两角和与差的正弦、余弦函数 陈昕然
规则课(推论)——两角和与差的正余弦公式
本学案整体思路不错，本节课的知识、思想、能力都体现出来了。
还可以进一步提高，请认真阅读教参，结合文章的修改思考改进。
学生不做前面的填空题。
教材中的题目怎么处理。
郭志荣，郭丽春，褚新蕊教学习惯，高一数学必修4学案3.1.2两角和与差的正弦、余弦公式课时：1学时 编写人：赵建峰 审核人： 编号： 21【学习目标】1．对照两角和与差的余弦与两角和与差的正弦的异同，能找到它们的联系并推导出两角和余弦，两角和与差的正弦公式.在公式的形成过程中要体现出推导过程的教育功能：对照、比较，认清区别，寻找联系，建立联系的途径。
公式形成之后要注意揭示其内在联系（思维导图）。
2．会用两角和与差的正弦公式进行简单的求值、化简.公式应用时适当的延伸，正用、逆用对学生思维品质的要求。
对学习目标的解读？根据什么进行设计。
【问题导学】完成问题4之前不能阅读。
问题一.回忆两角差的余弦公式，分析()βα-cos 与()βα+cos 的异同，它们的区别与联系分别是什么？据此，试推导()βα+cos .【设计意图】复习旧知，找出新旧知识的联系，并将新问题转化为旧问题，最后推导出新知。
问题二.分析()βα-co s与()sin αβ-的异同，它们的区别与联系是什么？试推导()sin αβ-.【设计意图】再一次巩固问题一中用到的思想方法。
问题三.如何推导()sin αβ+？有几种不同的办法？每种办法依据的是与哪个已有知识之间的异同？【设计意图】问题一和二中获得的解决问题经验的应用，但是不限制其思路，可以让学生通过多角度的观察解决问题，培养学生多项沟通的习惯和能力。
问题四.上述四个公式之间有怎样的逻辑关系？试着用框图表示出来.【设计意图】帮助学生梳理公式间的逻辑关系，把握公式的结构特征，便于记忆公式。
【思维导图】通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识，转化途径及数学思想方法，请绘出本节课的思维导图。
【设计意图】帮助学生梳理本节课的公式，并建立公式间的内在联系。
两角和与差的正弦、余弦正切公式
两角和与差的正弦、余弦正切公式两角和与差公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb =21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] 熟记并理解各公式，并能熟练的运用各公式在具体题型中的运用。
两角和与差的正弦、余弦和正切-教师
两角和与差的余弦、正弦和正切【知识精要】两角和与差的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= 两角和与差的正弦公式：sin()sin cos sin cos αβαββα±=±两角和与差的正切公式：tan tan tan(),1tan tan tan tan (1tan tan )tan()αβαβαβαβαβαβ±±=±=⨯± 第五组诱导公式：sin()cos ,cos()sin 22tan()cot ,cot()tan 22ππααααππαααα-=-=-=-=第六组诱导公式：sin()cos ,cos()sin 22tan()cot ,cot()tan 22ππααααππαααα+=+=-+=-+=-辅助角公式：222222sin ,cos )sin(cos sin ba b ba a xb a x b x a y +=+=++=+=ϕϕϕ其中，【例题讲解】例1. 已知312sin ,cos ,cos()513αβαβ==-求的值。
解析：两角差的公式 分象限讨论，6533±例2.2cos(2)3cos 0,,,.22k k k Z ππαββαπβπ++=≠+≠+∈已知，:tan()tan αβα+求值:2cos(2)3cos 02cos(())3cos(())02cos()cos 2sin()sin 3cos()cos 3sin()sin 05cos()cos sin()sin 0tan()tan 5αββαβααβααβααβααβααβααβααβααβα++=∴++++-=∴+-+++++=∴+++=∴+=- 解 注意：对于字母类型的角，常用类型有2()(),ααβαβ=++-2()(),()βαβαβααββ=+--=+-等等，通常把给出的角看成整体角，要求的角利用给出的角计算得到，这样可以正向运用公式。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
类型 2 给值(式)求值
[典例 2] 已知π4＜α＜34π，0＜ β＜π4，cosπ4＋α＝－ 35，sin34π＋ β＝153，求 sin(α＋ β )的值．
解：因为π4＜α＜34π，所以π2 ＜π4＋α＜π.
