），t1t2＝8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）＝0，得a＝1，或a＝﹣4．因为a＞0，所以a＝1．10分19．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD，又PD⊥P A，且P A∩AB＝A，∴PD⊥平面P AB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD＝AC＝，∴CO⊥AD，又∵P A＝PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则＝；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．20．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝a（x﹣lnx）+，得f′（x）＝a（1﹣）+＝＝（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a＝2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a＝1，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝x﹣lnx﹣1＝x﹣lnx+．令g（x）＝x﹣lnx，h（x）＝．则F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）＝1，当且仅当x＝1时取等号；又，设φ（x）＝﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）＝1，φ（2）＝﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）＝1，h（2）＝，因此h（x）≥h（2）＝，当且仅当x＝2取等号，∴f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）＝，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．。
四川省绵阳市2017届高三上学期第一次段考数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年四川省绵阳市高三（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（共60分）1．集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤03．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．114．实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．5．命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A．300元B．400元C．500元D．600元7．要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（）A．个B．个C．个D．个8．已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α9．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为a n（n∈N*），则a3+a4+a5=（）A．7 B．C．D．1410．△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（）A．B． C．2 D．111．如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n 的最小值是（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）二、填空题13．若向量满足，则x=．14．公差不为0的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=．15．函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x平行，则f（x）的极值点是．16．f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．三.解答题（共70分）17．函数的图象（部分）如图．（1）求f（x）解析式（2）若，求cosα．18．设数列{a n}前n项和为S n，已知S n=2a n﹣1（n∈N*），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．①若cosA=，求△ABC的面积S；②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．20．f（x）=xsinx+cosx；（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：≈2.4）（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=e x﹣e．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，求实数m 的取值范围．[极坐标与参数方程]22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．2016-2017学年四川省绵阳市高三（上）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分）1．集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，且集合A={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故选A．2．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．故选：D．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，∴a9=a5+4d=5+4×1=9．故选：B．4．实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：x，y对应的可行域如图：z=2x+y变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中A（1，0）时在y轴的截距最大，z最大，所以z的最大值为2×1+0=2；故选C．5．命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：＜1，即p：x＞0；命题q：lnx＜1，即：0＜x＜e，则p是q成立的必要不充分条件，故选：B．6．2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A．300元B．400元C．500元D．600元【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据条件，分别求出减免钱款，可得结论；利用顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，建立不等式，即可求出他购买的商品的标价的最低价．【解答】解：设标价为x元，则（x﹣200）×20%＞x×10%且（x﹣200）×20%＞30，∴x＞400，即他购买的商品的标价应高于400元．故选B．7．要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（）A．个B．个C．个D．个【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据两角和差的正弦公式求得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），故将y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得f（x）=2sin（2x+）的图象，故选：A．8．