全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sin n ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0sin xdx x +∞⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类） （2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷而0n ∞=将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分） 又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y=-为极大值，()21y-=为极小值。
…………………………（3分）4.过曲线)0y x=≥上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标。
解设切点A的坐标为(t，曲线过A点的切线方程为y=令0y=，由切线方程得切线与x轴交点的横坐标为2x t=-。
从而作图可知，所求平面图形的面积3321tS t t t=---==⇒=⎤，解====1n⎛⎫⎪⎝⎭收ff'()()()()()200011lim lim lim02202x x xf x f x f x ffx x x→→→'''-''===-…………………（3分）所以()211lim021nfnfn→∞⎛⎫⎪⎝⎭''=⎛⎫⎪⎝⎭……………………………（2分）由于级数211n n ∞=∑收敛，从而由比较判别法的极限形式11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑四、（满分12分）设()()(),0f x f x a x b ππ'≤≥>≤≤，证明()sin baf x ⎰解因为()()0f x a x b π'≥>≤≤，所以()f x 在[],a b 上严格单调增，从而有反函设A =又(f x(0πϕ'≤⎰五、（面积分(I ∑=⎰⎰值。
大学生数学竞赛(非数)试题及答案
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、填空（每小题5分，共20分）.计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= .(2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim2x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f .(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)te t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy xy D⎰⎰-2，其中1010≤≤≤≤y x D ，：.解：dxdy x y D⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2210-⎰⎰+dy x y dx x)(12102⎰⎰- -------------4分姓名：身份证号所在院校：年级专业线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=3011-------------5分.三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dxyd .解：)],(cos[)(222x f x f x dxdy'=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dxy d '-''+'=-----7分=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. 解：)23(232123ln 0ln 0xa x ax x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aax x ⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分 =a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以23=a -------------15分.五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x e e y dxx xdx x 11----------4分=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x +=.----------8分再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
大学生数学竞赛非数试题及答案
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案一、填空（每小题5分，共20分）.(1)计算)cos1(cos1lim0xxxx--+→= .(2)设()f x在2x=连续，且2()3lim2xf xx→--存在，则(2)f= .(3)若txx xttf2)11(lim)(+=∞→，则=')(tf.(4)已知()f x的一个原函数为2ln x，则()xf x dx'⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)tet2)12(+. (4)Cxx+-2lnln2.二、（5分）计算dxdyxyD⎰⎰-2，其中110≤≤≤≤yxD，：.解：dxdyxyD⎰⎰-2=dxdyyxxyD)(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(xyDdxdyxy-------- 2分=dyyxdx x)(221-⎰⎰+dyxydxx)(12102⎰⎰--------------4分分.三、（10分）设)](sin[2xfy=，其中f具有二阶导数，求22dxyd.解：)],(cos[)(222xfxf xdxdy'=---------------3分)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222xfxfxxfxfxxfxfdxyd'-''+'=-----7分姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. )23(23ln 0xa x e d e -----------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aaxx⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分=a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以3=a -------------15分.10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx ex e e y dxx xdx x 11----------4分 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x+=.