北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质课件(45张PPT)
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北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件
3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增 大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二） 二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系： 二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大 小，a>0，图象开口向上，a<0，图象 开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一） 画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准： 答案正确加4分.
2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
(1,0).
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共21张PPT)
【答案】选B.
故障车，此时刹车
有危险（填“会”或
“不会”）.
【答案】会
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
拓展提升：
1.（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）
3.抛物线y =3x2+5的开口___向__上__，对称轴是_y__轴___， 顶点坐标是____(0__，__5_)___.
4.抛物线y =－2(x+1)2的开口_____向__下___，对称轴是 _直_线__x__=__－__1_，顶点坐标是___(_－__1_，__0_)___.
探究二：
y
画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象， 并与二次函数y=3x2的图象进行比较， 说明它们之间的关系.
探究一：
在同一坐标系中画出下列函数 的图象：
思考：它们的图象之间有 什么关系？
y
o
x
函数
的图象
向上平移2个单位
函数
的图象
函数
向右平移1个单位 的图象
y
o
x
【小组竞赛】
1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的__形__状___相同，
____位__置___不同. 2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的__形__状__相同， ___位__置____不同.
达式为____________．
【答案】
或
4．（宁夏·中考）把抛物线
北师大版九年级数学下册2.2.2《二次函数的图象与性质》课件
y=x2 二次函数y=x2、y=x2、
y= 12x2的图象都是抛物线、 开口方向、对称轴、顶点 坐标、增减性、最值都相同； 不同点是开口的大小不同.
1
x -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1
峨山镇中学
探究学习，获取新知
(4)请同学们想一想,在 同一坐标系中作二次函 数y=2x2和y=-2x2的图象 会是什么样？ 二次函 数y=-x2和y=-2x2的图象 会是怎么样的，它们有 什么共同特点？
y=2x120 y
8 6 4
2
y=x2
-4 -2 O 2 4 x
y=-x2 y=-2x2
峨山镇中学
探究学习，获取新知
（5）你能说出抛物线y=ax2对称轴、顶点 坐标是什么吗？抛物线y＝ax2的开口方向 和开口大小与什么有关？你能说出其中的 规律吗？ 抛物线y=ax2的对称轴是y轴；
顶点坐标（0,0）； a的符号决定开口方向， 当a＞0时,开口向上； 当a＜0时,开口向下； a 决定开口大小，a 越大,开口越小．
峨山镇中学
探究学习，获取新知
二次函数 形状
y=x2
y=2x2 抛物线
开口方向
开口方向相同，都向上
对称轴
对称轴都是y轴（直线x=0）
顶点坐标 顶点都是原点，坐标为（0，0）．
相同点
增减性
在y轴左侧，都是y的值随x值的增大而减小； 在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大．
最值
都有最低点，即原点，即函数都有最小值， 当x=0时，y的值最小等于0．
(1)在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象
x
－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
y=2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共23张PPT)
（2）y=-3x2与y=-0.5x2 （3）y=-2x2+2与y=-4x2+2
2、下列每组函数中，后一个函数的图象经 过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？
（1）y=-3x2与y=3x2 （2）y=0.3x2-2与y=0.3x2
（4）y=-5x2+6与y=5x2-1
3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象 在同一坐标系中可能是（ ）
北师大版数学九年级下册第二章
2.2二次函数的图象与性质
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？
形状 开口方向 对称轴
顶点
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？ 问题3：接下来，研究什么类型的二 次函数呢？
同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D． 3、利用图形计算器将函数 y = x2的图象左右 平移，猜测函数表达式如何变化？为什么？
谢谢大家！
函数
y=ax2
图象
a>0
a<0
开口
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点
（0,0）
（0,0）
a决定了图象的开口大小
函数
图象
开口 对称轴
顶点
y=ax2+c
a>0 向上 y轴 （0,c）
2. 改变y=2x2+c中的c值，猜测图象如何 变化，利用图形计算器验证自己的想法， 比较异同，思考原因，总结共性. 3. 思考y=ax2+c与y=ax2的图象有什么关 系？
动态验证
函数
2、下列每组函数中，后一个函数的图象经 过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？
（1）y=-3x2与y=3x2 （2）y=0.3x2-2与y=0.3x2
（4）y=-5x2+6与y=5x2-1
3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象 在同一坐标系中可能是（ ）
北师大版数学九年级下册第二章
2.2二次函数的图象与性质
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？
形状 开口方向 对称轴
顶点