已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系可得1+sin2θ=4sin2α，再利用二倍角公式化简可得cos2α=cos2β，从而得出结论．【解答】解：∵sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，∴1+sin2θ=4sin2α，即1+2sin2β=4sin2α，即1+2•=4•，化简可得cos2α=2cos2β，故选：D．9．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为a n（n∈N*），则a3+a4+a5=（）A．7 B．C．D．14【考点】抽象函数及其应用．【分析】f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．可得a1=f（），q=2，可得a n，即可得出．【解答】解：∵f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．a1=f（）=，q=2，∴a n==2n﹣3，∴a3+a4+a5=1+2+22=7．故选：A．10．△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（）A．B． C．2 D．1【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件利用余弦定理求得BC、cosB的值，根据角平分线的性质求得BD 的值，再利用余弦定理求得AD的值．【解答】解：在△ABC中，因为cosA=，AB=4，AC=2，则由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=16+4﹣16×=18，解得BC=3，所以cosB===，根据角平分线的性质可得：=，所以BD=，CD=，由余弦定理得，AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB=16+8﹣2×4××=4，则AD=2，故选C．11．如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n 的最小值是（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】梅涅劳斯定理，，，，求出m，n的关系，即可利用基本不等式求解2m+3n的最小值．【解答】解：矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，可得：，，由梅涅劳斯定理，，，可得：，即，⇒2m+3n=5mn，2m+3n≥，解的：mn．当且仅当2m=3n时取等号，∴2m+3n=5mn≥故选C．12．若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题转化为ax2＞﹣x4﹣4x3+4x﹣1，x=0时，成立，x≠0时，a＞﹣﹣4（x﹣）﹣2，求出a的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1＞0，∴ax2＞﹣x4﹣4x3+4x﹣1，x=0时，成立，x≠0时，a＞﹣x2﹣﹣4（x﹣）=﹣﹣4（x﹣）﹣2，设x﹣=t，则a＞﹣t2﹣4t﹣2=﹣（t+2）2+2，要使x≠0时a恒大于﹣（t+2）2+2，则只需a比﹣（t+2）2+2的最大值大，故a＞2，综上，a＞2，故选：A．二、填空题13．若向量满足，则x=1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由列式求得x值．【解答】解：∵，∴，又，且，∴x﹣1=0，即x=1．故答案为：1．14．公差不为0的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5= 13．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差d≠0，由a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，可得2a1+2d=8，，联立解出即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，∵a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，∴2a1+2d=8，，解得a1=1，d=3．则a5=1+3×4=13．故答案为：13．15．函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x平行，则f（x）的极值点是x=e．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，根据f′（e2）=﹣=﹣，求出a的值，从而求出f （x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可．【解答】解：f′（x）=，故f′（e2）=﹣=﹣，解得：a=1，故f（x）=，f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=e，经检验x=e是函数的极值点，故答案为：x=e．16．f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪{0}∪[1，+∞）．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】由题意f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数知|3x ﹣t|≥|2x|，转化为对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，5x2﹣6xt+t2≥0 恒成立问题．【解答】解：f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数，f（3x﹣t）≥8f（x）=f（2x）；|3x﹣t|≥|2x|；∴（3x﹣t）2≥（2x）2；化简后：5x2﹣6xt+t2≥0 ①；（1）当t＞0时，①式解为：x≤或x≥t；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：t≤2t﹣1故t≥1；（2）当t＜0时，①是解为：x≤t 或x≥；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：2t+3≤t故t≤﹣3；（3）当t=0时，①式恒成立；综上所述，t≤﹣3或t≥1或t=0．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪{0}∪[1，+∞）．三.解答题（共70分）17．函数的图象（部分）如图．（1）求f（x）解析式（2）若，求cosα．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用函数的图象，求出A，T，解出ω，求出，即可得到函数的解析式．（2）利用已知条件转化求出角的正弦函数，利用角的变换，求解即可．【解答】解：（1）由图得：A=2．由，解得ω=π．…由，可得，解得，又，可得，∴．…（2）由（Ⅰ）知，∴，由α∈（0，），得∈（，），∴．…∴===．…18．设数列{a n}前n项和为S n，已知S n=2a n﹣1（n∈N*），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列与函数的综合；函数恒成立问题；数列递推式．【分析】（1）求出数列的首项，利用a n=S n﹣S n﹣1，求解数列的通项公式．（2）由k（S n+1）≥2n﹣9，整理得k≥，令，判断数列的单调性，求出最大项，然后求解实数k的取值范围．【解答】解：（1）令n=1，S1=2a1﹣1=a1，解得a1=1．…由S n=2a n﹣1，有S n﹣1=2a n﹣1﹣1，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1，化简得a n=2a n﹣1（n≥2），∴数列{a n}是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴数列{a n}的通项公式．…（2）由k（S n+1）≥2n﹣9，整理得k≥，令，则，…n=1，2，3，4，5时，，∴b1＜b2＜b3＜b4＜b5．