2017年春季新版北师大版八年级数学下学期4.3、公式法同步练习6
北师大版数学八年级下册：4.3 公式法 同步练习(附答案)
3公式法第1课时运用平方差公式因式分解知识点1直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．2a－b2C．a2－b2D．－a2－b22．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于（）A．9 B．4 C．－1 D．－23．把多项式(x－1）2－4因式分解的结果是（）A．(x＋3）(x＋1）B．(x＋1）(x－3）C．(x－1）(x＋3）D．(x－5）(x＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x2＝；(2）(2020·张家界）x2－9＝；(3）(2019·黔东南）9x2－y2＝．5．把下列各式因式分解：(1）9m2－4n2；(2）－16＋a2b2；(3）964m2－n2；(4）(x－2y）2－4y2.知识点2先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a2b－b3因式分解，结果正确的是（）A．b(a＋b）(a－b）B．b(a－b）2C．b(a2－b2）D．b(a＋b）27．因式分解：(1）(2020·济宁）a 3－4a ＝ ；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝ ；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝ ．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝ ．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为 .易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝ ．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A ．(a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2B ．a(a －b ）＝a 2－abC ．(a －b ）2＝a 2－b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b ）(a －b ）14．对于任意整数n ，多项式(n ＋7）2－(n －3）2的值都能（ ）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝；(2）－9x2＋(x－y）2＝；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；(2）0.36x2－49y2；(3）a3b－16ab；(4）3m4－48；(5）x n－x n＋2；(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是（）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是（）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝；(2）a2－2ab＋b2＝．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋14；(2）4x2＋y2－4xy；(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是（）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝．9．把下列各式因式分解：(1）－x2＋6xy－9y2；(2）a3＋9ab2－6a2b.易错点对完全平方式理解不透10．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为（）A．100 B．150C．10 000 D．22 50012．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有．①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.13．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a，b的多项式的因式分解：．15．把下列各式因式分解：(1）(a－b）2＋4ab；(2）－2a3b2＋8a2b2－8ab2；(3）4x2－(x2＋1）2；(4）25－30(x－y）＋9(x－y）2；(5）(x2－2xy＋y2）＋(－2x＋2y）＋1.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果 ；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x ）(x 2－2x ＋2）＋1进行因式分解．18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x 2＋4x ＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝(x ＋2）2＋1.∵(x ＋2）2≥0，∴当x ＝－2时，(x ＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x ＋2）2＋1≥1.∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x ＝ 时，代数式x 2－6x ＋12的最小值是 ；(2）知识运用：若y ＝－x 2＋2x －3，当x ＝1时，y 有最大值(填“大”或“小”），这个值是 ；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝；(2）x2－6x＋8＝；(3）x2＋2x－3＝；(4）x2－6x－27＝．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝；(2）3x2－5x＋2＝．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝；(2）2x2－10x－12＝．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋）－(b3＋）＝a2( ）－(a＋b）＝( ）(a＋b）＝．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；(2）a2＋b2－9＋2ab.4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是．参考答案：第1课时 运用平方差公式因式分解知识点1 直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(C ）A ．a 2＋b 2B ．2a －b 2C ．a 2－b 2D ．－a 2－b 22．已知多项式x 2＋a 能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于(C ）A ．9B ．4C ．－1D ．－23．把多项式(x －1）2－4因式分解的结果是(B ）A ．(x ＋3）(x ＋1）B ．(x ＋1）(x －3）C ．(x －1）(x ＋3）D ．(x －5）(x ＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x 2＝(1－x ）(1＋x ）；(2）(2020·张家界）x 2－9＝(x ＋3）(x －3）；(3）(2019·黔东南）9x 2－y 2＝(3x ＋y ）(3x －y ）．5．把下列各式因式分解：(1）9m 2－4n 2；解：原式＝(3m ＋2n ）(3m －2n ）．(2）－16＋a 2b 2；解：原式＝(ab ＋4）(ab －4）．(3）964m 2－n 2； 解：原式＝(38m ＋n ）(38m －n ）．(4）(x －2y ）2－4y 2.解：原式＝(x －2y ＋2y ）(x －2y －2y ）＝x(x －4y ）．知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a 2b －b 3因式分解，结果正确的是(A ）A ．b(a ＋b ）(a －b ）B ．b(a －b ）2C ．b(a 2－b 2）D ．b(a ＋b ）27．因式分解： (1）(2020·济宁）a 3－4a ＝a(a ＋2）(a －2）；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝3(x ＋3y ）(x －3y ）；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝mn(m ＋n ）(m －n ）．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；解：原式＝m(4m ＋n ）(4m －n ）．(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．解：原式＝(a －b ）(a ＋2）(a －2）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝3．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为3a －4.易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －2）．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D ）A．(a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b）＝a2－abC．(a－b）2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b）(a－b）14．对于任意整数n，多项式(n＋7）2－(n－3）2的值都能(A）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝(x＋4）(x－4）；(2）－9x2＋(x－y）2＝－(4x－y）(2x＋y）；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝(a－2）(m＋1）(m－1）．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为12．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3）(x－3）．(2）0.36x2－49y2；解：原式＝(0.6x）2－(7y）2＝(0.6x＋7y）(0.6x－7y）．(3）a3b－16ab；解：原式＝ab(a2－16）＝ab(a＋4）(a－4）．(4）3m4－48；解：原式＝3(m4－16）＝3(m2＋4）(m2－4）＝3(m2＋4）(m＋2）(m－2）．(5）x n－x n＋2；解：原式＝x n(1－x2）＝x n(1＋x）(1－x）．(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；解：原式＝[(y＋2x）＋(x＋2y）][(y＋2x）－(x＋2y）]＝(y＋2x＋x＋2y）(y＋2x－x－2y）＝(3x＋3y）(x－y）＝3(x＋y）(x－y）．(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．解：原式＝a2(a－b）－b2(a－b）＝(a2－b2）(a－b）＝(a－b）2(a＋b）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？解：36和2 020都是和谐数．理由如下：设a＝(n＋2）2－n2＝(n＋2－n）(n＋2＋n）＝2(2n＋2）＝4(n＋1），令36＝4(n＋1），解得n＝8.∴36＝102－82.同理：令2 020＝4(n＋1），解得n＝504.∴2 020＝5062－5042.第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是(D）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝(m＋2）2；(2）a2－2ab＋b2＝(a－b）2．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋1 4；解：原式＝(y＋1 2）2.(2）4x2＋y2－4xy；解：原式＝(2x）2＋y2－2·2x·y＝(2x－y）2.(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.解：原式＝(m－n－3）2.