第二章数列单元质量评估(一)(新人教版必修5)

合集下载

高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷

高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。

试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2．（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4，所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。

高中数学第二章数列训练卷(一)新人教A版必修5(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第二章数列训练卷（一）新人教A 版必修51 / 1312018-2019学年高中数学第二章数列训练卷（一）新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章数列训练卷（一）新人教A 版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第二章数列训练卷（一）新人教A 版必修5的全部内容。

数列（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在数列{}na中，12=a，1=221n na a＋＋,则101a的值为( ）A．49 B．50 C．51D．522．已知等差数列{}na中,7916a a+=，41a=，则12a的值是（ ) A．15 B．30 C．31D．643．等比数列{}na中，29a=，5243a=，则{}n a的前4项和为( ）A．81 B．120 C．168D．1924．等差数列{}na中，12324a a a++=-，18192078a a a++=，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200D．2205．数列{}na中,37 ()na n n+=∈N－，数列{}n b满足113b=,1(72)2n nb b n n+≥=∈N－且,若logn k na b+为常数，则满足条件的k值（）A．唯一存在,且为132 / 1323 / 133B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在6．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x +=-的两根，则4a 等于（） A ．8 B ．8-C ．8±D ．以上都不对7．若{}n a 是等比数列,其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（） A ．1或2 B ．1或2- C．1-或2D ．1-或2-8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于( ) A ．3:4 B ．2:3 C．1:2D ．1:39．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且1a ，3a ,9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于（）A ．1514B ．1213C．1316D ．151610．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( ） A ．21 B ．20 C．19D ．1811．设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ,Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（）A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X =--C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X =--12．已知数列1，12，21，13,22，31，14,23，32，41，…，则56是数列中的（） A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项D ．第51项二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上）1311的等比中项是________．4 / 13414．已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．15．“嫦娥奔月,举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是______秒．16．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >，9910010a a ->,99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<;②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是________．（填写所有正确的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-,60a =．（1)求{}n a 的通项公式；(2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．5 / 13518．（12分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 的前n 项和S n ．19．（12分）已知数列{}2log 1()() n a n *∈N －为等差数列,且13a =，39a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；6 / 136(2）证明：213211111n na a a a a a ++++<---．20．（12分)在数列{}n a 中，11a =,122n n n a a =+＋．（1）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．7 / 13721．(12分）已知数列{}n a 的前n项和为n S ,且11a =,11,2,1(,)23n n a S n +==． (1）求数列{}n a 的通项公式； (2）当()132log 3n n b a =＋时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T nn =+．8 / 13822．（12分)已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意n *∈N ,它的前n 项和n S 满足1()()612n n n S a a =++,并且2a ，4a ,9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；(2）设11()1n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（一）答案一、选择题 1．【答案】D【解析】由1=221n n a a ++得11=2n n a a -＋,∴{}n a 是等差数列首项12=a ，公差1=2d ，∴13212)2(n n a n =++-=，∴1011013522a +==．故选D ． 2．【答案】A【解析】在等差数列{}n a 中，79412a a a a +=+， ∴1216115a =-=．故选A ． 3．【答案】B【解析】由352a a q =得3q =．∴213a a q==,44411133120113q S a q --=⨯=--＝．故选B ． 4．【答案】B 【解析】∵123181920120219318()()()()()a a a a a a a a a a a a +++++=+++++120()3247854a a +=+=-=，∴12018a a +=．∴12020201802S a a +==．故选B ． 5．【答案】B【解析】依题意，133213111127333n n n n b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴32log 37log 11()3373l g 32o n n k n k ka b n n n -⎛⎫+== ⎪⎭+⎝-+-- 1133log 372log 3k k n ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭, ∵log n k n a b +是常数,∴133log 03k +=，即log 31k =，∴3k =．故选B ．6．【答案】A【解析】∵2634a a +=，2664a a ⋅=,∴2464a =, ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8．故选A ． 7．【答案】C【解析】依题意有4652a a a =-,即24442a a q a q =-,而40a ≠，∴220q q --=,1)20()(q q +=-．∴1q =-或2q =．故选C ．8．【答案】A【解析】显然等比数列{}n a 的公比1q ≠，则由105510551111221S q q q S q -==+=⇒=--，故3155315555111132141112S q q S q q ⋅⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====⎛⎫---- ⎪⎝⎭．故选A ． 9．【答案】C【解析】因为1239a a a =⋅,所以2111()()28a d a a d +=⋅+．所以1a d =．所以1391241013101331316a a a a d a a a a d +++==+++．故选C ．10．【答案】B【解析】∵214365(())3)(a a a a a a d -+-+-=， ∴991053d -=．∴2d =-．又∵135136105a a a a d ++=+=，∴139a =． ∴()()221140204002n n n d n n na n S -=+=-+=--+．∴当20n =时,n S 有最大值．故选B ． 11．【答案】D【解析】由题意知n S X =,2n S Y =，3n S Z =．又∵{}n a 是等比数列,∴n S ,2n n S S －，32n n S S －为等比数列, 即X ,Y X -,Z Y -为等比数列， ∴2()()Y X X Z Y ⋅=--，即222Y XY X ZX XY +-=-， ∴22=Y XY ZX X --，即()()Y Y X X Z X =--．故选D ． 12．【答案】C【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个,…，第n 组n 个，即11⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭,123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12,,,11n n n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,则第n 组中每个数分子分母的和为1n +，则56为第10组中的第5个,其项数为1239)550(++++=+．故选C ．二、填空题13．【答案】1±【解析】11的等比中项为a ，由等比中项的性质可知，)2111a ==，∴1a =±． 14．【答案】4- 【解析】由6723502360a d a d =+≥⎧⎨=+<⎩，解得232356d -≤<-，∵d ∈Z ，∴4d =-． 15．【答案】15【解析】设每一秒钟通过的路程依次为1a ，2a ,3a ,…，n a ，则数列{}n a 是首项12a =,公差2d =的等差数列，由求和公式得()112402n na n d -=＋，即(12)240n n n +-=，解得15n =． 16．【答案】①②④【解析】①中，()()9910099100111011a a a a a ⎧--<⎪>⎨⎪>⎩⇒99100101a a >⎧⎨<<⎩100990,1()q a a =∈⇒，∴①正确．②中,29910110010099101011a a a a a a ⎧=⎪⇒⎨<<⎪⎩<，∴②正确． ③中，100991001010090901T T a a T T =⎧⇒⎨<<<⎩，∴③错误．④中,()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a =>＝＝，()()199121981991199991011001T a a a a a a a a a ⋅<==，∴④正确．三、解答题17．【答案】（1）212n a n =-；（2)()413n n S =－．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵36a =-，60a =， ∴112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-,2d =．∴101()2212n a n n =-⨯=-=-．（2）设等比数列{}n b 的公比为q ．∵212324b a a a =++=-,18b =-,∴824q -=-，3q =．∴数列{}n b 的前n 项和公式为()111413n n nS q b q-==-－． 18．【答案】()9n S n n =-或(9)n S n n -=-．【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ++=-⎧⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩, 解得182a d =-⎧⎨=⎩，或182a d =⎧⎨=-⎩．因此8()19()n S n n n n n +-=-=-,或81()9()n S n n n n n ==----． 19．【答案】(1）21n n a =+；（2）见解析．【解析】（1）解设等差数列{}2(og )l 1 n a －的公差为d ．由13a =,39a =，得22log 91log 32()(1)d --=+,则1d =．所以2log 1111()()n a n n +-=⨯-=，即21n n a =+．（2)证明因为11111222n n nn n a a ++==--， ∴12321321111111111112221112222212n n n n n a a a a a a +-⨯+++=++++==-<----．20．【答案】（1）见解析；（2）1()21n n S n -⋅=+．【解析】（1）证明由已知122n n n a a =+＋，得1111122222nn n nn n n nn a b a b a +-++===+=+．∴11n n b b -=＋，又111b a ==．∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．（2）解由（1）知，n b n =,12n n n n a b -==．∴12n n a n ⋅=－．∴121122322n n S n +⋅⋅+=⋅++－，两边乘以2得:()11221222122n n n S n n =++⋅+-⋅+⋅⋅－，两式相减得：12112222(21?221)1n n n n n n S n n n ++-=-=-++⋅---－＝，∴1()21n n S n -⋅=+．21．【答案】（1）21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩;（2)见解析．【解析】（1)解由已知()1112,212n nn n a S a Sn +-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≥，得()1322n n a a n +≥=．∴数列{}n a 是以2a 为首项，以32为公比的等比数列．又121111222a S a ===，∴()22322n n a a n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭=⨯．∴21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩．（2）证明()11log 3lo 3333=2222g n n n n b a -⎡⎤⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋．∴()1111111n n b b n n n n +==-++． ∴12233411111111111111122334n n n T b b b b n b b b b n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+ 1111nn n=-=++． 22．【答案】（1）32,n a n n *=-∈N ；(2)22186n T n n -=-．【解析】(1)∵对任意n *∈N ，有1()()612n n n S a a =++，① ∴当1n =时，有1111112()()6S a a a ==++，解得11a =或2．当2n ≥时，有1111())62(1n n n S a a ---=++．② ①－②并整理得113()()0n n n n a a a a --+--=．而数列{}n a 的各项均为正数,∴13n n a a --=．当11a =时，(1313)2n a n n +-=-=，此时2249=a a a 成立；当12=a 时,23=(3=11)n a n n +--,此时2249=a a a 不成立,舍去． ∴32,n a n n *=-∈N ．（2)212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a =++=-+-++-＋21343522121()()()n n n a a a a a a a a a =-+-++-－＋242666n a a a --=-- 242(6)n a a a ++=-+246261862n nn n +-=-⨯-=-．。