所以 sin π4＋α＝
1－cos2π4＋α＝45.
又因为 0＜ β ＜π4，34π＜34π＋ β ＜π，
sin αcos β－cos αsin β
2.两角和与差的正切公式
名称
公式
使用条件
两角和的 正切
tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋π2 tan α＋tanβ _1_－__ta_n__α_t_a_n_β__ (k∈Z)
两角差的 正切
tan(α－β)＝ tan α－tanβ
α，β，α－β≠kπ＋π2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和的余弦公式的推导 cos( ) ?
提示: ( ) cos( ) cos[ ()] cos cos() sin sin() cos cos sin sin .
两角和的余弦公式
c o s( ) c o s c o s s in s in
类型 3 给值求角(互动探究)
[典例 3] 已知 cos α＝17，sin(α＋ β)＝51413，0＜α
＜π2，0＜ β ＜π2，求角 β 的值．
解：因为
0＜α＜π2，cos
α＝17，所以
sin
α＝4
7
3 .
又因为 0＜ β ＜π2，所以 0＜α＋ β ＜π.因为 sin(α＋
β )＝5143＜sin α，
C 简记： （）
公式的结构特征: 左边是复角 的余弦,右边是单角 ,
的余弦积与正弦积的差.
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形(最新整理)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β))②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β))③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β))④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β))⑤tan(α－β)＝(T (α－β))tan α－tan β1＋tan αtan β⑥tan(α＋β)＝(T (α＋β))tan α＋tan β1－tan αtan β(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．二倍角公式(1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，③tan 2α＝.2tan α1－tan 2α(2)公式变形①cos 2α＝，sin 2α＝；1＋cos 2α21－cos 2α2②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin .2)4(πα±3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)(3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意tan α＋tan β1－tan αtan β角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×)(6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√)(7)若α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)π4(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×)(9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√)(10)y ＝的x 无意义．(×)1－2cos 2x考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：－sin 10°；1＋cos 20°2sin 20°)5tan 5tan 1(00-解：原式＝－sin 10°2cos 210°2×2sin 10°cos 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000-＝－sin 10°·＝－sin 10°·cos 10°2sin 10°cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°cos 10°2sin 10°cos 10°12sin 10°＝－2cos 10°＝cos 10°2sin 10°cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝＝＝.cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°3sin 10°2sin 10°32(2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β.12解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1)12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)12＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－＝1－＝.121212法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－cos 2α·cos12122β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β12＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝－cos 2β·1＋cos 2β2[sin 2α＋12(1－2sin 2α)]＝－cos 2β＝.1＋cos 2β21212法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β1－cos 2α21－cos 2β21＋cos 2α21＋cos 2β212＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－·cos 2α·cos 2β141412＝.12[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋tan 10°)．3解：sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)3＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·＝＝＝＝1.cos (60°－10°)cos 60°cos 10°2sin 50°cos 50°cos 10°sin 100°cos 10°cos 10°cos 10°2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为A 2C 23A 2C2________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝，＝，tan ＝，2π3A ＋C 2π3A ＋C23所以tan ＋tan ＋tan tanA 2C 23A 2C2＝tan ＋tan tan22(C A +2tan 2tan 1(CA -3A 2C 2＝＋tan tan ＝.3)2tan 2tan1(CA -3A 2C 23考点二 三角函数式的给值求值命题点1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值3.