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？ 问题3：接下来，研究什么类型的二 次函数呢？
同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D． 3、利用图形计算器将函数 y = x2的图象左右 平移，猜测函数表达式如何变化？为什么？
谢谢大家！
函数
y=ax2
图象
a>0
a<0
开口
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点
（0,0）
（0,0）
a决定了图象的开口大小
函数
图象
开口 对称轴
顶点
y=ax2+c
a>0 向上 y轴 （0,c）
2. 改变y=2x2+c中的c值，猜测图象如何 变化，利用图形计算器验证自己的想法， 比较异同，思考原因，总结共性. 3. 思考y=ax2+c与y=ax2的图象有什么关 系？
动态验证
函数
北师大版九年级数学下册课件 2.2 第4课时 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质
由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2，
∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小．
四、课堂小结
配方法
b 2 4ac b 2
y a( x )
2a
4a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
公式法
b 4ac b2
顶点： ( ,
)
2a
4a
b
对称轴： x
2a
五、当堂达标检测
议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？
2
b
4
ac
b
)
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标(- ，
2a
4a
（a>0）
O
y
x b
2a
（a<0）
最大值
x
最小值
O
y x b
2a
x
二、自主合作，探究新知
知识要点
函数
开口方向
对称轴
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
= + + (＞0)
轴是直线=1，顶点坐标为(1,4).
(2) y=2x2-12x+8；
(2) y = 2x2－12x+8
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9-9)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴
是直线=3，顶点坐标为(3,-10).
二、自主合作，探究新知
∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小．
四、课堂小结
配方法
b 2 4ac b 2
y a( x )
2a
4a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
公式法
b 4ac b2
顶点： ( ,
)
2a
4a
b
对称轴： x
2a
五、当堂达标检测
议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？
2
b
4
ac
b
)
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标(- ，
2a
4a
（a>0）
O
y
x b
2a
（a<0）
最大值
x
最小值
O
y x b
2a
x
二、自主合作，探究新知
知识要点
函数
开口方向
对称轴
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
= + + (＞0)
轴是直线=1，顶点坐标为(1,4).
(2) y=2x2-12x+8；
(2) y = 2x2－12x+8
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9-9)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴
是直线=3，顶点坐标为(3,-10).
二、自主合作，探究新知
北师大版九年级数学下册2.2 二次函数的图像与性质课件
增大。
y ax2 当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0图象开口 对性顶点 增减性O O
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x2
-10 y=－2x2
函数y=－ 1 x2,y=－2x2的图像与y=-x2的
2
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y 1
性质：当a＜0时，图象
开口向下，顶点是抛物
4.5 2 0.5
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
0 0.5
1 1.5
2 4.5
2…
8…
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=
1 2
x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图像都在x轴上方 y= 2x2 y=x2
y
y=x2
o
x
y
o
x
y=－x2
从图象可以看出,二次函数 y=x2和y=－x2的图象都是轴对 称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
实际上，每条抛物线都有对称轴， 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点；顶点是抛物线的最低点或 最高点
y ax2 当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0图象开口 对性顶点 增减性O O
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x2
-10 y=－2x2
函数y=－ 1 x2,y=－2x2的图像与y=-x2的
2
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y 1
性质：当a＜0时，图象
开口向下，顶点是抛物
4.5 2 0.5
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
0 0.5
1 1.5
2 4.5
2…
8…
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=
1 2
x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图像都在x轴上方 y= 2x2 y=x2
y
y=x2
o
x
y
o
x
y=－x2
从图象可以看出,二次函数 y=x2和y=－x2的图象都是轴对 称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
实际上，每条抛物线都有对称轴， 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点；顶点是抛物线的最低点或 最高点
最新北师大版数学九年级下册2.2《二次函数的图象与性质》课件
2.如图，抛物线y=x2中，当-1≤x≤2时， y的取值范围是____0_≤__y≤__4_____.