人教版高中数学高二必修五第二章《数列》质量检测

对应阶段质量检测P(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．112 B ．12 2 C ．13 2D ．14 2解析：∵a 1＝－2，d ＝2， ∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2. 答案：C2．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．2解析：由递推关系式得a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0， a 5＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1. 答案：A3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个解析：设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2.∴a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65. 答案：B4．(2012·潍坊质检)设S n 为等差数列{a n }的前n项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( )A.14B.94C.134D.174解析：由题意可知，⎩⎨⎧ 8a 1＋8×(8－1)d2＝30，4a 1＋4×(4－1)d2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14d ＝1，故a 4＝a 1＋3＝134.答案：C5．(2011·山西四校第二次联考)设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n的取值范围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]解析：依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝12a n ，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n ，所以S n ∈[12，1)．答案：C6．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①解析：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3；当n ＝3时，a 3＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5＝15.故①④正确．答案：C7．(2012·泰安高二检测)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3D.32解析：由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3， ∴a 20＝a 2＝－ 3. 答案：B8．若数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4 017B ．4 018C ．4 019D ．4 020解析：由a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0及a 1>0得a 2 009>0，a 2010<0且|a 2 009|>|a 2 010|， ∴S 4 017＝4 017(a 1＋a 4 017)2＝4 017a 2 009>0. S 4 018＝4 018(a 1＋a 4 018)2＝4 018(a 2 009＋a 2 010)2>0，S 4 019＝4 019(a 1＋a 4 019)2＝4 019a 2 010<0. 答案：B9．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n }为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12D.12解析：a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－12.答案：C10．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20解析：∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， ∴a 11＋a 10>0. S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192·2a 10<0. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2.将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n (n ＋1)2＋1. 答案：n (n ＋1)2＋1 12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的通项公式是________．解析：n ≥2时，S n ＝32a n －3，①S n －1＝32a n －1－3，②①－②知a n ＝32a n －32a n －1，即12a n ＝32a n －1，∴a n a n －1＝3，由S n ＝32a n －3得S 1＝a 1＝32a 1－3，故a 1＝6，∴a n ＝2·3n . 答案：a n ＝2·3n13．数列{a n }的前20项由如图所示的程序框图依次输出的a 值构成，则数列{a n }的一个通项公式a n ＝________.解析：由框图知a 1＝0＋1＝1，a 2＝a 1＋2＝1＋2， a 3＝a 2＋3＝1＋2＋3，…， a n ＝a n －1＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝n (n ＋1)2.答案：n (n ＋1)214．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a100元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________．解析：设第二层到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a100，共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2.答案：123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2 三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2009年底，将当地沙漠绿化了40%，从2010年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)解析：设该地区总面积为1,2009年底绿化面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2009年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.依题意a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，所以a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋325，即a n ＋1－35＝45(a n －35)，∴{a n －35}是以－15为首项，45为公比的等比数列．则a n ＋1＝35－15(45)n .∵a n ＋1>50%，∴35－15(45)n >12.∴(45)n <12. n >log 4512＝lg 21－3lg 2＝3.则当n ≥4时，不等式(45)n <12恒成立．所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.16．(本小题满分12分)(2011·临沂高二检测)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝1－(－1)n 2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<163.解析：(1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数，又∵{a 1，a 2，a 3} {－4，－3，－2,0,1,2,3,4}， ∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1. ∴q ＝a 2a 1＝24＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝82n .(2)由已知得b n ＝8[1－(－1)n ]2n ＋1，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n .即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，(n ＝2k ，k ∈N *)a n ，(n ＝2k －1，k ∈N *)∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1 ＝4[1－(14)n ]1－14＝163[1－(14)n ]<163. 17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝68a 1＋28d ＝－4. 解得a 1＝3，d ＝－1.∴a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)可得，b n ＝n ·q n －1，则S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1①若q ≠1，将上式两边同乘以q 得qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋3·q 3＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ② ②－①得，(q －1)S n ＝nq n －1－q －q 2－…－q n －1 ＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.∴S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.综上S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.18．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .解：(1)由a n ＋S n ＝1，得a n ＋1＋S n ＋1＝1，两式相减得 a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0， ∴2a n ＋1＝a n ，即a n ＋1＝12a n .又n ＝1时，a 1＋S 1＝1，∴a 1＝12.又a n ＋1a n＝12，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝12·(12)n －1＝(12)n.(2)b n ＝3＋log 4(12)n＝3－n 2＝6－n 2.当n ≤6时，b n ≥0，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (11－n )4；当n >6时，b n <0，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b 6－(b 7＋b 8＋…＋b n ) ＝6×54－[(n －6)(－12)＋(n －6)(n －7)2·(－12)]＝n 2－11n ＋604.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (11－n )4 (n ≤6)n 2－11n ＋604 (n ≥7).。

2021年新人教版高一数学必修5第二章数列单元测试及答案

浙江省瓯海中学高一数学必修5第二章《数列》单元测试班级姓名座号一、选择题(每小题6分)1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为( )A ．12-=n a nB ．)12()1(--=n a nnC ．)21()1(n a n n --=D ．)12()1(+-=n a nn2、等比数列2，4，8，16，…的前n 项和为( )A ．121-+nB ．22-nC ．n 2D ．221-+n3、等比数列{}n a 中，已知112733n a a q ===，，，则n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．64、等比数列{}n a 中，9696==a a ，，则3a 等于( )A ．3B ．23C ．916D ．45、若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 最大值n= ( )A ．13B ．14C ．15D ．14或156、等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，如果521a a a 、、成等比数列，那么等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．2±7、等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是( )A ．130B ．170C ．210D ．2608、数列{a n }的通项公式是a n =1(1)n n +(n ∈N*)，若前n 项的和为1011，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题(每小题6分)9、等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d =-2 时，n =______________ 10、{}a n 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,=++a a a 963 _______11、在等差数列{}n a 中，35791120a a a a a ++++=，则113a a += __________12、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______三、解答题13、(本题10分)求数列11111,2,3,424816…的前n 项和。

人教版数学必修五《数列》单元质量评估试题(含解析)

《数列》单元质量评估试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．6722．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．84．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大5.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( )A.n （n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.n 2（n ＋1）D.2nn ＋16．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为( ) A ．－2 013 B ．－1 017 C ．2 013 D ．1 0077．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－28．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.15810．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，4] C ．(－∞，5) D ．(－∞，3] 11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( ) A ．d ＜0 B ．d ＞0 C ．a 1d ＜0 D ．a 1d ＞012．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( ) A ．q B ．12q C ．(1＋q )12 D ．(1＋q )12－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________． 14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．15．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________． 16．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5.a 3＋a 8＝5. (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n .20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.《数列》单元质量评估试题解析一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．672 解析：由2 014＝1＋3(n －1)解得n ＝672. 答案：D2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．34解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 答案：B3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：因为a 3·a 11＝a 27＝16，所以a 7＝4，所以a 5＝a 7q 2＝422＝1.答案：A4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大解析：a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，a n ＋1＝(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋3n ＋2·910，令a n ＋1a n ≥1，即n ＋3n ＋2·910≥1，解得n ≤7，即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大．答案：A5.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n 等于( )A.n （n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.n2（n ＋1）D.2n n ＋1解析：由已知得a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1.所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．所以S n ＝n ＋n （n －1）2·1＝12n 2＋12n ，所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.答案：D6．数列{(－1)n·n}的前2 013项的和S2 013为()A．－2 013 B．－1 017C．2 013 D．1 007解析：S2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.答案：D7．若{a n}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于()A．1或2 B．1或－2C．－1或2 D．－1或－2解析：依题意有2a4＝a6－a5，即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，所以q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0.所以q＝－1或q＝2.答案：C8．设{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是()A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值解析：由S5＜S6，得a6＝S6－S5＞0.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d＜0.由S7＞S8⇒a8＜0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＜0，即S9＜S5.答案：C9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.158 解析：由9S 3＝S 6＝S 3＋q 3S 3，又S 3≠0，所以q 3＝8，q ＝2. 故a n ＝q ·qn －1＝2n －1，所以1a n ＝12n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C10．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·（－2）≤1，即λ≤4.答案：B11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( ) A ．d ＜0 B ．d ＞0 C ．a 1d ＜0 D ．a 1d ＞0解析：因为{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以2a 1a n ＝2a 21＋a 1(n －1)d ，又由于{2a 1a n }为递减数列，所以2a 1a n2a 1a n ＋1＝2－a 1d ＞1＝20，所以a 1d ＜0.答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，所以d ＞0，即d ＝2，所以a 1＝2. 答案：214．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．解析：由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2代入等比求和公式得S 6＝63.答案：6315．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________．解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2a n－1)－(2a n－1－1)；所以a n＝2a n－1，经检验n＝1也符合．所以{a n}是等比数列．所以a n＝2n－1，n∈N*.答案：2n－1(n∈N*)16．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．解析：设三边为a，aq，aq2(q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，所以q2＝5＋1 2.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q2＝5－12.答案：5－1 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{log2(a n－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1a n＋1－a n＜1.(1)解：设等差数列{log2(a n－1)}的公差为d.由a1＝3，a3＝9，得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.所以log2(a n－1)＝1＋(n－1)·1＝n，即a n＝2n＋1.(2)证明：因为1a n＋1－a n＝12n＋1－2n＝12n，所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1a n＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ·121－12＝1－12n ＜1. 18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38. (1)解：因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n （n －1）2d . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22.即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）. 解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n .所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)．所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋14· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝ 14⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列，所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5.a 3＋a 8＝5.(1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n . 解：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－20，d ＝5.所以a n ＝5n －25(n ∈N *)．(2)由(1)a n ＝5n －25，所以b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30，所以b n ＝10n －30(n ∈N *)．20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．解：当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝（1＋2n －1）n 2＝n 2. 当a ≠1时，S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1， aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ，两式相减，有：(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ＝1＋2a （1－a n －1）1－a－(2n －1)a n ，此时S n ＝2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n1－a. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1.21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 1－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，首项为a 1＋12＝32，公比为3，所以a n ＋12＝32·3n －1，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)．(2)由(1)知：a n ＝3n －12，所以1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n －1≥2·3n －1，所以13n －1≤12·3n －1，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。

人教新课标版数学高二必修五练习单元质量评估第二章数列(含答案解析)