已知三角函数式的值，求三角函数值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )13A ．－ B ．－C. D.45151545解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝＝.故选D.1－tan 2θ1＋tan 2θ45法二：由tan θ＝－，可得sin θ＝±，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝.1311045答案：D(2)已知tan ＝，且－＜α＜0，则等于( ))4(πα+12π2)4cos(2sin sin 22πααα-+A ．－B ．－C ．－D.255351031010255解析：由tan ＝＝，得tan α＝－.)4(πα+tan α＋11－tan α1213又－＜α＜0，所以sin α＝－.π21010故＝＝2sin α＝－.)4cos(2sin sin 22πααα-+2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)2255答案：A(3)已知α∈，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则＝________.)2,0(π12cos 2sin )4sin(+++ααπα解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，由于α∈，sin α＋cos α≠0，)2,0(π则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝，213∴＝＝.12cos 2sin )4sin(+++ααπα22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)268答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan 的值．)6(θπ+解：tan ＝＝＝.)6(θπ+tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ33－131＋33×1353－6132．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值．解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝＝＝－.2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋12×(－13)2＋13－3(－13)2＋11153．已知cos ＋sin ＝，则cos ＝________.)2(απ-)32(απ-23532(πα+解析：由cos ＋sin ＝，得)2(απ-)32(απ-235sin α＋sin cos α－cos πsin α＝∴sin α＋cos α＝，2π3232353232235即sin ＝，∴sin ＝，3)6(πα+2356(πα+25因此cos ＝1－2sin 2＝1－2×＝.)32(πα+6(πα+2)52(1725答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角命题点1.利用弦函数值求角2.利用切函数值求角[例3] (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，则β＝________.171314π2解析：∵cos α＝，0＜α＜.∴sin α＝.17π2437又cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜.∴0＜α－β＜，则sin(α－β)＝.1314π2π23314则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝＝，由于0＜β＜，所以β＝.1713144373314497×1412π2π3答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．1217解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan 2α＝＝＝＞0，12－171＋12×1713π22tan α1－tan 2α2)31(1312-⨯34∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.π2tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β34＋171－34×17∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－π.17π234答案：－π34[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是，选正、余弦皆可；②)2,0(π若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是，选正弦较好．)2,2(ππ-2．解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )5531010A. B.C. D.或3π45π47π45π47π4解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，5531010∴cos α＝，sin β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＞0.－255101022又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.)2,23(ππ7π42．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．1355),2(ππ)2,0(π解：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.55)2,0(π255∴tan(α＋β)＝＝＝1.tan α＋tan β1－tan αtan β－13＋21＋23∵α∈，β∈，∴＜α＋β＜，∴α＋β＝.),2(ππ)2,0(ππ23π25π4[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.121434(Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.34证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＋sin 2α－sin α·cos α－sin 2α＝sin 2α＋34321432123434cos 2α＝.34法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.34证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 1－cos 2α21＋cos (60°－2α)230°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin 2α＝－cos 2α1212121232121212＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.121434341414141434[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos ＝，则sin 2α＝( ))4(απ-35A. B. C ．