归纳小结
二次函数y=x2的图象是怎样的 二次函数y=x2的性质有哪些
二次函数y=-x2的图象是怎样的
二次函数y=x2的性质有哪些 作业：习题2.2
2.2二次函数的图象与性质（2）
知识回顾，问题引入 1.二次函数y=x2、y=-x2的图象
y=- x2: x= 0时，y最大值=0
例题讲解
已知二次函数y=x2.求： （1）当x=5时，y的值； （2）当y=4时，x的值； （3）当x为何值时，y随x的
增大而增大？
解：（1）把x=5代入，得 y=52=25.
（2）把y=4代入，得 x2=4，
解得x=±2 （3）当x＞0时，y随x的增大而增大.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线.
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
y=a(x-h)2+k
（a＞0） 向下
（a＜0）
y轴 （h，k）
增减性： a＞0时，x＞h，y随x的增大而减小 x＜h，y随x的增大而增大 a＜0时，x＞h，y随x的增大而增大 x＜h，y随x的增大而减小
最值： a＞0时，x=h，y最小值=k a＜0时，x=h，y最大值=k
它与二次函数y=x2 的图象关于x轴对称
图象 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2
抛 物
y=-x2 线
向上 向下
y轴 （0，0）
增减性： y=x2 : x＞ 0时，y随x的增大而减小 x＜0时，y随x的增大而增大
y=- x2: x＞ 0时，y随x的增大而增大
x＜0时，y随x的增大而减小 最值：
y=x2: x=0时，y最小值=0
归纳小结
二次函数y=x2的图象是怎样的 二次函数y=x2的性质有哪些
二次函数y=-x2的图象是怎样的
二次函数y=x2的性质有哪些 作业：习题2.2
2.2二次函数的图象与性质（2）
知识回顾，问题引入 1.二次函数y=x2、y=-x2的图象
y=- x2: x= 0时，y最大值=0
例题讲解
已知二次函数y=x2.求： （1）当x=5时，y的值； （2）当y=4时，x的值； （3）当x为何值时，y随x的
增大而增大？
解：（1）把x=5代入，得 y=52=25.
（2）把y=4代入，得 x2=4，
解得x=±2 （3）当x＞0时，y随x的增大而增大.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线.
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
y=a(x-h)2+k
（a＞0） 向下
（a＜0）
y轴 （h，k）
增减性： a＞0时，x＞h，y随x的增大而减小 x＜h，y随x的增大而增大 a＜0时，x＞h，y随x的增大而增大 x＜h，y随x的增大而减小
最值： a＞0时，x=h，y最小值=k a＜0时，x=h，y最大值=k
它与二次函数y=x2 的图象关于x轴对称
图象 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2
抛 物
y=-x2 线
向上 向下
y轴 （0，0）
增减性： y=x2 : x＞ 0时，y随x的增大而减小 x＜0时，y随x的增大而增大
y=- x2: x＞ 0时，y随x的增大而增大
x＜0时，y随x的增大而减小 最值：
y=x2: x=0时，y最小值=0
北师大版九年级下册二次函数的图象与性质 课件(20张)
列表
v
100 00 240 4106 6306 8604 100
0 8 32 72 128 200
新知探究 合作探究：
都在S轴的右侧（答案 不唯一）.
s/m
112 96 80 64 48 32 16
O 20 40 60 80 100 120 v/(km/h)
新知探究
2.如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比刹车距离相差
多少米？你是怎么知道的？ 解：如图，S=S雨-S晴
=36(m).