…n=6，7，8，…时，，即b6＞b7＞b8＞…∵b5=＜，∴b n的最大值是．∴实数k的取值范围是．…19．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．①若cosA=，求△ABC的面积S；②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】①由，得，代入三角形面积公式求得△ABC的面积S；②由，利用余弦定理求出，再由正弦定理求得sinB的值．【解答】解：①由，得，∴；②由，可得，于是，即，（1）又O为△ABC的外接圆圆心，则，=，（2）将（1）代入（2），得到=，解得||=4．由正弦定理得，可解得sinB=．20．f（x）=xsinx+cosx；（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：≈2.4）（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调性，根据零点的判定定理证明即可；（2）求出．令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，∴x∈（2，3）时，f'（x）=xcosx＜0，∴函数f（x）在（2，3）上是减函数．…又，…∵，，∴f（3）=3sin3+cos3＜0，由零点存在性定理，f（x）在区间（2，3）上只有1个零点．…（2）由题意等价于xsinx+cosx＞kx2+cosx，整理得．…令，则，令g（x）=xcosx﹣sinx，g'（x）=﹣xsinx＜0，∴g（x）在上单调递减，…∴，即g（x）=xcosx﹣sinx＜0，∴，即在上单调递减，…∴，即．…21．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=e x﹣e．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导得f'（x）=，对a进行分类讨论，然后解不等式，即可分别求出单调区间；（2）构造新函数h（x）=m（e x﹣e）﹣（lnx+x2﹣1），利用转化思想，将条件转化为对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，h'（x）=me x﹣（），则h'（1）=me﹣3．若h'（1）＜0，存在x∈（1，+∞），使得h（x）＜0，不符合条件；若h'（1）≥0，则h'（x）≥﹣﹣2x，利用导数可判断φ（x）=﹣﹣2x＞0在（1，+∞）上恒成立，即h'（x）＞0恒成立，则h（x）在（1，+∞）上单调递增，从而h（x）＞h（1）=0恒成立，故m的取值范围为[，+∞）．【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）==a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；a＜0时，由f'（x）＞0，得0＜x＜；由f'（x）＜0，得x＞，故f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；（2）a=1时，f（x）=lnx+x2﹣1记h（x）=mg（x）﹣f（x）=m（e x﹣e）﹣（lnx+x2﹣1），x∈（1，+∞），则h （1）=0，∵对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，∴对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，h'（x）=me x﹣（），则h'（1）=me﹣3若h'（1）＜0，即m＜，则存在x0∈（1，+∞），使得x∈（1，x0）时，h'（x）＜0，即h（x）在（1，x0）上单调递减，此时h（x）＜h（1）=0，不符合条件；若h'（1）≥0，即m≥，则h'（x）≥﹣﹣2x，令φ（x）=（x＞1），∵φ'（x）=＞＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（1）=0，即h'（x）≥φ（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，即对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，综上可得，m≥．[极坐标与参数方程]22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可．（2）参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义求解即可．【解答】解：（1）由曲线C的原极坐标方程可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，化成直角方程为y2=4x．…（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，…∵t1•t2=﹣15＜0，于是点P在AB之间，∴．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）≤6的解集．（Ⅱ）函数f（x）的图象与直线y=x有3个不同的交点，数形结合可得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+1，∴当x≤﹣1时，f（x）=﹣1，不可能非负．当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得x≥，于是≤x＜1．当x≥1时，f（x）=3＞0恒成立．∴不等式f（x）≥0的解集．…（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为a=x+|x﹣1|﹣|x+1|．令作出图象如右．…于是由题意可得﹣1＜a＜1．…。
【全国百强校】四川省绵阳中学2017届高三上学期入学考试理数(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合{}{}2|2,,|10x A y y x R B x x ==∈=-<，则AB =（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．()0,+∞ 【答案】C 【解析】考点：集合的运算. 2.已知复数312a ii+-是纯虚数，则实数a =（ ） A ．2- B ．4 C ．6- D ．6 【答案】D 【解析】 试题分析：由()()()()()52362121213213ia a i i i i a i i a ++-=+-++=-+为纯虚数，则6=a ，故选项为D. 考点：复数的运算. 3.设随机变量()2,4N ξ，若()()223P a P a ξξ>+=<-，则实数a 的值为（ ）A ． 1B ．53C ．5D ．9 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知随机变量()2,4N ξ，满足正态分布，对称轴为2=u ，()()223P a P a ξξ>+=<-，则：22322=-++a a ，解得35=a .故选：B ．考点：正态分布.4.已知函数()f x 的导函数()'f x ，且满足()()2'1ln f x xf x =+，则()'1f =（ ）A ．e -B ．1-C ． 1D ．e 【答案】B 【解析】试题分析：由()()2'1ln f x xf x =+，得()xf x f 1)1(2+'='，故()()1121+'='f f ，故()11-='f ，故选项为B.考点：导数的计算.5.设平面α的一个法向量为()11,2,2n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若αβ，则k =（ ）A ．2B ．4-C ．2-D ．4 【答案】D 【解析】考点：共线向量与共面向量.6.设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由“21x -<”得31<<x ，由220x x +->得1>x 或2-<x ，即“21x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件，故选：A ． 考点：充分条件与必要条件的判断.7.