－D ．－7251515725解析：选D.因为cos ＝cos cos α＋sin sin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝)4(απ-π4π42235，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D.32518257252．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝，则cos 2α＋2sin 2α＝( )34A.B.C ．1D.642548251625解析：选A.法一：由tan α＝＝，cos 2α＋sin 2α＝1，得Error!或Error!，则sin 2α＝2sin αcossin αcos α34α＝，则cos 2α＋2sin 2α＝＋＝.2425162548256425法二：cos 2α＋2sin 2α＝＝＝＝.cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α1＋4tan α1＋tan 2α1＋31＋91664253．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－ B.C ．－ D.32321212解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.124．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则( ))2,0(π)2,0(π1＋sin βcos βA ．3α－β＝ B ．2α－β＝C ．3α＋β＝ D ．2α＋β＝π2π2π2π2解析：选B.由条件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin sin αcos α1＋sin βcos β，因为－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.)2(απ-π2π2π2π2π2π25．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α2tan α－1tan 2α＋1＝＝－1.－4－14＋1答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2－sin 2＝________.π8π8解析：由二倍角公式，得cos 2－sin 2＝cos ＝.π8π8)82(π⨯22答案：22课时规范训练A 组 基础演练1．tan 15°＋＝( )1tan 15°A ．2 B ．2＋C ．4D.3433解析：选C.法一：tan 15°＋＝＋1tan 15°sin 15°cos 15°cos 15°sin 15°＝＝＝4.1cos 15°sin 15°2sin 30°法二：tan 15°＋＝＋1tan 15°1－cos 30°sin 30°1sin 30°1＋cos 30°＝＋＝＝4.1－cos 30°sin 30°1＋cos 30°sin 30°2sin 30°2.的值是( )2cos 10°－sin 20°sin 70°A. B.C.D.123232解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°33．已知θ∈(0，π)，且sin ＝，则tan 2θ＝( ))4(πθ-210A. B. C ．－D.4334247247解析：选C.由sin ＝，得(sin θ－cos θ)＝，所以sin θ－cos θ＝.)4(πθ-2102221015解方程组Error!，得Error!或Error!.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以Error!不合题意，舍去，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝432tan θ1－tan 2θ＝－，故选C.2×431－(43)22474．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于( )]2,4[ππ378A. B. C.D.35457434解析：选D.由sin 2θ＝和sin 2θ＋cos 2θ＝1得387(sin θ＋cos θ)2＝＋1＝，3782)473(+又θ∈，∴sin θ＋cos θ＝.]2,4[ππ3＋74同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝.3－74345．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则的值为( )tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)A.B.C.D.n －1n ＋1nn ＋1nn －1n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，故选D.n ＋1n －16．若sin ＝，则cos 2θ＝________.)2(θπ+35解析：∵sin ＝cos θ＝，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×－1＝－.)2(θπ+352)53(725答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．),2(ππ解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈，sin α≠0，∴cos α＝－.又∵α∈，∴α＝π，),2(ππ12),2(ππ23∴tan 2α＝tan π＝tan ＝tan ＝.43)3(ππ+π33答案：39．化简：(0＜θ＜π)．(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cosθ2)2＋2cos θ解：由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos ＞0，θ2π2θ2∴＝＝2cos .2＋2cos θ4cos 2θ2θ2又(1＋sin θ＋cos θ)＝)2cos 2(sinθθ-2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ-＝－2cos cos θ.故原式＝＝－cos θ.θ2－2cos θ2cos θ2cosθ210．已知α∈，且sin ＋cos ＝.),2(ππα2α262(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．35),2(ππ解：(1)因为sin ＋cos ＝，两边同时平方，得sin α＝.α2α26212又＜α＜π，所以cos α＝－.