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝12(2x－1）2；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝n(m＋n）2；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝3a(a－1）2．9．把下列各式因式分解：(1）－x 2＋6xy －9y 2；解：原式＝－(x 2－6xy ＋9y 2）＝－(x －3y ）2.(2）a 3＋9ab 2－6a 2b.解：原式＝a(a 2＋9b 2－6ab ）＝a(a －3b ）2.易错点 对完全平方式理解不透10．在多项式4x 2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是±4x 或4x 4.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为(C ）A ．100B ．150C ．10 000D ．22 500 12．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．①－a 2＋b 2；②4x 2＋4x ＋1；③－x 2－y 2；④－x 2＋8x －16；⑤x 4－1；⑥m 2＋4m －4.13．若m ＝2n ＋1，则m 2－4mn ＋4n 2的值是1．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a ，b 的多项式的因式分解：ab ＋12(a 2＋b 2）＝12(a ＋b ）2．15．把下列各式因式分解：(1）(a －b ）2＋4ab ；解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b ）2.(2）－2a 3b 2＋8a 2b 2－8ab 2；解：原式＝－2ab 2(a 2－4a ＋4）＝－2ab 2(a －2）2.(3）4x 2－(x 2＋1）2；解：原式＝(2x ＋x 2＋1）(2x －x 2－1）＝－(x ＋1）2(x －1）2.(4）25－30(x －y ）＋9(x －y ）2；解：原式＝52－2×5×3(x －y ）＋[3(x －y ）]2＝[5－3(x －y ）]2＝(5－3x ＋3y ）2.(5）(x 2－2xy ＋y 2）＋(－2x ＋2y ）＋1.解：原式＝(x －y ）2－2(x －y ）＋1＝(x －y －1）2.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：当a ＋b ＝－3，ab ＝1时，原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2） ＝12ab(a ＋b ）2 ＝12×1×(－3）2 ＝92.17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果(x－2）4；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x）(x2－2x＋2）＋1进行因式分解．解：原式＝(x2－2x）2＋2(x2－2x）＋1＝(x2－2x＋1）2＝(x－1）4.18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b）2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2）2＋1.∵(x＋2）2≥0，∴当x＝－2时，(x＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x＋2）2＋1≥1.∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x＝3时，代数式x2－6x＋12的最小值是3；(2）知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝1时，y有最大值(填“大”或“小”），这个值是－2；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．解：∵－x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2－2x－5＝(x－1）2－6.∵(x－1）2≥0，∴(x－1）2－6≥－6.∴当x＝1时，y＋x的最小值为－6.第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝(x＋1）(x＋4）；(2）x2－6x＋8＝(x－2）(x－4）；(3）x2＋2x－3＝(x＋3）(x－1）；(4）x2－6x－27＝(x－9）(x＋3）．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝(2x＋1）(x＋1）；(2）3x2－5x＋2＝(x－1）(3x－2）．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝(x＋2）(x－4）；(2）2x2－10x－12＝2(x＋1）(x－6）．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b）－(b3＋ab2）＝a2(a＋b）－b2(a＋b）＝(a2－b2）(a＋b）＝(a－b）(a＋b）2．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；解：原式＝(4x2－y2）－(2x＋y）＝(2x－y）(2x＋y）－(2x＋y）＝(2x＋y）(2x－y－1）．(2）a2＋b2－9＋2ab.解：原式＝a2＋2ab＋b2－9＝(a＋b）2－32＝(a＋b＋3）(a＋b－3）．4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有(D）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；解：原式＝x(x2－7x－30）＝x(x＋3）(x－10）．(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；解：原式＝(a－1）2＋4(a－1）＝(a－1）(a－1＋4）＝(a－1）(a＋3）．(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；解：原式＝(m2＋2m－8）(m2＋2m＋1）＝(m＋4）(m－2）(m＋1）2.(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.解：原式＝[(a－b）－2(a＋b）][(a－b）＋5(a＋b）]＝(－a－3b）(6a＋4b）＝－2(a＋3b）(3a＋2b）．6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b）2＋(b－c）2＝0.∴(a－b）2＝0，(b－c）2＝0，得a＝b且b＝c，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是直角三角形．。
北师大版八年级数学下册 4.3公式法 同步练习试题
4.3公式法 同步练习题一、选择题1．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2+y 2=（x+y ）（x －y ）B ．x 2－y 2=（x+y ）（x －y ）C ．x 2+y 2=（x+y ）2D ．x 2－y 2=（x －y ）22．下列各式不是完全平方式的是（ ）A ．x 2+4x+1B ．x 2－2xy+y 2C ．x 2y 2+2xy+1D ．m 2－mn+n 2 3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．m 2－mn+n 2B ．（a+b ）2－4abC ．x 2－2x+D ．x 2+2x －1 4．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4－■=（x 2+4）（x+2）（x －▲） 中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，85．若a+b=4，则a 2+2ab+b 2的值是（ ）A ．8B ．16C ．2D ．4二、填空题6．分解因式：a 3－4a=______．7．已知x 2－y 2=69，x+y=3，则x －y=______．8．把a 2b+b 3－2ab 2分解因式的结果是______．9．请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果___________．三、计算题10．分解因式：（x 2+4）2－16x 2．141411．已知a，b，c为 ABC的三条边长，且b2+2ab=c2+2ac，试判断 ABC的形状．12．在边长为179m的正方形农田里，修建一个边长为21m的正方形建筑，问所剩农田为多少平方米？提高题四、解答题13.若a+b=1，ab=－1，求a2+b2的值．14.若9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4=0，求m+n+p的值．15.若（1012+25）2－（1012－25）2=10n，求n．16.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4－y4因式分解的结果是（x－y）·（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是x－y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x=10，y=10时， 用上述方法产生的密码是_________．（写出一个即可）17．多项式4x2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是_______．（填上一个你认为正确的即可）18.是否存在这样一个满足下列条件的正整数，当它加上98 时是一个完全平方数，当它加上121时是另一个完全平方数，若存在，请求出该数；若不存在，请说明理由．19.已知a －b=，ab=，求－2a 2b 2+ab 3+a 3b 的值．20．（阅读理解题）观察下面计算过程：（1－）（1－）=（1－）（1+）（1－）（1+）=×××=×； （1－）（1－）（1－）=×××××=×； （1－）（1－）（1－）（1－）=×××××××=×；… 你发现了什么规律？用含n 的式子表示这个规律，并用你发现的规律直接写出（1－）（1－）（1－）（1－）（1－）…（1－）的值．121821221312121313123223431243212213214123223433454125421221321421512322343345445651265212213214212007参考答案一、1．B2．A3．B4．B5．B二、6．a（a+2）（a－2）7．238．b（a－b）29．am2+2am+a=a（m+1）2三、10．解：（x2+4）2－16x2=（x2+4）2－（4x）2=（x2+4+4x）（x2+4－4x）=（x+2）2（x－2）2．11．解：因为b2+2ab=c2+2ac，所以b2+2ab+a2=c2+2ac+a2，所以（a+b）2=（a+c）2．因为a，b，c为三角形三边，所以a+b=a+c．所以b=c．所以 ABC为等腰三角形．12．解：1792－212=（179+21）×（179－21）=200×158=31600（m2）13．解：a2+b2=（a+b）2－2ab．因为a+b=1，ab=－1，所以a2+b2=12－2×（－1）=3．14．解：因为9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4=（9m2－12mn+4n2）+（4n2－4np+p2）+（p2－4p+4）= （3m－2n）2+（2n－p）2+（p－2）2=0．所以 所以 所以m+n+p=+1+2=． 15．解：（1012+25）2－（1012－25）2=（1012+25+1012－25）·（1012+25－1012+25）=2×1012×50=1014=10n ．所以n=14．16．103010或301010或101030解：4x 3－xy 2=x （4x 2－y 2）=x （2x+y ）（2x －y ）．当x=10，y=10时，2x+y=30，2x －y=10．所以x （2x+y ）（2x －y ）103010，（2x+y ）（2x －y ）301010（2x －y ）x （2x+y ）101030．17．±4x 或4x 4或－1或－4x 218．解：假设存在这样的正整数m ，由题意得m+98=x 2，m+121=y 2， ． － 得y 2－x 2=23．所以（y+x ）（y －x ）=23×1．只有当x+y=23，y －x=1时， 成立，即 解得 所以m=x 2－98=112－98=121－98=23．19.解：－2a 2b 2+ab 3+a 3b=－ab （2ab －b 2－a 2）=ab （b 2－2ab+a 2）=ab （a －b ）2． 当a －b=，ab=时，原式=ab （a －b ）2=×（）2=×．320,20,20.m n n p p -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩2,31,2.m n p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩23113⇒⇒⇒23,1.x y y x +=⎧⎨-=⎩1112.x y =⎧⎨=⎩121818121811432=20．解：（1－）（1－）…（1－）=×××…××=×=． 当n=2007时，上式=．21221321n 1232231n n -1n n +121n n +12n n +200711004220072007+=⨯。