----------8分所在院校：年级：专业：线封密再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且12()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sinn π==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题非数学类部分
个人采集整理 仅供参照学习第三届全国大学生数学比赛决赛试卷（非数学类， 2012）本试卷共 2 页，共 6 题。
全卷满分 100 分。
考试用时 150 分钟。
一、（本大题共 5 小题，每题 6 分，共 30 分）计算以下各题（要求写出重要步骤） .(1) limsin 2 x x 2 cos 2 x22x 0x sin x(2) limx31 x tan 111 x6e xx2 x(3) 设函数 f (x , y) 有二阶连续偏导数 , 知足 f x 2 f yy 2 f x f y f xy f y 2 f yy 0 且f y0 , y y( x , z) 是由方程 z2yf (x , y) 所确立的函数 . 求x 2(4)求不定积分 I(1x x11)exdxx(5) 求曲面 x 2 y 2az 和 z 2ax 2 y 2 (a 0) 所围立体的表面积二、（此题 13 分）议论xdx 的敛散性，此中是一个实常数 .cos 2 xx sin 2 x得分三、（此题 13 分）设 f (x) 在 ( ,) 上无量次可微，而且知足 :存在 M 0 ，使得 f( k )(x)M ， x (,),( k 1,2 ) , 且 f (1n ) 0,( n1,2 ) 求 证 ： 在2( ,上)， f ( x) 0四、（此题共 16分，第 1小题 6分，第 2小题 10分）设 D 为椭圆形x 2y 2 1(a b 0) ，面密度为 ρ的均质薄板； l 为经过椭圆焦点a 2b 2( c,0) (此中 c 2a 2b 2 )垂直于薄板的旋转轴 .1. 求薄板 D 绕l 旋转的转动惯量 J ；2. 关于固定的转动惯量，议论椭圆薄板的面积能否有最大值和最小值.五、（此题 12 分）设连续可微函数 z f (x, y) 由方程 F ( xz y, x yz)0 （此中F (u, v) 0 有 连 续 的 偏 导 数 ）唯 一 确 定 , L 为 正 向单 位 圆 周 . 试 求 ：个人采集整理仅供参照学习I( xz 22 yz)dy (2 xz yz 2 )dxL解：由格林公式I( xz22 yz)dy (2 xz yz 2) dx( Q P )dLDx y( z22xzz2 y z ) (2 xzz 22 yz z)d 2 z 22( xz y)z2( x yz) zdD x x y y Dxy又：连续可微函数 z f (x, y) 由方程 F ( xz y, x yz) 0两边同时对 x 求偏导数： F 1 (zxz F 2 (1z) 0z zF 1 F 2 )yx yF 2 xF 1xx两边同时对 y 求偏导数： F 1 ( x z 1)F 2 ( z y z ) 0zF 1 zF 2yy xxF 1 yF 2代入上式：六、（此题共 16 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分）(1)求解微分方程y xy xe x 2y(0)11 nf (x)dx(2)如 y f ( x) 为上述方程的解，证明 lim22n1 n x2。
全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知xx e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
第十二届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)参考答案及评分标准
F= (b) 0 . 对 F (x) 在[a,b] 上利
a
∫ 用洛尔定理，存在 x0 ∈ (a,b) ，使得 F′(x0 ) = 0 ，即 f (x0 ) =
x0 f (t)dt .
a
---------------- 3 分
3
2021 年 05 月决赛试题
x
∫ 再令 G= (x)
f (x) − f (t)dt ，则 G= (a) a
−
2 x32
= 0 . 由此解得 u
113
在定义域内的唯一驻点 P0 (24 , 22 , 24 ) ，且 u 在该点取得最小值 u(P0 ) = 4 4 2 ，这是
113
函数唯一的极值. 因此 u 的唯一极值点为 (24 , 22 , 24 ) .
【注】 也可用通常的充分性条件(海赛矩阵正定)判断驻点 P0 为极小值点.
1，2， ,s)
.
因为 p(D) = D 2021 ，所以
1
= p( A) p= (QDQT ) Q= p(D)QT Q= D 2021QT B .
--------------- 3 分
(3) 设另存在 n 阶实对称矩阵 C 使得 C2021=A ，则=B p= ( A) p(C2021) ，所以
1 2
(xn
+
yn
)
，
---------------- 4 分
这只需证明：对任意 n
≥
0
，都有
x+ 2
y
n
≤
An (x, x) n +1
≤
1 2
(xn
+
yn ) ，其中 0
<
x,
09-13全国大学生高等数学竞赛真题及答案（非数学类）-无答案
09-13全国大学生高等数学竞赛真题及答案（非数学类）-无答案2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++??y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，?d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）??-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π?≥--Ly y x ye y xe .五、（10分）已知xxe xe y 21+=，xxe xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞+。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类).