单元质量评估(二)第二章数列 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项( ) （A ）669 （B ）670 （C ）671 （D ）6722.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0，则此数列的第5项是（）（A ）15 （B ）255 （C ）20 （D ）83.等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（）（A ）4 （B ）23 （C ）916（D ）2 4.在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) （A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）75.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）456.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（）(A)2 (B)3 (C)6 (D)77.等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1=1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是（）（A ）90 （B ）100 （C ）145 （D ）190 8.在数列{a n }中，a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为（）（A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）529.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数16111 位转换成十进制数的形式是（）（A ）217-2 （B ）216-1 （C ）216-2 （D ）215-110.在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=（）（A ）45 （B ）50 （C ）75 （D ）6011.（2011·江西高考）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=（）（A ）1 （B ）9 （C ）10 （D ）5512.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…，且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=（）（A ）n(2n-1) （B ）(n+1)2 （C ）n 2 （D ）(n-1)2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.等差数列{a n }前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m项的和为______.14.（2011·广东高考）已知{a n }是递增等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n }, {b n },12n 12n a a a 7n 2b b b n 3++⋯++=++⋯++,则55a b =______.16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1，则通项a n =_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列{a n }是等差数列，a 2=3,a 5=6,求数列{a n }的通项公式与前n 项的和M n .18.（12分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,S 3,S 2成等差数列. （1）求{a n }的公比q ；（2）若a 1-a 3=3,求S n .19.（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1,b n =a n -a n-1（n ≥2），若a n +S n =n ，c n =a n -1. （1）求证：数列{c n }是等比数列；（2）求数列{b n }的通项公式.20.（12分）如果有穷数列a 1,a 2,a 3,…,a m （m 为正整数）满足条件a 1=a m , a 2=a m-1,…,a m =a 1,即a i =a m-i+1(i=1,2,…，m),我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.（1）设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1,b 2,b 3,b 4是等差数列，且b 1=2,b 4=11.依次写出{b n }的每一项；（2）设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25,c 26,…,c 49是首项为1，公比为2的等比数列，求{c n }各项的和S.[] 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为()nn n 1S ,S 312=-(*n N ∈),等差数列{b n }中，b n >0(*n N ∈),且b 1+b 2+b 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列.（1）求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）求数列{a n +b n }的前n 项和T n .22.（12分）某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为2 150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率为1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件家用电器总共所付金额.答案解析1.【解析】选C.∵2011=1+（n-1）×(4-1)，∴n=671.2.【解析】选B.由a n =4a n-1+3,a 1=0，依次求得a 2=3,a 3=15,a 4=63,a 5=255.3.【解析】选A.等比数列{a n }中，a 3,a 6,a 9也成等比数列，∴a 62=a 3a 9,∴a 3=4.4.【解析】选B.a 1+a 3+a 5=105,∴a 3=35,同理a 4=33, ∴d=-2,a 1=39,∴a 20=a 1+19d=1.5.【解析】选B.设公差为d,由a 1=2,a 2+a 3=13,得d=3,则a 4+a 5+a 6= (a 1+3d)+(a 2+3d)+(a 3+3d) =(a 1+a 2+a 3)+9d=15+27=42.6.【解析】选B.S 4-S 2=a 3+a 4=20-4=16，∴a 3+a 4-S 2=（a 3-a 1）+(a 4-a 2)=4d=16-4=12，∴d=3.7.【解析】选B.设公差为d,∴(1+d)2=1×(1+4d), ∵d ≠0,∴d=2,从而S 10=100.[] 8.【解题提示】利用等差数列的定义. 【解析】选D.∵2a n+1-2a n =1,∴n 1n 1a a 2+-=, ∴数列{a n }是首项a 1=2,公差1d 2=的等差数列， ∴()1011a 21011522=+-=.9.【解析】选B.形式为：1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20=216-1.10.【解析】选B.由已知a 1+a 2+a 3+a 11+a 12+a 13=150,∴3(a 1+a 13)=150,∴a 1+a 13=50,∴a 4+a 10=a 1+a 13=50.11.【解题提示】结合S n +S m =S n+m ,对m,n 赋值，令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即得a 10=1.【解析】选A.∵S n +S m =S n+m ,∴令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即S 1=S 10-S 9=a 10, 又∵S 1=a 1,∴a 10=1.12.【解题提示】由已知可先求得通项公式，再由对数的性质进行运算.【解析】选C.a 5·a 2n-5=22n (n ≥3), ∴a n 2=22n ,a n >0,∴a n =2n ,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1 =1+3+…+(2n-1)=n 2.13.【解题提示】利用等差数列前n 项和的性质【解析】由题意可知S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列，2（S 2m -S m ）=S m +S 3m -S 2m∴S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210. 答案：21014.【解题提示】由等比数列的通项公式，可得关于公比q 的方程，从而求出q.【解析】由a 4-a 3=4得a 2q 2-a 2q=4,即2q 2-2q=4,解得q=2或q=-1（由数列是递增数列，舍去）. 答案：215.【解题提示】利用等差数列的前n 项和的有关性质进行运算. 【解析】设两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为A n ,B n .则()()195919599a a a A 7926529b b b B 93122+⨯+====++.答案：651216.【解析】∵a 1=2,a n+1=a n +(n+1), ∴a n =a n-1+n,a n-1=a n-2+(n-1)，a n-2=a n-3+(n-2),…,a 3=a 2+3，a 2=a 1+2,a 1=2=1+1将以上各式相加得：()()2n n n 1n na [n n 121]111222+=+-+⋯+++=+=++. 答案：2n n122++17.【解析】设{a n }的公差为d, ∵a 2=3,a 5=6,∴11a d 3a 4d 6+=⎧⎨+=⎩,∴a 1=2,d=1, ∴a n =2+(n-1)=n+1.()2n 1n n 1n 3nM na d .22-+=+=18.【解析】（1）依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2)由于a 1≠0，故2q 2+q=0，又q ≠0,从而1q 2=-.（2）由已知得a 1-a 1(12-)2=3,故a 1=4从而n n n 141()812S 113212--==----［］［（）］（）. 19.【解析】（1）∵a 1=S 1,a n +S n =n,① ∴a 1+S 1=1,得11a 2=.又a n+1+S n+1=n+1 ②①②两式相减得2(a n+1-1)=a n -1，即n 1n a 11a 12+-=-,也即n 1n c 1c 2+=, 故数列{c n }是等比数列. （2）∵111c a 12=-=-, ∴n n n n n11c ,a c 1122=-=+=-, n 1n 11a 12--=-.故当n ≥2时，n n n 1n 1n n111b a a 222--=-=-=. 又111b a 2==,即n n 1b 2=. 20.【解题提示】利用等比数列的前n 项和公式进行计算.【解析】（1）设数列{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d=2+3d=11,解得d=3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2. （2）S=c 1+c 2+…+c 49 =2(c 25+c 26+…+c 49)-c 25 =2(1+2+22+…+224)-1 =2(225-1)-1=226-3.21.【解析】（1）a 1=1,a n =S n -S n-1=3n-1,n>1，∴a n =3n-1(*n N ∈)，∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴a 1=1,a 2=3,a 3=9,在等差数列{b n }中， ∵b 1+b 2+b 3=15,∴b 2=5.又因a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d,∴（1+5-d ）(9+5+d)=64，解得d=-10或d=2, ∵b n >0(*n N ∈),∴舍去d=-10,取d=2,∴b 1=3. ∴b n =2n+1(*n N ∈). （2）由（1）知∴T n =a 1+b 1+a 2+b 2+…+a n +b n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n )()n n 32n 113132++-=+- n 231n 2n 22=++-. 22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型，第二种付款方式是等比数列模型，分别计算出实际共付金额，再比较得出结论. 【解析】第一种方式:购买时先付150元,欠2 000元,按要求知10次付清,则第1次付款金额为a 1=200+2 000×0.01=220(元); 第2次付款金额为a 2=200+(2 000-200)×0.01=218(元) ……第n 次付款金额为a n =200+［2 000-(n-1)×200］×0.01=220-(n-1)×2(元).不难看出每次所付款金额顺次构成以220为首项,-2为公差的等差数列,所以10次付款总金额为()10109S 102202 2 1102⨯=⨯+⨯-= (元)，实际共付2 260元.第二种方式:购买时先付150元,欠2 000元,则10个月后增值为2000×(1+0.01)10=2 000×(1.01)10(元).设每月付款x 元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和分别是(1.01)9x,(1.01)8x,…,x,其构成等比数列,和为()101011.01S x 11.01-=-·. 应有()1010S 2 0001.01=⨯,所以x ≈211.2，每月应付211.2元,10次付款总金额为2 112元,实际共付2 262元,所以第一种方式更省钱. 【方法技巧】分清类型解数列应用题解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求a n 还是求S n ，特别要弄清项数为多少，试题中常见的数列类型有：（1）构造等差、等比数列模型，然后再应用数列的通项公式及求和公式求解；（2）先求出连续的几项，再归纳出a n ，然后用数列知识求解.。

人教版新课标A版高中数学必修5：第二章数列单元同步测试(含解析).doc

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】第二章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列解析由log 2S n ＝n ，得S n ＝2n ，a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2，a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4，…由此可知，数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列．答案 D2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( ) A ．6 B ．－3 C ．－12D ．－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3， a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．naC ．a nD ．(n －1)a解析由题意，知a n ＝a (a ≠0)，∴S n ＝na . 答案 B4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16，∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83， b 22＝(－1)×(－9)＝9，∴b 2＝－3， ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析依题意，得－10＝－12＋82(n ＋2)， ∴n ＝3. 答案 B7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析由a 4＝15，S 5＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11)，Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C ．S 13D ．S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7为常数．∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数．答案 C10．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( )A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)， ∴62＝q ×31，∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 答案 A11．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在解析由d <0知，{a n }是递减数列， ∵|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9，即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大．答案 B12．若a ，b ，c 成等比数列，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A ．有两个不等实根 B ．有两相等的实根 C ．无实数根 D ．无法确定解析 a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根．答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2，x ，y ，z,18成等比数列，则x ＝________.解析设公比为q ，则由2，x ，y ，z,18成等比数列．得18＝2q 4，∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67，则a 2013＝________.解析由题意，得a 1＝67，a 2＝127，a 3＝57，a 4＝107，a 5＝37，a 6＝67，a 7＝127，…，∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9，S 33＝－16＋33＝17，S 50＝－25，∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21，∵a 1≠0，∴a 1＝1，令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1，于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18．(12分)已知等比数列{a n }，首项为81，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)若S 11≠S 12，且S 11最大，求{b n }的公差d 的范围．解 (1)证明：设{a n }的公比为q ，则a 1＝81，a n ＋1a n＝q ，由a n >0，可知q >0，∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝log 3q (为常数)，∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知，b 1＝log 3a 1＝log 381＝4， ∵S 11≠S 12，且S 11最大，∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d >0，q ≠0，a n＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去)．故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2)，1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得16＝2q 3，解得 q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)．由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *， ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)．(1)求证：数列{a n2n }是等差数列； (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0，∴a n 2n －a n －12n －1＝12，∴{a n 2n }是以12为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×12， ∴a n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.高中数学知识点三角函数 1、以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