北师大版初中数学八年级下册《4.3 公式法》同步练习卷(含答案解析
北师大新版八年级下学期《4.3 公式法》同步练习卷一．填空题（共60小题）1．将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为．2．a+b=0，ab=﹣7，则a2b+ab2=．3．已知a，b，c为三角形ABC的三边，且a4﹣b4=c2（a2+b2），则三角形ABC为三角形4．在实数范围内因式分解：2x2﹣4xy﹣3y2=．5．分解因式：8a2﹣8a3﹣2a=．6．分解因式：a2b﹣8ab+16b=．7．把多项式2a3﹣4a2+2a分解因式的结果是．8．把多项式2x2y﹣16xy+32y分解因式的结果是．9．因式分解：﹣3ma2+12ma﹣12m=．10．已知xy=，x+y=5，则2x3y+4x2y2+2xy3=．11．因式分解：2x3﹣4x2+2x=．12．分解因式：﹣xy2+4x=．13．把多项式m3﹣16m分解因式的结果是．14．分解因式：（1）ab2﹣2ab+a=．（2）a2﹣b2﹣2b﹣1=．15．分解因式：16x4﹣1=；﹣3x2+6xy﹣3y2=．16．将多项式xy2﹣16x因式分解；其结果是．17．因式分解：（a+b）2﹣64=．18．分解因式：1﹣16n2=．19．因式分解：3ya2﹣6ya+3y=．20．若x2+mx+16可以用完全平方公式进行分解因式，则m的值等于．21．如果x2+ax+9=（x+3）2，那么a的值为．22．已知y2+my+121=（y+n）2，则n=．23．因式分解4x2+12xy+9y2=．24．分解因式ax2﹣9ay2的结果为．25．计算50×1252﹣50×252的结果是．26．已知x+y=0.2，2x+3y=2.2，则x2+4xy+4y2=．27．多项式x2+1加上一个单项式后，可以分解因式，那么加上的单项式可以是（只需填写二个）．28．若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为．29．若二次三项式x2+ax﹣6可分解为（x+2）（x+b），则a+b=．30．分解因式xy2+4xy+4x=．31．分解因式：a2﹣=；32．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足等式3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，则该三角形是三角形．33．分解因式：x4﹣2x2y2+y4=．34．因式分解：2m2n﹣4mn+2n=．35．分解因式：x3y﹣4xy=；不等式组的解集是36．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足a2﹣6a+b2﹣4b+13=0，c为奇数，则△ABC的周长为．37．已知a=2018x+2017，b=2018x+2018，c=2018x+2019，则多项式a2+b2+c2﹣ab ﹣bc﹣ac=．38．分解因式：m2n﹣4n=．39．若关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解，则常数m 的值为．40．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：a2+3ab+2b2=．41．因式分解：2a2b﹣8ab+8b=．42．把多项式2a3﹣18ab2分解因式的结果是．43．因式分解：6x3y2﹣24xy4=．44．分解因式：2x2﹣8xy﹣10y2=．45．分解因式：3x2﹣12xy+12y2=．46．分解因式：n2（x﹣y）﹣9（x﹣y）=．47．分解因式：4ab3﹣ab=．48．把代数式2x3﹣8x分解因式为．49．已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2018=．50．因式分解：4ax2﹣4ay2=．51．在实数范围内分解因式：x5﹣9xy4=．52．已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+1=．53．把3a2﹣12分解因式为．54．分解因式3a2﹣3的结果是．55．因式分解：（a+3）（a﹣3）﹣5（a+1）=．56．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则=．57．因式分解：x2+14x+49=．58．因式分解：m3+2m2x+mx2=．59．把多项式9x3﹣x分解因式的结果是．60．分解因式3a2﹣3b2=．北师大新版八年级下学期《4.3 公式法》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共60小题）1．将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为．【分析】根据平方差公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2=，故答案为：，【点评】本题考查了实数范围内怎样分解因式，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式是关键．2．a+b=0，ab=﹣7，则a2b+ab2=0．【分析】根据a+b=0，ab=﹣7，对题目中的式子因式分解即可解答本题．【解答】解：∵a+b=0，ab=﹣7，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣7×0=0，故答案为：0．【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解解答．3．已知a，b，c为三角形ABC的三边，且a4﹣b4=c2（a2+b2），则三角形ABC为直角三角形【分析】首先将等式的左边利用公式法因式分解，然后移项后提取公因式，根据乘积为0的条件确定三边的关系，从而可以确定三角形的形状．【解答】解：等式左边因式分解得：（a2﹣b2）（a2+b2）=c2（a2+b2），移项得：（a2﹣b2）（a2+b2）﹣c2（a2+b2）=0，所以三角形是直角三角形，提取公因式得：（a2+b2）（a2﹣b2﹣c2）=0，得：a2+b2=0或（a2﹣b2﹣c2）=0，所以，a2=b2+c2所以三角形是直角三角形，故答案为：直角．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够对等式的左边利用平方差公式进行因式分解，属于基础题，难度不是很大．4．在实数范围内因式分解：2x2﹣4xy﹣3y2=2．【分析】根据题目中的式子和因式分解的方法可以解答本题．【解答】解：2x2﹣4xy﹣3y2=2（x2﹣2xy+y2）﹣5y2=2（x﹣y）2﹣5y2=[（x﹣y）+][（x﹣y）﹣y]=2，故答案为：2．【点评】本题考查实数范围内分解因式，解答本题的关键是明确分解因式的方法．5．分解因式：8a2﹣8a3﹣2a=﹣2a（2a﹣1）2．【分析】首先提取公因式﹣2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a2﹣8a3﹣2a=﹣2a（4a2﹣4a+1）=﹣2a（2a﹣1）2．故答案为：﹣2a（2a﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．6．分解因式：a2b﹣8ab+16b=b（a﹣4）2．．【分析】先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：a2b﹣8ab+16b=b（a2﹣8a+16）=b（a﹣4）2．【点评】本题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练运用公式法分解因式是本题的关键．7．把多项式2a3﹣4a2+2a分解因式的结果是2a（a﹣1）2．【分析】先提取公因式2a，然后利用完全平方公式继续分解即可求得答案．【解答】解：2a3﹣4a2+2a=2a（a2﹣2a+1）=2a（a﹣1）2．故答案为：2a（a﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．注意先提公因式，再利用公式法分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．8．把多项式2x2y﹣16xy+32y分解因式的结果是2y（x﹣4）2．【分析】提公因式后利用完全平方公式即可；【解答】解：原式=2y（x2﹣8x+16）=2y（x﹣4）2，故答案为2y（x﹣4）2．【点评】本题考查提公因式与公式法分解因式，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤，属于中考常考题型．9．因式分解：﹣3ma2+12ma﹣12m=﹣3m（a﹣2）2．【分析】先提取公因式﹣3m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：原式=﹣3m（a2﹣4a+4）=﹣3m（a﹣2）2．故答案为﹣3m（a﹣2）2．【点评】本题考查了因式分解，利用了提取公因式法，再套用公式，注意分解要彻底．10．已知xy=，x+y=5，则2x3y+4x2y2+2xy3=﹣25．【分析】因式分解后，整体代入计算即可；【解答】解：2x3y+4x2y2+2xy3=2xy（x2+2xy+y2）=2xy（x+y）2，∵xy=，x+y=5，∴原式=﹣25．故答案为﹣25．【点评】本题考查提公因式与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，属于中考常考题型．11．因式分解：2x3﹣4x2+2x=2x（x﹣1）2．【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：2x3﹣4x2+2x=2x（x2﹣2x+1）=2x（x﹣1）2．故答案为2x（x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．分解因式：﹣xy2+4x=﹣x（y+2）（y﹣2）．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式﹣x，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．【解答】解：﹣xy2+4x=﹣x（y2﹣4）=﹣x（y+2）（y﹣2）．故答案为：﹣x（y+2）（y﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．13．把多项式m3﹣16m分解因式的结果是m（m+4）（m﹣4）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=m（m2﹣16）=m（m+4）（m﹣4），故答案为：m（m+4）（m﹣4）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．分解因式：（1）ab2﹣2ab+a=a（b﹣1）2．（2）a2﹣b2﹣2b﹣1=（a+b+1）（a﹣b﹣1）．【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式；（2）题目四项，考虑分组分解．本题可一三分组．【解答】解：（1）ab2﹣2ab+a=a（b2﹣2b+1）=a（b﹣1）2；（2）a2﹣b2﹣2b﹣1=a2﹣（b2+2b+1）=a2﹣（b+1）2=（a+b+1）（a﹣b﹣1）．故答案为：（1）a（b﹣1）2，（2）（a+b+1）（a﹣b﹣1）．【点评】本题考查了因式分解的提公因式法、平方差公式、完全平方公式及分组分解法．根据题目特点选择两两分组还是三一分组是解决（2）的关键．15．分解因式：16x4﹣1=（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；﹣3x2+6xy﹣3y2=﹣3（x﹣y）2．【分析】（1）两次运用平方差公式，即可将16x4﹣1因式分解；（2）先提公因式，再根据公式法，即可将﹣3x2+6xy﹣3y2因式分解．【解答】解：16x4﹣1=（4x2+1）（4x2﹣1）=（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；﹣3x2+6xy﹣3y2=﹣3（x2﹣2xy+y2）=﹣3（x﹣y）2．故答案为：（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；﹣3（x﹣y）2．【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，解决问题的关键是掌握提公因式法与公式法分解因式．