0
n
n1
0
n0
n0
n1
即
f (t)dt f (n) 1 f (t)dt ，
0
0
n0
又
f (n) xn2 ，
n0
n0
ln 1
1
lim x lim x 1
x1 1 x x1 1
f (t)dt
xt2 dt
t2 ln 1
e x dt
0
0
0
1
et2 dt
10
1 ， 12
0
0
3
a2
1
x
4
dt
4 a(1 a)
1
x
3dt
4 (1 a)2
1
x
2dt
0
3
0
9
0
1 a2 1 a(1 a) 4 (1 a)2
5
3
27
即
V (a) 1 a2 1 a(1 a) 4 (1 a)2
5
3
27
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0，
det
0 1
11 dudv dudv ，
D
(x
y) ln(1 1 x y
y) x dxdy
D
u
ln
u u ln 1u
vdudv
1
(
u
ln
u
u
dv
u
u
ln vdv)du
0 1u 0
1u 0
1 u2 ln u u(u ln u u) du
0 1u
1u
1
u2
du （*）
0 1u
L
第十届全国大学生数学竞赛(非数学类)答案
第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及答案一、填空题（本题满分24分, 共4小题, 每小题6分)（1）设(0,1),α∈则()lim (1)n n n αα→+∞+-=＿0＿＿＿＿＿＿.解 由于 1111,n n α⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 αααααα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+11111111)1(n n n n n n n ， 于是 ααα-<-+<11)1(0nn n ，应用两边夹法则，()lim (1)0n n n αα→+∞+-=. （2）若曲线()y y x =由+cos +sin 1yx t t e ty t =⎧⎨+=⎩确定，则此曲线在0t =对应点处的切线方程为0(1)y x -=--解：当0t =时，1,0x y ==，对cos x t t =+两边关于t 求导：1sin dx t dt =-，01t dxdt ==， 对+sin 1y e ty t +=两边关于t 求导：cos 0y dy dy e y t t dt dt +++=，01t dy dt ==-， 则01t dydx ==-.所以，切线方程为0(1)y x -=--.（3）21ln(1)C 2x x +-++ 解1：tan ln(tan sec )ln(tan sec )sin sec x t t t dt t t d t t=+==+⎰⎰ln(tan sec )sin sin ln(tan sec )sint ln(tan sec )t t d t t t t d t t =+=+-+⎰⎰21sin ln(tan sec )sint(sec tan sec )tan sec t t t t t t dt t t =+-++⎰sin sin ln(tan sec )cos tt t t dt t=+-⎰21sin ln(tan sec )ln |cos |C ln(1)C 2t t t t x x =+++-++.解2：ln(x d =+⎰1x dx ⎛⎫=-21xx dxx=-+⎰21ln(1)C2x x-++（4）21coslimx x→-=＿＿＿3＿＿＿＿.解答：2001coslimx xxx→→⎡-=⎢⎣⎦211lim2x x→=+2211lim2x x x→⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦1lim2x→=++⎢⎥⎣⎦220011cos21cos313lim lim1322322x xx xx x→→--=++=++=.二 (本题满分8分) 设函数()f t在0t≠时一阶连续可导，且(1)0f=，求函数22()f x y-，使得曲线积分2222(2())()Ly f x y dx xf x y dy⎡⎤--+-⎣⎦⎰与路径无关，其中L为任一不与直线y x=±相交的分段光滑闭曲线.解：设22(,)(2())P x y y f x y=--，22(,)()Q x y xf x y=-，由题设可知，积分与路径无关，于是有(,)Q x y Px y∂∂=∂∂，由此可知222222()()()1x y f x y f x y'--+-=-----------5分记22t x y=-，则得微分方程()()1tf t f t'+=，即(())1tf t'=，())tf t t C=+又(1))0f=，可得1,C=-1())1f tt=-，从而22221()1f x yx y-=--.------------8分三 (本题满分14分) 设()f x在区间[0,1]上连续，且1()3f x≤≤.证明：1100141()()3f x dx dxf x≤≤⎰⎰.证明. 由柯西不等式111()()f x dx dx f x ⎰⎰≥201⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎰. --------4分 又由于 ()()()1()30f x f x --≤，则()()()1()3/()0f x f x f x --≤，即 3()4()f x f x +≤， 103()4()f x dx f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭⎰. ----------10分 由于21111000313()()()4()f x dx dx f x dx f x f x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰故 11141()()3f x dx dx f x ≤≤⎰⎰. -----------14分 四 (本题满分12分)计算三重积分22()V xy dV +⎰⎰⎰（），其中V （）是由222(2)4x y z ++-≥，222(1)9x y z ++-≤，0z ≥所围成的空心立体.解：（1）1sin cos ,sin sin ,1cos ():03,0,02x r y r z r V r ϕθϕθϕϕπθπ==-=⎧⎨≤≤≤≤≤≤⎩123222225()8()sin sin 315V x y dV d d r r dr ππθϕϕϕπ+==⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ----------4分 （2）2sin cos ,sin sin ,2cos ():02,0,02x r y r z r V r ϕθϕθϕϕπθπ==-=⎧⎨≤≤≤≤≤≤⎩222222225()8()sin sin 215V x y dV d d r r dr ππθϕϕϕπ+==⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ----------8分 （3）3cos ,sin ,10():02x r y r z V r θθθπ⎧==≤≤⎪⎨≤≤≤≤⎪⎩3022223510()22()1)(1243)55V r x y dV rdrd dz d dr πθθπ≤+===-⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12322222222()()()()256()()()()3V V V V x y dV x y dV x y dV x y dV π+=+-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------12分 五 (本题满分14分) 设(,)f x y 在区域DM ≤，11(,)A x y ，22(,)B x y 是D 内两点，线段AB 包含在D 内。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
第3届全国大学生数学竞赛决赛试卷(非数学类)