若变量,x y 满足约束条件13215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则42x y ω=的最大值是（ ）A ．100B ．240C ． 500D ．512 【答案】D 【解析】考点：（1）简单的线性规划；（2）有理数指数幂的化简.8.已知命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]0,4B ．()0,4C ． ()(),04,-∞+∞D ．(][),04,-∞+∞【答案】A 【解析】试题分析：命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<的否定为命题p ⌝：0,2≥++∈∀a ax x R x ，∵命题p 为假命题，∴命题p ⌝为真命题，即02≥++a ax x 恒成立，∴042≤-=∆a a ，解得40≤≤a ，故答案为：A. 考点：命题的真假判断与应用.【方法点睛】本题考查含量词的命题的否定形式、考查命题p 与命题p ⌝真假相反、考查二次不等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑．特称命题的否定为全称命题，将∃变为∀，结论否定写出命题p 的否定0,2≥++∈∀a ax x R x ；利用命题p 与命题p ⌝真假相反得到p ⌝为真命题；令判别式小于等于0求出a 即可．9.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则()|P B A =（ ）A ．12 B ．14 C ．16 D ．18【答案】A 【解析】考点：条件概率与独立事件.【方法点睛】本题考查条件概率，本题解题的关键是看出事件AB 同时发生的概率，正确使用条件概率的公式．本题是一个条件概率，即事件A 在另外一个事件B 已经发生条件下的发生概率，()()()A P AB P A B p =，第一次出现正面的概率是21，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是412121=⨯，代入条件概率的概率公式得到结果．10. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调 换方式有（ ）A ．38CB ． 3388C AC C ． 3282C CD ．383C 【答案】C 【解析】试题分析：从8人中任选3人有38C 种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有22A 种，故有2238A C 种．故选C ．考点：排列、组合的实际应用.11.如图，正方形1A BCD 折成直二面角A BD C --，则二面角A CD B --的余弦值是（ ）A ．13 BC ．12D【答案】B 【解析】则()0,0,0O ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0,0A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,22C ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22,0B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,22,0D ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,0,0是平面BCD 的一个法向量．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22,0,22，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,22,22，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0,22,22，设平面ACD 的法向量()z y x ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-0222202222z x y x ，即⎩⎨⎧==x z x y ，令1=x ，则1=y ，1=z ，解得()1,1,1=．从而3322322cos =⨯，二面角B CD A --的余弦值为33，故选：B.考点：二面角的平面角及其求法.【思路点晴】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，解答的关键是分别求出平面ACD 和平面BCD 的法向量，利用向量法是解决空间二面角大小的基本方法．由已知可得⊥AO 平面BCD ，则OC ，OA ，OD 两两互相垂直，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -，分别求出平面ACD 和平面BCD 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角B CD A --的余弦值．12.过点()2,1A 作曲线()33f x x x =-的切线最多有（ ）A ．3条B ．2条C ． 1条D ．0条 【答案】A 【解析】考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程.【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上点的切线方程，考查了利用函数的极值点的情况分析函数零点的个数，是中档题．设出切点坐标，求出切点处的导数，利用切点既在曲线上又在切线上，写出切线方程把A 的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程，再利用其导函数判断极值点，根据极值得到切点横坐标的个数，从而答案可求．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动, 则DC AP 的取值范围 是 ． 【答案】[]0,1 【解析】试题分析：以DA 所在的直线为x 轴，以所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．则()0,0,0D 、()0,1,0C 、()0,0,1A 、()0,1,1B 、()1,0,01D ．∴()0,1,0=、()1,1,11--=BD ．∵点P 在线段1BD 上运动，∴()λλλλ,,1--=⋅=BD ，且10≤≤λ．∴AP AB BP DC BP =+=+(),1,λλλ=--，∴[]1,01∈-=⋅λ，故答案为[]0,1．考点：平面向量数量积的运算.14.nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+312 的展开式中各项的系数之和为729, 则该展开式中2x 的系数为 . 【答案】16015.已知复数z x yi =+，且z -yx的最大值为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：复数z x yi =+且|z -()0,2为圆心，3为半径的圆，()3222=+-y x ．则yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设k x y =，即kx y =，3122≤+k k ，可得[]3,3-∈k ，则yx的最大值为：3．故答案为：3． 考点：复数的代数表示法及其几何意义. 16.已知实数,x y满足x y =-，则x y +的最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：∵x y =-，∴24231++≤+++=+y x y x y x ，则()()422++≤+y x y x ，解得：42≤+≤-y x ，∴y x +的最大值为4.故答案为：4.考点：基本不等式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛，复赛，甲、乙两个代表队，（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问 题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分 别为432,,543，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分. （1）求ξ的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率. 