π232(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.π2π2π2π2π2又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.3545cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.324512)53(-43＋310B 组 能力突破1．已知sin α＋cos α＝，则1－2sin 2＝( )22)4(απ-A. B.C ．－D ．－12321232解析：选C.由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝－.221212因此1－2sin 2＝cos2＝sin 2α＝－.)4(απ-)4(απ-122．已知f (x )＝2tan x －，则f 的值为( )2sin 2x2－1sin x 2cos x 2)12(πA ．4B.C ．4D ．83833解析：选D.∵f (x )＝2＝2×＝，)sin cos cos sin (2sin cos (tan xxx x x x x +⨯=+1cos x ·sin x 4sin 2x∴f ＝＝8.)12(π4sin π63．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( )551010A. B. C. D.5π12π3π4π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－＜α－β＜.π2π2又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.101031010又sin α＝，∴cos α＝，55255∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.5531010255)1010(-22∴β＝.π44．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a 的值为________．1a π4解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg ＝lg 10＝1，1a∵α＋β＝，所以tan ＝tan(α＋β)＝＝，π4π4tan α＋tan β1－tan αtan β11－tan αtan β∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg ＝0.1a 所以10a ＝1或＝1，即a ＝或1.1a 110答案：或11105．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.13ααααπ2sin cos 10cos 4)2(2sin 22-+-(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.∵tan(α＋β)＝1313ααααπ2sin cos 10cos 4)2(2sin 22-+-＝＝＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α2cos α(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝＝＝＝.sin α＋2cos α5cos α－sin αtan α＋25－tan α－13＋25－(－13)516(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α516＋131－516×133143。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
龙文教育一对一个性化辅导教案曹澜同学2016年4月10日学案 【第12次】课题：三角函数恒等变换复习学案1、同角关系： ⑴商的关系：①sin tan cos y x θθθ== ②cos cot sin x y θθθ== ③sin cos tan y r θθθ==⋅ ④cos sin cot x rθθθ==⋅ ⑵倒数关系：tan cot 1θθ⋅= ⑶平方关系：22sin cos 1θθ+=2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+） ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-） 3、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ⇒升幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=- 4、万能公式：①22tan sin 21tan θθθ=+ ②221tan cos 21tan θθθ-=+ ③22tan tan 21tan θθθ=- ④222tan sin 1tan θθθ=+ ⑤221cos 1tan θθ=+ 5、半角公式sin 2α=sin 1cos tan 21cos sin ααααα-===+ ⇒ （后两个不用判断符号，更加好用） 6、)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a（其中辅助角ϕ与点(,)a b 在同一象限，且tan b a ϕ=） 题型1：两角和与差的三角函数例1、利用和、差角余弦公式求cos 75 、cos15 的值.变式练习：1 计算① cos105︒ ②cos15︒ ③cos5πcos 103π-sin 5πsin 103π2 ：1.不查表计算下列各式的值： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.变式练习：1 已知sin α=53，cos β=1312求cos(α-β)的值2 已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π, 求cos(α+β)的值评注：在三角变换中，首先应考虑角的变换是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的常用的变换角的方法有：α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,α=,22βαβα-++22βαβαβ--+=,… 例3 ．已知cos(α-β)=31,求(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值变式练习：1 sin α-sin β=-21，cos α-cos β=21，α∈(0,2π),β∈(0, 2π),求cos(α-β)的值2 已知sin(α+β)=32,sin(α-β)=52 求βαtan tan 的值例4 求tan15︒， tan75︒及cot15︒的值：变式练习：求下列各式的值：1︒75tan 175tan 1-+ 2︒tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒例2 已知tan α=31，tan β=-2 求cot(α-β)，并求α+β的值，其中0︒<α<90︒, 90︒<β<180︒变式练习：已知.2,31-==βαtg tg （１）求)(),(βαβα-+tg tg ； （２）求βα+的值（其中 18090,900<<<<βα）．