同时考虑可控制前置时间及货币时间价值因素之存货订购

同时考虑可控制前置时间及货币时间价值因素之存货订购策略吴坤山淡江大学企业管理学系专任副教授颜秀凤淡江大学管理科学学系硕士班研究生摘要本篇论文主要尝试建立在同时考虑可控制前置时间与货币时间价值因素下，缺货数量允许部份欠拨与部份不补(销售损失)的混合存货模型，其中订购量、请购点及前置时间均为决策变数。

在文中，我们假设前置时间内需求量的机率分配为未知的情形，并利用大中取小分配不拘程序(minimax distribution free procedure)求解。

本文亦利用古典最佳化理论，证明了本模式之总变动成本函数型态为凸函数(convex function)，进而找出使得总成本为最小之最适订购量、请购点及前置时间。

最後，以一范例来说明本研究的存货模式演算法，并对模式中各参数作敏感度分析。

关键字：存货、前置时间、货币时间价值、大中取小分配不拘程序1.前言自从日本企业界提出及时(Just in time, JIT)存货管理系统以来，企业的生产力提高，且效果显着。

及时存货模式主要强调高品质、低存货、短前置时间及少数供应商；其中缩短前置时间是及时化成功的主要关键[1]。

传统的存货模式大都将前置时间视为已知且为不可控制的常数或随机变数，但在许多实际的情况中，前置时间可藉由增加赶工成本(crashing cost)来缩短；换言之，前置时间是可以控制的。

因此已有许多的制造商或经销商开始对固定或随机的前置时间产生质疑，因为他们需要的是可以控制的前置时间。

近年来，已有许多学者提出将前置时间视为可控制变数的存货模式。

Liao 和Shyu [2]首先提出在订购量为事前决定而前置时间为决策变数的机率性存货模型。

在此模型中，假设前置时间内的作业是由n个成份(component)所组成，每个成份各有不同的正常作业时间、充分赶工下的作业时间及单位时间赶工成本，并假设前置时间内的赶工成本函数为一分段线性函数(piecewise linear function)，在订购量事先给定的情况下求得其最适前置时间。

Ben-Daya和Raouf [3]采用Liao和Shyu [2]的想法，增加订购量为另一决策变数，推广为前置时间与订购量均为决策变数的存货模式，并提出一新的赶工成本函数。

接着，Ouyang等学者[4]，Oyuang和Wu [5-7] 延伸Ben-Daya和Raouf [3]的模式，考虑缺货成本，针对可控制前置时间探讨缺货数量允许部份欠拨(backorder)部份不补(lost sales)的混合存货模式；其中，前置时间内的需求量则假设服从常态分配或分配不知等情况。

Moon和Choi [8]，Hariga和Ben-Daya [9]则采用Ouyang等学者[4]的想法，增加请购点为另一决策变数，推广为前置时间、订购量与请购点三个决策变数的存货模式。

其他关於此领域方面的相关文献请参考Lan等学者[10]，Ouyang和Chang [11]，Pan 和Hsiao [12]等等。

再者，早期的存货管理中几乎很少考虑货币时间价值的影响，因为大部份的模式都假设利率极低，因此将其视为与决策无关的项目。

但是近年来，各国物价持续上涨而金钱购买能力则不断下跌，使得存货过剩，导致储存成本的增加与资金的冻结进而阻碍企业的经营与发展。

因此在存货管理中将货币时间价值的影响加以考虑是有其必要性的。

本文尝试同时考虑在可控制前置时间及货币时间价值因素的影响下，建立缺货数量允许部份欠拨与部份不补的混合存货模型。

其次，有关於前置时间内需求量的机率分配则考虑为分配不拘的情形，由於前置时间内需求量的机率分配未知，故无法求得精确的期望缺货量；因此，我们运用大中取小分配不拘的方法，找出具有最大期望总成本现值函数，进而求出使得期望总成本现值为最小的最适值，以谋定最佳的订购策略。

本文亦利用古典最佳化理论，证明了本模式之总变动成本函数型态为凸函数，进而找出使得总成本为最小之最适订购量、请购点及前置时间。

最後，以一范例来说明本研究的存货模式演算法，并对模式中各参数作敏感度分析。

2.符号说明与假设为了便利模型的建立，本文将采用下列的符号与假设。

本论文的符号说明如下：A= 每次订购的订购成本D= 单位时间内的需求量h= 每单位时间的单位存货持有成本Q= 经济订购量T = 周期时间长度α = 单位时间的折现率π = 每单位货品的缺货惩罚成本 0π = 每单位货品的边际利润 σ = 单位时间内需求量的标准差β =缺货期间缺货数量允许欠拨的比例，β-1则为销售损失的比例，10≤≤βX =前置时间内的需求量，为一随机变数，其累积分配函数为F ，其平均数为DL ，标准差为L σ Γ =前置时间内需求量具有相同的平均数DL 和标准差L σ之所有累积分配函数F 所形成的集合。

本论文的假设如下：(1)请购点r =前置时间内平均需求量+安全存量(Safety stock,)SS ；即L k DL r σ+=，其中k 为安全因子(Safetyfactor)。