【答案】（1）分布列见解析，6133=ζE ；（2）1289.()41113111293105435435436020P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==; ()4314121322613205435435436030P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==; ()43224230543605P ξ==⨯⨯==.ξ的分布列为()13132133010203060203056E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）用A 表示“甲得30分乙得0分”, 用B 表示“甲得20分乙得10分”, 且,A B 互斥,又()33194601280P A ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭,()2233138144201280P B C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭,甲、乙两队得分总和为30分且甲获胜的概率为()()()9091280128P A B P A P B +=+==. 考点：（1）离散型随机变量的期望与方差；（2）古典概型及其概率计算公式；（3）离散型随机变量及其分布列.18.（本小题满分10分）在直角坐标系中, 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,过点()2,4P --的直线2:(4x l ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数) 与曲线C 相 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； （2）若,,PM MN PN 成等比数列, 求实数a 的值. 【答案】（1）()220,20y ax a x y =>--=；（2）1=a .【解析】试题分析：（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=，由2(4x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数)，消去参数t 可得所求；（2）将2(4x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)代入ax y 22=并整理可得t 得二次方程，由韦达定理可得21t t +和21t t ⋅的值，由等比中项可得PN PM MN =2，整体代入可得a 得方程，解方程可得．试题解析：（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=,得()220y ax a =>.由2(4x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数), 消去t 得20x y --=, ∴曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程分别是()220,20y ax a x y =>--=;考点：（1）直线的参数方程；（2）简单曲线的极坐标方程.19.（本小题满分12分）如图, 在四棱锥P ABCD -中, 平面PAD ⊥平面ABCD,,,,1,2,PA PD PA PD AB AD AB AD AC CD ⊥=⊥====（1）求证:PD ⊥ 平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ,使得BM 平面PCD ？若存在, 求AMAP的值；若不存在, 说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）33；（3）存在，41. 【解析】试题分析：（1）由已知结合面面垂直的性质可得⊥AB 平面PAD ，进一步得到PD AB ⊥，再由PA PD ⊥，由线面垂直的判定得到⊥PD 平面PAB ；（2）取AD 中点为0，连接CO ，PO ，由已知可得AD CO ⊥，AD PO ⊥．以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得()1,0,0P ，()0,1,1B ，()0,1,0-D ，()0,0,2C ，试题解析：（1）证明: 因为平面PAD ⊥平面ABCD ,,AB AD AB ⊥∴⊥平面,PAD AB PD ∴⊥, 又因为,PA PD PD ⊥∴⊥平面PAB .（2）如图, 取AD 的中点O ,连接,.,,PO CO PA PD PO AD =∴⊥又因为PO ⊂平面PAD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,PO ∴⊥平面ABCD ,CO ⊂平面ABCD ,,PO CO AC CD CO AD ∴⊥=∴⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -,由题意()()()()()0,1,0,1,1,0,2,0,0,0,1,0,0,0,1A B C D P -.设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =,则00n PD n PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即020y z x z --=⎧⎨-=⎩,令2z =,则()1,2,1,2,2x y n ==-∴=-,又()1,1,1,cos n PB PB n PB n PB =-∴<>==-, 所以直线PB 与平面PCD . 考点：（1）线面平行的判定；（2）直线与平面所成的角；（3）线面平行的性质.【方法点睛】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．把线面的关系转化为向量之间的关系，直线与平面所成的角的正弦值即直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值；线平行于面即线的方向向量与面的法向量垂直，等价于其数量积为0.20.（本小题满分12分）已知()()221ln ,x f x a x x a R x -=-+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时, 证明()()3'2f x f x >+对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（1）当0a ≤时,()f x 在()0,1内单调递增,在()1,+∞内单调递减,当02a <<时,()f x 在()0,1内单调递增,在⎛ ⎝内单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增,当2a =时,()fx 在()0,+∞内单调递增, 当2a >时,()f x在⎛ ⎝内单调递增,在⎫⎪⎪⎭内单调递减, 在()1,+∞单调递增；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，然后对a 分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（2）构造函数()()()x f x f x F '-=，令()x x x g ln -=，()121332--+=xx x x h ．则 ()()()()()x h x g x f x f x F +='-=，利用导数分别求()x g 与()x h 的最小值得到()23>x F 恒成立．由此可得()()23+'>x f x f 对于任意的[]2,1∈x 成立． 试题解析：（1）()f x 的定义域为()()()()223321220,,'ax x a f x a x x x x --+∞=--+=,当0a ≤时,()0,1x ∈ 时,()()'0,f x f x > 单调递增, ()1,x ∈+∞时, ()()'0,f x f x < 单调递减, 当0a >时,()()312'a x f x x x x a ⎛⎫⎛-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝.①02a <<时1>, 当()0,1x ∈或x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时,()()'0,f x f x > 单调递增, 当x ⎛∈ ⎝时, ()()'0,f x f x < 单调递减.②2a =时1=, 在()0,x ∈+∞内, ()()'0,f x f x ≥ 单调递增.③当2a >时,01<<, 当x ⎛∈ ⎝或()1,x ∈+∞时, ()()'0,f x f x > 单调递增, 当x ⎫∈⎪⎪⎭时, ()()'0,f x f x < 单调递减.（2）证明: 由（1）知1a =时,()()[]2232321122312'ln 1ln 1,1,2x f x f x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫-=-+---+=-++--∈ ⎪⎝⎭, 设()()[]23312ln ,1,1,2g x x x h x x x x x=-=+--∈,则()()()()'f x f x g x h x -=+,由()1'0x g x x-=≥,可得()()11g x g ≥=,当且仅当1x =时取得等号, 又()22326'x x h x x --+=,考点：（1）利用导函数求闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.：。
2017届四川绵阳中学高三上学期入学考试数学(理)试卷-b624617d573542cab20b0219577f2192
2017届四川绵阳中学高三上学期入学考试数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设集合2{|2,},{|10},x A y y x R B x x ==∈=-<则A B ⋃=A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞ 2．已知复数312a i i +-是纯虚数，则实数a ＝（ ） A ．﹣2B ．6C ．﹣6D ．4 3．设随机变量()2,4N ξ，若()()223P a P a ξξ>+=<-，则实数a 的值为（ ） A ． 1 B ．53C ．5D ．9 4．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f 为（ ） A ．e - B ．-1 C ．1 D ．e5．设平面α的一个法向量为1(1,2,2)n =-，平面β的一个法向量为2(2,4,)n k =--，若//αβ，则k = ( )A ．2B ．-4C ．-2D ．46．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若变量,x y 满足约束条件13215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则42x y ω=的最大值是（ ）A ．100B ．240C ． 500D ．5128．已知命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]0,4B ．()0,4C ．()(),04,-∞+∞D ．(][),04,-∞+∞9．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则()|P B A =（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 10．8个人坐成一排，现要选出3人调换他们每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（ ）A ．C 83B ．C 83A 83 C ．C 83A 22D ．3C 8311．如图正方形1A BCD 折成直二面角A BD C --，则二面角A CD B --的余弦值为（ ）A ．13BC ．12D ．212．过点A(2,1)作曲线3()3f x x x =-的切线最多有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条 13．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动, 则·DC AP 的取值范围是 ．14．n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+312 的展开式中各项的系数之和为729, 则该展开式中2x 的系数为 .15．已知复数z x yi =+，且2z -=y x 的最大值为__________．16．已知实数,x y 满足x y =，则x y +的最大值为 ． 17．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为34，45，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示乙队的总得分．（Ⅰ）求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．18．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线2:sin2cos(0)C a aρθθ=>，过点(2,4)P--的直线l的参数方程为222()24.2x tty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数．直线l与曲线C分别交于M、N．(1)求a的取值范围；(2)若PM、MN、PN成等比数列，求实数a的值．19．如图,在四棱锥P ABCD-中, 平面PAD⊥平面ABCD, ,,,1,2,5PA PD PA PD AB AD AB AD AC CD⊥=⊥====.（1）求证:PD⊥平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD？若存在, 求AMAP的值；若不存在, 说明理由.20．已知()221()ln,xf x a x x a Rx-=-+∈．（Ⅰ）讨论()f x的单调性；（Ⅱ）当1a=时，证明()3()'2f x f x+＞对于任意的[]1,2x∈成立．。
四川省绵阳中学高三上学期入学考试(数学理)
四川省绵阳中学高三上学期入学考试（数学理）第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题（本大题共12小题，第小题4分，共计12分）1. 复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A ．－3－4iB ．－3+4iC ．3－4iD ．3+4i2. 设f (x )为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→-+=，则曲线y =f (x )在点（1，f (1)）处的切线的斜率为（ ） A ．2B ．－2C ．1D ．－13. 集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{ x ∈R ｜x 2≤9}，则P ∩M ＝（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{x | 0≤x <3}D ．{x | 0≤x ≤3}4. 2112lim 11x x x →⎛⎫+⎪--⎝⎭等于（ ）A ．12B ．-2C ．－12D ．05. 已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝（12）x，当x <4时，f (x )＝f (x+1)，则f (2+log 23)等于（ ）A ．124B ．112C ．18D ．386. 函数f (x )＝()()x a x b x c---在点x =1和x =2处的极限值都为0，而在点x =-2处不连续，则x · f (x )<0的解集是（ ） A ．（-2，0）∪（1，2） B ．（-2，2）C ．（－∞，-2）∪（1，2）D ．（-2，0）∪（2，+∞）7. 设函数f (x )=x 3－22x －2x +5，若对任意x ∈[－1，2]，都有f (x )>m ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－1，0）B ．（－1，+∞）C ．（1，2）D ．