16．将多项式xy2﹣16x因式分解；其结果是x（y+4）（y﹣4）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=x（y2﹣16）=x（y+4）（y﹣4），故答案为：x（y+4）（y﹣4）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．因式分解：（a+b）2﹣64=（a+b﹣8）（a+b+8）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（a+b）2﹣64=（a+b﹣8）（a+b+8）．故答案为：（a+b﹣8）（a+b+8）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．18．分解因式：1﹣16n2=（1﹣4n）（1+4n）．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．【解答】解：1﹣16n2=（1﹣4n）（1+4n）．故答案为：（1﹣4n）（1+4n）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．19．因式分解：3ya2﹣6ya+3y=3y（a﹣1）2．【分析】直接提取公因式3y，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：3ya2﹣6ya+3y=3y（a2﹣2a+1）=3y（a﹣1）2．故答案为：3y（a﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．20．若x2+mx+16可以用完全平方公式进行分解因式，则m的值等于±8．【分析】直接利用完全平方公式分解因式进而得出答案．【解答】解：∵x2+mx+16可以用完全平方公式进行分解因式，∴m的值等于：±8．故答案为：±8．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．21．如果x2+ax+9=（x+3）2，那么a的值为6．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：x2+ax+9=（x+3）2=x2+6x+9．故答案为：6．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．22．已知y2+my+121=（y+n）2，则n=±11．【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．【解答】解：∵y2+my+121=（y+n）2=y2+2ny+n2，∴n2=121，解得：n=±11．故答案为：±11．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．23．因式分解4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2．【分析】直接利用公式法分解因式得出答案．【解答】解：4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2．故答案为：（2x+3y）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．24．分解因式ax2﹣9ay2的结果为a（x+3y）（x﹣3y）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（x2﹣9y2）=a（x+3y）（x﹣3y），故答案为：a（x+3y）（x﹣3y）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．25．计算50×1252﹣50×252的结果是750000．【分析】直接提取公因式50，再利用平方差公式分解因式进而得出答案．【解答】解：原式=50×（125+25）×（125﹣25）=50×150×100=750000．故答案为：750000．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．26．已知x+y=0.2，2x+3y=2.2，则x2+4xy+4y2=4．【分析】原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵x+y=0.2，2x+3y=2.2，∴x+2y=2，则原式=（x+2y）2=4．故答案为：4【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．27．多项式x2+1加上一个单项式后，可以分解因式，那么加上的单项式可以是2x或﹣2x（只需填写二个）．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：多项式x2+1加上一个单项式后，可以分解因式，加上的单项式可以是：±2x，则x2±2x+1=（x±1）2．故答案为：2x或﹣2x．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．28．若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为5或﹣7．【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍．【解答】解：依题意，得（m+1）x=±2×3x，解得：m=5或﹣7．故答案为：5或﹣7．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．29．若二次三项式x2+ax﹣6可分解为（x+2）（x+b），则a+b=﹣4．【分析】直接利用多项式乘法结合二元一次方程组的解法得出a，b的值进而得出答案．【解答】解：∵x2+ax﹣6可分解为（x+2）（x+b），∴x2+ax﹣6=（x+2）（x+b），=x2+（2+b）x+2b，则，解得：，故a+b=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确得出关于a，b的方程组是解题关键．30．分解因式xy2+4xy+4x=x（y+2）2．【分析】原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=x（y2+4y+4）=x（y+2）2，故答案为：x（y+2）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．31．分解因式：a2﹣=（a+）（a﹣）；【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a2﹣=（a+）（a﹣）．故答案为：（a+）（a﹣）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．32．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足等式3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，则该三角形是等边三角形．【分析】根据题目中的式子进行变形，然后因式分解，由非负数的性质可以求得a、b、c之间的关系，从而可以判断△ABC的形状，本题得以解决．【解答】解：∵3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，∴3a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=0∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0，解得，a=b，a=c，b=c，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边．【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求a、b、c之间的关系，利用因式分解的方法解答．33．分解因式：x4﹣2x2y2+y4=（x+y）2（x﹣y）2．【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：x4﹣2x2y2+y4=（x2﹣y2）2=（x+y）2（x﹣y）2．故答案为：（x+y）2（x﹣y）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．34．因式分解：2m2n﹣4mn+2n=2n（m﹣1）2．【分析】直接提取公因式2n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：2m2n﹣4mn+2n=2n（m2﹣2m+1）=2n（m﹣1）2．故答案为：2n（m﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．35．分解因式：x3y﹣4xy=xy（x+2）（x﹣2）；不等式组的解集是﹣3≤x＜2【分析】根据因式分解和不等式组的解法解答即可．【解答】解：x3y﹣4xy=xy（x+2）（x﹣2），解不等式组可得：﹣3≤x＜2，故答案为：xy（x+2）（x﹣2）；﹣3≤x＜2．【点评】此题考查因式分解，关键是根据因式分解和不等式组的解法解答．36．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足a2﹣6a+b2﹣4b+13=0，c为奇数，则△ABC的周长为8．【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．【解答】∵a2+b2﹣4a﹣6b+13=0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）=0，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2=0，∴a=2，b=3，∴边长c的范围为1＜c＜5．∵边长c的值为奇数，∴c=3，∴△ABC的周长为2+3+3=8．故答案为：8．【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．37．已知a=2018x+2017，b=2018x+2018，c=2018x+2019，则多项式a2+b2+c2﹣ab ﹣bc﹣ac=3．【分析】将多项式多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac分解成[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，再把a，b，c代入可求．【解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）=[（a ﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=×（1+4+1）=3故答案为：3．【点评】本题考查了因式分解的应用，关键是将多项式配成完全平方形式．38．分解因式：m2n﹣4n=n（m+2）（m﹣2）．【分析】原式提取n，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=n（m2﹣4）=n（m+2）（m﹣2），故答案为：n（m+2）（m﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．39．若关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为±2．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断就确定出m的值．【解答】解：∵关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解，∴m=±2，故答案为：±2【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．40．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）．【分析】直接利用图形面积进而得出恒等式．【解答】解：由面积可得：a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）．故答案为：（a+2b）（a+b）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．41．因式分解：2a2b﹣8ab+8b=2b（a﹣2）2．【分析】首先提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：2a2b﹣8ab+8b=2b（a2﹣4a+4）=2b（a﹣2）2．故答案为：2b（a﹣2）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．42．把多项式2a3﹣18ab2分解因式的结果是2a（a﹣3b）（a+3b）．【分析】直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2a3﹣18ab2=2a（a2﹣9b2）=2a（a﹣3b）（a+3b）．