(2)以连续盘查的方式记录存货水准，当存货水准降到订购点时，即发出订单订购。

(3)前置时间的长度)(L 不会超过订购周期)(T ，故在一个订购周期之内，只能发出一次订单订货。

(4)前置时间内的作业由n 个互相独立的成份所组成。

第i 个成份有充分赶工下的最小作业时间i a ，正常的作业时间i b 和单位时间的赶工成本i c 。

再者，为了方便起见，假设n c c c ≤≤≤ 21。

在充份赶工时，优先考虑第1个成份(因为它有最小的单位时间赶工成本1c )，接着是第2个成份，依此类推。

(5)假设令∑==nj ibL 10，并且定义i L 为成份1至i 皆充分赶工时的前置时间长度，则i L 的数学式为∑∑==--=ij j jnj i i a bb L 11)(，n i ,2,1=且在一个已知的前置时间[]1,-∈i i L L L 下，每一个订购周期赶工成本)(L R 为 ∑-=--+-=111)()()(i j j ji i i a bc L L c L R 并且 0)(0=L R(6)允许缺货并且缺货数量允许部分欠拨、部分不补。

(7)计划幅度是无限的。

3模式的建立与推导由於前置时间内需求量X 的机率分配未知，故一周期内的期望缺货数量⎰∞-=rx dF r x r B )()()(，其中r 为请购点。

每周期缺货欠拨的期望数量为)(r B β，而每周期缺货不补的期望数量为)()1(r B β-。

故每周期的缺货成本为[])()1(0r B βππ-+。

从Ouyang 等学者[4]，Moon 和Choi[8]，Hariga 和Ben-Daya[9]的文中得知，请购点L k DL r σ+=，而期望净存货在订购量Q 之前後分别以)()1(r B DL r β-+-与)()1(r B DL r Q β-+-+。

因此，一周期循环平均存货水准为[]D Q t Dt r B DL r Q /,0,)()1(∈--+-+β。

所以第一周期之存货持有成本的现值为： [])1(1][)1(2T e hDe r X E L k h T Tαααβσαα+-+---+=--+(1)式中的DQ T=。

接着利用Moon 与Yun[13]所提出的现金流量折现法(discounted cash flow, DCF)法，可以得到第一周期之存货总成本=订购成本+赶工成本+缺货成本+存货持有成本；即为[]αβσβππαTe r x E L k h r x E L R A -++---++--+++1][)1(][)]1([)(0)1(2T e hDT ααα+-+-(2)因为计划幅度是无限的，所以期望总成本的现值),,(L k T EPV 为=[]()T e hD e r X E L k h e r X E L R A TT T αααβσπααα+--+--++--++--+-+111][)1(1][)(2(3) 式中)1(0βπππ-+=。

当前置时间内的需求量X 之机率分配型式未知时，周期末期望缺货数量+-][r X E 将因而无法精确的求得。

然而，我们可以运用大中取小分配不拘程序，对於所有的),,(L k T ，在集合Γ中先行找出具有最大期望总成本现值的累积分配函数F ；接着在此一累积分配函数下，求出使得),,(L k T EPV 有最小值的最适),,(L k T 值。

若以数学符号表之，我们的问题乃是在求解),,(,,L k T EPV Max Min F Lk T Γ∈(4)我们注意到，从集合Γ中找出一个累积分配函数F 使得问题(4)具有最大期望总成本现值，相当於从模型(3)中找出+-][r X E 项的最大可能值；此一作业可利用下面的推理来完成。

推理一：(Gallego 和Moon[14]) 对任意的Γ∈F ，)}()({21][22DL r DL r L r X E ---+≤-+σ(5)并且可以找到一个累积分配函数F ，使得上式的等号成立。

因为L k DL r σ+=，且对於任何前置时间内需求量X 的机率分配上述不等式均可以满足；因此利用(5)式及模型(3)，问题(4)变成求解)1(112T e hD e TT αααα+--+-- (6)其中),,(L k T EPV 为),,(L k T EPV 的最小上界。

为了求得期望总成本现值),,(L k T EPV U的最小值，我们将(6)式分别对T 、k 、),(1-∈i i L L L 做一阶微分，得到下列式子：(7)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-++-+-=∂∂-)11)(1(211)11(1),,(2221k k L h k k e L L k T EPV k T U βασσπα(8)[]ασβσσπα4)1()1(21)1(41),,(22212121k k L L k h e k k L c L k T EPV L T i U -+-++--++-=∂∂----(9)接着，检视二阶充份条件(second order sufficient conditions)。

我们发现),,(L k T EPV U并非是),,(L k T 的一个凸函数。

然而，对任意给定的),(k T 而言，),,(L k T EPV U为),(1-∈i i L L L 的凹函数(concave function)，因为04)]1()1([)1(8)1(),,(221222232323<-+-+---+-=∂∂----ασβσσπαk k L L k h e k k L L k T EPV L T U(10)因此，对任意给定T 和k 值而言，最小期望总成本现值必发生在区间],[1-i i L L 的端点上。