高中数学第二章数列单元质量测评新人教A版必修5

高中数学第二章数列单元质量测评新人教A 版必修5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有穷数列1,23,26,29，…，23n ＋6的项数是( )A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2 答案 C解析此数列的次数依次为0,3,6,9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差为d ＝3，设3n ＋6是第x 项，则3n ＋6＝0＋(x －1)×3⇒x ＝n ＋3.2．已知等差数列{a n }的公差为1，且S 99＝99，则a 3＋a 6＋…＋a 96＋a 99的值是( ) A ．99 B ．66 C ．33 D ．0 答案 B解析设A ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97，B ＝a 2＋a 5＋…＋a 98，C ＝a 3＋a 6＋…＋a 99，A ＋B ＋C ＝S 99，B －A ＝33，C －B ＝33，∴A ＝C －66，故C －66＋C －33＋C ＝S 99＝99，∴C ＝66.3．已知{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2020，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．672 D ．674 答案 D解析由2020＝1＋3(n －1)，解得n ＝674.4．已知数列{a n }为等比数列，a 1＝1，q ＝2，且第m 项至第n (m <n )项的和为112，则m ＋n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 B解析由已知，得1×1－2n1－2－1×1－2m －11－2＝112，即2m －1·(2n －m ＋1－1)＝24×7，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＝24，2n －m ＋1－1＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝7，所以m ＋n ＝12，故选B.5．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＋a 21＝a 12，那么S 27＝( ) A ．2015 B ．2014 C ．2013 D ．0 答案 D解析设等差数列{a n }的公差为d .∵a 5＋a 21＝a 12， ∴2a 1＋24d ＝a 1＋11d ，∴a 1＋13d ＝0，即a 14＝0.∴S 27＝27a 1＋a 272＝27×2a 142＝27a 14＝0.故选D.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，则使a n >0的最小正整数n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析由S 11－S 8＝3，得a 11＋a 10＋a 9＝3,3a 10＝3，a 10＝1，所以a 1＋9d ＝1，a 11－a 8＝3d ＝3，所以d ＝1，于是a 1＝－8，从而a n ＝－9＋n >0的最小正整数n 的值是10.7．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 10＝( )A ．2B ．3C ．－1 D.12答案 D解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－2＝－1，同理可得：a 3＝2，a 4＝12，…，∴a n ＋3＝a n .∴a 10＝a 3×3＋1＝a 1＝12.故选D.8．设等差数列{a n }的公差为2，前10项和为490，等差数列{b n }的公差为4，前10项和为240.以a k ，b k 为邻边的矩形内的最大圆的面积记为S k ，若k ≤18，则S k ＝( )A ．π(2k ＋1)2B ．π(2k ＋3)2C ．π(k ＋1)2D ．π(k ＋18)2答案 A解析由10a 1＋10×10－12×2＝490，得a 1＝40，∴a n ＝40＋2(n －1)＝2n ＋38.由10b 1＋10×10－12×4＝240，得b 1＝6，∴b n ＝6＋4(n－1)＝4n ＋2.∵a k －b k ＝(2k ＋38)－(4k ＋2)＝36－2k ，∴当k ≤18时，36－2k ≥0，即2k ＋38≥4k ＋2，∴以a k 和b k 为邻边的矩形内的最大圆的半径为2k ＋1，则该最大圆的面积S k ＝π(2k ＋1)2.9．数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在答案 B解析依题意，b n ＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13. ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3.10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案 B解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39. ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值．11．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项答案 C解析将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1.则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.12．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2017积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为( )A ．1008B ．1009C ．1007或1008D ．1008或1009答案 A解析由题意，a 2017＝a 1a 2…a 2017， ∴a 1a 2…a 2016＝1，∴a 1a 2016＝a 2a 2015＝a 3a 2014＝…＝a 1007a 1010＝a 1008·a 1009＝1，∵a 1>1，q >0，∴a 1008>1,0<a 1009<1， ∴前n 项积最大时n 的值为1008. 故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________.答案 14解析 ∵a 2a 4＝a 23＝12，∴a 1a 23a 5＝a 43＝14.14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 答案 73解析因S 6S 3＝3，故q ≠1，∴a 11－q 61－q ×1－q a 11－q3＝1＋q 3＝3，即q 3＝2.所以S 9S 6＝a 11－q 91－q ×1－q a 11－q 6＝1－231－22＝73.15．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．答案 n 2＋n解析由题中数表，知第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n .16．已知{a n }是等差数列，d 为其公差，S n 是其前n 项和，若只有S 4是{S n }中的最小项，则可得出的结论中正确的是________．①d >0 ②a 4<0 ③a 5>0 ④S 7<0 ⑤S 8>0 答案 ①②③④解析由已知条件得a 5>0，a 4<0，则d >0，故①②③正确．因为S 7＝7a 1＋a 72＝7a 4<0，故④正确．S 8＝8a 1＋a 82＝4(a 4＋a 5)无法判断其正负，故⑤错误．综上可得结论正确的有①②③④.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }，{b n }的通项公式．解设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.② 由①、②及q >0解得q ＝2，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3×2n －1.18．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， ∴S n ＝2S n －1＋2n －1，① ∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，② 由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋2， ∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)．求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22， (1)该数列前多少项的和最大？最大和是多少？ (2)求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53，令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0， ∴{a n }前17项的和最大．S max ＝S 17＝17×50＋17×8×(－3)＝442.(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ＝－32n 2＋1032n ， ∴当n ≤17，n ∈N *时，{|a n |}前n 项和为－32n 2＋1032n ，当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝32n 2－1032n ＋884，当n ≥18，n ∈N *时，{|a n |}前n 项和为32n 2－1032n ＋884.20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＋S 4＝0，b 9＝a 1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝1b n ＋16b n ＋18，求数列{c n }的前n 项和W n .解 (1)∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1. ∴a 1＝1且a n ≠0，∴a n a n －1＝2，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1－2n1－2＝2n－1.设{b n }的公差为d ，b 1＝－S 4＝－15，b 9＝－15＋8d ＝1，∴d＝2，∴b n ＝－15＋(n －1)×2＝2n －17. (2)c n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴W n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12－14n ＋2＝n 2n ＋1.21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝76，S n 是{a n }的前n 项和，点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －23n ，T n 为c n 的前n 项和，n ∈N *，求T n .解 (1)∵点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，∴S n ＋1＝12×(2S n ＋a n )＋13，∴a n ＋1＝12a n ＋13.∵a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以a 1－23＝76－23＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＝23＋12n .(2)∵c n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －23n ＝n 2n ，∴T n ＝12＋2×122＋3×123＋…＋n2n ，①。

人教A版高一必修5数学第二章数列单元测试及答案(练习检测试题卷).doc

班姓座A . a” =2“_1B . a n =(-ir (2n-l) c. a n =(-ir (l-2n) 2、等比数列2, 4, 8, 16,…的前nA . 2n+1-l B. 2n -23、等比数列｛%｝中，已知a x a” =27, q = 3,则”为（ A . B. 4 4、等比数列｛a”｝中，a 6 = 6, a 9 = 9 ,则a 等于（ A.5、若数列｛%｝中，Q 广43-3n,则»最大血 A. 13 B. 14 6、成等比数列，那么d 等于A.3 C. -2 D. ±27、等差数列仏｝燈皿聖的和是30, A. 130 亠 170 前加项的和是100,则它的前3加项的和是（C. 210D.2608、敎刻仏｝贏项公式是血二--------- n （M + l ）（心），若前刀项的和为罟，则项数0为（） A. 12 B.11C. 10D. 91、 1°、｛a”｝为等差数列，01 + 04 + ^7 = 39, 弘+弘+ ^产込弘+。

6 +。

9二浙江省瓯海中学高一数学必修5第二章《数列》单元测试一、选择题（每小题6分）数列1, ~3, 5, -7, 9,…的一个通项公式为（二、填空题（每小题6分）9、等差数列｛爲｝中,S 广40, Q] =13,11、在等差数列｛a* ｝中，1 = 20 ,则 Q] + Q]3 =色=（_ig+i ） D . C. InC. 5D. 6 D. 14 或 15 C. 16 ,如果 Q]、等差数列｛a”｝的首项a. =1(2)+ a ：的和(3)在(2)的条件(1)当a = l 时，求｛a”｝的通项公式14、(本题18分)已知数列｛a ”｝的前％项和S” =12＞在数列｛a”｝中，fl] =1,且对于任意自然数”，都有a n+1 = a n + n ,贝ija 100 = __________三、解答题13、(本题10分)求数列耳吗斗4护•的前刀项和。

人教版高中数学必修五单元质量评估(一)含解析.doc

关闭Word 文档返回原板块。

单元质量评估（一）（第一章）（120分钟150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 如图,在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45。

,在它的南偏东60。

的B 处测得塔顶的仰角为30。

，若A,B 的距离是20V7m,则塔咼为（）A. 24mC. 12v7m 【解析】选B.设塔高CD 二xm, 则 AD=xm, DB=v3xm.4^ A ABD 中，ZADB=150° ,根据余弦定理得，（20 V7） 2=x 2+ （V3x ） 2-2 V3X 2COS 150° , 解得x 二±20 （负值舍去）,故塔高为20m.2. （2016 •鞍山高二检测）在AABC 中，角A, B, C 的对边分別为a, b, c.B. 20m D. 36m已知a=v'2, b=v3, A=45°，则角B 大小为（）75°【解析】选C.由正弦定理可得:二二二，sin4□- sinB由此可得sinB=],因为b>a,故B 二60。