s/m
112 96 80 64 48 32 16
O 20 40 60 80 100 120 v/(km/h)
新知探究
3.在某一个雨天，有一个司机在限速为30km/h的路口停了下来，这时过来一 个警察告诉他超速驾驶了，可他说没有，如果他的刹车距离为32m,你认为他
y=x²
新知探究
做一做: 在下列平面直角坐标系中， 作出y=-x²及y=-2x²的图象.
x -2 -1 0 y=-2x2 -8 -2 0 y=-x2 -4 -1 0
12 -2 -8 -1 -4
问题：它们与二次函数y=x²和 y=2x²的图象又有什么异同？
y y=2x12 0
y=x2
8
6
4
2
-4 -2 O 2 4 x
y=-2x2
y=-x2
新知探究
【解析】
函数 图象形状 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2 抛物线 向上
抛物线 向上
y=x2 y=-2x2 抛物线 向下 y=-x2 抛物线 向下
y轴 （0，0） y轴 （0，0） y轴 （0，0） y轴 （0，0）
新知探究
北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图像与性质课件
二次函数性质总结
二次函数的增减性
当 $a > 0$ 时，在对称轴左侧，函数值随 $x$ 的增大而 减小；在对称轴右侧，函数值随 $x$ 的增大而增大。当 $a < 0$ 时，情况相反。
二次函数的最大值和最小值
当 $a > 0$ 时，二次函数有最小值，且最小值为顶点的纵 坐标；当 $a < 0$ 时，二次函数有最大值，且最大值为顶 点的纵坐标。
THANKS
感谢观看
$B(2,0)$ 和 $C(3,4)$，求该二次 函数的解析式。
例题2
已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ ，求该函数图像的顶点坐标和对称 轴方程。
例题3
已知二次函数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ ，判断该函数图像与 $x$ 轴的交点 情况。
解题思路与方法总结
01
对于已知图像上三个点的二次函数求解析式问题，可以通过设一般式或交点式 进行求解，利用待定系数法确定系数。
02
当函数图像沿y轴向上（下）平移 h个单位时，函数表达式中的y替 换为y+h（y-h）。
对称变换规律
当函数图像关于x轴 对称时，函数表达式 中的y替换为-y。
当函数图像关于原点 对称时，函数表达式 中的x和y分别替换为 -x和-y。
当函数图像关于y轴 对称时，函数表达式 中的x替换为-x。
伸缩变换规律
二次函数的顶点坐标 $(- frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$ 与一元二次方程的解有密切关系，当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，顶点在x轴下方，方程有两个不相等的实根；当 $Delta = 0$ 时，顶 点在x轴上，方程有两个相等的实根；当 $Delta < 0$ 时，顶点在x轴上方，方程无实根。
北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共28张PPT)
当x= h 时，y有最 小 值，是 0 。 当x= h 时，y有最 大 值，是 0 。
增减性
当 X> h 时，y随x的增大而增大， 当 当 X< h 时，y随x的增大而减小。 当
X< h 时，y随x的增大而增大， X> h 时，y随x的增大而减小。
左右平移规律 （左加右减）
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位
y
y=2(x+3)2
5
y=2x2
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
y=2(x+3)2 -1/2
-1
y
y=2(x+3)2
5
y=2x2
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
y=2(x+3)2 -1/2
-1
二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质
二次函数
完成课本39页习题2.4 1-4题。
2.选做题：
(1)若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),则
平移后的抛物线的解析式为
。
(2)二次函数
y 1 x 42
3
3
,当 1
x5
时，y的最大值为
，
最小值为 。
3.预习作业：
完成练习册66页预习案。
2.在同一直角坐标系中，二次函数
y1
1 2
x2，y2
x2，y3
3x2
的
图象开口由大到小的顺序是 y1 y2 y3 。
北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共17张PPT)2
你能总结二次函数y=ax2 的图象与性质吗？
y= -2x2
y 1 x2 2
y= -x2
在下面坐标系中画出y=2x2+1和y=2x2-2的图象
y= 2x2+1 y= 2x2
y= 2x2-2
二次函数y=2x2+1的图象与二 次函数y=2x2的图象有什么关 系？它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么？
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
人要学会走路，也得学会摔跤， 而且只有经过摔跤才能学会走路.