故答案为：2a（a﹣3b）（a+3b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．43．因式分解：6x3y2﹣24xy4=6xy2（x+2y）（x﹣2y）．【分析】首先提取公因式6xy2，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：6x3y2﹣24xy4=6xy2（4x2﹣y2）=6xy2（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：6xy2（x+2y）（x﹣2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．44．分解因式：2x2﹣8xy﹣10y2=2（x﹣5）（x+y）．【分析】首先提取公因式2，进而利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：2x2﹣8xy﹣10y2=2（x2﹣4xy﹣10y2）=2（x﹣5）（x+y）．故答案为：2（x﹣5）（x+y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．45．分解因式：3x2﹣12xy+12y2=3（x﹣2y）2．【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：3x2﹣12xy+12y2=3（x2﹣4xy+4y2）=3（x﹣2y）2．故答案为：3（x﹣2y）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．46．分解因式：n2（x﹣y）﹣9（x﹣y）=（x﹣y）（n+3）（n﹣3）．【分析】首先提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：n2（x﹣y）﹣9（x﹣y）=（x﹣y）（n2﹣9）=（x﹣y）（n+3）（n﹣3）．故答案为：（x﹣y）（n+3）（n﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．47．分解因式：4ab3﹣ab=ab（2b+1）（2b﹣1）．【分析】首先提取公因式ab，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：4ab3﹣ab=ab（4b2﹣1）=ab（2b+1）（2b﹣1）．故答案为：ab（2b+1）（2b﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．48．把代数式2x3﹣8x分解因式为2x（x+2）（x﹣2）．【分析】直接提取公因式2x，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：2x3﹣8x=2x（x2﹣4）=2x（x+2）（x﹣2）．故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．49．已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2018=2018．【分析】将所求代数式提出a来，将已知式值代入即可．【解答】解：由已知a2﹣a﹣1=0a3﹣a2﹣a+2018=a（a2﹣a﹣1）+2018=2018故答案为：2018【点评】本题考查了因式分解的相关知识，利用因式分解得到已知代数式，利用整体代入即可．50．因式分解：4ax2﹣4ay2=4a（x﹣y）（x+y）．【分析】首先提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：4ax2﹣4ay2=4a（x2﹣y2）=4a（x﹣y）（x+y）．故答案为：4a（x﹣y）（x+y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．51．在实数范围内分解因式：x5﹣9xy4=x（x+y）（x﹣y）（x2+3y2）．【分析】首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x5﹣9xy4=x（x4﹣9y4）=x（x2﹣3y2）（x2+3y2）=x（x+y）（x﹣y）（x2+3y2）．故答案为：x（x+y）（x﹣y）（x2+3y2）．【点评】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．52．已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+1=2．【分析】根据m2+m﹣1=0，对所求式子变形即可解答本题．【解答】解：∵m2+m﹣1=0，∴m3+2m2+1=m（m2+m﹣1）+（m2+m﹣1）+2=m×0+0+2=2，故答案为：2．【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．53．把3a2﹣12分解因式为3（a+2）（a﹣2）．【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：3a2﹣12=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）．故答案为：3（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．54．分解因式3a2﹣3的结果是3（a﹣1）（a+1）．【分析】首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：3a2﹣3=3（a2﹣1）=3（a+1）（a﹣1）．故答案为：3（a+1）（a﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．55．因式分解：（a+3）（a﹣3）﹣5（a+1）=（a﹣7）（a+2）．【分析】首先去括号合并同类项，进而利用十字相乘法分解因式得出答案．【解答】解：（a+3）（a﹣3）﹣5（a+1）=a2﹣9﹣5a﹣5=a2﹣5a﹣14=（a﹣7）（a+2）．故答案为：（a﹣7）（a+2）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．56．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则=﹣3．【分析】根据题意列出等式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：x2﹣4x+m=（x+3）（x﹣n）=x2+（3﹣n）x﹣3n，∴3﹣n=﹣4，m=﹣3n，解得：m=﹣21，n=7，则原式=﹣3，故答案为：﹣3【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．57．因式分解：x2+14x+49=（x+7）2．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式=（x+7）2．故答案为：（x+7）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．58．因式分解：m3+2m2x+mx2=m（m+x）2．【分析】直接提取公因式m，再利用公式法分解因式得出答案．【解答】解：m3+2m2x+mx2==m（m2+2mx+x2）=m（m+x）2．故答案为：m（m+x）2．【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．59．把多项式9x3﹣x分解因式的结果是x（3x+1）（3x﹣1）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=x（9x2﹣1）=x（3x+1）（3x﹣1），故答案为：x（3x+1）（3x﹣1）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．60．分解因式3a2﹣3b2=3（a+b）（a﹣b）．【分析】提公因式3，再运用平方差公式对括号里的因式分解．【解答】解：3a2﹣3b2=3（a2﹣b2）=3（a+b）（a﹣b）．故答案是：3（a+b）（a﹣b）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。
4.3 公式法(完全平方公式)-2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
北师大版八年级下册 第四章 因式分解
4.3 公式法
学习目标：
1.能够理解并掌握完全平方式的结构特征
2.能够理解并熟练运用完全平方公式分解因式
3.能够综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因 式．
复习回顾
思考：你学过哪些因式分解的方法？ 你能把下列式子分解因式吗？
探究新知 （1） （2） （3） （4）
（1） （2） （3） （4）
探究新知
你有什么发现呢？
我们将形如
或
的式
子称为完全平方式．你能谈谈一个完
全平方式的结构具有什么样的特征吗？
做一做
下列多项式中，哪几个是完全平方式？若不是，请说明理 由；
(1)
(2)
(3)
(4)
例1：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
解：原式 2x2 2 2x 3y 3y2
拓展研究
1.
是一个完全平方式，求 的值．
2.在横线上填上适当的单项式，使 是一个完全平方式．
梳理反思
反思 本节课学习的因式分
解公式是什么？
它有什么特征？
在运用时应如何把握？
利用完全平方公式进行因式分解
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
“首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍坐中央.
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
典例解析
例2 把下列完全平方式分解因式 ：
(1)
(2)
典例解析
例3 把下列各式分解因式：
(1)
(2)
课堂练习
把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
北师大版数学八年级下册：4.3《公式法》
八年级数学4.3公式法（1） 班别： 姓名： 学号：一、课前练习1、下列各式从左到右的变形中，因式分解的是（ ）A.bx ax b a x -=-)(B.222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C.)1)(1(12-+=-x x xD.c b a x c bx ax ++=++)(2、多项式2336x x --各项的公因式是（ ）A.x 3B.x 3-C.32xD.23x -3、2)(2b y x a +-与2)(6y x ab +的公因式为（ ）A.y x +B.)(y x ab +C.2)(y x ab +D.2)(y x a +4、填空:（1）16x 2=( )2; （2）16x 4=( )2;（3）9(x +y)2=[______(x +y )]2; （4）4(x −y)2=[______(x −y )]2;二、学习任务（课本P97）知识点（一）：逆用乘法公式（平差公式）因式分解平方差公式：(a +b )(a −b )=a 2−b 2，反过来，就得到a 2−b 2= 例1、把下列各式因式分解：（1）25−16x 2 （2）9a 2−14b 2解：（1）原式＝52−( )2=_______________（2）原式＝( )2−( )2=_____________________1、判断正误：（1）a 2+b 2=(a +b )2 （ ） （2）a 2−b 2=(a −b )(a +b ) （ ）（3）a 2−b 2=(−a +b )(−a −b ) （ ） （4）−a 2+b 2=(−a +b )(−a −b ) （）（5）−a 2−b 2=(−a +b )(−a −b ) （ ）2、把下列各式因式分解:（1）x 2−9 （2）a 2b 2−m 2a2−x2y2（3）9m2−4n2（4）94例2、把下列各式因式分解:（1）2x3−8x（2）−16x4+81y4解：（1）原式＝2x（_______________）=_______________（2）原式＝(9y2)2−()2=(9y2+_____)(9y2−_____)=_______________________3、把下列各式分解因式:（1）a3−a（2）3ax2−3ay2例3、把下列各式因式分解:（1）(2x+y)2−(x+2y)2（2）9(x+y)2−4(x−y)2解：（1）原式＝[（__________）+（__________）][（__________）−（__________）]＝（__________）（__________）＝_______________________________（2）原式＝[3(x+y )]2−[2(x−y)]2＝[_____________+________________][_____________+________________]＝______________________________巩固练习三3、把下列各式分解因式:（1）9x2−(x−2y)2（2）(2x+y)2−(x−2y)2（3）4(x+y)2−(x−y)2（4）25(x+y)2−16(x−y)2三、过关练习4、将多项式m2−9进行因式分解，结论正确的为（）A．(m+9)(m−9) B．(3+m)(3−m)C．(m−3)2 D．(m+3)(m−3) 5、下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是（）A．x2+y2 B．−x2+y2 C．−x2−y2 D．x2−36、若a+b=−2，a−b=4，则a2−b2= ．7、把下列各式因式分解：（1）x2−4y2（2）7x2－63（3）x4−1（4）−x4+16y48、把下列各式因式分解：（1）(3x+y)2−(x−3y)2（2）9(x+y)2−16(x−y)2四、提高练习9、利用因式分解知识解决问题：两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？解：两个连续奇数的平方差______被8整除.理由是：设两个连续奇数分别为(2n−1)和(2n+1)，得10、求代数式的值4x2−y2+1，其中2x+y=3，2x−y=10.11、分解因式：(a+1)(a−1)−8．12、观察下列各式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，…，探索以上式子的规律，完成下列问题：（1）第4个等式为：________________。