或120。

・3. 在AABC 中，若 a=5, c=13, sinA 二*,则ZXABC 的面积为（） A ・t B. 30 C. 35 D. 782 【解析】选B.由正弦定理可求得sinOl,所以三角形为直角三角形，其中c 为斜边，所以b=Vc 2 -a 2=12,则三角形面积S=4b=30,故选B.4. （2016 •杭州高二检测）在AABC 中，若 1 ga-lgc=lgsinB=-1 g v'2且 B 岂财）,则AABC 的形状是（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解析】选 D.因为 lga-lgc=lgsinB=lg （\'2）T,所以又因为 b 2=a 2+c 2-2ac •cosB=a 2+2a 2-2a • \2a • -^=a 2,即 a 二b,■所以AABC 为等腰直角三角形.5. 已知AABC 中,AB=1, BC=2,则角C 的取值范围是A. 60°B. 120°C. 60° 或 120°D. 15 ° 或 a v'2A. 0〈CW ；6 B. 0〈C 〈二即c・?<C<-D. 7<c^7【解析】选人•因为益益所以盧血'所以s i nC=-s i nA,因为0<s i nAW1,21所以O〈sinCW-.2因为AB<BC,所以C〈A,所以C为锐角, 所以（KCW：6【一题多解】选A.A\如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC上的点外, 都可作为A点.从点C向圆B作切线，设切点为片和A?,当A与人或A? 重合时，角C最大，易知此时:BC二2, AB=1, AC 丄AB,TT II所以C二-，所以CKCW-.6.在AABC 中,AB=2, AC=3, AB • AC二5,则BO （）A. V3B. V7C. 2\;2D. V23【解析】选 A.因为AB • AC二| AB11 AC |cos〈AB, AC>=I AB | | AC | cosA二6cosA二5,所以cosA二由余弦定理可得：6BC2二AC2+AB2-2AC • ABcosA二9+4-2X2X3X、3,所以BC=V3.67.（2016 •黄冈高二检测）设a, b, c为AABC的三边长，若c2=a2+b2,且V-3sinA+cosA=y l；2,则角B 的大小为（）B.-【解析】选D. c2=a2+bMC=-,■V3s i n A+cosA 二*V2=>s i n（A + 扌）二二。

高中数学第二章数列单元质量测评(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

第二章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n ＋1答案 B解析由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n＋1．(或特值法，当n ＝1时只有B 项符合．)2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3． 3．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 答案 D解析 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12．∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列．∴a 101＝2＋12×(101－1)＝52．4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10＝( ) A ．45 B ．50 C ．75 D ．60 答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝32，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝118，∴3(a 2＋a 12)＝150，即a 2＋a 12＝50，∴a 4＋a 10＝a 2＋a 12＝50．5．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 答案 C解析由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0． ① 又S 8＝8a 1＋562d ＝32，则2a 1＋7d ＝8． ②由①②，得d ＝2，a 1＝－3．所以S 10＝10a 1＋902d ＝60．故选C ．6．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项答案 C解析 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱答案 B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝43a ＝43．故选B ．8．已知{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n，若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 等于( )A ．29B ．28C ．27D ．26 答案 A解析因为{a n }是等差数列，a 9＝17，a 3＝5，所以6d ＝17－5，得d ＝2，a n ＝2n －1．又因为S n ＝3n，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，S n －1＝3n －1，b n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，得m ＝29，故选A ．9．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( )A ．32B ．62C ．27D ．81答案 B解析设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，又a 1＝2，则a 2＝2q ，a 4＋2＝2q 3＋2，a 5＝2q 4， ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，∴4q 3＋4＝2q ＋2q 4， ∴2(q 3＋1)＝q (q 3＋1)，由q ＞0，解得q ＝2， ∴S 5＝21－251－2＝62．故选B ．10．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 答案 B解析 ∵S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋ (－1)n －1(4n －3)，∴S 14＝7×(1－5)＝－28，a 15＝60－3＝57， S 22＝11×(1－5)＝－44， S 30＝15×(1－5)＝－60， a 31＝124－3＝121，∴S 15＝S 14＋a 15＝29，S 31＝S 30＋a 31＝61． ∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76．故选B ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤0，f x －1＋1，x >0，把方程f (x )＝x 的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n }，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝n －2(n ∈N *) 答案 C解析令2x－1＝x (x ≤0)，易得x ＝0．当0<x ≤1时，由已知得f (x －1)＋1＝x ，即2x －1－1＋1＝2x －1＝x ，则x ＝1．当1<x ≤2时，由已知得f (x )＝x ，即f (x －1)＋1＝x ，即f (x －2)＋1＋1＝x ，故2x －2＋1＝x ，则x ＝2．因此，a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，结合各选项可知该数列的通项公式为a n ＝n －1(n ∈N *)．故选C ．12．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，则S 60＝( ) A ．3690 B ．1830 C ．1845 D ．3660 答案 B解析 ①当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2n －1，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得 a n ＋2＋a n ＝2；②当n 为偶数时，a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，两式相加得a n ＋2＋a n ＝4n ，故S 60＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 60)＝2×15＋(4×2＋4×6＋…＋4×58) ＝30＋4×450＝1830．故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{a n }中，a 1＝10，a n ＋1＝a n －12，则它的前n 项和S n 的最大值为________．答案 105解析 ∵a n ＋1－a n ＝－12，∴d ＝－12，又a 1＝10，∴a n ＝－n 2＋212(n ∈N *)．∵a 1＝10>0，d ＝－12<0，设从第n 项起为负数，则－n 2＋212<0(n ∈N *)．∴n >21，于是前21项和最大，最大值为S 21＝105．14．已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1＞0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________．答案 2解析 ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1＞0，∴q ＞1．又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ．∵a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2．15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________．答案 676解析当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676．16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于________．答案 7解析设该设备第n 年的运营费用为a n 万元，则数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，则a n ＝3n －1．设该设备使用n 年的运营费用总和为T n ，则T n ＝n 2＋3n －12＝32n 2＋12n ．设n 年的盈利总额为S n ，则S n ＝21n －⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 2＋12n －9＝－32n 2＋412n －9．由二次函数的性质可知，当n ＝416时，S n 取得最大值，又n ∈N *，故当n ＝7时，S n 取得最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 是实数，3a ，4b ，5c 成等比数列，且1a ，1b ，1c成等差数列，求a c ＋c a的值．解 ∵3a ，4b ，5c 成等比数列，∴16b 2＝15ac ． ① ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c． ②由①，得4b2·15ac ＝64． ③将②代入③，得1a ＋1c2·15ac ＝64，∴1a 2＋1c 2＋2ac ac ＝6415． ∴c a ＋a c ＝3415． 18．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1．(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解 (1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ， ① ∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12．又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1， ②由①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12，故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12，∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ，a n －1＝1－12n －1．故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n ．又b 1＝a 1＝12也适合上式，∴b n ＝12n ．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)证明：∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝2．∵a 1＝1，a 2＝3，∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n－1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n－1．20．(本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n －1)米至50n 米的扇环面记为第n 区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克) (2)第几区内的火山灰总质量最大？提示：当n 较大时，可用(1－x )n ≈1－nx 进行近似计算．解 (1)设第n 区的火山灰为每平方米a n 千克，依题意，数列{a n }为等比数列，且a 1＝1000(千克)，公比q ＝1－2%＝0．98， ∴a n ＝a 1×qn －1＝1000×0．98n －1．∵离火山口1225米处的位置在第25区，∴a 25＝1000×(1－0．02)24≈1000×(1－24×0．02)＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．(2)设第n 区的火山灰总质量为b n 千克，且该区的火山灰总质量最大．依题意，第n 区的面积为14π{(50n )2－[50(n －1)]2}＝625π(2n －1)， ∴b n ＝625π(2n －1)×a n ．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1，解得49．5≤n ≤50．5．∵n ∈N *， ∴n ＝50，即第50区的火山灰总质量最大．21．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n ．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，∵当n ＝1时，a 1＝4－2＝2也适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n ＝4n －2，即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列．设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1， ∴q ＝14．故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1．即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1．(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n．两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n＋5]，∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．22．(本小题满分12分)已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1，2，3，…．(1)证明：数列{lg (1＋a n )}是等比数列； (2)设T n ＝(1＋a 1)·(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n ；(3)记b n ＝1a n ＋1a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和S n ，并证明S n <1．解 (1)证明：由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2，∴lg (1＋a n ＋1)＝2lg (1＋a n )， ∴{lg (1＋a n )}是公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg (1＋a n )＝2n －1·lg (1＋a 1)＝2n －1·lg 3＝lg 32n －1，∴1＋a n ＝32n －1，∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n ) ＝320·321·322 (32)n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n－1．(3)∵点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＝a n (a n ＋2)．∴1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2，∴1a n ＋2＝1a n －2a n ＋1， ∴b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1a n ＋1a n －2a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1． ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2⎝⎛1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1． ∵a n ＝32n －1－1，a 1＝2，a n ＋1＝32n－1，∴S n ＝1－232n －1．32n－1>32－1＝8>2，∴0<232n－1<1．∴S n <1．。

新人教A版必修五第二章数列单元测试卷(带答案)