——马克思
2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系
y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的 当c>0 时，向上平移c个单位; 当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
4、请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称 轴为y轴，开口方向不同。
5、请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称 轴为y轴，开口方向相同。
1.y=ax2(a≠0)的图象的特征 (1)y=ax2的图象是一条抛物线. (2)其顶点坐标是（0，0）. (3)对称轴是y轴（也可写作直线x=0）. (4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下. 随着︱a︱的增大，开口将越来越小.
当x=0时, 最大值为0.
1、在同一坐标系中作二次函数y=x2、y=2x2和
y 1 x2 2
的图象．
2、在同一坐标系中作二次函数y=-x2、y=-2x2和 y 1 x2
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做一做
在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？ x
y=-x2
…
…
-3
-9
-2
-4
-1
-1
0
0
1
-1
2
-4
3
-9
…
…
你能根据表格中的数据作 出猜想吗？
做一做
描点,连线
y 2 0
-4
-3
-2
-1
y 0
y=x2
它们之 间有何 关系？
x
?
y=-x2
0 x
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
y x2
３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 y=x2 （0，0） y轴 在x轴的上方(除顶点外) 向上
y x2
y= -x2
（0，0） y轴 在x轴的下方( 除顶点外) 向下
y x
2
当x>0 (在对称轴的右 侧)时, y随着x的增大 而减小.
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而增大.
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点
外),顶点是它的最高点,开口向下,并 且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值
最大,最大值是0.
做一做
y
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
y
y= x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当 a=±1时的特殊例子.a的 符号确定着抛物线
0
x
的……
y=-x2
y x2
二次函数y=ax2的性质
y x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无 限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且 向下无限伸展.
<列表>
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
做一做
描点,连线
y
10 8 6 4
2 y=x
?
-4 -3 -2 -1
2 0 -2 1 2 3 4 x
议一议
观察图象,回答问题串
y
10
2 y=x
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流 . 8 (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出 6 几对对称点,并与同伴交流. 4 (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? 2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 1 的值如何变化？当x>0呢？
yx
2
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
当x>0 (在对称轴的右侧) 时, y随着x的增大而增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上,并且向 上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小, 最小值是0.
开口方向
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函 数y=x2和y=-x2的图象
0
x
y=-x
y
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y 当x= -2时,y= -4 当x= -1时,y= -1
当x=1时,y= -1 当x=2时,y= -4
?
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
点有两个，它们分别是
x 3 所以纵坐标为-6的 ( 3,6)与( 3,6)
例题欣赏
知道就做别客气
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） ,对称轴是 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的左 y轴 ,
侧,y随着
-1 -2
-4 -6
1
2
3
4
x
?
-8 -10
y=-x2
做一做
观察图象,回答问题串
y 2
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 （2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? -2
（3)当x<0时,随着x的值增大,y-4 的值如何变化？当x>0呢？ （4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？ -6 （5)图象是轴对称图形吗？如果是 -8 ,它的对称轴是什么?请你找出几 对对称点,并与同伴交流. 2 -10
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. 解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. （2）因为 4 2(1) 2 ,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
北师大版九年级下册第二章《二次函数》
有的放矢
学习目标 1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象；
2、根据函数y=x2和y=-x2图象，直观地了解它的性质.
有的放矢
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？ 你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
-3 -2 -1 0?最小值是什么？你是如何知道的？ 1 2 3 4 x (5)当x-4 取什么值时 ,y的值2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
x的增大而减小,当x= 抛物线y=2x2在x轴的
0
上
时,函数y的值最小,最小值是 方(除顶点外).
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的
增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增 大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
例题欣赏
我思，我进步
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.