八年级数学北师大版下册 4.3 公式法 同步测试题
4.3 公式法同步测试题班级：_____________姓名：_____________一、选择题（本题共计11 小题，每题5 分，共计55分，）1. 若二次三项式x2+6x+a2是关于x的完全平方式（其中a是常数），则a＝（）A.3B.9C.±3D.±92. 若4x2+mx+1是完全平方式，则m的值是（）A.4B.−4C.±2D.±43. 在多项式①x2+2xy−y2；①−x2−y2+2xy；①x2+xy+y2；①4x2+1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（）A.①①B.①①C.①①D.①①4. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是()A.−a2−b2B.a2−2ab−b2C.m2+n2D.−m2+n25. 分解因式x2−2x+1的最终结果是（）A.x(x−2)+1B.(x+1)(x−2)C.(x−1)2D.(x+1)26. 下列因式分解正确的是()A. 3ax2−6ax=3(ax2−2ax)B. x2+y2=(−x+y)(−x−y)C. a2+2ab−4b2=(a+2b)2D. −ax2+2ax−a=−a(x−1)27. 分解因式2x2−2为()A.2(x2−1)B.2(x−1)2C.2(x2+1)D.2(x+1)(x−1)8. 已知单项式9a m+1b n+1与−2a2m−1b2n−1的积与5a3b6是同类项，则m n的值是（）A.4B.3C.2D.19. 把下列多项式分解因式，结果中不含因式x−1的是()A.x2−1B.x(x−2)+(2−x)C.x2−2x+1D.x2+2x+110. 下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是()A.x2−x+14B.9a2b2−3ab+1C.x6−10x3−25D.−x2+4y2−4xy11. 把8a3−8a2+2a进行因式分解，正确的结果是()A.2a(4a2−4a+1)B.8a2(a−1)C.2a(2a−1)2D.2a(2a+1)2二、填空题（本题共计4 小题，每题5 分，共计20分，）12. 若要使x2−mx+164成为一个完全平方式，则m的值应为________．13. 若m为正实数，且m−1m =2，m2+1m2=________.14. 因式分解2x2−8y2=________.15. 多项式9x2+1加上单项式________后,能成为一个含x的三项式的完全平方式.三、解答题（本题共计5 小题，共计25分，）16. 因式分解：(1)3a(x−y)−2(y−x)(2)(m+2)(m−2)−1217. 把下列式子因式分解：（1）(x2−2x)2+2(x2−2x)+1；（2）(x+y)2−6x2+6y2+9(x−y)2．18. 若|m−4|与n2−2n+1互为相反数，把多项式x2+4y2−mxy−n分解因式．19. 阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式(a2−2a−1)(a2−2a+3)+4进行因式分解的过程．解：设a2−2a=A，原式=(A−1)(A+3)+4=A2+2A+1=(A+1)2=(a2−2a+1)2=(a−1)4.(1)请你模仿以上方法对多项式(x2−4x−3)(x2−4x+11)+49进行因式分解；(2)知识延伸：解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“AB=0，则A=0或B=0”．试解方程(x2+x)2−8(x2+x)+12=0．20. 下面是某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程．解：设x2−4x=y，原式=(y+2)(y+6)+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=(y+4)2（第三步）=(x2−4x+4)2（第四步）(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的()A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方式D.两数差的完全平方式(2)该同学在第四步将y用所设中的x代数式代换，得到的因式分解的最后的结果.这个结果是否分解到最后？________．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果是________.(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2−2x)(x2−2x+2)+1进行因式分解．。
2017年春季新版北师大版八年级数学下学期4.3、公式法教案19
2.3.1运用公式法教案教学目标：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．教学重点与难点：重点：会用平方差公式进行因式分解；难点：使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．教法及学法指导：本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，并且营造小组竞学的氛围.教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人.一、问题情境，引入新课1.填空：2.根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ．师：第二组从左向右的变形是分解因式吗？生：是分解因式.师：这种分解因式的方法你看明白了吗？生：是逆用了平方差公式.师：平方差公式即可用于整式乘法，也可用于分解因式.这节课我们一起学习运用公式法（平方差公式）分解因式.（由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．）设计意图：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．二、合作交流，探究新知 师：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？生：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.师：大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？生：符合因式分解的定义，因此是因式分解. 师：对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.师：请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点.生：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.师：如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.师：你们能再举出几个这样的例子吗？生：x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）.生：a 2－81=（a +9）（a －9）.设计意图：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．三、例题讲解，巩固公式1.把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2=（5+4x ）（5－4x ）;（2）9a 2－41 b 2=（3a ）2－（21b ）2=（3a +21b ）（3a －21b ）. 2.将下列各式因式分解： （1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2=［3（m +n ）］2－（m －n ）2=［3（m +n ）+（m －n ）］［3（m +n ）－（m －n ）］=（3 m +3n + m －n ）（3 m +3n －m +n ）=（4 m +2n ）（2 m +4n ）=4（2 m +n ）（m +2n ）（2）2x 3－8x =2x （x 2－4）=2x （x +2）（x －2）设计意图：（1）让学生理解在平方差公式a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． 四、学以致用，知识反馈1、判断正误：2、把下列各式因式分解：（1）4–m 2 （2）9m 2–4n 2（3）a 2b 2－m 2 （4）(m －a )2－(n ＋b )2（5）–16x 4＋81y 4 （6）3x 3y –12xy3、如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b 的正方形．用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =3.6，b =0.8时的面积．设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．五、课堂小结，反思提高师：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？生：有公因式（包括负号）则先提取公因式；生：整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；生：平方差公式中的a 与b 既可以是单项式，又可以是多项式；设计意图：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．六、达标检测，反馈矫正1.下列各式中，能用平方差公式分解因式的共有（ ）(1)x y +22 (2)x y -22 （3）x y -+22 （4）x y --22A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知,,x y x y -=+=22168则x = ________,y =_________.3.利用分解因式计算-⨯2201120102012=__________.学生板演区4.分解因式：.x y -+22116 .()a b -+2236132.x y y -239 .a b -4445.n 为整数，试说明()()n n +--2251的值一定能被12整除.七、作业布置A 组：课本第56页习题2．4第2、3题B 组：课本第56页习题2．4第1题板书设计：2.3.1运用公式法 引例 例1例2教学反思逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于人们通常的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正向思维不能或是难于解决的问题迎刃而解．一些正向思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高．正思与反思就象分析的一对翅膀，不可或缺．传统的课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．因此，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．。
北师大版数学八年级下册：4.3《公式法》