新人教A 版必修五第二章数列单元测试卷（带答案）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共计60分）1.，的一个通项公式是（）A. n a =B. n a =C. n aD. n a =2. 已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-3. 2011是数列7,13,19,25,31,,中的第（）项.A. 332B. 333C. 334D. 3354. 在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （）A.45B.75C. 180D.3005. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－56. 在等差数列｛a n ｝中，设公差为d ，若S 10＝4S 5，则d a 1等于( ) A.21B.2C. 41D.47. 设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，且a 100＋b 100＝100，则数列｛an ＋b n ｝的前100项之和是( )A.1000B.10000C.1100D.110008.已知等差数列｛a n ｝的公差d ＝1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 98＝137，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 98的值等于()A.97B.95C.93D.919.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A.9B.10C.11D.1210. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( )A.21 B. 31 C.2 D.311. 若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝a n －1(a ≠0)，则这个数列的特征是( )A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列12. 等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ，则55b a 等于( )A.32 B. 149 C. 3120 D. 1711 二、填空题（每小题4分，共计16分）13. 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，则它的通项公式为 . 14. 已知｛na 1｝是等差数列，且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，则a 10＝ . 15. 在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ .16. 数列121，241，341，4161，…的前n 项和为 . 三、解答题：17.（本小题满分12分）已知等差数列｛a n ｝中，S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，求S m ＋n .18.（本题满分12分）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.求公差d 的取值范围.19. （本题满分12分）已知等差数列｛a n ｝中，a 1＝29，S 10＝S 20，问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值.20.（本题满分12分）设a 1＝5，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，求｛a n ｝的通项公式.21.（本题满分12分）求和：1＋54＋257＋…＋1523--n n 22.（本题满分14分）已知数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1，2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1，2，…)求证｛b n ｝是等比数列；(2)设c n ＝n n a 2(n ＝1，2…)求证｛c n ｝是等差数列；(3)求数列｛a n ｝的通项公式及前n 项和公式.数列单元质量检测题参考答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.C 10.D 11.C 12.B二、填空题13. ⎩⎨⎧≥+==22215n n n a n 14. －4772+ 15. 70 16. n n n 21222-++三、解答题17. 解析：设S n ＝ｐn 2＋qnS n ＝ｐn 2＋qn ＝m ； ①则S m ＝ｐm 2＋qm ＝n ②①－②得：ｐ(n 2－m 2)＋q (n －m )＝m －n 即ｐ(m ＋n )＋q ＝－1 (m ≠n ) ∴S m ＋n ＝ｐ(m ＋n )2＋q (m ＋n )＝(m ＋n )［ｐ(m ＋n )＋q ］＝－(m ＋n ).18. 解析：由S 12＞0及S 13＜0可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧〈⨯+〉⨯+021213130211121211d a d a2a 1＋11d ＞0 24＋7d ＞0即又∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ∴a 1＋6d ＜0 3＋d ＜0∴－724＜d ＜－3.19. 解析：设数列｛a n ｝的公差为d∵S 10＝S 20，∴10×29＋2910⨯d ＝20×29＋21920⨯d 解得d ＝－2∴a n ＝－2n ＋31设这个数列的前n 项和最大，a n ≥0 －2n ＋31≥0则需：即a n ＋1≤0 －2(n ＋1)＋31≤0∴14.5≤n ≤15.5∵n ∈N ，∴n ＝15∴当n ＝15时，S n 最大，最大值为S 15＝15×29＋21415⨯ (－2)＝225.20. 解析：令a n ＝b n ＋ｋ，则a n ＋1＝b n ＋1＋ｋ ∴b n ＋1＋ｋ＝2(b n ＋ｋ)＋3 即bn ＋1－2b n ＝ｋ＋3令ｋ＋3＝0，即ｋ＝－3则an ＝b n －3，b n ＋1＝2b n 这说明｛b n ｝为等比数列，q ＝2 b 1＝a 1－ｋ＝8，∴b n ＝8·2n －1＝2n ＋2 ∴a n ＝2n ＋2－3.21. 解析：设S n ＝1＋54＋257＋…＋2523--n n ＋1523--n n ① 则51S n ＝51＋254＋357＋…＋1553--n n ＋n n 523- ② ①－②得：22. 解析：(1)∵S n ＋1＝4a n ＋2 ①∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2 ② ②－①得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1，2，…)即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形，得an ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )∵b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1，2，…)∴b n ＋1＝2b n . 由此可知，数列｛b n ｝是公比为2的等比数列；由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，又a 1＝1，得a 2＝5故b 1＝a 2－2a 1＝3∴b n ＝3·2n －1. 将b n ＝3·2n －1代入，得c n ＋1－c n ＝43(n ＝1，2，…)由此可知，数列｛cn ｝是公差为43的等差数列，它的首项c 1＝,2121=a 311(3)(31)444n c n n =-=-∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)·2n －2(n ＝1，2，…)；当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2，由于S 1＝a 1＝1也适合于此公式，所以所求｛a n ｝的前n 项和公式是：S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.。

人教版数学高二必修5质量检测第二章数列

阶段质量检测(二) 数列(时间90分钟，满分120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1,2，－3,4，…C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n3．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝________.( )A ．2B ．3C ．6D ．74．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101 的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．525．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．1906．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( )A ．1B ．2C ．4D ．87．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12C.23D ．－1 8．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A．第5项B．第12项C．第13项D．第6项9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于()A．1 033 B．1 034C．2 057 D．2 05810．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．若数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，则a5＝________；前8项的和S8＝________(用数字作答)．12．数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋n(n≥2)，则a5＝________.13．等比数列{a n}中，a2＋a4＋…＋a20＝6，公比q＝3，则前20项和S20＝________.14．在等差数列{a n}中，其前n项的和为S n，且S6＜S7，S7＞S8，有下列四个命题：①此数列的公差d＜0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是S n中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)三、解答题(共4小题，共50分)15．(12分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.16．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．17．(12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，{b n }是各项都是正数的等比数列，(1)若a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．18．(14分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答案阶段质量检测(二) 数列1．选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1.2．选C A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列．3．选B S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3.4．选D ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12， ∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列， ∴a 101＝2＋12(101－1)＝52. 5．选B 设公差为d ，∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∵d ≠0,∴d ＝2，从而S 10＝100.6．选A 因为a 3a 11＝a 27，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，求得a 5＝1.7．选B 设数列{b n }的通项b n ＝11＋a n ，因{b n }为等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12，公差d ＝b 7－b 34＝124， ∴b 11＝b 3＋(11－3)d ＝13＋8×124＝23，即得1＋a 11＝32，a 11＝12. 8．选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．9．选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 10．选B 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28.法二：由图可知第n 个三角形数为n (n ＋1)2， ∴a 7＝7×82＝28. 11．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝1·(1－28)1－2＝255. 答案：16 25512．解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15.答案：1513．解析：S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 20，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 19，则S 偶S 奇＝q ， ∴S 奇＝S 偶q ＝63＝2. ∴S 20＝S 偶＋S 奇＝6＋2＝8.答案：814．解析：∵S 7＞S 6，即S 6＜S 6＋a 7， ∴a 7＞0.同理可知a 8＜0.∴d ＝a 8－a 7＜0.又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0，∴S 9＜S 6.∵数列{a n }为递减数列，且a 7＞0，a 8＜0，∴可知S 7为S n 中的最大项．答案：①②③15．解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝－16，d ＝12. 从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 16．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ①，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12. 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②，①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12，故数列{c n }是等比数列．(2)∵c 1＝a 1－1＝－12， ∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1. 故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12，即b n ＝12n . 17．解：(1)由题意可设公差为d ，则d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由题意可设公比为q ，则q ＞0，由b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，∴q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．解：(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a n a n ＋2n ，即2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即2n ＋1a n ＋1－2n a n＝1. ∴数列{2n a n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2n a n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2n n ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n .S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。

必修五第二章《数列》单元质量测评

必修五第二章《数列》单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1）2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且27818,a a S =-=（） A . 18 B. 36 C. 54 D. 723．在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x +=+的两根，则8a 等于（） A ．1B ．1-C ．1±D ．不能确定4．在等比数列{}n a 中， 572a a =， 2103a a +=，则124a a =（） A. 2 B.12 C. 2或12 D. 2-或12- 5．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和， 37S S =， 27a =，则5a = ( ) A. 5 B. 3 C. 1 D. 1-6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若632a a =，则115S S = ( ) A.115 B. 522 C. 1110 D. 2257．正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是（） A ．65B ．65-C ．25D ．25-8．等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 前n 项和，已知62S =，95S =，则15S =（） A ．15B ．30C ．45D ．609．等差数列{}n a 中，若81335a a =，且10a >，n S 为前n 项和，则n S 中最大的是（） A ．21SB ．20SC ．11SD ．10S10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1316n n S x -⋅=-，则x 的值为（）A ．13B ．13-C ．12D ．12-11．已知1212,,,a a b b 为实数，且121,,,4a a --成等差数列， 121,,,8b b --成等比数列，则211a ab -的值是（） A. 14-B. 12C. 14或 14-D. 12或12- 12．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且124,,S S S 成等比数列，则231a a a +=（）A. 4B. 6C. 8D. 10二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S 等于________． 14．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =，则9a =__________． 15．数列{}n x 满足1l g 1l g ()n n x x x *++∈=N ，且12100100x x x+++=，则101102200()lg x x x +++=________．16．设正项等比数列{a }n 满足5342a a a =-，若存在两项n ,m a a，使得1a =，则m+n 的值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．18．（10分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．19．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）2462n a a a a ++++的值．20．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，数列{}n b 满足1213n n n b a --=.（1）求n a ， n b ；（2）设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T . 21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，且（1,2,3,n =…，） (Ⅰ)求234,,a a a 的值，并猜想出这个数列的通项公式； (Ⅱ)求12233478S a a a a a a a a =++++的值．22．（14分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含(n)f 个小正方形（1）求(6)f 的值（2）求出(n)f 的表达式（3）求证：当2n ≥时，()1f n ++- 参考答案一．选择题二．填空题 13．218 14.15 15．102 16.6 三、解答题17．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴1226a a a =⋅， ∴211()(1)5d d +⨯=+，∴23d d =， ∵0d ≠，∴3d =， ∴11()332n a n n +-⨯=-=．（2）数列{}n b 的首项为1，公比为214a q a ==． ∵121441143k k k b b b -==-+-++， ∴41853k -=，∴4256k =，∴4k =，∴正整数k 的值为4．18．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得11143615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以1)2(1n a a n d n -=++=．（2）由（1）可得2n n b n =+． ∴231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++ 231022221210((3))=+++++++++()()1021210110122-⨯+=+-()111122552532101===-++．19．【解析】（1）∵11()3n n a S n ++=∈N ，∴11()32,n n a S n n +≥∈=N －，∴两式相减，得113n n n a a a +-=．即()1423n n a a n +=≥．11111333a S ==，211433a a =≠．∴数列{}n a 是从第2项起公比为43的等比数列，∴21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）知，数列2a ，4a ，6a ，…，2n a 是首项为13，公比为169的等比数列，∴24621161393161167919nn n a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+．20．【解析】（1）∵22n S n n =+，∴当2n ≥时， ()()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+（2n ≥），又∵1123S =+=，即13a =满足上式， ∴数列{}n a 的通项公式21n a n =+； ∴1213n n n b a --= ()221141n n =-+=-，∴1413n n n b --=，（2）2213711454113333n n n n n T ----=+++⋯++，∴231137114541333333n n nn n T ---=+++⋯++， ∴212111413433333n n n n T --⎛⎫=+++⋯+⋅ ⎪⎝⎭ 11114133341313n n n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅⋅- 4553nn +=-， ∴11545223n n n T -+=-⋅. 21．【解析】⑴11,a a =∴)*n N ∈ 178++⨯ 1178⎛++- ⎝22．【解析】（1）f （1）=1，f （2）=1+4=5， f （3）=1+4+8=13，f （4）=1+4+8+12=25，f （5）=1+4+8+12+16=41．f （6）=1+4+8+12+16+20=61；（2）∵f（2）﹣f （1）=4=4×1， f （3）﹣f （2）=8=4×2， f （4）﹣f （3）=12=4×3， f （5）﹣f （4）=16=4×4，由上式规律得出f （n+1）﹣f （n ）=4n ． ∴f（n ）﹣f （n ﹣1）=4（n ﹣1）， f （n ﹣1）﹣f （n ﹣2）=4•（n ﹣2）， f （n ﹣2）﹣f （n ﹣3）=4•（n ﹣3）， …f （2）﹣f （1）=4×1，∴f（n ）﹣f （1）=4[（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+2+1] =2（n ﹣1）•n， ∴f（n ）=2n 2﹣2n+1； (3)证明：当n 2≥时，211111()f (n)1221121n n n n==---+--，1111111111++++1(1)f (1)f (2)-1f (3)-1f (n)122231n n∴=+-+-++--- 11311(1)=-222nn =+-。

