第3章 无处不在的波1：振动和机械波

六、简谐振动的旋转矢量表示法

当
t 0时
A

以 o为
原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x0 A cos
x0
x
x 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.

t t 时
A
以 o为
原点旋转矢
t
量 A的端点
o
x A cos(t )
x
在
x 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
矢量 A的
波动过程的主要特征：
（1）有一定的传播速度；
（2）沿着波的传播方向有能量的传播 （3）有反射、折射、干涉、衍射等现象 （4）波动是振动状态（相位、波形）的传播 一、 机械波
1、产生条件：有波源和弹性媒质
横波：振动方向与传播方向垂直
纵波：振动方向与传播方向平行
2、几点说明： 1）波是振动状态（相位）的传播，各质点在 平衡位置附近振动，不随之传播，（横波）沿 x方向传播，各质点在y方向上运动。 2）波速和质点的运动速度不同
二．平面简谐波的波动方程 1.波动方程的标准形式（向右）
x 1） y A cos[ (t u ) ]
2 x 2 y A cos(t ) A cos( t ) T t x A cos[ 2 ( ) ] T
2 x
t x 2） y A cos[ 2 ( ) ] T

A sin
x0 (
2
A
机械能守恒
1 2 1 2 1 2 kA kx0 mv0 2 2 2

v0
)
2
2） 的确定
x0 A cos
v0 A sin
v0
x0 A cos

A sin
v0 tan x0
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
y 1.2 10 3 cos( 105 t 220 x )m 求:
A, , , u ；
解： y A cos 2 ( t x )
T 3 A 1.2 10 m 5 1 10 4 5 10 Hz T 2 2 2 2 220 220 110 4 3 u 5 10 1.4 10 m / s
1 Ek mv 2 2
势 能
E p 1 kx 2 2
1 kA2 cos2 ( t ) 2
E p max , E p min , E p
情况同动能。
1 2 E E k E p kA 2
机械能
简谐振动系统机械能守恒
E
Ek
Ep
2 1 E = 2 kA
o
x
t
o
谐振子的动能、势能及总能量
t x = A cosω t
例：某物体作谐振动，振动方为 x 2 cos( 5 t

6
)m
则该物体振动的振幅、圆频率、频率、周期、 初相 以及初始时刻的速度、加速度、各是多少。 解：
A 2m

k 5 m
T
2
1 2.5Hz T 6

0.4s
dx v A sin( t ) dt
1 2 2)频率 ： 圆频率 ： 2 T T 3)波长：两个相邻的振动位相相差2π的两质点 间的距离λ ；或一个完整波的长度；或一个周 期内任一振动状态传播的距离。 4) 波速(相速)： u
T

纵波在固体中
u Y
G
Y-杨氏弹性模量 G-固体的切变弹性模量
1）运动学方程
f kx ma kx
d x k a 2 x dt m
2
k 令＝ m
d x
dt
2
2
x 0
2
2）简谐振动的运动方程
x A cos(t )
振幅 A
初相位
角频率
物体运动时，其位移总是时间的正弦或余弦 函数。则物体作简谐振动
以下三种方法可以证明一个物体是否作简谐振动
波速：在传播方向上振动状态传播的速度
质点运动速度：在各自平衡位置附近质点的运 动速度。 3）振动方向和传播方向不同 4）机械波的频率等于波源的频率
3、波的几何描述 1)波面：媒质中振动相位完全相同的点所连 成的面--同相面
2)波前：处于最前面的波面
球面波,平面波,柱面波 3)波线：表示波传播方向的线,波线与波面垂直 4、波的物理描述 1）周期T 波前进一个完整的波所用的时间 (与波源振动等周期而与媒质无关)
第三章
无处不在的波
振动 1）作周期运动的相对于平衡位置在同一路线来回往 复运动.其运动形式有直线、平面和空间振动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体 中原子的振动等.
2）一些描述物体运动状态的物理量也常常在 某一数值附近来回往复变化，物理量的这种 周期性的变化也称为振动 例如交流电中的电流强度、电压等
2、讨论 1）x 一定,为处质点的振动方程： y A cos(t ) 2）t t1 时刻的波形 t 1 3）行波：波形的传播 4）若波沿 x 方向传播，则：
y A cos( t
y A cos(t 1
x
u
)
x
u
)
例、已知平面简谐波的波动方程为:
x A cos(t )
π v A sin(t ) A cos(t ) 2
a A cos(t ) A 2 cos(t π )
2
四、决定A、、的因素 1、决定的因素
对弹簧振子：
m T 2 k
1 2
结论
A
A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
2 1 2π
r2 r1
若 1 2 则 2 π

波程差
r2 r1
k
k 0,1,2,
振动始终加强
A A1 A2
3)
(k 1 2)
x0 通常有两个可能的值 或由cos A v0 A sin 确定其值 再由
例：已知： t 0 时，
x0 A 2
v0 0 ，求 v 0 0，求
：已知： t 0时，
x0 0
五、 简谐振动的能量
以弹簧振子为例 谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
A A1 A2
k 0,1,2,
振动始终减弱

其他
A1 A2 A A1 A2
五、声波 超声波 次声波 1、声波为纵波,是机械波中最典型的波 2、声波超声波次声波之频率范围
次声波： 3 Hz ～ 20Hz 10
20 声波： Hz ～
超声波：20000Hz
20000Hz
轻弹簧—质量忽略不计 物体—可看作质点
2）单摆
C
x mg f mg sin mg x l l 很小， 的方向和 x 的方向可以 f 看作在一条直线上,且方向始终 相反
mg 令：k l
T
x
O
x

mg
f
f kx
结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。
2、运动学特征
即T 2 / 时，运动状态完全恢复
3、频率 ：单位时间内振动的次数。
1/T
4、角频率 ：
对弹簧振子：
2 / T 2
1 2 k m
m T 2 k

k m
固有周期、固有频率、固有角频率
单摆

g l
l T 2 g
1 2
g l
3、位相和初位相
3、声强、声压和声强级 1）声压：媒质中有无声波时的压强差
P：有声波传播时
～
10 Hz
11
P P0
P0：无声波传播时
2）声强
声强I :单位时间内通过垂直于声波 传播方向 上的单位面积上的能量。
度 声强（W m-2） 响 1 1 10-2 震耳 响 交通繁忙的街道 10-5 10-6 正常 通 常 谈 话 10-10 耳 语 轻 树 叶 沙 沙声 10-11 极轻 引起听觉的最低声音 10-12 声 源 引起痛觉的声音 炮 声 铆 钉 机
v A sin(t )
1 2 E k mv 2 1 kA 2 sin2 ( t ) 2
x A cos(t )
1 2 E p kx 2
1 kA 2 cos 2 (t ) 2
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 能
1 Ek max kA2 Ek min 0 2 1 t T 1 2 1 2 2 E k E k dt kA kA sin ( t ) T t 4 2
v t 0
dx dt
t 0
A sin 2 sin

6
1m / s
dv d x 2 a 2 A cos(t ) dt dt
a t 0 dv dt
t 0
2
d 2 cos 25 3 2 m / s 2
横波在固体中 u

在绳或弦中： u T T-张力， －线密度 u u 关系式： u , uT .2 T
5.平面简谐波： 简谐波：波源是简谐振动时，媒质中各质点也同 样均作简谐振动。
平面简谐波：波源在－∞处，在均匀无吸收的无 限大介质中，以波速u沿x轴传播。 媒质均匀（u＝常数）；不吸收（A恒定）；无限 大（无反射、折射）