（－∞，72） 8. 已知（2x +1）n的展开式中，二项式系数和为a ，各项系数和为b ，则32323lim 2n a b a b →+∞-+等于（ ）A ．12B ．32-C ．－3D ．39. 数列1，112+，1123++， (1123)+++…+，…的前n 项的和为（ ） A ．221n n + B ．21n n + C ．21n n ++ D ．21nn +10. 设随机变量ξ~N （u ，σ2），且二次方程x 2+4x +ξ=0无实根的概率为12，则u 的值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．211. 若f (x )=－12x 2+bln (x +2)在（－1，+∞）上为减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[－1，+∞）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－1）D ．（－∞，－1]12. 若对可导函数f (x )，g (x )，当x ∈[0,1]时，恒有()()()()f x g x f x g x ''<，已知α、β是一个锐角三角形的两个内角，且α≠β，记F （x ）=()()f xg x (g (x ) ≠0)，则下列不等式正确的是（ ） A ．F （sin α）<F (sin β) B ．F （cos α）> F （sin β） C ．F (cos α)> F (cos β)D ．F (cos α)< F (cos β)第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共计16分）13. 已知函数f (x )= 2644(2)42(2)x x x x ax +⎧-<⎪--⎨⎪≥⎩在点x =2处连续，则f ()=14. 随机变量ξ的分布列如右表：其中a 、b 、c 成等差数列，若E ξ＝13，则D ξ的值是15. 已知函数f (x )= cos sin 4f x x π⎛⎫'+⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 16. 已知函数x(21)72(1)()(1)a x a x f x ax -+-<⎧=⎨≥⎩，在（－∞，+∞）上单调递减，则实数a 的取值范围是 三、解答题：（本大题共5小题，共计56分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。
2017届四川省绵阳中学高三上学期第三次月考理科数学试题及答案
绵阳中学2017级高三第三次月考（12）理科数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg 4x x +>（0x >） B ．1sin 2sin x x+≥（,x k k π≠∈Z ） C ．212||x x +≥（x ∈R ）D ．2111x >+ （x ∈R ） 2．已知命题:p 12,x x ∀∈R ，2121(()())()0f x f x x x --≥，则p ⌝是（ ）A ．12,x x ∃∈R ，2121(()())()0f x f x x x --≤B ．12,x x ∀∈R ，2121(()())()0f x f x x x --≤C ．12,x x ∃∈R ，2121(()())()0f x f x x x --<D ．12,x x ∀∈R ，2121(()())()0f x f x x x --< 3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 所含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．105．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ） A ．12BC ．1D6．函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）7．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元．每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中．要求每天消耗A ．B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中。
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绝密★启用前【百强校】2017届四川绵阳中学高三上学期入学考试数学（理）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：123分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、过点作曲线的切线最多有（ ）A ．条B ．条C ．条D ．条2、如图，正方形折成直二面角，则二面角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．3、8个人坐成一排，现要调换其中个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（）A． B． C． D．4、把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现正面”为事件，则（）A． B． C． D．5、已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6、若变量满足约束条件，则的最大值是（）A．100 B．240 C．500 D．5127、设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件8、设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（）A． B． C． D．9、已知函数的导函数，且满足，则（）A． B． C． D．11、已知复数是纯虚数，则实数（）A． B． C． D．12、设集合，则（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知实数满足，则的最大值为 ．14、已知复数，且，则的最大值为 ．15、 的展开式中各项的系数之和为, 则该展开式中的系数为 .16、正方体的棱长为,若动点在线段上运动, 则的取值范围 是 ．三、解答题（题型注释）17、已知.（1）讨论的单调性；（2）当时, 证明对于任意的成立.18、如图,在四棱锥中, 平面平面,.（1）求证: 平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.19、在直角坐标系中, 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线,过点的直线为参数) 与曲线相交于两点.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）若成等比数列, 求实数的值.20、某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛，复赛，甲、乙两个代表队，（每队人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得分，答错得分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分.（1）求的分布列和数学期望； （2）求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率.参考答案1、A2、B3、C4、A5、A6、D7、A8、D9、B10、B11、D12、C13、414、15、16016、17、（1）当时,在内单调递增,在内单调递减,当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,当时,在内单调递增, 当时,在内单调递增,在内单调递减, 在单调递增；（2）证明见解析.18、（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.19、（1）；（2）.20、（1）分布列见解析，；（2）.【解析】1、试题分析：设设切点为，则，则切线方程，代入得，．