高中数学第二章数列单元质量评估测评1(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高中必修5数学试题

第二章单元质量评估(一)时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知数列1，3，5，7，3，11，…，2n －1，…，则21是这个数列的( B ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第21项解析：观察可知该数列的通项公式为a n ＝2n －1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n －1，解得n ＝11，故选B.2．等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝10，则该数列的前11项和S 11＝( B ) A ．58 B ．55 C ．44D ．33解析：由题意得S 11＝11a 1＋a 112＝11a 3＋a 92＝11×102＝55. 3．一个各项均为正数的等比数列中，每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q ＝( C )A.32B. 5C.5－12D.1＋52解析：由题意知a n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝a n q ＋a n q 2，即q 2＋q －1＝0，解得q ＝5－12(负值舍去)，故选C.4．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( A ) A ．8 B ．－8C ．±8D ．以上选项都不对解析：∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64，且a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0(q 为公比)，∴a 4＝8.5．已知等差数列共有11项，其中奇数项之和为30，偶数项之和为25，则a 6为( A ) A ．5 B ．30 C ．15D ．21解析：S 奇－S 偶＝a 6＝5.6．在等比数列{a n }中，a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26的值是( C )aa C.b2aD.b a2解析：a 15＋a 16＝q 10(a 5＋a 6)，即q 10＝b a ，∴a 25＋a 26＝q 10(a 15＋a 16)＝b a ·b＝b 2a.7．若数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n，且a 1＝2，则a 2 012等于( D )A ．－1B ．2 C. 2D.12解析：∵a n ＋1＝1－1a n ，a 1＝2，∴a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1－1－1＝2.由此可见，数列{a n }的项是以3为周期重复出现的，∴a 2 012＝a 670×3＋2＝a 2＝12.8．数列{a n }中，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *)且n ≥2，则此数列( A )A ．从第二项起为等比数列B ．从第二项起为等差数列C ．等比数列D ．等差数列解析：∵S 1＝1，S 2＝2，∴a 1＝1，a 2＝1.当n ≥2时，S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0⇒(S n ＋1－S n )＋2(S n －1－S n )＝0⇒a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }从第二项起为等比数列．9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，要使甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”根据题意，乙得( A )A.76钱 B ．1钱 C.56钱 D.23钱解析：依题意设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d .又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，d ＝－a 6＝－16，则a －d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝76.故乙得76钱．10．若数列{a n }，{b n }满足a n ·b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{b n }的前10项和为( B ) A.12B.512312解析：∵a n ＝n 2＋3n ＋2，a n ·b n ＝1，∴b n ＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2.∴{b n }的前10项和为S 10＝12－13＋13－14＋…＋111－112＝12－112＝512.11．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第1个数是( A )A ．34 950B ．35 000C ．35 010D ．35 050解析：前99组中共有1＋99×992＝4 950个数，故第100组中的第一个数为34 950.12．设数列{a n }满足a n ＋1＝－2a n ，a 1＝1，数列{|a n |}的前n 项和为S n ，则S 2 015＝( A ) A ．22 015－1 B ．22 016－2C ．22 014－1D ．1－22 015解析：本题考查等比数列的定义与前n 项和．方法一：由a n ＋1＝－2a n ，可得a n ＋1a n＝－2，又a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1，所以|a n |＝|(－2)n －1|＝2n －1，所以S 2 015＝1－22 0151－2＝22 015－1.故选A.方法二：由a n ＋1＝－2a n ，可得a n ＋1a n＝－2，又a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1，所以S 2 015＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 015|＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)－(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－41 0081－4－－2×1－41 0071－4＝13×(22 016－1＋2×22 014－2)＝22 015－1.故选A. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝－6. 解析：S 8＝8×a 1＋a 82＝4(a 3＋a 6)，由于S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.14．已知数列{x n }满足：lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝100.解析：由lg x n ＋1＝1＋lg x n ，得x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }为等比数列，公比为10.故x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋…＋x 100)＝10100.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg10100＝100.15．设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 中最大的是S 20.解析：由3a 8＝5a 13，得d ＝－2a 139.∵a 1>0，∴d <0，∴令a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝－2n 39a 1＋4139a 1≥0，得n ≤412，又n ∈N *，∴当n ＝20时，a 20>0，而a 21<0，故S 20最大．16．已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：则此数阵中第20行从左到右的第10个数是598.a 1 a 2a 3 a 4a 5a 6 a 7a 8a 9a 10… … … … …解析：第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×1＋19×182×1＝190(项)，第20行第10项为数列{a n }中的第200项．又a 3＝7，a 6＝16，∴公差d ＝a 6－a 36－3＝16－73＝3，∴a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝7＋3(n －3)＝3n －2，∴a 200＝3×200－2＝598.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本小题10分)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8. (1)求a 4，a 7； (2)求a 1＋a 10.解：(1)由等比数列的性质知，a 4a 7＝a 5a 6＝－8，与a 4＋a 7＝2联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.(2)当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝a 7a 4＝－12，a 1＝a 4q3＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝a 7a 4＝－2，a 1＝a 4q3＝1，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 综上，a 1＋a 10＝－7.18．(本小题12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21，则T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n2＋20n ＋3n－12.19．(本小题12分)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：(1)因为(a n ＋1)2＝4S n ，所以S n ＝a n ＋124，S n ＋1＝a n ＋1＋124.所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a n ＋1＋12－a n ＋124，即4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，∴2(a n＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．因为a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝12－122n ＋1.∵T n ＋1－T n ＝12－122n ＋3－[12－122n ＋1]＝122n ＋1－122n ＋3＝12n ＋12n ＋3>0，∴T n ＋1>T n .∴数列{T n }为递增数列，∴T n 的最小值为T 1＝12－16＝13.20．(本小题12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3×22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n－1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.又a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n ×22n －1,4·S n ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n ×22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)×22n ＋1＋2]．21．(本小题12分)已知数列{a n }为等差数列，b n ＝3a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)若a 8＋a 13＝m ，求b 1·b 2·b 3·…·b 20；(3)若b 3·b 5＝39，a 4＋a 6＝3，求b 1·b 2·b 3·…·b n 的最大值．22．(本小题12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(1)求证：数列{a 2n }与{a 2n －1}都是等比数列；(2)若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，令b n ＝(3－T 2n )n (n ＋1)，求数列{b n }的最大项．解：(1)证明：数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＋1a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12.∵a 1＝1，∴a 2＝12，故数列{a 2n －1}是以1为首项，12为公比的等比数列，数列{a 2n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)得T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－12n 1－12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝3－32n .∴b n ＝(3－T 2n )n (n ＋1)＝3n (n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴b n ＋1－b n ＝3(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22－n ＝3(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1(2－n )， ∴b 3＝b 2>b 1，且b 3>b 4>b 5>…，故{b n }的最大项是b 2＝b 3＝92.。