八年级数学4.3公式法（2）班别： 姓名： 学号：一、课前练习1、下列等式从左边到右边的变形属于分解因式的是（ ）A. 2a (a −1)=2a 2−2aB. a 2−2a +1=a (a −2)+1C. (a +1)(a −1)=a 2−1D. −a 2+b 2=(b +a )(b −a )2、多项式−6x 3−3x 2各项的公因式是（ ）A.−xB. −3xC.−x 2D.−3x 23、下列多项式中,不能用平方差公式分解因式的是（ ）A. a 2−36B. −4a 2+b 2C. a 2b 2−1D. −a 2−b 2二、学习任务（课本P101）知识点（一）:完全平方式的定义形如a 2±2ab +b 2的式子称为完全平方式。
巩固练习一1、下列是完全平方式，请在横线上填上适当的项。
（1）a 2+14a +__________; （2）a 2+_______+9; （3）4a 2+________+9b 2.2、下列是完全平方式，请在横线上填上适当的项。
（1）16a 4+24a 2b 2+_______; （2）(a +b)2−6(a +b)+_______; （3）a 2−2a(b +c)+_______. 知识点（二）:逆用乘法公式（完全平方式）因式分解完全平方公式：（a ±b)2=a 2±2ab +b 2，反过来，就得到a 2±2ab +b 2=例1、把下列各式因式分解：（1）x 2+14x +49; （2）x 2−xy +14y 2解：（1）原式＝x 2+2×_____×_____+72=(__________)2（2）原式＝x 2−2×_____×_____+_____=(__________)2a 2 +2 × a ×b + b 2=( a + b )2 a 2−2 × a × b + b 2 =( a − b )23、把下列各式因式分解：（1）x 2−10x +25; （2）9x 2+6xy +y 2（3）9x 2+3x +14; （4）9x 2y 2−12xy +4例2、把下列各式因式分解：（1）(x +y)2−6(x +y)+9; （2）x 2−2x(y +z)+(y +z)2解：（1）原式＝(x +y)2+2×________×_____+32=(______________)2（2）原式＝x 2−2×_____×________+(________)2=[__________________]2＝(__________________)2巩固练习三4、把下列各式因式分解：（1） (x −y)2+2(x −y)+1; （2）(x +y)2−4(x +y )+4a 2 + 2 × a ×b + b 2 =( a + b )2 a 2− 2 × a × b + b 2 = ( a − b )2※（3）9−6(x+y)+(x+y)2;※（4）9(x+y)2−12(x+y)+4例3、把下列各式因式分解：（1）3ax2−6axy+3ay2;（2）−x2−4y2+4xy解：（1）原式＝3a∙______−3a∙______+3a∙______第一步：提公因式=3a(__________________________)第二步：写成公式的形式=________________第三步：写出因式分解结果（2）原式＝−(__________________________)第一步：添上“一（）”=−[__________________________]第二步：写成公式的形式=___________________第三步：写出因式分解结果5、把下列各式因式分解：（1）−x+2x2−x3（2）4xy2−4x2y−y3※（3）2x2−2x+12※（4）(x+1)(x+2)+14四、过关练习6、把下列各式因式分解：（1）x2+12x+36;（2）4x2−20xy+25y2（3）2x3+12x2+18x（4）2x3−2x2+12x（5）(x+y)2−2(x+y)+1（6）(x+y)2+8(x+y)+16（7）−4x2−y2+4xy（8）(x2+4)2−16x2五、提升练习7、多项式x2+1与一个单项式的和是一个多项式的平方（完全平方式），添项方法有两种：（1）添中间项： x2±2∙x∙1+12，即可添±2x；（2）添首项： (12x2)2+2∙12x2∙1+12，即可添14x4。
北师大八年级数学下册4.3公式法
初中数学试卷4.3公式法一、选择题1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A.224x y +B.281a -+C.225m n --2D.221p p -+2.一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）A.46-bB.64b -C.46+bD.94b - 3.下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A.22b a +-B.22249m y x -C.22y x --D.242516n m -4.不论y x ,为任何实数，82422+--+y x y x 的值总是（ ）A ．正数 B.负数 C.非负数 D.非正数5.不论b a ,为何有理数, c b a b a +--+4222的值总是非负数,则c 的最小值是( )A. 4 B . 5 C. 6 D.无法确定6.若非零实数 b a ,满足ab b a 4422=+，则ba 的值为（ ） A.－2 B.2 C.21 D.21- 7.若224a x x +-是完全平方式，那么a 等于( ).A.4B.2C.±4D.±28．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A.412m m ++ B.222y xy x -+- C.49142++-a a D.13292+-n n9．下列各式是完全平方式的是（ ）A. 122-+x xB.x x 392-+C.22y xy x ++D. 412+-x x 10．若a 、b 、c 是△ABC 的三边，满足0222=+-b ab a 且022=-c b ，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形11．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A. 22a ab b ++B.294y y -C.a a 4142-+D.221q q +-12．下列各式能用公式法进行因式分解的是( )A.42+xB.422++x xC.42y x -D.24x --13．已知3-=+b a ，2=ab ，则()2b a -的值是（ ） A.1 B.4 C.16 D.9二、填空题14.分解因式：(1)22y x +-= ；(2)2225.049y x -= ． 15.若162+-mx x 是完全平方式，那么m =________.16.已知03442=-+++b a a ，则b a += .17.分解因式：2411x x +-= . 18.在括号内填上适当的因式：（1）()2211025=++x x ； （2）()2221=+-b b （3）()()22___4+=++x x x ； （4）()()22294=++n m 19.已知31=+a a ，则221aa +的值是 20.若2222690m mn n n ++-+=，则2m n的值为 三、解答题21.利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）(1)22199201- （2）01.099.199.12⨯+22.把下列各式分解因式：（1）22254y x -（2） y y x -2（3）()224z y x --（4）22)()(16b a b a +--（5）y x xy 33273+- (6)2222416a x a y -(7)a a a 6)8)(2(+-+ (8)4481y x -(9)22)3()32(4q p q p --+ (10)22)(196)(169b a b a +--23．分解因式：（1）1442-+-a a（2） 3229124y xy y x -+-（3）1)(6)(92+---x y y x （4） 2363x x +-（5）322a a a -+- （6） 222224)(y x y x -+（7）42242b b a a +- （8）22236)9(x x -+（9）4322329n mn n m ++ （10）n n n ax ax ax 1218211+--+-24．已知0136422=++-+y x y x ，求x 和y 的值分别是多少？能力提升1.分解因式：13++-m m x x = .2．若n 为任意整数，22)11(n n -+的值总可以被k 整除，则k 等于（） A ．11 B ．22 C ．11或22 D ．11的倍数3．如果,2008=+b a 1=-b a ，那么=-22b a .参考答案：1.B;2.B;3.C;;4.A;5.B;6.B7.D8.C;9.D;10.D;11.C;110.C;121.A;13.(1)))((x y x y -+;(2))3)(3(41y x y x -+; 14.±8；15.1；16.2)121(-x ；17.（1）5x+1;(2)b-1;(3)4;2;(4)±12mn;2m ±3n; 18.7;19.31- 20.(1)800;(2)3.98;21.(1)(2x+5y)(2x-5y);(2)y(x+1)(x-1); (3)(2x+y-z)(2x-y+z);(4)(5a-3b)(3a-5b);(5)-3xy(y+3x)(y-3x);(6)4a 2(x+2y)(x-2y); (7)(a+4)(a-4); (8))3)(3)(9(22y x y x y x -++;(9)(7p+5q)(p+7q); (10)-(27a+b)(a+27b); 22.(1)-(2a-1)2;(2)-y(2x-3y)2;(3)(3x-3y+1)2;(4)3(1-x)2;(5)-a(1-a)2;(6)(x+y)2(x-y)2; (7)(a+b)2(a-b)2; (8)(x+3)2(x-3)2; (9)22)3(n m n +; (10)-2ax n-1(1-3x)2; 24.x=2;y=-3; 24.x m+1(x+1)(x-1); 1.A; 2.2008; 3.40162009;。
北师大八年级数学下册4.3 运用公式法
初中数学试卷4.3 运用公式法基础巩固1.下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A.-a 2+b 2B.-x 2-y 2C.49x 2y 2-z 2D.16m 4-25n 22.下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）①x 2-4x+4; ②6x 2+3x+1; ③ 4x 2-4x+1; ④ x 2+4xy+2y 2 ; ⑤9x 2-20xy+16y2 A.①② B.①③ C.②③ D.①⑤3.在多项式:①16x 5-x;②（x-1）2-4（x-1）+4; ③(x+1)4-4x(x+1)2+4x 2;④-4x 2-1+4x 中， 分解因式的结果中含有相同因式的是（ ）A.①②B.③④C.①④D.②③4.分解因式3x 2-3y 4的结果是（ ）A.3(x+y 2)(x-y 2)B.3(x+y 2)(x+y)(x-y)C.3(x-y 2)2 D.3(x-y)2(x+y) 2 5.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）A.2B.4C.2y2 D.4y 2 6.若x 2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（ ）A.-5B.3C.7D.7或-17.若n 为正整数，（n+11）2-n 2 的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）A.11B.22C.11或22D.11的倍数.8.2(____)+20pq+25q 2= 2(____) 9.分解因式x 2-4y 2= ___________ ；10.分解因式ma 2+2ma+m= _______ ；能力提升11.代数式(1)a 2+ab+b 2，(2)4a 2+4a+1，(3)a 2－b 2+2ab ，(4)－4a 2+12ab －9b 2中,可用完全平方公式分解的共有( )A .0个B .1个C .2个D .3个12.若9x 2+mxy+16y 2是一个完全平方式，那么m 的值是( )A.－12B.±24C.12D.±1213.分解因式3223288__________x y x y xy ++=.14.分解因式:(1)16x 4+24x 2+9； （2）a 2x 2-16ax+64；（3）16x 2y 2z 2-9; （4）81(a+b)2-4(a-b)2(5)()()110252+-+-x y y x (6) 2236123xy y x x +-15.试用简便方法计算：1982-396202⨯+202216.已知x=40,y=50,试求x 4-2x 2y 2+y 4的值。
北师大版数学八下4.3《公式法》作业导航
