2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛
试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分56分，每小题7分。

）
1．已知复数m 满足11=+m m ，则=+200920081m
m 0 ． 2．设2cos sin 2
3cos 21)(2++=x x x x f ，]4,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为3[2,2]4．
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15152211,,,a S a S a S 中最大的是88
S a ． 4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且5102=+y x ，则=∠BAC cos 13
． 5．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点．则四面体1MNB O -的体积为748
． 6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ⊆}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 1600 组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．）
7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值
为1．
8．设p 是给定的正偶数，集合},3,2
2|{1N ∈=<<=+m m x x x A p p p 的所有元素的和是21122p p ---．
二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。

）
9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2
122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+，其中n m n m ≥∈,,N ．
（1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ；
（2）证明：11112009
21<+++a a a ． 证明 （1）在已知关系式)(2122n m n m n m a a n m a a +=
+-+-+中，令n m =，可得00=a ；
令0=n ，可得
m a a m m 242-= ①
令2+=n m ，可得
)(2
12242222n n n a a a a +=-+++ ② 由①得)1(24122+-=++n a a n n ，62412=-=a a ，)2(24242+-=++n a a n n ，n a a n n 242-=，
代入②，化简得2212+-=++n n n a a a ． ------------------------------------------7分
（2）由2212+-=++n n n a a a ，得2)()(112+-=-+++n n n n a a a a ，故数列}{1n n a a -+是首项为201=-a a ，公差为2的等差数列，因此221+=-+n a a n n ．
于是∑∑==-+=+=+-=n
k n k k k n n n k a a a
a 1101)1(0)2()(． 因为)1(1
11)1(11≥+-=+=n n n n n a n ，所以 1201011)2010120091()3121()211(111200921<-=-++-+-=+++ a a a ．
------------------------------------------14分
10．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．
解 令x x x x =++321，y x x =+54，z x =6，则1,2,3≥≥≥z y x ． 先考虑不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解．
1,2,3≥≥≥z y x ，123215≤--=∴y x z ，21≤≤∴z ．----------------------------------5分
当1=z 时，有163=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)4,4(),3,7(),2,10(),(=y x ．
当2=z 时，有113=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)2,5(),(=y x ． 所以不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解为
)2,2,5(),1,4,4(),1,3,7(),1,2,10(),,(=z y x ． ------------------------------------------10分
又方程)3,(321≥∈=++x N x x x x x 的正整数解的组数为2
1x C -，方程y x x =+54)2,(≥∈x N y 的正整数解的组数为1
1C -y ，故由分步计数原理知，原不定方程
的正整数解的组数为
81693036C C C C C C C C 112
4132312261129=+++=+++． ------------------------------------
------15分
11．已知抛物线C ：22
1x y =与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点．
(1)证明：直线AB 恒过定点Q ；
(2)若点P 与（1）中的定点Q 的连线交抛物线C 于M ，N 两点，证明：QN QM
PN PM
=．
证明 (1)设11(,)A x y ，则21121x y =
． 由22
1x y =得x y ='，所以11|x y x x ='=． 于是抛物线C 在A 点处的切线方程为)(111x x x y y -=-，即11y x x y -=． 设)1,(00-kx x P ，则有11001y x x kx -=-．
设22(,)B x y ，同理有22001y x x kx -=-．
所以AB 的方程为y x x kx -=-001，即0)1()(0=---y k x x ，
所以直线AB 恒过定点)1,(k Q ． ------------------------------------------7分
(2)PQ 的方程为002()1kx y x k x k -=-+-，与抛物线方程22
1x y =联立，消去y ，得 02)22(4
2002
002=---+---k
x k
x k x k x kx x ．
设),(33y x M ，),(44y x N ，则
k
x k
x k x x k x kx x x ---=--=+0024300432)22(,42 ① 要证QN QM PN PM =，只需证明k
x x k x x x x
--=--43
0403，即
02))((2043043=+++-kx x x x k x x
② 由①知，
②式左边=000000224
2)(4)22(2kx k
x kx x k k x k
x k +--+----
0)
(2)42)((4)22(20000002=--+-+---=k
x k x kx kx x k k x k ．
故②式成立，从而结论成立． ------------------------------------------15分
12．设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：
22
222)(4b a a d d c c b b a -+≥+++．
证明 因为4=+++d c b a ，要证原不等式成立，等价于证明
d c b a b a d c b a a d d c c b b a +++-++++≥+++2
2
222)(4
① ----------------5分
事实上，
)(2
2
22d c b a a d d c c b b a +++-+++
)2()2()2()2(2
222d a a
d c d d c b c c b a b b a -++-++-++-+= 2222)(1)(1)(1)(1a d a
d c d c b c b a b -+-+-+-= ②----------------10分
由柯西不等式知
22
2
2
()()()()[]()a b b c c d d a a b c d b c d a ----++++++ 2|)||||||(|a d d c c b b a -+-+-+-≥ ③----------------15分
又由||||||||a b a d d c c b -≥-+-+-知
22)(4|)||||||(|b a a d d c c b b a -≥-+-+-+- ④ 由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立． ------------------------------------20分。