令，则．由，得或，且当时，，时，．所以方程有个解，则过点作曲线的切线的条数是条．故选A．考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程.【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上点的切线方程，考查了利用函数的极值点的情况分析函数零点的个数，是中档题．设出切点坐标，求出切点处的导数，利用切点既在曲线上又在切线上，写出切线方程把的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程，再利用其导函数判断极值点，根据极值得到切点横坐标的个数，从而答案可求．2、试题分析：∵正方形的对角线为棱折成直二面角，∴平面平面，连接，，相交于，则，∵平面平面，平面，∴平面，则，，两两互相垂直，如图，以为原点，建立空间直角坐标系．设正方形的棱长为，则，，，，，是平面的一个法向量．，，，设平面的法向量，则，即，即，令，则，，解得．从而，二面角的余弦值为，故选：B.考点：二面角的平面角及其求法.【思路点晴】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，解答的关键是分别求出平面和平面的法向量，利用向量法是解决空间二面角大小的基本方法．由已知可得平面，则，，两两互相垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角的余弦值．3、试题分析：从人中任选人有种，人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有种，故有种．故选C．考点：排列、组合的实际应用.4、试题分析：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，∴．故选：A．考点：条件概率与独立事件.【方法点睛】本题考查条件概率，本题解题的关键是看出事件同时发生的概率，正确使用条件概率的公式．本题是一个条件概率，即事件在另外一个事件已经发生条件下的发生概率，，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，代入条件概率的概率公式得到结果．5、试题分析：命题的否定为命题：，∵命题为假命题，∴命题为真命题，即恒成立，∴，解得，故答案为：A.考点：命题的真假判断与应用.【方法点睛】本题考查含量词的命题的否定形式、考查命题与命题真假相反、考查二次不等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑．特称命题的否定为全称命题，将变为，结论否定写出命题的否定；利用命题与命题真假相反得到为真命题；令判别式小于等于求出即可．6、试题分析：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得，而，令，则，当直线过时，最大，，∴，故答案为：D．考点：（1）简单的线性规划；（2）有理数指数幂的化简.7、试题分析：由“”得，由得或，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．考点：充分条件与必要条件的判断.8、试题分析：平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，∵，由题意可得，∴．故选：D．考点：共线向量与共面向量.9、试题分析：由，得，故，故，故选项为B.考点：导数的计算.10、试题分析：由题意可知随机变量，满足正态分布，对称轴为，，则：，解得.故选：B．考点：正态分布.11、试题分析：由为纯虚数，则，故选项为D.考点：复数的运算.12、试题分析：由得，，，得，故，故选项为C.考点：集合的运算.13、试题分析：∵，∴，则，解得：，∴的最大值为.故答案为：. 考点：基本不等式.14、试题分析：复数且|，复数的几何意义是复平面内的点以为圆心，为半径的圆，．则的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设，即，，可得，则的最大值为：．故答案为：．考点：复数的代数表示法及其几何意义.15、试题分析：∵的展开式中各项系数之和为，令，得，解得．∵的通项公式为，由，得．∴该展开式中的系数为．故答案为：．考点：二次项系数的性质.16、试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．∴，∴，故答案为．考点：平面向量数量积的运算.17、试题分析：（1）求出原函数的导函数，然后对分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（2）构造函数，令，．则，利用导数分别求与的最小值得到恒成立．由此可得对于任意的成立．试题解析：（1）的定义域为,当时,时,单调递增, 时,单调递减, 当时,.①时,,当或时,单调递增, 当时,单调递减.②时,,在内, 单调递增.③当时,, 当或时,单调递增, 当时,单调递减.综上所述, 当时,在内单调递增, 在内单调递减,当时,在内单调递增, 在内单调递减, 在内单调递增,当时,在内单调递增, 当时, 在内单调递增, 在内单调递减, 在单调递增.（2）证明: 由（1）知时,,设,则, 由,可得,当且仅当时取得等号, 又,设,则在单调递减, 因为,使得时,时,在内单调递增, 在内单调递减, 由,可得,当且仅当时取得等号, 所以,即对于任意的成立.考点：（1）利用导函数求闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.18、试题分析：（1）由已知结合面面垂直的性质可得平面，进一步得到，再由，由线面垂直的判定得到平面；（2）取中点为，连接，，由已知可得，．以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，，，，进一步求出向量、、的坐标，再求出平面的法向量，设与平面的夹角为，由，求得直线与平面所成角的正弦值；（3）假设存在点使得平面，设，，由可得，，由平面，可得，由此列式求得当时，点即为所求．试题解析：（1）证明: 因为平面平面,平面,又因为平面.（2）如图, 取的中点,连接又因为平面,平面平面,平面,平面,.如图建立空间直角坐标系,由题意.设平面的法向量为,则,即,令,则,又,所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设是棱上一点，则存在使得，因此点平面平面，当且仅当，即，解得，所以在棱上存在点使得平面，此时.考点：（1）线面平行的判定；（2）直线与平面所成的角；（3）线面平行的性质. 【方法点睛】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．把线面的关系转化为向量之间的关系，直线与平面所成的角的正弦值即直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值；线平行于面即线的方向向量与面的法向量垂直，等价于其数量积为.19、试题分析：（1）把代入，由为参数)，消去参数可得所求；（2）将为参数)代入并整理可得得二次方程，由韦达定理可得和的值，由等比中项可得，整体代入可得得方程，解方程可得．试题解析：（1）把代入,得.由为参数), 消去得, 曲线的直角坐标方程与直线的普通方程分别是;（2）将为参数) 代入,整理得,设是该方程的两根, 则,.考点：（1）直线的参数方程；（2）简单曲线的极坐标方程.20、试题分析：（1）由题意知，的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和；（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”，表示“甲队得分等于乙队得分等于”，可知、互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率．试题解析：（1）由题意知,的所有可能取值为. ;;;.的分布列为.（2）用表示“甲得分乙得分”, 用表示“甲得分乙得分”, 且互斥,又,,甲、乙两队得分总和为分且甲获胜的概率为.考点：（1）离散型随机变量的期望与方差；（2）古典概型及其概率计算公式；（3）离散型随机变量及其分布列.【方法点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，尽量注意概率之和为，防止出现错误．。