高中数学第二章数列单元评估验收新人教A版必修5

(二) 数列(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．672 解析：由2 014＝1＋3(n －1)解得n ＝672. 答案：D2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋n ，所以λ＝－1. 答案：B3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：因为a 3·a 11＝a 27＝16，所以a 7＝4，所以a 5＝a 7q 2＝422＝1.答案：A4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大 B ．a 8＝a 9最大 C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大解析：a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n， a n ＋1＝(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋3n ＋2·910，令a n ＋1a n ≥1，即n ＋3n ＋2·910≥1，解得n ≤7，即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大．答案：A5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1 C ．44D ．44＋1解析：由a n ＋1＝3S n ⇒S n ＋1－S n ＝3S n ⇒S n ＋1＝4S n ，故数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，故S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44.答案：A6．数列{(－1)n·n }的前2 013项的和S 2 013为( ) A ．－2 013 B ．－1 017 C ．2 013D ．1 007解析：S 2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.答案：D7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2D ．－1或－2解析：依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，所以q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. 所以q ＝－1或q ＝2. 答案：C8．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值解析：由S 5＜S 6，得a 6＝S 6－S 5＞0. 又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d ＜0.由S 7＞S 8⇒a 8＜0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)＜0，即S 9＜S 5. 答案：C9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5 B.3116和5 C.3116 D.158解析：由9S 3＝S 6＝S 3＋q 3S 3，又S 3≠0，所以q 3＝8，q ＝2. 故a n ＝q ·qn －1＝2n －1，所以1a n ＝12n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C10．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，4] C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·（－2）≤1，即λ≤4.答案：B11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516B.158C.34D.38解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，所以a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，所以a 3＝12，所以12a 4＝12＋(－1)4，所以a 4＝3，所以3a 5＝3＋(－1)5，所以a 5＝23，所以a 3a 5＝12×32＝34.答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( ) A ．q B ．12q C ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，所以d ＞0，即d ＝2，所以a 1＝2. 答案：214．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．解析：由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2代入等比求和公式得S 6＝63.答案：6315．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________．解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)；所以a n ＝2a n －1，经检验n ＝1也符合．所以{a n }是等比数列．所以a n ＝2n －1，n ∈N *.答案：2n －1(n ∈N *)16．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，有下列三个命题： ①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1； ②若S n ＝a n(a 为非零常数)，则{a n }是等比数列； ③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列．其中真命题的序号是________．解析：易知①是真命题，由等比数列前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q·q n知②不正确，③正确．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2 (n ＝1，2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.(1)解：因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n （n －1）2d .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22.即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）. 解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)． (2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n . 所以1S n＝12n 2＋4n ＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)．所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列，所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38.19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝1，前n 项和为S n ，b n＝1S n.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)设数列{b n }前n 项和为T n ，求T n . 解：因为等差数列{a n }中a 1＝1，公差d ＝1.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2＋n2.所以b n ＝2n 2＋n. (2)b n ＝2n 2＋n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2⎝ ⎛1－12＋12－13＋13－14＋…＋⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)an －1的前n 项和．解：当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝（1＋2n －1）n 2＝n 2.当a ≠1时，S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1， aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ，两式相减，有：(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋ (2)n －1－(2n －1)a n＝1＋2a （1－a n －1）1－a－(2n －1)a n，此时S n ＝2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n＋1－2nan1－a. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1.21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 1－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，首项为a 1＋12＝32，公比为3，所以a n ＋12＝32·3n －1，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12(n ∈N *)．(2)由(1)知：a n ＝3n－12，所以1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n －1≥2·3n －1，所以13n －1≤12·3n －1，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第二章数列单元质量评估（一）（新人教版必修5）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2，则下列说法正确的是( )A．0是该数列的一项B．4是该数列的一项C．6是该数列的一项D．9不是该数列的一项解析：令a n＝0,4,6,9，分别解出n，若n∈N*，则相应数为数列的一项．答案：B2．在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k等于( ) A．22 B．23C．24 D．25解析：由等差数列的通项公式得a k＝(k－1)d＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)d，∴k＝22.答案：A3．等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6等于( )A．4 B．8C．16 D．32解析：由等比数列的性质易得a2·a6＝a24＝16.答案：C4．在等差数列{a n}中，有3(a3＋a5)＋2(a7＋a10a13)＝48，则这个数列的前13项之和为( )A．24 B．39 C．52 D．104解析：由3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，利用等差数列的性质化简，得6(a4＋a10)＝48，∴a1＋a13＝a4＋a10＝8，∴S 13＝a1＋a132＝52.答案：C5．等比数列{a n}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100等于( )A.b9a8B.⎝⎛⎭⎪⎫ba8C.b10a9D.⎝⎛⎭⎪⎫ba10解析：∵{a n}为等比数列，且a9＋a10≠0，∴a9＋a10，a19＋a20，…，a99＋a100可构成新的等比数列，且公比为b a ，a 99＋a 100是新数列的第10项，故a 99＋a 100＝(a 10＋a 9)·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9＝b 9a8.答案：A6．一个等比数列的前4项之和为前2项之和的2倍，则这个数列的公比是( ) A.12或－12 B ．1 C ．1或－1D ．2或－2解析：设这个等比数列首项为a 1，公比为q ，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝2(a 1＋a 1q )， ∴q 2＋q 3＝1＋q ，即(1＋q )·(1－q 2)＝0，∴q ＝±1，故选C. 答案：C7．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝15， ∴a 6＝3.故选A. 答案：A8．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n .若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：由于数列{S n ＋2}是等比数列，则(S 1＋2)(S 3＋2)＝(S 2＋2)2，即6(6＋4q ＋4q 2)＝(6＋4q )2，化简得q 2－3q ＝0，又q ≠0，故q ＝3.答案：C9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．20B ．17C ．19D ．21解析：由a 9＋3a 11<0得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，又S n 有最大值，所以数列{a n }是递减数列，于是a 10>0，a 11<0，且S 19＝19a 10>0，S 20＝10(a 10＋a 11)<0，所以n ＝19.答案：C10．设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．0B ．7C ．14D ．21解析：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋a 1－1＋(a 2－3)3＋a 2－1＋…＋(a 7－3)3＋a 7－1＝14，即(a 1－3)3＋a 1－3＋(a 2－3)3＋a 2－3＋…＋(a 7－3)3＋a 7－3＝0，根据等差数列的性质得(a 4－3－3d )3＋(a 4－3－2d )3＋…＋(a 4－3＋3d )3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3－3d )3＋(a 4－3＋3d )3＋(a 4－3－2d )3＋(a 4－3＋2d )3＋…＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，∴2(a 4－3)[(a 4－3)2＋27d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋12d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋3d 2]＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3)[7(a 4－3)2＋84d 2＋7]＝0，∴a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝21，故选D. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上) 11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝36a 1＋15d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1d ＝2，所以a 9＝15.答案：1512．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________. 解析：∵S 12＝21， ∴a 1＋a 122×12＝21，∴a 1＋a 12＝72.又∵a 2＋a 11＝a 5＋a 8＝a 1＋a 12＝72，∴a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝7，故填7. 答案：713．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－…＋(－1)n ＋1·n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.解析：当n 为偶数时，S n ＝－n 2；当n 为奇数时，S n ＝n ＋12.∴S 17＋S 33＋S 50＝17＋12＋33＋12－502＝1.答案：114．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝1－a n (n ∈N ＋)，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2006－2S 2007＋S 2008＝________.解析：由a n ＋2＝1－a n ＋1＝1－(1－a n )＝a n ，可得数列{a n }的周期为2，且a 1＝2，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝－1，…，∴S 2 006＝1 003×(2－1)＝1 003，S 2 007＝2＋1 003×(2－1)＝1 005，S 2 008＝1 004×(2－1)＝1 004，∴S 2 006－2S 2 007＋S 2 008＝1 003－2 010＋1 004＝－3. 答案：－315．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }中的各项排成如图所示的三角形形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)表示的数字为________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…解析：由图形观察得第一行有1项，第二行有3项，第三行有5项，……，每一行的项数成等差数列{b n }，则前9行的项数之和S 9＝(1＋3＋5＋…＋17)＝＋2＝81，即第10行的第1项为a 82，则第12项为a 93＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1393.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1393三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n . (1)求a 1及a n ；(2)判断这个数列是否是等差数列．解：(1)当n ＝1时，由S n ＝2n 2－30n ，得a 1＝S 1＝2－30＝－28；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 ①. 因为a 1＝－28也满足①式，所以a n ＝4n －32.(2)由(1)知当n ≥2时，a n －a n －1＝4n －32－[4(n －1)－32]＝4，是一个与n 无关的常数，依据等差数列的概念可知数列{a n }是等差数列．17．(本小题12分)已知等差数列{a n }的第2项为8，前10项和为185，从数列{a n }中取出第2项，第4项，第8项……，第2n 项，……，依原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式和前n 项和公式．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＝8，得a 1＋d ＝8. 由S 10＝185，得2a 1＋9d 2×10＝185.解得a 1＝5，d ＝3.∴a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2，∴b n ＝3×2n＋2，其前n 项和S n ＝3(2＋22＋…＋2n )＋2n ＝3×2n ＋1＋2n －6.18．(本小题12分)已知{a n }是首项为a 1，公比为q (q ≠1)的正项等比数列，前n 项和为S n ，且5S 2＝4S 4，设b n ＝q －S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若能，求出a 1的值；否则，请说明理由．解：(1)由已知得，5×a 11－q (1－q 2)＝4×a 11－q (1－q 4)，又a 1>0，q >0且q ≠1，解得q ＝12. (2)由(1)得S n ＝a 1[1－12n]1－12＝2a 1－a 1·(12)n －1，b n ＝q －S n ＝12－2a 1＋a 1·(12)n －1.若{b n }是等比数列，则12－2a 1＝0，即a 1＝14，此时，b n ＝(12)n ＋1是等比数列，所以存在实数a 1＝14，使数列{b n }是等比数列．19．(本小题12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 3＋a 7＝18，且a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)． (1)求{a n }的通项公式； (2)若c n ＝2n －1·a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，设公差为d .由2a 5＝a 3＋a 7＝18，得a 5＝9，又a 1＝1，故d ＝2，所以a n ＝2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)c n ＝(2n －1)·2n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)×2n＝－(2n －3)·2n －3，所以T n ＝(2n －3)·2n＋3.20．(本小题13分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型公交车和混合动力型公交车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后每年电力型公交车的投入比上一年增加50%，混合动力型公交车比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a 的最小值．解：(1)设今年为第1年，a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合型公交车的数量，则数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列；数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝256[(32)n－1]；设数列{b n }的前n项和为T n ，则T n ＝400n ＋12n (n －1)a .经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋12n (n －1)a .(2)若用7年时间完成全部更换，则S (7)≥10 000，即256[(32)7－1]＋400×7＋21a ≥10000，解得a ≥3 08221，又a ∈N *，所以a 的最小值为147.21．(本小题14分)已知数列{a n }，设S n 是数列的前n 项和，并且满足a 1＝1，对任意正整数n ，有S n ＋1＝4a n ＋2.(1)令b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2,3，…)，证明{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)求c n ＝b n3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2) ＝4(a n －a n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)．① 由题意知b n ＝a n ＋1－2a n ， ∴b n ＋1＝a n ＋2－2a n ＋1.∴b n ＋1＝4(a n ＋1－a n )－2a n ＋1＝2a n ＋1－4a n ＝2(a n ＋1－2a n )， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋1－2a na n ＋1－2a n＝2(n ∈N ＋)，∴{b n }是等比数列，公比q ＝2. 又∵S 2＝4a 1＋2，∴a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴1＋a 2＝4＋2，∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝5－2＝3， ∴b n ＝b 1·qn －1＝3·2n －1.(2)∵c n ＝b n3＝2n －1，∴1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1＝1n ＋n ＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。