专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.题 号 一 二 三 四 五 六 总分满 分 30 13 13 16 12 16 100 得 分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1) 222220sin cos lim .sin x x x x x x→−(2) 31/1lim tan e 2xx x x x →+∞⎡⎛⎞+−⎜⎟⎢⎝⎠⎣得 分 评阅人大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网(3) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数,满足2220x yy x y xy y xx f f f f f f f −+=，且，0y f ≠(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =所确定的函数. 求22yx∂∂.(4) 求不定积分11(1e x x I x d x +=+−∫x ．大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：(5) 求曲面22x y a +=z和2z a =−(a > 0)所围立体的表面积.二、（本题13分）讨论22cos sin xdx x x xα+∞+∫的敛散性，其中α是一个实常数.得 分评阅人大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网三、（本题13分）设在)(x f ),(∞−∞上无穷次可微，并且满足: 得 分存在，使得,且0>M ()|()|,(,),(1,2,k f x M x k ≤∀∈−∞∞=")10,(1,2,)2n f n ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠". 求证：在),(∞−∞上，. 0)(≡x f 评阅人四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分） 得 分设D 为椭圆形22221(0)x y a b a b+≤>>，面密度为ρ的均质薄板；l 为通过椭圆焦点(,（其中0)c −22c a b 评阅人2=−）垂直于薄板的旋转轴. 1. 求薄板D 绕l 旋转的转动惯量J ；2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：.五、（本题12分）设连续可微函数由方程(,)z z x y =(),0F xz y x yz −−=（其中有连续的偏导数）唯一确定,L 为正向单位圆周. 试求：(,)F u v 22(2)(2)LI xz yz dy xz yz dx =+−+∫v .得 分评阅人大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分） 得 分2e (0)1x dy xy x dx y ⎧−=⎪⎨⎪=⎩评阅人(1) 求解微分方程.1220lim ()12n n f x dxn x π→∞=+∫(2) 如为上述方程的解，证明： . ()y f x =大学生学习墙Q Q ：243631108微信公众号：大学生自学网。
第五届全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2n ππ==………（2分）；原式lim 1sin exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦…………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝………(2分) 2.证明广义积分sin xdx x+∞⎰不是绝对收敛的 解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
…………………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
……………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= …………………（1分） 故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，………………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。
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2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算=--++⎰⎰y x y
x x y y x D d d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2
022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x
y ________________. 二、（5分）求极限x e nx
x x x n
e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.
三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=
10d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）⎰⎰
-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2
5d d π⎰≥--L y y x ye y xe
.
五、（10分）已知x
x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为
3
1.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n
, 且n e u n =)1(, 求函数项级数
∑∞=1)(n n x u 之和.
八、（10分）求-→1x 时, 与
∑∞=02n n x 等价的无穷大量.
2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（25分，每小题5分）
（1）设22(1)(1)
(1),n n x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2
1lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
（3）设0s >，求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞
-==⎰。
（4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂。
（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离。
二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且
()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞
''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。
三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2
2(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩
所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e
-=
+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ。
四、（15分）设10,,n
n n k k a S a =>=
∑证明： （1）当1α>时，级数1n n n
a S α+∞=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数
1n n n a S α+∞=∑发散。
五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中222
1)αβγ++=的直线，均匀椭球 222
222
1x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。
六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422()c xydx x dy x y
ϕ++⎰的值为常数。
（1）设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明42
2()0;c xydx x dy x y ϕ+=+⎰ （2）求函数()x ϕ；
（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
422()c xydx x dy x y
ϕ++⎰。
2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）.求11cos 0sin lim x x x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝
⎭；
（3）已知()2ln 1arctan t t x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx 。
二．（本题10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。
三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()12320
230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。