课堂检测： 在△ABC 中，已知cosA =135，cosB =54，则cosC 的值为（ ） （A ）6516 （B ）6556 （C ）65566516或 （D ）6516- 2 已知tan （α＋β）＝52，tan （β－4π）＝41，那么tan （α＋4π）等于 183D. 223C. 2213B. 1813A. 在△ABC 中，已知tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根，则tan Ｃ等于( ) A 2 B －2 Ｃ4 Ｄ 4 4 在△ABC 中，若0＜tan A ·tan B ＜1则△AB Ｃ一定是( ) A 等边三角形 B 直角三角形 Ｃ锐角三角形 Ｄ )tan()2tan(1βαβα-+-= 6 (1＋tan10°)·（1＋tan35°）＝7 在△ABC 中，tan A ＝31，tan B ＝－2，则C ＝ 8 已知tan α、tan β是方程x 2－5x ＋6＝0的两个实根，求2sin 2（α＋β）－3sin （α＋β）cos （α＋β）＋cos 2（α＋β）9 已知434παπ<<，40πβ<<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=+βπ， 求sin(α + β)的值10 不查表，求下列各式的值：1︒ sin75︒ 2︒ sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒11 已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值12 .已知sin α+sin β=53 ① ， cos α+cos β=54 ② ，求cos(α-β)13 已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+14 计算下列各式的值（１） 184211842tg tg tg tg -+ （２）753017530tg tg tg tg +-３ 计算751751tg tg -+的值．15 已知βαtg tg ,是一元二次方程0222=--x x 的两个根，求)(βα+tg 的值．16 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α)。
两角和与差的正弦余弦和正切
两角和与差的正弦余弦和正切首先，我们来看两角和的正弦公式。
假设有两个角A和B，它们的正弦分别为sin(A)和sin(B)。
那么它们的正弦和公式为：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)这个公式告诉我们，两个角的正弦之和等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，加上第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。
我们可以用一个例子来理解这个公式。
假设A = 30°，B = 45°，那么sin(30°) = 0.5，sin(45°) = √2 / 2、将这些值代入公式：sin(30° + 45°) = sin(30°)cos(45°) + cos(30°)sin(45°)sin(75°) ≈ 0.5 × √2 / 2 + √3 / 2 × √2 / 2sin(75°) ≈ √2 / 4 + √6 / 4sin(75°) ≈ (√2 + √6) / 4可以看出，通过两角和公式，我们可以简化计算sin(75°)的过程。
接下来，我们来看两角和的余弦公式。
假设有两个角A和B，它们的余弦分别为cos(A)和cos(B)。
那么它们的余弦和公式为：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)这个公式告诉我们，两个角的余弦之和等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，减去第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。
同样以前面的例子来说明，cos(30°) = √3 / 2，cos(45°) = √2 / 2、将这些值代入公式：cos(30° + 45°) = cos(30°)cos(45°) - sin(30°)sin(45°)cos(75°) ≈ √3 / 2 × √2 / 2 - √2 / 2 × √2 / 2cos(75°) ≈ √6 / 4 - 1 / 4cos(75°) ≈ (√6 - 1) / 4这个公式同样帮助我们简化了计算cos(75°)的过程。
两角和与差的正弦余弦和正切公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式1.两角和的正弦公式：设角A和角B的正弦值分别为sinA和sinB，则角A和角B的和的正弦值为sin(A+B)。
根据倍角公式，sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB2.两角差的正弦公式：设角A和角B的正弦值分别为sinA和sinB，则角A和角B的差的正弦值为sin(A-B)。
根据差角公式，sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB3.两角和的余弦公式：设角A和角B的余弦值分别为cosA和cosB，则角A和角B的和的余弦值为cos(A+B)。
根据倍角公式，cos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinB4.两角差的余弦公式：设角A和角B的余弦值分别为cosA和cosB，则角A和角B的差的余弦值为cos(A-B)。
根据差角公式，cos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinB5.两角和的正切公式：设角A和角B的正切值分别为tanA和tanB，则角A和角B的和的正切值为tan(A+B)。
根据正切的定义，tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)6.两角差的正切公式:设角A和角B的正切值分别为tanA和tanB，则角A和角B的差的正切值为tan(A-B)。
根据正切的定义，tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)这些公式在解决具体问题时，如三角函数的化简、角度的关系等起到了重要的作用。
下面我们通过具体的例子来说明这些公式的应用。
例子：已知sinA=1/2，sinB=√3/2，求sin(A+B)和sin(A-B)的值。
解：根据两角和的正弦公式，sin(A+B) = sinA*cosB+cosA*sinB代入已知的值，sin(A+B) = (1/2)*(√3/2) + (√3/2)*(1/2) =√3/4 + √3/4 = √3/2继续根据两角差的正弦公式，sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB 代入已知的值，sin(A-B) = (1/2)*(√3/2) - (√3/2)*(1/2) =√3/4 - √3/4 = 0所以，sin(A+B) = √3/2，sin(A-B) = 0。
人教数学必修四课件-312两角和与差的正弦余弦正切公式二
复习引入
基本公式：
tan(
)
tan tan 1 tan tan
复习引入
基本公式：
tan(
)
tan tan 1 tan tan
tan(
)
tan tan 1 tan tan
练习 教材P.132练习第6题.