2.3.运用公式法作业导航了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握运用公式法分解因式的方法，会利用分解因式进行简便计算与化简.一、选择题1.－(2a －b )(2a +b )是下列哪一个多项式的分解结果( )A.4a 2－b 2B.4a 2+b 2C.－4a 2－b 2D.－4a 2+b 22.多项式(3a +2b )2－(a －b )2分解因式的结果是( )A.(4a +b )(2a +b )B.(4a +b )(2a +3b )C.(2a +3b )2D.(2a +b )23.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )A.x 2+xy +y 2B.x 2－2x －1C.－x 2－2x －1D.x 2+4y 24.多项式4a 2+ma +25是完全平方式，那么m 的值是( )A.10B.20C.－20D.±205.在一个边长为12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm 的正方形，剩下部分的面积等于( )A.100 cm 2B.105 cm 2C.108 cm 2D.110 cm 2二、填空题6.多项式a 2－2ab +b 2，a 2－b 2，a 2b －ab 2的公因式是________.7.－x 2+2xy －y 2的一个因式是x －y ，则另一个因式是________.8.若x 2－4xy +4y 2=0，则x ∶y 的值为________.9.若x 2+2(a +4)x +25是完全平方式，则a 的值是________.10.已知a +b =1，ab =－12，则a 2+b 2的值为________.三、解答题11.分解因式(1)3x 4－12x 2(2)9(x －y )2－4(x +y )2(3)1－6mn +9m 2n 2(4)a 2－14ab +49b 2(5)9(a +b )2+12(a +b )+4(6)(a －b )2+4ab12.(1)已知x －y =1，xy =2，求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值. (2)已知a (a －1)－(a 2－b )=1，求21 (a 2+b 2)－ab 的值. 13.利用简便方法计算:(1)2001×1999(2)8002－2×800×799+799214.如图1，在一块边长为a 厘米的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b (b ＜2a )厘米的正方形，利用因式分解计算当a =13.2，b =3.4时剩余部分的面积.图115.对于任意整数，(n +11)2－n 2能被11整除吗？为什么？参考答案一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.D二、6.a －b 7.y －x 8.2 9.1或－9 10.25三、11.(1)3x 2(x +2)(x －2) (2)(5x －y )(x －5y ) (3)(3mn －1)2 (4)(a －7b )2(5)(3a +3b +2)2 (6)(a +b )212.(1)2 (2) 2113.(1)3999999 (2)114.128平方厘米15.略。
北师大八年级数学下《4.3公式法》课时练习含答案解析初中数学教学反思设计学案说课稿
北师大版数学八年级下册第四章第三节公式法课时练习一、选择题（共10题）1. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( )A .241a +B .22b ab a ++C .442+-a aD .1442-+b b答案：C解析：解答：根据完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±，可以进行判断出答案是C 选项 分析：关键是掌握完全平方公式2.下列多项式，能用公式法分解因式的有( )①22x y +②22x y -+③22x y --④22x xy y ++⑤222x xy y +-⑥224x xy y -+-A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：A解析：解答：平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±；所以我们问可以判断②符合平方差公式，⑥符合完全平方公式，故答案是选A 选项分析：考查对公式的掌握情况，本题的关键是对多项式进行变形，注意负号 3.下列多项式中，能用公式法分解因式的是( )A .m 2mnB .m 2+mnC .m 2n 2D .m 2+n 2答案：C解析：解答：C 选项可以用平方差公式进行分解因式，故答案是C 选项分析：考查利用公式法分解因式4. 下列各式从左到右的变形中，是用公式法分解因式的是（ ）A .bx ax b a x -=-)(B .222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C .)1)(1(12-+=-x x xD .()ax bx x a b +=+ 答案：C解析：解答：C 选项的分解因式的方法是平方差公式，D 选项是利用提公因式法分解因式，A 、B 不是分解因式，故答案C 是正确的分析：注意公式法的利用5.下列多项式不能用公式法分解因式的是( )A .221x x -+B .22x b -+C .214x x ++D .22a b +答案：D解析：解答：A 、B 、C 选项可以利用完全平方公式和平方差公式进行分解因式，D 选项不能利用公式法分解因式分析：考查如何判断利于公式法分解因式6. 如果多项式29x kx -+能用公式法分解因式，那么k 的值是（ ）A .3B .6C . 3±D . 6±答案：D解析：解答：由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式，所以236k =±⨯=±，故答案是D分析：注意不要漏下负数的情况7.下列能用平方差公式分解因式的是（ ）A .21x -B .()21xx + C .21x + D .2x x -答案：A解析：解答：A 选项：()()2111x x x -=+-，故答案是A 分析：考查利用提公因式法分解因式8.把多项式2425m -分解因式正确的是( )A .()()4545m m +-B .()()2525m m +-C . ()()55m m -+D . ()()55m m m -+答案：B解析：解答：()()()222425252525m m m m -=-=+-，故答案是B 选项分析：注意利用公式法分解因式的要点9.下列式子分解因式能用公式法分解因式的是 ( )．A ．21x +B ．2x x -C ．21x -D ．221x + 答案：C解析：解答：因为()()2111x x x -=+-，故答案是C 选项 分析：考查运用平方差公式分解因式10.下列哪个多项式能分解成()22x - （ ）A ．221x x -+B ．244x x -+C ．24x x -D ．22x x - 答案：B解析：解答：根据()2222a ab b a b -+=-，可以得到()22442x x x -+=-故答案是B 选项分析：考查利用完全平方公式分解因式二、填空题（共10题）11.分解因式：322x x x -+ =__________答案：()21x x -解析：解答：先提公因式然后在利用完全平方公式分解可以得到()()23222211x x x x x x x x -+=-+=- 分析：考查提公因式法和公式法的综合运用，注意应该先提公因式12. 29a -=_________答案：()()33a a +-解析：解答：根据平方差公式可以得到()()2933a a a -=+- 分析：注意9可以看成3的平方13. 将22363ay axy ax +-分解因式是___________答案：()23a x y -解析：解答：()()22222363323ax axy ay a x xy y a x y -+=-+=-，所以答案是()23a x y -分析：注意应该先提公因式14.分解因式 2()4a b ab -+=答案：()2a b +解析：解答：()222222()4242a b ab a ab b ab a ab b a b -+=-++=++=+ 分析：注意合并同类项15. ______()231x x =+答案：32363x x x ++解析：解答：()()232236332131x x x x x x x x ++=++=+ 分析：考查因式分解和整式乘法的关系16. 因式分解:______________412=++y y 答案：212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解析：解答：2222111124222y y y y y ⎛⎫⎛⎫++=+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17. 因式分解:110252+-a a =答案：()251a -解析：解答：()()22225101525151a a a a a -+=-⨯+=-分析：考查如何利用完全平方差公式18. 若26x x k -+是一个完全平方式，那么k =答案：9解析：解答：因为若k k x +-62是一个完全平方式，那么()222262333x k k x k x -+=-⨯+=-，那么答案是9分析：注意提公因式时候，字母的次数取最低的19.分解因式212x 123y xy y -+-=___________答案：()232x 1y --解析：解答：因为()()22212x 12334x 41321y xy y y x y x -+-=--+=--分析：注意应该先提公因式20. 222y xy x ---=__________答案：()2x y -+解析：解答：()()2222222x xy y x xy yx y ---=-++=-+ 分析：注意不要漏掉负号三、解答题（共5题）21.如果x 2+2(m 3)x +25能用公式法分解因式，那么m 的值是多少？答案：解答：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．∵x 2+2（m 3）x +25能用公式法分解因式，∴2（m 3）=±10，解得：m =8或2．故答案为：8或2解析：分析：注意包括两种情况22.在公式法分解因式中，有一种公式a 3+b 3=(a +b )(a 2ab +b 2)叫立方和公式，请用它把x 3+8分解因式答案：解答：根据所给公式，将x 3+8先变形为x 3+23，然后套用公式，进行分解即可． 所以x 3+8=x 3+23=（x +2）·（x 22x +4）23.如果多项式x 2kx +9能用公式法分解因式，则k 的值是多少？答案：解答：由于多项式x 2kx +9能用公式法分解因式，那么它一个是一个完全平方式，根据两平方项确定出这两个数，再利用完全平方公式即可求出k 的值．解：∵多项式x 2kx +9能用公式法分解因式，并且它有三项，∴它是一个完全平方式，∴这两个数是3、x ，∴k =±2×3=±6解析：分析：注意符号的变换24. 分解因式：412x 3y xy -+答案：解答：()()()4212x 334132121y xy xy x xy x x -+=--=-+-解析：分析：注意公因式是相同字母，并且指数最小的25. 已知0106222=+-++y x y x ，则x y +的值？答案：解答：因为()()22222226102169130x y x y x x y y x y ++-+=+++-+=++-=，根据平方的非负性可以得到2x y +=解析：分析：因为m,n 均为大于1的整数，所以要找出指数最小的是那一项。
2016-2017学年度北师大版八年级下4.3公式法教学设计
2016-2017学年度北师大版八年级下4.3公式法教学设计一、教学目标1.掌握解一元一次方程的公式法；2.能够灵活运用公式法解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容解一元一次方程的公式法三、教学重点1.掌握一元一次方程的公式法的基本步骤；2.能够运用公式法解决简单的一元一次方程。
四、教学难点1.能够灵活运用公式法解决复杂的一元一次方程；2.分析问题，将实际问题转化为一个一元一次方程。
五、教学准备1.教师准备：–课件：包含公式法解一元一次方程的基本步骤及例题；–教学实例和练习题：用于巩固学生的知识；–小黑板和白板笔。
2.学生准备：–课本：北师大版八年级下册；–笔、纸、计算器。
六、教学过程1. 导入新知教师通过提问或介绍引入本节课的内容，告诉学生今天要学习的是解一元一次方程的公式法。
2. 提出问题教师通过提问，引出需要使用公式法解决的实际问题，激发学生的兴趣。
例：小明的年龄是小红的2倍，小红的年龄是10岁，那么小明的年龄是多少？3. 介绍公式法的基本步骤教师在课件上介绍公式法解一元一次方程的基本步骤，并结合例题进行讲解。
基本步骤如下：1.列方程：根据问题中的已知条件，设未知数，列出方程；2.化简方程：对方程进行化简，使其变为标准形式；3.解方程：根据方程的形式，运用解方程的原则进行解题；4.验证答案：将求得的解代入原方程中进行验证。
4. 进行例题演示教师通过课件上的例题演示公式法的具体应用，引导学生理解解题思路和步骤。
5. 学生练习教师释放学生，让学生分组自行完成练习题，巩固公式法的运用。
6. 解答和讲评教师带领学生一起解答练习题，并对错题进行讲评，同时解答学生在解题过程中遇到的问题。
7. 拓展练习教师提供一些拓展练习题，鼓励学生在课后进行进一步的巩固和拓展。
七、教学反思本节课通过引入实际问题，激发了学生的学习兴趣，并通过具体的例题演示帮助学生理解公式法的基本步骤和运用方法。