练习
教材P.132练习第6题.
思考：
怎样求 a sin bcos 的类型？
(1)求f(x)的最值； (2)求f(x)的周期、单调性.
讲解范例：
例3. 已知A、B、C为△ABC的三内角，
向量 m (1, 3), n (cos A,sin A),
且 m n 1.
(1) 求角A；
(2)
若 1 2sin B cos B cos2 B sin2 B
3,求tan C的值.源自2413sin( ) 3 , 求sin 2 .
5
课堂小结
掌握两角和与差的余弦、正弦
和正切公式的应用及asin＋bcos
类型的变换.
课后作业
1. 阅读教材P.128到P.131; 2. 《习案》作业三十一的
第1、2、3题.
***两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
主讲老师：陈震
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
cos( ) cos cos sin sin
复习引入 基本公式：
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
讲解范例：
例1. 化简 2 cos x 6 sin x.
讲解范例：
例1. 化简 2 cos x 6 sin x. 思考：
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1
两角和与差的正弦、余弦函数 导学案
班级________ 姓名___________
【学习目标】
（1）了解两角差的正弦公式的推导过程；
（2）熟记两角和与差的正弦、余弦公式的形式及符号特征； (3)会用两角和与差的正弦、余弦公式解决相关问题。
【重点难点】两角和与差的正弦、余弦公式的推导与转化。
【学习过程】 一、知识回顾
上学期，我们学习了平面内两点间的距离计算公式，已知111222(,),(,),p x y p x y 则12,p p 两点间的距离计算公式为_________________. 二.新知讲解
问题1：我们已经知道了一些特殊角的三角函数值，
15=60-45=45-30455而，请问：能否用，30，60角的三角函数值求解角1的余弦或正弦值？ 问题2：下面的式子正确吗？cos()cos cos αβαβ-=- 1、两角和与差的正、余弦公式的推导
以下，我们将运用两点间的距离公式，求出角,,αβαβ-之间的的三角函数值的关系。
如图所示，建立
直角坐标系中的单位圆，分别作出角,,αββ-:角α的始边为______,终边为________,且终边与单位圆的交点为2;p 角β的始
边为______,终边为________,且终边与单位圆的交点为3;p 角β
-的始边为______,终边为________,且终边与单位圆的交点为4,p 则
有
：
12
(
1,0),
).
p p p p αα===而132 4.p p p p =，则由两点间的距离公式可得：
13p p =
______________________,
24p p =
_________________________,所以有
________________________________.展开并整理，得：_______________________________________.这个公式即为任意角,αβ的两角和的余弦公式，记该式为①式。
（1）若将①式中的-ββ变为，则有_________________________________________.记该式为②式。
（2）若将②式中的-2
π
αα变为
，则有________________________________________.记该式为③式。
（3）若将③式中的-ββ变为，则有_________________________________________.记该式为④式。
以上四个式子即为两角和与差的正弦、余弦公式。
2、两角和与差的正、余弦公式的应用：
例1．不查表求 75sin ,75cos
15
sin ,15cos 的值。
例2．c o s 80c o s 20s i n 80s i n 20︒︒+︒︒
例3．3s i n ,(,),c o s ()523
ππααπα=∈-已知求的值。
例4．已知4sin 5α=
，5,,c o s ,213παπββ⎛
⎫∈=- ⎪⎝⎭
是第三象限角，求()c o s αβ- )sin(),sin(),cos(β
αβαβα+-+的值.
例5.111
,,c o s (),c o s 714
αβααββ
=+=-已知是锐角，c o s 求的值。